第二章 多元线性回归模型

§5.1 多元线性回归模型及其假设条件 1．多元线性回归模型 多元线性回归模型：εi pi p iiix b xb x b b y +++++= 2211，n i ,,2,1 =2．多元线性回归模型的方程组形式 3．多元线性回归模型的矩阵形式4．回归模型必须满足如下的假设条件：第一、有正确的期望函数。

即在线性回归模型中没有遗漏任何重要的解释变量，也没有包含任何多余的解释变量。

第二、被解释变量等于期望函数与随机干扰项之和。

第三、随机干扰项独立于期望函数。

即回归模型中的所有解释变量Xj与随机干扰项u 不相关。

第四、解释变量矩阵X 是非随机矩阵，且其秩为列满秩的，即：n k k X rank 〈=,)(。

式中k 是解释变量的个数，n 为观测次数。

第五、随机干扰项服从正态分布。

第六、随机干扰项的期望值为零。

()0=u E 第七、随机干扰项具有方差齐性。

()σσ22=u i（常数）第八、随机干扰项相互独立，即无序列相关。

()()u u u u jiji,cov ,=σ=0§5.2 多元回归模型参数的估计建立回归模型的基本任务是：求出参数bb b p,,,,1σ的估计值，并进行统计检验。

残差：yy e iiiˆ-=；残差平方和：Q=()∑-∑==y y e i i ni iˆ212矩阵求解：X=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x xxx x x x x x pn nnp p212221212111111，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=b b b b p B ˆˆˆˆ210ˆ ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-y y y y n n Y 121 ，()YB X X X ττ1ˆ-=1ˆ2--=p n Qσ要通过四个检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验。

§5.4 多元线性回归模型的检验一、R2检验1．R2检验定义R2检验又称复相关系数检验法。

是通过复相关系数检验一组自变量xx x m,,,21与因变量y 之间的线性相关程度的方法。

统计学第4章 多元线性回归模型第1节 多元线性回归模型概述（一）多元线性回归模型形式一般来说，我们研究的变量往往受多个因素的影响，如作物的收成会受气温，施肥量，降雨量等等的影响，对某中商品的消费需求会受该商品价格，收入，其他商品价格等的影响。

因此，我们要讨论一个变量对两个以上变量的统计依赖关系。

1）多元线性回归模型的一般表现形式：122i i k ik i Y X X βββε=++++，1,2,,i n =其中，k 为解释变量的数目，(1,2,,)j j k β= 习惯上，把常数项看成为取值恒为1的变量的系数，上述表达式也被称为总体回归函数的随机表达形式。

其非随机形式为：12122(,,,)i i ik i k ik E Y X X X X X βββ=+++表示各变量X 值固定时Y 的平均响应j β 也称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，j X 每变化一个单位时，Y 的均值()E Y 的变化。

或者说j β给出了j X 单位变化对Y 均值的“直接”或“净”（不含其它变量）影响。

总体线性回归模型n 个随机方程的矩阵表达式为：11212112122222122Y X ...k k k k n n k nk nX Y X X Y X X βββεβββεβββε=++++⎧⎪=++++⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩将此方程组写成矩阵形式：112131122223222231...1.................................1...k k n n n nk k n Y X X X Y XX X Y X X X βεβεβε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦简写为：11n n k n Y XB ε⨯⨯⨯=+2）样本回归函数及其矩阵表达用一定的方法对1β,2β,…,k β估计后，122ˆˆˆˆ...i i k ik Y X X βββ=+++ 残差：ˆi i iY Y e -= 样本回归方程的随机形式可表示为：122ˆˆˆ...i i k ik i Y X X e βββ=++++ 则其矩阵表达为：ˆˆYXB = 或ˆY XB e =+ 其中12ˆˆ.ˆ..ˆn Y Y YY ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 12ˆˆ.ˆ..ˆk B βββ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 12...n e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（二） 多元线性回归模型的基本假定 1. X 与Y 之间的关系是线性的121...i i k ik i Y X X βββε=++++, N i ,...,2,1= 即12(,,,)i i ik E Y X X X 是参数的线性函数。

多元线性回归模型多元线性回归模型是一种广泛应用于统计学和机器学习领域的预测模型。

它通过使用多个自变量来建立与因变量之间的线性关系，从而进行预测和分析。

在本文中，我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、应用场景以及建模过程。

【第一部分：多元线性回归模型的基本概念】多元线性回归模型是基于自变量与因变量之间的线性关系进行建模和预测的模型。

它假设自变量之间相互独立，并且与因变量之间存在线性关系。

多元线性回归模型的数学表达式如下：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。

回归系数表示自变量对因变量的影响程度，误差项表示模型无法解释的部分。

【第二部分：多元线性回归模型的应用场景】多元线性回归模型可以应用于各种预测和分析场景。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济学：多元线性回归模型可以用于预测GDP增长率、失业率等经济指标，揭示不同自变量对经济变量的影响。

2. 医学研究：多元线性回归模型可以用于预测患者的生存时间、治疗效果等医学相关指标，帮助医生做出决策。

3. 市场研究：多元线性回归模型可以用于预测产品销量、市场份额等市场相关指标，帮助企业制定营销策略。

4. 社会科学：多元线性回归模型可以用于研究教育水平对收入的影响、家庭背景对孩子成绩的影响等社会科学问题。

【第三部分：多元线性回归模型的建模过程】建立多元线性回归模型的过程包括以下几个步骤：1. 数据收集：收集自变量和因变量的数据，确保数据的准确性和完整性。

2. 数据清洗：处理缺失值、异常值和离群点，保证数据的可靠性和一致性。

3. 特征选择：根据自变量与因变量之间的相关性，选择最相关的自变量作为模型的输入特征。

4. 模型训练：使用收集到的数据，利用最小二乘法等统计方法估计回归系数。

5. 模型评估：使用误差指标（如均方误差、决定系数等）评估模型的拟合程度和预测性能。

第二章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型1、下列表达式中，哪些是正确的，哪些是错误的，为什么？⑴ n t X Y tt ,,2,1 =+=βα ⑵ n t X Y tt t ,,2,1 =++=μβα ⑶ n t X Y tt t ,,2,1ˆˆ =++=μβα ⑷ n t X Y tt t ,,2,1ˆˆˆ =++=μβα ⑸ n t X Y tt ,,2,1ˆˆ =+=βα ⑹ n t X Y tt ,,2,1ˆˆˆ =+=βα ⑺ n t X Y t tt ,,2,1ˆˆˆ =++=μβα ⑻ n t X Y t t t ,,2,1ˆˆˆˆ =++=μβα2、一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设的计量经济学模型是进行普通最小二乘估计吗？3、线性回归模型n i X Y ii i ,,2,1 =++=μβα 的零均值假设是否可以表示为011=∑=ni i n μ？为什么？4、假设已经得到关系式X Y 10ββ+=的最小二乘估计，试回答：（1）假设决定把变量X 的单位扩大10倍，这样做对回归模型的斜率和截距的估计会有什么样的影响？如果把变量Y 的单位扩大10倍，结果又会怎样？（2）假定给X 的每个观测值都增加2，对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果给Y 的每个观测值都增加2，又会怎样？5、假使在回归模型i i i X Y μββ++=10中，用不为零的常数δ去乘每一X 值，这会不会改变Y 的拟合值及残差？如果对每个X 都加大一个非零常数δ，又会怎样？6、假设有人做了如下的回归i i i x y μββ++=10其中，i i x y ,分别为i i X Y ,关于各自均值的离差。

求1β和0β的普通最小二乘估计？7、令YX βˆ和XYβˆ分别为Y 对X 回归和X 对Y 回归中的斜率（假设X 与Y 之间互为因果关系），证明2ˆˆr XYYX =ββ，其中r 为X 与Y 之相的样本相关系数。

多元线性回归模型引言：多元线性回归模型是一种常用的统计分析方法，用于确定多个自变量与一个连续型因变量之间的线性关系。

它是简单线性回归模型的扩展，可以更准确地预测因变量的值，并分析各个自变量对因变量的影响程度。

本文旨在介绍多元线性回归模型的原理、假设条件和应用。

一、多元线性回归模型的原理多元线性回归模型基于以下假设：1）自变量与因变量之间的关系是线性的；2）自变量之间相互独立；3）残差项服从正态分布。

多元线性回归模型的数学表达式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε其中，Y代表因变量，X1，X2，...，Xn代表自变量，β0，β1，β2，...，βn为待估计的回归系数，ε为随机误差项。

二、多元线性回归模型的估计方法为了确定回归系数的最佳估计值，常采用最小二乘法进行估计。

最小二乘法的原理是使残差平方和最小化，从而得到回归系数的估计值。

具体求解过程包括对模型进行估计、解释回归系数、进行显著性检验和评价模型拟合度等步骤。

三、多元线性回归模型的假设条件为了保证多元线性回归模型的准确性和可靠性，需要满足一定的假设条件。

主要包括线性关系、多元正态分布、自变量之间的独立性、无多重共线性、残差项的独立性和同方差性等。

在实际应用中，我们需要对这些假设条件进行检验，并根据检验结果进行相应的修正。

四、多元线性回归模型的应用多元线性回归模型广泛应用于各个领域的研究和实践中。

在经济学中，可以用于预测国内生产总值和通货膨胀率等经济指标；在市场营销中，可以用于预测销售额和用户满意度等关键指标；在医学研究中，可以用于评估疾病风险因素和预测治疗效果等。

多元线性回归模型的应用可以为决策提供科学依据，并帮助解释变量对因变量的影响程度。

五、多元线性回归模型的优缺点多元线性回归模型具有以下优点：1）能够解释各个自变量对因变量的相对影响；2）提供了一种可靠的预测方法；3）可用于控制变量的效果。

然而，多元线性回归模型也存在一些缺点：1）对于非线性关系无法准确预测；2）对异常值和离群点敏感；3）要求满足一定的假设条件。

第⼆章回归分析中的⼏个基本概念第四章⼀、练习题（⼀）简答题1、多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最⼩⼆乘估计量的⽆偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作⽤？2、多元线性回归模型与⼀元线性回归模型有哪些区别？3、某地区通过⼀个样本容量为722的调查数据得到劳动⼒受教育的⼀个回归⽅程为fedu medu sibs edu 210.0131.0094.036.10++-=R 2=0.214式中，edu 为劳动⼒受教育年数，sibs 为该劳动⼒家庭中兄弟姐妹的个数，medu 与fedu 分别为母亲与⽗亲受到教育的年数。

问（1）若medu 与fedu 保持不变，为了使预测的受教育⽔平减少⼀年，需要sibs 增加多少？（2）请对medu 的系数给予适当的解释。

（3）如果两个劳动⼒都没有兄弟姐妹，但其中⼀个的⽗母受教育的年数为12年，另⼀个的⽗母受教育的年数为16年，则两⼈受教育的年数预期相差多少？ 4、以企业研发⽀出（R&D ）占销售额的⽐重为被解释变量（Y ），以企业销售额（X1）与利润占销售额的⽐重（X2）为解释变量，⼀个有32容量的样本企业的估计结果如下：099.0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.0221=++=R X X Y其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。

如果X1增加10%，估计Y 会变化多少个百分点？这在经济上是⼀个很⼤的影响吗？（2）针对R&D 强度随销售额的增加⽽提⾼这⼀备择假设，检验它不虽X1⽽变化的假设。

分别在5%和10%的显著性⽔平上进⾏这个检验。

（3）利润占销售额的⽐重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？ 5、什么是正规⽅程组？分别⽤⾮矩阵形式和矩阵形式写出模型：i ki k i i i u x x x y +++++=ββββΛ22110，n i ,,2,1Λ=的正规⽅程组，及其推导过程。

多元线性回归模型（1）模型准备多元线性回归模型是指含有多个解释变量的线性回归模型，用于解释被解释的变量与其他多个变量解释变量之间的线性关系。

其数学模型为：上式表示一种 p 元线性回归模型，可以看出里面共有 p 个解释变量。

表示被解释变量y 的变化可以由两部分组成：第一部分，是由 p 个解释变量 x 的变化引起的 y 的线性变化部分。

第二部分，是要解释由随机变量引起 y 变化的部分，可以用 \varepsilon 部分代替，可以叫随机误差，公式中的参数都是方程的未知量，可以表示为偏回归常数和回归常数，则多元线性回归模型的回归方程为：（2）模型建立首先在中国A股票市场中，根据各指标与估值标准 y 的关联度来选取变量，选取指标为：年度归母净利润 x_{1} 、年度营业收入 x_{2} 、年度单只股票交易量 x_{4} 、年度单只股票交易量金额 x_{6} 。

有如下表达式为：其中 y 是因变量， x_{1}，x_{2}，x_{4}，x_{6} 是自变量，α为误差项，b_{1},b_{2},b_{4},b_{6} 为各项系数。

（3）中国A股票市场模型求解运用SPSS软件，运用多元线性回归方程可以得出如下：下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.976，说明模型的拟合度非常好。

下表为方差分析表，告诉我们F 的值值为1.794，显著性概率p 为0.004小于0.005，因此自变量系数统计较为显著。

下表给出模型常数项和自变量系数，并对系数统计显著性进行检验，常数项的值为2.618，显著性为0.002，统计比较显著，其它指标的显著性都小于0.005，故该模型比较准确。

故得出中国A股市场中的估值水平与这四个指标的线性关系为：（4）美国NASDAQ市场模型求解下表模型有4个自变量，模型调整后的拟合度为0.862，说明模型的拟合度非常好。

下表为方差分析表，告诉我们 F 值为15.081，显著性概率 p 为0.005等于0.005，因此自变量系数统计较为显著。