一元二次方程直接开方法

一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。

二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念： 类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的 方程叫做一元二次方程。

思考：怎样理解一元二次方程的概念？ 方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。

练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ； （22x -= ；（3）21230x x+-=； （4）330x x -=； （5）230x xy +-=； （6）-x 2＝0； （7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。

（二） 一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式： 。

其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项； 、分别叫做二次项系数、一次项系数。

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。

思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。

例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。

直接开平方法
一、复习引入：
什么是平方根？9的平方根是多少？
二、新课教学：
1、直接开平方法：
用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的一元二次方程
例题：(1)x2＝9(2)4m2－9＝0；
练习：(1)4x2=81（2）36x2－7＝0（3）3x2－1＝6(4)x2＋4＝4（5）9x2＋5=3
小结：一般地，对于方程x2＝p
（9）3x2+9=0（10）解方程：
填空题：
（1）x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）
（2）关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是（）
（3）关于x的一元二次方程(a＋ )x2－(4a2－1)x＋1＝0的一次项系数为0，则a的值为（）
（4）若a为方程(x－ )2＝100的一根，b为方程(y－4)2＝17的一根，且a，b都是正数，则a－b的值为（）
学习反思：
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练习：(1)(2x－1)2＝8（2）4(x－1)2－9＝0（32＋6x＋9＝2(2)(x＋5)2＝25（3）3(x-1)2-6=0 （4）(2－x)2－9＝0
(5)9n2-24n+16=11(6)(3x＋2)2＝25（7）3(x＋1)2＝ （8）4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0
(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根：x1＝－ ，x2＝ ；

5
(3)4 x (4) x
2
1
2 2 20x ) 10 ( x 10
梳理
像上题，通过配成完全平方式的 形式解出一元二次方程的根的方法，
叫做配方法。
小技巧: 配方时, 如果二次项系数为1,方 程左右两边应同时加上一次项系数的一 半的平方.如果二次项系数不是1，应先 化为1，再配方
1.直接开平方法 用直接开平方法解一元二次方程，先把 方程左边变成x的平方(或关于x的一次式的平 方),右边变成一个非负常数的形式,再开平方。
化成
(mx+n)2=非负常数
(3)(x 5) 16
2
然后两边直接开平方
( 4)(x 1) 3 0
2
(5) y 4 x 4 3
2
1.直接开平方法
用直接开平方法解一元二次方程， 先把方程左边变成x的平方(或关于x的一 次式的平方),右边变成一个非负常数的形 式,再开平方。
如 果 方 程 能 化 成x p 或
2
（mx n） p( p )的 形 式 ， 那 么 ≥ 0
2
可 得x p或mx n p .
2 2 2
a=-4,b=3,c=-5
2
a=1,b=0,c=-1
2 2
(4) x 3 0; (5)2 x 3x 2 x( x 1) 1; (6) y 0
a=1,b=0,c=3 a=1,b=0,c=0
解一元二次方程 化成 X2=非负常数 然后两边直接开平方
（1）x2-25=0
的一次式)的平方,右边变成非负常数的
形式就可以直接开平方求解了。
方程x2+6x=2如何解？ 1、把下列各式的左边化成完全平方式

x1＝0.1, x2＝1.9
x＝－12±7
x1＝3，x2＝－4
10. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝144;
(2)(1－2x)2＝0.36.
(1－x)2＝1.44 1－x＝± 1.44 1－x＝±1.2 x＝1±1.2 x1＝2.2,±0.6
6. 用直接开方法解一元二次方程：
(1)2x2＝8; x2＝4
(2) 1 x2－27＝0. 3
x2＝81
x＝± 4
x＝± 81
x1＝2，x2＝－2
x1＝9，x2＝－9
知识点2：若(x＋b)2＝a(a≥0)，则x＋b＝± a .
7．(例3)用直接开方法解一元二次方程：
(1)(x－1)2＝2;
(2)2(x－3)2＝18.
(1＋x)2＝25 1＋x＝± 25 1＋x＝±5 x＝－1±5 x1＝4，x2＝－6
9. (例4)用直接开方法解一元二次方程：
(1)100(1－x)2＝81;
(2)(2x＋1)2－49＝0.
(1－x)2＝0.81 1－x＝± 0.81 1－x＝±0.9 x＝1±0.9
(2x＋1)2＝49 2x＋1＝± 49 2x＋1＝±7 2x＝－1±7
(C )
13.解方程： (1)x2－1＝0;
x1＝1，x2＝－1
(2)32x2＝6. x1＝2，x2＝－2
14.解方程：
(1)x2＝13；
x1＝
33，x2＝－
3 3
(2)9x2－5＝3.
x1＝2 3 2，x2＝－2 3 2
第2关 15．解方程：3(x－1)2－6＝0.
x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2
解，则 m＝__－__2____.