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列车运行调整的优化问题最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
本文主要论述最优化理论在列车运行调整中的应用。
1、列车运行调整的概述列车自动调整的主要任务是当列车运行受到干扰时通过适当地调整列车的运行计划，使列车群的运行尽快恢复到计划运行图上。
因而列车自动调整过程是一个不断对列车运行图进行局部调整以消除干扰的优化过程，列车运行图既是列车自动调整的依据，同时也是列车自动调整的目标。
列车运行调整即是当列车运行实际状态偏离预定值，造成列车运行紊乱时，通过重新规划列车运行时刻表，尽可能恢复列车有秩序运行状态的过程。
列车的运行过程可以分解为车站作业(发车、到达、通过)和区间运行。
通常列车群在区间的运行用区间运行时分描述即可，在区间对列车进行调整的常用手段就是压缩区间运行时分，而区间运行时分这一信息只影响列车在下一站的到达时分，可归结到车站去处理。
因此列车自动调整的重点是控制列车在车站的作业情况，即在城市交通列车群的相对确定的次序条件下，在多个约束条件下如何合理确定列车在各站的到点、发点。
1.1 列车运行调整本身具有的特点：●约束条件众多。
它要满足列车与列车，列车与车站，计划列车时刻表等来自多方面的约束，这其中包括了最小停站时间，最短追踪间隔，最短运行时间等等；●优化指标众多。
在传统的运行调整问题的研究中常用到的优化指标有总到达时间晚点最小，总晚点列车数目最少等；●动态性、实时性，复杂性。
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
数学中的优化理论与最优化方法数学中的优化理论与最优化方法是研究如何找到一个函数的最优解的数学分支。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍优化理论的基本概念和最优化方法的主要类型。
一、优化理论的基本概念1.1 目标函数目标函数是优化问题中的核心概念，它描述了需要优化的量。
例如，在生产计划中，我们可以用目标函数表示利润的最大化或成本的最小化。
数学上，目标函数通常是一个多元函数，输入是决策变量，输出是一个标量。
1.2 约束条件约束条件是对决策变量的附加限制。
在实际问题中，常常存在一些限制条件，如资源的有限性、技术限制等。
这些约束条件用一些等式或不等式来表示，并对决策变量产生限制。
1.3 最优解优化问题的最优解是指能够使目标函数达到最大或最小值的决策变量取值。
根据问题的特点，最优解可能存在于一些离散点或连续域中。
为了找到最优解，我们需要建立数学模型，并应用相应的最优化方法进行求解。
二、最优化方法的主要类型2.1 无约束优化方法无约束优化方法是指在没有任何约束条件下，仅需优化目标函数的最大或最小值。
其中，最简单的方法是使用微积分中的极值判断法，通过求目标函数导数为零的点来得到最优解。
当目标函数是凸函数时，最优解可通过求解一阶导数为零的方程组得到。
2.2 约束优化方法约束优化方法是用于求解带有约束条件的优化问题的方法。
其中，最常用的方法是拉格朗日乘子法。
该方法将约束条件引入到目标函数中，构建一个拉格朗日函数，并通过求解拉格朗日函数的极值来得到最优解。
此外，还有内点法、外点法等方法可以有效处理约束优化问题。
2.3 数值优化方法数值优化方法是使用计算机进行优化求解的方法。
在实际问题中，往往需要处理大规模的优化问题，无法通过解析方法求解。
数值优化方法通过迭代的方式，逐步逼近最优解。
常用的数值优化方法有梯度下降法、拟牛顿法等。
2.4 离散优化方法离散优化方法是用于求解离散变量的优化问题的方法。
最优化理论教案简介：最优化理论是数学分析的一个重要领域，涉及如何找到函数的最佳解的方法。
本教案主要针对高中数学课程，旨在帮助学生理解最优化理论的概念和应用。
通过此教案，学生将学会使用最优化理论解决实际问题，并能够运用相关知识进行分析和解释。
教学目标：1. 了解最优化理论的基本概念和原理；2. 掌握最优化问题的求解方法；3. 运用最优化理论解决实际问题；4. 培养学生的创造思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 最优化问题的引入和基本概念的介绍；2. 最优化理论的基本原理和数学模型；3. 最优化问题的求解方法：拉格朗日乘子法、梯度下降法等；4. 实际问题的最优化建模和求解方法。
教学步骤：Step 1: 引入最优化问题（引导学生思考）通过一个生活实例，例如购买商品时如何选择最佳的组合，引出最优化问题的概念。
让学生讨论在有限预算下，如何选择商品来满足最大化满意度的需求。
Step 2: 讲解最优化理论的基本概念介绍最优化问题的定义和基本概念，如目标函数、约束条件、最优解等。
通过图表和实例演示，帮助学生理解这些概念。
Step 3: 阐述最优化理论的基本原理和数学模型讲解最优化理论的核心原理，例如最小值和最大值的判定条件，一阶和二阶导数的应用等。
同时，引入约束条件下的最优化问题，介绍拉格朗日乘子法的基本思想和应用。
Step 4: 介绍最优化问题的求解方法详细讲解拉格朗日乘子法和梯度下降法的步骤和计算方法。
通过具体的案例，演示如何应用这些方法来求解最优化问题。
Step 5: 分组讨论和应用将学生分为小组，给予一些实际问题，要求他们运用最优化理论来建模和求解。
鼓励学生发散思维，提出不同的解决方案，并进行讨论和比较。
Step 6: 总结和应用拓展让学生总结所学的最优化理论知识，并鼓励他们在其他实际问题中应用和拓展所学内容。
通过实例的讲解或指导，帮助学生加深对最优化理论的理解和运用。
教学评估：1. 提供练习题，让学生运用所学的最优化理论解决问题；2. 设计小组讨论环节，考察学生对最优化理论的理解和应用；3. 对学生的课堂参与度和思维发散能力进行评估。
最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。
在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。
本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。
其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。
最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。
常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。
3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。
具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。
4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。
线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。
5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。
常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。
6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。
7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。
最优化理论在机械设计领域中的应用第一章前言最优化理论是一门涵盖多个学科的学科，涉及的领域有计算机科学、数学、工程学等等。
最优化理论的核心目标是寻求一个最好的解决方案，在机械设计领域中的应用也非常广泛。
本文将详细探讨最优化理论在机械设计领域中的应用。
第二章最优化理论的基础知识最优化理论有很多不同的分支，例如线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
在机械设计领域中，最常用的是非线性规划。
非线性规划是指目标函数和约束都是非线性的情况下的最优化问题。
最优化理论的核心思想是将问题转化为数学模型，通过求解该模型得到最优解。
解决非线性规划问题的一种常用方法是使用数值优化算法。
这些算法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和遗传算法等。
第三章机械设计中的最优化应用最优化理论在机械设计领域中的应用主要有以下三个方面：1. 结构优化设计结构优化设计是指通过优化机械结构设计的各项参数，以达到某些性能指标的最优化。
在结构优化设计中，最常用的方法是拟牛顿法。
拟牛顿法可以在实现收敛速度快的同时，还可以在迭代过程中估计目标函数的一阶和二阶偏导数，从而提高算法的收敛速度。
2. 工艺优化工艺优化是指对机械制造时的生产工艺进行优化设计，以提高机械部件的品质和生产效率。
在工艺优化中，最常用的算法是遗传算法。
遗传算法可以模拟进化的过程，通过"基因"的传递和变异，不断地产生更好的解决方案。
3. 参数优化参数优化是指通过对机械部件设计中的各项参数进行优化，以达到一定的性能指标。
在参数优化中，最常用的算法是基于响应面法的参数优化。
响应面法通过设计一定的实验方案，建立起机械部件参数与目标函数之间的数学模型，通过数学模型来优化机械部件参数。
第四章实例分析以调速机械为例，使用最优化理论中的拟牛顿法进行结构优化设计。
经过多次迭代，得到了最优解。
再以同样的调速机械为例，采用遗传算法进行工艺优化。
通过遗传算法的迭代优化，不断优化各项参数，最终得到了最优解。
最优化基础理论与方法第二版答案
1.什么是最优化？
答：最优化是指从其中一种分析角度，通过确定目标，对已知的约束
条件，有效地分配资源，及早达到最优状态。
2.什么是约束条件？
答：约束条件是指有其中一种特定要求，必须满足一定的范围，方可
实现目标。
3.什么是对偶最佳化？
答：对偶最优化是指通过构建一个对偶函数来求解最优化问题的方法。
4.什么是凸优化？
答：凸优化是指求解连续函数的最优解时，对可行解所表示的约束集
合是一个凸集的一种最优化方法。
5.什么是线性规划？
答：线性规划是指求解一个或多个变量与多个约束条件之间关系的一
种规划方法，其中的目标函数及约束条件均可以用线性表达式表示。
6.什么是随机最优化？
答：随机最优化是指利用随机数学方法求解类优化问题的方法，因为
其优化问题的特殊性，通常不是算法专家所专注的领域。
7.什么是梯度优化？
答：梯度优化是一种利用梯度的方法来最优解的过程。
8.什么是动态规划？
答：动态规划是一种求解最优化问题的一种数学方法，它利用组合优选的思想，把复杂的最优化问题化解为若干子问题，优化问题的一个子问题里面包含优化问题的最优解。
9.什么是最优化算法？。
最优化理论与方法最优化理论与方法是数学和工程领域中的一个重要分支，它致力于寻找最优解或者最优方案。
在现实生活和工程实践中，我们经常会遇到各种各样的问题，比如资源分配、成本最小化、效率最大化等等，这些问题都可以通过最优化理论与方法来解决。
最优化理论与方法的研究对象包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、凸优化等等。
其中，线性规划是最优化理论与方法中的一个重要分支，它的目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
非线性规划则是研究非线性函数的最优化问题，它的解决方法通常包括梯度下降法、牛顿法等。
整数规划则是在决策变量为整数的情况下进行优化，这在许多实际问题中都有应用。
动态规划是一种解决多阶段决策过程的最优化方法，它将原始问题分解为若干个子问题，通过递推的方式求解最优解。
凸优化则是研究凸函数的最优化问题，它在机器学习、信号处理等领域有着广泛的应用。
最优化理论与方法在工程实践中有着广泛的应用。
比如，在生产调度中，我们可以利用最优化方法来安排生产计划，使得生产效率最大化；在交通规划中，最优化方法可以帮助我们设计最短路径、最少换乘的交通线路；在金融领域，最优化方法可以用来进行投资组合优化，寻找最优的投资方案。
除了在工程实践中的应用，最优化理论与方法也在科学研究中有着重要的地位。
比如，在物理学中，最优化方法可以用来求解能量最小化、路径最短等问题；在生物学中，最优化方法可以用来研究生物体的最优生长方式、最优繁殖策略等等。
总之，最优化理论与方法是一个非常重要的研究领域，它不仅在工程实践中有着广泛的应用，也在科学研究中发挥着重要作用。
随着计算机技术的发展，最优化方法的应用范围将会越来越广，对于解决现实生活中的各种问题将会起到越来越重要的作用。
希望通过对最优化理论与方法的研究，能够为人类社会的发展做出更大的贡献。
数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。
2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。
最优化理论与方法最优化理论和方法是现代科学发展的一项重要的研究方向，它涉及的领域涵盖了线性代数，非线性函数论，拓扑学，数值分析，概率论，运筹学等多种学科。
它以寻求解决问题的最优解为目标，因而被称为最优化理论。
最优化理论的研究可以从几个不同的角度来考虑。
一方面，最优化理论可以将一般的数学问题转化为特定的极值问题，从而求得最优解。
此外，最优化理论也可以探索系统的最优结构，检查最优结果的有效性以及提出有效的实现方法。
在这一领域内，科学家们已经发展了多种最优化理论，这些理论可以用来解决不同种类的问题，如线性规划，非线性规划，动态规划，优先级规划，随机规划等。
此外，为了求解特殊类型的最优化问题，还有一些非标准的最优化理论和对应的方法，如贝叶斯最优化，过滤器最优化，神经网络最优化，模糊最优化，遗传算法最优化等。
最优化理论与方法在许多应用领域中都有广泛的应用，其中最突出的应用例子是制造领域。
例如，在这一领域中，工程师可以利用最优化理论来设计具有最低成本的生产系统，以及提高设备的操作效率和生产质量。
此外，机器学习也会结合最优化理论和方法，帮助企业发现有用的差异，分析和预测数据，进而改善企业的运营状况和竞争力。
最优化理论的发展与实践也受到了计算资源的限制，因此，在将最优化理论应用于实际应用时，需要考虑计算机资源和时间，以及对最优化问题的近似方法。
虽然最优化理论并不能解决所有问题，但它能够有效地帮助我们理解和解决问题。
最优化理论的应用范围非常广泛，因此，研究者们需要一种综合的研究方法来深入和深化最优化理论，从而拓展其应用范围，并帮助企业和社会更好地实现可持续发展。
总之，最优化理论与方法是一门复杂而又广泛的学科，它既涉及理论研究，又涉及实际应用，令人分不清哪是理论，哪是应用。
它的有效运用，为实现社会可持续发展，提供了重要的参考。
最优化基础理论与⽅法分析⽬录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解⽅法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解⽅法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究⽅向 (3)2.2⾮线性规划求解 (4)2.2.1⼀维搜索 (4)2.2.2⽆约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5⼆次规划 (5)2.2.6⾮线性规划算法未来研究⽅向 (5)2.3组合规划求解⽅法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 ⽹络流规划 (7)2.4多⽬标规划求解⽅法 (7)2.4.1 基于⼀个单⽬标问题的⽅法 (7)2.4.2 基于多个单⽬标问题的⽅法 (8)2.4.3多⽬标规划未来的研究⽅向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究⽅向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平⾯算法 (9)2.6.2 凹性割⽅法 (9)2.6.3 分⽀定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究⽅向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电⼒系统中的应⽤及发展趋势 (12)3.1 电⼒系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电⼒系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电⼒系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解⽅法最优化⽅法是近⼏⼗年形成的，它主要运⽤数学⽅法研究各种优化问题的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化⽅法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其⽣产经营活动。
最优化⽅法的⽬的在于针对所研究的系统，求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案，发挥和提⾼系统的效能及效益，最终达到系统的最优⽬标。
最优化理论与方法最优化是指从数量上的角度，以尽量减少成本或增加收益为目标，按照科学的方法和原则，系统地求解给定条件下最好的决策。
其中最优化理论和最优化方法是实现最优化的根本。
1、最优化理论最优化理论是一门广泛的理论，包括最优化的基本原理、最优化目标的定义、最优化参数的表示、最优化的数值模型以及求解最优化模型的方法。
（1）最优化的基本原理：最优化就是找出满足限制条件下最好的解决问题的方法，它是实现经济效益最大化的手段。
因此，最优化的基本原理是：在给定的约束条件下，优化给定的目标函数，寻求其最优解。
（2）最优化目标的定义：最优化目标指的是用以表示被优化的性能的函数，有时只是一个函数，有时可以是多个组合的函数。
例如，机器学习中的损失函数；优化调度中的时间耗费或成本函数等。
（3）最优化参数的表示：最优化参数用于描述优化过程中的自由参数。
它们是寻求最优解的主角，可以有数量上的约束，也可以没有约束。
（4）最优化的数值模型：最优化的数值模型是特定场合下，根据实际问题和最优化原理，把目标函数和约束条件表示为数学模型的过程。
（5）求解最优化模型的方法：求解最优化模型的方法指的是对特定最优化模型求解最优解的方法，主要有迭代法、梯度下降法、拟牛顿法、单纯形法及类比应用等。
2、最优化方法最优化方法是指用数学方法、统计方法、计算机技术等实际工具，在满足给定条件的情况下，尽可能求得最优解的技术，它是实现最优化的有效手段。
常用的最优化方法有线性规划、非线性规划、动态规划、博弈论、贪心法等。
（1）线性规划：线性规划是指在一系列约束条件下，优化一系列线性函数的方法。
它的目标是找到一个可行的决策，使目标函数达到最优值，要求目标函数和约束条件都是线性的。
（2）非线性规划：非线性规划是指在一系列非线性约束条件下，优化非线性函数的方法。
它的特点是目标函数和约束条件可以是非线性的，可以通过分析非线性函数的定义域和最优解，找到最优化解。
（3）动态规划：动态规划是指在一系列约束条件下，优化某一函数的最优解的过程，其特点是无论多少步，最优解都是一致的，具有很强的计算和递推性。
教学最优化理论尤里·康斯坦丁诺夫·巴班斯基1927--1987是原苏联教育科学院副院长、院土,着名教育家、教学论专家;教学教育过程最优化理论是巴班斯基教育活动、教育思想和成就的集中代表;一、教学最优化的基本准则;所谓"最优化"是指在现有的条件下,根据当时的实际可能性,按照一定的准则来衡量是最好的;"最优的组织教学过程,应当是各个班级的每个学生在掌握教学内容方面,达到他当时实际可能达到的最高水平;同时在可能的范围内,提高他的教育水平和发展水平;"因此,教学过程最优化的两个基本准则是：1每个学生在教养、教育和发展三方面都达到他该期内可能达到的水平；2每个学生和教师都遵守归规定的课堂教学和家庭作业的时数;二、教授最优化的八个方法;巴班斯基指出,教学最优化要求教师教的最优化和学生学的最优化,前者更为迫切和重要,具体方法：1综合规划和具体确定学生的教养、教育和发展任务；2使教学内容符合教学任务,把注意力集中到主要东西上；3选择最适当的课堂教学结构,即提问→学习新知→练习→巩固→家庭作业→小结的顺序；4选择最合理的教学方法及手段,其中包括口述法、直观法、实践法、复现法、探索法、独立工作法、激励学生积极性的方法、检查和自我检查的方法；5对学生采取区别对待的方法,采取全班形式,小组形式和个别形式；6为教学创造良好的条件；7选择最优的教学速度,节省教师和学生的时间；8按最优的准则分析教学效果和师生的时间用量;三、选择最优化的教学方法;巴班斯基将教学方法分为三大类：1组织学习的认知活动的方法；2激励学习的认知活动的方法3检查学习的认知活动的方法;教师必须根据教学内容、任务、目的及学生的特点、本人的特长以及现有的教学条件来选择教学方法,对教学方法进行最优化的组合;四、消除学生负担过重的途径;在这巴班斯基提出了学生学业负担过重的问题,对学生的学习负担过重进行了界定,分析了学习负担过重的原因;他认为,学生的实际学习能力就是他的心理、生理和精神潜力的总和,学习超过了这个总和就是学习负担过重;学习负担过重与教学内容有直接联系,应区分教学内容的深度和难度;巴班斯基强调,教学最优化的基本内容之一就是学生的学习负担的最优化;学生学习负担最优化有赖于课堂教学方法各个成分的完善;因此,不管是拟定授课计划,还是安排提问和讲授新课的时间,以及进行课堂教学,教师都应把重点放在讲授新教材上;选择最优的教学结构,最优的教学内容、形式和方法,对消除学生家庭作业负担过重现象也有直接的关系,因为最优化本身正是为了节省学生的时间,并把它作为最重要的准则之一;尤其要强调指出,语文、数学、物理等科优选必要数量的练习,对形成学生必要的技能技巧具有重大意义;教学的技巧就在于通过一、二道练习,向学生指出解决该类习题的一般方法,并教会他们解决类似性质的其他习题的特殊算法;消除学生学习负担过重问题,同在课堂教学中采用培养学生对学科的兴趣的方法,有着最直接的联系;解决好这个问题,将有助于消除一部分学生学习负担过重的现象：做作业的时间一样,但疲劳可以减轻,因为,有兴趣地做一项工作,所耗精力要少得多;消除学生学习负担过重的具体措施包括：使课堂教学各个成分不断完善；选择最优化的教学结构、教学内容、形式和方法；为学生的学习活动创造最优化的条件；促进学生的学习活动的合理化;教学教育过程最优化理论巴班斯基教学教育过程最优化的理论主要包括以下6个方面：I 教学教育过程最优化的概念；2教学教育过程最优化的理论基础；3教学教育过程最优化的原则；4实施教学教育过程最优化的程序；5预防和克服学生成绩不良而采取的最优化措施；6对优秀学生实施教学教育过程最优化的途径;该理论对原苏联教育界有很大的影响,对中国甚至对世界教学论的发展也有一定的贡献;教学教育过程最优化理论为什么会受到如此重视和产生这么大的影响原因是多方面的,但归纳起来,主要是因为它具有以下特点：第一,创造性;主要表现在：1它引入了许多新的概念,革新了教学论范畴,打破了传统教学论独树一帜的局面;2它采用了唯物辩证法与系统科学相结合的研究方法;方法论的突破,往往是学科发展的关键;由于他采用了哲学社会科学与自然科学相结合的研究方法,为教学教育过程最优化的研究奠定了坚实的方法论基础．构建了崭新的原则体系和方法体系,使该成果处处闪耀着创造性的光辉;3它要求教师创造性地运用最优化理论,要根据学生的学习实际可能性、教师的具体情况和教学的条件、环境等灵活运用;第二,科学性;主要表现在：1该理论具有坚实的科学理论基础;2最优化概念反映了人类实践活动中的一种普遍现象,即在一定的社会经济条件和人力、物力及时间与精神因素的约束下,人们总希望自己的工作效果能达到最好;3重视教学教育规律的探讨和揭示;第三,完整性;主要表现在：1教育思想的系统性;2强调教导过程中的教学过程和教育过程的完整性和教学过程中教养职能、教育职能和发展职能的统一性;3强调教学过程中的教师的教授过程与学生的学习过程的统一性;第四,实用性;主要表现在：1最优化理论是苏联顿河--罗斯托夫地区教学教育工作先进经验的总结,是经过学校教学教育实验验证的成功理论;它符合人类认识的一般规律,即"实践--认识--再实践-再认识";因此,它具有普遍的实用性;2它提出的最优化的标准,不仅有助于教师论证自己选择该条件下综合运用各种教学形式和方法、各种课堂教学结构等的最好方案,而且能够为教学教育结构的评价提供客观标准,使教学教育过程形成了一个有闭合回路的系统,可以实行有效地控制,3它提供了实施教学教育过程最优化的程序,可以预防和克服学生因成绩不良而出现的弊端,对优秀生实施教学教育过程提供了最优化的途径,使该理论具有可操作性,为理论与实践的结合创造了条件;。
最优化理论与应用第讲共轭梯度法第7讲-共轭梯度法电子科技大学自动化工程学院彭晓明1线性共轭梯度法非线性共轭梯度法2线性共轭梯度法非线性共轭梯度法3z是一种替代高斯消去法求解线性方程组的方法z适合大规模线性方程组z问题：求解问题求解Ax b，Ax=b其中，A是一个n阶对称正定矩阵4z注意：线性问题Ax=b的解与下面的凸二次函数的极小解是等价的¾这使得我们可以将线性问题的求解与凸二次函数的最小化问题联系起来5z同时可以注意到¾即二次函数(x)的梯度等于线次数性方程组Ax=b的残差(residual)z定义6z定义1如果满足以下条件：{p0,p1,p2,…,p l}与对称正定矩阵A p p p形成共轭。
¾重要性质：共轭向量p 0,p1,p2,…,p l 之间线性无关7z 共轭方向（conjugate direction ）j g 法算法描述：给定初始点x0和共{按下面轭方向{p 0,p 1,p 2,…,p n-1}，按下面步骤生成迭代解序列{x k}从x k 出发，沿着p k 方向搜索(x)的极小值得到8的步长z由于我们有有9z可以证明(Nocedal, p.103)，最多(p)经过n次迭代，得到的xk 收敛于A b *Ax=b的解x*z 共轭方向法的工作过程可以用下面的图来形象描述10z共轭方向法工作过程(二维情况)(x)的等值线；Ԅ()的等值线当矩阵A是一个对角矩阵时由对角矩阵时，由Ԅ(x)的等值线形成的椭圆的轴与坐标轴相平行，共轭方向与坐标轴方向一致，一轴方向致次迭代刚好解决x的个分量x*的一个分量11z共轭方向法工作过程(二维情况)当矩阵A不是一个对角矩阵时由对角矩阵时，由(x)的等值线形成的椭圆的轴与标的椭圆的轴与坐标轴不平行，共轭方向与坐标轴方向不向与标轴方向不一致，再沿着坐标轴方向搜索时轴方向搜索时经过2次不能找到x*!12z 当矩阵A 不是一个对角矩阵时，可以用关于矩阵A 的共轭方向集1合{p 0,p 1,p 2,…,p n-1}构成的矩阵S 对x 进行变换得到一个新的变量1ˆ−=xS x然后定义关于新变量的优化问题13z 这时矩阵S T AS 是一个对角矩阵(h ?)(why?)(x)=(1/2)x Ax b 其中z 例1：T Ax-b T x ，其中04⎡⎤10.41,0.411⎡⎤==⎢⎥⎢⎥A b (x)x*⎣⎦⎣⎦的最小解x 对应的是线性方程组Ax=b 的解0.7143*⎡⎤x 140.7143=⎢⎥⎣⎦z 例1：选择起始点为x 0=[2, 4]T ，共轭梯度方向0707107071⎡[]01-0.70710.7071,0707107071⎤==S p p 0.70710.7071⎢⎥⎣⎦采用共轭方向法进行迭代：α=-1.4142 ,x =x +α*p =[3, 3]T 0100p 0[]α1= -3.2325 , x 2=x 1+α1*p 1=[0.7143,07143]T 0.7143]T 15z 例1：然后，我们用S 对x 进行变换得到个新的变量S 1现在得到一个新的变量y=S -1x ，现在0.600TT⎡⎤⎡⎤,0 1.4 1.4142new new ====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A S AS b S b 100 1.41420,*new −⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥x S x x 选择新的共轭方向4.2426 1.0101⎣⎦⎣⎦10⎡1 0,1⎤==S p p 16[]00 1⎢⎥⎣⎦z例1：采用共轭方向法进行迭代：α0=-1.4142 ,x1=x0+α0*p0=[0,4.2426]Tα1= -3.2325 , x2=x1+α1*p1=[0,=32325x =[01.0101]T ，把得到的x用S 变换得到]2原问题的解为x*=Sx217如何选择共轭方向z 选择{p 0,p 1,p 2,…,p n-1} 为矩阵A 的特征向量（计算代价高）Gram Schmidt process z 通过以下的Gram–Schmidt process ¾假设对于任意的由线性无关的向量集合{v,v 1,v 2,…,v n-1}18z 定理1出发由共轭方向从任意起始点x 0出发，由共轭方向法生成的序列{x k }有以下性质：(1) (2) x是(x)=(1/2)x T Ax-b T x的极小()k ()()解，其中19z 共轭梯度(conjugate gradient)法是特殊的共轭方向法时只需要用到¾在计算共轭向量p k 时，只需要用到共轭向量k -1p k1残差或β的目的是使得20(x)的梯度k 目是使得p k-1和p k 关于A 共轭T ¾将上式两边左乘p k-1A 并利用k-1T A p =0可以得到p k 1pk 21z共轭梯度法基本形式选初始p择最速下降方向共轭方向法22z定理2在共轭梯度法的基本形式中，如果在共轭梯度法的基本形式中如果在第k步迭代时得到的x k≠x，则以x*下性质成立(1)()(2)z与共轭方向法一样，共轭梯度法最多步收敛到多经过n步可以收敛到x*23z有意思的是：共轭梯度法中的梯度{{r0,r1,r2,…,r n-1}之间其实是相互垂直的，而真正共轭的是搜索方向{p0,p1,p2,…,p n-1} ，因此所谓“共轭梯度”的说法其实并不准确梯度实并准确z 共轭梯度法的实用形式¾由定理1中和算法5.1中我们有其实是要证明T =-r T 25r k r k r k p kz 共轭梯度法的实用形式¾又由我们有26z 共轭梯度法的实用形式算¾利用新的αk 和βk+1取代算法5.1中的对应项得到共轭梯度法的实用形式27z 共轭梯度法的实用形式28z可以证明(Nocedal, p.115)，如果A 有r个不同的特征值，则算法5.2最个不同的特征值则算法52多经过r步收敛到xx*29共轭梯度法收敛速度z 对于向量z ，定义如下的范数2T =z z AzAx b x我们有A¾对于(x)=(1/2)x TAx-b T x，我们有30z定义矩阵A的条件数(condition number)κ(A)如下b)κ(A) (A的最大特征值)/ (A的最小(A)=(A)/(A特征值)z可以证明(Nocedal, p.117)31z结合()¾说明κ(A) 越小，算法收敛得越快32z前面得出：κ(A) 越小，算法收敛得越快¾能否修改矩阵A从而减小κ(A)？¾办法：对原变量x左乘个非奇异左乘一个非奇异矩阵C从而将(x)=(1/2)x T Ax-b T x 转化为Ax b x33¾办法：从而得到对应的线性方程组为如果κ(C-T AC-1)<κ(A)，则达到了我们的目的。
们的目的¾在实际使用时并不需要显式地计算C，而是在算法5.2中引入一个矩阵M=C T C（称为preconditioner）34要内容提要线性共轭梯度法非线性共轭梯度法35非线性共轭梯度法z前面学习的线性共轭梯度法的目的是求解特殊的凸函数---二次函数是求解特殊的凸函数二次函数，那么能否将其扩展用于解决般，那么能否将其扩展用于解决一般的凸函数甚至是非线性函数？z下面学习几种用于此目的的非线性共轭梯度法36z 算法描述（简称FR算法）用线搜索得到的αk代替了线性共轭梯度法中的αk用函数的梯度代替了线性共轭梯度法中的r kkf ∇¾只用到函数值和梯度值37z FR算法中的一个潜在的问题:怎么保证其中的是一个下降方向呢？¾只要做到算法中的步长αk满足强W lfWolfe条件即可（不过要注意0c1c21/2）0<c<<1/238z 与FR 方法的主要区别是选择参数β的方式不同Polak Ribiere z Polak-Ribiere 方法(PR 方法)该方个满¾该方法的一个问题是满足强Wolfe 条件（0<c 1<c 2<1/2）的步长αk 也不能保证其中的是一个下降方向p k+139z Polak-Ribiere方法的修正(PR+方法)z FR PR方法FR-PR40谢谢大家41。
