九年级数学上册 24.1.2垂直于弦的直径教学反思 人教新课标版

人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。

本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。

教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。

但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。

2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。

3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。

2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。

3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。

2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。

3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。

24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径一、教学目标【知识与技能】1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.【过程与方法】通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.【情感态度与价值观】1.结合本课特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.二、课型新授课三、课时1课时。

四、教学重难点【教学重点】垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.【教学难点】垂径定理及其推论.五、课前准备课件、图片、直尺等.六、教学过程（一）导入新课你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（出示课件2）（二）探索新知探究一圆的轴对称性教师问：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（出示课件4）学生通过自己动手操作，归纳出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．出示课件5：教师问：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？学生答：圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.思考：如何来证明圆是轴对称图形呢？出示课件6:已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．教师问：此图是轴对称图形吗？学生答：是轴对称图形．教师问：满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？师生共同解答如下：（出示课件7）证明：连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.师生进一步认知：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究二垂径定理及其推论出示课件8：如图，AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?学生独立思考后口答：线段:AE=BE弧:AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒学生简述理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A 与点B重合，AE与BE重合，重合．教师总结归纳：（出示课件9）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.推导格式：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE, AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师强调：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？（出示课件10）学生独立思考后口答：1图是；2图不是，因为没有垂直；3图是；4图不是，因为CD没有过圆心.教师强调：垂径定理的几个基本图形：（出示课件11）出示课件12：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？学生思考后教师总结：深化认知：（出示课件13）如图，①CD是直径；②CD⊥AB，垂足为E；③AE=BE；④AC⌒=BC⌒;⑤AD⌒=BD⌒.举例证明其中一种组合方法.学生思考后独立解决，并加以交流，教师加以指导，并举例.（出示课件14）如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？⑵AC⌒与BC⌒相等吗？AD⌒与BD⌒相等吗？为什么？证明：⑴连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得AC⌒=BC⌒,AD⌒=BD⌒教师归纳总结：（出示课件15）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如不能，请举出反例.教师强调：圆的两条直径是互相平分的.出示课件16：例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.学生思考后师生共同解答：连接OA，∵OE⊥AB，巩固练习：（出示课件17）如图，⊙O的弦AB＝8cm，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.学生自主思考后，独立解答如下：解：连接OA，∵CE⊥AB于D，，∴设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，∴22221068AE OA OE=-=-=cm.1184(cm)22AD AB==⨯=解得x=5，即半径OC的长为5cm.出示课件18：例2 已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：学生思考后师生共同解答.证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）教师强调：平行弦夹的弧相等.师生共同归纳总结：（出示课件19）解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.巩固练习：（出示课件20）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证: 四边形ADOE是正方形．学生独立解答，一生板演.证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC，∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE=12AC,AD=12AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.出示课件21：例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?教师引导学生分析题意，先把实际问题转化为数学问题，然后画出图形进行解答.解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C 是弧AB的中点，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.∴AD=12OA2=AD2+OD2，R2=18.52+(R-7.23)2，解得R≈27.3.即主桥拱半径约为27.3m.巩固练习:（出示课件23）如图a、b,一弓形弦长为，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______.学生独立思考后解答：如图，分两种情况，弓形的高为5cm或12cm.教师归纳：1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法（出示课件24）在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.2.弓形中重要数量关系弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：⑴d+h=r；⑵2 222ar d⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（三）课堂练习（出示课件25-29）1.2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .4.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为.5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.参考答案：1.C2.5cm3.4.14cm或2cm5.证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.6.解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=，根据勾股定理，得222,OC CF OF =+ ()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？（五）课前预习预习下节课（24.1.3）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、复杂、一般，层层递进，以利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引导，培养学生们大胆猜想，小心求证的科学研究素质.2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.。

24.1.2 垂直于弦的直径教案2022-2023学年人教版九年级上册数学本教案旨在帮助学生理解并掌握垂直于弦的直径概念，并通过实例让学生能够运用所学知识解决相关问题。

通过本教案的学习，学生将能够更深入地理解圆的性质与特点，提高数学解题能力。

一、教学目标1.理解并掌握垂直于弦的直径的概念。

2.掌握相关综合运用题的解题方法。

3.培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：垂直于弦的直径的概念及应用。

2.教学难点：综合运用题的解题方法。

三、教学准备1.教师准备：–教材：人教版九年级上册数学教材。

–备课笔记和教案。

–相关教学资源。

2.学生准备：–学习用具：课本、笔、纸等。

四、教学过程1. 导入通过提问和讨论，回顾圆的相关概念，如半径、直径、弧等，引导学生思考并复习相关知识。

2. 概念讲解•引入垂直于弦的直径概念，解释其定义和性质。

•强调垂直于弦的直径的特点，即垂直于弦的直径恰好经过弦的中点。

•通过实例和图示让学生更好地理解和记忆该概念。

3. 示例分析通过具体的例题，引导学生运用垂直于弦的直径的性质进行解题。

教师可以选择简单的例题进行分析，逐步引导学生掌握解题方法。

示例题1：在一个圆上，弦AB的长度为6cm，弦AB的中点O到圆心的距离为4cm，求圆的半径。

解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦AB的中点O到圆心的距离等于圆的半径。

所以，圆的半径为4cm。

4. 综合运用题训练设计一些综合运用题，让学生将所学知识应用到更具挑战性的问题中。

逐步提高学生的解题能力和逻辑思维能力。

练习题1：已知圆上弦CD的长度为10cm，且CD垂直于弦AB，弦AB的长度为8cm。

求圆的半径。

解题思路：根据垂直于弦的直径的性质，弦CD垂直于弦AB，且AB的长度为8cm，那么AB就是CD的直径。

所以，圆的半径为4cm。

5. 总结和归纳对本节课所学的知识进行总结和归纳，提醒学生关注垂直于弦的直径的特点和解题方法，加深对相关概念的理解。

24.1.2垂直于弦的直径敎學目标知识与技能:1.通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性.2.掌握垂径定理及过程与方法:通过探索垂径定理的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度:1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透.2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.敎學重点:垂径定理,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题.敎學难点:垂径定理.敎學过程一、情境导入,初步认识你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图:课本第82页图24.1-7）敎學说明:赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系,了解我国古代人民的勤劳与智慧,要解决此问题需要用到这节课的知识,这样较好地调动了学生的积极性,开启了学生的思维,成功地引入新课.二、思考探究,获取新知1.圆的轴对称性问题1用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么？由此你能得到什么结论？敎學说明:学生通过自己动手操作,归纳出圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.证明:连结OA、OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线∴对于圆上任意一点,在圆上都有关于直线CD的对称点,即⊙O关于直线CD对称.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.CD是直径,AB是弦,CD⊥AB所以:AE＝BEAC＝BCAD＝BD垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．三、师生互动,课堂小结1.你能说说物体的三视图与投影之间有什么联系吗？2.画一个几何体的三视图时应注意哪些问题？3.你在画图过程中出现过哪些问题？与同伴交流.敎學说明:师生共同回顾,教师在听取学生的看法后,作必要的总结,加深学生对本节知识的理解.。

人教版数学九年级上册教学设计24.1.2《垂直于弦的直径》一. 教材分析《垂直于弦的直径》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的一部分。

本节课主要内容是让学生掌握垂径定理，理解并证明圆中的一些特殊性质。

通过学习，学生能够运用垂径定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本概念、圆的性质、圆的周长和面积等知识。

但部分学生对圆的性质理解不够深入，对圆中特殊位置关系的判断和证明能力较弱。

因此，在教学过程中，要注重引导学生发现圆中的垂直关系，培养学生动手操作和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂径定理，学会运用垂径定理解决圆中的问题。

2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，提高动手操作和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习圆的性质的兴趣，培养学生团队协作和积极参与的精神。

四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。

2.难点：圆中特殊位置关系的判断和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实物演示、图形展示等手段，引导学生发现圆中的垂直关系。

2.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习兴趣。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和探究，培养学生的团队协作能力。

4.讲授法：教师讲解垂径定理及相关性质，引导学生理解和掌握。

六. 教学准备1.准备相关图形和实物，如圆、弦、直径等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物或图形，展示圆中的垂直关系，引导学生关注垂直于弦的直径。

提问：你们发现了吗？垂直于弦的直径有什么特殊的性质吗？2.呈现（10分钟）介绍垂径定理的内容，并用多媒体展示垂径定理的证明过程。

让学生理解并掌握垂径定理。

3.操练（10分钟）设计一系列练习题，让学生运用垂径定理解决问题。

教师引导学生思考和探究，解答学生的疑问。

《垂直于弦的直径》教学反思
《垂直于弦的直径》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十四章第一节第二课时的内容。

本节教材是在学生学习了有关轴对称和中心对称性质之后进行学习，研究的是垂直于弦的直径和这条弦的关系，垂径定理的推论是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的。

本节课内容是本章的基础，是圆的有关计算和圆的有关证明一个重要工具。

本节课的学习也为下节课奠定基础。

首先以具有历史年代感的赵州桥为背景引出课题，进而给出主桥的圆弧长，引导学生在圆中研究问题，划定本节课的主要研究方向，确定研究主旋律。

随后，教师引导学生抽象出基本数字模型，拱桥模型，为后面探究提供基础，创造性的学习研究。

探究环节，教师引导学生思考“把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，会发现什么？”学生拿着准备好的圆形纸片进行尝试，小组合作交流总结归纳，教师最后汇总结论:圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴。

带着圆是轴对称图形这一特性，回归赵州桥问题上，学生明显得出弦被直径垂直平分线，进而在直角三角形中使用勾股定理解等腰三角形的高。

正是教师对学生能够掌握轴对称、勾股定理，但同时不能将知识串成一串，所以预设中将问题分解成“观察、分析、比较、归纳”几个阶段逐步解决，才使学生一直在爬坡，解决力所能及但又能获得解决问题能力的事情。

遗憾的是，在时间分布上没能总体把控，前面对折时间用得太多，后面练习环节涉及的问题偏少，没能达到巩固练习的效果。

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

《垂直于弦的直径》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解垂径定理，掌握垂径定理的推论；2. 能够运用垂径定理解决一些简单问题。

二、教学重难点：教学重点：理解垂径定理，掌握垂径定理的推论在实际问题中的应用。

教学难点：能够灵活运用垂径定理解决一些实际问题。

三、教学准备：1. 准备教具：几何图形、尺规、圆规等；2. 收集相关垂直于弦的直径的实例图片和视频；3. 设计相关问题，引导学生思考和探究。

四、教学过程：本节课是《垂直于弦的直径》教学设计的第一课时，主要分为以下几个环节：1. 创设情境，引入新课利用生活中的实际例子，如圆形水杯盖、碗等，让学生观察这些物体上的弦的特征，引入垂直于弦的直径的概念。

2. 探究新知，构建知识通过动手操作、观察、思考等环节，让学生了解垂直于弦的直径的性质和推导过程。

教师可以引导学生思考：为什么会有这样的性质？如何证明这个结论？3. 合作交流，展示成果将学生分成小组，让他们交流讨论，展示自己的研究成果。

教师可以鼓励学生用不同的方法证明垂直于弦的直径的性质。

4. 精讲点拨，突破难点针对学生在探究过程中可能遇到的难点和疑惑，进行精讲点拨。

例如，如何理解“直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这个结论？如何用图形语言和文字语言描述这个结论？5. 课堂小结，反思提升让学生总结本节课的主要内容，包括垂直于弦的直径的性质、推导过程和应用等。

同时，引导学生思考：通过本节课的学习，你有什么收获和体会？有哪些地方需要改进和提高？6. 布置作业，巩固提高根据学生的实际情况，布置适量的作业，包括基础题和提高题。

这些题目可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 学生能够理解垂直于弦的直径的性质，并能够运用该性质解决相关问题。

2. 学生能够掌握垂径定理，并能够运用该定理解决相关问题。

3. 培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

二、教学重难点1. 教学重点：理解和运用垂直于弦的直径的性质和垂径定理。