第六章不等式小结与复习总结

一、知识概述第六章不等式的性质和算术平均数与几何平均数两部分内容，前一部分中，主要用于讲述实数运算性质和大小顺序之间的关系，从而掌握比较两个实数大小关系的方法；在此基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质都可由它们推导出来．第二部分中课本首先证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理．利用均值不等式求函数的最值问题，这是均值不等式的一个重要应用。

最后通过例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用.二、重难点知识选讲1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，（1）＞b －b＞0；（2）=b－b=0；（3）＜b －b＜0.等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.例1、已知，b∈R+ ,求证：n＋b n≥n-1b＋b n-1．（n N）分析：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。

证明：n＋b n－(n-1b＋b n-1)=(n-1－b n-1)－b(n-1－b n-1)=(－b)( n-1－b n-1)若＞b若=b(－b)( n-1－b n-1)=0.若＜b综上,≥O,即n＋b n－(n-1b＋b n-1)≥O∴n＋b n≥n-1b＋b n-1．小结：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.2、不等式的性质、推论及证明不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

a2＋2 b2(a＞0，b＞0)．
2．利用基本不等式求最值的两个常用结论 (1)已知 a，b，x，y 为正实数，若 ax＋by＝1，则有1x＋1y＝(ax＋by)1x＋1y＝ a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2. (2)已知 a，b，x，y 为正实数，若ax＋by＝1，则有 x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a ＋b＋axy＋byx≥a＋b＋2 ab＝( a＋ b)2.
1
2
1
－λ)m，3＝λn，解得m＝31－λ，n＝3λ.因为点M在点P，Q之间，所以λ
21 2
21＋3λ
∈(0,1)，所以mn＋m＝31－λ·3λ＋31－λ＝－1＋3λ2＋51＋3λ－4＝
2
2
4
1
－1＋3λ＋1＋43λ＋5 ≥－2×2＋5 ＝2，当且仅当1＋3λ＝ 1＋3λ ，即λ＝3
时等号成立，mn＋m取得最小值2.
即 y2＝12，x2＝130时取等号， 故 x2＋y2≥45， 即 x2＋y2 的最小值为45. 答案：45
题型二 基本不等式的实际应用 合作探究
[例] (2021·泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售 价格最多可提高多少元？
2．若 a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则 a＋b 的最小值为( C )
A．8
B．6
C．4
D．2
3．(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
解析：法一：由 5x2y2＋y4＝1，可得 x2＝1－ 5y2y4，

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2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
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解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
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方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
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解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，

第六章“不等式”简介颜其鹏《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第二册(上)的第六章内容为不等式，是根据《全日制普通高级中学教学大纲(供试验用)》(以下简称新大纲)必修课的不等式部分编写的。

本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法。

本章教学约需16课时，具体分配如下(仅供参考)：6．1不等式的性质约3课时6．2算术平均数与几何平均数约2课时6．3不等式的证明约5课时6．4不等式的解法举例约2课时6．5含有绝对值的不等式约2课时小结与复习约2课时一、内容与要求不等式主要研究数的不等关系。

它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用。

因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。

(一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等与现行高中教材“不等式”相比，本章的内容有如下的变化。

l.解一元二次不等式，解简单的分式不等式和解简单的绝对值不等式等内容移到高一(上)第一章“集合与简易逻辑”中介绍。

2.删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用。

3.删去了用数学归纳法证明不等式。

4.删去了解指数不等式和对数不等式。

5.增加了一些利用不等式解决实际问题的例习题。

(二)章头引言安排了一个实际问题——求一个长方体无盖贮水池的最低总造价。

这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。

第一小节是“不等式的性质”。

教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。

不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。