中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及详细答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及详细答案

一、二次函数

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：2ymx2mx3m（m＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．

【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．S△PBC最大值为2716

（3）2m2或1m时，△BDM为直角三角形．

【解析】

【分析】

（1）在2ymx2mx3m中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．

【详解】

解：（1）令y=0，则2mx2mx3m0，

∵m＜0，∴2x2x30，解得：1x1，2x3．

∴A（，0）、B（3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C1的表达式为yax1x3（a0）， 把C（0，32）代入可得，12a．

∴Ｃ1的表达式为：1yx1x32，即213yxx22．

设P（p，213pp22），

∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=23327p4216（）．

∵3a4<0，∴当3p2时,S△PBC最大值为2716．

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，3m），M（1，4m），

∴BD2=29m9，BM2=216m4，DM2=2m1．

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即216m4＋2m1=29m9，

解得：12m2,22m2(舍去)．

当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即29m9＋2m1=216m4，

解得：1m1，2m1(舍去) ．

综上所述，2m2或1m时，△BDM为直角三角形．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

【答案】（1）y=38x2﹣34x﹣3 （2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是910

（3）K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）

【解析】

【详解】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣910（t﹣1）2+910．利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=34x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，38m2﹣34m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=94．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣34m2+3m=94．易求得K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．

解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

423016430abab，

解得3834ab，

所以该抛物线的解析式为：y=38x2﹣34x﹣3；

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC=2234=5．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴HBOCBGBC，即Hb35t，

∴HQ=35t．

∴S△PBQ=12PB•HQ=12（6﹣3t）•35t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）2+910．

当△PBQ存在时，0＜t＜2

∴当t=1时，

S△PBQ最大=910．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是910；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

403kcc，

解得3k4c3，

∴直线BC的解析式为y=34x﹣3．

∵点K在抛物线上．

∴设点K的坐标为（m，38m2﹣34m﹣3）．

如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，34m﹣3）．

∴EK=34m﹣3﹣（38m2﹣34m﹣3）=﹣38m2+32m．

当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=910．

∴S△CBK=94．

S△CBK=S△CEK+S△BEK=12EK•m+12•EK•（4﹣m）

=12×4•EK

=2（﹣38m2+32m）

=﹣34m2+3m．

即：﹣34m2+3m=94．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣278），K2（3，﹣158）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．

3．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，322abba＝＝，

解得14ab＝＝，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA∽△AEB,

∴PFAFAEBE，即244213xxx，

解得，x= −1，x=4（舍去）

∴x2-4x=-5

∴点P的坐标为（-1，-5），

又∵B点坐标为（1，-3），易得到BP直线为y=-4x+1

所以BP与x轴交点为（14，0）

∴S△PAB=115531524

【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

4．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：

（1）①直接写出a的值；

②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；

（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：

①求PDDD的值；

②直接写出L与m之间的函数关系式；

（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h的值．

【答案】（1）①12；②y＝212x﹣2x；

（2）①1； ②L＝2(22)(02)21(221)4(24)2mmmm„；

（3）h＝±23．

【解析】

【分析】

（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中计算即可；②y＝212x﹣2x；

（2）将（0，0）代入y＝a（x﹣h）2中，可求得a＝12，y＝12x2，待定系数法求OB、AB的解析式，由点P的横坐标为m，即可表示出相应线段求解；

（3）以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形，DD′＝OA，可知点D的纵坐标为2，再由AD＝OA＝4即可求出h的值．

【详解】

解：（1）①将x＝0，y＝0代入y＝a（x﹣2）2﹣2中，

得：0＝a（0﹣2）2﹣2，

解得：a＝12；

②y＝212x﹣2x；．

（2）∵抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点，a＝12；

∴y＝12x2，

∴A（4，0），B（2，﹣2），

易得：直线OB解析式为：y＝﹣x，直线AB解析式为：y＝x﹣4

如图1，

222111,2,,,(,0),(,),,222PmmmDmmEmFmmDmm，

①221122,222PDmmmmDDm