北京版八年级数学上册《直角三角形》教案

北师大版八年级数学上册：1.2 《一定是直角三角形吗》教案一. 教材分析《一定是直角三角形吗》这一节的内容主要让学生了解直角三角形的定义和性质，通过实例让学生判断一个三角形是否为直角三角形。

学生通过这一节课的学习，可以加深对三角形分类的理解，为后续学习其他类型的三角形打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的分类，对三角形的性质有了一定的了解。

但学生在判断一个三角形是否为直角三角形时，可能会只关注是否有直角，而忽视了其他性质。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生从多个角度去判断一个三角形是否为直角三角形。

三. 教学目标1.让学生理解直角三角形的定义和性质。

2.培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。

3.引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，体验探究解决问题的过程。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的定义和性质。

2.难点：如何判断一个三角形是否为直角三角形。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.准备一些三角形模型，以便在课堂上进行展示和操作。

2.准备一些关于直角三角形的案例，以便进行分析和讨论。

3.准备黑板和粉笔，以便进行板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的三角形分类知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师展示一些三角形模型，让学生观察并说出它们的类型。

然后教师提出问题：“如何判断一个三角形是否为直角三角形？”让学生思考并回答。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行小组合作学习，让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索判断直角三角形的方法。

教师在课堂上进行巡回指导，帮助学生解决问题。

4.巩固（5分钟）教师提出一些关于直角三角形的问题，让学生独立解答。

然后教师选取一些学生的答案进行讲解和分析。

5.拓展（5分钟）教师展示一些生活中的直角三角形实例，让学生判断并解释。

北师大版八年级数学上册：1.2 《一定是直角三角形吗》教案2一. 教材分析《一定是直角三角形吗》这一节的内容，主要让学生了解直角三角形的定义及其特性。

通过学习，学生能理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的特点，并能运用这些知识解决实际问题。

本节内容是八年级数学上册的重要内容，也是进一步学习几何知识的基础。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了三角形的性质，对三角形有一定的了解。

但学生对直角三角形的理解可能只停留在表面，不能深入理解其内在联系。

因此，在教学过程中，需要引导学生从直观的图形中，发现直角三角形的性质，并通过实际操作，让学生感受直角三角形的特有性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解直角三角形的定义，掌握直角三角形的特点，能运用这些知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生体验数学与生活的联系，培养学生的学习兴趣。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的定义及其特性。

2.难点：如何引导学生从实际问题中发现直角三角形的性质，并运用这些性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、直观演示法、合作交流法等，引导学生观察、操作、思考、交流，从而理解直角三角形的性质。

六. 教学准备1.准备一些直角三角形和一般三角形的图片。

2.准备一些实际问题，涉及直角三角形的特点。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的直角三角形，如教室的黑板、三角板等，让学生观察并提问：“这些图形有什么共同的特点？”引导学生思考直角三角形的性质。

2.呈现（10分钟）展示一些直角三角形和一般三角形的图片，让学生观察并提问：“你能区分直角三角形和一般三角形吗？直角三角形有什么特殊的性质？”引导学生发现直角三角形的特性。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，每组找出一些实际问题，涉及直角三角形的特点，如计算直角三角形的面积、周长等。

北师大版八年级数学上册：1.2 《一定是直角三角形吗》说课稿2一. 教材分析《一定是直角三角形吗》这一节的内容，主要让学生通过已有的直角三角形的概念，进一步探索和发现直角三角形的性质。

在教材中，通过让学生观察和分析一些生活中的实例，引发学生对直角三角形的进一步思考，从而加深对直角三角形性质的理解。

教材还通过设计一些实践活动，让学生在操作中感知直角三角形的性质，提高学生的动手操作能力。

二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经学习了三角形的分类，对直角三角形有了初步的认识。

但是，他们对直角三角形的性质的理解还不是很深入，需要通过一些实践活动，进一步巩固他们对直角三角形的认识。

同时，学生对数学知识的生活应用还不够熟练，需要通过一些生活中的实例，让学生感受数学与生活的联系。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过观察和分析生活中的实例，让学生进一步理解直角三角形的性质，提高学生的动手操作能力。

2.过程与方法目标：通过小组合作，让学生在探究中发现直角三角形的性质，培养学生的合作意识。

3.情感态度与价值观目标：让学生在探究活动中，感受数学与生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生进一步理解直角三角形的性质。

2.教学难点：让学生通过实践活动，发现和总结直角三角形的性质。

五. 说教学方法与手段在这一节课中，我将采用小组合作的学习方式，让学生在探究中发现直角三角形的性质。

同时，我会运用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，激发学生的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，让学生观察和分析，引发学生对直角三角形的思考。

2.探究：让学生进行小组合作，通过实践活动，让学生发现和总结直角三角形的性质。

3.讲解：对学生的探究结果进行讲解，让学生进一步理解直角三角形的性质。

4.巩固：设计一些练习题，让学生进行练习，巩固他们对直角三角形的认识。

5.小结：对这一节课的内容进行小结，让学生明确学习的重点。

北师大版数学八年级上册2《能得到直角三角形吗》教案1一. 教材分析北师大版数学八年级上册2《能得到直角三角形吗》这一节主要让学生通过探究，了解如何用两个直角三角形拼成一个正方形，以及如何用两个全等的直角三角形拼成一个平行四边形。

同时，让学生通过实际操作，发现直角三角形的性质，进一步理解直角三角形的特点。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了平面几何的基本概念，对三角形、矩形、正方形等图形有了一定的了解。

同时，学生通过日常生活，对直角三角形也有了一定的认识。

但是，学生对直角三角形的性质和特点可能还不够深入，需要通过实际操作和探究来进一步理解。

三. 教学目标1.让学生通过探究，了解如何用两个直角三角形拼成一个正方形，以及如何用两个全等的直角三角形拼成一个平行四边形。

2.让学生通过实际操作，发现直角三角形的性质，进一步理解直角三角形的特点。

3.培养学生的动手操作能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生了解如何用两个直角三角形拼成一个正方形，以及如何用两个全等的直角三角形拼成一个平行四边形。

2.教学难点：让学生通过实际操作，发现直角三角形的性质，进一步理解直角三角形的特点。

五. 教学方法采用探究式教学法，让学生通过实际操作，发现直角三角形的性质，进一步理解直角三角形的特点。

同时，采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备准备直角三角形、矩形、正方形等图形的模型，以及拼图用的剪刀和胶水。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾平面几何的基本概念，如三角形、矩形、正方形等。

然后，教师提出问题：“你们知道直角三角形的特点吗？”让学生思考并回答。

2.呈现（10分钟）教师展示准备好的直角三角形、矩形、正方形等图形的模型，让学生观察并说出它们的特点。

接着，教师提出问题：“我们可以用这些图形拼成什么形状呢？”让学生思考并回答。

八年级数学上册《直角三角形的性质（1）》说课稿一、教材分析直角三角形的性质是初二年级上半学期第19章第8节的内容，共分为3个课时，一为直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半两个性质定理；二为直角三角形30度所对的边等于斜边的一半及其逆定理，三为综合训练。

本堂课为第一课时的内容。

在此之前学生已经学习过一般三角形的相关性质如内角和性质、外角性质、三边关系以及特殊三角形如等腰三角形和等边三角形的性质和判定，以及三角形全等等足够的知识基础。

本课为研究特殊三角形——直角三角形的入门，是以后综合图形证明的一个基础。

二、学生分析总体来说，绝大多数学生处于中等偏下水平，对几何证明的学习或多或少有些心里障碍，尤其是证题思路的形成，但是仍处于对于新事物好奇的阶段，所以可以通过老师课堂上得有效引导和阶梯是铺垫提示让学生学有所成。

三、教学目标1、掌握直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半这两个性质定理，并能初步运用其解决简单的几何问题；2、经历定理推导过程，体会实验—猜想—论证的完整过程。

3、通过探究直角三角形的性质，培养学生的学习兴趣和严谨的学习态度。

四、教学难点、重点1、经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的推导过程2、直角三角形两个性质定理的简单运用五、教学设计过程（一）性质1的引入和训练1、利用2分钟预备铃学生朗读自己整理的已经学过的有关三角形的知识点；2、开门见山，提问直角三角形两个锐角的关系，得出性质1：直角三角形两个锐角互余；重点强调几何书写，让学生了解在证明书写时如何规范应用这个性质3、性质1的应用，由易入难进行训练，准备习题如下：1、在直角三角形中，有一个锐角为480，那么另一个锐角度数为2、等腰直角三角形的一个锐角等于__________3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么图中有几个直角三角形？有几组角互余？有哪些角相等？第1小题是最简单的应用；第2小题为后面性质2的推导过程中特殊的直角三角形——等腰直角三角形中斜边上得中线等于斜边的一半打个小基础，而且这也是一个常识知识。

北师大版数学八年级上册1.2 一定是直角三角形吗名师教案例题讲解3cm4cm5cm5cm12cm13cm5cm8cm17cm7cm24cm25cm【思考】它们都是直角三角形吗？你是怎么想的？与同伴交流.你能得到什么结论？如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个整数,称为勾股数.【例】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符号要求吗?DA BC3451213解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，这个零件符合要求.15，17满足222cba=+，可以构成直角三角形.生：可以用量角器测量，所画的四个三角形都是直角三角形.学生做例题，巩固所学新知识.结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律.课堂练习 1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ c ）A. 1.5，2，2.5B. 7，24，25 学生认真做课堂练习.通过课堂习题练提高练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生C. 8，12，15D. 6，8，102.下列各组数中不是勾股数的是（ c ）A．5,12,13 B. 7,24,25C. 8,12,15D. 3k,4k,5k（k为正整数）3.已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）²+b 8+ c-10=0，则三角形的形状是（ D ）.A.底与腰不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形4.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（D ）A．三内角之比1:2:3B．三边长的平方之比为1:2:3C．三边长之比为3:4:5D．三内角之比为3:4:55.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，BC=4，AB=3，AC=5,AD=13，CD=12那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD的面积．解：∵BC=4，AB=3，AC=5，DC=12，AD=13，∴AB2+BC2=AC2，AC2+CD2=AD2，∴△ABA、△DAC是直角三角形，∴∠B=90°，∠ACD=90°，∴这个零件的面积=△ABC的面积+△ADC的面积=3×4÷2+5×12÷2，=6+30，=36．习，进一步理解并掌握新知.学会对新知识的正用、逆用、变形用的能力，加强学生的计算能力和解决问题能力的培养，同时实现了优等生有事做，学困生跟着做的隐性分层教学.6.（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=__45°___（点A，B，P是网格线交点）．7.（2018•汕头）已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（A）A．30 B．60 C．78 D．不能确定课堂总结今天你学到了什么？①会利用三角形三边数量关系判断一个三角形是直角三角形；②满足的三个正整数，称为勾股数.学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳.在教师的引导下，学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构.作业布置课本P10 练习题P10 习题1.3板书设计一个三角形的三边长a，b，ca2+b2=c2直角三角形。

“直角三角形〔第一课时〕〞教学设计一、教材的地位与作用“直角三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。

本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的根底上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。

教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。

以直观认识为根底进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，表达具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。

二、学情分析在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。

本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的根底上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。

让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。

并能解决一些简单的实际问题。

同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。

在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。

让学生参与知识的产生和开展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。

三、教学目标1.知识与能力目标〔1〕掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.2.过程与方法目标〔1〕经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维。

第一章勾股定理2. 一定是直角三角形吗一、学情与教材分析1.学情分析学生已经了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导．2.教材分析本节课是北师大版数学八年级(上)第一章《勾股定理》第2节．教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验；经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．二、教学目标1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形．三、教学重难点教学重点：探索并掌握直角三角形的判别条件．教学难点：运用直角三角形判别条件解题四、教法建议1．教学方法：实验—猜想—归纳—论证本节课的教学对象是初二学生,他们的参与意识较强,思维活跃,对通过实验获得数学结论已有一定的体验，但数学思维严谨的同学总是心存疑虑，利用逻辑推理的方式，让同学心服口服显得非常迫切，为了实现本节课的教学目标,我力求从以下三个方面对学生进行引导：(1)从创设问题情景入手,通过知识再现,孕育教学过程；(2)从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程；(3)利用探索,研究手段,通过思维深入,领悟教学过程．2．课前准备教具：教材、电脑、多媒体课件．学具：教材、笔记本、课堂练习本、文具．五、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1：小明说：我们以前学过直角三角形的两个锐角互余，那么反过来，就是说“如果一个三角形的两个角度互余，那么这个三角形就是直角三角形？”这句话对么？请尝试着证明？任务2：通过上个预习任务的证明，我们知道了，通过角度的互余能够判定一个三角形是直角三角形，小红想：勾股定理不是说“在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”反过来说是不是也能够判定一个三角形是直角三角形呢？1）：小红提出的勾股定理反过来说应该怎样表述？2）：请根据下面三组数据，做出对应长度的纸条，拼成三角形，用量角器验证你的结论①3,4,5 ②5,12,13 ③7,15,172.预习自测一、选择题1. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A．5，6，7 B．1，4，8C．5，12，13 D．5，11，12答案：C解析：A、因为52+62≠72，所以不能组成直角三角形；B、因为12+42≠82，所以不能组成直角三角形；C、因为52+122=132，所以能组成直角三角形；D、因为52+112≠122，所以不能组成直角三角形．故选：C．点拨：欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．2. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．14 C．7 D．7或25答案：D解析：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为．∴第三边长的平方是25或7，故选D．点拨：已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．二、填空题3. 若一个三角形的三边满足c2﹣a2=b2，则这个三角形是________．答案：直角三角形解析：∵c2﹣a2=b2，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．点拨：对原式变形，利用勾股定理的逆定理，从而确定三角形的形状．4. 若8，a，17是一组勾股数，则a=________．答案：15解析：①a为最长边，a=，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a==15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．点拨：分a为最长边，17为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．第一环节：情境引入情境：1．直角三角形中，三边长度之间满足什么样的关系？2．如果一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是否就是直角三角形呢？意图：通过情境的创设引入新课，激发学生探究热情．效果：从勾股定理逆向思维这一情景引入，提出问题，激发了学生的求知欲，为下一环节奠定了良好的基础．第二环节：探究发现活动1：探究下面有三组数，分别是一个三角形的三边长c b a ,,，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：1．这三组数都满足吗？2．分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数．意图：通过学生的合作探究，得出“若一个三角形的三边长，满足，则这个三角形是直角三角形”这一结论；在活动中体验出数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律．效果：经过学生充分讨论后，汇总各小组实验结果发现：①5，12，13满足222c b a =+，可以构成直角三角形；②7，24，25满足222c b a =+，可以构成直角三角形；③8，15，17满足222c b a =+，可以构成直角三角形．从上面的分组实验很容易得出如下结论：如果一个三角形的三边长c b a ,,，满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．活动2：说理提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现．你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？意图：让学生明确，仅仅基于测量结果得到的结论未必可靠，需要进一步通过说理等方式使学生确信结论的可靠性，同时明晰结论：如果一个三角形的三边长c b a ,,，满足222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数．注意事项：为了让学生确认该结论，需要进行说理，有条件的班级，还可利用几何画板动画演示，让同学有一个直观的认识．活动3：反思总结提问：1．同学们还能找出哪些勾股数呢？2．今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？3．到今天为止,你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢?4．通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？意图：进一步让学生认识该定理与勾股定理之间的关系第三环节：知识运用做一做：1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由．①9，12，15； ②15，36，39； ③12，35，36； ④12，18，22 解答：①②2．一个三角形的三边长分别是15cm ，20cm ，25cm ，则这个三角形的面积是（ ）A250 B 1502cm C 200 2cm D 不能确定 解答：B*3．如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，20,12,9===AC AD BD ，则ABC ∆是（ ） A 等腰三角形 B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形解答：C *4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能确定解答：A意图：通过练习（3/4题根据学生程度适当添加课件中讲解），加强对勾股定理及勾股定理逆定理认识及应用．效果：每题都要求学生独立完成（5分钟），并指出各题分别用了哪些知识． 例题：1．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中∠A ，∠DBC 都应是直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？解答：符合要求 222543=+，︒=∠∴90DAB又22213125=+ ， ∴︒=∠90DBC2．（补充）一艘在海上朝正北方向航行的轮船，航行240海里时方位仪坏了，凭经验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判断船转弯后，是否沿正西方向航行？解答：由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250海里;在△ABC 中，2222240250-=-AB AC =(250+240)(250-240)=4900=270=2BC即222AC BC AB =+∴△ABC 是Rt △答:船转弯后,是沿正西方向航行的．意图：利用勾股定理逆定理解决实际问题，进一步巩固该定理．效果：学生能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可；利用三角形三C C 1312534D A B B AD B边数量关系222c b a =+判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将222c b a =+作适当变形（222a b c =-），以便于计算．第四环节：随堂检测一、选择题1. 分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（ ）组．A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B ．点拨：根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．2. △ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，下列条件：①∠A=∠B ﹣∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；③a 2=（b+c ）（b ﹣c ）；④a ：b ：c=5：12：13，其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：①∠A=∠B ﹣∠C ，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；③∵a 2=（b+c ）（b ﹣c ），∴a 2+c 2=b 2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形； ④∵a ：b ：c=5：12：13，∴a 2+b 2=c 2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．能判断△ABC 是直角三角形的个数有3个；故选：C ．点拨：直角三角形的定义或勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．二、填空题3. 一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的高是________．答案：4.8解析：∵三角形的三边长分别为6，8，10，符合勾股定理的逆定理62+82=102，∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，设三角形最长边上的高是h，根据三角形的面积公式得：×6×8=×10h，解得h=4.8．点拨：根据已知先判定其形状，再根据三角形的面积公式求得其高．4. 已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为________cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．答案：5或解析：当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或．点拨：本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．5. 能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出三组勾股数：________________________．答案：3，4，5；6，8，10；5，12，13．（答案不唯一）解析：答案不唯一，三组勾股数可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．点拨：根据勾股数的定义即可求解，如3，4，5；6，8，10；5，12，13等，本题答案不唯一．三、解答题6. 我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？答案：ak ，bk ，ck 是一组勾股数解析：∵k 是正整数，∴3k ，4k ，5k 都是正整数，∵（3k ）2+（4k ）2=（5k ）2，∴3k ，4k ，5k （k 是正整数）是一组勾股数；因为a ，b ，c 是一组勾股数，且k 是正整数，所以ak ，bk ，ck 是三个正整数，且a 2+b 2=c 2，因为（ak ）2+（bk ）2=a 2k 2+b 2k 2=（a 2+b 2）k 2=c 2k 2=（ck ）2，所以ak ，bk ，ck 是一组勾股数．点拨：根据勾股数的定义：满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数，即可判断3k ，4k ，5k （k 是正整数）与ak ，bk ，ck （k 是正整数）是不是一组勾股数． 第五环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.1．今天所学内容：①会利用三角形三边数量关系222c b a =+判断一个三角形是直角三角形；②满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数；2．从今天所学内容及所作练习中总结出的经验与方法：①数学是源于生活又服务于生活的；②数学结论的发现总是要经历观察、归纳、猜想和验证的过程，同时遵循由“特殊→一般→特殊”的发展规律；③利用三角形三边数量关系222c b a =+判断一个三角形是直角三角形时，当遇见数据较大时，要懂得将222c b a =+作适当变形，222a b c =-便于计算．意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史；敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结出利用三角形三边数量关系22c2+判断一个三角形是直角三角形从古至今在实际生活中的广泛应用．ba=布置作业：课本习题1.3 T1，2，4分层作业基础型：一、选择题1. 满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC=1，AC=2，AB= B．BC：AC：AB=3：4：5C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5答案：D解析：A、当BC=1，AC=2，AB=时，满足BC2+AB2=1+3=4=AC2，所以△ABC为直角三角形；B、当BC：AC：AB=3：4：5时，设BC=3x，AC=4x，AB=5x，满足BC2+AC2=AB2，所以△ABC为直角三角形；C、当∠A+∠B=∠C时，且∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=90°，所以△ABC为直角三角形；D、当∠A：∠B：∠C=3：4：5时，可设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x=180，解得x=15°，所以∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，所以△ABC为锐角三角形；故选D．点拨：根据勾股定理的逆定理可判定A、B，由三角形内角和可判定C、D，可得出答案．2. 在△ABC中，三边长满足b2﹣a2=c2，则互余的一对角是（）A．∠A与∠B B．∠B与∠CC．∠A与∠C D．以上都不正确答案：C解析：∵△ABC的三边长满足b2﹣a2=c2，∴b2=a2+c2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，∴∠A+∠C=90°．故选C．点拨：先根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再利用直角三角形两锐角互余得出∠A+∠C=90°．二、填空题3. 在△ABC中，若三边长分别为9，12，15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为________．答案：108解析：∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92+122=152，∴△ABC是直角三角形，∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12=108．故答案为：108．点拨：根据三条边的长度分别为9、12、15，得出△ABC是直角三角形，再根据长方形的面积是两个直角三角形的面积之和，列式计算即可．三、解答题4. 如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．（1）求出AB边的长；（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．答案：（1）AB=10；（2）∠C=90°．=DE•AB=60，∴AB=10；解析：（1）∵DE=12，S△ABE（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2，由勾股定理逆定理得∠C=90°．点拨：（1）由S=60，求得AB=10；△ABE（2）根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，从而得到∠C的度数．能力型：一、选择题1. 已知△ABC 中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=4，b=7；c=8；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=2∠B=2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4答案：C解析：①∵a2+b2==（）2，c2=（8）2=（）2∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵a2：b2：c2=1：3：2，∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴∠A=2x=90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．故选C．点拨：分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．二、填空题2. 如图，已知四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A与∠C关系是________．答案：互补解析：∠A与∠C关系为：互补．理由如下：连结AC，∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==25cm，∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°，故答案为：互补．点拨：连接AC，然后根据勾股定理求出AC的值，然后根据勾股定理的逆定理判断△ADC为Rt△，然后根据四边形的内角和定理即可得到∠A与∠C关系．3. 已知|x﹣12|+（y﹣13）2+z2﹣10z+25=0，则以x，y，z为三边边长的三角形的形状是________三角形．答案：直角解析：∵|x﹣12|+（y﹣13）2+z2﹣10z+25=0，∴x﹣12=0，y﹣13=0，z﹣5=0，∴x=12，y=13，z=5，∴x2+z2=y2，∴以x、y、z为三边的三角形是直角三角形，故答案为：直角．点拨：根据非负数的性质求出x、y、z的值，求出x2+z2=y2，根据勾股定理的逆定理判断即可．三、解答题4. 如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．答案：见解析解析：（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）解：S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．点拨：（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；（2）根据S阴影=SRt△ABC﹣SRt△ACD，利用三角形的面积公式计算即可求解．探究型：一、解答题1. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为________三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为________三角形．（2）猜想，当a2+b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2________c2时，△ABC为钝角三角形．（3）判断当a=2，b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．答案：（1）锐角；钝角；（2）＞；＜；（3）2＜c＜6.解析：（1）两直角边分别为6、8时，斜边==10，∴当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；（2）当a2+b2＞c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2＜c2时，△ABC为钝角三角形；（3）∵c为最长边，2+4=6，∴4＜c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4＜c＜2时，这个三角形是锐角三角形；②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴当c=2时，这个三角形是直角三角形；③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，这个三角形是钝角三角形．点拨：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值，然后作出判断即可；（2）根据（1）中的计算作出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边c点的最大值，然后得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解．2. 王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a=________，b=________，c=________．（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？（3）观察下列勾股数32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，分析其中的规律，根据规律写出第五组勾股数．答案：见解析解析：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=22﹣1，b=4，c=22+1，n=3时，a=32﹣1，b=2×3，c=32+1，n=4时，a=42﹣1，b=2×4，c=42+1，…∴a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1．（2）a、b、c为边的三角形时：∵a2+b2=（n2﹣1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．（3）由分析得出：第7组的式子为：112+602=612．点拨：（1）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n2，加减1，即可得出答案；（2）利用完全平方公式计算出a2+b2的值，以及c2的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．（3）①这些式子每个都呈a2+b2=c2（a，b，c为正整数）的形式．②每个等式中a是奇数，b为偶数（实际上还是4的倍数），c奇数．③c=b+1．④各个式子中，a的取值依次为3，5，7，9，11，是连续增大的奇数．⑤各个式子中，b的取值依次为4，12，24，40，所以第5个式子为112+602=612．。