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微积分技巧总结微积分是数学中的重要分支，涵盖了求导、积分、微分方程等内容。
掌握微积分技巧对于解决实际问题和理解数学概念至关重要。
本文将总结一些常用的微积分技巧，帮助读者提升微积分的应用能力。
一、导数求解技巧1.1 基本求导法则求导是微积分中的基本操作，掌握基本求导法则能够方便快速地求解导数。
常用的基本求导法则包括：- 常数法则：常数的导数为0；- 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，导函数为f'(x) = nx^(n-1)；- 指数函数法则：对于指数函数f(x) = a^x，其中a为常数且a>0，导函数为f'(x) = a^x * ln(a)；- 对数函数法则：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，导函数为f'(x) = 1/(x * ln(a))。
1.2 链式法则链式法则是多个函数复合时求导的方法。
若函数y = f(g(x))，其中f和g都可导，则y对x的导数为y' = f'(g(x)) * g'(x)。
链式法则在解决复杂函数求导时非常有用。
1.3 高阶导数高阶导数是指对一个函数多次求导得到的导数。
常用的求高阶导数的方法包括应用基本求导法则和链式法则，通过多次迭代求得。
高阶导数可以帮助我们研究函数的性质和变化趋势，是微积分中重要的概念。
二、积分求解技巧2.1 不定积分不定积分是求函数的原函数的过程。
常用的不定积分法则包括：- 幂函数的积分法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，积分结果为F(x) = (1/(n+1)) * x^(n+1)；- 正弦函数和余弦函数的积分法则：正弦函数的积分结果为-F(x) = -cos(x)，余弦函数的积分结果为F(x) = sin(x)；- 指数函数和对数函数的积分法则：指数函数的积分结果为F(x) = (1/ln(a)) * a^x，对数函数的积分结果为F(x) = x * ln(x) - x。
如何学习微积分与高等数学微积分和高等数学作为数学学科中的重要部分，对于学习者来说可能会是一项挑战。
然而，通过正确的方法和策略，我们可以更有效地掌握这些概念和技巧。
在本文中，我们将探讨一些学习微积分和高等数学的方法，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
首先，一个重要的原则是建立牢固的数学基础。
在学习微积分和高等数学之前，确保自己对基础数学概念和技巧有清晰的理解是至关重要的。
这包括代数、几何、三角学和函数等方面的内容。
了解这些基础知识将为深入的学习提供坚实的基础。
其次，理解概念和原理是学习微积分和高等数学的关键。
而不只是简单地记住公式和方法。
在学习过程中，要注重深入理解每个概念的定义和含义，弄清楚它们的性质和用途。
不要仅仅依赖于记忆，而是要通过实际应用和解决问题来加深对这些概念的理解。
另外，练习和做题是学习微积分和高等数学的重要环节。
通过做大量的习题和练习题，可以加深对不同类型问题的理解和掌握。
这样做还可以培养解决问题的能力和创造性思维。
同时，要注重理解问题的本质和解题思路，而不是仅仅追求答案。
除了课堂上的学习，使用辅助资源也是学习微积分和高等数学的好方法。
通过阅读相关的教材、参考书籍和学术论文，可以更全面地了解各个概念和原理的背后逻辑。
同时，互联网上还有许多免费的教学视频和在线学习平台，可以帮助学生以自主的方式学习和巩固所学内容。
在学习中，与他人进行合作和交流也是非常重要的。
与同学一起讨论问题、解题过程和策略，可以互相促进和补充知识。
此外，在线社区和论坛还为学生提供了一个交流和学习的平台，可以与来自世界各地的学习者分享经验和观点。
最后，要保持良好的学习习惯和态度。
微积分和高等数学不是一蹴而就的，需要坚持和持续的努力。
制定一个合理的学习计划，并按照计划进行学习和复习。
要保持耐心和积极的心态，不要因为遇到困难就放弃，而是要坚持下去。
总之，学习微积分和高等数学可能是一项挑战，但通过建立牢固的数学基础，深入理解概念和原理，大量练习和做题，利用辅助资源，与他人合作和交流，以及保持良好的学习习惯和态度，我们可以更有效地掌握这些知识和技巧。
如何学好高等数学微积分高数微积分学习方法一、学习高等数学，第一要明白得知识间的必定联系，在头脑中形成一个知识网络。
《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识，需要明白得、经历、把握、熟练运用大量的定理与公式。
这就要求学习者在学习的过程中，理清思路，弄清整本教材的脉络。
该课程的核心是微积分，围绕这一核心，需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。
极限理论和方法是微积分建立，无穷级数学习的基础，因而极限论成为重要的基础内容。
而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着紧密的联系。
从这些方面来看，尽管函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点，但它们又是一个密不可分的整体。
为此，在学习的过程中，应该把握好每一块内容的重点和要点，由点带动面的学习，由局部带动整体的明白得。
高数微积分学习方法二、学习高等数学时，注意多归纳、勤总结。
归纳总结能关心学习者将一些比较分散的知识集中起来，做到对某一方面的知识有一个全面、深入的了解，如此在解决问题时，头脑中会形成更多的思路，找到更多的解题方法。
下面是对极限求法的一个归纳总结，以此说明归纳总结的重要性，同时也期望能对学习者起到一个抛砖引玉的作用。
求数列或函数极限，是高等数学里的一类基础而重要的问题。
常见的求法归纳起来有如下几种：1.先估量数列或函数的极限值，而后利用定义进行验证，这是求极限的最差不多的方法，可用于求一些简单的极限。
2.利用有限个函数的和、差、积、商以及复合函数求极限的运算法则求极限，能够使一些复杂的极限运算问题得到简化。
3.利用无穷小的性质求极限。
这要紧包括：①有限个无穷小的和(差、积)仍是无穷小。
②有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
③非零无穷小与无穷大互为倒数。
④等价无穷小代换。
当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替。
正因为等价无穷小的这一性质，因此在求极限时，能够简化运算，减少运算量，快速地解决问题，起到事半功倍的成效。
大学微积分的学习方法微积分简介：微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
大学微积分的学习方法：1、重视概念，掌握每一个公式定理的由来，这些推导方式也是做题的思想。
微积分是一个工具，学好微积分还要会用好。
比如在物理，或者数学的某些问题当中。
尽量想一想能否用微积分作答。
2、要想办法消除对数学的恐惧感，找一些趣味数学题目看看，树立信心以后再回来学微积分。
学的时候重在微积分公式的来由和推倒过程，这样比单纯的记公式效果好的多。
并且有些问题就是用微积分的定义来解决的，不需要用微积分公式。
3、老师上课时，常常伸出两个手指说到：“学好微积分就三个字“多做练习””4、微积分的一切概念的本源就是极限，而极限的提出依赖于一套被称之为"ε-δ"的数学语言。
因此学好微积分的关键是掌握这套分析语言(这是针对数学*而言的)。
如果对书上的讲解不理解，那么别去硬做习题，而是要先找一本微积分科普书或者是数学史之类的书来看。
看这类书的目的是对微积分概念提出的背景进行深入了解，并且了解当时的数学大家的思想的演进(当然这也就会成为你的思想演进)。
做好这一步，那么你就会了解什么是极限?什么是微分?等等。
然后你可以来研究你的课本，并且辅之以定量的习题。
要记住，这是做题是为了巩固你的认识，不是为了应付那些无聊的考试。
如果做好了这一步，那么你对微积分概念的理解就会更加深入。
这时，你可能会对微积分有了一些兴趣。
当然也就可以进一步的学习了。
如果你想应付考试，那么可以多做题了。
微积分的基本思想和运算法则微积分是数学的一个重要分支，研究的是变化与运动的规律。
它的基本思想和运算法则是我们学习微积分的起点。
本文将介绍微积分的基本思想和运算法则，并探讨其在实际问题中的应用。
一、微积分的基本思想微积分的基本思想可以概括为两个方面：极限和导数。
1. 极限极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，我们用极限来研究函数的连续性、收敛性以及函数值的变化趋势等。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某个特定的值a时，我们可以用以下符号表示：lim(x→a) f(x)其中，lim代表极限的意思，x→a表示x趋向于a，f(x)表示函数f在x处的取值。
通过求解极限，我们可以得到函数在a点的性质和行为。
2. 导数导数是微积分的另一个核心概念，它描述了函数在某一点的变化率。
对于一个函数f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为：f'(x) 或 dy/dx其中，f'(x)表示函数f在x处的导数，dy/dx表示函数y关于x的导数。
导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率，它告诉我们函数在该点的变化速度和方向。
二、微积分的运算法则微积分的运算法则是指在对函数进行求导和积分时所遵循的规则和方法。
下面介绍几个常用的运算法则。
1. 基本导数法则基本导数法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的导数，从而更好地理解函数的变化规律。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数导数的一种方法。
对于复合函数f(g(x))，其导数可以通过链式法则表示为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)链式法则在求解复杂函数的导数时非常有用，可以将复杂问题简化为简单问题的组合。
3. 积分法则积分法则是求解函数积分的一种方法。
常用的积分法则包括换元法、分部积分法、定积分法则等。
这些法则可以帮助我们求解各种类型函数的积分，从而计算函数的面积、曲线长度、体积等。
高数微积分的求解技巧总结高数微积分是大学数学中的重要课程，涉及到很多重要的概念和方法。
在学习过程中，我们需要具备一些求解技巧和方法，以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
以下是一些高数微积分的求解技巧的总结。
1. 掌握基本公式和定理：在学习微积分的过程中，我们需要熟练掌握常用的基本公式和定理，如导数的基本计算法则、函数的导数公式、积分的基本计算法则等。
熟练掌握这些公式和定理对于解题和计算都有很大帮助。
2. 运用导数和微分的定义：导数和微分的定义是微积分的基础概念，我们需要理解和掌握这两个定义，并灵活运用它们。
例如，对于一些难以使用基本公式求解的函数，可以通过导数的定义或微分的定义来求解。
3. 利用函数的性质进行求解：函数的性质是微积分中重要的求解技巧之一。
我们可以利用函数的对称性、周期性、奇偶性等性质，简化计算和求解过程。
例如，当函数具有对称性或周期性时，可以将函数的积分范围缩小，简化计算。
4. 使用换元积分法：换元积分法是微积分中的重要方法之一。
通过对被积函数中自变量的替换，可以将原来的积分转化成更简单的形式。
在使用换元积分法时，需要灵活选取适当的替换变量，并注意变限积分的处理。
5. 运用分部积分法：分部积分法是微积分中常用的方法之一，在求解一些特殊函数的积分和广义积分时非常有效。
通过将被积函数中各项分别作为导数和微分的乘积，可以将原来的积分转化成更容易求解的形式。
6. 利用定积分的性质：定积分具有很多重要的性质，如可加性、均值定理等。
利用这些性质可以简化计算和求解过程。
例如，利用定积分的可加性，可以将一个复杂的定积分分解成若干个简单的定积分相加。
7. 使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理：拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微积分中的重要定理，能够帮助我们研究函数的性质和证明一些结论。
在应用这两个定理时，需要注意选择合适的函数和区间，并理解这些定理的几何意义。
8. 运用级数展开和泰勒展开：级数展开和泰勒展开是微积分中的重要工具，可以将一个函数表示成无穷级数的形式。
如何帮助小学生掌握简单的微积分微积分是数学中一门重要的学科，它有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
然而，对于小学生来说，微积分可能是一个相对复杂和抽象的概念。
在教授微积分的过程中，教师们需要采取一些策略来帮助小学生更好地理解和掌握微积分的基本概念和应用。
本文将探讨如何有效地帮助小学生掌握简单的微积分。
一、建立概念基础在教学微积分之前，首先要确保学生已经掌握了必要的前置知识。
这包括对数学基本概念的理解，例如函数、导数和积分等。
可以通过回顾和巩固这些基础知识，为学生打下坚实的数学基础，以便更好地理解微积分的概念。
二、使用具体的例子和图像小学生通常更容易理解具体的例子和图像，因此可以通过使用生活中的实际例子来解释微积分的基本概念。
例如，可以以小球滚动的过程来解释速度和加速度的概念，通过绘制图像来展示导数和积分的含义。
这样可以帮助学生将抽象的数学概念与实际情境联系起来，更好地理解微积分的应用。
三、提供真实世界中的问题小学生对实际问题更感兴趣，因此可以提供一些真实世界中的问题，将微积分的概念应用到实际情境中。
例如，可以通过计算一辆汽车的速度和加速度来解释微积分的概念，或者通过计算一块地的面积来介绍积分的应用。
通过将微积分与实际问题相结合，可以激发学生的学习兴趣，提高他们对微积分的掌握程度。
四、引导学生进行实际操作学生通过实际操作可以更好地理解和掌握微积分的概念。
可以设计一些简单的实验或活动，让学生亲身参与其中，从而加深对微积分概念的理解。
例如，可以让学生通过观察和测量物体的运动轨迹，来理解速度和加速度的概念；可以让学生通过绘制曲线来理解导数和积分的概念。
通过实际操作，学生可以更加深入地理解微积分的概念，并将其应用到实际情境中。
五、提供多样化的学习资源为了帮助小学生掌握微积分，教师们可以提供多样化的学习资源。
这包括教科书、练习册、电子教学资源等。
通过提供不同形式的学习资源，可以满足不同学生的学习需求，帮助他们更好地掌握微积分的知识。
学习微积分的计划微积分是数学中非常重要的一个分支，它包括微分学和积分学两个方面。
微积分的应用非常广泛，涉及到物理、工程、经济学等众多领域。
因此，对于学习者来说，掌握微积分知识是非常重要的。
本文将详细介绍学习微积分的计划，帮助学习者制定有效的学习策略。
第一阶段：建立数学基础在学习微积分之前，首先需要牢固地掌握基础的数学知识，包括代数、几何、三角学等。
这些基础知识是学习微积分的前提，如果没有扎实的数学基础，将会对后续学习造成困难。
因此，建立数学基础是学习微积分的第一步。
在这个阶段，可以选择一些基础数学教材进行系统的学习，掌握代数方程、几何图形、三角函数等知识。
可以通过做大量的练习题来巩固复习所学内容。
第二阶段：学习微积分基础知识在建立了扎实的数学基础之后，就可以开始学习微积分的基础知识。
学习者可以选择一些入门级的微积分教材进行学习，了解微积分的概念和基本原理。
这个阶段的学习重点包括微分、导数、积分、不定积分等内容。
在学习的过程中，可以结合一些经典的微积分问题进行实际操作，例如求曲线的切线、求面积、求体积等。
这样可以更加深入地理解微积分的应用和意义。
第三阶段：深入学习微积分知识在掌握了微积分的基础知识之后，就可以开始深入学习微积分的各种定理和技巧。
这个阶段的学习内容包括微分中值定理、泰勒级数、积分中值定理、曲线积分等。
这些知识是微积分的核心内容，掌握了这些知识可以更好的应用微积分解决实际问题。
在学习的过程中，可以结合一些经典的微积分问题进行实际操作，例如求解微分方程、求解极限、求解积分等。
这样可以更加深入地理解微积分的应用和意义。
第四阶段：应用微积分解决实际问题在掌握了微积分的各种知识和技巧之后，就可以开始应用微积分解决一些实际问题。
这个阶段的学习内容包括微积分在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
学习者可以选择一些相关的应用领域教材进行学习，了解微积分在不同领域的具体应用和意义。
在学习的过程中，可以结合一些经典的微积分应用问题进行实际操作，例如物体的质心、物体的转动惯量、最优化问题等。
微积分学习计划一、学习目标微积分是高等数学的重要分支，是研究变化率和积分的数学理论。
掌握微积分知识是理解和应用数学的基础，也是很多科学和工程领域的基础。
因此，制定一个系统化的微积分学习计划对于理工科学生来说是非常重要的。
在制定学习计划之前，首先要确定自己的学习目标。
在制定学习目标时，应该考虑到自己的学习能力、兴趣爱好和未来的职业规划。
在微积分学习计划中，我们可以设定以下学习目标：1. 掌握微积分的基本概念和方法。
2. 熟练掌握微积分的求导和积分规则。
3. 能够灵活运用微积分知识解决实际问题。
4. 对微积分的应用领域有一定的了解。
5. 为将来的高等数学学习和相关专业课程打下坚实的基础。
二、学习内容微积分主要包括微分学和积分学两个部分。
其中微分学主要研究函数的变化率，而积分学主要研究函数的面积、体积和其他量的计算。
微积分的基本概念和方法包括函数、极限、连续性、洛必达法则、导数、微分、积分、牛顿-莱布尼茨公式等。
在学习微积分的过程中，需要掌握微积分的基本概念，熟练掌握导数和积分的计算方法，能够理解和使用微积分的概念和方法解决实际问题。
三、学习方法1. 培养良好的数学思维习惯。
微积分是一门纯理论性的学科，需要培养良好的数学思维习惯。
要注重独立思考和积极动手解题，培养解决问题的能力。
2. 重视数学基础知识的学习。
微积分是高等数学的一部分，离不开初等数学的知识。
要重视数学基础知识的学习，建立坚实的数学基础，为深入学习微积分打下基础。
3. 注重理论和实践的结合。
微积分理论应用广泛，要注重理论和实践的结合。
在学习微积分的过程中，要注重理论的学习，结合实际问题进行思考和解答。
4. 多做题多练笔。
微积分是一门较为抽象的学科，需要多做题多练笔，加强对微积分知识的掌握和运用。
可以多做一些经典的微积分计算题目，提高微积分计算能力。
5. 多与老师和同学交流。
微积分学习过程中，可以多与老师和同学交流，互相学习互相帮助，共同进步。
怎么学好微积分微积分作为一门基础学科，具有严密的逻辑性和高度的抽象性，下面店铺收集了一些关于微积分学习方法，希望对你有帮助微积分学习方法11重基础，全面学习。
重基础，就是指我们应该对教材上的基本定义，定理，公式，例题弄明白。
所谓万变不离其宗，我们把这些弄清楚后，我们才有举一反三的本钱。
全面学习，即指我们在学习过程中应多注意前后联系。
数学学习是一个长期过程，我们不能依据个人爱好而对某些部分的内容放弃，相反，做好各章之间的联系才是我们该做的。
2反复训练重点内容，熟练掌握。
数学成绩是练出来的，而且是看出来的，很多东西需要我们自己动手之后才会有收获。
多问，多练，是学习数学的一种重要方法。
3学会总结。
在大量的练习的基础上，我们应该依据个人的情况，定期(每周或每月)对自己所学进行总结，在总结之后才能举一反三，中练习中汲取到方法。
4考前复习。
在考试之前，对教材的熟悉是必要的,将书上的定理等熟记于心在考试中才能减少失误，因此如果时间充裕，最好将教材通看一遍。
5沉着冷静应考。
无论是过程考核，还是最后的期末考试，都要保持良好的心态，对自己有信心。
微积分学习方法2(1) 学习微积分的基础就是要学好函数和导数，因此我们在学习时如果遇到函数，导数方面的问题时一定要及时解决。
(2) 弄清积分概念和基本理论，基本初等函数的性质，函数极限的运算等。
并且熟练掌握导数和不定积分的公式。
(3) 归纳老师总结的解题方法，最好自己制作一本自己的错题集。
(4) 在掌握基础的方法能做对基础题型之后，适量的找一些难题来练习，进一步对自己所学内容进行巩固和提升。
(5) 到图书馆借一本或自己买一本对课后习题有详解的书。
书上虽然有课后习题的答案，但却没有过程，拥有一本有习题详解的书无疑能够让自己清楚自己怎么错得错在哪一步。
微积分考前复习的方法(1) 考前看书。
在考试之前，对教材的熟悉是必要的,将书上的定理等熟记于心在考试中才能减少失误，因此如果时间充裕，最好将教材通看一遍。
（大标题）教你如何学好微积分4月高数（一）考题重点内容分析文/机械工程师大学 林士中很多经历了 2005年高等教育自学考试《高数一》的考生，都留意到了这次考题内容全 面，基本上覆盖了考试大纲的全部内容；同时考题重点突出， 一元函数微分学和积分学内容占全部考分 70%，考题有一定难度。
因此，要想顺利通过考试，考生必须熟练掌握教材主 要内容，必须按考试要求进行学习与复习，力求做到以下三点：第一，学习内容应全面，不 要存侥幸心理，数学课程指望期末突击、冲刺是没有出路的；第二，主要内容要反复训练， 熟练掌握；第三，要学会总结，使学过的知识系统化。
为使考生顺利通过十月考试，现针对以上问题作具体分析。
（小标题）重基础，全面学习首先，数学课是一门逻辑关系很强的课程，前后紧密联系，前面章节掌握的熟练程度， 往往对后面章节的学习有很大影响。
例如一元函数微积分没有掌握好，多元函数微积分就很难学好；一元函数微分学掌握的熟练程度， 还直接影响微分学的应用和一元函数积分学的学习。
因此，无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习，这 一点对文科学生特别重要。
数学的学习是一个长期的过程，而非期末突击、冲刺就能侥幸过关。
下面就2005年4月高数（一）微积分的主要考试题目进行分析： 的面积，所以有:j'k dx 十【例一】 考题（一） 分析：①学员需要知道(5) f 1 (x 3si nx 2+2\匸二 -J.C . 3兀D . 4兀x 3 sinx 2是奇函数，所以有：)dx=()f x 3 sin x 2dx = 0②要求学员根据定积分的几何意义知道:J_RJ R 2-x 2dx 是半径为R 的上半圆 -x 2dx = r R2J ：(x 3sin X 2+2-x 2)dx1 32 1=f X 3 sin x 2dx +2 f1= 0+2 —兀=兀应选A 。
21X -f (VH t)tdt J l -x 2dx【例二】 考题（一）（3） limX T 0tan XA . 0B . 1C . eD .不存在分析：①首先，要求学员知道 X 7 0时，tanx② 要求学员掌握微积分基本定理：d /— f （t ）dt = f （X ） dx a③ 要求学员掌握第二个重要极限X 。
八xxd tan - =xtan — 2 2兀兀X 厅 兀1 =—+2ln |cos-— +2ln -j=2 2'0272④要求学员掌握罗必达法则1x7L （1 +t ）t dt lim --------- x -s P tan x=lim ^^0 1x7-I ■/ tanx 〜x1°丿x 1= lim (1 + x)x=eX _^【例三】 考题（三）(18)计算 J ---------- : ------ dx匚 2. xV 4-x arcs in —2分析：①要求学员熟记积分表:1 xr ” 一 dx = arcsi n - + C a d arcsin —=dxa②要求学员熟记积分表:’ _____ 1------ dx =J 4 -x 2a r c s+n21f-du =1 n |u | 弋 71 . xd a r c s+n x a rc s+n2x=ln | arcs in —| +C 2兀 r ?_-'）1 +co s< 分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式：2cos2x=2cos X —1【例四】 考题（三）（22）计算dx 2 x1 +co s =2c o s-2②需要学员熟记微分公式:1d ta n X = —2— dxcos x③需要学员掌握分部积分公式:J u dv =uv - Jvdu④需要学员熟记积分表:J tan xdx = —In | cos x | 七 ='刁 ■兀 嘉 x -『tan - dxJI , c=——一In 22(小标题)主要内容反复练习高数(一)微积分无论从学习还是从考试的角度看， 最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的 70%;另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。
【例五】考题三(17) y =[ln arctan(1 +x 2)]2，求 y'分析：这是一道多次复合而成的函数的导数问题， 只要关于复合函数的导数经过反复训练，经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果，请看：2 2y'=2[ln arctan(1 +x )][ln arctan(1 +x )] ‘ 1 2 , 亍[arctan(1 + x )] arctan(1 +x )-3xlim 盘壬伫=lim +7^x -j O J 1 + x —j1—X 1° ,-3( =lim -- ；=X T O2( “ 【例七】2 10^dx分析：解法一:: ①需要学员熟记积分公式: 1 . 1 .—2 --- 2 dx = — In a 2 -X 22a1 —2x a +x a -x a +x2•0-dx =-- ln -a 22a ②需要学员知道完全平方公式：(X ±a)2=x ±2ax + a 21 . / 12 丄.丄 c dx - J 0 2a -x X2+4X+3- J0(x+2)2T d(X +2)2=2 In arctan0 +x ) 22ln arctan(1 = 2 arctan(1 +x ) 1 2 -------- (1 +x )1 +(1 +x 2)2+ x 2)4x In arctan(1 (X 4+2x 2+2)arcta n(1 +x 2)【例六】 考题三(16) J 4 -2x - J 4 +x lim —==——I ----- T J 1 +x - J 1 -X本题虽然是未定式e b ,但不宜用罗必达法则，但在教材的例题和作业中，经 2丿2 2a-b=a变形后计算，所以有：a +b计算分析: 常利用公式2x-2x + J 4 + X)计算定积分=01 1）dx =-lnX +3 2 1 1 9 :—In - 3 2 5【例八】考题三（21） y = J x +仮求dy分析：本题是只有一次复合而生成的函数，直接用复合函数导数公式即可dy = y dx = （X + T x ） dx2j x +/X1 1 2j X +1 =（1 +—^）dx = — dx2j x +仮2J x 4yl x +yi X yf x【例九】考题四（24）y =x 2+ax （ a >0）, y=0 , x=1所围图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为1 +(x +2) 1 -(X +2)1 5 1 9=——In — =— In—2 9 2 51}解法二: ①部分分式需要学员知道: a -b 1 ab b1 2 解：V x =兀 ty2dx1 2 "0(x2R0(x 4+ ax)2dx+ 2ax 3 +a 2x 2)dx”55 11=兀(一+ — a5 2 1 . 1 2 一 a+-a2 3 ,2 4,1 2 3\ + 一 ax 中-a X )4 3 ,1 2兀+—a )=一 35 a=0 a【例十】一 !（舍去）考题三（23）②学员应熟记积分公式：Ob 1dx =— In |ax + b |£ a1 21(X +3)-(X +1) -------- d x = ----- --- --- dx X2 + 4x +3 」02 (x +3)(x +1) 2 2 1 X +13 .=-(In — 一In —)= X +1 X +32ff sin y deD2因为sin y 对y 积分原函数不是初等函数，所以应先对 x 积分O w y w 2, K x < 1+y2214y 2JJ sin y db = £ dy [ siny dx解：•/ F =e z-xy 2+sin(xz)•- F x' = -y 2+zcos(x z)Fy' = -2xy F ； =e z+xcos(x z) _ F x' _ -y 2+zcos(xz)F ；FZe z+xcos(xz)上面所列考题，都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题，只要考生在学习过程中反复练习，就不会感到生疏或困难。
建议考生将教材中的练习做过一遍以后， 过两周再重做一遍，考前再做一遍，通过考试就会有较大把握。
如今社会上的辅导材料太多，有的并不完全符合考试要求，建议考生还应以教材为主， 学习之余感到教材练习已做得很熟练后， 再考虑看参考辅导材料。
材或习题中见过，不要因为试卷中有个别偏题， 题都会有个别题目难度偏大，并不为怪，例如在 五(25)就比较困难。
例如考题五(25)已知f(x)在［0 , 1］上连续，在(0, 1)内可导，且f(0)=0，证明存在C € (0, 1)，使得Cf '(C) + f (C) = f '(C)本题明显和微分中值定理有关系，需要用微分中值定理证明，如果直接做，则有f(1)-f(0)= f'(0(1-0)f(0)=0 ,但f(1)不知道，立即就出现问题和困难，习惯是引入一个新函数，对于大多数 学员来说，如何引进新函数是比较困难的，在本题中，因为 f(1)不知道，因此新函数中不应出现f(1)，因此，令D 是x=1 , y=2 , y=x-1所围区域 求解： D : 【例十一】22=L(sin y )x 1=一一 cos y2考题三(20) e zdy = t ysin y 2dy 1=? (1 —cos4)-xy 2+sin(xz) =0 确定 z ；, z y •- z xe z+xcos(x z)—2xyZ y有个别考题，未见得在教 就盲目到处找辅导材料。
其实任何一份考试 1995年4月高数(一)的考题中的证明题F(x)=(1-x)f(x)••• F(x )在［0 , 1］上连续，且在(0 , 1)内有F'(X)=—f (x)+(1 + x)f'(X)由于F(1)=0, F(1)=0由罗尔中值定理，存在 C € (0, 1)，使F (C) =0 ,即卩-f (C) +(1 -C)f '(C) =0••• f(C) =(1 -C)f (C)••• Cf '(C) +f(C) = f '(C)(小标题)随时总结知识，记忆积分表考生一定要对学过的知识进行总结，使知识系统化并掌握其中的要点。
例如，学过不定积分的概念和计算方法以后，可以小结如下：(I)不定积分的概念Jf(x)dx=F(x)+C u f(x)=F'(x)(n)不定积分的性质(1)J f'(x)dx =f(X)+C 或Jdf(x) = f(x)+Cd(2)一ff(x)dx = f(x) 或d f f (x)dx =df(X)dx .(3)f k f (x)dx = k J f (x)dx(4)J[f1(x) + f2(x)]dx = J f1(x)dx + J f2(x)dx(川)基本积分表(1)Jkdx =kx +C(2)fx a d^ = ---- x a^ +C (aH—1)" a +11J—dx =1 n I x| 弋• x1 1f----- dx =— In | ax + b | 弋、ax +b axfa X dx +Cln aJe X dx =e X +C(7) Je ax dx=le ax+Ca(8) J sin xdx =-cosx +C1(9)J sin(ax + b)dx = -一cos(ax + b) + Ca(10)Jcosxdx=sin x+C1(11)Jcos(ax +b)dx =-sin(ax +b) +C• a2 1(12)Jsec xdx = J --- 2—dx =tanx+Ccos x2 1(13)f csc xdx = J —2~ dx = - cot X + Csin2x(14)fsecxtanxdx =secx +CJ cot xdx = In I sin x | +C Jsecxdx = In |secx +tanx| +C Jcscxdx = In |cscx —cotx| M1(20H ----- dx =arcta nx +CT +x 1 21 1 x(21) f ----- dx =— arctan- +Ca +x a a 1 1 a +x(22) 1 — ln| ——|P'a 2-x 22a a —X1(23) 『 ----- dx=arcsin x + C1x(24)dx =arcsin-+C70^a(25) J^=^^dx =l n|J a 2+x 2+ x| 弋 ‘ J a 2+x 2(26) f^^dxTn |P(x)| 十CP(x) 2 x222dx =1 n | X 2± a 2古 x ±aP '(x) , ____(27) f^^dx =2j P(x) +C1 j ； ---- dx =dx +dxV x 2+1』x 2+1\/x 2+1=J x 2 +1 +ln | J x 2+1 +x|+c(15) Jcsccot xdx = _cscx + C (16) J tan xdx =_ln |cosx | +C 2x dx =?J x 2 +a 2+C£x 2 ±a 2由于不定积分难度较大，最好多记一些积分表大有好处。
