中国科学技术大学自主招生数学试题解答

2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析2016・6一、填空题（每小题6分，共48分）1. 32016除以100的余数为•解21 +由f 3药怡=9100S= (10 - 1)100&,有32OlG=(―卯处 + CJ OM・(―叩期-10 (mod 100), 于是32OlG = 21 (mod 100)2. 复数z，Z2满足|z Z+, 1十I，则|的值是.设起数Z H J2;；I +;3庄篁平而内的苛盛蛊令別甫A.H.C,刖四迪殆OACB梅扳平打四边诺.的撲为接丁来求它的幅金.在^\OAC中盛用余苗宅理*有于jt. oosZAOfi = 进而可得4i2 + 32 - 422 2 3~3. 用S(A)表示集合A 的所有元素之和，且 A {1,2,3,4,567,8}, S(A)能被3整除，但不能 被5整除，则符合条件的非空集合 A 的个数是将集合.4划分为岛={14了}4 = {2 用川 h 松={3,6},于是使碍5(A)能械3整除的非空集合.4的个数有[(C? + CS)2 + (CJ)2 + (Cl)2] 2? - 1 = 87.接下乗垮唐S(A)旄殖15整除的非空集合4的金数，忧时S(A) = \^或S(A) = 2Q.(1) S{A.)= 15.比时按it 丸元素分別为&7,分英，分时有％去乩1金’共计13金.(S)S(A} = 3().此时只喘羹常恿= G 的情刑，展有d 个.塢上所述*甘舍燕件的非空集舍4的卒牡为87-13-4 = 70.4. 已知 AABC 中，si nA ，2s in BcosC =0，贝U tanA 的最大值是询 sin A = sii )(ZJ + Q = sinJ?(™C l -™/3sinC p 得3 sin B cos (7 4- cos B KinC = 0,即 3 tun H + taiiC = 0.5. 若对任意实数x 都有|2x-a| J3x-2a|_a 2，则a 的取值范围是于足 tan A = — tai] (/? + G)= tan B I tanC 1 — tan 13 - tan C Stan B1 +3tnn J /? ---- - + 3lan 1?tan B V7学jau(7 =—旳时取蒔因此tan A 的S 解易知环 /（!）= |2r-o| + |3z-2a|庭工=鲁 业取得載小｛£ ；（y ）=星 于"不等式r i ii因此（i 的取值范国是 --.-.6. 若很三（孑2）， b （0,1）， X =（sin 〉）logbSin 〉，y =（cos 〉）log w ，则 x y （填•,=,：：：）2 2 lo 2 sin a In 2 cos a sin a > oasa => 0 > Ln sin a > lncosa => In sin a < In sin o 令一-_；— > —-_=— Inb In b因此 InHAliiy* 从而 hA »-AC, BD 交于R ,过P 作AB 的平行线交 BC 于点Q i , AQ iBC 于点 Q 2，…，若 AB =a,CD =b ，则 RQ n =.（用a,b,n 表示） 取时戟，可得. In 2 sin a . lir cosnln&7.梯形ABCD 中，AB//CD ，对角线 交BD 于P ,易知环/（!）= |2r-o| + |3z-2a|庭工=鲁业取得載小｛£；（y）=星于"不等式i£P、Qi = € NJ* 则却=CD =扒且2016 I8数列｛a n ｝中，a n 是与.n 最接近的整数，则 7 -二. n4 a n因比 …-)Q^oifi 为1」咼22&…忌札…出…，込耳… J4山5,45,…，45, V —' 、■ * ' * “ ‘ *"2 牛 4 勒 2k 88 36 +2OIC | 恥 / - 、 . 4 . 4n=] km I、解答题(第9小题满分16分，第10、11小题满分18 分)錠 由均值不爭式，有 eye因此原苹等式稈证10.求所有函数f :N rN ，使得对任意正整数 x 严y ， 0 ：| f (x) - f (y) | ：：2 | x-y |.= l t 具中 /(l) EW. ■n记 A = round ( *57) * 则疽 k =进而可得9.已知 a,b, c 0 , a b c =3，再曲柯西干等式’有亍 2a 2 L 2u + &+ ceye也即 k 2 — k -t- 2十 a求a 32帳携腿竈+取y = ^ + i t则有时任意HEPPt均有0 <1/(® +1)-"上}| "即|/{1 +1)- /(«)| = L考虑#iL#* x^y,|/(x) - f(y)\ >0,圍此f 为单4L iiitt味着f(x+ 1) - f(i)三1 或列丁+ 1)—列刃三一Lf舌刑芯然岀JX不同的自菠量映财到同一伞正整歌/” #虑到崖时乘舍助闻*,宵此兀工+1)—『口)三1’ 琥窃可f(n) = f(l) + u-l)其中/(1)€N*.11.求方程2x -5y 7^1的所有非负整数解(x, y, z).K = (1|^|0)»(3,0,1)幅堆履总,有(-1^ -(-!)»■ 1£ = 1 (mod 3),凶光工希青*t且F旳儁丸ilr~2m-il t y~2n y I?■中nt:neN.于址尿才淞芋阶于2 4和-耶"7 - L* n * 0,剧2 (-1)^ = L (mod &i.牙蔺，于世联一山叱吋廉才程帝脅于俨一产_ J(I)? = 0. nt= ft.因比(J j/, z) =(1,0.0)怜轿舍对意的一期鲜⑵芸£式丄阿= 1 (mod 4|.于是二沖奇轍’ i£ i 卩€臥瞄關淖程辛會于2•們7 1讲一1.若p —■削m — 1,圏此2*R =)= S h U,l］沖期舍趙盘的一粗解*彗卩#山则师孑丄，于走^7 1^=\iitiud 1臥棕上弁連*權方理的朋南菲曲整艇解询z.y.z) - (LO.OJ.flO.lJ.。

中科大、国科大等7所高校2019年自主招生综合评价笔试、面试真题中国科学技术大学~自主招生数学部分共8个填空题、3个解答题，分值为100;物理部分共10个选择题、6个大题，分值为100。

根据考生回忆，物理部分中规中矩，而数学部分整体格式类似高中数学联赛一试，难度和联赛一试相仿。

以下是部分真题。

填空题(1)二元绝对值不等式控制区域求面积，一个小难点是两个绝对值都是二元的。

如果第一时间抓住图形对称中心，分类讨论起来并不困难。

(2)考查三角形和向量结合类型题目，具体来说就是“奔驰定理”。

若知道结论可以快速解答，不知道的话就需要一些时间来推论了。

(3)有一道送分题，表面看上去是在考察代数，实际上可以转化为一个圆和一个定点的距离问题。

涉及到二次曲线参数方程的知识。

解答题(1)直接考查计数原理中的完全错排数，剩下就是计算了。

(2)数论题目，要用到二试以上的知识点，涉及的知识有费马小定理，欧拉定理。

题目难度较大，没有学过竞赛的题目根本无从下手。

中国科学院大学~综合评价中国科学院大学2019年综合评价采用5人小组面试，组员之间没有交流讨论环节，一共1个小时。

随机分组，不分专业。

面试问题大概分三个方向，1、考生自我介绍及个人情况了解;2、围绕国科大相关提问;3、专业相关的题目。

面试真题(部分)1、自我介绍，为什么来到国科大2、如果过了清北线怎么抉择?3、介绍所认识的国科大优势4、你认为目前科学能解决但未解决的问题是什么?5、介绍个人对未来的专业发展有什么规划，兴趣，暑假计划6、高中让你骄傲的事是什么?7、你认为弱势群体是谁?为什么?8、你的人生理想是什么?浙江大学~自主招生面试题(考生回忆)1、最喜欢的一本书，具体理由2、接着提问，喜欢的书有什么缺陷和不足3、用英语回答，暑假准备做什么南京大学~自主招生南京大学2019年自主招生笔试分为理科综合和文科综合，其中，理科综合一共8大题，4题数学、4题物理，考两小时。

“思维量和计算量都挺大的，有些题目需要用到高中的一些结论来倒推。

2018中科大自主招生考试数学准考证打印时间：2018年6月5日笔试时间：2018年6月10日8:30-11:30（提前半小时入场） 面试时间：2018年6月10日13：00 1.)20181-= .分析：复数三角形式解析：()201721-2212cos sin 33ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭i)()201820182017112212⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.2.已知3tan 25α=，则()()tan 15tan 15αα+=-oo. ()()()()()()tan 15sin 15cos 15sin 2sin 3011sin 2sin 30tan 15cos 15sin 15αααααααα++-+===--+-oo oooooo.2. 设12x >-，则()2121f x x x x =+++的最小值为 . 解析：()2211111212422f x x x x x x ⎛⎫=++=++-⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭12111111244422x x x ⎛⎫=+++-⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14≥-14-=（等号当且仅当12x -=）.3. 设{}1,2,3,4,5S=，则满足()()f f x x =的映射:f S S→的个数是 . 解析：4. 设α为复数，i 为虚数单位，关于x 的方程20x x α++=i 有实根，则α的取值范围是 . 分析：复数代数形式解析:易得0x ≠，2x x α+==≥i5. 已知定义在()0,+∞上的函数()f x 是单射，对任意0x >，()1xf x >，()()12f xf x -=，则()2f = .解析：1 由()f x 为单射，故()1xf x -为常数，设其为C . 故()1C f x x+=，由()2f C =，代入可得1C =即()2f x x=，()21f =.135555326⨯++=C C C6. 在四面体ABCD 中，△ ABC 是斜边AB 为2的等腰直角三角形，△ABD是以AD 为斜边的等腰直角三角形，已知CD =点P 、Q 分别在线段AB 、CD 上，则PQ 的最小值为 . 解析：相当于求AB ，CD 之间的距离.建系，各种垂直关系不累述了，以C 为坐标原点建立空间坐标系，CB u u u r为y 轴正方向, ()0,0,0C，(A，()B，()D则(AB =u u u r，()CD =u u u r令(11,2n AB CD =⨯=r u u u r u u u r于是5CA n d n⋅==u u u r rr .7. 点P 在圆()()22211x y -+-=上运动，则向量PO u u u r（其中O 为坐标原点）绕点P 逆时针旋转90°得PQ u u u r，则点Q 的轨迹方程为 . 解析：相当于OP u u u r顺时针旋转45倍得到OQ u u u r.设()00,P x y ，(),Q x y ，在复平面内相当于()00cos45sin 452x y x y +=++i i i o o 即()()001212x x y y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， DCBA1代入可得()()22424x y x y --++-=,即()()223310x y -+-=.8. 过点()1,0-的直线m 与抛物线2y x =相交于,A B ，若△ AOB 的面积为3（其中O 为坐标原点），求直线m 的方程.解析：设直线为y kx k =+(0k >)，联立抛物线可得20x kx k --=. 24k k ∆=+12132AOB S y y ∆=-==.即434360k k +-=.只能给出数值解. 9.求所有的二次实系数多项式()2f x x ax b =++，使得()()2|f x f x . 解析：由题意可知，若()0f α=，则一定()20f α=则()f x 的零点集合可能为{}0，{}1，{}0,1，{}1,1-，{}2,w w ，其中12w =-+. ()2f x x =,()221f x x x =-+,()2f x x x =-,()21f x x =-,()21f x x x =++.10.设11a =，()3111n n a n a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，求证：（1）132111n nk a n k -=⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭∑； （2）113nk k k a =⎛⎫+< ⎪⎝⎭∏.（1）()133211n n a a n n n +=++，叠加可得答案.（2）()31311k k k k ka kk a k a a k a +++==+()13111nn kk a k a n +=⎛⎫+==⎪+⎝⎭∏()121111112331nn k k k k n k-==+<+=-<+∑∑.。

2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答王慧兴;王雪芹【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】3页(P20-22)【作者】王慧兴;王雪芹【作者单位】清华大学附属中学;北京师范大学第二附属中学【正文语种】中文从中科大这份自主招生试题看,我们得出以下4点结论: 1) 著名高校自主招生要求考生数学视野开阔,不局限于高考(考试大纲、考试说明),但不超过现行课标设定的知识与能力要求(只是当下常态教学搞全面应试教育,不以课标要求开展教学,譬如按课标编写的《初等数论》、《图论》等等,由于高考不考就不学); 2) 著名高校自主招生命题刻意追求与高考互补,也就是说高考刚刚考过的常态题型不再考查,坚持在课标范围内与高考形成互补; 3) 著名高校自主招生命题更突出对考生能力的考查,继续坚持(不回避)对过往竞赛试题推陈出新,譬如第1、2、3、6、7题在早些年全国高中数学联赛等试题中都有原型,第4题是三角形中的常态问题,另外第5题源于2007年全国高中数学联赛试题2,第8题源于2005年全国高中数学联赛试题加试3,第9题源于国外数学竞赛试题,第10题源于2010年国际数学奥林匹克(IMO)试题3,第11题源于2005年中国数学奥林匹克(CMO)试题6; 4) 对有志赢得更多机会的优秀学子,应把功夫放在平常,及早按课标要求,在常态学习中同时积淀与高考互补的内容,在高考之后登上才智展示的舞台. 以上都是笔者研究高校自主招生试题得出的经验,这些经验已写入笔者著作《自主招生数学备考十二讲》中．下面与读者分享这份精彩思维体操.例1 32 016除以100的余数是________.因为所以340≡1(mod100),从而32016≡316(mod100).再用二进制计算如下：3≡3(mod100),32≡9(mod100),34≡-19(mod100),38≡61(mod100),316≡612=3 721≡21(mod100),综上所述,32 016≡21(mod100).应用欧拉定理可以给出满足3a≡1 (mod 100)的一个正整数a，也可以经枚举发现周期性找出一个这样的正整数.譬如：3a≡1 (mod 100)等价于因为{3n} (mod 22):3,1,3,1,…,所以a是偶数.记a=2b (b∈N*),代入3a≡1 (mod 52),得9b≡1 (mod 52)，必有9b≡1 (mod 5)，但{9n} (mod 5):4,1,4,1,…,所以b=2c (c∈N*),代回9b≡1 (mod 52)，得81c≡1 (mod 52)，但{81n} (mod 25):6,11,16,21,1,…,所以c是5的倍数，记c=5k (k∈N*),从而a=20k,这样得到一个更小的a=20.当然，本题也可应用二项式定理求解例2 复数z1、z2满足|z1|=2,|z2|=3,|z1+z2|=4,则________.由|z1+z2|=4,得即亦即因为Δ=9-9×16=-9×15,所以,方程有2个共轭虚根i.本题灵活应用共轭与模的性质给出解答,也可走代数形式求解途径.由得所以即).由可得故亦即所以i.例3 用S(A)表示集合A的元素和,A⊂{1,2,3,4,5,6,7,8}且S(A)是3的倍数,但不是5的倍数,则集合A的个数是________.先把集合{1,2,3,4,5,6,7,8}中的8个元素按照同余作划分.按模3同余划分:{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}.若A≠{1,2,3,4,5,6,7,8},故满足S(A)是3的倍数的真子集A的个数是但其中和数是15的13个子集{8,7}、{8,6,1}、{8,5,2}、{8,4,3}、{8,4,2,1}、{7,6,2}、{7,5,3}、{7,5,2,1}、{7,4,3,1}、{6,5,4}、{6,5,3,1}、{6,4,3,2}、{5,4,3,2,1}以及和数是30的4个子集{4,5,6,7,8}、{2,3,4,6,7,8}、{1,3,5,6,7,8}、{1,2,3,4,5,7,8}这17个子集应当去掉,所以满足题设的真子集A的个数是83-17=66.本题检测组合计数基本技能,常态的问题是单一分组设计,如“求集合{1,2,…,100}的元素之和是3的倍数的三元子集个数”就是一个常态的练习题,求解的关键是按摸3的余数作划分{1,2,…,100}={1,4,7,…,100}∪{2,5,8,…,98}∪{3,6,…,99},再按目标合理分类与分步组合计数得例4 在△ABC中,sin A+2sin Bcos C=0,则tan A的最大值是________.记BC=a,AC=b,AB=c,由正弦定理和余弦定理,得即c2=2a2+b2.再由余弦定理,得当b=c时取“=”.从而故此时).本题检测基于正弦定理和余弦定理探求三角形中最值问题能力,但考生容易囿于三角变换，陷入怪圈,因此,试题设计体现知识自觉调用、检测目标意识.例5 若对任意实数x,都有|2x-a|+|3x-2a|≥a2,则实数a的取值范围是________.由绝对值不等式,得到综上并且当时取到“=”,即所以题设恒成立条件转化为即故实数a的取值范围是].本题检测应用绝对值不等式求最值的基本技能.上述解法带参数求最值，也可换元去掉参数. 首先a=0满足题设,以下设a≠0,换元x=ay,则恒成立条件化为|2y-1|+|3y-2|≥|a|.由在时取“=”,所以故综上所述例6 设则x=(sin a)logbsin a与y=(cos a)logbcos a的大小关系是____.logbx=(logbsin a)2,logby=(logbcos b)2，因为故再由0<b<1可知f(x)=logbx 是减函数,所以f(cos a)>f(sin a)>0,即logbcos a>logbsin a>0,从而(logbcos a)2>(logbsin a)2>0.综上所述,0<logbx<logby,所以1>x>y>0.例7 在梯形ABCD中,AD∥BC,且AC与BD交于点P1,作P1Q1∥AD交CD于Q1,连接AQ1交BD于P2,作P2Q2∥AD交CD于Q2,依此类推,设AD=a,BC=b,则PnQn=________.先算初值, 由所以由此,可得递推公式即由等差数列通项公式,得故).本题检测平面几何中比例计算基本技能,这里给出建构递推数列求解,也可以利用归纳推理、猜想、证明.例8 设an是与最接近的整数,则________.任取n∈N*,存在k∈N*与i∈{0,1,2,…,2k},使n=k2+i,则k.按题设定义,得an=k的充要条件是即亦即i∈{0,1,2,…,k},所以记则因为442<2016<452,所以本题检测基于“换序”更换和式求值的组合能力.例9 设a,b,c>0,且a+b+c=3,求证证明由柯西不等式,得目标转化为证把条件a+b+c=3代入,即得亦即已知成立,故命题得证.本题检测应用柯西不等式推证分式型不等式的基本技能,柯西不等式是证明多元不等式与求多元极值的重要工具.例10 求所有函数f:N*→N*,使得对任意互异正整数x、y,都有0<|f(x)-f(y)|<2|x-y|. 按题意,f(x)≠f(y),∀x、y∈N*(x≠y),即f:N*→N*是单射.任取n∈N*,都有0<|f(n+1)-f(n)|<2,但f(n)、f(n+1)∈N*,所以f(n+1)-f(n)=±1.情形1: 若f(n+1)-f(n)=1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有记c=f(1)-1,则f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.经验证,这是满足题设条件的函数. 情形2: 若f(n+1)-f(n)=-1 (n∈N*),则任取n∈N*,都有但无论如何定义正整数f(1),都不能使所有f(n)∈N*,故此情形不存在满足题设的函数f(x).情形3: f(n+1)-f(n)=±1(n∈N*),且则必存在k∈N*(k>1)使得,f(k)=f(k-1)-1,而f(k+1)=f(k)+1,所以f(k+1)=f(k-1),这与f:N*→N*是单射矛盾,故此种情形不存在满足题设的函数f(x).综上所述,满足题设的函数f:N*→N*所有解是f(n)=n+c(n∈N*),其中常数c∈N.本题检测对单射的深刻理解与应用、分类讨论能力与极端性思维能力.例11 求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解(x,y,z).假设y≠0,若y≥1，必有x≥3,方程两边模5，得2x≡1(mod 5).因为{2n} (mod 5):2,4,3,1,…,所以4|x,从而5y·7z=2x-1≡0 (mod 3),矛盾.所以y=0,原方程即2x-7z=1.当x≤3时，解得(x,z)=(1,0),(3,1);当x≥4时，有7,1≡7z=2x-1≡0 (mod 16),矛盾.综上所述,方程共有2个解(x,y,z)=(1,0,0)、(3,0,1).本题检测应用同余性质求解不定方程基本技能,属初等数论典型内容.。

2016年中国科学技术大学自主招生数学试题及解答作者：甘志国来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期一、填空题（每小题6分，共48分）1.32016除以100的余数是.2.复数z1，z2满足z1=2，z2=3，z1+z2=4，则z1z2=.3.用S（A）表示集合A的所有元素之和，且A{1，2，3，4，5，6，7，8}，S（A）能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A的个数是.4.已知△ABC中，sinA+2sinBcosC=0，则tanA的最大值是.5.若对任意实数x都有2x-a+3x-2a≥a2，则a的取值范围是.6.若a∈π4，π2，b∈（0，1），x=（sina）logbsina，y=（cosa）logbcosa，则x y（填>，=，或7.在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC，BD交于P1，过P1作AB的平行线交BC于点Q1，AQ1交BD于P2，过P2作AB的平行线交BC于点Q2，….若AB=a，CD=b，则PnQn= （用a，b，n表示）.8.在数列{an}中，an是与n最接近的整数，则∑2016n=11an=.二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）9.已知a，b，c>0，a+b+c=3，求证：a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥32.10.求所有函数f：N*→N*，使得对任意正整数x≠y，011.求方程2x-5y·7z=1的所有非负整数解（x，y，z）.参考答案1.21.由32016=91008=（-1+10）1008≡（-1）1008+C11008（-1）1007·10≡-79≡21（mod100）可得答案.2.16±156i.复数z1z2的模z1z2=z1z2=23，接下来求其幅角.图1如图1所示，设复数z1，z2，z1+z2在复平面内对应的点分别是A，B，C，得OACB.在△OAC中应用余弦定理，可求得cosA=22+32-422·2·3=-14.所以cos∠AOB=14，进而可得z1z2=2314±154i=16±156i3.70.将集合{1，2，3，4，5，6，7，8}划分为A1={1，4，7}，A2={2，5，8}，A3={3，6}.于是，使得S（A）能被3整除的非空集合A的个数是[（C03+C33）2+（C13）2+（C23）2]·22-1=87.接下来，考虑S（A）能被15整除的非空集合A的个数，此时S（A）=15或30.当S（A）=15时，按集合A的最大元素分别为8，7，6，5分类，可得分别有5，4，3，1个，此时共计13个.当S（A）=30时，共有4个.综上所述，可得答案是87-13-4=70.4.33.由sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC及题设可得tanC=-3tanB，所以由均值不等式，可得tanA=-tan（B+C）=tanB+tanCtanBtanC-1=2tanB3tan2B+1=23tanB+1tanB≤33进而可得：当且仅当tanB=13即（A，B，C）=π6，π6，2π3时，（tanA）max=33.5.-13，13.由零点讨论法可得，当且仅当x=2a3时，（2x-a+3x-2a）min=a3.所以题设即a3≥a2，进而可得答案.6.>.可得lnx=ln2sinalnb，lny=ln2cosalnb.由a∈π4，π2，可得0又由b∈（0，1），可得lnblny，x>y.图27.aba+bn.如图2所示，设PnQn=xn（n∈N），其中P0Q0=x0=CD=b.由平行线分线段成比例定理，可证得1xn+1=1xn+1a.所以1xn=1x0+na.PnQn=xn=aba+bn.8.888.设k是与n最接近的整数，得k=n+12，得k≤n+12k2-k+14≤n所以数列a1，a2，…，a2016即1，12个，2，2，2，24个，...，k，k，...，k2k个，44，44，...，4488个，45，45， (4536)进而可得∑2016n=11an=∑44k=11k·2k+145·36=88.89.由三元柯西不等式，可得2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c·4（a+b+c）=（2a）22a+b+c+（2b）2a+2b+c+（2c）2a+b+2c[（2a+b+c）+（a+2b+c）+（a+b+2c）]≥（2a+2b+2c）2=2（a+b+c）2.所以2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥a+b+c2=32.再由二元均值不等式，可得a2a+bc+b2b+ca+c2c+ab≥2a22a+b+c+2b2a+2b+c+2c2a+b+2c≥32.10.在题设所给的不等式中，可令y=x+1（x∈N*），得0即f（x+1）-f（x）=1.由对任意正整数x≠y，0因为象的集合为N*，所以f（x+1）-f（x）≡1.进而可得，f（n）=n+f（1）-1，其中f （1）∈N*.11.由题设，可得（-1）x-（-1）y≡1（mod3），所以x为奇数，y为为偶数.可设x=2m+1，y=2n（m，n∈N），得原方程即2·4m-25n·7z=1.若n∈N*，可得2（-1）m=-2≡1（mod5），这不可能！所以n=0，y=0.又得原方程即2·4m-7z=1.（1）当z=0时，得m=0，此时的解为（x，y，z）=（1，0，0）.（2）当z∈N*时，得-（-1）z≡1（mod4），所以z为正奇数，设z=2p+1（p∈N）.再得原方程即2·4m-7·49p=1.①当p=0时，得m=1，此时的解为（x，y，z）=（3，0，1）.②当p∈N*时，得m≥4，所以-7·1p≡1（mod16），这不可能！综上所述，可得原方程的所有非负整数解（x，y，z）=（1，0，0），或（3，0，1）.。

保密★启用前2016年中国科学技术大学自主招生数学试题 2016.6一、填空题（每小题6分，共48分）1．20163除以100的余数为 .2．复数12,z z 满足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，则12z z 的值是 . 3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆，，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 .4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，则tan A 的最大值是 .5．若对任意实数x 都有2|2||32|x a x a a -+-≥，则a 的取值范围是 .6．若(,)42ππα∈，(0,1)b ∈，logsin log cos (sin ),(cos )b b x y αααα==，则x y (填,,>=<)7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，若,AB a CD b ==，则n n P Q = . （用,,a b n 表示）8． 数列{}n a 中，n a最接近的整数，则201611n na ==∑ . 二、解答题（第9小题满分16分，第10、11小题满分18分）9．已知,,0a b c >，3a b c ++=22232≥ 10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.11．求方程2571x y z -⋅=的所有非负整数解(,,)x y z .。

2020年安徽合肥中国科学技术大学自主招生数学试卷（创新班）-学生用卷一、综合题（本大题共11小题）1、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第1题 若z +z =1，则|z +1|−|z −i |的取值范围是 ．2、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第2题 若|5x +6y |+|9x +11y |⩽1，则包围图形的面积S = ．3、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第3题 f (x )=√3+1x 的离心率是 ．4、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第4题 a 1=1，a 2=3，a n =2a n−12a n−2+a n−1，则a n = ．5、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第5题 x 2−y 2=4p 2，x ，y 为正整数，p 为素数，则x 3−y 3= ．6、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第6题 a =20202020，b =√20192021⋅20212019，c =12(20192021+20212019)，则a ，b ，c 大小顺序是 ．7、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第7题 f (x )=(x −1)2+k 2，且a ，b ，c ∈[0,1]，f (a )、f (b )、f (c )为三角形的三边，则k 的取值范围是 ．8、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第8题a1，a2，⋯，a n为1，2，⋯，n的排列，若i<j且a i<a j则(a i,a j)为顺序对，设x为a1，a2，⋯，a n的顺序对的个数，则E(X)=．9、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第9题已知x∈[0,π2]，求y=3sin2x−2sin⁡2x+2sin⁡x−cos⁡x的取值范围．10、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第10题已知f(x)=x3+ax2−x+1−a，求所有a∈R，使得∀x∈[−1,1]，|f(x)|⩾|x|恒成立．11、【来源】 2020年安徽合肥包河区中国科学技术大学附属中学自主招生（创新班）第11题已知1+√2+⋯+√n<C(n+1)32，证明：当C=23，不等式成立，且C<23该不等式不成立．1 、【答案】暂无;2 、【答案】暂无;3 、【答案】暂无;4 、【答案】暂无;5 、【答案】暂无;6 、【答案】暂无;7 、【答案】暂无;8 、【答案】暂无;9 、【答案】暂无;10 、【答案】暂无;11 、【答案】暂无;。

2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解析 2016.6一、填空题（每题6分，共48分）1．20163除以100的余数为 .2．复数12,z z 知足12||2,||3z z ==，12||4z z +=，那么12z z 的值是.3．用()S A 表示集合A 的所有元素之和，且{12345678}A ⊆，，，，，，，， ()S A 能被3整除，但不能被5整除，那么符合条件的非空集合A 的个数是 .4．已知ABC ∆中，sin 2sin cos 0A B C +=，那么tan A 的最大值是 .5．若对任意实数x 都有2|2||32|x a x a a -+-≥，那么a 的取值范围是 .6．若(,)42ππα∈，(0,1)b ∈，logsin log cos (sin ),(cos )b b x y αααα==，那么x y (填,,>=<)7． 梯形ABCD 中，//AB CD ,对角线,AC BD 交于1P ,过1P 作AB 的平行线交BC 于点1Q ，1AQ 交BD 于2P ,过2P 作AB 的平行线交BC 于点2Q ，…，假设,AB a CD b ==，那么n n P Q = .（用,,a b n 表示）8． 数列{}n a 中，n a 最接近的整数，那么201611n na ==∑ .二、解答题（第9小题总分值16分，第10、11小题总分值18分） 9．已知,,0a b c >，3a b c ++=22232≥10．求所有函数:f N N **→，使得对任意正整数x y ≠，0|()()|2||f x f y x y <-<-.11．求方程2571x y z -⋅=的所有非负整数解(,,)x y z .。

2019年北京大学自主招生数学试题2019年清华大学自主招生数学试题2019年中国科学技术大学自主招生数学试题4．记3cos(),4cos()36x t y t =+-=++，则22x y +的最大值为__________。

5．设点0(1,0)P ，i OP (i =1,2,3…)绕原点按顺时针旋转θ得到向量i OQ ， i Q 关于y 轴对称点记为1 i P +，则2019P 的坐标为__________。

．，且．已知，且9．将△D 1D 2D 3的各中点连线，折成四面体ABCD ，已知12233112,10,8D D D D D D ===，求四面体ABCD 的体积。

10．求证：对于任意的在R 上有仅有一个解0x =11．已知(1)求证：存在多项式()p x ，满足cos (cos )n p θθ=；(2)将()p x 在R [x ]上完全分解。

2019年中国科学技术大学自主招生数学试题参考答案2.B红色曲线为y =sin 2x ,蓝色曲线为y =-cos 3x综上，知：00100110cos sin cos sin 01sin cos sin cos x x x y y y θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么222(,)P x y 满足：200020002cos sin 10sin cos 01x x x x y y y y θθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭这也就说明了20,P P 重合。

故2019P 坐标为(cos ,sin )θθ--6.首先将递推公式两侧取倒数，则：112(1)11112(1)n n n n nn x n x x x x ++++=⇔-=+累加，即：21122(1)n n n k k x x n n =-=⇒=+∑裂项求和，则：2019112019*********k k x ==-=∑7.如图所示，我们定义a ~b 表示复数a 和b之间的边11z z -+是纯虚数，表明0~(z-1)与0~(z+1)垂直，进而说明|z~(z-1)|=|0~z|=|z~(z+1)|=1故||1z =，进一步，我们设cos sin z i θθ=+则222222222|3|(cos 2cos 3)(sin 2sin )cos 2cos 96cos 6cos 22cos cos 2sin 2sin 2sin 2sin 116cos 2812cos 8cos 53z z cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθ++=++++=++++++++=++=++≥等号成立条件为1cos 3θ=-8.9.简解：由题意，易知四面体ABCD为等腰四面体，将其嵌入长方体后割补法即可图示蓝色边框为等腰四面体，黑色为被嵌入的长方体答案：410.首先，我们定义()()n f x 代表函数()f x 的n 阶导数令0()!kn x k x f x e k ==-∑注意到()()1n x f x e =-在R 上单调递增，故其在R 上仅有一根x =0，从而(1)()1n x f x e x -=--在R 上有最小值，即(1)(1)()(0)0n n f x f --≥=进而2(2)()12n x x f x e x -=---在R 上单调递增以此类推，可知：(2)()n k f x -在R 上单调递增，仅有一根x =0(21)()n k f x --在R 先减后增，且恒为非负实数，且仅有一根x =0综上，不论n 取何值，0()!knx k x f x e k ==-∑在R 上仅有一根x =011.本题考察内容十分清晰，旨在考察Chebyshev 多项式（1）采取归纳法证明，若对于不同的n ，存在满足题设的多项式，则记其为()n p x 首先，当1n =时，存在多项式1()p x x=其次，当2n =时，存在多项式22()21p x x =-我们假定命题在2,1n n --的情形下成立，下面考察n 的情形cos cos[(1)]cos(1)cos sin(1)sin 1cos(1)cos [cos cos(2)]2n n n n n n n θθθθθθθθθθθ=-+=-⋅--⋅=-⋅+--进而有cos 2cos cos(1)cos(2)n n n θθθθ=---即12()2()()n n n p x xp x p x --=-因为12(),()n n p x p x --都是多项式，所以()n p x 也是多项式。

中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试数学A 真题及答案解析注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。

2.将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷共5题，每题20分，共100分。

需要写出必要的计算和证明过程。

一、求满足2022a b c ++=且2022abc 可被整除的正整数集合{},,a b c 个数。

二、求满足如下条件的所有函数()f x ；（1）定义域为1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）(0)0f =；（3）1sin ()sin ()33xf x f x -=恒成立。

三、欧拉有著名公式22221111++++=236n π ，求最小正整数n ，使得2211162022nk k π=>-∑。

四、在圆周上独立地随机选取n 个点，求这n 个点可以被半圆周覆盖的概率。

五、设2*()()1,,2!!nn x x f x x n N x R n -=-++∈∈ 。

（1）证明：：方程21()0n f x -=有唯一实数解，记作n a 。

（2）数列{}n a 是否为单调数列?请证明你的结论。

答案解析一、解：337322022⨯⨯=，又c b a ,,不可能为3个奇数，故只考虑3和337两个因子即可；若存在c b a ≠=，则有20222=+c a ，若c 337，则a 337，设11337337a a c c ==，，则6211=+c a ，11,c a 不可能为3的倍数；因此c b a ,,互不相等，由对称性，不妨设c 337：（1）337=c ，1685=+b a ，共56131685=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（2）574=c ，1348=+b a ，共44931348=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（3）1011=c ，1011=+b a ，此时b a ,必有一偶数，恒成立，共505种（4）1348=c ，674=+b a ，共2243674=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种（5）1685=c ，337=+b a ，共1123337=⎥⎦⎤⎢⎣⎡种注意到{}1011,674,337在计算过程中重复了2次，故：总计561+449+505+224+112-2=1849种.分析：本题为基础数论题，难度不大，但是需要一定的耐心和细心.二、解：令()()()x x g x g x f x g =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=331sin ，，则有()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-38933189x x g x x g ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n xx g x x g 38933189，又∞→n lim 0389331=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n xx g 故有当⎦⎤⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,00,21x 时，()x x g 89=，()πk x x f 289arcsin +=()Z k ∈，当0=x 时，()0=x g ，()0=x f .三、解：即求202211111121212122<=-=-∑∑∑∑+∞+==+∞==n k n k k n k k k k k b π即有()()111112-<<+k k k k k ，可得()n k k k n k n k 1111112=-<∑∑+∞+=+∞+=.因此，当2022=n 时，20221120232<∑+∞=k k 成立.而当2021≤n 时，()2022111111112≥+=+>∑∑+∞+=+∞+=n k k k n k n k 不成立综上2022min =n .四、解：n 个点分别记做i A ，过i A 和圆心做直线交圆于i B ，最终选取的n 个点记做i C ，其中n i ,,2,1 =，且{}i i i B A C ,∈.故共有n2种选择，且需要保证i C 均在一个半圆弧上，则当且仅当i C 为i A ，i B 这n 2个点种相邻的n 个点，即n 2种情况.又这n 个点同时包含一组i A ，i B 的概率为0，结论具有一般性.因此有：1222-==n n nn P .五、解：（1）()()()11111=-=-='+a x x f x f x f n n ，，()()x f x f 12-='，故()()0122=>f x f 不妨设()x f k 12-在R 上单调递减，且()012=-x f k 有实根k a ，且()02>x f k 恒成立，则()()0212<-='-x f x f k k 恒成立，且()012=+x f k ，()0lim 12>++∞→x f k x .因此()+∞∈∃+,01k a 使得()0112=++k k a f .()()x f x f k k 1222++-='，即有()()()()()0!2222111212222>+-+=>+++++++k a a f a f x f k k k k k k k 其中()0112=++k k a f ，证毕.综上，()x f n 12-在实数域上递减且有唯一实根.（2）()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+=+-+121!2!12!221221212n a n a n a n a a f a f n nn n n n n n n n n ()()()()()()()0212!1222332212212<---+--+-=-n n n n n n n a f n n ！又()x f n 12-递减，故n a n 2<证毕()()1112120+-++<=>n n n n n n a a a f a f ，综上，{}n a 为单调递增数列.。