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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)

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材料力学课件ppt-6弯曲变形

材料力学课件ppt-6弯曲变形
Ey1 IEI12 FLb x2C1,
EI1 y6 FLb x3C1xD1, 3、确定常数
BC段 (axL)
E y2 I E2I2 F Lxb 2F 2(x a )2 C 2,
E2I6 F yLxb 3F 6(x a )3 C 2xD 2,
由边界条件： x0,wA0 （1）
目录
5、求 ymax 。
由dy 0求得 ymax 的位置值x。
dx
AF(b6LL2Eb2I)0,
C1x aF3 L (a a E b b ) I 0 ( a b )
则由 解得：
0在AC段。
1(x)6L FE b [3x2 I(L 2b2) ]0
xa时C ， 左 C 右
x
L,
yB
FBy k
xa时yC ， 左 yC 右
xL,yB lBD
FBy h EA
讨论：挠曲线分段处 （1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两
w
目录
w w
w w
目录
w
C1


ql3 6EI
,
wC1


ql 4 8EI
q( l )3
w
C2 B2
2 6EI
,
wC2
wB2 q(l
B2
)4

l 2
2 8 EI
B2

l 2
目录
w
wCwC1wC2


ql 4 8 EI
CC1C2

ql 3 6 EI
q( l )4 2

材料力学课件-6弯曲变形

材料力学课件-6弯曲变形

对称截面形状
对称的截面可以减小弯曲变形和应力。
非对称截面形状
非对称的截面会导致不均匀的弯曲应力分布。
材料的弯曲变形特性
1 弯曲模量衡量材料的抗弯能力，源自 材料的刚度有关。2 弯曲强度
材料能够承受的最大弯曲 应力。
3 弯曲韧度
材料在弯曲变形下能够吸 收的能量。
测量材料的弯曲模量的方法
1
简支梁试验
通过在两个支点上加力，测量梁的挠度
梁的截面形状对弯曲变形的影响
形状对称性
对称的截面形状可以减小弯曲变形。
截面面积
较大的截面面积可降低弯曲应力和变形。
截面离心率
截面离心率越小，弯曲变形越小。
欧拉公式的介绍
欧拉公式描述了弯曲梁的变形和应力之间的关系。它是弯曲变形的经典理论基础，广泛应用于工程设计和结构 分析中。
对称性在弯曲变形中的应用
三点弯曲试验
2
来计算弯曲模量。
在梁的中间施加力，测量梁的挠度和应
力来计算弯曲模量。
3
四点弯曲试验
在梁的两端和中间分别施加力，测量梁 的挠度和应力来计算弯曲模量。
弯曲变形在工程设计中的应用
桥梁设计
弯曲变形是桥梁结构中常见的变形，需要考虑材料 的弯曲特性。
建筑设计
梁在建筑中承担重要的结构作用，需要考虑弯曲变 形。
材料力学课件ppt-6弯曲 变形
本节将介绍弯曲变形的定义和原理，讨论梁的截面形状对弯曲变形的影响， 以及欧拉公式的应用。还将探讨对称性在弯曲变形中的重要性，介绍材料的 弯曲变形特性，并介绍测量材料弯曲模量的方法。最后，我们将探讨弯曲变 形在工程设计中的应用。
弯曲变形的定义和原理
弯曲变形是指材料在承受外部力矩作用下产生的曲线形变。这种变形是由梁 的纵向拉伸和压缩引起的。

材料力学 弯曲变形ppt课件

材料力学 弯曲变形ppt课件

由此可见，M
与
d 2w dx2
始终保持同号，（d）式左边取“+”号，即有
6.1 引 言
d2w dx2
M(x) EI
〔6－2〕
式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似 微分方程所得的解，在工程中，已足够准确。
对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，式(6－2)可改写为
d2w EI dx2
M(x)
CB段:
E(I x) Fx2 b F (x a )2 F(b b 2 l2)
2 l 2
6 l
(g) 〔h〕
〔i〕
E(I x) w Fx3 b F (x a )3 F(b b 2 l2)x 〔j〕
6 l 6
6 l
6.1 引 言 〔5〕求梁的最大转角与最大挠度。
将x=0代入式〔g〕可得梁左端面的转角为
6.1 引 言
〔3〕分段建立梁的挠曲线近似微分方程。写出挠曲线
的近似微分方程分别为
AC段:
d2w b
EI dx2
l
Fx
CB段:
EIdd2xw 2 bl FxF(xa)
6.1 引 言
〔4〕积分法求变形。分别积分两次，可得
AC段:
EIdwFbx2 dx 2l
C1
(a)
EIwF6lbx3C1xD1
(b)
图6－3
6.1 引 言
解 选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯
矩为
M x W l x W W x l
代入式〔6－3〕，得挠曲线的近似微分方程为
EIdd2xw2 WxWl
将式〔a〕积分一次，得
EIdwW2xWlxC dx 2
再积分一次，得 W3x Wl2x

材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件

材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件

1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形

《材料力学》课程讲解课件第六章弯曲变形
成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
2. 梁变形的度量—挠度、转角
挠曲线
转角
(1) 挠度w：截面形心在y方
y
C’
向的位移。 向上为正
w 挠度 (2)挠曲线：变形后梁的轴线
x
C
x
F
挠曲线方程： w f (x)
⑶ 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的
是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= B·a应叠加到图
b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ：
wA w1 w2
1 3
qa3 EI
a
2q a4
8EI
7 qa4 12 EI
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
边界条件： A 0
wA 0
连续条件： B左 B右 wB左 wB右
例题：列出图示结构的边界条件和连续条件。
wA 0
解：边界条件：A 0
wC 0
wD左 wD右
连续条件：D左 D右
wB左 wB右
例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程， w
并求最大转角、最大挠度，EI已知。 A
已知结果，先将均布载荷延长至
梁的全长；
为不改变原载荷的作用效果，
在AB 段加上集度相同、方向相 反的均布载荷。
wC1
⑵ 计算两种载荷下的wC和C 。
wC1
ql 4 8EI
C1
ql 3 6EI
wB 2
wC 2
wB 2
B2
l 2
C 2
ql 3 48EI
wC 2
ql 4 ql3 l 128EI 48EI 2

材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件

材料力学《第六章》弯曲变形ppt课件

F A l C B l
铰支座：wA = 0，wB = 0
弯曲变形对称点：qC = 0
连续性条件：挠曲线为一条光滑连续曲线，其上任意点由唯一 确定的挠度和转角。
F
A
a
上海交通大学
C
B
C截面处： qC+ = qC–
b
wC+= wC–
例1 图示悬臂梁，已知F、l，EIz为常数。 w 试求： qB，wB 解：(1) 弯矩方程 M(x) = –F (l –x)= –Fl + Fx A x l
上海交通大学
称为转角方程
五、挠度与转角之间的微分关系 转角q w 挠曲轴 A q 由几何关系得：q = q '
qC
q'
x
wC C B 挠度w F
由小变形条件：q' ≈ tanq '
d w 由微分知识： tan θ w ( x ) w d x
d w ∴ θ tan θ w ( x ) w d x
B
F
பைடு நூலகம்
变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。
上海交通大学
四、弯曲变形的表示和度量
上海交通大学
上式化简为
2 1 d w 2 w ρ (x ) d x
1 M (x ) ρ (x) EI z
(a)
2 1 d w 2 ρ (x ) dx
(b)
(b)代入(a) ，得梁挠曲线的近似微分方程：

材料力学 弯曲变形PPT课件

材料力学 弯曲变形PPT课件

04.12.2020
8
w
d2w M dx 2 EI
M O
M x
d2w M dx2 EI
由于规定挠度向上为正，有
d 2w M dx2 EI
——挠曲线微分方程
仅适用于线弹性范围内的小变形的平面弯曲问题。
04.12.2020
9
§6-3 用积分法求弯曲变形
d2w dx2
M (x) EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩
第六章 弯曲变形
基本要求
1．挠曲线、挠度和转角的概念，深刻理解梁挠 曲线近似微分方程的建立。
2．掌握计算梁变形的积分法和叠加法。 3．了解梁的刚度条件。
04.12.2020
1
§6-1 引 言
一．工程实际中的弯曲变形
04.12.2020
2
二．基本概念
1．挠曲线：梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹
方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积 分常数的挠度方程与转角方程：
(x)ddw xE MIdxC
——转角方程
w(x)(E Md I)x d xC xD——挠度方程
其中C、D为积分常数。
04.12.2020
10
积分常数C、D由边界条件和梁段间光滑连续条件或
中间绞链连续条件确定。
~~ ~
l
E2 I w F l x 6 b 2 3F(x2 6a)3C 2x2D 2
Bx
由连续和光滑条件： x 1 x 2 a 时 w 1 w 2 ， ,w 1 w 2
得：
C 1C 2, D 1D 2
由边界条件： x10时w ， 10 x2l时w ， 20
得：
D1D20 C1C2F 6lb (l2b2)

材料力学 第06章 弯曲变形

材料力学 第06章 弯曲变形
0 xa n x a
n
x a x a
n≥0 n 为整数
奇异函数的微积分规律
d x a n n x a n1 dx
n x a dx
1 x a n 1 C n 1
23/60
6.4 奇异函数法求梁的位移
若取极端情形，力F接近于右端支座 b0 w0
Fbl2 l 2 b2 l wmax 此时 x0 3 9 3EI 3
Fbl2 而跨中挠度 wl 16EI 2
若用跨度中点挠度代替最大挠度，引起的误差仅为2.6%
20/60
6.3 积分法求梁的位移
y F a A x1 x2 l
y a A x1 x2 l EI C F b B x
FA
FB
19/60
6.3 积分法求梁的位移
y F a A EI x1 x2 l C b B x
讨论
(3) 跨中挠度
若
a b wl
2
Fb(3l 4b ) 48EI
2 2
FA
FB
若集中力作用于跨中，则
Fl3 wmax wl 48EI 2
y dq
1 M x 弯矩与曲率的关系： r x EI
平面曲线的曲率数学计算：
r q
O x w dx F x
1 w r x (1 w2 )3/2
小变形条件下， (1 w2 ) 1
q
w
y
M
M
y
M
M ( x) EI z M ( x) w EI z
EIq x0 EIq0 C EIw x0 EIw0 D
其中 q0 和 w0 分别表示 x = 0截面的转角和挠度，称为初参数， 奇异函数法也称为初参数法。

精品课件-材料力学(张功学)-第6章

精品课件-材料力学(张功学)-第6章
梁的抗弯刚度EI为常量，求此梁的转角方程和挠曲线方程，并 确定最大挠度值。
图6－4
6.1 引 言
解（1）求约束力。建立坐标系如图所示,求得约束力为
方向均竖直向上。
FAy
b l
F
,
FBy
a l
F
（2）写出弯矩方程。由于集中力加在两支座之间，弯矩方
程在AC、BC两段各不相同。
AC段:
M
1(
x)
b l
Fx
w(a )w(a ), (a ) (a )
(f)
利用式（e）和式（f），即可解得
D1 D2 0,
C1
C2
Fb(b 6l
2
l
2
)
于是，求得梁的转角方程和挠曲线方程分别为
6.1 引 言
AC段:
EI (x) Fb(3x2 b2 l 2 )
6l
EIw(x) Fbx[x3 (b2 l 2 )x] 6l
（a） （b） （c）
6.1 引 言
确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度 和转角均为零。即
w00, 00
将（b）、(c)两式代入，得
D0, C0
将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠
度方程分别为
(x)dw
1
Wx 2 (
Wlx )
dx EI 2
w(x) 1 (Wx 3 Wlx 2 ) EI 6 2
6.1 引 言 显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得
m
ax
B
1 EI
(Wl 2
2
Wl
2
Wl 2 )
2EI
1 Wl 3 Wl 3 Wl 3

材料力学课件第六章1 弯曲变形

材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：

1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y

w x
x

3
F
因此有：
2

2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：

材料力学第6章弯曲变形

材料力学第6章弯曲变形

3）刚度条件：
w [f] max
[] max
作业 6－1
6.1
6.4(a) 加均布载荷q，M= -qa2/2
yq l
M 1ql2 2
x
§6.4 用叠加法求弯曲变形
原理： 多个载荷作用，弯矩图可以叠加，
d2w dx2

ME(Ixz )是线性方程，所以w
也可以叠加，
叠加法利用了已有的结果，所以较积分法 简洁，是应用最广泛的方法之一。
x0 13(l2b2)
w ma x9F 3EbI(l2 lb2)3
w l/24F E 8(b 3 Il24b2)
w m aw xl/2133l(3l24b2)
w max
16 (l2b2)3
ma x2.6% 5
讨论： 1）本题BC段的弯矩方程也可列为 M2Pl a(lx2) 但积分常数就不一样。 2）若a=b则要利用对称性，只求解一 半，边界条件变为：
=
F1a
例3：求A端挠度及转角。
w1


Fa3 3EI
A1

Fa2 2EI
w 26 F E 3a IF 4E2 a Ia 1 5F E 23aI
B4 F E 2a I2 F Ea I a 3 4 F E2a I
2EI EI a Ba
F A
F w1
F
w2
Fa
w3
w3Ba34F E3aI
2）双跨梁：
A
FB F C A
a a aa
FB F C FRB
协调方程：w B 2 F [3 (4 4 a a E )2 8 4 a I 2 ] F R 4 ( E 4 B a 8 )3 I 0

材料力学第06章(弯曲变形)

材料力学第06章(弯曲变形)

q A
FB
q A B l
解： 比较变形法
FB
wB 0
变形协调方程：
wB wq wFB 0
=
wFB
B FB
A q A
ql 4 wq 8 EI
4
wFB
FB l 3 3 EI
3 F l ql B 0 8 EI 3EI
+
B
wq
FB 3 ql 8
方向假设正确，向上
MA A FA FS
[例4] 用逐段刚化法求B点挠度。 l A C a F B
wB w1 w2
a C F B w1
=
l A
刚化AC段
a C
F B w1
等价
+
l
a
F
B
F 等价
A C
M=Fa
A
C
C
w2
刚化BC 段
w2
l A C
a
F B
3 Fa 解： w1 3EI
Ml w2 C a a 3EI
3
3
3
A
()
[例3] 按叠加原理求跨中G点挠度。 F F
G E C
解： w1 w2 ∴wG 2 w1 2 w2 查第190页第9栏
A
a
D
a w1
a
F A a w2 A a a
wG 2 w2
C a
F C
a
a
Fa (3 (3a ) 2 4a 2 ) 2[ ] 48 EI 3 23 Fa () 24EI 3 11 Fa wG 12EI
EIw M ( x) Fl Fx
Fx C EI w Flx 1 2

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形

材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形
)F
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A

ql

Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx

1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3

材料力学——弯曲变形.ppt

材料力学——弯曲变形.ppt

措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 21
关于确定积分常数 措施1 各段的坐标原点为同一点：左端点。 措施2 积分时，保留(x2-a) 作为自变量。 措施3 有分布载荷时，需将其延长到梁的右端，
并在延长部分加上等值反向的分布载荷。 措施4 有集中力偶时，采用 m(xi-ai)0 的形式。
d x2
24
则共同作用时：
EI
d2 v d x2

M
(x)

M1(x)

M 2 ( x)

EI
d2 v1 d x2

EI
d2 v2 d x2

EI
d2 (v1 d x2
v2
)
v v1 v2
即：共同作用下的挠度等于分别在M1(x) 、M2(x)
单独作用下的挠度的代数和。
综合以上讨论得到： 在线弹性小变形的条件下，外载荷与挠度 (力与 位移)成线性关系，可用叠加法计算梁的挠度。
材料力学
第六章 弯曲变形
2019年10月25日 1
§6. 1 工程中的弯曲变形问题
对梁除了有强度要求外，还有刚度要求。 大多数情况下，要求梁的变形不能过大； 一些特殊情况下，要利用弯曲变形。
求解静不定问题需要计算梁的变形。
§6. 2 挠曲线的微分方程
挠曲线 梁的轴线变形后的曲线。 对称弯曲时，是一条平面曲线。
D点和C点 的连续条件 各为什么？
D点： v1D v2D 0 1D 2D
C点： v2C v3C ,
2C 3C
中间铰处，挠度连续，转角不连续。
梁的刚度条件 f [ f ] , [ ]
max
max
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§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
FRB
B
两段梁的弯矩方程分别为
M 1 FRA x F b l b l (a x l ) (0 x a )
2 EI
wmax w | x l
（
）
3 EI
(Deflection of Beams)
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax
q A l B
(Deflection of Beams)
到的冲击和振动作用.
F 2
F 2
F
(Deflection of Beams)
二、基本概念（Basic concepts）
1.挠度（ Deflection ） 横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B x w挠度 C'
B'
(Deflection of Beams)
2
Fx 2
2
C1
3
(3)
(4)

Fx 6
C 1x C 2
(Deflection of Beams)
EIw Flx
EIw Flx 2
2
Fx 2
2
C1
3
(3)

Fx 6
C 1x C 2
(4)
边界条件 x 0,
x 0,
w0 w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx 2
2
C2 0
EIw
Flx 2
2

Fx 6
3
(Deflecห้องสมุดไป่ตู้ion of Beams)
y A
F
B x
w max
l
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max | x l
Fl
2

3
Fl
2

Fl
2
（
）
EI Pl
2 EI
Chapter6 Deflection of Beams
(Deflection of Beams)
第六章
弯曲变形 (Deflection of Beams)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems) §6-2 挠曲线的微分方程（Differential equation of the deflection curve) §6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration ) §6-4 用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition )
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
wB 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A B
wA 0
A 0
(Deflection of Beams)
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax 和最大转角 max F w
(Deflection of Beams)
§6-3 用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )
一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )
w M ( x) EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
B 2 | x l
Fab( l a ) 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max B
Fab( l a ) 6lEI
(Deflection of Beams)
(Deflection of Beams)
（a）（0 x a）
1 w 1
w1 Fbx 6lEI
Fb 6lEI
2
(l 2 b2 3 x 2)
2 2 [l b x ]
（b）（ a x l ）
' 2 w2 Fb [ ( x a ) x ( l 2 b 2 )] 2lEI b 3
2.转角 （Slope） 横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示 w
A C C' B x w挠度（

转角
B
(Deflection of Beams)
3.挠曲线 （Deflection curve） 梁变形后的轴线称为挠曲线 .
挠曲线方程（equation of deflection curve）为
1


M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则 1 M ( x) ( x) EI
(Deflection of Beams)
2.由数学得到平面曲线的曲率 （The curvature from the mathematics）
1
( x)

| w | (1 w )

转角
B
(Deflection of Beams)
§6-2 挠曲线的微分方程
（ Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式（Derivation of the formula)
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationship between the curvature of beam and the bending moment）
(Deflection of Beams)
§6-5 静不定梁的解法(Solution methods for statically indeterminate beams) §6-6 提高弯曲刚度的措施 (The measures to strengthen rigidity)
(Deflection of Beams)
ql
3
q
wmax B
A
x l
B
FRA
FRB
max A B
24 EI
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值 wmax w

5ql
4
384 EI
(Deflection of Beams)
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角. F
x
M2 F
x F ( x a)
(Deflection of Beams)
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
挠曲线方程
转角方程
EIw 1 M 1 F
2
b l
x
b x EIw1 F C1 l 2 b x EIw1 F C1 x D1 l 6
EIw
M ( x )dxdx C1 x C 2
二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integration）
1.边界条件（Boundary conditions）
2.连续条件（Continue conditions）
(Deflection of Beams)
(Deflection of Beams)
D点的连续条件
在 x = a 处 w1 w2 w1 w2
F
FRA
A 1 D 2
FRB
B
边界条件 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0