浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试理数试题
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一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）
1.若全集UR，集合24Mxx，301xNxx，则)(NCMU等于 （ ）
A．{2}xx B．{2xx或3}x C．{3}xx D．{23}xx
【答案】B.
【解析】
试题分析：由题意得，{2Mx或2}x，{|13}Nxx，∴()UMCN{2xx或3}x，
故选B．
考点：集合的运算．
2.已知 “命题2:()3()pxmxm”是“命题2:340qxx”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 （ ）
A．1m或7m B．1m或7m C．71m D．71m
【答案】B.
考点：充分必要条件．
3.已知1ba，0t，若xaat，则xb与bt的大小关系为（ ）
A．xb>bt B．xb=bt C． xb
【答案】A.
【解析】
试题分析：∵1ba，0t，∴1xxaataatx，令()(1)()(()1)xxxxbfxbabafxaa，易得()fx在(1,)上单调递增，
即1x时，有()(1)xxxxxxfxfbababbaabbtbbt，故选A．
考点：函数的单调性．
4.对两条不相交的空间直线a和b，则（ ）
A．必定存在平面，使得a，b B．必定存在平面，使得a，//b
C．必定存在直线c，使得//ac，//bc D．必定存在直线c，使得//ac，bc
【答案】B.
考点：空间中直线平面的位置关系．
5.设点(1,0)A，(2,1)B，如果直线1byax与线段AB有一个公共点，那么22ba （ ）
A．最小值为51 B. 最小值为55 C. 最大值为51 D最大值为55
【答案】A.
【解析】
试题分析：分析题意可知，A点与B点在直线1axby的两侧或有一个点在直线1axby上，
∴(1)(21)0aab，且101210aaab，1b不同时成立，画出如下可行域，故可知222min2211()()521ab，无最大值，故选A．
考点：线性规划的运用．
6.已知函数()sin()fxx，()()gxcosx，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数)()(xgxfy的最小正周期为2
B．函数)()(xgxfy的最大值为2
C．将函数的图)(xfy象向左平移2单位后得)(xgy的图象
D．将函数)(xfy的图象向右平移2单位后得)(xgy的图象【答案】C.
考点：1.三角函数的图象和性质；2.诱导公式．
【方法点睛】三角函数的图象和性质中，单调性，奇偶性，周期性与最值是热点内容，对于三角函数的平移变换，需熟悉沿x轴平移按照左加右减的法则，沿y轴平移按照上加下减的平移法则，或者通过三角恒等变形转化为形如sin()yAx的形式，也可以利用换元法化成二次函数性质，主要涉及到的数学思想为数形结合与转化的数学思想
7.若双曲线22221(0,0)xyabab上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A.[2,) B.(2,) C.(1,2) D. (1,2]
【答案】D.
考点：双曲线的标准方程及其性质．
【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1.根据题意，解出a，b，c，计算离心率cea；2.根据题意，建立一个含有a，b，c的齐次方程，计算ba或ca的值；3.如果求离心率的范围，可以找a，b，c的齐次不等式.
8.已知关于x的方程2||2xkkx在区间[1,1]kk上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
（ ）
A. 02k B. 03k C. 02k D. 01k
【答案】D.
【解析】
试题分析：显然0k，令()||fxxk，2()2gxkx，在同一坐标系中画出两个函数图象，
如下图所示，若10k，即01k：则2(1)(1)112gkfkkk，令2()12hxxx，显然()hx在(0,1]上单调递增，∴()(1)1hxh，即当01k时，
2112kk恒成立，∴01k；
若10k，即1k：则(1)(1)(1)(1)fkgkfkgk，由上述可知，若要使得(1)(1)gkfk，则必有01k，故不等式组(1)(1)(1)(1)fkgkfkgk无解，综上所述，01k，故选D．
考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想；2.数形结合的数学思想．
【思路点睛】函数的图象与零点问题往往已知函数零点或根的情况，求参数的取值范围，解决这类问题的关键通常转化为函数图象问题进行讨论，对于方程()()fxgx的根，可构造函数()()()Fxfxgx，函数()Fx的零点即为函数()()fxgx的根，或转化为求两个函数的公共点，利用数形结合的方法解决.
二、填空题（共28分.）
9.设复数z满足关系314zii，那么z_________，||z__________.
【答案】34i，54.
考点：复数的概念及其计算．
10.已知几何体的三视图（如下图），则该几何体的体积为_________，表面积为___ __.
【答案】423，434.
【解析】
试题分析：根据三视图分析可知，该几何体为一底面边长为2的正四棱锥，其高22(3)12h，
∴体积21422233V，表面积222142(2)+124342S．
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积．
11.已知*{}()nanN满足*3(1,2,3,4,5,6)(7)nnnnaannN且，则2015a ，2015S________.
【答案】5，15.
考点：数列的通项公式及数列求和．
12.若nxx)1(32展开式的各项系数之和为32，则n ，其展开式中的常数项为______.（用数字作答）
【答案】5，10.
【解析】
试题分析：令1n，2325nn，故二项展开的通项公式为2(5)3105155rrrrrrTCxxCx，
令10502rr，故常数项为2510C．
考点：二项式定理．
13.设x，y满足约束条件3123xyxyxy，若目标函数xyzab（0a，0b）的最大值为10，则54ab的最小值为 ．
【答案】8.
考点：1.线性规划；2.基本不等式．
14.边长为2的正三角形ABC内(包括三边)有点P，1PBPC，求APAB的范围 .
【答案】35[,35]2.
【解析】
试题分析：如下图所示，建立平面直角坐标系，∴(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，(1,)PBxy，
(1,)PCxy，∴22221112PBPCxyxy，即点P的轨迹为圆222xy夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧，在ADO中，有
23235cos6223ADADAD，
又∵||||cos,2||cos,[,2]APABABAPAPABAPAPABADAD，即APAB的取值范围是35[,35]2．
考点：平面向量数量积．
【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势.
15.若实数x，y满足2221122cos11xyxyxyxy，则xy的最小值为 .
【答案】14.
∵1(,2][2,)tt，22cos(1)[0,2]xy，
∴21()2cos(1)21()2111xykkZxykxykZxytxy，
∴当0k时，min1()4xy．
考点：1.三角函数的性质；2.基本不等式．
【思路点睛】不等式的综合题需要观察具体题目条件的特点，通过联想相关的不等式，常见的解题策略有：①熟练掌握基本不等式，如当0a，0b时，2221122abababab；②理解最值达成的条件“一正二定三相等”；③构造齐次不等式，再使用基本不等式，常带来方便；④掌握柯西不等式.
三、解答题 （本大题共5小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（8分）在三角形ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且222bcbca
（1）求A；
（2）若3a，求22bc的取值范围.
【答案】（1）3；（2）(3,6].
又∵203B，∴72666B，∴12sin(2)26B，∴
2236bc. .
考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形．
17.（10分）如图，在四棱锥SABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，//ADBC，90ABC，2SAABBC，1AD，M是棱SB的中点．
（1）求证：//AM面SCD；
（2）设点N是线段CD上的一点，且AN在AD方向上的射影为a，记MN与面SAB所成的角为，问：a为何值时，sin取最大值？
【答案】（1）详见解析；（2）53a时，max35(sin)7.
