北师大版数学高一必修1课时达标训练(十五)

课时达标训练（七） 一、选择题1．函数y ＝|x ＋1|的图像是( )2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1 x ＞0，0 x ＝0，1 x ＜0，则f (f (f (－1)))＝( ) A ．0 B ．1C ．－1 D ．23．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝11＋x，那么函数f (x )的解析式及定义域正确的是( ) A ．f (x )＝x 1＋x(x ≠－1) B ．f (x )＝x1＋x(x ≠－1且x ≠0) C ．f (x )＝11＋xD ．f (x )＝1＋x4．(某某高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图像是( )二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.6．设f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝x ＋3，则f (1)＝________.7．已知a ，b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝________.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3 x ≥9，f f x ＋4 x <9，则f (7)＝______.三、解答题9．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，求f (x )的解析式．10．甲、乙两车同时沿某公路从A 地驶往300 km 外的B 地，甲车先以75 km/h 的速度行驶，在到达AB 中点C 处停留2 h 后，再以100 km/h 的速度驶往B 地，乙车始终以速度v 行驶．(1)请将甲车离A 地的距离x (km)表示为离开A 地时间t (h)的函数，并画出这个函数图像；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A 、B 两地)，试确定乙车行驶速度v 的取值X 围．答案1．解析：选A y ＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥－1，－x －1，x ＜－1，由解析式可知，A 项符合题意．2．解析：选B ∵f (－1)＝1，∴f (f (－1))＝f (1)＝－1.∴f (f (f (－1)))＝f (－1)＝1.3．解析：选B 令t ＝1x ，则x ＝1t(t ≠0)， ∴f (t )＝11＋1t＝t t ＋1(t ≠－1)． ∴f (x )＝xx ＋1(x ≠0且x ≠－1)．4．解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B ，故选C.5．解析：f (0)＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：26．解析：令x ＝1得，f (－1)＋2f (1)＝4，再令x ＝－1得，f (1)＋2f (－1)＝2.两式联立消去f (－1)得，f (1)＝2.答案：27．解析：由f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，得(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝x 2＋10x ＋24，即a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝x 2＋10x ＋24. 比较系数，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，2ab ＋4a ＝10，b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3，则5a －b ＝2.答案：28．解析：f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12))＝f (12－3)＝f (9)＝9－3＝6.答案：69．解：当x ≤－2时，图像为一条射线，过(－2,0)与(－4,3)，设y ＝ax ＋b ，将两点代入，得－2a ＋b ＝0，及－4a ＋b ＝3，解得a ＝－32，b ＝－3， 所以它的解析式为y ＝－32x －3(x ≤－2)； 当－2＜x ＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y ＝2(－2＜x ＜2)； 当x ≥2时，图像为一条射线，过(2,2)与(3,3)，设y ＝cx ＋d ，将两点代入，得2c ＋d ＝2,3c ＋d ＝3，解得c ＝1，d ＝0，所以它的解析式为y ＝x (x ≥2)．综上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x － 3 x ≤－2， 2 －2＜x ＜2，x x ≥2.10．解：(1)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 75t ，0≤t ＜2，150，2≤t ≤4，150＋t －4×100，4＜t ≤5.5.它的图像如下图①所示；(2)由已知，乙车离开A 地的距离x (km)表示为离开A 地的时间t (h)的函数为x ＝vt ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤t ≤300v ，其图像是一条线段． 由图像知，当此线段经过(4,150)时，v ＝752(km/h); 当此线段经过点(5.5,300)时，v ＝60011(km/h)． ∴当752＜v ＜60011时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．。

第一章集合1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时过关·能力提升1给出下列说法:①地球周围的行星能构成一个集合;②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;③集合A为{1,2,3},集合B为{1,3,2},是不同的集合.其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:①是错误的,因为“周围”是个模糊的概念,不满足集合元素的确定性.②是正确的,虽然满足条件的数有无数多个,但任给一个元素都能判断出其是否属于这个集合.③是错误的,因为集合中的元素是无序的.答案:B2已知集合M中的元素满足x=3k-1,k∈Z,则下列表示正确的是()A.-1∉MB.-11∈MC.3k2-1∈MD.-34∉M解析:A错,当k=0时,-1∈M;B错,若3k-1=-11,则k=-∉Z;C正确,因为3k2-1=3k-1,解得k=0或k=1,满足条件;D错,当k=-10时,-34∈M.故选C.答案:C3集合A的元素y满足y=x2+1,集合B的元素(x,y)满足y=x2+1(A,B中x∈R,y∈R).下列选项中元素与集合的关系都正确的是()A.2∈A,且2∈BB.(1,2)∈A,且(1,2)∈BC.2∈A,且(3,10)∈BD.(3,10)∈A,且2∈B答案:C4已知集合A含有两个元素a-3和2a-1,若a∈A,则实数a的值是()A.-3B.0或1C.1D.-1解析:由于a∈A,则a=a-3或a=2a-1.若a=a-3,则有-3=0,不成立;若a=2a-1,则a=1,此时集合A 中的两个元素是-2,1,符合题意.答案:C5已知集合M中含有3个元素0,x2,-x,则x满足的条件是()A.x≠0B.x≠-1C.x≠0且x≠-1D.x≠0且x≠1解析:由-解得x≠0且x≠-1.故选C.-答案:C6集合A中有3个元素1,2,3,集合B中有2个元素4,5,设集合M中的元素x满足x=a+b,a ∈A,b∈B,则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析:因为集合A为1,2,3,集合B为4,5,集合M中的元素满足x=a+b,a∈A,b∈B,所以a+b的值可能为1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8,所以集合M中的元素有5,6,7,8,共4个,故选B.答案:B7若已知-5是x2-ax-5=0的根,集合M中的元素为方程x2-4x-a=0的根,则集合M中所有元素之和为.解析:把-5代入方程x2-ax-5=0,得a=-4,将a=-4代入方程x2-4x-a=0得x2-4x+4=0,故集合M中的元素即为2.因此所有元素之和为2.答案:28设a,b为非零实数,则x=的所有值组成的集合中的元素为.解析:当a<0,b<0时,ab>0,则x=-1-1+1=-1;当a<0,b>0时,ab<0,则x=-1+1-1=-1;当a>0,b>0时,ab>0,则x=1+1+1=3;当a>0,b<0时,ab<0,则x=1-1-1=-1.故x=-1或x=3.所以由x的所有值构成的集合中的元素为-1,3.答案:-1,39已知集合A的元素满足条件x=m+n,n,m∈Z.,x2=-,判断x1,x2与集合A之间的关系;(1)设x1=-(2)任取x3,x4∈A,判断x3+x4与集合A之间的关系.=-,∴x1∉A,解(1)∵x1=-∵x2=-=-1+2,∴x2∈A.(2)x3,x4∈A,设x3=m1+n1,x4=m2+n2(m1,n1,m2,n2∈Z).则x3+x4=m1+n1+m2+n2=(m1+m2)+(n1+n2),∵m1,n1,m2,n2∈Z,∴m1+m2,n1+n2∈Z,∴x3+x4∈A.10设集合A的元素为2,3,a2+2a-3,集合B的元素为|a+3|,2.已知5∈A,且5∉B,求a的值.解∵5∈A,∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4.又5∉B,∴|a+3|≠5,解得a≠2,且a≠-8.∴a=-4.★11已知方程ax2-3x-4=0的解组成的集合为A.(1)若A中有两个元素,求实数a的取值范围.(2)若A中至多有一个元素,求实数a的取值范围.解(1)因为A中有两个元素,所以方程ax2-3x-4=0有两个不等的实数根,所以即a>-且a≠0.所以实数a的取值范围为a>-,且a≠0.(2)当a=0时,由-3x-4=0得x=-;当a≠0时,若关于x的方程ax2-3x-4=0有两个相等的实数根,则Δ=9+16a=0,即a=-;若关于x的方程无实数根,则Δ=9+16a<0,即a<-,故所求的a的取值范围是a≤-或a=0.∈A.★12已知集合A的元素全为实数,且满足当a∈A时,-(1)若2∈A,则A中一定还有哪些元素?(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.(3)根据(1)(2),你能得出什么结论?,计算可得,解(1)当2∈A时,依次代入-=-3∈A,-=-∈A,--∈A,=2∈A,……-结果循环出现,故A中一定还有-3,-.(2)0不是集合A中的元素.若0∈A,则-=1∈A,而此时-没有意义,与条件-∈A矛盾,故0不是集合A中的元素.若a=3,则集合A的元素为3,-2,-.(3)根据(1)(2)可得出如下结论:A中不含0,1,-1;若a∈A,则其负倒数也属于A.第2课时集合的表示课时过关·能力提升1集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()A.{x|x是不大于9的非负奇数}B.{x|x≤9,x∈N}C.{x|1≤x≤9,x∈Z}D.{x|0≤x≤9,x∈N}解析:B,D只说明集合中的元素是小于等于9的自然数;C只说明集合中的元素是小于等于9的正整数,B,C,D都没指明是奇数,所以只有A正确,故选A.答案:A2已知集合M={x∈N+|-≤x≤},则下列说法中正确的是()A.M是空集B.∈MC.该集合是有限集D.1∉M解析:由已知得M={1},因此M是有限集.答案:C3下列集合中,含义不同于另外三个集合的是()A.{x|x=1}B.{x|x2=1}C.{1}D.{y|(y-1)2=0}答案:B4由方程组--的解组成的集合是()A.(1,1)B.{1}C.{(1,1)}D.{1,1}解析:由--解得方程组的解组成的集合是{(1,1)},故选C.答案:C★5若P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},R={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则有()A.a+b∈PB.a+b∈QC.a+b∈RD.a+b不属于P,Q,R中的任何一个解析:由题意知,P为偶数集,Q为奇数集,R是除以4余1的数构成的集合,是奇数的一部分,而a+b是奇数与偶数之和,仍为奇数,故选B.答案:B6下列集合中不是空集的是()A.{x|x<0且x>1}B.{x∈N|x2-2=0}C.{x∈R|x2-x+1=0}D.{(x,y)|x2+y2=0}解析:A选项中集合是空集;B选项中,由x2-2=0得x=± ∉N,所以是空集;C选项中判别式Δ=1-4=-3<0,方程无解,所以是空集;只有D选项不是空集,是集合{(0,0)},故选D.答案:D7下列命题中正确的是(只填序号).①0∈{⌀};②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3},也可表示为{3,2,1};③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};④集合{x|2<x<5}可以用列举法表示.解析:①中的{⌀}中的元素为⌀,所以0∉{⌀},故①不正确;由元素的无序性可知②正确;③中的集合不满足互异性,故③不正确;④中的集合不能用列举法表示,故④不正确.答案:②8给出下列说法:①在直角坐标平面内,第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0};②方程-+|y+2|=0的解集为{-2,2};③集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是同一集合.其中正确序号是.解析:在直角坐标平面内,第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的,且集合中的代表元素为点(x,y),故①正确;方程-+|y+2|=0等价于-即-解为有序实数对(2,-2),即解集为{(2,-2)}或-,故②不正确;集合{(x,y)|y=1-x}的代表元素是(x,y),集合{x|y=1-x}的代表元素是x,一个是实数对,一个是实数,故这两个集合不相同.③不正确,综上所述,只有①正确.答案:①9已知集合A={x|-3<x<3,x∈Z},B={(x,y)|y=x2+1,x∈A},则集合B用列举法表示是.解析:易求集合A={-2,-1,0,1,2},则集合B={(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}.答案:{(-2,5),(-1,2),(0,1),(1,2),(2,5)}10用列举法表示下列集合:(1)不大于10的非负偶数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合.分析::题目中要求用列举法表示集合,需先辨析集合中元素的特征及满足的性质,再一一列举出满足条件的元素.解(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}.(2)方程x2=x的实数解是x=0或x=1,所以方程的实数解组成的集合为{0,1}.(3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故直线y=2x+1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}.11若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”.(1)判断集合A={-1,1,2}是否为可倒数集.(2)试写出一个含3个元素的可倒数集.解(1)由于2的倒数为不在集合A中,故集合A不是可倒数集.(2)若a∈A,则必有∈A,现已知集合A中含有3个元素,故必有一个元素有a=,即a=±1,故可以取集合A=或-或等.★12对于a,b∈N+,现规定:a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N+}.(1)用列举法表示a,b奇偶性不同时的集合M;(2)当a与b的奇偶性相同时,集合M中共有多少个元素?解(1)当a,b的奇偶性不同时,a*b=a×b=36,则满足条件的(a,b)有(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1),故集合M可表示为M={(1,36),(3,12),(4,9),(9,4),(12,3),(36,1)}.(2)当a与b的奇偶性相同时,a*b=a+b=36,由于两奇数之和为偶数,两偶数之和仍为偶数,故36=1+35=2+34=3+33=…=17+19=18+18=19+17=…=35+1,所以当a,b的奇偶性相同时,这样的元素共有35个.2集合的基本关系课时过关·能力提升1已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},则()A.A⫋BB.B⫋AC.A=BD.B⊈A解析:由A={x|-1<x<2},而B={x|-1<x<1},作数轴如图,故B⫋A.答案:B2已知集合A={1,2},B={1,2,3,4,5},且A⫋M⊆B.则符合条件的集合M的个数为()A.6B.7C.8D.不确定解析:∵A⫋M,∴M中一定含有A的全部元素1,2,且至少含有一个不属于A的元素.又M⊆B,∴M中除有1,2外,还有3,4,5中的1个,2个或3个,故M的个数即为{3,4,5}的非空子集,有7个.答案:B3集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}的关系用Venn图可表示为()解析:∵M={-1,0,1},N={0,-1},∴N⫋M,故选B.答案:B4若集合A={1,3,x},B={x2,1},且B⊆A,则满足条件的实数x的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由B⊆A,知x2=3或x2=x,解得x=±或x=0或x=1.当x=1时集合A,B都不满足元素的互异性,故x=1舍去.答案:C5已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x∈A,y∈A,xy∈A},则集合B的所有真子集的个数为()A.512B.256C.255D.254答案:C★6设集合M=∈,N=+∈,则()A.M=NB.M⫋NC.M⫌ND.M⊈N解析:∵集合M中,x=(k∈Z),集合N中,x=(k∈Z),∴M中的x表示的奇数倍,N中的x表示的整数倍.∴M⫋N.答案:B7已知集合A=--,B={(x,y)|y=3x+b},若A⊆B,则实数b=.解析:由已知A={(0,2)},因为A⊆B,所以2=3×0+b,解得b=2.答案:28设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},则M与P的关系为.答案:M=P9已知A={x|x2-4=0},B={x|ax-6=0},且B是A的子集.(1)求a的取值集合M;(2)写出集合M的所有非空真子集.解(1)由已知得A={2,-2},∵B⊆A,∴B=⌀或{2}或{-2}.①当B=⌀时,方程ax-6=0无解,得a=0;②当B={2}时,方程ax-6=0的解为x=2,得2a-6=0,所以a=3;③当B={-2}时,方程ax-6=0的解为x=-2,得-2a-6=0,所以a=-3.∴a的取值集合M={0,3,-3}.(2)M={0,3,-3}的非空真子集为{0},{3},{-3},{0,3},{0,-3},{3,-3}.10已知集合A={2,4,6,8,9},B={1,2,3,5,8},非空集合C是这样一个集合:其各元素都加2后,就变为A的一个子集;其各元素都减2后,则变为B的一个子集,求集合C.解逆向操作,A中元素减2得0,2,4,6,7,则C中元素必在其中;B中元素加2得3,4,5,7,10,则C中元素必在其中,所以C中元素只能是4或7.所以C={4}或{7}或{4,7}.★11已知集合A={x|0<x-a≤5},B=-.(1)若A⊆B,求实数a的取值范围.(2)若B⊆A,求实数a的取值范围.(3)集合A与B能否相等?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.解A={x|a<x≤a+5},B=-.(1)若A⊆B,则-解得∴0≤a≤1,即所求a的取值范围是0≤a≤1.(2)若B⊆A,则-≥6,或-即a≤-12或∴a≤-12.即所求a的取值范围是a≤-12.(3)若A=B,即{x|a<x≤a+5}=-,∴-即不可能同时成立.∴A≠B.§3集合的基本运算3.1交集与并集课时过关·能力提升1已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2答案:D2若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A.当B=⌀时,m=0;当B={-1}时,m=-1;当B={1}时,m=1.故选D.答案:D3已知集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k∈N+}的关系的Venn图如图,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.3个B.2个C.1个D.无穷多个解析:M={x|-1≤x≤3},阴影部分所示的集合为M∩N={1,3}.故阴影部分所示的集合中共有2个元素.答案:B4已知集合A={(x,y)|x,y为实数,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y为实数,且x+y=1},则A∩B的元素个数为()A.4B.3C.2D.1解析:联立两集合中的函数关系式由x+y=1得x=1-y,代入x2+y2=1得y2-y=0即y(y-1)=0,解得y=0或y=1,把y=0代入x2+y2=1解得x=1,把y=1代入x2+y2=1解得x=0,所以方程组的解为或有两组解,则A∩B的元素个数为2.故选C.答案:C5已知集合A={1,2,3},B∩A={3},B∪A={1,2,3,4,5},则集合B的子集的个数为()A.6B.7C.8D.9答案:C6设集合A={(x,y)|y=x2-1},B={(x,y)|y=3x-3},则A∩B=.解析:A∩B=--=或={(1,0),(2,3)}.答案:{(1,0),(2,3)}7已知集合A={x|x≤-2,或x>5},B={x|1<x≤m},若A∩B={x|5<x≤7},则m=.解析:将集合A和集合A∩B用数轴表示出来,如图,要使A∩B={x|5<x≤7},则B={x|1<x≤m}={x|1<x≤7}.∴m=7.答案:78某班共有30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.解析:设两者都喜欢的有x人,则只喜欢篮球的有(15-x)人,只喜欢乒乓球的有(10-x)人.故(15-x)+(10-x)+x+8=30,解得x=3,所以15-x=12,即所求人数为12.答案:129已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求满足下列条件的a的值.(1)9∈A∩B;(2){9}=A∩B.解(1)∵9∈A∩B,且9∈B,∴9∈A,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.检验,知a=5或a=-3.(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B,∴由(1)知,a=5或a=-3.检验,知a=-3.10已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.分析::由A∪B=A,得B⊆A,则有B=⌀,或B≠⌀,因此对集合B分类讨论.解∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5}≠⌀,∴B=⌀或B≠⌀.当B=⌀时,有m+1>2m-1,∴m<2.当B≠⌀时,如图,由数轴可得解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤3}.★11为完成一项实地测量任务,夏令营的同学们成立了一支测绘队,需要24人参加测量,20人参加计算,16人参加绘图.测绘队的成员中有许多同学是多面手:其中在参加两项工作的人中,有8人既参加了测量又参加了计算,有6人既参加了测量又参加了绘图,有4人既参加了计算又参加了绘图;另有一些人三项工作都参加了.请问这个测绘队至少有多少人?解由题意可得,测量目前有8+6=14人参加,一共需要24人,所以还差10人;计算目前有8+4=12人参加,一共需要20人,所以还差8人;绘图目前有6+4=10人参加,一共需要16人,所以还差6人,若三项都参加的有x(x≤6)人,则只参加测量的有(10-x)人,只参加计算的有(8-x)人,只参加绘图的有(6-x)人,所以总人数就是x+8+6+4+(10-x)+(8-x)+(6-x)=42-2x≥30,当且仅当x=6时等号成立.由以上分析:可知,三项都参加的有6人时,测绘队总人数最少,且最少为30人.答:这个测绘队至少有30人.★12已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求实数a,m.分析:根据并集、交集的性质转化为B⊆A,C⊆A,而A={1,2},从而转化为B,C中的方程的根的问题,注意运用分类讨论的思想方法.解由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A,故B有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.因为x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],所以必有1∈B,因此a-1=1或a-1=2,解得a=2或a=3.又因为A∩C=C,所以C⊆A,故C有四种情况:⌀,{1},{2},{1,2}.①若C=⌀,则关于x的方程x2-mx+2=0没有实数根,由Δ=m2-8<0,得-2<m<2;②若C={1},则关于x的方程x2-mx+2=0有两个相等的实数根为1,所以很显然不成立;③若C={2},同②,也不成立;④若C={1,2},则解得m=3.综上所述,a=2或a=3;m=3或-2<m<2.3.2全集与补集课时过关·能力提升1已知集合A,B,C为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则一定有()A.C∩P=CB.C∩P=PC.C∩P=C∪PD.C∩P=⌀答案:B2已知集合U={x|x是小于6的正整数},A={1,2},B∩(∁U A)={4},则∁U(A∪B)=() A.{3,5} B.{3,4}C.{2,3}D.{2,4}解析:U={1,2,3,4,5},∵B∩(∁U A)={4},∴4∈B.∴∁U(A∪B)={3,5}.答案:A3已知全集为U,集合M,N满足M∪N=U,则下列关系中一定正确的是()A.N⊆∁U MB.M∩N=⌀C.∁U M⊆ND.(∁U M)∪(∁U N)=U解析:借助Venn图易知选C.答案:C4已知全集U={1,2,3,4,5},若A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A}.则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:∵A={1,2},B={2,4},∴A∪B={1,2,4}.∴∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素.答案:B★5设全集U=R,集合A={x|x≤1,或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且B∩(∁U A)≠⌀,则k 的取值范围是()A.k<0或k>2B.2<k<3C.0<k<3D.-1<k<2解析:由题意知,∁U A={x|1<x<3},且k<k+1,故B≠⌀.又B∩(∁U A)≠⌀,结合图形,故k需满足解得0<k<3.答案:C6已知全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y>1},则∁U A与∁U B的关系是.解析:由全集、补集的概念,得∁U A={x|x<0},∁U B={y|y≤1},显然∁U A⫋∁U B.答案:∁U A⫋∁U B7设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁U A)∩B=⌀,则实数m的取值范围为.解析:∵A={x|x≥-m},∴∁U A={x|x<-m},∵B={x|-2<x<4},(∁U A)∩B=⌀,∴-m≤-2,即m≥2,∴m的取值范围是{m|m≥2}.答案:{m|m≥2}8已知U为实数集,集合M={x|0<x<2},N={x|y=-},则M∩(∁U N)=.解析:N={x|x-1≥0}={x|x≥1},∁U N={x|x<1},则M∩(∁U N)={x|0<x<1}.答案:{x|0<x<1}9已知集合A={x|4≤x<6},B={x|3<x<15},求:(1)A∪B;(2)(∁R A)∩B.解(1)A∪B={x|4≤x<6}∪{x|3<x<15}={x|3<x<15}.(2)∵∁R A={x|x<4,或x≥6},∴(∁R A)∩B={x|3<x<4,或6≤x<15}.10已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(∁R A)∩B={2},A∩(∁R B)={4},求实数a,b的值.解由条件(∁R A)∩B={2}和A∩(∁R B)={4},知2∈B,但2∉A;4∈A,但4∉B.-将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得即-解得a=,b=-即为所求.★11已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0,a∈R}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.分析:本题主要考查补集思想的应用,解题的关键是从求解问题的反面考虑,采用“正难则反”的解题策略.解设B∪A=A,则B⊆A,又因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种情况:①当B=⌀时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4;②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A;③当B={-2,4}时,-2,4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两个根,所以----所以a=-2.综上可得,B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.所以B∪A≠A的实数a的取值范围为-4≤a<4,且a≠-2.第一章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T=()A.(-∞,5]B.[2,+∞)C.(2,5)D.[2,5]答案:D2已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∩B=()A.⌀B.{2}C.{0}D.{-2}解析:易得B={-1,2},则A∩B={2},故选B.答案:B3设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.⌀解析:由题意得∁U A={3,4,5},故选B.答案:B4已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则()A.M⊆NB.N⊆MC.M∩N={2,3}D.M∪N={1,4}解析:由集合的交集、并集及子集的概念,可知M∩N={2,3}.答案:C5设全集U=R,集合A=-,B={x|x2-x-6=0},则阴影部分所表示的集合是()A.{3}B.{-2}C.{3,-2}D.{⌀}解析:由Venn图可知阴影部分对应的集合为B∩(∁U A),∵集合A=-={3},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},∴B∩(∁U A)={-2},故选B.答案:B6设集合A={a,b},集合B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于()A.{1,2}B.{1,5}C.{2,5}D.{1,2,5}解析:由题意A∩B={2},可得a=1,b=2,则集合A={1,2},集合B={2,5}.A∪B={1,2}∪{2,5}={1,2,5},故选D.答案:D7已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是()A.{a|3<a≤4}B.{a|3≤a≤4}C.{a|3<a<4}D.⌀解析:∵A⊇B,∴a-1≤3,且a+2≥5.∴3≤a≤4.故选B.答案:B8已知集合A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(∁U B)∩A={9},则A=() A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9} D.{3,9}解析:因为A∩B={3},所以3∈A,又因为∁U B∩A={9},所以9∈A,所以选D.除此之外,本题也可以用Venn图的方法帮助理解,Venn图如图.答案:D9已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}解析:∵A∪B={x|x≤0,或x≥1},∴∁U(A∪B)={x|0<x<1}.故选D.答案:D10经统计知,某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,则小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为() A.60 B.80 C.100 D.120解析:∵某小区有小汽车的家庭有35家,有电动自行车的家庭有65家,既有小汽车又有电动自行车的家庭有20家,∴画出Venn图,结合图形知,小汽车和电动自行车至少有一种的家庭数为15+20+45=80,故选B.答案:B11若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为()A.1B.-1C.1或-1D.1或-1或0解析:当m=0时,B=⌀,满足A∪B=A,即m=0;当m≠0时,B=,由A∪B=A,得=1或-1,即m=1或-1.故m=1或-1或0.答案:D12设I={1,2,3,4},A与B是I的子集,若A∩B={1,3},则称(A,B)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A,B)与(B,A)是两个不同的“理想配集”)()A.4B.8C.9D.16解析:对子集A分类讨论:当A是两元素集{1,3}时,B可以为{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3},共4种结果;当A是三元素集{1,2,3}时,B可以取{1,3,4},{1,3},共2种结果;当A是三元素集{1,3,4}时,B可以为{1,2,3},{1,3},共2种结果;当A是四元素集{1,2,3,4}时,此时B取{1,3},有1种结果.综上所述,共有4+2+2+1=9种结果,故选C.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13若2∉{x|x-a<0},则实数a的取值集合是.解析:由题意知,{x|x-a<0}={x|x<a},∵2∉{x|x-a<0},∴a≤2,∴实数a的取值集合是{a|a≤2}.答案:{a|a≤2}14已知集合M={2},N={x|2x-a=0},且M∩N=N,则实数a=.解析:N=,∵M∩N=N,∴N⊆M.∴∈{2},即=2.∴a=4.答案:415已知集合A={x,y},B={2,2y},若A=B,则x+y=.解析:当x=2,y=2y时,x=2,y=0,则x+y=2;当x=2y,y=2时,x=4,y=2,则x+y=6.答案:2或616已知集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},若A∪B=R,则a的取值范围是.解析:∵集合A={x|x≤-2,或x>1},B={x|2a-3<x<a+1},且A∪B=R,--∴解得0<a≤,∴a的范围是0<a≤.答案:0<a≤三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设A={x∈Z|-6≤x≤6},B={1,2,3},C={3,4,5,6}.求(1)A∪(B∩C);(2)A∩[∁A(B∪C)].解(1)由题意知,A={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.∵B∩C={3},∴A∪(B∩C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6}.(2)∵B∪C={1,2,3,4,5,6},∴∁A(B∪C)={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0},∴A∩[∁A(B∪C)]={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}.18(12分)已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解(1)由题意知B={x|x≥2},∴A∩B={x|2≤x<3}.(2)由题意知C=-,∵B∪C=C,∴B⊆C.∴-<2,∴a>-4.19(12分)设全集U=R,A={x∈R|a≤x≤2},B={x∈R|2x+1≤x+3,且3x≥2}.(1)若B⊆A,求实数a的取值范围;(2)若a=1,求A∪B,(∁U A)∩B.解(1)B=且,又B⊆A,∴a≤.(2)若a=1,则A={x|1≤x≤2},此时A∪B={x|1≤x≤2}∪=.由∁U A={x|x<1,或x>2},得(∁U A)∩B={x|x<1,或x>2}∩.20(12分)已知全集U=R,集合A={x|2x+a>0},B={x|x<-1,或x>3}.(1)当a=2时,求集合A∩B,A∪B;(2)若A∩(∁U B)=⌀,求实数a的取值范围.解由2x+a>0得x>-,即A=-.(1)当a=2时,A={x|x>-1}.∴A∩B={x|x>3}.A∪B={x|x≠-1}.(2)∵B={x|x<-1,或x>3},∴∁U B={x|-1≤x≤3}.又A∩(∁U B)=⌀,∴-≥3,解得a≤-6.∴实数a的取值范围是(-∞,-6].21(12分)已知集合A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A⊆(A∩B),求实数m的取值范围.解(1)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},若A∩B=⌀, 则当A=⌀时,符合题意,此时2m+1>3m-5,所以m<6.当A≠⌀时,---所以6≤m≤7.综上所述,m≤7.(2)∵A={x|2m+1≤x≤3m-5},B={x|x<-1,或x>16},且A⊆(A∩B), ∴A为空集或A为B的非空子集.则2m+1>3m-5或---或-解得m<6或m>.22(12分)设数集M=,N=-,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义“b-a”为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,求集合M∩N的长度的最小值.解在数轴上表示出集合M与N,可知当m=0且n=1,或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小.当m=0且n=1时,M∩N=,“长度”为;当m=且n=时,M∩N=,“长度”为.综上,M∩N的“长度”的最小值为.第二章函数§1生活中的变量关系§2对函数的进一步认识2.1函数概念课时过关·能力提升1已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=的定义域为N,则M∩N=()-A.{x|x≥-2}B.{x|x<2}C.{x|-2<x<2}D.{x|-2≤x<2}答案:D2函数f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]解析:由x2+1≥1,得0<≤1,故函数f(x)的值域为(0,1].答案:B3已知函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点有()A.0个B.1个C.2个D.0个或多个解析:函数y=f(x)的定义域为(-1,3),则在同一坐标系中,函数f(x)的图像与直线x=2的交点个数有1个,故选B.答案:B4已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则此函数的定义域为()A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.解析:∵等腰三角形的周长为10,∴-<x<5.-答案:D5已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表,则方程g(f(x))=x的解集为()x 1 2 3A.{1}B.{2}C.{3}D.⌀解析:当x=1时,g(f(1))=g(2)=2,不符合题意;当x=2时,g(f(2))=g(3)=1,不符合题意;当x=3时,g(f(3))=g(1)=3,符合题意.故选C.答案:C★6若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定义域和值域都为R,则a的值是()A.a=-1或a=3B.a=-1C.a=3D.a不存在解析:因为函数f(x)的定义域和值域都为R,所以函数f(x)为一次函数,即---解得a=-1.故选B.答案:B7函数y=的定义域是.解析:要使该函数有意义,则x+2≥0,故x≥-2.答案:{x|x≥-2}8已知集合M={x|y=x2+1},集合N={y|y=x2+1},则M∩N=.解析:∵M=R,N={y|y≥1},∴M∩N={y|y≥1}.答案:{y|y≥1}9函数f(x)=(--2)0+-的定义域是.答案:{x|x>1,且x≠5}10已知函数f(x)=.(1)求f(2);(2)求函数f(x)的值域.解(1)f(2)=.(2)f(x)=-=1-,又≠0,∴1-≠1,∴f(x)≠1,故函数f(x)的值域是(-∞,1)∪(1,+∞).11若f{f[f(x)]}=27x+26,求一次函数f(x)的解析式.解设f(x)=ax+b(a≠0),则f[f(x)]=a2x+ab+b,f{f[f(x)]}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b,所以解得则f(x)=3x+2.★12已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f,f(3)与f.(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现.(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 016)+f+f+…+f.解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,f,f(3)=,f.(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.证明如下:f(x)+f==1.(3)f(1)=.由(2)知f(2)+f=1,f(3)+f=1,…f(2 016)+f=1,∴原式=…=2 015+.个2.2函数的表示法第1课时函数的三种表示方法课时过关·能力提升1已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:则f(g(1))=()A.2B.1C.3D.不确定解析:由已知得g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.答案:B2去年国庆长假期间,某日8时至16时累计参观故宫人数的折线图如图所示,那么在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,入宫人数最多的时段是()A.8时~9时B.11时~12时C.13时~14时D.15时~16时解析:结合函数图像可知,在8时~9时,9时~10时,…,15时~16时的八个时段中,图像变化最快的,增加得最快的是11时~12时之间,故选B.答案:B,则当x≠0,且x≠1时,f(x)=()3若f-A. B.-C.D.-1-答案:B4下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1D.f(x)=-x解析:因为f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),所以A满足要求;因为f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x),所以B满足要求;因为f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),所以C不满足要求;因为f(2x)=-2x=2f(x),所以D满足要求.故选C.答案:C5若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数y=f(2x-1)的定义域是()A.[0,1]B.[0,2]C.D.[-1,3]解析:因为函数y=f(x)的定义域是[0,2],即0≤x≤2,所以0≤2x-1≤2,解得≤x≤.因此y=f(2x-1)的定义域是.答案:C6已知函数g(x)=1-2x,f[g(x)]=-(x≠0),则f(0)等于()A.-3B.-C.D.3解析:令g(x)=1-2x=0,则x=,则f(0)=-=3.故选D.答案:D7函数f(n)对任意实数n满足条件f(n+3)=,若f(1)=6,则f(7)的值为.解析:由f(n+3)=得,f(7)==f(1)=6.答案:6★8若2f(x)+f=2x+(x≠0),则f(2)=.答案:9如图,函数f(x)的图像是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那么f的值等于.解析:由函数f(x)的图像,知f(1)=2,f(3)=1,则f=f(1)=2.答案:210求下列函数的解析式:(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x);(2)已知f(1-x)=-,求f(x).解(1)∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)令1-x=t,则x=1-t.又1-x2≥0,∴-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2,即0≤t≤2.∴f(t)=---(0≤t≤2).∴f(x)=-(0≤x≤2).★11已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,(1)求函数y=f(x)的解析式.(2)求f(f(-3))的值.解(1)∵f(2)=1,∴=1,即2a+b=2.①又f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,∴ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,∴Δ=(b-1)2=0,∴b=1,代入①得a=,∴f(x)=.=6,(2)由(1)知f(-3)=--故f(f(-3))=f(6)=.★12已知f(x)对任意的实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0)与f(1)的值;(2)求证:f=-f(x);(3)若f(2)=p,f(3)=q(p,q均为常数),求f(36).(1)解令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)证明令a=,b=x,得f(1)=f+f(x)=0,即f=-f(x).(3)解令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q.令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.第2课时分段函数课时过关·能力提升1已知f(x)=则f(f(f(-3)))=()A.0B.πC.π+1D.2π解析:因为-3<0,所以f(-3)=0,所以f(f(-3))=f(0)=π,又π>0,所以f(f(f(-3)))=f(π)=π+1.答案:C2函数f(x)=x+的图像是()解析:f(x)=-故选C.答案:C3某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km为1.6元(不足1 km,按1 km计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为()解析:由题意,当0<x≤3时,y=10;当3<x≤4时,y=11.6;当4<x≤5时,y=13.2;……当n-1<x≤n时,y=10+(n-3)×1.6,故选C.答案:C4已知f(x)=则f+f-等于() A.-2 B.4 C.2 D.-4答案:B5已知f(x)=g(x)=3-2x,则f(g(2))=() A.-3 B.-2 C.3 D.-1解析:因为g(x)=3-2x,所以g(2)=3-2×2=-1<0,所以f(g(2))=f(-1)=-1+4=3.答案:C6拟定从甲地到乙地通话m min的话费y(元)满足y=其中[m]是不超过m的最大整数,如[3.74]=3,从甲地到乙地通话5.2 min的话费是()A.3.71元B.4.24元C.4.77元D.7.95元解析:f(5.2)=1.06×(0.5×[5.2]+2)=4.77.答案:C7若函数f(x)=则f(-3)=.解析:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2×3=6.答案:6若f(1-a)=f(1+a),则a的值为.8已知实数a≠0,函数f(x)=--答案:---9已知函数f(x)=(1)求f-,f,f的值;(2)作出函数f(x)的简图;(3)求函数f(x)的值域.分析:给出的函数是分段函数,应注意在不同的自变量取值范围内函数有不同的解析式.(1)根据自变量的值所在的区间,选用相应的关系式求函数值.(2)函数f(x)在不同区间上的关系式都是常见的基本初等函数,因而可利用常见函数的图像完成作图.(3)函数的值域是各段函数值的集合的并集.解函数的定义域为[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].(1)∵-1≤x<0时,f(x)=-x,∴f-=--.∵0≤x<1时,f(x)=x2,∴f.∵1≤x≤2时,f(x)=x,∴f.(2)在同一平面直角坐标系中分段画出函数f(x)的图像,如图.(3)由(2)中函数f(x)的图像可知,函数的值域为[0,2].★10某市范围内住宅电话通话费为前3 min 0.20元,以后每分0.10元(不足3 min按3 min计,以后不足1 min按1 min 计).(1)在直角坐标系内,画出一次通话在6 min内(包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图像;(2)如果一次通话t min(t>0),写出通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数关系式(可用[t]表示不小于t的最小整数).解(1)如图:(2)由(1)知,话费与时间t的关系是分段函数,当0<t≤3时,话费为0.2元;当t>3时,话费应为[0.2+([t]-3)×0.1]元,所以y=-★11已知函数的图像由两条射线及开口向下的抛物线的一部分(包括端点)组成,如图,试求函数的解析式.解设左射线所在直线的解析式为y=kx+b,因为点(1,1),(0,2)在直线上,故由得-所以左射线的解析式为y=-x+2(x<1).同理可得右射线的解析式为y=x-2(x>3).再设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+2,因为点(1,1)在此抛物线上,所以a+2=1,a=-1,所以中间抛物线的解析式为y=-(x-2)2+2=-x2+4x-2,1≤x≤3.综上所述,所求函数的解析式为y=----2.3映射课时过关·能力提升1映射f:A→B,在f作用下A中元素(x,y)与B中元素(x-1,3-y)对应,则与B中元素(0,1)对应的A中元素是()A.(-1,2)B.(0,3)C.(1,2)D.(-1,3)2下列从集合A到集合B的对应中为映射的是()A.A=B=N+,对应关系f:x→y=|x-3|B.A=R,B={0,1},对应关系f:x→y=C.A={x|x>0},B={y|y∈R},对应关系f:x→y=±D.A=Z,B=Q,对应关系f:x→y=答案:B3集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足f(a)+f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数为()A.2B.3C.5D.8解析:存在的映射有-1+1=0,1+(-1)=0,0+0=0共3个.答案:B4已知A=B=R,x∈A,y∈B,f:x→y=ax+b是从A到B的映射,若3和7的原像分别是5和9,则6在f下的像是()A.3B.4C.5D.6解析:因为3和7的原像分别是5和9,所以解得-即f:x→y=x-2,所以当x=6时,y=6-2=4,故选B.答案:B5已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中的元素的个数是() A.4 B.5 C.6 D.7解析:对应关系是f:a→|a|,因此3和-3对应的像是3;-2和2对应的像是2;1和-1对应的像是1;4对应的像是4,所以B={1,2,3,4}.6若A到B的映射f:x→3x-1,B到C的映射g:y→,则A到C的映射h:x→.解析:由题意,得y=3x-1,.--故h:x→.-答案:-7设集合A和B都是自然数集,映射f:A→B把A中的元素n映射到B中的元素2n+n,则在映射f下,A中的元素对应B中的元素3.解析:对应关系为f:n→2n+n,根据2n+n=3,可得n=1.答案:18设a,b为实数,集合M=,N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b的值为.解析:∵f:x→x,∴M=N,∴=0,a=1,b=0.故a+b=1.答案:19设f,g都是由A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:设a=g(f(3)),b=g(g(2)),c=f(g(f(1))).试判断a,b,c的大小关系.解∵a=g(f(3))=g(1)=2,b=g(g(2))=g(1)=2,c=f(g(f(1)))=f(g(2))=f(1)=2,∴a=b=c.10设f:A→B是A到B的一个映射,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(x-y,x+y).(1)求A中元素(-1,2)的像;(2)求B中元素(-1,2)的原像.解(1)A中元素(-1,2)在B中对应的元素为(-1-2,-1+2),即A中元素(-1,2)的像为(-3,1).(2)设A中元素(x,y)与B中元素(-1,2)对应,则由--解得所以B中元素(-1,2)的原像为.11已知从集合A到集合B={0,1,2,3}的映射f:x→-,试问集合A中的元素最多有几个?写出元素最多时的集合A.解∵f:x→-是从集合A到集合B的映射,∴A中每一个元素在集合B中都有像.令-=0,则该方程无解,故0没有原像.分别令-=1,2,3可得x=±2,±,±.故集合A中的元素最多为6个,即A=---.★12设映射f:A→B,其中A=B={(x,y)|x,y∈R},f:(x,y)→(3x-2y+1,4x+3y-1).(1)求A中元素(3,4)的像.(2)求B中元素(5,10)的原像.(3)A中是否存在这样的元素(a,b)使它的像仍是它本身?若有,求出这个元素;反之,说明理由.解(1)因为所以--所以集合A中元素(3,4)的像是(2,23).(2)因为--所以所以集合B中元素(5,10)的原像是(2,1).(3)因为--即--解得所以存在元素使它的像仍是它本身.§3函数的单调性第1课时函数单调性的定义与判断课时过关·能力提升1设函数f(x)在区间(a,b),(c,d)上是增加的,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)<f(x2)B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定答案:D2若y=f(x)是R上的增函数,且f(2m)<f(9-m),则实数m的取值范围是()A.(3,+∞)B.(-∞,3)C.(-∞,0)D.(-3,3)。

课时达标训练（十）一、选择题1．如何平移抛物线y ＝2x 2可得到抛物线y ＝2(x －4)2－1 ( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是 ( )3．(山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝－x 2＋bx ，若y ＝f (x )的图像与y ＝g (x )的图像有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0B ．x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0D ．x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<04．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C.－1－52 D.－1＋52二、填空题5．将抛物线y ＝－x 2＋2x －1向左平移1个单位后，得到的解析式是________． 6．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得到函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝ ________.7．已知二次函数f (x )的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2,4)，则f (x )＝________. 8．已知方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y ＝x －2的交点坐标为(1，n )和(m,1)，求这个二次函数的解析式．答案1．解析：选D 要得到y ＝2(x －4)2－1的图像，只需将y ＝2x 2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．2．解析：选D 由A 、C 、D 知，f (0)＝c ＜0， ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A 、C 错；D 符合要求，由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． 3．解析：选B 由于函数y ＝f (x )的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y ＝g (x )的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A ，B 一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x 1x 2<0，由于y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2，故x 1＋x 2，y 1＋y 2一定异号．问题即为方程－x 2＋bx ＝1x仅有两个不同的实根，即方程x 3－bx 2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A 的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x 1是方程x 3－bx 2＋1＝0的二重根，x 2为一个单根，则x 3－bx 2＋1＝(x －x 1)2(x －x 2)＝x 3－(2x 1＋x 2)x 2＋(x 21＋2x 1x 2)x －x 21x 2，这个等式对任意x 恒成立，比较等式两端x 的系数可得x 21＋2x 1x 2＝0，即x 1＋2x 2＝0，即x 1＋x 2＝－x 2>0，所以x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0.4．解析：选B 由第一个图与第二个图中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－ba≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．5．解析：∵y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2， ∴函数y ＝－x 2＋2x －1向左平移一个单位后， 所得函数解析式为y ＝－[(x ＋1)－1]2＝－x 2. 答案：y ＝－x 26．解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：17．解析：设f (x )＝a (x －1)2－2，因为过点(2,4)， 所以有a (2－1)2－2＝4，得a ＝6.所以f (x )＝6(x －1)2－2＝6x 2－12x ＋4. 答案：6x 2－12x ＋48．解析：设f (x )＝x 2－4|x |＋5，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋5，x ≥0，x 2＋4x ＋5，x <0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋1，x ≥0，x ＋2＋1，x <0，作出f (x )的图像，如图：要使方程x 2－4|x |＋5＝m 有四个全不相等的实根，需使函数f (x )与y ＝m 的图像有四个不同的交点，由图像可知，1<m <5.答案：(1,5)9．解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－－k 3＝269. 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.10．解：∵y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y ＝－12x 2＋2x ＋3的形状相同，开口方向相反．∴a ＝12，则y ＝12x 2＋bx ＋c .又(1，n )，(m,1)两点均在y ＝x －2上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1－2，1＝m －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1，即点(1，－1)和(3,1)均在所求的抛物线上．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝12＋b ＋c ，1＝92＋3b ＋c .解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－12.∴这个二次函数的解析式为y ＝12x 2－x －12.。

第二部分阶段测试 第一章达标检测时间：120分钟 分数：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A .ab>0，bc<0 B ．ab>0，bc>0 C ．ab<0，bc>0 D ．ab<0，bc<0 2．已知点M(0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则点N 的坐标是( )A .(－2，－3)B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(－2，－1) 3．若直线l 1：x ＋(1＋m)y ＋m －2＝0和直线l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，则m 的值为( )A .1B ．－2C ．1或－2D ．－234．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A .x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝05．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A .第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．经过点(1，0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A .(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C .x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 7．直线y ＝kx ＋1与圆(x －2)2＋(y －1)2＝4相交于P ，Q 两点．若|PQ|≥2 2 ，则k 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 C ．[－1，1] D ．[－ 3 ， 3 ]8．设有一组圆C k ：(x －1)2＋(y －k)2＝k 4(k∈N ＋)，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切；②存在一条直线与所有的圆均相交；③存在一条直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中正确的命题序号是( )A.①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．如图，直线l 1，l 2相交于点O ，点P 是平面内的任意一点，若x ，y 分别表示点P 到l 1，l 2的距离，则称(x ，y )为点P 的“距离坐标”．下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0，0)的点有1个B.距离坐标为(0，1)的点有2个C.距离坐标为(1，2)的点有4个D.距离坐标为(x ，x )的点在一条直线上10．已知圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，圆M 被x 轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是( )A ．圆M 的圆心在定直线x －y －2＝0上B ．圆M 的面积的最大值为50πC ．圆M 的半径的最小值为1D ．满足条件的所有圆M 的半径之积为1011．已知圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0交于P ，Q 两点，下列说法正确的是( )A.两圆有两条公切线B.直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0C.线段PQ 的长为61313D.所有过点P ，Q 的圆的方程可以记为x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．过圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________.13．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，则直线l 的方程为________________.14．[双空题]已知圆C ：x 2＋y 2＋2(a －1)x －12y ＋2a 2＝0.当圆C 的面积最大时，实数a 的值为________；若此时圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则mn3m ＋n 的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，2)，B (4，3)，C (－1，－2).(1)求△ABC 中，BC 边上的高线所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．16.(本小题满分15分)已知圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)判断直线l 与圆C 的位置关系； (2)若直线l 与圆C 交于不同两点A ，B ，且|AB |＝32 ，求直线l 的方程．17．(本小题满分15分)已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5，0)，求圆C 的方程； (2)是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r 的值；若不存在，请说明理由．18．(本小题满分17分)①圆心C在直线l：2x－7y＋8＝0上，且B(1，5)是圆上的点；②圆心C在直线x－2y＝0上，但圆C不经过点(4，2)，并且直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4；③圆C过直线l：2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－16＝0的交点．在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，问题：平面直角坐标系xOy中，圆C过点A(6，0)，且________．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点A的圆C的切线方程．19．(本小题满分17分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使得∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第一章达标检测1．解析：由题意，令x ＝0，得y ＝－cb >0；令y ＝0，得x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab >0.答案：A2．解析：由点N 在直线x －y ＋1＝0上，排除A ，B.由k MN ＝2，排除D.故选C. 答案：C 3．解析：∵直线l 1：x ＋(m ＋1)y ＋m －2＝0与l 2：mx ＋2y ＋8＝0平行，∴m (m ＋1)＝1×2，解得m ＝1或m ＝－2.当m ＝－2时，直线l 1：x －y －4＝0，l 2：x －y －4＝0，l 1与l 2重合，故舍去；当m ＝1时，l 1∥l 2.∴m ＝1.故选A.答案：A4．解析：将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”，在直线x －2y ＋1＝0上取一点P (3，2)，点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(－1，2)必在所求直线上，只有选项D 满足．答案：D5．解析：圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－32b ，由于圆心位于第三象限，所以a <0，b >0.直线方程x ＋ay ＋b ＝0可化为y ＝－1a x －b a .因为－1a >0，－ba >0，所以直线不经过第四象限．答案：D6．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1).由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.答案：B7．解析：若|PQ |≥22 ，则圆心(2，1)到直线y ＝kx ＋1的距离d ≤ 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222 ＝2 ，即|2k |1＋k 2≤2 ，解得－1≤k ≤1. 答案：C8．解析：命题①中，当k ＝1时，圆心(1，1)，半径r ＝1，满足与x 轴相切，故①正确；命题②③中，圆心(1，k )恒在直线kx －y ＝0上，该线与圆一定相交，故②正确，只要k 足够大，对任意直线，总有直线与圆相交，故③错误；命题④中，若(0，0)在圆上，则1＋k 2＝k 4，而k ∈N ＋，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，故④正确．故选C.答案：C9．解析：对于A ，若距离坐标为(0，0)，即P 到两条直线的距离都为0，P 为两直线的交点，即距离坐标为(0，0)的点只有1个，A 正确；对于B ，若距离坐标为(0，1)，即P 到直线l 1的距离为0，到直线l 2的距离为1，P 在直线l 1上，到直线l 2的距离为1，符合条件的点有2个，B 正确；对于C ，若距离坐标为(1，2)，即P 到直线l 1的距离为1，到直线l 2的距离为2，有4个符合条件的点，即与直线l 1相距为2的两条平行线和与直线l 2相距为1的两条平行线的交点，C 正确；对于D ，若距离坐标为(x ，x )，即P 到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x ，x )的点在2条相互垂直的直线上，D 错误．故选ABC.答案：ABC10．解析：∵圆M 与直线x ＋y ＋2＝0相切于点A (0，－2)，∴直线AM 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，∴直线AM 的斜率为1，则点M 在直线y ＝x －2，即x －y －2＝0上，A 正确；设M (a ，a －2)，∴圆M 的半径r ＝|AM |＝a 2＋（a －2＋2）2 ＝2 |a |，∴圆M 被x 轴截得的弦长为2r 2－（a －2）2 ＝2a 2＋4a －4 ＝2，解得a ＝－5或a ＝1，当a ＝－5时，圆M 的面积最大，为πr 2＝50π，B 正确；当a ＝1时，圆M 的半径最小，为2 ，C 错误；满足条件的所有圆M 的半径之积为52 ×2 ＝10，D 正确．故选ABD.答案：ABD11．解析：A ，因为圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0相交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B ，圆O ：x 2＋y 2＝9和圆M ：x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0的方程相减得3x －2y ＋9＝0，所以直线PQ 的方程为3x －2y ＋9＝0，故正确；C ，圆心O 到直线PQ 的距离为d ＝99＋4＝91313，所以线段PQ 的长|PQ |＝2r 2－d 2＝2 9－8113 ＝121313，故错误；D ，因为λ∈R ，λ≠－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x 2＋y 2＋6x －4y ＋9＝0， 可知该圆恒过P ，Q 两点，方程可化为x 2＋y 2＋6λx 1＋λ －4λy 1＋λ ＋9λ－91＋λ ＝0，而(6λ1＋λ )2＋(4λ1＋λ )2－49λ－91＋λ ＝16λ2＋36（1＋λ）2 >0，所以方程x 2＋y 2－9＋λ(x 2＋y 2＋6x －4y ＋9)＝0(λ∈R ，λ≠－1)表示圆，但不包括圆M ，故错误．故选AB.答案：AB12．解析：设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ 代入2x ＋4y －1＝0，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.答案：x 2＋y 2－3x ＋y －1＝013．解析：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行． 设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13 ，d 2＝|m ＋13|13 ，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 答案：3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝014．解析：圆C 的方程可化为[x ＋(a －1)]2＋(y －6)2＝－a 2－2a ＋37，当a ＝－1时，－a 2－2a ＋37取得最大值38，此时圆C 的半径最大，面积也最大；当a ＝－1时，圆心坐标为(2，6)，圆C 关于直线l ：mx ＋ny －6＝0(m >0，n >0)对称，则点(2，6)在直线上，所以2m＋6n －6＝0，即m ＋3n ＝3，由题得mn 3m ＋n ＝11m ＋3n，所以1m ＋3n ＝13 (m ＋3n )(1m ＋3n )＝13(10＋3n m ＋3m n )≥13(10＋2 3n m ×3m n )＝163 ，当且仅当3n m ＝3m n ，即m ＝n ＝34时取等号，所以mn 3m ＋n ＝11m ＋3n≤316.答案：－131615．解析：(1)∵直线BC 的斜率k BC ＝3＋24＋1 ＝1，∴BC 边上的高线所在直线的斜率k ＝－1.∴BC 边上的高线所在直线的方程为y －2＝－(x ＋3)， 即x ＋y ＋1＝0.(2)∵B (4，3)，C (－1，－2)，∴|BC |＝（－2－3）2＋（－1－4）2＝52 .由B (4，3)，C (－1，－2)，得直线BC 的方程为x －y －1＝0，∴点A 到直线BC 的距离d ＝|－3－2－1|2 ＝32 ，∴S △ABC ＝12×52 ×32 ＝15.16．解析：(1)圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5，所以圆C 的圆心为C (0，1)，半径r＝5 ，圆心C (0，1)到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1 ＝|m |m 2＋1 <1<5 ，因此直线l 与圆C 相交．(2)圆心C 到直线l 的距离d ＝（5）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝22 .又d ＝|m |m 2＋1 ，|m |m 2＋1＝22，解得m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0. 17．解析：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝25， 其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0. 又因为动圆过点(－5，0)，所以(－5－a )2＋(0－b )2＝25，联立⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，（－5－a ）2＋（0－b ）2＝25， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5.故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25.(2)圆O 的圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝52 .当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆； 当r 满足r ＋5>d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切； 当r 满足r ＋5＝d ，即r ＝52 －5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切． 故当动圆C 中与圆O 相外切的圆仅有一个时，r ＝52 －5. 18．解析：选①条件．(1)方法一：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（6－a ）2＋（0－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（5－b ）2＝r 2，2a －7b ＋8＝0，解得a ＝3，b ＝2，r 2＝13，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13. 方法二：设线段AB 的垂直平分线为m ，则圆心C 在直线m 上且在直线l 上，即C 是m 与l 的交点， 直线AB 的斜率是－1，直线m 的斜率是1，AB 中点为(72 ，52 )，∴直线m ：x －y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －7y ＋8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴圆心C (3，2)且|CA |＝13 ，∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝13.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－23 ，过点A 的切线斜率为32 ，∴过点A 的切线方程是y ＝32 (x －6)，即3x －2y －18＝0.选②条件．(1)设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得a ＝2b ，设圆心C 到直线4x －3y ＝0的距离为d ，r 2＝(a －6)2＋b 2， 由垂径定理可知r 2＝d 2＋22，即(|4a －3b |5 )2＋4＝(a －6)2＋b 2，将a ＝2b 代入得，b 1＝2，b 2＝4， 又∵圆C 不经过点(4，2)，∴a ＝8，b ＝4，r 2＝20，∴所求圆的方程是(x －8)2＋(y －4)2＝20.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝2，过点A 的切线斜率为－12 ，∴过点A 的切线方程是y ＝－12(x －6)，即x ＋2y －6＝0.选③条件．(1)方法一：设所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －4y －16＋λ(2x ＋y ＋4)＝0， 代入点A (6，0)得λ＝－2，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －6y －24＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝34.方法二：设直线l ：2x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0的交点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －16＝0， 即5x 2＋26x ＋16＝0，解得x 1＝－13＋895 ，x 2＝－13－895，∴E (－13＋895 ，6－2895 )，F (－13－895 ，6＋2895)，设所求圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，将A ，E ，F 代入，得所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝34.(2)∵A 在圆C 上，k AC ＝－35 ，过点A 的切线斜率为53 ，∴过点A 的切线方程是y ＝53(x －6)，即5x －3y －30＝0.19．解析：(1)如图，连接PC ，由点P 在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－2－34x .圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C (1，1)，半径为1.所以S 四边形PACB ＝2S △PAC ＝2×12 ×|AP |×|AC |＝|AP |.因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2＋34x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋1 2＋9，所以当x ＝－45 时，|PC |2min ＝9，所以|AP |min ＝9－1 ＝22 ，即四边形PACB 面积的最小值为22 .(2)假设直线上存在点P 满足题意．因为∠BPA ＝60°，|AC |＝1，所以|PC |＝2.设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P 是不存在的．。

北师大版选择性必修第一册课时练习第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 -1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系 ........................ - 2 -2、直线方程的点斜式................................................................................................ - 7 -3、直线方程的两点式直线方程的一般式.......................................................... - 12 -4、两条直线的平行与垂直...................................................................................... - 16 -5、两条直线的交点坐标.......................................................................................... - 20 -6、平面直角坐标系中的距离公式.......................................................................... - 25 -7、圆的标准方程...................................................................................................... - 30 -8、圆的一般方程...................................................................................................... - 34 -9、直线与圆的位置关系.......................................................................................... - 38 -10、圆与圆的位置关系............................................................................................ - 44 - 第二章圆锥曲线 ................................................................................................................... - 50 -1、椭圆及其标准方程.............................................................................................. - 50 -2、椭圆的简单几何性质.......................................................................................... - 55 -3、双曲线及其标准方程.......................................................................................... - 61 -4、双曲线的简单几何性质...................................................................................... - 66 -5、抛物线及其标准方程.......................................................................................... - 73 -6、抛物线的简单几何性质...................................................................................... - 78 -7、直线与圆锥曲线的位置关系.............................................................................. - 84 - 第三章空间向量与立体几何................................................................................................ - 91 -1、点在空间直角坐标系中的坐标.......................................................................... - 91 -2、空间两点间的距离公式...................................................................................... - 96 -3、从平面向量到空间向量空间向量的运算(一) ............................................. - 100 -4、空间向量的运算(二) ......................................................................................... - 105 -5、空间向量的运算(三) ......................................................................................... - 110 -6、空间向量基本定理............................................................................................ - 117 -7、空间向量运算的坐标表示及应用.................................................................... - 123 -8、直线的方向向量与平面的法向量.................................................................... - 129 -9、用向量方法研究立体几何中的位置关系........................................................ - 135 -10、空间中的角...................................................................................................... - 142 -11、空间中的距离问题.......................................................................................... - 153 - 第五章计数原理 ................................................................................................................. - 163 -1、分类加法计数原理分步乘法计数原理........................................................ - 163 -2、基本计数原理的简单应用................................................................................ - 167 -3、排列与排列数排列数公式............................................................................ - 172 -4、组合组合数及其性质.................................................................................... - 175 -5、二项式定理的推导............................................................................................ - 179 -6、二项式系数的性质............................................................................................ - 182 - 第六章概率 ......................................................................................................................... - 187 -1、条件概率的概念................................................................................................ - 187 -2、乘法公式与事件的独立性全概率公式........................................................ - 192 -3、随机变量............................................................................................................ - 199 -4、离散型随机变量的分布列................................................................................ - 202 -5、离散型随机变量的均值.................................................................................... - 207 -6、离散型随机变量的方差.................................................................................... - 213 -7、二项分布............................................................................................................ - 220 -8、超几何分布........................................................................................................ - 225 -9、正态分布............................................................................................................ - 230 -第七章统计案例................................................................................................................ - 235 -1、一元线性回归.................................................................................................... - 235 -2、成对数据的线性相关性.................................................................................... - 240 -3、独立性检验问题................................................................................................ - 246 -第一章直线与圆1、一次函数的图象与直线的方程直线的倾斜角、斜率及其关系一、选择题1．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()A．3B．－2C．2D．不存在B[由题意可得AB的斜率为k＝2－41－0＝－2．]2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是()A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0)C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1)D[选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．]3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是() A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°C[直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°．]4．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ．3 C ．233 D ．－3B [法一：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝3．故选B ．法二：设斜率为33的直线的倾斜角为α，则tan α＝33，∴l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2331－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝3．故选B ．] 5．过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4A [∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1．] 二、填空题6．已知直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是________．2 [如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k ∈[0，2]．故直线l 的斜率k 的最大值为2．]7．已知A (2，－3)，B (4，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，m 2三点在同一条直线上，则实数m 的值为________．12 [因为A 、B 、C 三点在同一条直线上，所以有k AB ＝k AC ，即3－(－3)4－2＝m 2－(－3)5－2，解得m ＝12．] 8．若直线l 的斜率k 的取值范围是[)0，3，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3 [当0≤k <3时，即0≤tan α<3，又α∈[)0，π，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3．] 三、解答题9．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α．(1)A (2，3)，B (4，5)；(2)C (－2，3)，D (2，－1)；(3)P (－3，1)，Q (－3，10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°．(2) 存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°．(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°．10．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)．(1)求y ＋3x ＋2的最大值和最小值； (2) 求x ＋y ＋5x ＋2的最大值和最小值． [解] (1)如图，可知y ＋3x ＋2表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB 上任一点(x ，y )的直线的斜率k ．由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)．易知k P A≤k≤k PB．由斜率公式得k P A＝43，k PB＝8，所以43≤k≤8．故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．(2)由(1)知，y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43．又x＋y＋5x＋2＝y＋3x＋2＋1，所以x＋y＋5x＋2的最大值是9，最小值73．11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C[∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝m2－11－2>0，∴－1<m<1．]12．已知点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则() A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2C．a＝2，b＝3D．a＝3，b∈R且b≠1D[由已知a＝3，又A，B为不同的两点，故b≠1．]13．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是()A ．若()1，k 是直线l 的一个方向向量，则k 是该直线的斜率B ．若直线l 的斜率是k ，则()1，k 是该直线的一个方向向量C ．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角[答案] ABC14．(一题两空)已知点A (3，1)，B (－2，k )，C (8，1)．(1)直线AC 的倾斜角为________；(2)若这三点能构成三角形，则实数k 的取值范围为________．0 (－∞，1)∪(1，＋∞) [因为k AC ＝1－18－3＝05＝0．所以直线AC 的倾斜角为0，又k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5， 要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0．∴k ≠1．]15．把一块长和宽都是13 dm 的矩形纸片按图(1)裁好，问能否拼成图(2)所示的矩形，为什么？(1) (2)[解] 不能，如图，以B 为坐标原点建立直角坐标系，使得BE 在y 轴正半轴上，AB 在x 轴负半轴上．边AC所在直线的斜率为k AC＝88－5＝83，边EC所在直线的斜率为k EC＝135≠83，即k AC≠k EC，所以A、C、D、E四点不可能在同一条直线上．即不能拼成图(2)所示的矩形．2、直线方程的点斜式一、选择题1．直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示()A．任何一条直线B．不过原点的直线C．不与坐标轴垂直的直线D．不与x轴垂直的直线D[点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线．]2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是()A．y＋3＝4(x－2)B．y－3＝4(x－2)C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2)[答案]A3．已知直线x－ay＝4在y轴上的截距是2，则a等于()A ．－12B ．12C ．－2D ．2C [直线x －ay ＝4可化为y ＝1a x －4a ，∴－4a ＝2，得a ＝－2．]4．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1<k 2且b 1<b 2B ．k 1<k 2且b 1>b 2C ．k 1>k 2且b 1>b 2D ．k 1>k 2且b 1<b 2A [设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2．由题图可知，90°<α1<α2<180°，所以k 1<k 2，又b 1<0，b 2>0，所以b 1<b 2．故选A ．]5．若y ＝a |x |与y ＝x ＋a (a >0)有两个公共点，则a 的取值范围是( )A ．a >1B ．0<a <1C ．∅D ．0<a <1或a >1A [y ＝x ＋a (a >0)表示斜率为1，在y 轴上的截距为a (a >0)的直线，y ＝a |x |表示关于y 轴对称的两条射线．∴当0<a ≤1时，只有一个公共点；当a >1时，有两个公共点，故选A ．]二、填空题6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．－4 [由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4．]7．直线y ＝k (x －2)＋3必过定点，该定点为________．(2，3) [将直线方程化为点斜式得y －3＝k (x －2)，∴该直线过定点(2，3)．]8．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎨⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32．] 三、解答题9．已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°．求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边与BC边所在直线的方程．[解](1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行．∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0．(2)∵∠A＝60°，∴k AC＝3，AC边所在直线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y＋1－3＝0．又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1．∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0．10．如图，直线l：y－2＝3(x－1)过定点P(1，2)，求过点P且与直线l所夹的角为30°的直线l′的方程．[解]设直线l′的倾斜角为α′，由直线l的方程y－2＝3(x－1)知，直线l的斜率为3，则倾斜角为60°．当α′＝90°时，满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的方程为x＝1；当α′＝30°时，也满足l与l′所夹的锐角为30°，此时直线l′的斜率为33，由直线方程的点斜式得l′的方程为y－2＝33(x－1)，即y＝33(x－1)＋2．综上，所求直线l′的方程为x＝1或y＝33(x－1)＋2．11．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()A B C DD [对于A 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于B 选项，由l 1得a <0，b >0，而由l 2得a >0，b >0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a >0，b <0，而由l 2得a <0，b >0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a >0，b >0，而由l 2得a >0，b >0．故选D ．]12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是( )A ．方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)表示同一条直线B ．直线l 过点P (x 0，y 0)，倾斜角为90°，则其方程为x ＝x 0C ．直线l 过点P (x 0，y 0)，斜率为0，则其方程为y ＝y 0D ．所有直线都有点斜式和斜截式方程BC [A 中方程，k ＝y －2x ＋1，x ≠－1；D 中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴AD 错误，BC 正确．]13．(一题两空)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为________；再向右平移1个单位，所得到的直线为________．y ＝－13x y ＝－13x ＋13 [将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13．]14．已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1．(1)求证：直线l 恒过一个定点；(2)当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围．[解] (1)证明：由y ＝kx ＋2k ＋1，得y －1＝k (x ＋2)．由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1)．(2)设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x <3时，直线上的点都在x 轴上方， 需满足⎩⎨⎧f (－3)≥0，f (3)≥0.即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0. 解得－15≤k ≤1． 所以，实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1．15．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列结论正确的是( )A ．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点B ．如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点C ．直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数D ．存在恰经过一个整点的直线AD [A 正确，如直线y ＝2x ＋12，不经过任何整点(x ＝0，y ＝12；x ≠0，y 是无理数)B 错误，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C 错误，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点； D 正确，比如直线y ＝2x 只经过一个整点(0，0)．]3、直线方程的两点式直线方程的一般式一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．] 2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则() A．C＝0，B>0B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行判断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－1a x－ba，l2：y＝－1c x－dc，由题图知⎩⎪⎨⎪⎧－1a >－1c >0－ba <0－d c >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧c <a <0b <0d >0.]4．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝3xC ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋3y －2＝0B [如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°． ∴直线l 的斜率k ＝tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x ．]5．若直线Ax ＋By ＋C ＝0过坐标原点，则A ，B ，C 满足的条件是( ) A ．C ＝0B ．AB ≠0且C ＝0 C ．A 2＋B 2≠0且C ＝0D ．A ＋B ＝0C [A ，B 不能同时为0．] 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1，3)的直线的一般式方程为________．2x －y ＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x 轴上的截距是________．－32 [直线方程为y －19－1＝x ＋13＋1，即y ＝2x ＋3，令y ＝0，得x ＝－32，∴在x 轴上的截距为－32．]8．过点P (3，－1)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是________．x ＋2y －1＝0或x ＋3y ＝0 [设直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，当a ＝0时，b ＝0，此时直线l 的方程为 y x ＝－13，所以x ＋3y ＝0；当a ≠0时，a ＝2b ，此时直线l 的方程为x 2b ＋yb ＝1，代入(3，－1)，得x ＋2y －1＝0．]三、解答题9．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，求直线在y 轴上的截距．[解] 由已知，直线过点(3，0)，所以3(a ＋2)－2a ＝0， 即a ＝－6．所以直线方程为－4x ＋45y ＋12＝0，即4x －45y －12＝0．令x ＝0，得y ＝－415． 故直线在y 轴上的截距为－415．10．求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程． [解] 由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0，或x ＋y －7＝0．11．过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．无数多条 B [当截距都为零时满足题意要求，直线为y ＝－13x ； 当截距不为零时，设直线方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋－1b ＝1|a |＝|b |，∴⎩⎨⎧ a ＝2b ＝2或⎩⎨⎧a ＝4b ＝－4，即直线方程为x 2＋y 2＝1或x 4＋y －4＝1，∴满足条件的直线共有3条．故选B ．]12．已知直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．x ＋2y ＋1＝0A [∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0．由此可知点P 1(a 1，b 1)在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∵点A (2，1)在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0．由此可知点P 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋y ＋1＝0上． ∴过点P 1(a 1，b 1)和点P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0B ．bc <0C ．ab <0D ．bc >0AB [易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a b <0，－c b >0，所以ab >0，bc <0．]14．(一题两空)已知点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy 的最大值为________；最小值为________．3 0 [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，所以xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3，所以当x ＝32时，xy 的最大值为3；当x ＝0或3时，xy 的最小值为0．]15．已知直线l 过点M (2，1)，且与x 轴、y 轴的正方向分别交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．[解]根据题意，设直线l的方程为xa＋yb＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴2a＋1b＝1，解得b＝aa－2，∴△AOB的面积S＝12ab＝12a·aa－2，化简，得a2－2aS＋4S＝0．①∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．∴S的最小值为4，将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，∴b＝aa－2＝2．∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.4、两条直线的平行与垂直一、选择题1．下列直线中与直线x－y－1＝0平行的是()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y＋1＝0 D．ax－ay－a＝0B[显然B中直线与直线x－y－1＝0斜率相等但不重合．]2．已知直线l1的斜率k1＝1，直线l2的斜率k2＝－1，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不确定B[∵k1·k2＝－1，∴l1⊥l2．]3．下列直线中，与已知直线y＝－43x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0B [先看斜率，A 、D 选项中斜率为－34，排除掉；直线与y 轴交点需在y 轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B 选项符合．]4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [当a ≠0时，由l 1⊥l 2得k 1·k 2＝a ·k 2＝－1，∴k 2＝－1a ；当a ＝0时，l 1与x 轴平行或重合，则l 2与y 轴平行或重合，故直线l 2的斜率不存在．∴直线l 2的斜率为－1a 或不存在．]5．以A (－1，1)，B (2，－1)，C (1，4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [∵k AB ＝－23，k AC ＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，即AB ⊥AC ．] 二、填空题6．若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________． －23[－2m ＝3，∴m ＝－23．] 7．若直线l 1：2x －5y ＋20＝0，l 2：mx －2y －10＝0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m 的值为________．－5 [l 1、l 2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补．因为坐标轴垂直，故l 1⊥l 2，即2m ＋10＝0，∴m ＝－5．]8．已知A (3，1)，B (－1，－1)，C (2，1)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为________．3x＋2y－11＝0[k BC＝1－(－1)2－(－1)＝23，∴BC边上的高所在直线的斜率k＝－3 2，∴所求直线方程为y－1＝－32(x－3)，即3x＋2y－11＝0．]三、解答题9．已知点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径的圆与x轴交于点M，求点M 的坐标．[解]设M(x，0)∴M是以AB为直径的圆与x轴的交点，∴AM⊥BM，∴k AM·k BM＝－1，即3－0－1－x×2－04－x＝－1，∴x2－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2，∴M(1，0)或M(2，0)．10．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．[解]∵A、B两点纵坐标不等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3．①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3．∵AB⊥CD，∴k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1，综上m的值为1或－1．11．直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件．] 12．若{(x，y)|ax＋2y＋2＝0}∩{(x，y)|3x－y－2＝0}＝∅，则系数a＝()A．6B．－6C．32D．－32B[由题意知，两直线平行，∴a3＝2－1，∴a＝－6．]13．(多选题)下列说法中，不正确的是()A．若两直线斜率相等，则两直线平行B．若l1∥l2，则k1＝k2C．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D．若两直线斜率都不存在，则两直线平行ABD[当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，A不正确；若两直线平行，那么它们的斜率可能都不存在，B不正确；显然C正确；若两直线斜率都不存在，则两直线平行或重合，D不正确．]14．(一题两空)直线l1的斜率k1＝34，直线l2经过点A(1，2)，B(a－1，3)．(1)若l1∥l2，则a的值为________．(2)若l1⊥l2，则a的值为________．10 354[直线l2的斜率k2＝3－2a－1－1＝1a－2，由l1∥l2，得k1＝k2，∴1a－2＝34，∴a＝10 3．由l1⊥l2，得k1·k2＝－1，∴1a－2×34＝－1，∴a＝54．]15．已知O 为坐标原点，点M (2，2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 的坐标．(1)∠MOP ＝∠OPN ； (2)∠MPN 是直角． [解] 设P (x ，0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴MO ∥PN ，∴k OM ＝k NP ， 又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5． ∴2x －5＝1，解得x ＝7，即P (7，0)． (2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ， ∴k MP ·k NP ＝－1，∵k MP ＝22－x ，k NP ＝2x －5， ∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6． ∴P (1，0)或(6，0)．5、 两条直线的交点坐标一、选择题1．直线3x －2y ＋m ＝0和(m 2＋1)x ＋3y －3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．不确定 B [∵k 1＝32，k 2＝－m 2＋13＜0，∴k 1≠k 2的两直线相交．] 2．直线l 1：3x －4y ＋5＝0与l 2：4x －3y －13＝0的交点坐标为( ) A ．(2，3) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫73，3 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，73 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫37，3B [由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋5＝04x －3y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝73y ＝3，本题也可代入选项验证．]3．两条直线x ＋y －a ＝0与x －y －2＝0相交于第一象限，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－2＜a ＜2}B ．{a |a ＜－2}C ．{a |a ＞2}D ．{a |a ＜－2或a ＞2}C [联立方程，得⎩⎨⎧x ＋y －a ＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22y ＝a －22，由交点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22>0a －22>0，解得a ＞2．所以实数a 的取值范围是{a |a ＞2}．]4．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－4B ．20C ．0D ．24 A [由两直线垂直得－a 4×25＝－1，∴a ＝10，将垂足代入ax ＋4y －2＝0，得c ＝－2，再代入2x －5y ＋b ＝0，得b ＝－12， ∴a ＋b ＋c ＝－4．]5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为( ) A ．－9 B ．9 C ．－6 D ．6 A [由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3， 得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9．] 二、填空题6．三条直线ax ＋2y ＋8＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为________．－1 [由⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝102x －y ＝10，得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－2．将(4，－2)代入ax ＋2y ＋8＝0，得4a ＋2×(－2)＋8＝0， ∴a ＝－1．]7．已知直线y ＝kx ＋3k －2与直线y ＝－14x ＋1的交点在x 轴上，则k 的值为________．27[直线y ＝－14x ＋1交x 轴于点(4，0)． ∵两条直线的交点在x 轴上，∴直线y ＝kx ＋3k －2过点(4，0)．∴0＝4k ＋3k －2．∴k ＝27．]8．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．(－1，－2) [直线方程可写成a (x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．]三、解答题9．已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ． [解] (1)由⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点P 的坐标是(－2，2)． 又所求直线l 与x －2y －1＝0垂直， 可设直线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0．把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2． ∴所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0．(2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是－1、－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝12×1×2＝1．10．已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，6)，两边AB 、AC 上的高所在直线的方程分别为4x ＋5y －24＝0与x －6y ＋5＝0，求直线BC 的方程．[解] ∵AB 边上的高所在直线的方程为4x ＋5y －24＝0， ∴可设直线AB 的方程为5x －4y ＋m ＝0， 把点A (5，6)坐标代入得25－24＋m ＝0， ∴m ＝－1，即直线AB 方程为5x －4y －1＝0， 由⎩⎨⎧ 5x －4y －1＝0x －6y ＋5＝0，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1，即B (1，1)． 同理可得C (6，0)， ∴k BC ＝1－01－6＝－15． ∴直线BC 的方程为y ＝－15(x －6)，即x ＋5y －6＝0．11．已知点P (－1，0)，Q (1，0)，直线y ＝－2x ＋b 与线段PQ 相交，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D ．[0，2]A [点P ，Q 所在直线的方程为y ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－2x ＋b ，y ＝0，得交点⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，由－1≤b2≤1，得－2≤b ≤2．]12．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝0D [设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于x ＝1对称的点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，所以2－x －2y ＋1＝0，即x ＋2y －3＝0．故选D ．]13．(多选题)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则( ) A ．Ax 0＋By 0＋C ≠0 B ．Ax 0＋By 0＋C ＝0C ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 垂直的直线D ．方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示不过点P 且与l 平行的直线 AD [因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ．故选AD ．]14．(一题两空)已知直线x －2y ＋1＝0，x ＋3y －1＝0，ax ＋2y －3＝0共有两个不同的交点．(1)若它们相交于一点，则a ＝________； (2)若它们共有两个不同的交点，则a ＝________．－11 －1或23 [因为直线x －2y ＋1＝0与x ＋3y －1＝0相交于一点⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，25，若它们相交于一点，则－15a ＋45－3＝0，所以a ＝－11．若要使三条直线共有两个不同交点，只需ax ＋2y －3＝0与以上两条直线中的一条平行即可，当ax ＋2y －3＝0与x －2y ＋1＝0平行时，有－a 2＝12，解得a ＝－1；当ax ＋2y －3＝0与x ＋3y －1＝0平行时，有－a 2＝－13，解得a ＝23．]15．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，求反射光线所在直线的方程．[解] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得 ⎩⎨⎧a ＝3，b ＝5，∴B (3，5)．由⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)， ∴反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上， 该直线的方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x－2y＋7＝0．故反射光线所在直线的方程为x－2y＋7＝0.6、平面直角坐标系中的距离公式一、选择题1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．55B．255C．5D．25A[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|2×1－2＋1| 22＋(－1)2＝55，故选A．]2．已知点(3，m)到直线x＋3y－4＝0的距离等于1，则m等于()A．3B．－3C．－33D．3或－33D[由|3＋3m－4|2＝1，解得m＝3或－33，故选D．]3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m 的值为()A．－6或12B．－12或1C．－12或12D．0或12A[|3m＋2＋3|m2＋12＝|－m＋4＋3|m2＋12，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或12．]4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是() A．3x－4y＋4＝0B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0C ．3x －4y ＋16＝0D ．3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0D [在直线3x －4y ＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x －4y ＋1＝0平行的直线方程为3x －4y ＋m ＝0，则|3×1－4×1＋m |32＋(－4)2＝3，解得m ＝16或m ＝－14， 即所求直线方程为3x －4y ＋16＝0或3x －4y －14＝0．]5．过点P (0，1)且和A (3，3)，B (5，－1)距离相等的直线的方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0C [∵k AB ＝3－(－1)3－5＝－2，过P 与AB 平行的直线方程为y －1＝－2(x －0)，即2x ＋y －1＝0，又AB 的中点C (4，1)，∴PC 的方程为y ＝1．] 二、填空题6．已知A (a ，3)，B (－2，5a )，|AB |＝13，则实数a 的值为________． 3或－2 [依题意及两点间的距离公式，得[a －(－2)]2＋(3－5a )2＝13，整理得a 2－a －6＝0，解得a ＝3或a ＝－2．]7．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．4 [由题意可设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4．]8．点A (－3，1)，C (1，y )关于点B (－1，－3)对称，则|AC |＝________．45 [由已知得y ＋12＝－3，解得y ＝－7，即C (1，－7)，∴|AC |＝[1－(－3)]2＋(－7－1)2＝45．] 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－34． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． [解] (1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 整理得，所求直线方程为3x ＋4y －14＝0．(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得|3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3， 即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0．10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．[解] ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2.(1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0， 把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0， ∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18． 故所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0．(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0， ∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22．故所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0．11．在直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210B ．6C ．33D ．25 A [如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4，2)， C (－2，0)，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|NP |＝|DM |＋|MN |＋|NC |．由对称性，D 、M 、N 、C 共线，∴|CD |即为所求，由两点间的距离公式得|CD |＝40＝210．]12．若直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1B ．2C ．12 D ．4B [∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2．] 13．(多选题)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝2，则下列结论正确的是( ) A ．原点到直线l 距离等于2B ．若点P (x 0，y 0)在直线l 上，则x 20 ＋ y 20 ≥4C ．点(1，1)到直线l 距离d 的最大值等于2＋2D ．点(1，1)到直线l 距离d 的最小值等于2－ 2 ABCD [由点到直线的距离公式知，A 正确；由A 正确得，||OP ≥2，所以x 20 ＋ y 20 ≥4；因为d ＝|cos α＋sin α－2|cos 2α＋sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－2，所以d 的最大值等于2＋2，最小值等于2－2．]14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)，则平面内任意一点到点A 与点C 的距离之和的最小值为________，平面内到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点的坐标是________．25 (2，4) [设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |＝25，当且仅当A ，M ，C 共线，且M 在A ，C 之间时取等号，同理，|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线，且M 在B ，D 之间时取等号，连接AC ，BD 交于一点M (图略)，此时|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 即为所求．因为k AC ＝6－23－1＝2，所以直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0．①又因为k BD ＝5－(－1)1－7＝－1，所以直线BD 的方程为 y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0．②联立①②得⎩⎨⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以M (2，4)．]15．已知正方形的中心为直线2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l 的方程为x ＋3y －5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．[解] 设与直线l ：x ＋3y －5＝0平行的边所在的直线方程为l 1：x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－5)．由⎩⎨⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0， 得正方形的中心坐标为P (－1，0)， 由点P 到两直线l ，l 1的距离相等，得|－1－5|12＋32＝|－1＋c |12＋32，得c ＝7或c ＝－5(舍去)．∴l 1：x ＋3y ＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x －y ＋a ＝0，3x －y ＋b ＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴|－3＋a |32＋(－1)2＝|－1－5|12＋32，得a ＝9或a ＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，3x －y －3＝0．∴另三边所在的直线方程分别为3x －y ＋9＝0，x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0．7、 圆的标准方程一、选择题1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝25 B ．x 2＋y 2＝5C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25C [r ＝(3－0)2＋(4－0)2＝5，故选C ．]2．圆C ：(x ＋4)2＋(y －3)2＝9的圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离等于( ) A ．65 B ．85 C ．245 D ．265B [由已知得，C (－4，3)，则圆心C 到直线4x ＋3y －1＝0的距离d ＝|－16＋9－1|42＋32＝85．] 3．点(a ，a )在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2a 2的内部，则a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞A [由(a －1)2＋(a ＋2)2<2a 2，得a <－52．]4．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2B [由题意，知 |PQ |的最小值即为圆心到直线x ＝－3的距离减去半径长，即|PQ |的最小值为6－2＝4，故选B ．]5．方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是()A．半圆B．圆C．两个圆D．两个半圆D[由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝1－(x－1)2表示的曲线是两个半圆．故选D．]二、填空题6．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．(x－2)2＋y2＝5[(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．]7．设P(x，y)是曲线x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则(x－1)2＋(y－1)2的最大值为________．26＋2[由(x－1)2＋(y－1)2的几何意义知：本题是求圆上一点到点(1，1)的最大值，其最大值为(0－1)2＋(－4－1)2＋2＝26＋2．]8．已知△ABC的顶点A(－1，0)，B(1，0)，C在圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上移动，则△ABC面积的最小值为________．1[∵|AB|＝2．∴当△ABC的高，即C到AB的距离最小时，S△ABC最小，又圆心为(2，2)，半径为1．所以此时C的坐标为(2，1)，S的最小值为1．]△ABC三、解答题9．求圆心C(8，－3)且过点P(5，1)的圆的标准方程．[解]法一：设圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，。

2019-2020年高中数学课时达标训练十五北师大版必修一、选择题1．(山东高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为 ( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]2．指数函数y ＝b ·a x在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D.123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥0，2x，x ＜0，则f (8)等于( )A ．4B ．0 C.14D ．2 4．定义运算a ×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≤b ，b a ＞b ，则函数f (x )＝1×2x的图像是( )二、填空题5．函数y ＝8－2x的定义域是 ________．6．已知a ＝0.30.2，b ＝0.20.2，c ＝0.20.3，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则a ，b ，c ，d 由小到大排列的顺序是________．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，238．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第________象限． 三、解答题9．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(0＜a ＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a 的值． 10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)证明f (x )＞0.答案1．解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.2．解析：选A ∵y ＝b ·a x为指数函数，∴b ＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y ＝a x为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．3．解析：选C f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝14.4．解析：选A 当x ＜0时，2x ＜1，f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x≥1，f (x )＝1.5．解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y ＝2x在R 上为增函数．∴x ≤3的定义域为(－∞，3]．答案：(－∞，3]6．解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1,0.20.3＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＞1，考查幂函数y ＝x 0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．∴0.30.2＞0.20.2；考查指数函数y ＝0.2x ，可知该函数在R 上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3，综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，即c ＜b ＜a ＜d .答案：c ＜b ＜a ＜d7．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数；当x ≥0时，函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1；且满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 8．解析：函数f (x )＝a x＋b 的图像可由函数y ＝a x的图像向上(b ＞0时)或向下(b ＜0)时，平移|b |个单位得到，∵0＜a ＜1，b ＜－1，结合图像可知，f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第一象限．答案：一9．解：由y ＝a 2x ＋2a x－1(0＜a ＜1)， 令t ＝a x，∵x ∈[－1,1]∴a ≤t ≤1a，∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 对称轴为t ＝－1.∵0＜a ＜1∴1a ＞1，∴当t ＝1a，即x ＝－1时，y 取最大值．y max ＝1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13，a ＝－15.∵0＜a ＜1，∴a ＝13.10．解：(1)由题意，2x－1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12(－x )3＝2－x＋1－x －·(－x )3＝1＋2x －2x·(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，∴f (x )为定义域上的偶函数． (3)当x ＞0时，2x＞1， ∴2x－1＞0. 又∵x 3＞0， ∴f (x )＞0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x ＜0时，f (x )＞0也成立． 故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )＞0.2019-2020年高中数学课时达标训练十五新人教A 版选修题组1 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝14，则α等于( )A.13B.12C.18D.14题组2 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．5．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e xsin x.题组3 利用导数公式研究曲线的切线问题7．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．9．已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则a ＝________．10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．[能力提升综合练]1．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 017(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.123．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.224．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1 D ．－25．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________．6．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，则f ′(0)＝________．7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．8．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．9．已知两条直线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．答 案即时达标对点练1. 解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误．sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2′＝0－（x 2）′x 4＝－2x x 4＝－2x3，所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－（x 12）′x＝12x －12x＝12x －32＝12x x，所以④正确． 2. 解析：选D ∵f (x )＝x α， ∴f ′(x )＝αxα－1.∴f ′(1)＝α＝14.3. 解析：选 B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .4. 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案：x 2＋6x （x ＋3）25. 解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：36. 解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′ ＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ′ ＝（e x ）′·sin x －e x·（sin x ）′sin 2x ＝e x ·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e x（sin x －cos x ）sin 2x. 7. 解析：y ′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即y ＝3x ＋1.答案：y ＝3x ＋18. 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：29. 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)．∵切线过点(2，7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.答案：110. 解：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2，又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2，1)．能力提升综合练1. 解析：选C 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ，所以循环周期为4，因此f 2 017(x )＝f 1(x )＝cos x .2. 解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ，所以根据导数的几何意义可知，x 2－3x ＝12，解得x ＝3(x ＝－2不合题意，舍去)．3. 解析：选B y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－sin x （cos x －sin x ）（sin x ＋cos x ）2＝11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为12，即为所求切线的斜率．4. 解析：选A 设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋1，且y 0＝ax 30＋3，所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2，则3ax 20＝3，ax 20＝1…②，由①②可得x 0＝1，所以a ＝1.5. 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 答案：16. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )， 则f (x )＝xg (x )，求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x )， 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7. 解析：法一：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)， ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8. 答案：88. 解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又f ′(1)＝2a ，3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3，令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，又f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.9. 解：不存在．由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)，所以两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。

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课时提升作业(十五)指数概念的扩充(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.将写成根式,正确的是( )A. B. C. D.【解析】选D.因为=,所以选D.2.(2014·江中高一检测)计算=( )A. B. C.-3 D.5【解题指南】观察出哪一个数的立方等于.【解析】选B.因为==,所以=.3.式子-70的值等于( )A.-4B.-10C.2D.3【解析】选C.因为=3,70=1,所以原式=3-1=2.4. (a7b8化为根式是( )A. B. C. D.【解析】选A.(a7b8=,故A正确.5.(2014·益阳高一检测)把根式(a>b)改写成分数指数幂的形式是( ) A.(a-b B.(a-bC.-D.-【解析】选A.根据分数指数幂与根式的关系可得结果.6.等于( )A. B.α2 C.-1 D.1【解析】选D.===1.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·广州高一检测)设α,β为方程2x2+3x+1=0的两个根,则= .【解题指南】先根据根与系数的关系求出α+β的值.【解析】利用根与系数的关系,得α+β=-,所以=,因为8-2=,所以=8.答案：88.(2014·上饶高一检测)式子(1-2x有意义,则x∈.【解析】因为(1-2x==,所以1-2x>0,即x<.答案：【举一反三】式子(1-2x有意义,则x∈.【解析】因为(1-2x==,所以1-2x≠0,即x≠.答案：∪9.(2014·延安高一检测)把(a>0)写成分数指数幂的形式为.【解析】==.答案：三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014·重庆高一检测)求值：(1)3.(2)8.(3)0.008.【解析】(1)因为=32,所以3=.(2)因为813=274,所以8=27.(3)令0.008=b,所以=b4,即b4=,所以b=.【误区警示】在(3)中要注意b>0,不要出现b=〒这种错误.11.把下列是根式的化为分数指数幂,是分数指数幂的化为根式(式中字母均为正实数).(1).(2).(3)(a+b.(4).【解析】(1)=.(2)=2.(3)(a+b=.(4)=(x3+y.【拓展延伸】指数幂的扩充意义根式与分数指数幂互化后,所有的式子表示都可以归结为分数指数幂,即归结为指数表达.“指数概念”的扩充过程类似“数”的扩充过程,体现了整个数学的组织化,系统化的精神.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·榆林高一检测)要使有意义,则a可能取的值为( )A.0B.-2C.-D.【解析】选D.由==可知结果.2.(2014·渭南高一检测)-+等于( )A.2B.-2C.0D.1【解析】选C.-+=-+=0.3.(2014·西安高一检测)若(a2)3=π2,则a=( )A. B.- C.± D.【解析】选C.因为(a2)3=π2中,a可以取正、负值,所以a=〒=〒.【误区警示】没有明确a的范围而错选A.4.若有意义,则x的取值范围是( )A.x>2B.x<2C.x>2或x<-2D.x∈R【解题指南】开偶次方根时,被开方数应为非负数.【解析】选A.要使有意义,只需使≥0,即x-2>0,所以x>2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·吉安高一检测)在,,,2-1中,最大的数是.【解析】因为==,==,2-1=,<0,所以最大.答案：6.(2014·佛山高一检测)计算= .【解析】==|π-3=π-3.答案：π-3三、解答题(每小题12分,共24分)7.求函数y=(2x+3-(6x-5)0的定义域.【解析】由题意得解得x>-且x≠.故函数的定义域为∪.【变式训练】函数y=(4x-3-(x-5)0的定义域为.【解析】由题意得解得x>且x≠5.答案：x>且x≠58.已知幂函数y=f(x)的图像过点.(1)求f(x)的解析式.(2)求f(25)的值.(3)若f(a)=b(a,b>0),则a用b可表示成什么?【解题指南】解答本题的关键是根据条件求出y=f(x)的解析式,进而求解(2)(3).【解析】(1)设f(x)=x t,则9t=.即32t=3-1,所以t=-,所以f(x)=(x>0).(2)f(25)=2===.(3)由f(a)=b得=b,所以a=b-2=.关闭Word文档返回原板块。

最新北师大版高一数学必修一测试题全套及答案第一章测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2<x≤5}，则A∪B等于()A．{x|2<x<3}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1<x≤5}解析：结合数轴分析可知，A∪B＝{x|－1≤x≤5}．答案：B2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2 B．3C．4 D．5解析：集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．答案：B3．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1,3,5}解析：画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．答案：D4．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是() A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P.答案：B5．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：∵∁U M＝{1,4,5,6}，∁U N＝{2,3,5,6}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}．答案：D6．如图，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是() A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁I S)D．(M∩P)∪(∁I S)解析：阴影部分在M中，也在P中但不在S中，故表示的集合为(M∩P)∩(∁I S)．答案：C7．已知集合A＝{x|x<3，或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为() A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3，或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A8．已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}解析：∁R B＝{x|x≤1或x≥2}，∵A∪(∁R B)＝R，∴a≤1.答案：A9．若集合A＝{x||x|＝1}，B＝{x|ax＝1}，若A∪B＝A，则实数a的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．1或0或－1解析：∵A＝{－1,1}且A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝{－1}或{1}或∅.当B＝{1}时a＝1；当B＝{－1}时a＝－1；当B＝∅时a＝0.∴a的值为0或1或－1.答案：D10．定义集合M与N的新运算：M⊕N＝{x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N ＝()A．M∩N B．M∪NC．M D．N解析：按定义，M⊕N表示右上图的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M⊕N)⊕N应表示x∈M⊕N或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示右下图右边的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N＝M.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．解析：如图中数轴所示，要使A∪B＝R，需满足a≤2.答案：a≤212．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为________．解析：当x＝1时，x－1＝0∉A，x＋1＝2∈A；当x＝2时，x－1＝1∈A，x＋1＝3∈A；当x＝3时，x－1＝2∈A，x＋1＝4∉A；当x＝5时，x－1＝4∉A，x＋1＝6∉A；综上可知，A中只有一个孤立元素5.答案：513．设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________________________________________________________________________.解析： ∵∁U B ＝{x |x ≤1}，借助数轴可以求出∁U B 与A 的交集为图中阴影部分，即{x |0<x ≤1}．答案： {x |0<x ≤1} 14．已知集合A{2,3,7}，且A 中至多有1个奇数， 则这样的集合共有________个．解析： (1)若A 中有且只有1个奇数，则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 答案： 6三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知M ＝{1，t }，N ＝{t 2－t ＋1}，若M ∪N ＝M ，求t 的取值集合． 解析： ∵M ∪N ＝M ， ∴N ⊆M ，即t 2－t ＋1∈M ，(1)若t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，解得t ＝0或t ＝1，当t ＝1时，M 中的两元素相同，不符合集合中元素的互异性，舍去．∴t ＝0. (2)若t 2－t ＋1＝t ，即t 2－2t ＋1＝0，解得t ＝1， 由(1)知不符合题意，舍去． 综上所述，t 的取值集合为{0}．16．(12分)已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}(2)∵C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a2<2， ∴a >－4.∴a 的取值范围是{a |a >－4}．17．(13分)若集合A ＝{x |－3≤x ≤4}和B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)当m ＝－3时，求集合A ∩B . (2)当B ⊆A 时，求实数m 的取值范围．解析： (1)当m ＝－3时，B ＝{x |－7≤x ≤－2}， A ∩B ＝{x |－3≤x ≤－2}． (2)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅. 当B ＝∅时，2m －1>m ＋1，即m >2. 当B ≠∅时，有 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋12m －1≥－3m ＋1≤4，即－1≤m ≤2.综上所述，所求m 的范围是m ≥－1.18．(13分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实根}．求A ∪B ，A ∩B ，A ∩(∁U B )．解析： A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}， 对于方程ax 2－x ＋1＝0有实根， 当a ＝0时，x ＝1；当a ≠0时，Δ＝1－4a ≥0，a ≤14. 所以B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14 .所以A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a | a ≤14或a ≥2，A ∩B ＝{a |a ≤－2}，A ∩(∁UB )＝{a |a ≥2}．第二章 测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}解析：当x＝0时y＝0，当x＝1时y＝－1，当x＝2时y＝0，当x＝3时y＝3，值域为{－1,0,3}．答案：A2．幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为()A．－1<m<3B．0C．1D．2解析：从图像上看，由于图像不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3<0，即－1<m<3；又从图像看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求．答案：C3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s 随时间t的增大而增大，故排除D.另外汽车在行进过程中有匀速行驶的状态，故排除C.又因为在开始时汽车启动后加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.答案：A4．函数y＝f(x)的图像与直线x＝a(a∈R)的交点有()A．至多有一个B．至少有一个C．有且仅有一个D．有一个或两个以上解析：由函数的定义对于定义域内的任意一个x值，都有唯一一个y值与它对应，所以函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝a (a ∈R )至多有一个交点(当a 的值不在定义域时，也可能没有交点)．答案： A5．对于定义域为R 的奇函数f (x )，下列结论成立的是( ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0解析： f (－x )＝－f (x )，则f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0. 答案： C6．函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则有( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．c ≥0D ．c ≤0解析： 作出函数y ＝x 2＋bx ＋c 的简图，对称轴为x ＝－b2.因该函数在[0，＋∞)上是单调函数，故对称轴只要在y 轴及y 轴左侧即可，故－b2≤0，所以b ≥0.答案： A7.幂函数y ＝f (x )图像如图，那么此函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 32 C ．y ＝x 12D ．y ＝x 23解析： 可设函数为y ＝x α，将(2，2)代入得α＝12. 答案： C8．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.6 m解析： 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m.答案： A9．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，(x >10)，f (f (x ＋5))，(x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18D ．16解析： f (5)＝f (f (10))，f (10)＝f (f (15))＝f (18)＝21，f (5)＝f (21)＝24. 答案： A10．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x解析：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故排除A ，B.f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故排除D.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12，x >0，－2，x ＝0，(x ＋3)12，x <0，则f (f (f (0)))＝________.解析： f (0)＝－2，f (f (0))＝f (－2)＝(－2＋3)12＝1， f (f (f (0)))＝f (1)＝1－12＝1. 答案： 112．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________． 解析： 由题意得m －1<2m －1，故m >0. 答案： (0，＋∞)13．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________. 解析： f (－x )＝(1－x )(a －x )－x ，又f (x )为奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 即(x ＋1)(x ＋a )x ＝(1－x )(a －x )x ，所以x 2＋(a ＋1)x ＋a x ＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ， 从而有a ＋1＝－(a ＋1)，即a ＝－1. 答案： －114．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：当g [f (x )]＝2时，x ＝解析： ∵g [f (x )]＝2， ∴f (x )＝2，∴x ＝1. 答案： 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)已知二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式，并求其单调区间．解析： ∵f (3)＝f (－1)＝5， ∴对称轴为x ＝1，又∵最大值为13，∴开口向下，设为f (x )＝a (x －1)2＋13(a ＜0)，代入x ＝－1， ∴4a ＋13＝5，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －1)2＋13.函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ，且f (1)＝2， (1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (3)求函数f (x )在[2,5]上的最大值与最小值．解析： (1)证明：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，因为f (1)＝2所以1＋a ＝2，即a ＝1f (x )＝x 2＋1x ＝x ＋1x f (－x )＝－x －1x ＝－f (x ) 所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2 f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2) ＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2∵x 1<x 2，且x 1x 2∈(1，＋∞) ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1，∴f (x 1)－f (x 2)<0 所以f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)由(2)知，f (x )在[2,5]上的最大值为f (5)＝265， 最小值为f (2)＝52.17．(13分)已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x .(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)的图像，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，并说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．解析： (1)∵f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R . 又任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，补全图像如图所示．(2)证明：∵g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1⎝⎛⎭⎫1x 2＋1＝x 21＋x 2(x ≠0)， ∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．18．(13分)已知函数f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值为1，求实数a的值．解析： 当a ＝0时，f (x )＝－x －3，f (x )在⎣⎡⎦⎤－32，2上不能取得1，故a ≠0.∴f (x )＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)的对称轴方程为x 0＝1－2a 2a .(1)令f ⎝⎛⎭⎫－32＝1，解得a ＝－103， 此时x 0＝－2320∈⎣⎡⎦⎤－32，2， 因为a <0，f (x 0)最大，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝1不合适；(2)令f (2)＝1，解得a ＝34， 此时x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，因为a ＝34>0，x 0＝－13∈⎣⎡⎦⎤－32，2，且距右端点2较远， 所以f (2)最大，合适；(3)令f (x 0)＝1，得a ＝12(－3±22)， 验证后知只有a ＝12(－3－22)才合适． 综上所述，a ＝34或a ＝－12(3＋22)．第三章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简[3（－5）2]34的结果为()A ．5B ．5C ．－ 5D ．－5解析： [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.答案： B2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125解析： 由换底公式，得 lg13lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2，∴－lg x lg 5＝2. ∴lg x ＝－2lg 5＝lg 125.∴x ＝125. 答案： D3．已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)解析： ∵y ＝a x 恒过定点(0，1)， ∴y ＝4＋a x ＋1恒过定点(－1，5)． 答案： A4．函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |>2 C ．a > 2D ．1<|a |<2解析： 由0<a 2－1<1得1<a 2<2，∴1<|a |< 2. 答案： D5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0<a <1D ．a ≠1解析： 由a x －1≥0得a x ≥1，又知此函数的定义域为(－∞，0]，即当x ≤0时，a x ≥1恒成立，∴0<a <1.答案： C6．函数y ＝f (x )＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析： 由图像得函数是减函数， ∴0<a <1.又分析得，图像是由y ＝a x 的图像向左平移所得， ∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案： D7．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1－2，x ≤1，⎝⎛⎭⎫13x －1－2，x >1的值域是( )A ．(－2，－1)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－2，－1]解析： 当x ≤1时，0<3x －1≤31－1＝1， ∴－2<3x －1－2≤－1. 当x >1时，⎝⎛⎭⎫13x<⎝⎛⎭⎫131， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －1<⎝⎛⎭⎫130＝1，则－2<⎝⎛⎭⎫13x －1－2<1－2＝－1.答案： D8．某工厂6年来生产甲种产品的情况是：前3年年产量的增大速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来生产甲种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像为( )解析： 由题意知前3年年产量增大速度越来越快，可知在单位时间内，C 的值增大的很快，从而可判定结果．答案： A9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x －1），x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1，3)解析： 当x 0≥2时，∵f (x 0)>1， ∴log 2(x 0－1)>1，即x 0>3； 当x 0<2时，由f (x 0)>1得⎝⎛⎭⎫12x 0－1>1，⎝⎛⎭⎫12x 0>⎝⎛⎭⎫12－1，∴x 0<－1.∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案： C10．函数f (x )＝log a (bx )的图像如图，其中a ，b 为常数．下列结论正确的是( ) A ．0<a <1，b >1 B ．a >1，0<b <1 C ．a >1，b >1D ．0<a <1，0<b <1解析： 由于函数单调递增，∴a >1，又f (1)>0， 即log a b >0＝log a 1，∴b >1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，0]，3x ，x ∈（0，1]，则f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________． 解析： ∵－1＝log 313<log 312<log 31＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫log 312＝⎝⎛⎭⎫13log 312＝3－log 312＝3log 32＝2.答案： 212．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m＝________．解析： 根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，所以⎝⎛⎭⎫123＝e 5n ×3.故18＝e 15n ，解得t ＝15， 故m ＝15－5＝10. 答案： 1013．若函数y ＝2x ＋1，y ＝b ，y ＝－2x －1三图像无公共点，结合图像则b 的取值范围为________．解析： 如图．当－1≤b ≤1时，此三函数图像无公共点． 答案： [－1，1]14．函数f (x )＝－a 2x －1＋2恒过定点的坐标是________． 解析： 令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝⎛⎭⎫12＝－a 0＋2＝1， ∴f (x )过定点⎝⎛⎭⎫12，1.答案： ⎝⎛⎭⎫12，1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)计算下列各式的值： (1)(32×3)6＋(2×2)43－(－2 008)0；(2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43－1＝213×6×312×6＋232×12×43－1 ＝22×33＋21－1 ＝4×27＋2－1 ＝109.(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2 ＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2 ＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2 ＝(lg 5＋lg 2)2＝1.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34＝2. 16．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解析： (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.17．(13分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3a －4x 的定义域为[0，1]． (1)求函数g (x )的解析式； (2)判断函数g (x )的单调性．解析： (1)∵f (x )＝3x ，∴f (a ＋2)＝3a ＋2＝18，∴3a ＝2. ∴g (x )＝2－4x (x ∈[0，1])．(2)设x 1，x 2为区间[0，1]上任意两个值，且x 1<x 2， 则g (x 2)－g (x 1)＝2－4x 2－2＋4x 1＝(2x 1－2x 2)(2x 1＋2x 2)， ∵0≤x 1<x 2≤1，∴2x 2>2x 1>1， ∴g (x 2)<g (x 1)．所以，函数g (x )在[0，1]上是减函数． 18．(13分)已知f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x ，(1)求f (x )的定义域；(2)求f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012；(3)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(－1，1)，且a 为常数)时，f (x )是否存在最小值？如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．解析： (1)由1－x 1＋x >0得x －1x ＋1<0∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0x ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0x ＋1>0， ∴－1<x <1，即f (x )的定义域为(－1，1)． (2)对x ∈(－1，1)有f (－x )＝－(－x )＋log 21＋x 1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )∴f (x )为奇函数∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＝－f ⎝⎛⎭⎫12 012. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12 012＋f ⎝⎛⎭⎫12 012＝0. (3)设－1<x 1<x 2<1，则1－x 11＋x 1－1－x 21＋x 2＝2（x 2－x 1）（1＋x 1）（1＋x 2）. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0，(1＋x 1)(1＋x 2)>0， ∴1－x 11＋x 1>1－x 21＋x 2. ∴函数y ＝1－x1＋x在(－1，1)上是减函数．从而得f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x在(－1，1)上也是减函数．又a ∈(－1，1)，∴当x ∈(－a ，a ]时，f (x )有最小值，且最小值为f (a )＝－a ＋log 21－a1＋a .第四章 测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝(x －1)(x 2－2x －3)的零点为( ) A ．1，2，3 B ．1，－1，3 C ．1，－1，－3D ．无零点解析： 令y ＝(x －1)(x 2－2x －3)＝0，解得x ＝1，－1，3，故选B. 答案： B2．下列函数中没有零点的是( ) A ．f (x )＝log 2x －3 B ．f (x )＝x －4 C ．f (x )＝1x －1D ．f (x )＝x 2＋2x解析： 由于函数f (x )＝1x －1中，对任意自变量x 的值，均有1x －1≠0，故该函数不存在零点．答案： C3．如图所示的函数图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④解析： 对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求． 答案： A4．已知函数f (x )＝e x －x 2＋8x ，则在下列区间中f (x )必有零点的是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)解析： f (－1)＝1e －9<0，f (0)＝e 0＝1>0，f (x )是连续函数，故f (x )在(－1，0)上有一零点．答案： B5．若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0, f (1)·f (2)·f (4)<0，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点B ．函数f (x )在区间(1，2)内有零点C ．函数f (x )在区间(0，2)内有零点D ．函数f (x )在区间(0，4)内有零点解析： 因为f (0)>0，f (1)·f (2)·f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的，函数的图像与x 轴相交有多种可能．例如，所以函数f (x )必在区间(0，4)内有零点． 答案： D6．二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m <0，那么p 、q 应满足的条件是( ) A ．p >0且q <0 B ．p >0且q >0 C ．p <0且q >0D ．p <0且q <0解析： 由已知得f (0)<0，－p2>0，解得q <0，p <0.答案： D7．若x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析： 构造函数f (x )＝ln x ＋x －4，则函数f (x )的图像是连续不断的一条曲线，又f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3＋3－4>0，所以f (2)·f (3)<0，故函数的零点所在区间为(2，3)，即方程ln x ＋x ＝4的解x 0属于区间(2，3)，故选C.答案： C8．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0，2B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析： 函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，则2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a (a ≠0)，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，故函数g (x )有两个零点0，－12，故选B.答案： B9．当x ∈(4，＋∞)时，f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x 的大小关系是( ) A ．f (x )>g (x )>h (x ) B ．g (x )>f (x )>h (x ) C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )解析： 在同一坐标系中，画出三个函数的图像，如右图所示． 当x ＝2时，f (x )＝g (x )＝4，当x ＝4时，f (x )＝g (x )＝16，当x >4时，g (x )图像在最上方，h (x )图像在最下方，故g (x )>f (x )>h (x )． 答案： B10．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x 年植树亩数y (万亩)是时间x (年)的一次函数，这个函数的图像是( )解析： 函数解析式为y ＝x ＋0.5，故选A. 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析： 设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123－6×⎝⎛⎭⎫122＋4>0， ∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝⎛⎭⎫12，1. 答案： ⎝⎛⎭⎫12，112．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0，2]上的零点有________个． 解析： x 3－x 2－x ＋1＝(x －1)2(x ＋1)， 由f (x )＝0得x ＝1或x ＝－1. ∴f (x )在[0，2]上有1个零点． 答案： 113．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，（x ≥2）（x －1）3，（x <2）若函数y ＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析： 画出分段函数f (x )的图像如图所示．结合图像可以看出，函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0，1)．答案： (0，1)14．已知函数t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－N100的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t (小时)表示达到打字水平N (字/分钟)所需的学习时间，N (字/分钟)表示每分钟打出的字数，则按此曲线要达到90字/分钟的水平，所需的学习时间是________小时．解析： 当N ＝90时，t ＝－144lg ⎝⎛⎭⎫1－90100＝144. 答案： 144三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若函数y ＝ax 2－x －1只有一个零点，求实数a 的取值范围．解析： (1)若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，函数必有一个零点－1.(2)若a ≠0，函数是二次函数，因为二次方程ax 2－x －1＝0只有一个实数根，所以Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0和－14时函数只有一个零点．16．(12分)以下是用二分法求方程x 3＋3x －5＝0的一个近似解(精确度0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f (x )＝x 3＋3x －5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线． 先求值：f (0)＝________，f (1)＝________，f (2)＝________，f (3)＝________． 所以f (x )在区间________内存在零点x 0，填表：结论：________________________________________________________________________. 解析： －5 －1 9 31 (1，2)∵|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1， ∴原方程的近似解可取为1.187 5.17．(13分)某商品在近100天内，商品的单位f (t )(元)与时间t (天)的函数关系式如下：f (t )＝⎩⎨⎧t4＋22，0≤t ≤40，t ∈Z ，－t2＋52，40<t ≤100，t ∈Z .销售量g (t )与时间t (天)的函数关系式是( ) g (t )＝－t 3＋1123(0≤t ≤100，t ∈Z )．这种商品在这100天内哪一天的销售额最高？解析： 依题意，该商品在近100天内日销售额F (t )与时间t (天)的函数关系式为F (t )＝f (t )·g (t )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，0≤t ≤40，t ∈Z ，⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123，40<t ≤100，t ∈Z .(1)若0≤t ≤40，t ∈Z ，则F (t )＝⎝⎛⎭⎫t 4＋22⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝－112(t －12)2＋2 5003，当t ＝12时，F (t )max ＝2 5003(元)．(2)若40<t ≤100，t ∈Z ，则 F (t )＝⎝⎛⎭⎫－t 2＋52⎝⎛⎭⎫－t 3＋1123 ＝16(t －108)2－83，∵t ＝108>100， ∴F (t )在(40，100]上递减，∴当t ＝41时，F (t )max ＝745.5. ∵2 5003>745.5，∴第12天的日销售额最高．18．(13分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解析： (1)由图像可知：当0≤t ≤10时，v ＝3t ，则 当t ＝4，v ＝3×4＝12， 故s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时， s ＝12·t ·3t ＝32t 2， 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]30t －150，t ∈（10，20]－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)∵t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35， ∴t ＝30.即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( ) A ．{a }∈{a ，b } B ．{a ，b }⊆{b ，a } C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确． 答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆BB ．A ⊇BC．A＝B D．A∩B＝∅解析：A＝{y|y>0}，B＝{y|y≥0}，∴A⊆B.答案：A3．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b解析：易知log23>1，log32，log52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log3x 与y＝log5x的图像，观察可知log32>log52.所以c>a>b.比较a，b的其他解法：log32>log33＝1 2，log52<log55＝12，得a>b；0<log23<log25，所以1log23>1log25，结合换底公式即得log32>log52.答案：D4．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则() A．b>0且a<0 B．b＝2a<0C．b＝2a>0 D．a，b的符号不定解析：由题知a<0，－b2a＝－1，∴b＝2a<0.答案：B5．要得到y＝3×⎝⎛⎭⎫13x的图像，只需将函数y＝⎝⎛⎭⎫13x的图像()A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度解析：由y＝3×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13x－1知，D正确．答案：D6．在同一坐标系内，函数y＝x a(a<0)和y＝ax＋1a的图像可能是如图中的()解析：∵a<0，∴y＝ax＋1a的图像不过第一象限．还可知函数y＝x a(a<0)和y＝ax＋1a在各自定义域内均为减函数．答案：B7．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a<c<b B．b<c<aC．a<b<c D．b<a<c解析：∵0<log53<log54<1，log45>1，∴b<a<c.答案：D8．若函数f(x)＝ax2＋2x＋1至多有一个零点，则a的取值范围是()A．1 B．[1，＋∞)C．(－∞，－1] D．以上都不对解析：当f(x)有一个零点时，若a＝0，符合题意，若a≠0，则Δ＝4－4a＝0得a＝1，当f(x)无零点时，Δ＝4－4a<0，∴a>1.综上所述，a≥1或a＝0.答案：D9．已知函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)解析：因为f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数为f(x)＝log a|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．答案：B10．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是() A．{x|x<－3，或0<x<3}B．{x|－3<x<0，或x>3}C．{x|x<－3，或x>3}D．{x|－3<x<0，或0<x<3}解析：∵f(x)是奇函数，∴f(3)＝－f(－3)＝0.∵f(x)在(0，＋∞)是增加的，∴f(x)在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x·f(x)<0的解为0<x<3或－3<x<0.答案：D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定出售时机解析： 设这批货成本为a 元，月初售出可收益y 1＝(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y 2＝a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．则y 1－y 2＝(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024>5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出． 答案： D12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析： 计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， ∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a <b <c ，∴f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________． 解析： ∵g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝eln 12＝12.答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4. 答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________． 解析： 令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u ，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析： 作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， 所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．。

课时达标训练（十五）一、选择题1．(山东高考)函数f (x )＝ 1－2x＋1x ＋3的定义域为 ( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]2．指数函数y ＝b ·a x在[b,2]上的最大值与最小值的和为6，则a ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D.123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －，x ≥0，2x，x ＜0，则f (8)等于( )A ．4B ．0 C.14 D ．2 4．定义运算a ×b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≤b ，ba ＞b ，则函数f (x )＝1×2x的图像是( )二、填空题5．函数y ＝8－2x的定义域是 ________．6．已知a ＝0.30.2，b ＝0.20.2，c ＝0.20.3，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，则a ，b ，c ，d 由小到大排列的顺序是________．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a ，x ＜0，a x，x ≥0(a ＞0，a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，238．若0＜a ＜1，b ＜－1，则函数f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第________象限． 三、解答题9．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(0＜a ＜1)在区间[－1,1]上的最大值是14，试求a 的值． 10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫12－1＋12·x 3.(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的奇偶性； (3)证明f (x )＞0.答案1．解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0，所以－3<x ≤0.2．解析：选A ∵y ＝b ·a x为指数函数，∴b ＝1，则[b,2]＝[1,2]．由于y ＝a x为单调函数，∴函数在区间[1,2]的端点处取得最值，∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．3．解析：选C f (8)＝f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝f (－2)＝2－2＝14.4．解析：选A 当x ＜0时，2x ＜1，f (x )＝2x ；当x ≥0时，2x≥1，f (x )＝1.5．解析：∵8－2x≥0，即2x≤23，又y ＝2x在R 上为增函数．∴x ≤3的定义域为(－∞，3]．答案：(－∞，3]6．解析：∵0.30.2＜0.30＝1，同理：0.20.2＜1,0.20.3＜1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5＞1，考查幂函数y ＝x 0.2，可知该函数在(0，＋∞)上是增函数．∴0.30.2＞0.20.2；考查指数函数y ＝0.2x ，可知该函数在R 上是减函数，∴0.20.2＞0.20.3，综上，0.20.3＜0.20.2＜0.30.2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.5，即c ＜b ＜a ＜d .答案：c ＜b ＜a ＜d7．解析：当x ＜0时，函数f (x )＝－x ＋3－3a 是减函数；当x ≥0时，函数f (x )＝a x 是减函数，则0＜a ＜1；且满足0＋3－3a ≥a 0，解得a ≤23，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 8．解析：函数f (x )＝a x＋b 的图像可由函数y ＝a x的图像向上(b ＞0时)或向下(b ＜0)时，平移|b |个单位得到，∵0＜a ＜1，b ＜－1，结合图像可知，f (x )＝a x＋b 的图像一定不经过第一象限．答案：一9．解：由y ＝a 2x ＋2a x－1(0＜a ＜1)， 令t ＝a x，∵x ∈[－1,1]∴a ≤t ≤1a，∴y ＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 对称轴为t ＝－1.∵0＜a ＜1∴1a ＞1，∴当t ＝1a，即x ＝－1时，y 取最大值．y max ＝1a 2＋2a －1＝14，解得a ＝13，a ＝－15.∵0＜a ＜1，∴a ＝13.10．解：(1)由题意，2x－1≠0，即x ≠0， ∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12(－x )3＝2－x＋1－x －·(－x )3＝1＋2x －2x·(－x )3＝⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12·x 3＝f (x )，∴f (x )为定义域上的偶函数． (3)当x ＞0时，2x＞1， ∴2x－1＞0. 又∵x 3＞0， ∴f (x )＞0.由偶函数的图像关于y 轴对称，知x ＜0时，f (x )＞0也成立． 故对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，恒有f (x )＞0.。

高中数学课时达标训练五北师大版必修1一、选择题1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数2．下列变量间的关系是函数关系的是( )A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．正方形的面积S与其边长a之间的关系D．光照时间和苹果的亩产量．3．右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数(有刻度)，则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是( )A．9% B．23%C．30% D．36%4．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH值与所加水的体积V的变化关系的图像是( )二、填空题5．给出下列关系：①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)________．6．下表给出的y与x的关系，则y与x是________关系(函数或非函数).7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.8．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．①这几年人民生活水平逐年提高；②人民生活消费增长最快的一年是2006年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．。

课时达标训练（四）一、选择题1．(山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}2．图中阴影部分表示的集合是()A．A∩(∁U B)B．(∁U A)∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)3．(浙江高考)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}4．(重庆高考)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝() A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}二、填空题5．已知全集U＝R，A＝{x|x＞2}，m∈∁U A，则实数m的取值范围是________．6．已知U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则(∁U A)∪(∁U B)＝________.7．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________.8．设全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M⊆U，∁U M＝{5,7}，则实数a的值为________．三、解答题9．设全集U＝{1,2,3,4}，且集合A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}，若∁U A＝{1,4}，求m的值．10．我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫作A与B的差集，记作A－B.例如，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．据此，回答以下问题：(1)若U是高一(1)班全体同学的集合，A是高一(1)班女同学组成的集合，求U－A及∁U A；(2)在图中，分别用阴影表示集合A－B；(3)如果A－B＝∅，那么A与B之间具有怎样的关系？答案1．解析：选C∁U A＝{0,4}，所以(∁U A)∪B＝{0,4}∪{2,4}＝{0,2,4}．2．解析：选A显然图中阴影部分为B的补集与集合A的公共部分．即：A∩∁U B.3．解析：选D∁U Q＝{1,2,6}，故P∩(∁U Q)＝{1,2}．4．解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.二、填空题5．解析：∵U＝R，A＝{x|x＞2}，∴∁U A＝{x|x≤2}．又m∈∁U A，∴m≤2.答案：[2，＋∞)6．解析：∁U A＝{钝角三角形或直角三角形}，∁U B＝{锐角三角形或直角三角形}，∴(∁U A)∪(∁U B)＝U.答案：U7．解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．答案：{2,5}8．解析：∵M⊆U，∁U M＝{5,7}，∴a－5＝3，∴a＝8.答案：89．解：∵U＝{1,2,3,4}，∁U A＝{1,4}，又A＝{x|x2－5x＋m＝0，x∈U}∴A＝{2,3}．∴2,3是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系得：2×3＝m，得：m＝6. 10．解：(1)U－A＝{x|x是高一(1)班的男生}，∁U A＝{x|x是高一(1)班的男生}．(2)阴影部分如下图所示．(3)若A－B＝∅，则A⊆B.。