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范数-摆脱课本繁琐的公式,比较好懂

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范数

范数

‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i 1 j 1
n
n
|| 可以证明,对方阵 A R nn和 x R n 有: ， Ax ||2 || A ||F || x ||2
|| A || 1

② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
|| ( I A)1 || 1 || A || || ( I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB ||p || A ||p || B ||p || Ax ||p || A ||p max max|| Ax ||p y | ||x || || y || |x 2 2 x 0 || x|| p 1 || x ||p || Ax || || A || || x ||
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
定理1.4.2 对任意一种向量范数‖· ‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
lim || xk x || 0
* k
矩阵范数 ( matrix norms )
2 2 || A || 1,|| B || 1,|| AB AB 2 2 || AB |||| A |||| B || 从而

python 计算范数

python 计算范数

python 计算范数范数是线性代数中一种常用的概念，它可以衡量一个向量的大小。

在机器学习和数据分析领域，范数经常被用来计算模型的复杂度或衡量特征的重要性。

范数有许多不同的定义，其中最常见的是L1范数和L2范数。

L1范数定义为向量中所有元素的绝对值之和，而L2范数定义为向量中所有元素的平方和的平方根。

计算范数在Python中非常简单。

我们可以使用NumPy库中的linalg模块来计算范数。

首先，我们需要导入NumPy库：```import numpy as np```接下来，我们可以定义一个向量：```vector = np.array([1, 2, 3, 4, 5])```然后，我们可以使用linalg模块中的norm函数来计算向量的范数。

例如，我们可以计算向量的L1范数：```l1_norm = np.linalg.norm(vector, ord=1)```我们也可以计算向量的L2范数：```l2_norm = np.linalg.norm(vector, ord=2)```除了L1和L2范数，我们还可以计算其他类型的范数，如无穷范数（L∞范数）和负无穷范数（L-∞范数）。

例如，我们可以计算向量的无穷范数：```inf_norm = np.linalg.norm(vector, ord=np.inf)```范数的计算对于许多机器学习算法和数据分析技术都非常重要。

它可以用来正则化模型、计算特征的重要性或评估模型的性能。

因此，掌握如何计算范数是非常有用的。

总结一下，范数是一种用来衡量向量大小的数学概念。

Python中的NumPy库提供了计算范数的函数，可以方便地计算不同类型的范数。

掌握范数的计算方法对于机器学习和数据分析是非常重要的。

范数的定义[精华]

范数的定义[精华]

3.3 范数3.3.1 向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。

绝对值是一种度量形式的定义。

范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。

任何对象的范数值都是一个非负实数。

使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。

向量范数是度量向量长度的一种定义形式。

范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。

同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。

若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。

那么║·║称为X上的一个范数。

常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。

最常用的范数就是p-范数。

若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。

其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。

当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。

矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。

所以矩阵范数通常也称为相容范数。

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。

对于n阶实方阵(或复方阵)全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

范数和内积

范数和内积

范数和内积是线性代数和函数空间理论中的重要概念。

1. 范数（Norm）：
- 范数是用来衡量向量大小或长度的函数。

在向量空间中，范数满足一些性质，比如非负性、齐次性（同比例缩放）、三角不等式。

- 对于一个向量空间中的向量，其范数通常表示为 ||x||，其中 x 是向量。

- 常见的范数有 L1 范数、L2 范数等。

L1 范数是向量元素绝对值之和，L2 范数是向量元素平方和的平方根。

范数的选择取决于所需的特定性质或应用场景。

2. 内积（Inner Product）：
- 内积是向量空间中的两个向量之间的运算，它将两个向量映射为一个标量值。

- 对于实数向量空间，内积常常表示为⟨x, y⟩或x • y，其中 x 和 y 是向量。

- 内积有多种定义方式，比如在实数向量空间中，常见的内积定义是向量 x 和 y 对应元素相乘后求和。

在复数向量空间中，内积还包括复共轭等。

这两个概念在数学和工程领域广泛应用，例如在机器学习中用于定义模型的损失函数和正则化项，或者在信号处理中用于衡量信号之间的相似性等。

范数和内积都是对向量空间中向量性质的度量和衡量方式，它们在研究和解决问题时提供了重要的数学工具。

范数

范数

向量范数在一维空间中，实轴上任意两点距离用两点差的绝对值表示。

绝对值是一种度量形式的定义。

范数是对函数、向量和矩阵定义的一种度量形式。

任何对象的范数值都是一个非负实数。

使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离。

向量范数是度量向量长度的一种定义形式。

范数有多种定义形式，只要满足下面的三个条件即可定义为一个范数。

同一向量，采用不同的范数定义，可得到不同的范数值。

定义3.1 对任一向量，按照一个规则确定一个实数与它对应，记该实数记为，若满足下面三个性质：若X是数域K上的线性空间，泛函║·║: X->R 满足：1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0；2. 正齐次性：║cx║=│c│║x║；3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。

那么║·║称为X上的一个范数。

常用范数这里以C^n空间为例，R^n空间类似。

最常用的范数就是p-范数。

若x=[x1,x2,...,xn]^T，那么║x║p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^{1/p}可以验证p-范数确实满足范数的定义。

其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski)不等式。

当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数：║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2∞-范数：║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)其中2-范数就是通常意义下的距离。

定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)→x(k→∞),或 .矩阵范数一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。

数值分析12-范数

数值分析12-范数
第六章 线性方程组的迭代解法
第二节 向量和矩阵的范数
向量范数
定义 对 xRn，若存在对应的非负实数 ||x||，满足
1) ||x|| 0，且等号当且仅当 x=0 时成立； ( 正定性 ) 2) 对任意实数 ，有 ||x||＝||· ； ( 齐次性 ) ||x|| 3) 对任意 x 和 y，有 ||x+y|| ||x|| + ||y|| ； ( 三角不等式 ) 则称 ||x|| 为向量 x 的范数。
迭代过程的收敛性
迭代法的收敛条件
X ( k 1) GX k d
定理1：对任意初始向量X(0)及常向量d，上述迭代格式
收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径(G) < 1。
定理2：若迭代矩阵Ｂ的某种范数
G 1 则上述
确定的迭代法对任意初值X(0)均收敛于方程组
X = GX + d的唯一解x*。
迭代收敛的充分条件
定理 3
对给定方阵 G，若 G 1 ，则矩阵 I-G 为非奇异.
证 用反证法. 若 I-G 为奇异阵，则存在非零向量 x，使 （I- G）x = 0 即有 x = Gx 于是据式（17）得 由于 x≠ 0，又按题设 G <1，故上式不可能成立. 命题得证.
收敛性的证明
定理 4 若迭代矩阵 G 满足 则迭代公式（23）对于任意初值 x（0）均收敛. 证 由于 ，据定理 3知 I-G 为非奇异阵， 因此 方程组（22）有唯一解 x*： 得
常见向量范数： x 1 | x1 | | x2 | | xn |
x
p
| xi | p i 1
n
1 p
x 2 | x1 |2 | x2 |2 | xn |2 x

关于范数的理解或定义

I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性） 2 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。

下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1 成立。

2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pi x 11)(∑= = αp x 知性质2 成立。

3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数p tptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得： q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pi i ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i i i ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piippq111 左右两边同时除以()∑+y x iipq1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。

python 计算范数

python 计算范数摘要：1.引言2.范数的定义和性质3.Python中计算范数的方法4.示例：L1范数和L2范数的计算5.总结正文：在数学和物理学中，范数是一个重要的概念，它用于衡量向量的大小和距离。

在机器学习和深度学习中，范数也经常被用于正则化方法，以防止过拟合。

Python作为一种广泛应用于科学计算和数据科学的编程语言，提供了丰富的库和工具来计算范数。

范数是一个非负实数，满足：(1) 向量自身的范数为0，即||a|| = 0 当且仅当a = 0；(2) 向量的线性组合的范数等于各个向量范数的乘积，即||a1 + a2 + ...+ an|| = ||a1|| + ||a2|| + ...+ ||an||。

在Python中，可以使用NumPy库中的linalg模块来计算范数。

此外，还有一些第三方库，如scipy和numpy，也提供了计算范数的方法。

下面，我们通过一个示例来展示如何使用Python计算L1范数和L2范数。

首先，我们需要导入NumPy库：```pythonimport numpy as np```假设我们有一个向量a，我们想要计算它的L1范数（也称为绝对值范数）和L2范数（也称为欧几里得范数）。

计算L1范数：```pythonl1_norm = np.linalg.norm(a, ord=1)print("L1范数：", l1_norm)```计算L2范数：```pythonl2_norm = np.linalg.norm(a)print("L2范数：", l2_norm)```在这个示例中，我们计算了一个向量的L1范数和L2范数。

在实际应用中，范数计算可能涉及到更复杂的数据结构和算法。

Python提供了丰富的工具和库，使得计算范数变得简单快捷。

总结一下，范数是数学和物理学中的一个重要概念，它在机器学习和深度学习中也有广泛应用。

高斯整数的范数

高斯整数的范数
高斯整数是复数域的一个子集，它由形如 a + bi 的数构成，其中 a 和 b 是整数，i 是虚数单位（i2 = -1）。

在高斯整数中，范数（norm）是一个用于衡量一个高斯整数的大小的函数。

高斯整数z 的范数定义为|z|2，即z 与其复共轭z* 相乘的结果。

具体来说，如果高斯整数z 的形式为 a + bi，那么其复共轭z* 的形式为 a - bi。

范数的计算公式为：
|z|2 = z * z* = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2
这意味着，高斯整数z 的范数是其实部 a 的平方与虚部 b 的平方的和。

高斯整数的范数既是一个实数也是一个非负数（范数总是非负的），可以用于衡量高斯整数的大小和距离。

范数还具有一些重要的性质，如范数的乘法性质：对于两个高斯整数z1 和z2，有|z1 · z2| = |z1| · |z2|。

范数在高斯整数的许多应用中起着重要的作用，如判断高斯整数是否为素数以及求解高斯整数的最大公约数等。

范数及其应用

范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。

在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。

||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。

L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。

如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。

换句话说，让参数W 是稀疏的。

看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。

但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。

范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。

||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。

从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。

L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。

模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。

L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。

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p p
p
范数的特殊情况。 注：前三种范数都是p—范数的特殊情况。其中 前三种范数都是 范数的特殊情况
|| X ||∞ = lim || X || p
p →∞
计算方法三 计算方法三⑤
向量范数的连续性: 向量范数的连续性
5/35
定理3.3 设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数 则f(X) 定理 为 上的任一向量范数,则 的分量x 的连续函数. 为X的分量 1,x2,…,xn的连续函数 的分量
lim x i = xi (i = 1,2,..., n)
(k ) k →∞
则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列 则称向量 ， {X(k)}的极限，或者说向量序列 (k)}收敛 的极限， 的极限 或者说向量序列{X 收敛 于向量X， 于向量 ，记为
lim X
k →∞
(k )
=X 或 X
(k )
→ X (k → ∞)
计算方法三 计算方法三⑤
计算方法三 计算方法三⑤
x1 (k ) ( k ) x2 X = ………… M x (k ) n (k ) x1 x1 (k ) x2 ( k ) x2 X = → = M M x (k ) x n n
几种常用的矩阵范数： 几种常用的矩阵范数：
n
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a11 a21 设 A= ⋅⋅⋅ a n1
a12 ⋅⋅⋅ a1n A 1 = max∑aij 列范数 1≤j≤n i=1 n a22 ⋅⋅⋅ a2n A ∞ = max∑aij 行范数 ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 1≤i≤n j=1 T an2 ⋅⋅⋅ ann A 2 = λ (A A) max AF =
向量范数的等价性
定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则 任意两种范数， 定理 存在C 都有： 存在 1，C2>0，使得对任意 ∈Rn，都有： ，使得对任意X∈ C1 ||X||p≤ ||X||q ≤C2 ||X||p （证明略） 证明略） 使得： 注：同样有下列结论：存在C3,C4>0 使得： 同样有下列结论：存在 C3 ||X||q≤ ||X||p ≤C4 ||X||q
上节课回顾
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直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解 直接法是通过有限步运算后得到线性方程组的解. 是通过有限步运算后得到线性方程组的解 包含:高斯消元法 列主元消去法)、三角分解法、 高斯消元法(列主元消去法 包含 高斯消元法 列主元消去法 、三角分解法、 追赶法. 追赶法 列主元素法的精度虽稍低些, 计算简单 且具有良 列主元素法的精度虽稍低些,但计算简单,且具有良 的精度虽稍低些 好的数值稳定性。 好的数值稳定性。 三角分解法 A=LU LY=b
计算方法三 计算方法三⑤
线性方程组 AX=b
迭代过程中经常要遇到向量范数， 迭代过程中经常要遇到向量范数，矩阵范数以 及序列极限的概念。为此， 及序列极限的概念。为此，下面先介绍这方面的知 识和有关概念。 识和有关概念。
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3.5 向量与矩阵的范数
一、. 向量范数 向量范数： 对n维实空间 n中任一向量X ，按一定规则有一 维实空间R 任一向量 维实空间 确定的实数与其相对应，该实数记为||X||，若||X||满足 确定的实数与其相对应，该实数记为 ， 满足 下面三个性质： 下面三个性质： (1)(非负性 非负性)||X||≥0，||X||=0当且仅当 当且仅当X=0。 非负性 ≥ ， 当且仅当 。 (2)(齐次性 对任意实数λ ，|| λ X||=| λ | ||X||。 齐次性)对任意实数 齐次性 对任意实数λ 。 n ≤ (3)(三角不等式 对任意向量Y∈R ，||X+Y||≤||X||+||Y|| 三角不等式)对任意向量 ∈ 三角不等式 对任意向量 则称该实数||X||为向量 的范数 为向量X的范数 则称该实数 为向量
注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， Rn上任意 上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说， 等价性 两种范数都是等价的。 两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量 范数的等价性。 范数的等价性。 计算方法三 计算方法三⑤
向量序列的收敛问题
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定义：假定给定了 定义：假定给定了Rn空间中的向量序列 X(1),X(2),...,X(k),...，简记为 (k)}，其中 ，简记为{X ， X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分 都存在极限x 量xi(k)都存在极限 i，即
|| AX || = max n || AX || ||A||= max X ∈R n || X || || X || =1 , X ∈R || X || ≠ 0
为矩阵A的从属于该向量范数的范数， 为矩阵 的从属于该向量范数的范数，或称 为矩阵A的算子，记为||A||。 为矩阵 的算子，记为 。
计算方法三 计算方法三⑤
几种常用的矩阵范数
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常用的矩阵范数有A的 范数 范数、 的 范数、 的 常用的矩阵范数有 的1—范数、 A的2—范数、 A的 范数 ∞—范数，可以证明下列定理 范数， 范数 可以证明下列定理: 列元素绝对值之 定理3.6 定理 设A∈Rn×n，X∈Rn，则 ∈ × ∈
和的最大值
n || AX ||1 (1) || A ||1 = max = max ∑ | aij | n 1≤ j ≤ n X ∈R || X ||1 i =1 || X || ≠ 0
计算方法三 计算方法三⑤
16/35
•矩阵范数的性质： 矩阵范数的性质
（1）对任意 ∈Rn×n,有||A||≥0，当且仅当 ）对任意A∈ × 有 ，当且仅当A=0时， 时 ||A||=0. 为任意实数） （2）||λA||=|λ|||A||（λ为任意实数） ） （ 为任意实数 × （3）对于任意 、B ∈Rn×n ，恒有 ）对于任意A、 ||A+B||≤||A||+||B||. ≤ × 恒有： （4）对于矩阵 ∈Rn×n，X ∈Rn ，恒有： ）对于矩阵A ||AX|| ≤ ||A||• ||X||. • × （5）对于任意 、B ∈Rn×n 恒有 ||AB|| ≤ ||A|| • ||B|| ）对于任意A、
k →∞ (k )
= X ⇔ lim || X
k →∞
− X ||∞ = 0
定理3.5 在空间 n中，向量序列 (k)}收敛于向量 在空间R 向量序列{X 收敛于向量 定理 X的充要条件是对 的任意范数 ·||，有： 的充要条件是对X的任意范数 的充要条件是对 的任意范数|| ，
lim || X ( k ) − X ||= 0
1 2 3 A = 4 5 6 7 8 0
计算方法三 计算方法三⑤
15/35
计算矩阵A的各种范数 例6. 计算矩阵 的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') ， n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564 ， ， ，
UX=Y 解线性方程组的所有直接的方法比较适用于中小 型方程组.对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的,但在 对高阶方程组,即使系数矩阵是稀疏的 型方程组 对高阶方程组 即使系数矩阵是稀疏的 但在 计算中很难保持稀疏性,因而有存储量大 因而有存储量大， 计算中很难保持稀疏性 因而有存储量大，程序复杂等 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决. 不足，这些不足之处可用迭代法来弥补解决
10 − 14 A' A = − 14 20
注： |λE-A’A|=0 λ2-30λ+4=0
2 ——弗罗贝尼乌斯 弗罗贝尼乌斯
AF =
∑ ∑a
j =1 i =1
n
n
ij
(Frobenius)范数 范数 简称F范数 简称 范数
计算方法三 计算方法三⑤
|| A ||F = 30 ≈ 5.477
∑ ∑a
j=1 i=1
n
n
2 ij
弗罗贝尼乌斯 (Frobenius) 范数简称F范数 范数简称 范数 计算方法三 计算方法三⑤
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Matlab中计算矩阵的范数的命令 函数 ： 中计算矩阵的范数的命令(函数 中计算矩阵的范数的命令 函数)： 矩阵A的谱范数 范数 矩阵 的谱范数(2范数 的谱范数 范数), = A’A的最大特征值的算术根 . 的最大特征值的算术根 (2) n = norm(A,1) 矩阵 的列范数（1-范数） 矩阵A的列范数 的列范数（ 范数 范数） 的最大列之和. 等 于A的最大列之和 的最大列之和 (3)n = norm(A,inf) 矩阵 的行范数 无穷范数 矩阵A的行范数 无穷范数) 的行范数(无穷范数 等于A的最大行之和 的最大行之和. 等于 的最大行之和 (4)n = norm(A, 'fro' ) 矩阵A的Frobenius范数 矩阵 的 范数. 范数 (1) n = norm(A)
(k )
7/35
x1 x2 (k→∞) xn
X
(k→∞)
8/35
例：设
X
(k )
1 (k ) k x1 = = k x (k ) 2 k +1
(k )
显然， k→∞时 解: 显然，当k→∞时，
x1
(k )
1 = →0 k
(k )
计算方法三 计算方法三⑤
几种常用的向量范数： 几种常用的向量范数：设X=(x1,x2,...,xn)