椭圆中焦点三角形的性质含答案

学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学 山东 招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。

焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。

性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。

在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。

当且仅当1r =2r 时取得等号。

即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。

由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。

即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。

点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。

椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。

性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。

证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。

已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆的焦点三角形 基础再现： 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为21,F F ，长轴端点为21,A A ，短轴端点为21,B B ，P 为椭圆上任意一点，O 为坐标原点．1. 焦半径1PF 的范围：[]c a c a +-,．类似的：OP 的范围：[]a b ,．2. 焦点三角形的周长：c a L 22+=．3.[]22221,b c b PF PF -∈⋅，当且仅当P 位于短轴端点时取得22c b -，长轴端点时取得2b ． 4. 21PF F ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．类似的：21PA A ∠在点P 位于短轴端点时取得最大值．特别的：过焦点的所有弦中通径通径最短，通径：ab L 22= 5. 焦点三角形的面积： ⅰ．2121sin 21PF F PF PF S ∠⋅⋅=． ⅱ．p y c b b S =⋅=+⋅=2tan cos 1sin 22θθθ，当且仅当点P 位于短轴端点时面积取得最大值bc ． 6.22121cos e PF F -≥∠，其中e 为椭圆离心率． 7. PF F F PF PF F e 212121sin sin sin ∠+∠∠=，其中e 为椭圆离心率． 实战演练1．已知椭圆()()221:1,3,0,3,02516x y C A C +=-，B 为椭圆上一点，则在ABC ∆中BC A sin sin sin +的值为 ．2．已知21,F F 为椭圆221:12516x y C +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于B A ,，且1222=+B F A F ，则=AB ．3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++= ．4．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F ₁（-c ，0）、F ₂(c,0)，且椭圆上存在一点P 使得∠F ₁PF ₂ =90°，则椭圆离心率e 的取值范围是： ．5．若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 分别是其左右焦点，且︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积=S ，点P 的坐标为 ．6．已知椭圆1:222=+y ax C （a ＞1）的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为 ．7．已知椭圆14:22=+y x C 的左右焦点分别为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为 ．8．已知椭圆22194x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ．9．已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∆为直角三角形时，12F MF ∆的面积=S ．若将第9题椭圆方程变为2212516x y +=，则12F MF ∆的面积=S ． 10．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，且1260PF F ∠= ，则12F PF ∆的面积=S ．11．已知椭圆221259x y +=的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，直线1PF 的斜率为73，则12F PF ∆的面积=S ．。

椭圆中与焦点三角形有关的问题性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。

3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对cos 21PF F ∠=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。

能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2221||||PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ⋅，二者的关系是 ()||||24||||2||||||||212212212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅-=⋅++=+ ，于是目标式可分成两部分1||||2212-⋅PF PF b ，最后对||||21PF PF ⋅ 利用均值不等式，即可大功告成。

问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F ________.21cos 2e -≥θ_______________（当且仅当动点为短轴端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。

1由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 2⇒22≤e ＜1 变式1：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

椭圆中与焦点三角形有关的问题2y1的焦点为 F l 、F 2，点 P 为其上动点，当4点 P 横坐标的取值范围是 ______二）问题的分析点 P 的横坐标是 _____ 。

问题 2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现 F 1PF 2 的大小与点 P 的位置有关，究竟有何联系。

性质一： 当点 P 从右至左运动时， F 1PF 2 由锐角变成直角，又变成钝角，过了 Y 轴之 后，对称地由钝角变成直角再变成锐角， 并且发现当点 P 与短轴端点重合时， F 1PF 2达到 最大。

3. “性质一”是为什么呢？你能证明吗？问题 3： 解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求 F 1PF 2 的最 大值，只需求 cos F 1PF 2 的最小值”问题 1. x2椭圆9 2 y1的焦点为 F l 、 F 2，点 P 为其上一点，当4F 1PF 2 为直角时，例 1 ：椭圆F 1 PF 2 为钝角时，问题5：由上面的分析，你能得出cos F1 PF2与离心率 e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为2x2a2y2 1(a b 0), 两焦点分别为F1, F2 ,设焦点三角形b2PF1F 2 中F1PF22,则cos 1 2e2. (当且仅当动点为短轴端点时取等号)题2：已知F1、F2是椭圆2x2a2y2 1(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一b2点P 使F1PF290 ，求椭圆离心率e 的取值范围。

变式1：已知椭圆2x2a2y2 1(a b 0)的两焦点分别为F1, F2 ,若椭圆上存在一点P, 使b得F1PF2 1200,求椭圆的离心率e 的取值范围。

22变式2：若椭圆x y 1 的两个焦点F14 31F 2 ，试问：椭圆上是否存在点P ，使F1PF2 90 ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

三）问题引入2x2题3：P 是椭圆52y1 上的点，F l ，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则PF1F 2 41 231 2的面积等于2 x 问题1：已知椭圆C： 2 a22b y221（a>b>0），F1、F2 是两个焦点，对于给定的角探求在 C 上存在点P，使F1PF2的条件。

《椭圆的焦点三角形》专题2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名 从善如登,从恶如崩。

——《国语》椭圆的焦点三角形是指以椭圆的两个焦点12,F F 与椭圆上任意一点P 为顶点组成的三角形。

)0(12222>>=+b a by a x性质有：（1）12||||2PF PF a +=（2）2221212124||||2||||cos c PF PF PF PF F PF =+-∠（3）椭圆上的点与两焦点连线的夹角以椭圆短轴顶点与两焦点连线的夹角最大.证明：设P 是椭圆22221x y a b+= （0a b >>，c 为半焦距）上的一点 ，O 为原点，E 、F 是椭圆的两焦点，PE m =，PF n = 则222222244222cos 1122m n c b mn b b EPF mn mn mn a+--∠===-≥-， 由余弦函数图象性质知EPF ∠有最大值，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。

（4）设P 为椭圆上的任意一点，角12F F P α∠=，21F F P β∠=，21F PF θ∠=， 则有离心率sin()sin sin e αβαβ+=+，122sin 1cos PF F S b θθ∆=+2=b tan 2θ 证明：由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PF PF F F o ==-- 由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PF F F 而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++a PF PF ∴βαβαsin sin )sin(++==a c e 。

例题：1、椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点12,F F ，点P 在椭圆上，且1212414,||,||33PF PF PF PF ⊥==.求椭圆的方程22194x y +=2、设P 为椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上一点，F 1、F 2为焦点，如果 7521=∠F PF ， 1512=∠F PF ，则椭圆的离心率为( )A ．22 B ．23 C ．32 D ．363、1F 、2F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 12AF F ∆的面积为（ ）A ．7B ．47 C ．27 D ．2574、1F 、2F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，A 为椭圆上一点，且1290,F AF ∠=，则A 到x 轴的距离为A ．163B ．165C ．161635or D ．非上述答案5、设21F F ，分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是直角三角形的一个顶点，则P 点到x 轴的距离是 A.163 B . 165 C. 161653或 D. 非上述答案6、设21F F ，分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上一点，12,F F P ， 是是直角三角形的三个顶点，则P 点到x 轴的距离是 A.94 B. 95 C . 9954或 D. 非上述答案7、过椭圆左焦点F ，倾斜角为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （构造焦点三角形，两次应用余弦定理，整体处理余弦定理的结果）8、已知Rt ABC ∆，1,AB AC ==点C 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，且AB 为经过椭圆左焦点的弦，求椭圆的离心率。