(word完整版)初一数学培训班讲义
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第一章 有理数1.1 具有相反意义的量学习目标: 1.用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量;2.从具体情境中,体会引入正数、负数的必要性和合理性;3.理解有理数的意义,会对有理数进行分类.学习重点: 用正数和负数表示一对具有相反意义量.学习难点:负数概念的建立.一:用正数、负数表示具有相反意义的量为了便于区分相反意义的量,我们把其中一种量用 表示,例如:我们小学学过的3、125、10.5、32等大于0的自然数和分数(或小数)就是正数,而另一种量就用 表示,它是在正数前面加上“-”(读做负)号.例如:3、-1、-0.618、-32等就是负数. (1)0既不是 ,也不是 .(2)正数和零统称为 ,负数和零统称为 .(3)通常把水结冰时的温度规定为0℃,那么比水结冰时的温度低5℃应该记作(4)如果在东西向的马路上把出发点记为0,把向东走的路程记做正数,那么走-50m 表示 点拨:(1)在具有相反意义的一对量中,谁用正数表示,谁用负数表示是人为地规定的.如:向东走100米记为+100米,则向西走80米记作-80米,也可以向东走100米记为-100米,则向西走80米记作+80米.(2)有的时候在正数前面加上“+”(读作正),以强调它是正数.例如正数5写作+5,但通常把“+”号省略不写.(3)判断一个数是正数还是负数,不能简单地认为带有正号的数就是正数,带有负号的数就是负数.(4)0既不是正数,也不是负数,正数都大于0,负数都小于0.典例分析例1、 在一次体育课上,体育老师让同学们练习踢毽子,以踢7个为标准,超过的个数用正数表示,不足的个数用负数表示,其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2.(1)这8名同学的实际成绩分别是多少?(2)这8名同学中有几个人达标(即踢7个或7个以上)解:(1)这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二:有理数的分类(1)有理数的分类(2)有下列数:3.6、-53、78、0、-0.37、9、-5.14、-1,其中整数:分数:(3)下列有理数中,哪些是非负数,哪些是负数?-0.414、-7、2.7、-31、2010、0、41、-10.3、 2点拨(1)对有理数进行分类时,分类标准不同,分类结果也不同,其中整数与分数相应,正数与负数对应,要特别注意0既不是正数,也不是负数,零是整数,也是有理数.(2)正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和0统称为非负整数.(即自然数)例2、把下列各数填入相应的大括号内-24、2.8、49、-5.3、21、-43、0、-(-121)、-5.4(1)正整数集合:{}(2)负整数集合:{}(3)正分数集合:{}(4)负分数集合:{}(5)非负数集合:{}达标检测1、面粉厂运进200吨面粉记做+200吨,那么运出50吨面粉记作吨.非负数非正数正整数正分数有理数负整数负分数2、若买进20件衣服记为+20件,那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务,其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋,则鲨鱼所处高度为 米.4、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg +0.02kg ,若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果 标准.(填“符合”或“不符合”)5、下列关于0的说法中正确的有( )①0是整数,0是有理数 ②0既不是正数,也不是负数③0不是整数,是有理数 ④0是整数,不是自然数A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个6、某班数学平均成绩为87分,若90分记为+3分,则85分记为( )7、某种药品的说明书上标明保存温度是(20+28、有一列数:-21、52、-103、174……那么第7个数是 . 9、有一列数:1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……,则这列数的第100个和第2005个数分别是1.2 数轴 相反数与绝对值1.2.1 数轴学习目标: 1. 理解数轴的概念,掌握数轴的三个要素,能正确地画数轴.2.能在数轴上标出表示已知有理数的点,能写出数轴上的某些点所表示的有理数.3.通过理解数轴上的点与有理数之间的关系,渗透数形结合的数学思想.学习重点:正确画数轴;在数轴上标出表示已知有理数的点;写出数轴上的某些点所表示的有理数. 学习难点: 数轴上的点与有理数之间的关系.一、概念点拨(1)数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.1.括号的使用在代数运算中,可以根据运算法则和运算律,去掉或者添上括号,以此来改变运算的次序,使复杂的问题变得较简单.例1计算:分析中学数学中,由于负数的引入,符号“+”与“-”具有了双重涵义,它既是表示加法与减法的运算符号,也是表示正数与负数的性质符号.因此进行有理数运算时,一定要正确运用有理数的运算法则,尤其是要注意去括号时符号的变化.注意在本例中的乘除运算中,常常把小数变成分数,把带分数变成假分数,这样便于计算.例2计算下式的值:211×555+445×789+555×789+211×445.分析直接计算很麻烦,根据运算规则,添加括号改变运算次序,可使计算简单.本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算.解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000.说明加括号的一般思想方法是“分组求和”,它是有理数巧算中的常用技巧.例3计算:S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n.分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将第一、第二项,第三、第四项,…,分别配对的方式计算,就能得到一系列的“-1”,于是一改“去括号”的习惯,而取“添括号”之法.解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n.下面需对n的奇偶性进行讨论:当n为偶数时,上式是n/2个(-1)的和,所以有当n为奇数时,上式是(n-1)/2个(-1)的和,再加上最后一项(-1)n+1·n=n,所以有例4在数1,2,3,…,1998前添符号“+”和“-”,并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?分析与解因为若干个整数和的奇偶性,只与奇数的个数有关,所以在1,2,3,…,1998之前任意添加符号“+”或“-”,不会改变和的奇偶性.在1,2,3,…,1998中有1998÷2个奇数,即有999个奇数,所以任意添加符号“+”或“-”之后,所得的代数和总为奇数,故最小非负数不小于1.现考虑在自然数n,n+1,n+2,n+3之间添加符号“+”或“-”,显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0.这启发我们将1,2,3,…,1998每连续四个数分为一组,再按上述规则添加符号,即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1.所以,所求最小非负数是1.说明本例中,添括号是为了造出一系列的“零”,这种方法可使计算大大简化.2.用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值:(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22.这是一个对具体数的运算,若用字母a代换100,用字母b代换2,上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2,①这个公式叫平方差公式,以后应用这个公式计算时,不必重复公式的证明过程,可直接利用该公式计算.例5计算 3001×2999的值.解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999.例6计算 103×97×10 009的值.解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919.例7计算:分析与解直接计算繁.仔细观察,发现分母中涉及到三个连续整数:12 345,12 346,12 347.可设字母n=12 346,那么12 345=n-1,12 347=n+1,于是分母变为n2-(n-1)(n+1).应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1,即原式分母的值是1,所以原式=24 690.例8计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1).分析式子中2,22,24,…每一个数都是前一个数的平方,若在(2+1)前面有一个(2-1),就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了.解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1.例9计算:分析在前面的例题中,应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2.这个公式也可以反着使用,即a2-b2=(a+b)(a-b).本题就是一个例子.通过以上例题可以看到,用字母表示数给我们的计算带来很大的益处.下面再看一个例题,从中可以看到用字母表示一个式子,也可使计算简化.例10计算:我们用一个字母表示它以简化计算.3.观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下,请计算他们的总分与平均分.87,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.分析与解若直接把20个数加起来,显然运算量较大,粗略地估计一下,这些数均在90上下,所以可取90为基准数,大于90的数取“正”,小于90的数取“负”,考察这20个数与90的差,这样会大大简化运算.所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799,平均分为 90+(-1)÷20=89.95.例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值.分析观察发现:首先算式中,从第二项开始,后项减前项的差都等于2;其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000,于是可有如下解法.解用字母S表示所求算式,即S=1+3+5+…+1997+1999.①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1.②将①,②两式左右分别相加,得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500.从而有 S=500 000.说明一般地,一列数,如果从第二项开始,后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997,都等于2),那么,这列数的求和问题,都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决.例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值.分析观察发现,上式从第二项起,每一项都是它前面一项的5倍.如果将和式各项都乘以5,所得新和式中除个别项外,其余与原和式中的项相同,于是两式相减将使差易于计算.解设S=1+5+52+…+599+5100,①所以5S=5+52+53+…+5100+5101.②②—①得4S=5101-1,说明如果一列数,从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5),那么这列数的求和问题,均可用上述“错位相减”法来解决.例14 计算:分析一般情况下,分数计算是先通分.本题通分计算将很繁,所以我们不但不通分,反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差,然后再计算,这种方法叫做拆项法.解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项,这种方法在有理数巧算中很常用.练习一1.计算下列各式的值:(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999;(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100;(3)1991×1999-1990×2000;(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636;(6)1+4+7+ (244)2.某小组20名同学的数学测验成绩如下,试计算他们的平均分.81,72,77,83,73,85,92,84,75,63,76,97,80,90,76,91,86,78,74,85.第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念,在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式,以及求解方程与不等式时,经常会遇到含有绝对值符号的问题,同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题.下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识,然后进行例题分析.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数.例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?(1)|a+b|=|a|+|b|;(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;(4)若|a|=b,则a=b;(5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.解 (1)不对.当a,b同号或其中一个为0时成立.(2)对.(3)对.(4)不对.当a≥0时成立.(5)不对.当b>0时成立.(6)不对.当a+b>0时成立.例2设有理数a,b,c在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a|+|a+c|+|c-b|.解由图1-1可知,a>0,b<0,c<0,且有|c|>|a|>|b|>0.根据有理数加减运算的符号法则,有b-a<0,a+c<0,c-b<0.再根据绝对值的概念,得|b-a|=a-b,|a+c|=-(a+c),|c-b|=b-c.于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c.例3已知x<-3,化简:|3+|2-|1+x|||.分析这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号.解原式=|3+|2+(1+x)||(因为1+x<0)=|3+|3+x||=|3-(3+x)|(因为3+x<0)=|-x|=-x.解因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0.(1)当a,b,c均大于零时,原式=3;(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3;(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1;(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1.说明本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用.例5若|x|=3,|y|=2,且|x-y|=y-x,求x+y的值.解因为|x-y|≥0,所以y-x≥0,y≥x.由|x|=3,|y|=2可知,x<0,即x=-3.(1)当y=2时,x+y=-1;(2)当y=-2时,x+y=-5.所以x+y的值为-1或-5.例6若a,b,c为整数,且|a-b|19+|c-a|99=1,试计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值.解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且|a-b|19,|c-a|99为两个非负整数,和为1,所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1,①或|a-b|19=1且|c-a|99=0.②由①有a=b且c=a±1,于是|b-c|=|c-a|=1;由②有c=a且a=b±1,于是|b-c|=|a-b|=1.无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1,所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2.解依相反数的意义有|x-y+3|=-|x+y-1999|.因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有|x-y+3|=0且|x+y-1999|=0.即由①有x-y=-3,由②有x+y=1999.②-①得2y=2002, y=1001,所以例8 化简:|3x+1|+|2x-1|.分析本题是两个绝对值和的问题.解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号.若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事.例如,化简|3x+1|,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号.这里我们为三个部分(如图1-2所示),即这样我们就可以分类讨论化简了.原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x;原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2;原式=(3x+1)+(2x-1)=5x.即说明解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”.例9已知y=|2x+6|+|x-1|-4|x+1|,求y的最大值.分析首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者.解有三个分界点:-3,1,-1.(1)当x≤-3时,y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4.(2)当-3≤x≤-1时,y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6.(3)当-1≤x≤1时,y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6.(4)当x≥1时,y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0.综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6.例10设a<b<c<d,求|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值.分析本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦.若能利用|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|的几何意义来解题,将显得更加简捷便利.解设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则|x-a|表示线段AX之长,同理,|x-b|,|x-c|,|x-d|分别表示线段BX,CX,DX之长.现要求|x-a|,|x-b|,|x-c|,|x-d|之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小.因为a<b<c<d,所以A,B,C,D的排列应如图1-3所示:所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b).例11若2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值.分析与解要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有|4-5x|=4-5x且|1-3x|=3x-1.故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7.练习二1.x是什么实数时,下列等式成立:(1)|(x-2)+(x-4)|=|x-2|+|x-4|;(2)|(7x+6)(3x-5)|=(7x+6)(3x-5).2.化简下列各式:(2)|x+5|+|x-7|+|x+10|.3.若a+b<0,化简|a+b-1|-|3-a-b|.4.已知y=|x+3|+|x-2|-|3x-9|,求y的最大值.5.设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15,对于满足p≤x≤15的x 来说,T的最小值是多少?6.已知a<b,求|x-a|+|x-b|的最小值.7.不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C,如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么B点应为( ).(1)在A,C点的右边;(2)在A,C点的左边;(3)在A,C点之间;(4)以上三种情况都有可能.第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值.下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧.例1求下列代数式的值:分析上面两题均可直接代入求值,但会很麻烦,容易出错.我们可以利用已经学过的有关概念、法则,如合并同类项,添、去括号等,先将代数式化简,然后再求值,这样会大大提高运算的速度和结果的准确性.=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19.(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18.说明本例中(1)的化简是添括号,将同类项合并后,再代入求值;(2)是先去括号,然后再添括号,合并化简后,再代入求值.去、添括号时,一定要注意各项符号的变化.例2已知a-b=-1,求a3+3ab-b3的值.分析由已知条件a-b=-1,我们无法求出a,b的确定值,因此本题不能像例1那样,代入a,b的值求代数式的值.下面给出本题的五种解法.解法1由a-b=-1得a=b-1,代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1.说明这是用代入消元法消去a化简求值的.解法2因为a-b=-1,所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1.说明这种解法是利用了乘法公式,将原式化简求值的.解法3 因为a-b=-1,所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1.说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b,并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b),从而凑成了(a-b)3.解法4 因为a-b=-1,所以(a-b)3=(-1)3=1,即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1,a3-b3-3ab(a-b)=-1,所以 a3-b3-3ab(-1)=-1,即 a3-b3+3ab=-1.说明这种解法是由a-b=-1,演绎推理出所求代数式的值.解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1.说明这种解法是添项,凑出(a-b)3,然后化简求值.通过这个例题可以看出,求代数式的值的方法是很灵活的,需要认真思考,才能找到简便的算法.在本例的各种解法中,用到了几个常用的乘法公式,现总结如下:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3;a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).解由已知,xy=2(x+y),代入所求代数式中,消去xy,然后化简.所以解因为a=3b,所以c=5a=5×(3b)=15b.将a,c代入所求代数式,化简得解因为(x-5)2,|m|都是非负数,所以由(1)有由(2)得y+1=3,所以y=2.下面先化简所求代数式,然后再代入求值.=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b的值.分析此题可以用方程组求出a,b的值,再分别代入14a-2b求值.下面介绍一种不必求出a,b的值的解法.解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52.|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的值.分析所求代数式中六个绝对值的分界点,分别为:0,1,2,据绝对值的意义去掉绝对值的符号,将有3个x和3个-x,这样将抵消掉x,使求值变得容易.原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9.说明实际上,本题只要x的值在2与3之间,那么这个代数式的值就是9,即它与x具体的取值无关.例8若x:y:z=3:4:7,且2x-y+z=18,那么x+2y-z的值是多少?分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式,对于等比,我们通常可以设它们的比值为常数k,这样可以给问题的解决带来便利.x=3k,y=4k,z=7k.因为2x-y+z=18,所以2×3k-4k+7k=18,所以k=2,所以x=6,y=8,z=14,所以x+2y-z=6+16-14=8.例9已知x=y=11,求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值.分析本题是可直接代入求值的.下面采用换元法,先将式子改写得较简洁,然后再求值.解设x+y=m,xy=n.原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000.说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法,通过换元,可以使代数式的特征更加突出,从而简化了题目的表述形式.练习三1.求下列代数式的值:(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4,其中a=-2,b=1;的值.3.已知a=3.5,b=-0.8,求代数式|6-5b|-|3a-2b|-|8b-1|的值.4.已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0,求 a,b的值.5.已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容.最简单的方程是一元一次方程,它是进一步学习代数方程的基础,很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决.本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧.用等号连结两个代数式的式子叫等式.如果给等式中的文字代以任何数值,等式都成立,这种等式叫恒等式.一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的.如果给等式中的文字(未知数)代以某些值,等式成立,而代以其他的值,则等式不成立,这种等式叫作条件等式.条件等式也称为方程.使方程成立的未知数的值叫作方程的解.方程的解的集合,叫作方程的解集.解方程就是求出方程的解集.只含有一个未知数(又称为一元),且其次数是1的方程叫作一元一次方程.任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式,这是一元一次方程的标准形式(最简形式).解一元一次方程的一般步骤:(1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项,化为最简形式ax=b;(5)方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解.一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定:(2)若a=0,且b=0,方程变为0·x=0,则方程有无数多个解;(3)若a=0,且b≠0,方程变为0·x=b,则方程无解.例1解方程解法1从里到外逐级去括号.去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号.去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x,①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解,试求a的值.分析本题解题思路是从方程①中求出x的值,代入方程②,求出a的值.解由方程①可求得3x-5x=-6,所以x=3.由已知,x=3也是方程②的解,根据方程解的定义,把x=3代入方程②时,应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3),7(a-3)-3(a-3)=18-12,例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2,求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解.解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5.由题设知a+2=5,所以a=3.于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3,-2x=-21,例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0.分析这个方程中未知数是x,m,n是可以取不同实数值的常数,因此需要讨论m,n取不同值时,方程解的情况.解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0,整理得 m(m+n)x=n(m+n).当m+n≠0,且m=0时,方程无解;当m+n=0时,方程的解为一切实数.说明含有字母系数的方程,一定要注意字母的取值范围.解这类方程时,需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论.例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2.分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项,但整理化简后,可以消去x2,也就是说,原方程实际上仍是一个一元一次方程.解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2,即 (a2-b2)x=(a-b)2.(1)当a2-b2≠0时,即a≠±b时,方程有唯一解(2)当a2-b2=0时,即a=b或a=-b时,若a-b≠0,即a≠b,即a=-b时,方程无解;若a-b=0,即a=b,方程有无数多个解.例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值.解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程,所以m2-1=0,即m=±1.(1)当m=1时,方程变为-2x+8=0,因此x=4,代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991;(2)当m=-1时,原方程无解.所以所求代数式的值为1991.例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解,试求a的值.解将原方程变形为2ax-a=3x-2,即 (2a-3)x=a-2.由已知该方程无解,所以例8 k为何正数时,方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数?来确定:(1)若b=0时,方程的解是零;反之,若方程ax=b的解是零,则b=0成立.(2)若ab>0时,则方程的解是正数;反之,若方程ax=b的解是正数,则ab>0成立.(3)若ab<0时,则方程的解是负数;反之,若方程ax=b的解是负数,则ab<0成立.解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k.要使方程的解为正数,需要(k2-2k)(k2-5k)>0.看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5).因为k2≥0,所以只要k>5或k<2时上式大于零,所以当k<2或k>5时,原方程的解是正数,所以k>5或0<k<2即为所求.例9若abc=1,解方程解因为abc=1,所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程,求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化.例10若a,b,c是正数,解方程解法1原方程两边乘以abc,得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc.移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0,因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0.因为a>0,b>0,c>0,所以ab+bc+ac≠0,所以x-(a+b+c)=0,即x=a+b+c为原方程的解.解法2将原方程右边的3移到左边变为-3,再拆为三个“-1”,并注意到其余两项做类似处理.设m=a+b+c,则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0.所以x=a+b+c为原方程的解.说明注意观察,巧妙变形,是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一.例11设n为自然数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程:分析要解此方程,必须先去掉[ ],由于n是自然数,所以n与(n+1)…,n[x]都是整数,所以x必是整数.解根据分析,x必为整数,即x=[x],所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解.例12已知关于x的方程且a为某些自然数时,方程的解为自然数,试求自然数a的最小值.解由原方程可解得a最小,所以x应取x=160.所以所以满足题设的自然数a的最小值为2.练习四1.解下列方程:*2.解下列关于x的方程:(1)a2(x-2)-3a=x+1;4.当k取何值时,关于x的方程3(x+1)=5-kx,分别有:(1)正数解;(2)负数解;(3)不大于1的解.第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y,代入①化简得11y-4z=-19.④由③得2y+3z=4.⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16,所以 y=-1.将y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以为原方程组的解.说明本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.例2解方程组解法1由①,④消x得由⑥,⑦消元,得解之得将y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x,即x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以为原方程组的解.解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10,⑤由⑤-(①+③)得y+u=6,⑥由①×2-④得4y-u=4,⑦⑥+⑦得y=2.以下略.说明解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅.例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:①+②得x+u=3,⑥②+③得y+v=5,⑦③+④得z+x=7,⑧④+⑤得u+y=9.⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15.⑩⑩-⑥-⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以为原方程组的解.例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解.为原方程组的解.说明解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程.例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x,y,z的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出x,y,z的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x,y的方程组分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.分析与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.解由①得2y=(1+a)-ax,③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).④(1)当(a-2)(a+1)≠0,即a≠2且a≠-1时,方程④有因而原方程组有唯一一组解.(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解.(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.例7已知关于x,y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0,当a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.解法1根据题意,可分别令a=1,a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3,y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0.所以对任何a值都是原方程的解.说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似.解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0.由于公共解与a无关,故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解.分析与解因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2.③a×5+5×4=13.④解由③,④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1.解方程组2.若x1,x2,x3,x4,x5满足方程组试确定3x4+2x5的值.3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求4.k为何值时,方程组有唯一一组解;无解;无穷多解?5.若方程组的解满足x+y=0,试求m的值.第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样,也是代数里的一种重要模型.在概念方面,它与方程很类似,尤其重要的是不等式具有一系列基本性质,而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”.本讲是系统学习不等式的基础.下面先介绍有关一次不等式的基本知识,然后进行例题分析.1.不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时,一定要注意它与等式的类似性质上的差异,即当所乘(或除)的数或式子大于零时,不等号方向不变(性质(5));当所乘(或除)的数或式子小于零时,不等号方向要改变(性质(6)).2.区间概念在许多情况下,可以用不等式表示数集和点集.如果设a,b为实数,且a<b,那么(1)满足不等式a<x<b的数x的全体叫作一个开区间,记作(a,b).如图1-4(a).(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间,记作[a,b].如图1-4(b).(3)满足不等式a<x≤b(或a≤x<b)的x的全体叫作一个半开半闭区间,记作(a,b](或[a,b)).如图1-4(c),(d).3.一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样,经过移项、合并同类项、整理后,总可以写成下面的标准型:ax>b,或ax<b.为确定起见,下面仅讨论前一种形式.一元一次不等式ax>b.(3)当a=0时,用区间表示为(-∞,+∞).例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6,化简得-7x≥-14,两边同除以-7,有x≤2.所以不等式的解为x≤2,用区间表示为(-∞,2].例2求不等式的正整数解.正整数解,所以原不等式的正整数解为x=1,2,3.例3解不等式分析与解因y2+1>0,所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2>7,解为x>5.这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件:x≠6.解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x>5且x≠6.例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x),且y<x+9,试比较解首先解关于x的方程得x=-10.将x=-10代入不等式得y<-10+9,即y<-1.例6解关于x的不等式:解显然a≠0,将原不等式变形为3x+3-2a2>a-2ax,即(3+2a)x>(2a+3)(a-1).说明对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.例7已知a,b为实数,若不等式(2a-b)x+3a-4b<0解由(2a-b)x+3a-4b<0得(2a-b)x<4b-3a.。
七年级数学优秀培训班讲义(教师版)[1]初中一年级基础数学讲义一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二,绝对值的含义:(1)几何意义:通常,从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值,表示为|a|。
(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是;(2)负数的绝对值是它的反数;(3)零的绝对值为零。
也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数;(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。
典型示例示例1。
(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。
那么代数表达式| a | | a | | b | | c-一、第一讲与绝对值相关的问题知识结构图:第二,绝对值的含义:(1)几何意义:通常,从数字轴上表示数字A的点到原点的距离称为数字A的绝对值,表示为|a|。
(2)代数意义:(1)正数的绝对值本身就是;(2)负数的绝对值是它的反数;(3)零的绝对值为零。
也可以写成:描述:(1)|a|≥0表示| a |是非负数;(ⅱ)| a | a |概念包含分类讨论的思想。
典型示例示例1。
(数字与形状相结合的概念)数字轴上的A、B和C的位置如下图所示。
然后是代数表达式| a | | ab | | c | a | | ab | | c-a |-| b-c |=-a-(ab)(c-a)b-c=-3a分析:在解决绝对值问题时,通常需要去掉绝对值符号,并将其转换为一般的有理数计算。
当绝对值符号被去掉时,必须先确定绝对值符号,然后根据绝对值的代数意义去掉。
本例利用数形结合的数学思想,从数轴上A、B、C的对应位置判断绝对值符号中的数的符号,从而消除绝对值符号,完成简化。
例2。
已知:然后值(c) a是正数b,是负数c是零d,符号解不能确定:根据主题,x、y、z在数轴上的位置如下图所示:所以分析:数轴是数字和代数领域中数字和形式结合的重要载体。
本例中的三个看似复杂的不平等关系,借助数轴,直观、方便地找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利简化铺平了道路。
前言同学们已经有了六年学习数学的经验,你认为数学是个什么样子的呢?为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”?数学有非常广泛的用途,数学的内涵极其丰富,“生活中处处都有数学”,你同意这种观点吗?请同学们来讨论下面的几个问题:(1)几个老人去赶集,半路买了一堆梨,每人一个多一个,每人两个少两个,请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?(2)你能将两个同样大小的正方形适当地分割,再拼成一个较大的正方形么?你还能将三个同样大小的正方形适当分割后,再将其拼成一个较大正方形么?(3)有这样一个故事:太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛.A岛居民都是诚实的人,向他们问问题都能得到真实的答案;而B岛的居民则恰恰相反,都不诚实,向他们问问题都不会得到真话回答.某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个,但不能分辨这个岛是A岛还是B岛,而且这个岛上的人既有该岛的居民,也有从另一个岛来的客人.旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛?”却又无法判断被问者的答案是否正确.旅游者动了动脑筋,想了想,终于想出一个好办法:他只需问遇到的任何一个人一句话,就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛.你知道这个旅游者问的问题是什么吗?他又是怎样做出判断的呢?数学所包括的内容是丰富多彩的,既有关于数的问题,如第(1)题;也有关于图形的问题,如第(2)题;也有关于逻辑推理的问题,如第(3)题,等等.此外,数学的运用也是非常广泛的.我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学.”下面我们来尝试解答以上三个问题。
第(1)题可能有下面几种不同的解法,如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法,则需要老师灵活处理.法一:由于梨的总数与人数不变,而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个,而每人所分得的梨的个数相差1个,因此由3÷1=3可知有3个老人,于是由3×2-2=4可知有4个梨.法二:假设有2个老人,借助检验可以发现与实际情形不相符;假设有3个老人,借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的,于是可以在此基础上求得一共有4个梨.法三:假设有x个老人,则有(x+1)个梨;而每人分2个梨,于是一共有(2x-2)个梨.从而有方程2x-2=x+1,解此方程得x = 3.因此,我们知道一共有3个老人,4个梨.按照假设法解答这个问题,答案正确是予肯定的.但假设法并不能说明除此解之外,就一定没有其他符合这个问题的解了.因此,还需要做更深入的继续思考.假设法虽然有一定的局限性,但是也有其合理性,当你还不能全面把握这个问题之前,试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性,有助于我们更深刻地揭示问题的本质,进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法,因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的,而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一.设未知数列方程来解答数学问题,也是一种很好的解决数学的途径之一,而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法,在七年级第一学期将要重要学习,需要同学们引起足够的重视.对于第(2)个问题,我们可以通过动手操作来解决问题。
初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数: 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数(含正有限小数负整数 理 0 和循环小数)有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数(含负有限小数和循环小数)注意:常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。
如:0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念(什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较)。
(1)大于0的数叫做正数,如3、1.8、5%等。
(2)在正数前面加上负号“—”的数叫负数,即小于0的数,如-3、-2.5、-5%等。
(3)数0既不是正数,也不是负数。
0除了表示一个也没有以外,是正数和负数的分界,是基准。
(4)在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
强调:用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量,而相反意义的量包含两个要素:一是他们的意义相反,如向东与向西、收入与支出;二是他们都是数量,而且是同类的量。
(5)正整数、0、负整数统称整数。
整数可以看作分母为1的分数。
(6)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。
(7)把一些数放在一起,就组成了一个数的集合,简称“数集”。
所有有理数组成的数集叫“有理数集”,所有整数组成的数集叫“整数集”,所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示,因为集合中的数是无限的。
(8)有理数可以按不同的标准进行分类,标准不同,分类结果也不同。
问:有理数可分为正数和负数两大类,对吗?为什么?有理数可分为整数和分数两大类,对吗?为什么?2、有理数与数轴上的点一一对应(数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算)。
(1)通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴。
数轴三要素:原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0,这个点叫原点。
有理数第一章具有相反意义的量1.1学习目标:用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量; 1. 从具体情境中,体会引入正数、负数的必要性和合理性; 2..理解有理数的意义,会对有理数进行分类 3.学习重点:.用正数和负数表示一对具有相反意义量学习难点:.负数概念的建立用正数、负数表示具有相反意义的量一:、10.5、125、为了便于区分相反意义的量,我们把其中一种量用表示,例如:我们小学学过的32”-的自然数和分数(或小数)就是正数,而另一种量就用表示,它是在正数前面加上“等大于0 32.、-等就是负数、.例如:3-1、-0.618(读做负)号3 .既不是,也不是(1)0 .)正数和零统称为,负数和零统称为(2(3)通常把水结冰时的温度规定为0℃,那么比水结冰时的温度低5℃应该记作(4)如果在东西向的马路上把出发点记为0,把向东走的路程记做正数,那么走-50m表示点拨:(1)在具有相反意义的一对量中,谁用正数表示,谁用负数表示是人为地规定的.如:向东走100米记为+100米,则向西走80米记作-80米,也可以向东走100米记为-100米,则向西走80米记作+80米.(2)有的时候在正数前面加上“+”(读作正),以强调它是正数.例如正数5写作+5,但通常把“+”号省略不写.(3)判断一个数是正数还是负数,不能简单地认为带有正号的数就是正数,带有负号的数就是负数.(4)0既不是正数,也不是负数,正数都大于0,负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上,体育老师让同学们练习踢毽子,以踢7个为标准,超过的个数用正数表示,不足的个数用负数表示,其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. (1)这8名同学的实际成绩分别是多少?(2)这8名同学中有几个人达标(即踢7个或7个以上)解:(1)这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二:有理数的分类有理数的分类(1).正整数非负数有理数正分数有理数负整数非正数有理数负分数3-0.37、9、-5.14、-1、78(2)有下列数:3.6、-,其中、0、5整数:分数:(3)下列有理数中,哪些是非负数,哪些是负数?11、2010、0、-、2.7、、-10.3、 2 -0.414、-734点拨)对有理数进行分类时,分类标准不同,分类结果也不同,其中整数与分数相应,正数与负数对应,(1.要特别注意0既不是正数,也不是负数,零是整数,也是有理数 .(即自然数))正数和零统称为非负数,负数和零统称为非正数,正整数和0统称为非负整数(2 、把下列各数填入相应的大括号内例2131、-、0、-5.32.8 -24、、49、、-(-1)、-5.4 242(1)正整数集合:{}(2)负整数集合:{}(3)正分数集合:{}(4)负分数集合:{}(5)非负数集合:{}达标检测.吨吨面粉记作50吨,那么运出+200吨面粉记做200、面粉厂运进12、若买进20件衣服记为+20件,那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务,其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋,则鲨鱼所处高度为米.?0.02kg,若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 标准.4(填“符合”或“不符合”)5、下列关于0的说法中正确的有()①0是整数,0是有理数②0既不是正数,也不是负数③0不是整数,是有理数④0是整数,不是自然数A、4个B、3个C、2个D、1个6、某班数学平均成绩为87分,若90分记为+3分,则85分记为()?)℃,请你写出适合药品保存的温度2、某种药品的说明书上标明保存温度是(720 . 1234、、-、……那么第8、有一列数:-7个数是 .5210179、有一列数:1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……,则这列数的第100个和第2005个数分别是相反数与绝对值数轴1.2数轴1.2.1学习目标:能在数轴上标出表示已知有.2. 1. 理解数轴的概念,掌握数轴的三个要素,能正确地画数轴通过理解数轴上的点与有理数之间的关系,渗透数.3.理数的点,能写出数轴上的某些点所表示的有理数.形结合的数学思想学习重点:. 正确画数轴;在数轴上标出表示已知有理数的点;写出数轴上的某些点所表示的有理数学习难点:.数轴上的点与有理数之间的关系一、概念点拨)数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。
初一数学暑期辅导讲义第一讲丰富的图形世界(2课时)第二讲有理数(3课时)第三讲字母表示数(3课时)第四讲平面图形及位置关系(3课时)第五讲一元一次方程(3课时)第六讲生活中的数据(3课时)第七讲可能性(3课时)第一讲丰富的图形世界1、认识生活中常见的几何体特点:圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球2、知道常见几何体的分类,一共分为三类:球体、柱体(圆柱、棱柱、正方体、长方体)、锥体(圆锥、棱锥)3、平面图形折成立体图形应注意:侧面的个数与底面图形的边数相等。
4、圆柱的侧面展开图是一个长方形;展开图是两个圆形和一个长方形;圆锥的展开图是一个扇形和一个圆形;正方体展开图是一个六个小正方形组成的图形;长方体的展开图是与正方体的类似。
(容易考到)5、特殊立体图形的截面图形:(1)长方体、正方形的截面是:三角形、四边形(长方形、正方形、梯形、平行四边形)、五边形、六边形。
(2)圆柱的截面是:长方形、圆、椭圆。
(3)圆锥的截面是:三角形、圆、椭圆。
(4)球的截面是:圆6、我们经常把从前面看到的图形叫做主视图,从左面看到的图叫做左视图,从上面看到的图叫做俯视图。
7、点动成线,线动成面,面动成体。
第二讲有理数1 、正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。
与负数具有相反意义,即以前学过的0以外的数叫做正数(根据需要,有时在正数前面也加上“+”)。
2 、有理数(1) 正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
0既不是正数,也不是负数。
(2) 通常用一条直线上的点表示数,这条直线叫数轴。
数轴三要素:原点、方向箭头、单位长度。
在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点。
(3) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别的:0的相反数是0(4) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
一个正数的绝对值是它本身一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0;两个负数,绝对值大的反而小。
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1有理数的相关概念整数和分数统称为有理数有理数又可分为正有理数0和负有理数规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大正数都大于零负数都小于零正数大于负数只有符号不同的两个数称互为相反数例如和互为相反数即是的相反数是的相反数在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值记作例如在数轴上表示的点与原点的距离是5所以的绝对值是5记作一个正数的绝对值是它本身零的绝对值是零一个负数的绝对值是它的相反数这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容必须牢固掌握例1 最低气温为那么这天的最高气温比最低气温高A 4B 8C 12D 16例2 下列说法正确的是A 一个有理数不是整数就是分数B 正整数和负整数统称整数C 正整数负整数正分数负分数统称有理数D 0不是有理数例3.数在数轴上的位置如图下列判断正确的是A BC D例4 说出下列各数的相反数16-300001例5 如图若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍则数轴的原点在点填ABC或D1.有如下四个命题①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数③两个符号相反的分数之间至少有一个整数④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数其中真命题的个数为A1 B 2 C 3 D 42 下列说服中正确的是A正整数和负整数统称为整数B正数和负数统称为有理数C整数和分数统称为有理数D自然数和负数统称为有理数以下四个判断中不正确的是A在数轴上关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B两个有理数互为相反数则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C两个有理数不等则他们的绝对值不等D两个有理数的绝对值不等则这两个有理数不等A 一切有理数的倒数还是有理数B 一切正有理数的相反数必是负有理数C 一切有理数的绝对值必是正有理数D 一切有理数的平方是正有理数5 在数轴上点A对应的数是-2006点B对应的数是+17则AB两点的距离是A1989 B 1999 C 7>2013 D 20236 如图所示圆的周长为4个单位长度在圆的4等分点处标上数字0123先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合再让数轴按逆时针方向绕在该圆上那么数轴上的数-2006将与圆周上的数字重合下列说法中错误的是A所有的有理数都可以用数轴上的点表示B 数轴上原点表示数0C 数轴上点表示从点出发沿数轴上移动2个单位长度到达点则点表示D 在数轴上表示和的两点之间的距离是5下列说法正确的是A有最大的整数 B 有最小的负数C有最大的正数 D 有最小的正整数如果n是大于1的偶数那么n 一定小于它的A相反数 B倒数 C 绝对值 D 平方If we haveand a6 Othen the points in real number axisgiven by a and bcan be represented as 英汉词典point点.real number axis实数轴.represent表示. 3 有理数abc大小关系如图则下列式子中一定成立的是Aabc 0 B c abC a-c acD b-c c-a4 如果abc 0且a b c则下列说法中可能成立的是A ab是正数c 0 Bac是正数b 0C bc是正数a 0D ac是负数b 0如果那么下列不等式中成立的是A B C D6 为有理数下列说法中正确的是A 为正数B 为负数C 为正数D 为正数若a b 0 c d则以下四个结论中正确的是A abcd一定是正数.B dc-a-b可能是负数.C d-c-b-a一定是正数.D c-d-b-a一定是正数.已知和互为相反数求的值若与互为相反数到原点的距离为3求的值已知求的值其中均为整数且的数是有理数这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数3 有理数可以用数轴上的点表示4 零是正数和负数的分界点零不是正数也不是负数5 如果两个数的和为0则称这两个数互为相反数如果两个数的积为1则称这两个数互为倒数6 有理数的运算法则1 加法两数相加同号的取原来的符号并把绝对值相加异号的取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值绝对值相等时和为0一个数与0相加仍得这个数2 减法减去一个数等于加上这个数的相反数3 乘法两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘一个数与0相乘积为0 乘方求个相同因数的积的运算称为乘方记为4 除法除以一个数等于乘以这个数的倒数整数的运算律对有理数的运算也适合二例题与练习例1 ____________例2 ____________实践练习2 计算例3 用简便方法计算__________例4 _________实践练习__________2 计算________3 计算________例5 若则是A 正数B 非正数C 负数D 非负数例6 若是自然数并且有理数满足则必有A BC D实践练习等于它的倒数有理数等于它的相反数则等于A 0B 1C -1D 2练习三1 计算________2 计算_________3 计算4 ______5 的值的整数部分是_______6 设是最小的自然数是最大负整数是绝对值最小的有理数则___7 数轴上对应是整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段盖住的整点有______个8 电子跳蚤落在数轴上的某点第一步从向左跳1个单位到第二步从向右跳2个单位到第三步从向左跳3个单位到第四步从向右跳4个单位到按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2008则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是多少§3 有理数的巧算知识要点和分数统称为有理数有理数通常可以表示成分数的形式这里都是整数且有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念法则的基础上能根据法则公式等正确迅速地进行运算.不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性.四则运算对有理数是封闭的即任意两个有理数相加相减相乘相除除数不能为0其结果还是有理数有理数可以比较大小任意两个有理数之间都有无穷多个有理数有理数计算中常用到的一些等式如下123456例1计算实践练习123例2计算计算实践练习1计算2-+-+-3例3计算实践练习1计算2计算3练习四1计算2计算3计算1-+-+-4计算5计算计算计算再减去余下的再减去余下的依此类推一直减去余下的那么最后剩下的数是多少第 2 abc 3 b2 4 -5ab2 5 y 6 -xy2 7 -52单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的说出下列四个单项式a2h2πrabc-m的系数和次数例1判断下列各代数式是否是单项式如不是请说明理由如是请指出它的系数和次数①x+1 ②③πr2 ④-a2b例2下面各题的判断是否正确①-7xy2的系数是7 ②-x2y3与x3没有系数③-ab3c2的次数是0+3+2④-a3的系数是-1 ⑤-32x2y3的次数是7 ⑥πr2h的系数是注意①圆周率π是常数②当一个单项式的系数是1或-1时1通常省略不写如x2-a2b等§2.多项式1.列代数式1 长方形的长与宽分别为ab则长方形的周长是2 某班有男生x人女生21人则这个班共有学生人_______3 图中阴影部分的面积为_________4 鸡兔同笼鸡a只兔b只则共有头个脚只2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别1 2 a+b 2 21+x 3 a+b 4 2a+4b几个单项式的和叫做多项式 polynomial 在多项式中每个单项式叫做多项式的项 term 其中不含字母的项叫做常数项 constant term 例如多项式有三项它们是-2x5其中5是常数项一个多项式含有几项就叫几项式多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数例如多项式是一个二次三项式单项式与多项式统称整式 integral expression注意1 多项式的次数不是所有项的次数之和多项式的次数为最高次项的次数2 多项式的每一项都包括它前面的符号例1判断①多项式a3-a2b+ab2-b3的项为a3a2bab2b3次数为12②多项式3n4-2n2+1的次数为4常数项为1例2指出下列多项式的项和次数1 3x-1+3x2 2 4x3+2x-2y2例3指出下列多项式是几次几项式1 x3-x+12 x3-2x2y2+3y2例4已知代数式3xn- m-1 x+1是关于x的三次二项式求mn的条件课堂练习①填空-a2b-ab+1是次项式其中三次项系数是二次项为常数项为写出所有的项②已知代数式2x2-mnx2+y2是关于字母xy的三次三项式求mn的条件§3.多项式的升降幂排列请运用加法交换律任意交换多项式x2+x+1中各项的位置可以得到几种不同的排列方式在众多的排列方式中你认为那几种比较整齐1.升幂排列与降幂排列有两种排列x的指数是逐渐变大或变小的我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列例如把多项式5x2+3x-2x3-1按x的指数从大到小的顺序排列可以写成-2x3+5x2+3x-1这叫做这个多项式按字母x的降幂排列若按x的指数从小到大的顺序排列则写成-1+3x+5x2-2x3这叫做这个多项式按字母x的升幂排列例1五个学生上前自己选一张卡片根据老师要求排成一列并把排列正确的式子写下来例如按x降幂排列例2把多项式2πr-1+3πr3-π2r2按r升幂排列例3把多项式a3-b3-3a2b+3ab2重新排列1 按a升幂排列2 按a降幂排列想一想观察上面两个排列从字母b的角度看它们又有何特点例4把多项式-1+2πx2-x-x3y用适当的方式排列例5把多项式x4-y4+3x3y-2xy2-5x2y3用适当的方式排列1 按字母x的升幂排列得2 按字母y的升幂排列得小结对一个多项式进行排列这样的写法除了美观之外还会为今后的计算带来方便在排列时我们要注意1 重新排列多项式时每一项一定要连同它的符号一起移动原首项省略的+号交换到后面时要添上2 含有两个或两个以上字母的多项式常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列§4同类项创设问题情境⑴5个人8个人⑵5只羊8只羊⑶5个人8只羊观察下列各单项式把你认为相同类型的式子归为一类8x2y-mn2 5a-x2y 7mn2 9a - 0 04mn2 2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类8x2y与-x2y可以归为一类2xy2与-可以归为一类-mn27mn2与04mn2可以归为一类5a与9a可以归为一类还有0与也可以归为一类8x2y与-x2y只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是2y的指数都是1同样地2xy2与-也只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是1y的指数都是2像这样所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项similar terms 另外所有的常数项都是同类项比如前面提到的0与也是同类项例1判断下列说法是否正确正确地在括号内打√错误的打×1 3x与3mx是同类项2 2ab与-5ab是同类项3 3x2y与-yx2是同类项4 5ab2与-2ab2c是同类项5 23与32是同类项例2指出下列多项式中的同类项1 3x-2y+1+3y-2x-52 3x2y-2xy2+xy2-yx2例3k取何值时3xky与-x2y是同类项例4若把 s+t s-t 分别看作一个整体指出下面式子中的同类项1 s+t - s-t -+2 2 s-t + 2-5 s-t - 2+s-t课堂练习1请写出2ab2c3的一个同类项.你能写出多少个它本身是自己的同类项吗若2amb2m3n与a2n-3b8的和仍是一个单项式则m与 n的值分别是______ 为了搞好班会活动李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品他们首先购买了15本软面抄和20支水笔经过预算发现这么多奖品不够用然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔问①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔②若设软面抄的单价为每本x元水笔的单价为每支y元则这次活动他们支出的总金额是多少元可根据购买的时间次序列出代数式也可根据购买物品的种类列出代数式再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起将它们合并起来化简整个多项式所的结果都为 21x+25y 元由此可得把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则把同类项的系数相加所得的结果作为系数字母和字母指数保持不变例1找出多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5种的同类项并合并同类项例2下列各题合并同类项的结果对不对若不对请改正1 2x2+3x2 5x4 2 3x+2y 5xy3 7x2-3x24 4 9a2b-9ba2 0例3合并下列多项式中的同类项1 2a2b-3a2b+05a2b2 a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b33 5 x+y 3-2 x-y 4-2 x+y 3+ y-x 4例4求多项式3x2+4x-2x2-x+x2-3x-1的值其中x -3试一试把x=-3直接代入例4这个多项式可以求出它的值吗与上面的解法比较一下哪个解法更简便例1.化简下列各式8a2b5a-b 25a-3b-3a2-2b.2 计算5xy2-[3xy2-4xy2-2x2y]2x2y-xy2. [5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法去括号时特别是括号前面是-号时括号连同括号前面的-号去掉括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为-变+不变要变全都变.当括号前带有数字因数时这个数字要乘以括号内的每一项切勿漏乘某些项.学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则并能根据法则进行去括号运算去括号法则顺口溜去括号看符号是号不变号是―号全变号x2―7x―2与―2x24x―1的差练习一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x求这个多项式例2计算―2y3 3xy2―x2y ―2 xy2―y3例3化简求值 2x3―xyz ―2 x3―y3xyz xyz―2y3 其中x 1y 2z ―3复习题1找出下列代数式中的单项式多项式和整式4xyx2x0m―201×1052指出下列单项式的系数次数abx2xy53指出多项式a3a2b―ab2b3―1是几次几项式最高次项常数项各是什么4化简并将结果按x的降幂排列1 2x45x2―4x1 ― 3x3―5x2―3x2 ―〔―x 〕 x―13 ―3 x2―2xyy2 2x2―xy―2y25化简求值5ab―2〔3ab 4ab2ab 〕5ab2其中a b6一个多项式加上2x34x2y5y3后得x3x2y3y3求这个多项式并求当x y 时这个多项式的值的两个多项式与的次数相同求的值第三章一元一次方程§1一元一次方程1 定义方程含有未知数的等式称为方程一元一次方程方程中只含一个未知数元并且未知数的指数是1次未知数的系数不等于0这样的方程叫做一元一次方程如解解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值这个值就是方程的解2 等式的性质性质1 等式两边加或减同一个不为0的数结果仍相等如果那么性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等如果那么如果那么3 同解方程和方程的同解原理1 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解那么这两个方程是同解方程2 方程同解原理Ⅰ方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅱ方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅲ方程与或是同解方程4 解一元一次方程的一般步骤1 去分母2 去括号3 移项4 合并同类项化为最简形式5 方程两边同除以未知数的系数解一元一次方程没有固定的步骤去分母与去括号要因题而异灵活掌握但是不管采取什么顺序都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理使得到的方程与原方程同解5 一元一次方程的解由的值确定1 当时方程有唯一的解2 当时方程的解可为任意的有理数3 当且时方程无解例1 利用等式的性质解一元一次方程1 2 3 4例2 检验下列各数是不是方程的解1 2 3实践练习1 解方程12 32 解方程列简易方程解决问题例3 根据下列条件列方程1的5倍比的2倍大12 2某数的比它的相反数小5实践练习1 根据下列问题列出方程不必求解1把若干本书发给学生如果每人发4本还剩下2本如果每人发5本还差5本问共有多少学生2某班50名学生准备集体去看电影电影票中有15元的和2元的买电影票共花88元问这两种电影票应各买多少练习一1 解方程1 22 假设关于的方程有无穷多个解求的值3 若关于的方程的解是2求的值4 若关于的方程的解是4求的值5 某地电话拨号上网有两种收费方式用户可以任选其一1计时制005元分2包月制50元月此外每一种上网方式都得加收通信费002元分问用户每月上网多少小时这两种收费方式所收费用一样请列出方程6 小李去商店买练习本回来后告诉同学店主跟我说如果多买一些就给我8折优惠我就买了20本结果总共便宜了160元你猜原来每本价格是多少你能列出方程吗例4某大型商场三个季度共销售DVD 2800台第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍第一个季度这家商场销售DVD 多少台例5某校高中一年级434名师生外出春游已有3辆校车可乘坐84人还需租用50座的客车多少辆实践练习1 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果如果每人分两箱则剩余20箱如果每人分3箱则还缺20箱这个工厂有工人多少人2 据某《城市晚报》报道2004年2月16日中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约姚明作为麦当劳的形象代言人三年共获酬金1400万美元若后一年的酬金是前一年的两倍并且不考虑税金那么姚明第一年应得酬金为多少万美元例6男女生有若干人男生与女生数之比为4 3后来走了12名女生这时男生人数恰好是女生的2倍求原来的男生和女生人数实践练习1 已知求的值2 一个三位数的三个数字和是15十位数字是百位数字的2倍个位数字比十位数字的2倍还多1求这个三位数例7 甲乙两人骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行2小时相遇甲比乙每小时多走25千米求甲乙每小时各走多少千米实践练习1 一轮船在AB两港口之间航行顺水航行用3小时逆水航行比顺水航行多用30分钟轮船在静水中的速度是36千米小时问水流的速度是多少例8宋宋班上有40位同学他想在生日时请客因此到超市花了175元买果冻和巧克力共40个若果冻每20个15元巧克力每30个10元求他买了多少个果冻实践练习1 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺其中蓝布料每俄尺3卢布黑布料每俄尺5卢布两种布料各买了多少俄尺2 某单位开展植树活动由一人植树要80小时完成现由一部分人先植树5小时由于单位有紧急事情再增加2人且必须在4小时之内完成植树任务这些人的工作效率相同那么先安排了多少人植树练习二1 甲乙两站间的距离为365千米一列慢车从甲站开往乙站每小时行驶65千米慢车行驶1小时后另有一列快车从乙站开往甲站每小时行驶85千米快车行驶了几小时后与慢车相遇2 某种商品因换季准备打折出售如果按定价的七五折出售将赔25元而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价是多少3 聪聪到希望书店帮同学们买书售货员主动告诉他如果用20元钱办希望书店会员卡将享受八折优惠请问在这次买书中聪聪在什么情况下办会员卡与不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时怎么做合算办会员卡还是不办会员卡4 有一列数为147它的第个数是多少在这列数中取出三个连续数其和为48问这三个数分别是多少5 若是关于的方程的解解关于的方程6 当取什么整数时关于的方程的解是正整数7 某制衣厂接受一批服装订货任务按计划天数进行生产如果每天平均生产20套服装就比订货任务少生产100套如果每天生产23套衣服就可以超过订货任务20套问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成8 这里有一杯水第一次倒出一半后又倒出10毫升第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升这时杯子空了问杯子里原来有多少毫升水§2一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位而一元一次方程是代数方程中最基础的部分高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解因此掌握好这部分内容有助于我们学习一些复杂的方程 2 3 45 6 是常数 78 9______________________是方程____________________是一元一次方程例2 1 已知是一元一次方程则_______________2 已知是一元一次方程则_______________3 若关于的方程是一元一次方程则________________________________思考1已知是关于的一元一次方程则_______________思考2在关于的方程中解的情况当________时方程有唯一解当________时方程无解当________ ________时方程有无数个解例3已知则代数式______________思考3下列说法正确的是____________1 如果那么2 如果那么3 如果那么4 如果那么二解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1例4解下列一元一次方程12 34 56例5有四个数其中三个数之和分别为求此四个数例6已知则__________例7若关于的方程的解是整数则___________________解方程解方程解关于的方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程有无数多个解试求的值已知关于的方程有无数多个解试求的值已知方程有两个不同的解试求的值的方程的根是求的值11 已知关于的方程的解是求的值12若关于的方程的解为正整数求的值13 关于的方程和是同解方程求的值14 已知关于的方程和是同解方程求的值15已知关于的方程仅有正整数解并且和关于的方程是同解方程若求出这个方程可能的解16 1 解方程 2 解方程解方程解方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程无解试求的值关于的方程分别求当为何值时方程1有唯一解2有无数多个解3无解是关于的方程的解解关于的方程20 当取什么整数时关于的方程的解是正整数21 已知关于的方程和有相同的根求的值§3 一元一次方程的应用1列出一元一次方程解应用题的一般步骤是1弄清题意和题目中的已知数未知数及数量关系用字母如表示题目中的一个未知数2找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系3根据这个相等关系列出需要的代数式从而列出方程4解这个方程求出未知数的值5检验写出答案包括单位名称设未知数可分为直接设未知数间接设未知数两类直接设未知数指题目中为什么就设什么它多适用于要求的未知数只有一个的情况间接设未知数顾名思义就是问东设西迂回前进如求整体时可先设其某部分为求部分时又可设其整体为未知数求速度时先设路程为未知数求工作时间时设工作效率为未知数解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理2.几类应用题常用的策略1和差倍分问题抓住关键词列方程2形积变化问题利用各种几何图形的面积体积公式列出相等关系3行程问题i相遇相向问题双方所走路程之和全部路程ii追及同向问题如甲从相同出发点追及乙则相等关系一般是甲所走路程=乙所走路程iii航行问题注意航行速度与水风速的关系顺水速度=船在静水中的速度+水流速度逆水速度=船在静水中的速度-水流速度行程中的基本关系是其中表示距离表示速度表示时间4调配问题其等量关系反映在调动前后的数量关系上抓住相等几倍多少等词语常可找出相等关系5按比例分配问题若已知两个量之比是则可设其中一份为两量分别为6工程问题基本数量关系是工作量=工作效率×工作时间若工作量未给出具体数量则常设为17浓度配比问题基本数量关系是溶液重量=溶质重量+溶剂重量8商品销售问题利润=售价-进价售价=标价×销售折扣9数字问题注意区分数和数字两个概念多用间接设元的方式设某一数位上的数字为其他数位上数字用它的代数式表示在数的表示中注意各位上的数为10的幂的形式列方程解应用题是代数中的重要内容之一列出一元一次方程解应用题是数学联系实际解决实际问题迈出的重要一步例1一队学生从甲地到乙地速度为每小时8千米当行进2千米路后通讯员奉命回到甲地取东西他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后立即以同样速度追赶队伍结果在距乙地3千米处追上队伍求甲乙两地的距离取东西的时间不计实践练习1 一个人骑自行车从甲地到乙地如果每小时走10千米下午1点钟才能到达如果每小时走15千米上午11点钟就能到达要在中午12点钟到达乙地他每小时。
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1.有理数的相关概念整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5-互为相反数,即2.5是2.5-的相反数; 2.5-是2.5的相反数.在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5-的点与原点的距离是5,所以5-的绝对值是5,记作|5|5-=.一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数.这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4-C,那么这天的最高气温比最低气温高()A. 4 CB. 8 CC. 12 CD. 16 C例2.下列说法正确的是()A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0不是有理数例3.数,,x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是()A. 0x y z>>> B. 0y x z>>>C. 0y x z<<< D. 0x y z<<<例4.说出下列各数的相反数:16,-3,0,12007-,0.001,m,n-,m n-.例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .(填“A”、“B”、“C”或“D”)练习一1.有如下四个命题:①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数;②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数;③两个符号相反的分数之间至少有一个整数;④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列说服中正确的是( )A. 正整数和负整数统称为整数B. 正数和负数统称为有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等4. 下面四个命题中,正确的是( )A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上,点A 对应的数是-2006,点B 对应的数是+17,则A 、B 两点的距离是( )A. 1989B. 1999C. 2013D. 20236. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数-2006将与圆周上的数字 重合.7. 下列说法中错误的是( )A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.B. 数轴上原点表示数0.C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.8. 下列说法正确的是( )A. 有最大的整数B. 有最小的负数C. 有最大的正数D. 有最小的正整数练习二1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的图73210x 0-1-2-3-4-5A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方2. If we have 0,0<-<b a ba .and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )(英汉词典point :点.real number axis :实数轴.represent :表示.)3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是A. a+b+c>0B. c>|a+b|C. |a-c|=|a|+cD. |b-c|>|c-a4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是A. a,b 是正数,c<0B. a,c 是正数,b<0C. b,c 是正数,a<0D. a,c 是负数,b>05. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是A. 0ab >B. 0ab ≥C. 0ab <D. 0ab ≤6. a 为有理数,下列说法中正确的是A. 21()2007a +为正数B. 21()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007a +为正数7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )A. a+b+c+d 一定是正数.B. d+c-a-b 可能是负数.C. d-c-b-a 一定是正数.D. c-d-b-a 一定是正数.8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.§2. 有理数的运算-、知识提要1. 整数和分数统称为有理数.2. 有理数还可以这样定义: 形如p m(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.3. 有理数可以用数轴上的点表示.4. 零是正数和负数的分界点;零不是正数也不是负数.5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.6. 有理数的运算法则:(1) 加法:两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加;异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0;一个数与0相加,仍得这个数.(2) 减法:减去一个数等于加上这个数的相反数.(3) 乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;一个数与0相乘,积为0.乘方:求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a .(4) 除法:除以一个数等于乘以这个数的倒数.整数的运算律对有理数的运算也适合.二、例题与练习例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.例2. 13117(0.125)( 1.2)(1)3213-⨯-÷-⨯-=____________ .实践练习:1. 计算:4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.2. 计算:78(0.125)8-⨯.例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .例4. 314151617181()()()()()()4556677889910++++++++++-=_________.实践练习:1. 计算:9999999999991999999⨯+=__________ .2. 计算:112123()()233444++++++ 1234124849()()555550505050+++++++++=________ .3. 计算:11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b +=,则必有 ( )(A)210n n a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (B)21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(C)3210nn a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (D)212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.实践练习:1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( )(A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数.(C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( )(A) 0. (B) 1. (C) -1. (D) 2.练习三1. 计算:211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .2. 计算:200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .3. 计算:374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-.4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?§3. 有理数的巧算知识要点:整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.有理数运算是中学数学中一切运算的基础.它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算.不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性.四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除(除数不能为0),其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.有理数计算中常用到的一些等式如下:(1)11m n mn m n+=+;(2)()11111n n n n =-++;(3)()11m n n m n n m =-++ (4)()()22a b a b a b +=+-;(5)()11232n n n +++++=; (6)()()22221211236n n n n ++++++=例1:计算:()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦实践练习:1、计算:831.8216.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭2、计算:()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭3、计算:591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭例2.(1)计算:111112233419992000++++⨯⨯⨯⨯(2)计算:111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯实践练习:1、计算:1111599131317101105++++⨯⨯⨯⨯2、计算:131-127+209-3011+4213-56153、计算: 2222222271911119917191111991++++++++----例3.计算:2222222123499100101-+-++-+实践练习:1、计算:22222221949195019511952199719981999-+-++-+2、计算:222222222468101298100-+-+-++-3、计算:()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++练习四1、计算:237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、计算:137153163127255248163264128256+++++++3、计算:131-127+209-3011+4213-56154、计算:3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、计算:111111111357911131517612203042567290++++++++6、计算:2222222213579114951-+-+-++-7、计算:11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少?第二章 整式§1.单项式:1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ; (2)a bc ; (3)b 2; (4)-5a b 2; (5)y ; (6)-xy 2; (7)-5.2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式31a 2h,2πr,a bc,-m 的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由;如是,请指出它的系数和次数.①x +1; ②x1; ③πr 2; ④-23a 2b.例2.下面各题的判断是否正确?①-7xy 2的系数是7; ②-x 2y 3与x 3没有系数; ③-a b 3c 2的次数是0+3+2; ④-a 3的系数是-1; ⑤-32x 2y 3的次数是7; ⑥31πr 2h 的系数是31.注意:①圆周率π是常数;②当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写,如x 2,-a 2b 等; ③单项式次数只与字母指数有关.§2.多项式1.列代数式:(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ;(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______;(3)图中阴影部分的面积为_________;(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.2.观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a +b); (2)21+x ; (3)a +b ; (4)2a +4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式5232+-x x 有三项,它们是23x ,-2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意:(1)多项式的次数不是所有项的次数之和;多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断:①多项式a 3-a 2b+a b 2-b 3的项为a 3、a 2b、a b 2、b 3,次数为12; ②多项式3n 4-2n 2+1的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数:(1)3x -1+3x 2; (2)4x 3+2x -2y 2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3-x +1; (2)x 3-2x 2y 2+3y 2.例4.已知代数式3x n -(m -1)x +1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.课堂练习: ①填空:-45a 2b -34a b +1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .②已知代数式2x 2-mnx 2+y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.§3.多项式的升(降)幂排列请运用加法交换律,任意交换多项式x 2+x +1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?1.升幂排列与降幂排列:有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如:把多项式5x 2+3x -2x 3-1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成-2x 3+5x 2+3x -1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成-1+3x +5x 2-2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如:按x 降幂排列:例2.把多项式2πr -1+3πr 3-π2r 2按r 升幂排列.例3.把多项式a 3-b 3-3a 2b +3a b 2重新排列.(1)按a 升幂排列; (2)按a 降幂排列.想一想:观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式-1+2πx 2-x -x 3y 用适当的方式排列.例5.把多项式x 4-y 4+3x 3y -2xy 2-5x 2y 3用适当的方式排列.(1)按字母x 的升幂排列得: ; (2)按字母y 的升幂排列得: .小结:对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动;原首项省略的“+”号交换到后面时要添上;(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.§4.同类项创设问题情境⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,-mn 2, 5a ,-x 2y, 7mn 2,83, 9a , -32xy , 0, 0.4mn 2, 95,2xy 2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与-x 2y 可以归为一类,2xy 2与-32xy 可以归为一类,-mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一类,还有83、0与95也可以归为一类.8x 2y 与-x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1;同样地,2xy 2与-32xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83、0与95也是同类项.例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与-5a b 是同类项. ( )(3)3x 2y 与-31yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与-2a b 2c 是同类项. ( )(5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项:(1)3x -2y +1+3y -2x -5; (2)3x 2y -2xy 2+31xy 2-23yx 2.例3.k 取何值时,3x k y 与-x 2y 是同类项?例4.若把(s +t)、(s -t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)31(s +t)-51(s -t)-43(s +t)+61(s -t);(2)2(s -t)+3(s -t)2-5(s -t)-8(s -t)2+s -t.课堂练习:1.请写出2ab 2c 3的一个同类项.你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若2a m b 2m+3n 与a 2n -3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______§5.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问:①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x +25y)元.由此可得:把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x 2y -4xy 2-3+5x 2y +2xy 2+5种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x 2+3x 2=5x 4; (2)3x +2y=5xy ; (3)7x 2-3x 2=4; (4)9a 2b -9b a 2=0.例3.合并下列多项式中的同类项:(1) 2a 2b -3a 2b +0.5a 2b ; (2)a 3-a 2b +a b 2+a 2b -a b 2+b 3;(3)5(x +y)3-2(x -y)4-2(x +y)3+(y -x)4.例4.求多项式3x 2+4x -2x 2-x +x 2-3x -1的值,其中x=-3.试一试:把x =-3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?例1.化简下列各式: (1)8a+2b+(5a -b ); (2)(5a -3b )-3(a 2-2b ).(2)计算:5xy 2-[3xy 2-(4xy 2-2x 2y )]+2x 2y -xy 2. [5xy 2] 小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“-”号时,括号连同括号前面的“-”号去掉,括号里的各项都改变符号.去括号规律可以简单记为“-”变“+”不变,要变全都变.当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项.学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜:去括号,看符号:是“+”号,不变号;是“―”号,全变号.不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为:(1)如果有括号,那么先去括号.(2)如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.练习:一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.例2.计算:―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.3zy x ++,4xy,a1,22n m ,x 2+x+x1,0,xx 212-,m,―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数:a b,―x 2,53xy 5,353zy x-.3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x 的降幂排列:(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x); (2)―[―(―x+21)]―(x ―1);(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+21(2x 2―xy ―2y 2).5.化简、求值:5a b ―2[3a b ―(4a b 2+21a b)]―5a b 2,其中a =21,b=―32.6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―21,y=21时,这个多项式的值.7.如果关于x 的两个多项式42142ax x +-与35bxx +的次数相同,求3212342b b b -+-的值.第三章 一元一次方程§1.一元一次方程1. 定义:方程:含有未知数的等式称为方程.一元一次方程:方程中只含一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次),未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.解:解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.2. 等式的性质:性质1 等式两边加(或减)同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =(0c ≠),那么a bc c=. 3. 同解方程和方程的同解原理:(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.(2) 方程同解原理 Ⅰ:方程两边同时加上(或减去同一个数或同一个整式),所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅱ:方程两边同时乘以(或除以)同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅲ:方程()()0f x g x ⋅=与()0f x =或()0g x =是同解方程.4. 解一元一次方程的一般步骤:(1) 去分母;(2) 去括号;(3) 移项;(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =;(5) 方程两边同除以未知数的系数.解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定: (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解bx a=; (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数; (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.例1. 利用等式的性质解一元一次方程: (1)33x -=; (2)54x =-; (3)5(1)10y -=; (4)352a--=.例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解: (1)3x =; (2)8x =; (3)5y =.实践练习:1. 解方程:(1)3413x +=-; (2)2153x -=; (3)31342x x -=+.2. 解方程:200712233420072008x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.列简易方程解决问题例3. 根据下列条件列方程(1)x 的5倍比x 的2倍大12; (2)某数的23比它的相反数小5.实践练习:1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.(1)把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本;如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?(2)某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?练习一1. 解方程:(1)19969619x x -=-; (2)7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-.2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.4. 若关于x 的方程332xa x -=+的解是4,求22a a -的值.5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. (1)计时制:0.05元/分; (2)包月制:50元/月.此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学:店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?实践练习:1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人?2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.实践练习:1. 已知::2:3:4a b c--的值.a b ca b c=,27++=,求222. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?实践练习:1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?实践练习:1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?练习二1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米;慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?4. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?5. 若4y=是关于y的方程85()3ym y m+-=-的解,解关于x的方程(32)m-+50 m-=.6. 当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数?7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套;如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升;第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?§2.一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.一.方程及一元一次方程的概念1.含有未知数的等式叫做方程.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x=; (5) 2620xx +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x ++=是一元一次方程,则m =_______________.(3)若关于x 的方程232(28)6n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________. 【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则m =_______________.【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解;当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.【例3】已知2235xx +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c=. 二.解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1【例4】解下列一元一次方程:(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;(2)223146x x +--=; (3) 2121116518615x x x x -+---=-;(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(6)0.10.2130.020.5x x ---=.【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.【例6】已知227a b c a b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k=___________________.1.解方程:()()()()24517332x x x x +--=+--2.解方程:()()()()1131121132x x x x +--=--+ 3.解方程:2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4解关于x 的方程:()()0ax b a b -+=5.解关于x 的方程:1mx nx -=6.解关于x 的方程:2421m x mx -=+7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.8已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.9.已知方程32ax x b +=-有两个不同的解,试求()1999a b +的值.10.关于x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.11. 已知关于x 的方程332x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.12.若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.13. 关于x 的方程350mx +=和20x n +=是同解方程,求2()mn 的值.14. 已知关于x 的方程21()1(2)532a x a x -+=---和3()5()1232a x x a -=-+是同解方程,求a 的值.15已知关于x 的方程(3)81a b x b -=-仅有正整数解,并且和关于x 的方程(3)81b a x a -=-是同解方程,若0a ≥,220a b +≠,求出这个方程可能的解.16.(1) 解方程:3834122x x +--= (2) 解方程:211132x x +--=(3). 解方程:()()()()11323327322332x x x x ---=--- (4). 解方程:111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(5). 解关于x 的方程:()()11234m x n x m -=+(6). 解关于x 的方程:()()1223m x n x +=+17. 已知关于x 的方程()3321x a x -=+无解,试求a 的值.18. 关于x 的方程43mx x n +=-,分别求当,m n 为何值时,方程:(1)有唯一解;(2)有无数多个解;(3)无解.19. 若4y =是关于y 的方程85()3y m y m +-=-的解,解关于x 的方程(32)m x -+ 50m -=.20. 当m取什么整数时,关于x的方程1514()2323mx x-=-的解是正整数?21. 已知关于x的方程mx113227=-和mx22=+有相同的根,求m的值§3. 一元一次方程的应用知识要点1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是:(1)弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母(如x)表示题目中的一个未知数.(2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.(3)根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.(4)解这个方程,求出未知数的值.(5)检验、写出答案(包括单位名称).设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为x;求部分时,又可设其整体为未知数;求速度时,先设路程为未知数;求工作时间时设工作效率为未知数.解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.2.几类应用题常用的策略(1)和、差、倍、分问题:抓住关键词列方程.(2)形积变化问题:利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.(3)行程问题(i)相遇(相向)问题:双方所走路程之和=全部路程。
初中数学辅导讲义01初中数学辅导讲义(适用于课外辅导班)2016.06.062一、初中数学知识点七年级上知识点七年级上知识点第一章有理数一.知识框架34二.知识概念1.有理数:(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数,都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意:0即不是正数,也不是负数;-a 不一定是负数,+a 也不一定是正数;π不是有理数;(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2.数轴:数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数:(1)只有符号不同的两个数,我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值:(1)正数的绝对值是其本身,0的绝对值是0,负数的绝对值5 是它的相反数;注意:绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2) 绝对值可表示为:⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ;绝对值的问题经常分类讨论;5.有理数比大小:(1)正数的绝对值越大,这个数越大;(2)正数永远比0大,负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小,绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数,右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0.6.互为倒数:乘积为1的两个数互为倒数;注意:0没有倒数;若 a ≠0,那么a 的倒数是a1;若ab=1⇔ a 、b 互为倒数;若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则:(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;(2)异号两数相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加,仍得这个数.8.有理数加法的运算律:(1)加法的交换律:a+b=b+a ;(2)加法的结合律:(a+b )+c=a+(b+c ).9.有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).10 有理数乘法法则:(1)两数相乘,同号为正,异号为负,并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘,有一个因式为零,积为零;各个因式都不为零,积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律:(1)乘法的交换律:ab=ba;(2)乘法的结合律:(ab)c=a (bc);(3)乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac .12.有理数除法法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,无意义a.即13.有理数乘方的法则:(1)正数的任何次幂都是正数;(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;注意:当n为正奇数时: (-a)n=-a n或(a -b)n=-(b-a)n, 当n为正偶数时: (-a)n =a n 或(a-b)n=(b-a)n .14.乘方的定义:(1)求相同因式积的运算,叫做乘方;(2)乘方中,相同的因式叫做底数,相同因式的个数叫做指数,乘方的结果叫做幂;615.科学记数法:把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则:先乘方,后乘除,最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念,在实际生活和学习数轴的基础上,理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
目录第01讲与有理数有关的概念(2--8)第02讲有理数的加减法(3--15)第03讲有理数的乘除、乘方(16--22)第04讲整式(23--30)第05讲整式的加减(31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系(一)(101--106)第15讲平面直角坐标系(二)(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式(组)的应用(156--164)第22讲一元一次不等式(组)与方程(组)的结合(165--174) 第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想.3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( )A . -18%B . -8%C . +2%D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( )A . -5吨B . +5吨C . -3吨D . +3吨03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l 5:00,纽约时问是____【例2】在-227,π,0.033.3这四个数中有理数的个数( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数分类,有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C .【变式题组】01.在7,0.1 5,-12,-301.31.25,-18,100.l ,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 .02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置15,-19,215,-138,0.1.-5.32,123, 2.333【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14.-15,16,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.击归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007.【变式题组】 01.(湖北宜宾)数学解密:第一个数是3=2 +1,第二个数是5=3 +2,第三个数是9=5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想第六个数是 . 02.(毕节)毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法,如图则?填____. 03.(茂名)有一组数l ,2,5,10,17,26…请观察规律,则第8个数为____.【例4】(2008年河北张家口)若l +m2的相反数是-3,则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义,代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数,本题m2=-4,m =-8【变式题组】 01.(四川宜宾)-5的相反数是( )A .5B . 15C . -5D . -1502.已知a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,则a +b +cd =______03.如图为一个正方体纸盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数,使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数,则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A . - 1 ,2,0B . 0,-2,1C . -2,0,1D . 2,1,0 【例5】(湖北)a 、b 为有理数,且a >0,b <0,|b |>a ,则a ,b 、-a ,-b 的大小顺序是( )A . b <-a <a <-bB . –a <b <a <-bC . –b <a <-a <bD . –a <a <-b <b【解法指导】理解绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |=0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想,画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出-b ,-a ,故选A .【变式题组】01.推理①若a =b ,则|a |=|b |;②若|a |=|b |,则a =b ;③若a ≠b ,则|a |≠|b |;④若|a |≠|b |,则a ≠b ,其中正确的个数为( )A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个 02.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,则|a |a +|b |b +|c |c= .03.a 、b 、c 为不等于O 的有理散,则a |a |+b |b |+c|c |的值可能是____.【例6】(江西课改)已知|a -4|+|b -8|=0,则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用,因为任何有理数a 的绝对值都是非负数,即|a |≥0.所以|a -4|≥0,|b -8|≥0.而两个非负数之和为0,则两数均为0.解:因为|a -4|≥0,|b -8|≥0,又|a -4|+|b -8|=0,∴|a -4|=0,|b -8|=0即a -4=0,b -8=0,a =4,b =8.故a +b ab =1232=38【变式题组】01.已知|a |=1,|b |=2,|c |=3,且a >b >c ,求a +b +C . 02.(毕节)若|m -3|+|n +2|=0,则m +2n 的值为( )A . -4B . -1C . 0D . 403.已知|a |=8,|b |=2,且|a -b |=b -a ,求a 和b 的值【例7】(第l 8届迎春杯)已知(m +n )2+|m |=m ,且|2m -n -2|=0.求mn 的值.【解法指导】本例关键是通过分析(m +n )2+|m |的符号,挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m +n )2=0,|2m -n -2|=0,找到解题途径.解:∵(m +n )2≥0,|m |≥O∴(m +n )2+|m |≥0,而(m +n )2+|m |=m∴ m ≥0,∴(m +n )2+m =m ,即(m +n )2=0 ∴m +n =O ① 又∵|2m -n -2|=0 ∴2m -n -2=0 ②由①②得m =23,n =-23,∴ mn =-49【变式题组】 01.已知(a +b )2+|b +5|=b +5且|2a -b –l |=0,求a -B . 02.(第16届迎春杯)已知y =|x -a |+|x +19|+|x -a -96|,如果19<a <96.a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01.观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A . 156B . 172C . 190D . 111002.(芜湖)-6的绝对值是( )A . 6B . -6C . 16D . -1603.在-227,π,8..0.3四个数中,有理数的个数为( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 04.若一个数的相反数为a +b ,则这个数是( )A . a -bB . b -aC . –a +bD . –a -b 05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是( )A . 0和6B . 0和-6C . 3和-3D . 0和3 06.若-a 不是负数,则a ( )A . 是正数B . 不是负数C . 是负数D . 不是正数 07.下列结论中,正确的是( )①若a =b ,则|a |=|b | ②若a =-b ,则|a |=|b | ③若|a |=|b |,则a =-b ④若|a |=|b |,则a =b A . ①② B . ③④ C . ①④ D . ②③08.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ,-a ,|b |的大小关系正确的是( )A . |b |>a >-a >bB . |b | >b >a >-aC . a >|b |>b >-aD . a >|b |>-a >b09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后,得到它的相反数的对应点,则这个数是____.10.已知|x +2|+|y +2|=0,则xy =____.11.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,求|a |a +|b |b +|abc |abc +|c |c12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a +b 也可以表示成0、b 、ba的形式,试求a 、b 的值.13.已知|a |=4,|b |=5,|c |=6,且a >b >c ,求a +b -C .14.|a|具有非负性,也有最小值为0,试讨论:当x为有理数时,|x-l|+|x-3|有没有最小值,如果有,求出最小值;如果没有,说明理由.15.点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a-b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|.回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 , ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;⑵数轴上表示x和-1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x=;⑶当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是.培优升级·奥赛检测01.(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为199919的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A . 1998B . 1999C . 2000D . 2001 02.(第l 8届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示,有下列四个结论:①abc <0;②|a -b |+|b -c |=|a -c |;③(a -b )(b -c )(c -a )>0;④|a |<1-bc .其中正确的结论有( )A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个03.如果a 、b 、c 是非零有理数,且a +b +c =0.那么a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |的所有可能的值为( )A . -1B . 1或-1C . 2或-2D . 0或-2 04.已知|m |=-m ,化简|m -l |-|m -2|所得结果( )A . -1B . 1C . 2m -3D . 3- 2m05.如果0<p <15,那么代数式|x -p |+|x -15|+|x -p -15|在p ≤x ≤15的最小值( )A . 30B . 0C . 15D . 一个与p 有关的代数式 06.|x +1|+|x -2|+|x -3|的最小值为 .07.若a >0,b <0,使|x -a |+|x -b |=a -b 成立的x 取值范围 . 08.(武汉市选拔赛试题)非零整数m 、n 满足|m |+|n |-5=0所有这样的整数组(m ,n )共有 组 09.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m +|n |n +|p |p =1.则2mnp|3mnp |= .10.(19届希望杯试题)试求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -1997|的最小值.11.已知(|x +l |+|x -2|)(|y -2|+|y +1|)(|z -3|+|z +l |)=36,求x +2y +3的最大值和最小值.12.电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位得k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k2向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94,试求k0所表示的数.13.某城镇,沿环形路上依次排列有五所小学,它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台,14台,为使各学校里电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小?并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1.理解有理数加法法则,了解有理数加法的实际意义.2.准确运用有理数加法法则进行运算,能将实际问题转化为有理数的加法运算.3.理解有理数减法与加法的转换关系,会用有理数减法解决生活中的实际问题.4.会把加减混合运算统一成加法运算,并能准确求和.经典·考题·赏析【例1】(河北唐山)某天股票A开盘价18元,上午11:30跌了1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,则股票A这天的收盘价为()A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时,首先将具有相反意义的量确定一个为正,另一个为负,其次在计算时正确选择加法法则,是同号相加,取相同符号并用绝对值相加,是异号相加,取绝对值较大符号,并用较大绝对值减去较小绝对值.解:18+(-1.5)+(0.3)=16.8,故选C.【变式题组】01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中,延安市最低气温为-6℃,西安市最低气温2℃,这一天延安市的最低气温比西安低()A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃02.(河南)飞机的高度为2400米,上升250米,又下降了327米,这是飞机的高度为__________03.(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848m,吐鲁番海拔高度为-155 m,则它们的平均海拔高度为__________【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)【解法指导】应用加法运算简化运算,-83与-17相加可得整百的数,+26与-26互为相反数,相加为0,有理数加法常见技巧有:⑴互为相反数结合一起;⑵相加得整数结合一起;⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起;⑷相同符号的数结合一起.解:(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+15=-85【变式题组】01.(-2.5)+(-312)+(-134)+(-114)02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)03.0.125+314+(-318)+1123+(-0.25)【例3】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项,然后邻项相消进行化简求和.解:原式=1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-=111111112233420082009-+-+-++-=112009-=20082009【变式题组】01.计算1+(-2)+3+(-4)+ … +99+(-100)02.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++=__________. 【例4】如果a <0,b >0,a +b <0A .a >b >-b >-a B .a >-a >b >-b C .b >a >-b >-a D .-a >b >-b >a【解法指导】紧扣有理数加法法则,由两加数及其和的符号,确定两加数的绝对值的大小,然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来,即可得出结论.解:∵a <0,b >0,∴a +b 是异号两数之和又a +b <0,∴a 、b 中负数的绝对值较大,∴| a |>| b |将a 、b 、-a 、-b 表示在同一数轴上,如图,则它们的大小关系是-a >b >-b>a【变式题组】01.若m >0,n <0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号) 02.若m <0,n >0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号)03.已知a <0,b >0,c <0,且| c |>| b |>| a |,试比较a 、b 、c 、a +b 、a +c 的大小【例5】425-(-33311)-(-1.6)-(-21811) 【解法指导】有理数减法的运算步骤:⑴依有理数的减法法则,把减号变为加号,并把减数变为它的相反数;⑵利用有理数的加法法则进行运算.解:425-(-33311)-(-1.6)-(-21811)=425+33311+1.6+21811=4.4+1.6+(33311+21811)=6+55=61【变式题组】01.21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02.434-(+3.85)-(-314)+(-3.15)03.178-87.21-(-43221)+1531921-12.79【例6】试看下面一列数:25、23、21、19…⑴观察这列数,猜想第10个数是多少?第n个数是多少?⑵这列数中有多少个数是正数?从第几个数开始是负数?⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律,应该从特殊到一般,找到前面几个数的规律,通过观察推理、猜想出第n个数的规律,再用其它的数来验证.解:⑴第10个数为7,第n个数为25-2(n-1)⑵∵n=13时,25-2(13-1)=1,n=14时,25-2(14-1)=-1故这列数有13个数为正数,从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+…+(15+11)+13=26×6+13=169【变式题组】01.(杭州)观察下列等式1-12=12,2-25=85,3-310=2710,4-417=6417…依你发现的规律,解答下列问题.⑴写出第5个等式;⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少?02.观察下列等式的规律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20⑴用关于n(n≥1的自然数)的等式表示这个规律;⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例7】(第十届希望杯竞赛试题)求12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+3 5+45)+…+(150+250+…+4850+4950)【解法指导】观察式中数的特点发现:若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加,这样极大简化计算了.解:设S=12+(13+23)+(14+24+34)+…+(150+250+…+4850+4950)则有S=12+(23+13)+(34+24+14)+…+(4950+4850+…+250+150)将原式和倒序再相加得2S=12+12+(13+23+23+13)+(14+24+34+34+24+14)+…+(150+2 50+…+4850+4950+4950+4850+…+250+150)即2S=1+2+3+4+ (49)49(491)2⨯+=1225 ∴S=12252【变式题组】01.计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+21002.(第8届希望杯试题)计算(1-12-13-…-12003)(12+13+14+…+12003+1 2004)-(1-12-13-…-12004)(12+13+14+…+12003)演练巩固·反馈提高01.m是有理数,则m+|m|()A.可能是负数B.不可能是负数C.比是正数D.可能是正数,也可能是负数02.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|为()A. 5 B.1 C.1或5 D.±1或±5 03.在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是()A. 1 B.0 C.-1 D.-3 04.两个有理数的和是正数,下面说法中正确的是()05.下列等式一定成立的是()A.|x|-x=0 B.-x-x=0 C.|x|+|-x|=0 D.|x|-|x|=0 06.一天早晨的气温是-6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是()A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃07.若a<0,则|a-(-a)|等于()A.-a B.0 C.2a D.-2a08.设x是不等于0的有理数,则||||2x xx值为()A.0或1 B.0或2 C.0或-1 D.0或-2 09.(济南)2+(-2)的值为__________10.用含绝对值的式子表示下列各式:⑴若a<0,b>0,则b-a=__________,a-b=__________⑵若a>b>0,则|a-b|=__________⑶若a<b<0,则a-b=__________11.计算下列各题:⑴23+(-27)+9+5 ⑵-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25⑶-0.5-314+2.75-712⑷33.1-10.7-(-22.9)-|-2310|12.计算1-3+5-7+9-11+…+97-9913.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,规定前进为正,后退为负,某天从A地出发到收工时所走的路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,-2,-8,+13,-7,+12,+7,+5⑴问收工时距离A地多远?⑵若每千米耗油0.2千克,问从A地出发到收工时共耗油多少千克?14.将1997减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,再减去余下的15……以此类推,直到最后减去余下的11997,最后的得数是多少?15.独特的埃及分数:埃及同中国一样,也是世界著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如13+115来表示25,用14+17+128表示37等等.现有90个埃及分数:12,13,14,15,…190,191,你能从中挑出10个,加上正、负号,使它们的和等于-1吗?培优升级·奥赛检测01.(第16届希望杯邀请赛试题)1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于( ) A .14 B .14- C .12 D .12- 02.自然数a 、b 、c 、d 满足21a +21b +21c +21d =1,则31a +41b +51c+61d 等于( ) A .18 B .316 C .732 D .1564 03.(第17届希望杯邀请赛试题)a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数,且abcd =441,则a +b +c +d 值是( )A .30B .32C .34D .3604.(第7届希望杯试题)若a =1995199519961996,b =1996199619971997,c =1997199719981998,则a 、b 、c534333231305.11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为( )A .1B .2C .3D .406.(-2)2004+3×(-2)2003的值为( )A .-22003B .22003C .-22004D .2200407.(希望杯邀请赛试题)若|m |=m +1,则(4m +1)2004=__________ 08.12+(13+23)+(14+24+34)+ … +(160+260+…+5960)=__________ 09.19191976767676761919-=__________ 10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=__________11.求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12.已知(a +b )2+|b +5|=b +5,且|2a -b -1|=0,求aB .13.计算(11998-1)(11997-1) (11996-1) … (11001-1) (11000-1)14.请你从下表归纳出13+23+33+43+...+n 3的公式并计算出13+23+33+43+ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1.理解有理数的乘法法则以及运算律,能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算,会利用运算律简化乘法运算.2.掌握倒数的概念,会运用倒数的性质简化运算.3.了解有理数除法的意义,掌握有理数的除法法则,熟练进行有理数的除法运算.4.掌握有理数乘除法混合运算的顺序,以及四则混合运算的步骤,熟练进行有理数的混合运算.5.理解有理数乘方的意义,掌握有理数乘方运算的符号法则,进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例1】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则,正确运用法则,一是要体会并掌握乘法的符号规律,二是细心、稳妥、层次清楚,即先确定积的符号,后计算绝对值的积. 解:⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01.⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02.24(9)5025-⨯ 3.1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04.111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A .a >0,b <0B .a <0,b >0C .a 、b 异号D .a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则,异号为负,故a 、b 异号,又依加法法则,异号相加取绝对值较大数的符号,可得出判断.解:由ab <0知a 、b 异号,又由a +b <0,可知异号两数之和为负,依加法法则得负数的绝对值较大,选D .【变式题组】01.若a +b +c =0,且b <c <0,则下列各式中,错误的是( )A .a +b >0B .b +c <0C .ab +ac >0D .a +bc >002.已知a +b >0,a -b <0,ab <0,则a___________0,b___________0,|a|___________|b|. 03.(山东烟台)如果a +b <0,0b a>,则下列结论成立的是( ) A .a >0,b >0 B .a <0,b <0 C .a >0,b <0 D .a <0,b >004.(广州)下列命题正确的是( )A .若ab >0,则a >0,b >0B .若ab <0,则a <0,b <0C .若ab =0,则a =0或b =0D .若ab =0,则a =0且b =0【例3】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时,若不能整除,应用法则1,先把除法转化成乘法,再确定符号,然后把绝对值相乘,要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除,应用法则2,可直接确定符号,再把绝对值相除.解:⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01.⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02.⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03.113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例4】(茂名)若实数a 、b 满足0a b +=,则ab =___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论,得出a 、b 的取值范围,进一步代入结论得出结果.解:当ab >0,2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩; 当ab <0,0a b a b+=,∴ab <0,从而ab ab =-1. 【变式题组】01.若k 是有理数,则(|k|+k )÷k 的结果是( )A .正数B .0C .负数D .非负数02.若A .b 都是非零有理数,那么ab a b a b ab ++的值是多少?03.如果0x y x y +=,试比较x y -与xy 的大小.【例5】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值; ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘,根据乘方的符号法则,如果a 为正数,正数的任何次幂都是正数,如果a 是负数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.解:∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时,200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时,20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时,332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时,3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01.(北京)若2(2)0m n m -+-=,则nm 的值是___________.02.已知x 、y 互为倒数,且绝对值相等,求()n n x y --的值,这里n 是正整数.【例6】(安徽)2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书,减轻了农民的负担,135万用科学记数法表示为( )A .0.135×106B .1.35×106C .0.135×107D .1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式,其中a 的整数位数是1位.故答案选B .【变式题组】01.(武汉)武汉市今年约有103000名学生参加中考,103000用科学记数法表示为( )A .1.03×105B .0.103×105C .10.3×104D .103×10302.(沈阳)沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩,253万亩用科学记数法表示正确的是( )A .25.3×105亩B .2.53×106亩C .253×104亩D .2.53×107亩【例7】(上海竞赛)222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式=22(50)50k -+ 原式=2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ =222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ =49222+1++⋅⋅⋅+个=99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A .31003 B .31004 C .1334 D .1100002.(第10届希望杯试题)已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01.三个有理数相乘,积为负数,则负因数的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .1个或3个 02.两个有理数的和是负数,积也是负数,那么这两个数( )A .互为相反数B .其中绝对值大的数是正数,另一个是负数C .都是负数D .其中绝对值大的数是负数,另一个是正数 03.已知abc >0,a >0,ac <0,则下列结论正确的是( )A .b <0,c >0B .b >0,c <0C .b <0,c <0D .b >0,c >004.若|ab |=ab ,则( )A .ab >0B .ab ≥0C .a <0,b <0D .ab <005.若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,则代数式a b m cd m +-+的值为( )A .-3B .1C .±3D .-3或106.若a >1a,则a 的取值范围( ) A .a >1 B .0<a <1 C .a >-1 D .-1<a <0或a >1 07.已知a 、b 为有理数,给出下列条件:①a +b =0;②a -b =0;③ab <0;④1a b =-,其中能判断a 、b 互为相反数的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个08.若ab≠0,则a b a b+的取值不可能为( ) A .0 B .1 C .2 D .-209.1110(2)(2)-+-的值为( )A .-2B .(-2)21C .0D .-21010.(安徽)2010年一季度,全国城镇新增就业人数289万人,用科学记数法表示289万正确的是( )A .2.89×107B .2.89×106C .2.89×105D .2.89×10411.已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ,它们的积abcd =9,则a +b +c +d =___________.12.21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-(n 为自然数)=___________.13.如果2x y x y +=,试比较x y-与xy 的大小.14.若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-,求abc abc的值.15.若a 、b 、c 均为整数,且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01.已知有理数x 、y 、z 两两不相等,则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .0个或2个 02.计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测201021-的个位数字是( )A .1B .3C .7D .5 03.已知23450ab c d e <,下列判断正确的是( )A .abcde <0B .ab 2cd 4e <0 C .ab 2cde <0 D .abcd 4e <0 04.若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等,则|y |-|x |的值是( ) A .12-B .0C .12D .3205.若A =248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++,则A -1996的末位数字是( )A .0B .1C .7D .9 06.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是( )A .2B .1C .0D .-1 07.已知5544332222,33,55,66a b c d ====,则a 、b 、c 、d 大小关系是( )A .a >b >c >dB .a >b >d >cC .b >a >c >dD .a >d >b >c 08.已知a 、b 、c 都不等于0,且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ,最小值为n ,则2005()m n +=___________. 09.(第13届“华杯赛”试题)从下面每组数中各取一个数将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组:15,3,4.25,5.753- 第二组:112,315-第三组:52.25,,412-10.一本书的页码从1记到n ,把所有这些页码加起来,其中有一页码被错加了两次,结果得出了不正确的和2002,这个被加错了两次的页码是多少? 11.(湖北省竞赛试题)观察按下列规律排成一列数:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,23,42,51,16,…(*),在(*)中左起第m 个数记为F(m),当F(m)=12001时,求m 的值和这m 个数的积.12.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数:11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中,使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值.13.(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数,并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明:⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=,求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2.掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3.掌握整式的概念,会判断一个代数式是否为整式.4.了解整式读、写的约定俗成的一般方法,会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式,如果不是请简要说明理由,如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式,单独一个数或一个字母也是单项式,数字的次数为0,错误!未找到引用源。
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图:数二、绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。
也可以写成:()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于(A)A .-3aB . 2c -aC .2a -2bD . b 解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想,由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。
例2.已知:z x <<0,0>xy ,且x z y >>, 那么y x z y z x --+++的值( C )A .是正数B .是负数C .是零D .不能确定符号 解:由题意,x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示:所以分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。
七年级数学培训资料Word版上下册目录第01讲与有理数有关的概念(2--8)第02讲有理数的加减法(3--15)第03讲有理数的乘除、乘方(16--22)第04讲整式(23--30)第05讲整式的加减(31--36)第06讲一元一次方程概念和等式性质(37--43)第07讲一元一次方程解法(44--51)第08讲实际问题与一元一次方程(52--59)第09讲多姿多彩的图形(60--68)第10讲直线、射线、线段(69--76)第11讲角(77--82)第12讲与相交有关概念及平行线的判定(83--90)第13讲平行线的性质及其应用(91--100)第14讲平面直角坐标系(一)(101--106)第15讲平面直角坐标系(二)(107--112)第16讲认识三角形(113--119)第17讲认识多边形(120--126)第18讲二元一次方程组及其解法(127--134)第19讲实际问题与二元一次方程组(135--145)第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)第21讲一元一次不等式(组)的应用(156--164)第22讲一元一次不等式(组)与方程(组)的结合(165--174)第23讲数据的收集与整理(175--186)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第1讲 与有理数有关的概念考点·方法·破译1.了解负数的产生过程,能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2.会进行有理的分类,体会并运用数学中的分类思想.3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小,会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前-7米⑵收人-50元⑶体重增加-3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量.而相反意义的量包合两个要素:一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两,如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解:⑴向前-7米表示向后7米⑵收入-50元表示支出50元⑶体重增加-3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01.如果+10%表示增加10%,那么减少8%可以记作( )A . -18%B . -8%C . +2%D . +8% 02.(金华)如果+3吨表示运入仓库的大米吨数,那么运出5吨大米表示为( )A . -5吨B . +5吨C . -3吨D . +3吨03.(山西)北京与纽约的时差-13(负号表示同一时刻纽约时间比北京晚).如现在是北京时间l 5:00,纽约时问是____【例2】在-227,π,0.033.3这四个数中有理数的个数( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个【解法指导】有理数的分类:⑴按正负性分类,有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数;按整数、分数分类,有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数;其中分数包括有限小数和无限循环小数,因为π=3.1415926…是无限不循环小数,它不能写成分数的形式,所以π不是有理数,-227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式,0是整数,所以都是有理数,故选C .【变式题组】01.在7,0.1 5,-12,-301.31.25,-18,100.l ,-3 001中,负分数为 ,整数为 ,正整数 .02.(河北秦皇岛)请把下列各数填入图中适当位置15,-19,215,-138,0.1.-5.32,123, 2.333【例3】(宁夏)有一列数为-1,12,-13,14.-15,16,…,找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律,首先找出不变量和变量,再依变量去发现规律.击归纳去猜想,然后进行验证.解本题会有这样的规律:⑴各数的分子部是1;⑵各数的分母依次为1,2,3,4,5,6,…⑶处于奇数位置的数是负数,处于偶数位置的数是正数,所以第2007个数的分子也是1.分母是2007,并且是一个负数,故答案为-12007.【变式题组】 01.(湖北宜宾)数学解密:第一个数是3=2 +1,第二个数是5=3 +2,第三个数是9=5+4,第四十数是17=9+8…观察并精想第六个数是 . 02.(毕节)毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法,如图则?填____. 03.(茂名)有一组数l ,2,5,10,17,26…请观察规律,则第8个数为____.【例4】(2008年河北张家口)若l +m2的相反数是-3,则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义,代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义:在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数,本题m2=-4,m =-8【变式题组】 01.(四川宜宾)-5的相反数是( )A .5B . 15C . -5D . -1502.已知a 与b 互为相反数,c 与d 互为倒数,则a +b +cd =______03.如图为一个正方体纸盒的展开图,若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数,使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数,则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A . - 1 ,2,0B . 0,-2,1C . -2,0,1D . 2,1,0 【例5】(湖北)a 、b 为有理数,且a >0,b <0,|b |>a ,则a ,b 、-a ,-b 的大小顺序是( )A . b <-a <a <-bB . –a <b <a <-bC . –b <a <-a <bD . –a <a <-b <b【解法指导】理解绝对值的几何意义:一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a |,用式子表示为|a |=0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想,画一条数轴标出a 、b ,依相反数的意义标出-b ,-a ,故选A .【变式题组】01.推理①若a =b ,则|a |=|b |;②若|a |=|b |,则a =b ;③若a ≠b ,则|a |≠|b |;④若|a |≠|b |,则a ≠b ,其中正确的个数为( )A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个 02.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,则|a |a +|b |b +|c |c= .03.a 、b 、c 为不等于O 的有理散,则a |a |+b |b |+c|c |的值可能是____.【例6】(江西课改)已知|a -4|+|b -8|=0,则a +bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用,因为任何有理数a 的绝对值都是非负数,即|a |≥0.所以|a -4|≥0,|b -8|≥0.而两个非负数之和为0,则两数均为0.解:因为|a -4|≥0,|b -8|≥0,又|a -4|+|b -8|=0,∴|a -4|=0,|b -8|=0即a -4=0,b -8=0,a =4,b =8.故a +b ab =1232=38【变式题组】01.已知|a |=1,|b |=2,|c |=3,且a >b >c ,求a +b +C . 02.(毕节)若|m -3|+|n +2|=0,则m +2n 的值为( )A . -4B . -1C . 0D . 403.已知|a |=8,|b |=2,且|a -b |=b -a ,求a 和b 的值【例7】(第l 8届迎春杯)已知(m +n )2+|m |=m ,且|2m -n -2|=0.求mn 的值.【解法指导】本例关键是通过分析(m +n )2+|m |的符号,挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m +n )2=0,|2m -n -2|=0,找到解题途径.解:∵(m +n )2≥0,|m |≥O∴(m +n )2+|m |≥0,而(m +n )2+|m |=m∴ m ≥0,∴(m +n )2+m =m ,即(m +n )2=0 ∴m +n =O ① 又∵|2m -n -2|=0 ∴2m -n -2=0 ②由①②得m =23,n =-23,∴ mn =-49【变式题组】 01.已知(a +b )2+|b +5|=b +5且|2a -b –l |=0,求a -B . 02.(第16届迎春杯)已知y =|x -a |+|x +19|+|x -a -96|,如果19<a <96.a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01.观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A . 156B . 172C . 190D . 111002.(芜湖)-6的绝对值是( )A . 6B . -6C . 16D . -1603.在-227,π,8..0.3四个数中,有理数的个数为( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 04.若一个数的相反数为a +b ,则这个数是( )A . a -bB . b -aC . –a +bD . –a -b 05.数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6,这两个数是( )A . 0和6B . 0和-6C . 3和-3D . 0和3 06.若-a 不是负数,则a ( )A . 是正数B . 不是负数C . 是负数D . 不是正数 07.下列结论中,正确的是( )①若a =b ,则|a |=|b | ②若a =-b ,则|a |=|b | ③若|a |=|b |,则a =-b ④若|a |=|b |,则a =b A . ①② B . ③④ C . ①④ D . ②③08.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ,-a ,|b |的大小关系正确的是( )A . |b |>a >-a >bB . |b | >b >a >-aC . a >|b |>b >-aD . a >|b |>-a >b09.一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后,得到它的相反数的对应点,则这个数是____.10.已知|x +2|+|y +2|=0,则xy =____.11.a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图,求|a |a +|b |b +|abc |abc +|c |c12.若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a +b 也可以表示成0、b 、ba的形式,试求a 、b 的值.13.已知|a |=4,|b |=5,|c |=6,且a >b >c ,求a +b -C .14.|a|具有非负性,也有最小值为0,试讨论:当x为有理数时,|x-l|+|x-3|有没有最小值,如果有,求出最小值;如果没有,说明理由.15.点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a-b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|.回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 , ,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;⑵数轴上表示x和-1的两点分别是点A和B,则A、B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x=;⑶当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时,相应的x的取值范围是.培优升级·奥赛检测01.(重庆市竞赛题)在数轴上任取一条长度为199919的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A . 1998B . 1999C . 2000D . 2001 02.(第l 8届希望杯邀请赛试题)在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示,有下列四个结论:①abc <0;②|a -b |+|b -c |=|a -c |;③(a -b )(b -c )(c -a )>0;④|a |<1-bc .其中正确的结论有( )A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个03.如果a 、b 、c 是非零有理数,且a +b +c =0.那么a |a |+b |b |+c |c |+abc|abc |的所有可能的值为( )A . -1B . 1或-1C . 2或-2D . 0或-2 04.已知|m |=-m ,化简|m -l |-|m -2|所得结果( )A . -1B . 1C . 2m -3D . 3- 2m05.如果0<p <15,那么代数式|x -p |+|x -15|+|x -p -15|在p ≤x ≤15的最小值( )A . 30B . 0C . 15D . 一个与p 有关的代数式 06.|x +1|+|x -2|+|x -3|的最小值为 .07.若a >0,b <0,使|x -a |+|x -b |=a -b 成立的x 取值范围 . 08.(武汉市选拔赛试题)非零整数m 、n 满足|m |+|n |-5=0所有这样的整数组(m ,n )共有 组 09.若非零有理数m 、n 、p 满足|m |m +|n |n +|p |p =1.则2mnp|3mnp |= .10.(19届希望杯试题)试求|x -1|+|x -2|+|x -3|+…+|x -1997|的最小值.11.已知(|x +l |+|x -2|)(|y -2|+|y +1|)(|z -3|+|z +l |)=36,求x +2y +3的最大值和最小值.12.电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位得k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k2向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时,电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94,试求k0所表示的数.13.某城镇,沿环形路上依次排列有五所小学,它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台,14台,为使各学校里电脑数相同,允许一些小学向相邻小学调出电脑,问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小?并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1.理解有理数加法法则,了解有理数加法的实际意义.2.准确运用有理数加法法则进行运算,能将实际问题转化为有理数的加法运算.3.理解有理数减法与加法的转换关系,会用有理数减法解决生活中的实际问题.4.会把加减混合运算统一成加法运算,并能准确求和.经典·考题·赏析【例1】(河北唐山)某天股票A开盘价18元,上午11:30跌了1.5元,下午收盘时又涨了0.3元,则股票A这天的收盘价为()A.0.3元B.16.2元C.16.8元D.18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时,首先将具有相反意义的量确定一个为正,另一个为负,其次在计算时正确选择加法法则,是同号相加,取相同符号并用绝对值相加,是异号相加,取绝对值较大符号,并用较大绝对值减去较小绝对值.解:18+(-1.5)+(0.3)=16.8,故选C.【变式题组】01.今年陕西省元月份某一天的天气预报中,延安市最低气温为-6℃,西安市最低气温2℃,这一天延安市的最低气温比西安低()A.8℃B.-8℃C.6℃D.2℃02.(河南)飞机的高度为2400米,上升250米,又下降了327米,这是飞机的高度为__________03.(浙江)珠穆朗玛峰海拔8848m,吐鲁番海拔高度为-155 m,则它们的平均海拔高度为__________【例2】计算(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)【解法指导】应用加法运算简化运算,-83与-17相加可得整百的数,+26与-26互为相反数,相加为0,有理数加法常见技巧有:⑴互为相反数结合一起;⑵相加得整数结合一起;⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起;⑷相同符号的数结合一起.解:(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)=[(-83)+(-17)]+[(+26)+(-26)]+15=(-100)+15=-85【变式题组】01.(-2.5)+(-312)+(-134)+(-114)02.(-13.6)+0.26+(-2.7)+(-1.06)03.0.125+314+(-318)+1123+(-0.25)132164116181412-a -b 0b a【例3】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项,然后邻项相消进行化简求和.解:原式=1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-=111111112233420082009-+-+-++-=112009-=20082009【变式题组】01.计算1+(-2)+3+(-4)+ … +99+(-100)02.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形,接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形,再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形,如此进行下去,试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++=__________. 【例4】如果a <0,b >0,a +b <0,那么下列关系中正确的是( ) A .a >b >-b >-a B .a >-a >b >-b C .b >a >-b >-a D .-a >b >-b >a【解法指导】紧扣有理数加法法则,由两加数及其和的符号,确定两加数的绝对值的大小,然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来,即可得出结论.解:∵a <0,b >0,∴a +b 是异号两数之和又a +b <0,∴a 、b 中负数的绝对值较大,∴| a |>| b |将a 、b 、-a 、-b 表示在同一数轴上,如图,则它们的大小关系是-a >b >-b>a【变式题组】01.若m >0,n <0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号) 02.若m <0,n >0,且| m |>| n |,则m +n ________ 0.(填>、<号)03.已知a <0,b >0,c <0,且| c |>| b |>| a |,试比较a 、b 、c 、a +b 、a +c 的大小【例5】425-(-33311)-(-1.6)-(-21811)【解法指导】有理数减法的运算步骤:⑴依有理数的减法法则,把减号变为加号,并把减数变为它的相反数;⑵利用有理数的加法法则进行运算.解:425-(-33311)-(-1.6)-(-21811)=425+33311+1.6+21811=4.4+1.6+(33311+21811)=6+55=61【变式题组】01.21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02.434-(+3.85)-(-314)+(-3.15)03.178-87.21-(-43221)+1531921-12.79【例6】试看下面一列数:25、23、21、19…⑴观察这列数,猜想第10个数是多少?第n个数是多少?⑵这列数中有多少个数是正数?从第几个数开始是负数?⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律,应该从特殊到一般,找到前面几个数的规律,通过观察推理、猜想出第n个数的规律,再用其它的数来验证.解:⑴第10个数为7,第n个数为25-2(n-1)⑵∵n=13时,25-2(13-1)=1,n=14时,25-2(14-1)=-1故这列数有13个数为正数,从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1,其和=(25+1)+(23+3)+…+(15+11)+13=26×6+13=169【变式题组】01.(杭州)观察下列等式1-12=12,2-25=85,3-310=2710,4-417=6417…依你发现的规律,解答下列问题.⑴写出第5个等式;⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少?02.观察下列等式的规律9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20⑴用关于n(n≥1的自然数)的等式表示这个规律;⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例7】(第十届希望杯竞赛试题)求12+(13+23)+(14+24+34)+(15+25+3 5+45)+…+(150+250+…+4850+4950)【解法指导】观察式中数的特点发现:若括号内在加上相同的数均可合并成1,由此我们采取将原式倒序后与原式相加,这样极大简化计算了.解:设S=12+(13+23)+(14+24+34)+…+(150+250+…+4850+4950)则有S=12+(23+13)+(34+24+14)+…+(4950+4850+…+250+150)将原式和倒序再相加得2S=12+12+(13+23+23+13)+(14+24+34+34+24+14)+…+(150+2 50+…+4850+4950+4950+4850+…+250+150)即2S=1+2+3+4+ (49)49(491)2⨯+=1225 ∴S=12252【变式题组】01.计算2-22-23-24-25-26-27-28-29+21002.(第8届希望杯试题)计算(1-12-13-…-12003)(12+13+14+…+12003+1 2004)-(1-12-13-…-12004)(12+13+14+…+12003)演练巩固·反馈提高01.m是有理数,则m+|m|()A.可能是负数B.不可能是负数C.比是正数D.可能是正数,也可能是负数02.如果|a|=3,|b|=2,那么|a+b|为()A. 5 B.1 C.1或5 D.±1或±5 03.在1,-1,-2这三个数中,任意两数之和的最大值是()A. 1 B.0 C.-1 D.-3 04.两个有理数的和是正数,下面说法中正确的是()05.下列等式一定成立的是()A.|x|-x=0 B.-x-x=0 C.|x|+|-x|=0 D.|x|-|x|=0 06.一天早晨的气温是-6℃,中午又上升了10℃,午间又下降了8℃,则午夜气温是()A.-4℃B.4℃C.-3℃D.-5℃07.若a<0,则|a-(-a)|等于()A.-a B.0 C.2a D.-2a08.设x是不等于0的有理数,则||||2x xx值为()A.0或1 B.0或2 C.0或-1 D.0或-2 09.(济南)2+(-2)的值为__________10.用含绝对值的式子表示下列各式:⑴若a<0,b>0,则b-a=__________,a-b=__________⑵若a>b>0,则|a-b|=__________⑶若a<b<0,则a-b=__________11.计算下列各题:⑴23+(-27)+9+5 ⑵-5.4+0.2-0.6+0.35-0.25⑶-0.5-314+2.75-712⑷33.1-10.7-(-22.9)-|-2310|12.计算1-3+5-7+9-11+…+97-9913.某检修小组乘汽车沿公路检修线路,规定前进为正,后退为负,某天从A地出发到收工时所走的路线(单位:千米)为:+10,-3,+4,-2,-8,+13,-7,+12,+7,+5⑴问收工时距离A地多远?⑵若每千米耗油0.2千克,问从A地出发到收工时共耗油多少千克?14.将1997减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,再减去余下的15……以此类推,直到最后减去余下的11997,最后的得数是多少?15.独特的埃及分数:埃及同中国一样,也是世界著名的文明古国,古代埃及人处理分数与众不同,他们一般只使用分子为1的分数,例如13+115来表示25,用14+17+128表示37等等.现有90个埃及分数:12,13,14,15,…190,191,你能从中挑出10个,加上正、负号,使它们的和等于-1吗?培优升级·奥赛检测01.(第16届希望杯邀请赛试题)1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于( ) A .14 B .14- C .12 D .12- 02.自然数a 、b 、c 、d 满足21a +21b +21c +21d =1,则31a +41b +51c+61d 等于( ) A .18 B .316 C .732 D .1564 03.(第17届希望杯邀请赛试题)a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数,且abcd =441,则a +b +c +d 值是( )A .30B .32C .34D .3604.(第7届希望杯试题)若a =1995199519961996,b =1996199619971997,c =1997199719981998,则a 、b 、c25632015201051216158412410982654321534333231305.11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为( )A .1B .2C .3D .406.(-2)2004+3×(-2)2003的值为( )A .-22003B .22003C .-22004D .2200407.(希望杯邀请赛试题)若|m |=m +1,则(4m +1)2004=__________ 08.12+(13+23)+(14+24+34)+ … +(160+260+…+5960)=__________ 09.19191976767676761919-=__________ 10.1+2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=__________11.求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________12.已知(a +b )2+|b +5|=b +5,且|2a -b -1|=0,求aB .13.计算(11998-1)(11997-1) (11996-1) … (11001-1) (11000-1)14.请你从下表归纳出13+23+33+43+...+n 3的公式并计算出13+23+33+43+ (1003)值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1.理解有理数的乘法法则以及运算律,能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算,会利用运算律简化乘法运算.2.掌握倒数的概念,会运用倒数的性质简化运算.3.了解有理数除法的意义,掌握有理数的除法法则,熟练进行有理数的除法运算.4.掌握有理数乘除法混合运算的顺序,以及四则混合运算的步骤,熟练进行有理数的混合运算.5.理解有理数乘方的意义,掌握有理数乘方运算的符号法则,进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例1】计算 ⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则,正确运用法则,一是要体会并掌握乘法的符号规律,二是细心、稳妥、层次清楚,即先确定积的符号,后计算绝对值的积. 解:⑴11111()()24248⨯-=-⨯=- ⑵11111()24248⨯=⨯= ⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯= ⑷250000⨯= ⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=- 【变式题组】01.⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+-02.24(9)5025-⨯ 3.1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04.111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯A .a >0,b <0B .a <0,b >0C .a 、b 异号D .a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则,异号为负,故a 、b 异号,又依加法法则,异号相加取绝对值较大数的符号,可得出判断.解:由ab <0知a 、b 异号,又由a +b <0,可知异号两数之和为负,依加法法则得负数的绝对值较大,选D .【变式题组】01.若a +b +c =0,且b <c <0,则下列各式中,错误的是( )A .a +b >0B .b +c <0C .ab +ac >0D .a +bc >002.已知a +b >0,a -b <0,ab <0,则a___________0,b___________0,|a|___________|b|. 03.(山东烟台)如果a +b <0,0b a>,则下列结论成立的是( ) A .a >0,b >0 B .a <0,b <0 C .a >0,b <0 D .a <0,b >004.(广州)下列命题正确的是( )A .若ab >0,则a >0,b >0B .若ab <0,则a <0,b <0C .若ab =0,则a =0或b =0D .若ab =0,则a =0且b =0【例3】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时,若不能整除,应用法则1,先把除法转化成乘法,再确定符号,然后把绝对值相乘,要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除,应用法则2,可直接确定符号,再把绝对值相除.解:⑴(72)(18)72184-÷-=÷= ⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=- ⑷0(7)0÷-=【变式题组】01.⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷-02.⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03.113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例4】(茂名)若实数a 、b 满足0a b +=,则ab =___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论,得出a 、b 的取值范围,进一步代入结论得出结果.解:当ab >0,2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩; 当ab <0,0a b a b+=,∴ab <0,从而ab ab =-1. 【变式题组】01.若k 是有理数,则(|k|+k )÷k 的结果是( )A .正数B .0C .负数D .非负数02.若A .b 都是非零有理数,那么ab a b a b ab ++的值是多少?03.如果0x y x y +=,试比较x y -与xy 的大小.【例5】已知223(2),1x y =-=-⑴求2008xy 的值; ⑵求32008x y的值. 【解法指导】n a 表示n 个a 相乘,根据乘方的符号法则,如果a 为正数,正数的任何次幂都是正数,如果a 是负数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.解:∵223(2),1x y =-=-⑴当2,1x y ==-时,200820082(1)2xy=-= 当2,1x y =-=-时,20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时,332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时,3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】01.(北京)若2(2)0m n m -+-=,则nm 的值是___________.02.已知x 、y 互为倒数,且绝对值相等,求()n n x y --的值,这里n 是正整数.【例6】(安徽)2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书,减轻了农民的负担,135万用科学记数法表示为( )A .0.135×106B .1.35×106C .0.135×107D .1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式,其中a 的整数位数是1位.故答案选B .【变式题组】01.(武汉)武汉市今年约有103000名学生参加中考,103000用科学记数法表示为( )A .1.03×105B .0.103×105C .10.3×104D .103×10302.(沈阳)沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩,253万亩用科学记数法表示正确的是( )A .25.3×105亩B .2.53×106亩C .253×104亩D .2.53×107亩【例7】(上海竞赛)222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式=22(50)50k -+ 原式=2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ =222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+ =49222+1++⋅⋅⋅+个=99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A .31003 B .31004 C .1334 D .1100002.(第10届希望杯试题)已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01.三个有理数相乘,积为负数,则负因数的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .1个或3个 02.两个有理数的和是负数,积也是负数,那么这两个数( )A .互为相反数B .其中绝对值大的数是正数,另一个是负数C .都是负数D .其中绝对值大的数是负数,另一个是正数 03.已知abc >0,a >0,ac <0,则下列结论正确的是( )A .b <0,c >0B .b >0,c <0C .b <0,c <0D .b >0,c >004.若|ab |=ab ,则( )A .ab >0B .ab ≥0C .a <0,b <0D .ab <005.若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,m 的绝对值为2,则代数式a b m cd m +-+的值为( )A .-3B .1C .±3D .-3或106.若a >1a,则a 的取值范围( ) A .a >1 B .0<a <1 C .a >-1 D .-1<a <0或a >1 07.已知a 、b 为有理数,给出下列条件:①a +b =0;②a -b =0;③ab <0;④1a b =-,其中能判断a 、b 互为相反数的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个08.若ab≠0,则a b a b+的取值不可能为( ) A .0 B .1 C .2 D .-209.1110(2)(2)-+-的值为( )A .-2B .(-2)21C .0D .-21010.(安徽)2010年一季度,全国城镇新增就业人数289万人,用科学记数法表示289万正确的是( )A .2.89×107B .2.89×106C .2.89×105D .2.89×10411.已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ,它们的积abcd =9,则a +b +c +d =___________.12.21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-(n 为自然数)=___________.13.如果2x y x y +=,试比较x y-与xy 的大小.14.若a 、b 、c 为有理数且1a b c a b c ++=-,求abc abc的值.15.若a 、b 、c 均为整数,且321a b c a -+-=.求a c c b b a -+-+-的值.培优升级·奥赛检测01.已知有理数x 、y 、z 两两不相等,则,,x y y z z xy z z x x y------中负数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .0个或2个 02.计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律,猜测201021-的个位数字是( )A .1B .3C .7D .5 03.已知23450ab c d e <,下列判断正确的是( )A .abcde <0B .ab 2cd 4e <0 C .ab 2cde <0 D .abcd 4e <0 04.若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y+-这四个数中的三个数相等,则|y |-|x |的值是( ) A .12-B .0C .12D .3205.若A =248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++,则A -1996的末位数字是( )A .0B .1C .7D .9 06.如果20012002()1,()1a b a b +=--=,则20032003a b +的值是( )A .2B .1C .0D .-1 07.已知5544332222,33,55,66a b c d ====,则a 、b 、c 、d 大小关系是( )A .a >b >c >dB .a >b >d >cC .b >a >c >dD .a >d >b >c 08.已知a 、b 、c 都不等于0,且a b c abc a b c abc+++的最大值为m ,最小值为n ,则2005()m n +=___________. 09.(第13届“华杯赛”试题)从下面每组数中各取一个数将它们相乘,那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组:15,3,4.25,5.753- 第二组:112,315-第三组:52.25,,412-10.一本书的页码从1记到n ,把所有这些页码加起来,其中有一页码被错加了两次,结果得出了不正确的和2002,这个被加错了两次的页码是多少? 11.(湖北省竞赛试题)观察按下列规律排成一列数:11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,23,42,51,16,…(*),在(*)中左起第m 个数记为F(m),当F(m)=12001时,求m 的值和这m 个数的积.12.图中显示的填数“魔方”只填了一部分,将下列9个数:11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中,使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等,求x 的值.32 x6413.(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数,并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n=-+-+⋅⋅⋅-+证明:⑴11,;22m n A B m n ++== ⑵126A B -=,求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1.掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2.掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3.掌握整式的概念,会判断一个代数式是否为整式.4.了解整式读、写的约定俗成的一般方法,会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式,如果不是请简要说明理由,如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式,单独一个数或一个字母也是单项式,数字的次数为0,错误!未找到引用源。
第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图:数二、绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。
也可以写成: ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1.(数形结合思想)已知a 、b 、c 在数轴上位置如图:则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于( ) A .-3a B . 2c -a C .2a -2b D . b 例2.已知:z x <<0,0>xy ,且x z y >>,那么y x z y z x --+++的值( )A .是正数B .是负数C .是零D .不能确定符号例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?例4.(整体的思想)方程x x -=-20082008 的解的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .无穷多个例5.(非负性)已知|a b -2|与|a -1|互为相互数,试求下式的值.()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答: .(2)若数轴上的点A 表示的数为x ,点B 表示的数为―1,则A 与B 两点间的距离可以表示为 (3)结合数轴求得23x x -++的最小值为 ,取得最小值时x 的取值范围为 . (4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、小结1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲:代数式的化简求值问题一、知识链接1. “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
七年级秋季培训班初一数学课程介绍
七年级秋季培训班初一数学课程介绍如下:
课程将重点介绍数轴、相反数与绝对值、有理数的加减乘除、科学计数法、整式和整式加减、从算式到方程、一元一次方程的解法、一元一次方程的实际应用等知识点。
数轴部分将重点讲解数轴的理解、画法、应用,以及利用数轴比较有理数大小问题,掌握数轴上点的移动问题。
在相反数与绝对值部分,将重点讲解相反数与绝对值的概念理解、表示方法,以及相反数的性质及综合应用,绝对值的性质,利用绝对值比较数的大小,利用绝对值的代数意义化简求值。
在有理数的加减乘除部分,将重点讲解有理数的加法运算律、乘法运算律。
科学计数法部分将重点讲解科学计数法的概念,以及把科学计数法形式的数转化为原数,近似数和有效数字的理解。
整式和整式加减部分将重点讲解单项式、多项式的概念,同类项的概念、合并同类项。
从算式到方程部分将重点讲解等式、方程的概念,等式的性质。
一元一次方程的解法部分将重点讲解合并同类项与移项,去括号去分母。
一元一次方程的实际应用部分将重点讲解营销问题、工程问题、行程问题等实际应用。
此外,课程还包括有理数部分知识点总结和复习,图形认识知识点总结等内容。
初一数学基础知识讲义第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图:数二、绝对值的意义:(1)几何意义:一般地,数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|。
(2)代数意义:①正数的绝对值是它的本身;②负数的绝对值是它的相反数;③零的绝对值是零。
也可以写成:()()() ||0a aa aa a⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明:(Ⅰ)|a|≥0即|a|是一个非负数;(Ⅱ)|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1.(数形结合思想)已知a、b、c在数轴上位置如图:则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于(A)A .-3aB . 2c -aC .2a -2bD . b 解:| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a分析:解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想,由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。
例2.已知:z x <<0,0>xy ,且x z y >>, 那么y x z y z x --+++的值( C )A .是正数B .是负数C .是零D .不能确定符号 解:由题意,x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示:所以分析:数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?分析:从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
解:设甲数为x ,乙数为y 由题意得:y x 3=,(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:若x 在原点左侧,y 在原点右侧,即 x<0,y>0,则 4y=8 ,所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧,y 在原点左侧,即 x>0,y<0,则 -4y=8 ,所以y=-2,x=6 (2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:若x 、y 在原点左侧,即 x<0,y<0,则 -2y=8 ,所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧,即 x>0,y>0,则 2y=8 ,所以y=4,x=12例4.(整体的思想)方程x x -=-20082008 的解的个数是( D )A .1个B .2个C .3个D .无穷多个分析:这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程a a -=的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D 。
0)()(=--+-+=--+++y x z y z x yx z y z x1)1(+=--xx201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯K例5.(非负性)已知|a b-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b++++++++++L分析:利用绝对值的非负性,我们可以得到:|a b-2|=|a-1|=0,解得:a=1,b=2于是()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b++++++++++L200920082009112009120081413131212120092008143132121=-=-++-+-+=⨯++⨯+⨯+=KK在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考,如果题目变成求值,你有办法求解吗?有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-,3与5,2-与6-,4-与3.并回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:____相等.(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离可以表示为.分析:点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
那么点A呢?因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么,如何求出A 与B两点间的距离呢?结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<-1时,距离为-x-1, 当-1<x<0时,距离为x+1,当x>0,距离为x+1 综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为1+x(3)结合数轴求得23x x-++的最小值为 5 ,取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.分析:2-x 即x 与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x 与2之间的距离。
)3(3--=+x x 即x 与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x 与-3之间的距离。
如图,x 在数轴上的位置有三种可能:图1 图2 图3图2符合题意(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x<-4或x>-1分析: 同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离,4+x 表示数轴上x 与-4之间的距离。
本题即求,当x 是什么数时x 与-1之间的距离加上x 与-4之间的距离会大于3。
借助数轴,我们可以得到正确答案:x<-4或x>-1。
说明:借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上,B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。
这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。
四、 小结1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲:代数式的化简求值问题一、知识链接1. “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。
注:一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 二、典型例题例1.若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关,求()[]m m m m +---45222的值.分析:多项式的值与x 无关,即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m=4将m=4代人,()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值例2.x=-2时,代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时,代数式635-++cx bx ax 的值。
分析: 因为8635=-++cx bx ax当x=-2时,8622235=----c b a 得到8622235-=+++c b a , 所以146822235-=--=++c b a当x=2时,635-++cx bx ax =206)14(622235-=--=-++c b a例3.当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值. 分析:观察两个代数式的系数由7532=++x x 得232=+x x ,利用方程同解原理,得6932=+x x 整体代人,42932=-+x x代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。
例4. 已知012=-+a a ,求2007223++a a 的值.分析:解法一(整体代人):由012=-+a a 得 023=-+a a a所以:解法二(降次):方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。
20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 由012=-+a a ,得a a -=12, 所以:解法三(降次、消元):12=+a a (消元、、减项)20082007120072007)(20072007222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a例5.(实际应用)A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:A 公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;B 公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利? 分析:分别列出第一年、第二年、第n 年的实际收入(元) 第一年:A 公司 10000; B 公司 5000+5050=10050 第二年:A 公司 10200; B 公司 5100+5150=10250 第n 年:A 公司 10000+200(n-1);B 公司:[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50] =10050+200(n-1)由上可以看出B 公司的年收入永远比A 公司多50元,如不细心考察很可能选错。
例6.三个数a 、b 、c 的积为负数,和为正数,且bcbc ac ac ab ab c c b b a a x +++++=, 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。
解:因为abc<0,所以a 、b 、c 中只有一个是负数,或三个都是负数又因为a+b+c>0,所以a 、b 、c 中只有一个是负数。
不妨设a<0,b>0,c>0 则ab<0,ac<0,bc>0所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。