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列车运行调整的优化问题最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。
最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。
最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。
实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。
本文主要论述最优化理论在列车运行调整中的应用。
1、列车运行调整的概述列车自动调整的主要任务是当列车运行受到干扰时通过适当地调整列车的运行计划，使列车群的运行尽快恢复到计划运行图上。
因而列车自动调整过程是一个不断对列车运行图进行局部调整以消除干扰的优化过程，列车运行图既是列车自动调整的依据，同时也是列车自动调整的目标。
列车运行调整即是当列车运行实际状态偏离预定值，造成列车运行紊乱时，通过重新规划列车运行时刻表，尽可能恢复列车有秩序运行状态的过程。
列车的运行过程可以分解为车站作业(发车、到达、通过)和区间运行。
通常列车群在区间的运行用区间运行时分描述即可，在区间对列车进行调整的常用手段就是压缩区间运行时分，而区间运行时分这一信息只影响列车在下一站的到达时分，可归结到车站去处理。
因此列车自动调整的重点是控制列车在车站的作业情况，即在城市交通列车群的相对确定的次序条件下，在多个约束条件下如何合理确定列车在各站的到点、发点。
1.1 列车运行调整本身具有的特点：●约束条件众多。
它要满足列车与列车，列车与车站，计划列车时刻表等来自多方面的约束，这其中包括了最小停站时间，最短追踪间隔，最短运行时间等等；●优化指标众多。
在传统的运行调整问题的研究中常用到的优化指标有总到达时间晚点最小，总晚点列车数目最少等；●动态性、实时性，复杂性。
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
数学中的优化理论与最优化方法数学中的优化理论与最优化方法是研究如何找到一个函数的最优解的数学分支。
它在各个领域中都有广泛的应用，如经济学、管理学、工程学等。
本文将介绍优化理论的基本概念和最优化方法的主要类型。
一、优化理论的基本概念1.1 目标函数目标函数是优化问题中的核心概念，它描述了需要优化的量。
例如，在生产计划中，我们可以用目标函数表示利润的最大化或成本的最小化。
数学上，目标函数通常是一个多元函数，输入是决策变量，输出是一个标量。
1.2 约束条件约束条件是对决策变量的附加限制。
在实际问题中，常常存在一些限制条件，如资源的有限性、技术限制等。
这些约束条件用一些等式或不等式来表示，并对决策变量产生限制。
1.3 最优解优化问题的最优解是指能够使目标函数达到最大或最小值的决策变量取值。
根据问题的特点，最优解可能存在于一些离散点或连续域中。
为了找到最优解，我们需要建立数学模型，并应用相应的最优化方法进行求解。
二、最优化方法的主要类型2.1 无约束优化方法无约束优化方法是指在没有任何约束条件下，仅需优化目标函数的最大或最小值。
其中，最简单的方法是使用微积分中的极值判断法，通过求目标函数导数为零的点来得到最优解。
当目标函数是凸函数时，最优解可通过求解一阶导数为零的方程组得到。
2.2 约束优化方法约束优化方法是用于求解带有约束条件的优化问题的方法。
其中，最常用的方法是拉格朗日乘子法。
该方法将约束条件引入到目标函数中，构建一个拉格朗日函数，并通过求解拉格朗日函数的极值来得到最优解。
此外，还有内点法、外点法等方法可以有效处理约束优化问题。
2.3 数值优化方法数值优化方法是使用计算机进行优化求解的方法。
在实际问题中，往往需要处理大规模的优化问题，无法通过解析方法求解。
数值优化方法通过迭代的方式，逐步逼近最优解。
常用的数值优化方法有梯度下降法、拟牛顿法等。
2.4 离散优化方法离散优化方法是用于求解离散变量的优化问题的方法。
最优化理论教案简介：最优化理论是数学分析的一个重要领域，涉及如何找到函数的最佳解的方法。
本教案主要针对高中数学课程，旨在帮助学生理解最优化理论的概念和应用。
通过此教案，学生将学会使用最优化理论解决实际问题，并能够运用相关知识进行分析和解释。
教学目标：1. 了解最优化理论的基本概念和原理；2. 掌握最优化问题的求解方法；3. 运用最优化理论解决实际问题；4. 培养学生的创造思维和解决问题的能力。
教学内容：1. 最优化问题的引入和基本概念的介绍；2. 最优化理论的基本原理和数学模型；3. 最优化问题的求解方法：拉格朗日乘子法、梯度下降法等；4. 实际问题的最优化建模和求解方法。
教学步骤：Step 1: 引入最优化问题（引导学生思考）通过一个生活实例，例如购买商品时如何选择最佳的组合，引出最优化问题的概念。
让学生讨论在有限预算下，如何选择商品来满足最大化满意度的需求。
Step 2: 讲解最优化理论的基本概念介绍最优化问题的定义和基本概念，如目标函数、约束条件、最优解等。
通过图表和实例演示，帮助学生理解这些概念。
Step 3: 阐述最优化理论的基本原理和数学模型讲解最优化理论的核心原理，例如最小值和最大值的判定条件，一阶和二阶导数的应用等。
同时，引入约束条件下的最优化问题，介绍拉格朗日乘子法的基本思想和应用。
Step 4: 介绍最优化问题的求解方法详细讲解拉格朗日乘子法和梯度下降法的步骤和计算方法。
通过具体的案例，演示如何应用这些方法来求解最优化问题。
Step 5: 分组讨论和应用将学生分为小组，给予一些实际问题，要求他们运用最优化理论来建模和求解。
鼓励学生发散思维，提出不同的解决方案，并进行讨论和比较。
Step 6: 总结和应用拓展让学生总结所学的最优化理论知识，并鼓励他们在其他实际问题中应用和拓展所学内容。
通过实例的讲解或指导，帮助学生加深对最优化理论的理解和运用。
教学评估：1. 提供练习题，让学生运用所学的最优化理论解决问题；2. 设计小组讨论环节，考察学生对最优化理论的理解和应用；3. 对学生的课堂参与度和思维发散能力进行评估。
最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法习题答案最优化理论与算法是应用数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，找到一个使目标函数取得最优值的解。
在实际应用中，最优化问题广泛存在于各个领域，如经济学、管理学、物理学等。
本文将回答一些与最优化理论与算法相关的习题，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
1. 什么是最优化问题？最优化问题是指在给定的约束条件下，寻找一个使目标函数取得最优值的解。
其中，目标函数是需要最大化或最小化的函数，约束条件是对解的限制条件。
最优化问题可以分为无约束最优化和有约束最优化两种情况。
2. 什么是凸优化问题？凸优化问题是指目标函数和约束条件均为凸函数的最优化问题。
凸函数具有良好的性质，例如局部最小值即为全局最小值，因此凸优化问题的求解相对容易。
常见的凸优化问题有线性规划、二次规划等。
3. 什么是拉格朗日乘子法？拉格朗日乘子法是一种求解有约束最优化问题的方法。
它通过引入拉格朗日乘子，将有约束最优化问题转化为无约束最优化问题。
具体地，对于一个有约束最优化问题，我们可以构造拉格朗日函数，然后通过求解无约束最优化问题来获得原问题的解。
4. 什么是线性规划？线性规划是一种特殊的最优化问题，其中目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划在实际应用中非常广泛，例如在生产计划、资源分配等方面都有重要的应用。
线性规划可以使用单纯形法等算法进行求解。
5. 什么是整数规划？整数规划是一种最优化问题，其中变量需要取整数值。
与线性规划相比，整数规划的求解更加困难，因为整数约束条件使得问题的解空间变得离散。
常见的整数规划问题有旅行商问题、装箱问题等。
6. 什么是非线性规划？非线性规划是一种最优化问题，其中目标函数或约束条件为非线性函数。
非线性规划的求解相对复杂，通常需要使用迭代算法进行求解，例如牛顿法、拟牛顿法等。
非线性规划在实际应用中非常广泛，例如在经济学、工程学等领域都有重要的应用。
7. 什么是梯度下降法？梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束最优化问题。
最优化理论在机械设计领域中的应用第一章前言最优化理论是一门涵盖多个学科的学科，涉及的领域有计算机科学、数学、工程学等等。
最优化理论的核心目标是寻求一个最好的解决方案，在机械设计领域中的应用也非常广泛。
本文将详细探讨最优化理论在机械设计领域中的应用。
第二章最优化理论的基础知识最优化理论有很多不同的分支，例如线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
在机械设计领域中，最常用的是非线性规划。
非线性规划是指目标函数和约束都是非线性的情况下的最优化问题。
最优化理论的核心思想是将问题转化为数学模型，通过求解该模型得到最优解。
解决非线性规划问题的一种常用方法是使用数值优化算法。
这些算法包括牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法和遗传算法等。
第三章机械设计中的最优化应用最优化理论在机械设计领域中的应用主要有以下三个方面：1. 结构优化设计结构优化设计是指通过优化机械结构设计的各项参数，以达到某些性能指标的最优化。
在结构优化设计中，最常用的方法是拟牛顿法。
拟牛顿法可以在实现收敛速度快的同时，还可以在迭代过程中估计目标函数的一阶和二阶偏导数，从而提高算法的收敛速度。
2. 工艺优化工艺优化是指对机械制造时的生产工艺进行优化设计，以提高机械部件的品质和生产效率。
在工艺优化中，最常用的算法是遗传算法。
遗传算法可以模拟进化的过程，通过"基因"的传递和变异，不断地产生更好的解决方案。
3. 参数优化参数优化是指通过对机械部件设计中的各项参数进行优化，以达到一定的性能指标。
在参数优化中，最常用的算法是基于响应面法的参数优化。
响应面法通过设计一定的实验方案，建立起机械部件参数与目标函数之间的数学模型，通过数学模型来优化机械部件参数。
第四章实例分析以调速机械为例，使用最优化理论中的拟牛顿法进行结构优化设计。
经过多次迭代，得到了最优解。
再以同样的调速机械为例，采用遗传算法进行工艺优化。
通过遗传算法的迭代优化，不断优化各项参数，最终得到了最优解。
最优化基础理论与方法第二版答案
1.什么是最优化？
答：最优化是指从其中一种分析角度，通过确定目标，对已知的约束
条件，有效地分配资源，及早达到最优状态。
2.什么是约束条件？
答：约束条件是指有其中一种特定要求，必须满足一定的范围，方可
实现目标。
3.什么是对偶最佳化？
答：对偶最优化是指通过构建一个对偶函数来求解最优化问题的方法。
4.什么是凸优化？
答：凸优化是指求解连续函数的最优解时，对可行解所表示的约束集
合是一个凸集的一种最优化方法。
5.什么是线性规划？
答：线性规划是指求解一个或多个变量与多个约束条件之间关系的一
种规划方法，其中的目标函数及约束条件均可以用线性表达式表示。
6.什么是随机最优化？
答：随机最优化是指利用随机数学方法求解类优化问题的方法，因为
其优化问题的特殊性，通常不是算法专家所专注的领域。
7.什么是梯度优化？
答：梯度优化是一种利用梯度的方法来最优解的过程。
8.什么是动态规划？
答：动态规划是一种求解最优化问题的一种数学方法，它利用组合优选的思想，把复杂的最优化问题化解为若干子问题，优化问题的一个子问题里面包含优化问题的最优解。
9.什么是最优化算法？。
最优化理论与应用第讲共轭梯度法第7讲-共轭梯度法电子科技大学自动化工程学院彭晓明1线性共轭梯度法非线性共轭梯度法2线性共轭梯度法非线性共轭梯度法3z是一种替代高斯消去法求解线性方程组的方法z适合大规模线性方程组z问题：求解问题求解Ax b，Ax=b其中，A是一个n阶对称正定矩阵4z注意：线性问题Ax=b的解与下面的凸二次函数的极小解是等价的¾这使得我们可以将线性问题的求解与凸二次函数的最小化问题联系起来5z同时可以注意到¾即二次函数(x)的梯度等于线次数性方程组Ax=b的残差(residual)z定义6z定义1如果满足以下条件：{p0,p1,p2,…,p l}与对称正定矩阵A p p p形成共轭。
¾重要性质：共轭向量p 0,p1,p2,…,p l 之间线性无关7z 共轭方向（conjugate direction ）j g 法算法描述：给定初始点x0和共{按下面轭方向{p 0,p 1,p 2,…,p n-1}，按下面步骤生成迭代解序列{x k}从x k 出发，沿着p k 方向搜索(x)的极小值得到8的步长z由于我们有有9z可以证明(Nocedal, p.103)，最多(p)经过n次迭代，得到的xk 收敛于A b *Ax=b的解x*z 共轭方向法的工作过程可以用下面的图来形象描述10z共轭方向法工作过程(二维情况)(x)的等值线；Ԅ()的等值线当矩阵A是一个对角矩阵时由对角矩阵时，由Ԅ(x)的等值线形成的椭圆的轴与坐标轴相平行，共轭方向与坐标轴方向一致，一轴方向致次迭代刚好解决x的个分量x*的一个分量11z共轭方向法工作过程(二维情况)当矩阵A不是一个对角矩阵时由对角矩阵时，由(x)的等值线形成的椭圆的轴与标的椭圆的轴与坐标轴不平行，共轭方向与坐标轴方向不向与标轴方向不一致，再沿着坐标轴方向搜索时轴方向搜索时经过2次不能找到x*!12z 当矩阵A 不是一个对角矩阵时，可以用关于矩阵A 的共轭方向集1合{p 0,p 1,p 2,…,p n-1}构成的矩阵S 对x 进行变换得到一个新的变量1ˆ−=xS x然后定义关于新变量的优化问题13z 这时矩阵S T AS 是一个对角矩阵(h ?)(why?)(x)=(1/2)x Ax b 其中z 例1：T Ax-b T x ，其中04⎡⎤10.41,0.411⎡⎤==⎢⎥⎢⎥A b (x)x*⎣⎦⎣⎦的最小解x 对应的是线性方程组Ax=b 的解0.7143*⎡⎤x 140.7143=⎢⎥⎣⎦z 例1：选择起始点为x 0=[2, 4]T ，共轭梯度方向0707107071⎡[]01-0.70710.7071,0707107071⎤==S p p 0.70710.7071⎢⎥⎣⎦采用共轭方向法进行迭代：α=-1.4142 ,x =x +α*p =[3, 3]T 0100p 0[]α1= -3.2325 , x 2=x 1+α1*p 1=[0.7143,07143]T 0.7143]T 15z 例1：然后，我们用S 对x 进行变换得到个新的变量S 1现在得到一个新的变量y=S -1x ，现在0.600TT⎡⎤⎡⎤,0 1.4 1.4142new new ====⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A S AS b S b 100 1.41420,*new −⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥x S x x 选择新的共轭方向4.2426 1.0101⎣⎦⎣⎦10⎡1 0,1⎤==S p p 16[]00 1⎢⎥⎣⎦z例1：采用共轭方向法进行迭代：α0=-1.4142 ,x1=x0+α0*p0=[0,4.2426]Tα1= -3.2325 , x2=x1+α1*p1=[0,=32325x =[01.0101]T ，把得到的x用S 变换得到]2原问题的解为x*=Sx217如何选择共轭方向z 选择{p 0,p 1,p 2,…,p n-1} 为矩阵A 的特征向量（计算代价高）Gram Schmidt process z 通过以下的Gram–Schmidt process ¾假设对于任意的由线性无关的向量集合{v,v 1,v 2,…,v n-1}18z 定理1出发由共轭方向从任意起始点x 0出发，由共轭方向法生成的序列{x k }有以下性质：(1) (2) x是(x)=(1/2)x T Ax-b T x的极小()k ()()解，其中19z 共轭梯度(conjugate gradient)法是特殊的共轭方向法时只需要用到¾在计算共轭向量p k 时，只需要用到共轭向量k -1p k1残差或β的目的是使得20(x)的梯度k 目是使得p k-1和p k 关于A 共轭T ¾将上式两边左乘p k-1A 并利用k-1T A p =0可以得到p k 1pk 21z共轭梯度法基本形式选初始p择最速下降方向共轭方向法22z定理2在共轭梯度法的基本形式中，如果在共轭梯度法的基本形式中如果在第k步迭代时得到的x k≠x，则以x*下性质成立(1)()(2)z与共轭方向法一样，共轭梯度法最多步收敛到多经过n步可以收敛到x*23z有意思的是：共轭梯度法中的梯度{{r0,r1,r2,…,r n-1}之间其实是相互垂直的，而真正共轭的是搜索方向{p0,p1,p2,…,p n-1} ，因此所谓“共轭梯度”的说法其实并不准确梯度实并准确z 共轭梯度法的实用形式¾由定理1中和算法5.1中我们有其实是要证明T =-r T 25r k r k r k p kz 共轭梯度法的实用形式¾又由我们有26z 共轭梯度法的实用形式算¾利用新的αk 和βk+1取代算法5.1中的对应项得到共轭梯度法的实用形式27z 共轭梯度法的实用形式28z可以证明(Nocedal, p.115)，如果A 有r个不同的特征值，则算法5.2最个不同的特征值则算法52多经过r步收敛到xx*29共轭梯度法收敛速度z 对于向量z ，定义如下的范数2T =z z AzAx b x我们有A¾对于(x)=(1/2)x TAx-b T x，我们有30z定义矩阵A的条件数(condition number)κ(A)如下b)κ(A) (A的最大特征值)/ (A的最小(A)=(A)/(A特征值)z可以证明(Nocedal, p.117)31z结合()¾说明κ(A) 越小，算法收敛得越快32z前面得出：κ(A) 越小，算法收敛得越快¾能否修改矩阵A从而减小κ(A)？¾办法：对原变量x左乘个非奇异左乘一个非奇异矩阵C从而将(x)=(1/2)x T Ax-b T x 转化为Ax b x33¾办法：从而得到对应的线性方程组为如果κ(C-T AC-1)<κ(A)，则达到了我们的目的。
们的目的¾在实际使用时并不需要显式地计算C，而是在算法5.2中引入一个矩阵M=C T C（称为preconditioner）34要内容提要线性共轭梯度法非线性共轭梯度法35非线性共轭梯度法z前面学习的线性共轭梯度法的目的是求解特殊的凸函数---二次函数是求解特殊的凸函数二次函数，那么能否将其扩展用于解决般，那么能否将其扩展用于解决一般的凸函数甚至是非线性函数？z下面学习几种用于此目的的非线性共轭梯度法36z 算法描述（简称FR算法）用线搜索得到的αk代替了线性共轭梯度法中的αk用函数的梯度代替了线性共轭梯度法中的r kkf ∇¾只用到函数值和梯度值37z FR算法中的一个潜在的问题:怎么保证其中的是一个下降方向呢？¾只要做到算法中的步长αk满足强W lfWolfe条件即可（不过要注意0c1c21/2）0<c<<1/238z 与FR 方法的主要区别是选择参数β的方式不同Polak Ribiere z Polak-Ribiere 方法(PR 方法)该方个满¾该方法的一个问题是满足强Wolfe 条件（0<c 1<c 2<1/2）的步长αk 也不能保证其中的是一个下降方向p k+139z Polak-Ribiere方法的修正(PR+方法)z FR PR方法FR-PR40谢谢大家41。
