中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含答案

中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练含答案

一、二次函数

1．如图，对称轴为直线x1的抛物线2yaxbxca0与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（－3，0）．

（1）求点B的坐标；

（2）已知a1，C为抛物线与y轴的交点．

①若点P在抛物线上，且POCBOCS4S，求点P的坐标；

②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

【答案】（1）点B的坐标为（1，0）.

（2）①点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②线段QD长度的最大值为94.

【解析】

【分析】

（1）由抛物线的对称性直接得点B的坐标．

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到BOCS，设出点P

的坐标，根据POCBOCS4S列式求解即可求得点P的坐标．

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3)，从而由QD⊥x轴交抛物线于点D，得点D的坐标为(q,q2+2q-3)，从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解.

【详解】

解：（1）∵A、B两点关于对称轴x1对称 ，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线a1，对称轴为x1，经过点A（－3，0），

∴2a1b12a9a3bc0，解得a1b2c3. ∴抛物线的解析式为2yx2x3.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴BOC13S1322.

设点P的坐标为(p,p2+2p-3)，则POC13S3pp22.

∵POCBOCS4S，∴3p62，解得p4.

当p4时2p2p321；当p4时，2p2p35，

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为ykxb，将点A，C的坐标代入，得：

3kb0b3，解得：k1b3.

∴直线AC的解析式为yx3.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为(q,-q-3).

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为(q,q2+2q-3).

∴22239QDq3q2q3q3qq24.

∵a10<，-3302<<

∴线段QD长度的最大值为94.

2．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：

时间(天) 1 3 6 10 36 …

日销售量(件) 94 90 84 76 24 …

未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.

(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；

(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？

(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.

【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．

【解析】

分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；

（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；

（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 ．

详解：（1）设数m=kt+b，有,解得

∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上

析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．

（2）设日销售利润为P，

由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，

∵21≤t≤40且对称轴为t=44，

∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，

∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），

答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.

（3）P1=（-2t+96）

=-+（14+2a）t+480-96n，

∴对称轴为t=14+2a，

∵1≤t≤20，

∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，

又∵a＜4，

∴3≤a＜4．

点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．

3．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣12，

所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：

660bkb， 解得：16kb，

则直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，

则N（t，﹣t+6），

∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，

∴S△PAB=S△PAN+S△PBN

=12PN•AG+12PN•BM

=12PN•（AG+BM）

=12PN•OB

=12×（﹣12t2+3t）×6

=﹣32t2+9t

=﹣32（t﹣3）2+272，

∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）如图2，

∵PH⊥OB于H，

∴∠DHB=∠AOB=90°，

∴DH∥AO，

∵OA=OB=6，

∴∠BDH=∠BAO=45°，

∵PE∥x轴、PD⊥x轴，

∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合， 则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

4．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．

【答案】（1）；（2）E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．

【解析】

试题分析：（1）采用待定系数法求得二次函数的解析式；

（2）先求得直线BC的解析式为，则可设E（m，），然后分三种情况讨论即可求得；

（3）利用△PBD的面积即可求得．

试题解析：（1）∵二次函数（）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，

∴，解得：，∴该二次函数的解析式为； （2）由二次函数可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设E（m，），

当DC=CE时，，即，解得，（舍去），∴E（，）；

当DC=DE时，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；

当EC=DE时，，解得=，∴E（，）．

综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（，）、（0，﹣4）、（，）；

（3）过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为：，

∵△PBD的面积

==

=，

∴当m=时，△PBD的最大面积为，∴点P的坐标为（，）．

考点：二次函数综合题．

5．如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．

（1）求抛物线的解析式；