2015天津高考数学(理)试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（天津卷，含解析）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合UA B =（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】 试题分析：{2,5,8}UB =,所以{2,5}UAB =，故选A.考点：集合运算.（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18【答案】B 【解析】试题分析：模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立 输出6,故选B. 考点：程序框图.（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分条件与必要条件.（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52DOABM N【答案】A 【解析】试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理.（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩，所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.第II 卷 注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2- 【解析】试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .【答案】83π 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 考点：1.三视图；2.旋转体体积.（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分几何意义.（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516考点：二项式定理及二项展开式的通项.（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8 【解析】试题分析：因为0A π<<，所以215sin 1cos 4A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】试题分析：因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BAD C E考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max 3()f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)635; (II) 随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4P114 37 37 114()52E X =【解析】试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望. 试题解析：(I)由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k k C C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为X 1 2 3 4P114 37 37 114 所以随机变量X 的数学期望()512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCDA B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,12,5ACAA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD 平面； (II)求二面角11D -ACB 的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长【答案】(I)见解析； (II) 31010； (III) 72-. 【解析】试题分析：以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设111A E A B λ=，代入线面角公式计算可解出λ的值，即可求出1A E 的长.试题解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD(II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =， 设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅==-⋅，于是12310sin ,10n n =，所以二面角11D AC B --的正弦值为31010. (I II)依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE nλ⋅===⋅-+++，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得72λ=-，所以线段1A E 的长为72-.考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】试题分析：(I)由34234534a a a a a a a a 得4253a a a a -=- 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求和即可. 试题解析：(I) 由已知，有34234534a a a a a a a a ，即4253a a a a -=-，所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，1122122n k n k a a ---===，当2(*)n k n N =∈时，2222n kn k a a ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y截得的线段的长为c ，43|FM|=3.(I )求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 3； (II) 22132x y += ；(III) 23223,,⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为2222132x y c c+=，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由33FM =可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，求得226223(1)x t x -=>+x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围. 试题解析：(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有2222221c b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，解得33k =(II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为23c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由222343()033FM c c c ⎛⎫=++-=⎪⎝⎭，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得226223(1)x t x -=>+ 312x -<<-或10x -<<，设直线OP 的斜率为m ，得y m x =，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是2223m x =-，得223,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是2223m x =--，得23,3m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭综上，直线OP 的斜率的取值范围是23223,,⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20. （本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()yf x 与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()yg x ,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.试题解析：(I)由()nf x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：x (,1)-∞- (1,1)- (1,)+∞()f x ' -+-()f x所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nxn -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时，0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤. (III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()2()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.。

数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A UB =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x x f x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（） D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________. 13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为3152b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为0F c （-,）,3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM .（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP 2OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.3 / 142015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 24833CM MD CN ⨯===，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出45 / 14数学试卷 第16页（共42页） 数学试卷 第17页（共42页）数学试卷 第18页（共42页）18【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，1919AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 1179218921818λλλ+=92λ3时，AE AF 有最小值，最小值为18数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， MN ⊄平面ABCD 平面ABCD ．（Ⅱ）(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即220y z +==，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =9 / 14设(,n x y =2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又(0,1,2)AB =不妨设1z =，可得(0,n =-12210,10||||n n n n n n ==-310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设AE A B λ=，其中从而(1,2,1)NE =-，又(0,0,1)n =为平面由已知得cos ,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，个法向量与MN 的数量积为（Ⅱ）通过计算平面（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有22c a =试卷 第35页（共42页）数学试卷 第36页（共42页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。

2015年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．403．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．184．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA 1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．18．（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5}B．{3，6}C．{2，5，6}D．{2，3，5，6，8}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10B．6C．14D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．5．（5分）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．【分析】由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．【解答】解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．【点评】本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=2|x|﹣1，这样便知道f （x）在[0，+∞）上单调递增，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：a=f（|log0.53|），b=f（log25），c=f（0），然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（5分）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b ∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【分析】求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足＜b＜2，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为﹣2．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【解答】解：由（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是．故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数．12．（5分）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（x）6﹣r•（﹣）r=（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x2的系数为×=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=．利用S△ABC==，化为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．∵S==bc=，化为bc=24，△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．【分析】利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的形式求最值．【解答】解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．【点评】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由x∈[﹣，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．16．（13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X1234P随机变量X的数学期望E（X）=．【点评】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题．17．（13分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA 1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．【点评】本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（13分）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．【分析】（1）通过a n+2=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，【解答】解：（1）∵a n+2∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．【分析】（Ⅰ）通过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M（c，c），利用|FM|=计算即可；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种情况讨论即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得：x（2x+3）＜0且x≠﹣1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g （x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．【分析】（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x），分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性．（Ⅱ）设点P的坐标为（x0，0），则可求x0=n，f′（x0）=n﹣n2，可求g（x）=f′（x0）（x﹣x0），F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设x1≤x2，设方程g（x）=a的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，设方程h（x）=a的根为，可得＜x1，从而可得：x2﹣x1＜﹣=，由n≥2，即2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得：2=x0，即可得证．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f （x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．【点评】本题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =I ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为 （A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是 （A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . （14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =, 12,5AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面；(II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=. (I)求直线FM 的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2015 年天津市高考数学试卷（理科）一 .选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．（ 5 分）（2015?天津）已知全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3，5，6} ，会合 B={ 1， 3， 4， 6，7} ，则会合 A∩?U B=（）A．{ 2，5}B．{ 3，6}C．{ 2，5，6}D．{ 2，3，5，6，8}【剖析】由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；【解答】解：∵全集 U={ 1，2，3，4，5，6，7，8} ，会合 A={ 2，3， 5， 6} ，集合 B={ 1，3，4，6，7} ，∴?U B={ 2， 5， 8} ，则 A∩?U B={ 2，5} ．应选： A．2．（ 5 分）（2015?天津）设变量 x，y 知足拘束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（）A．3B．4C．18D．40【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确立 z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分）．由 z=x+6y 得 y=﹣ x+ z，平移直线 y=﹣ x+ z，由图象可知当直线y=﹣ x+ z 经过点 A 时，直线 y=﹣ x+ z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即A（0，3）将 A（0，3）的坐标代入目标函数 z=x+6y，得 z=3×6=18．即 z=x+6y 的最大值为 18．应选： C．3．（5 分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运转相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣ 10B．6C．14D．18【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的i，S 的值，当i=8 时知足条件i＞ 5，退出循环，输出S 的值为6．【解答】解：模拟履行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不知足条件 i＞ 5， i=4， S=14不知足条件 i＞ 5， i=8， S=6知足条件 i＞5，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．．（分）（天津）设2+x﹣ 2＞ 0”的（）4 52015?x∈R，则“|x﹣2| ＜1”是“xA．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【剖析】依据不等式的性质，联合充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣ 2| ＜1”得 1＜x＜3，由 x2+x﹣2＞0 得 x＞1 或 x＜﹣ 2，即“|x﹣ 2|2＜1”是“x+x﹣2＞0”的充足不用要条件，应选： A．5．（5 分）（2015?天津）如图，在圆O中， M、 N 是弦 AB 的三平分点，弦CE分别经过点 M ，N，若 CM=2，MD=4， CN=3，则线段 NE 的长为（CD，）A．B．3C．D．【剖析】由订交弦定理求出AM，再利用订交弦定理求NE即可．【解答】解：由订交弦定理可得CM?MD=AM?MB，∴2× 4=AM?2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又 CN?NE=AN?NB，∴ 3× NE=4× 2，∴NE= ．应选： A．6．（5 分）（2015?天津）已知双曲线﹣=1点（ 2，），且双曲线的一个焦点在抛物线方程为（）A．﹣=1B．（ a＞ 0， b＞0）的一条渐近线过2﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【剖析】由抛物线标准方程易得其准线方程，进而可得双曲线的左焦点，再依据焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b 的另一个方程，求出a、b，即可获得双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4 x 的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4 x 的准线上，∴c= ，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b= ，∴双曲线的方程为．应选： B．7．（5 分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数 f （x）=2|x﹣m|﹣1（m 为实数）为偶函数，记 a=f（log0.53），b=f（ log25），c=f（2m），则 a，b，c 的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜ c＜ b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【剖析】依据 f（x）为偶函数即可求出m=0，进而 f（x）=2|x|﹣1，这样便知道 f （x）在 [ 0，+∞）上单一递加，依据f（x）为偶函数，即可将自变量的值变到区间 [ 0， +∞）上： a=f（ | log0.5），b=f （2），（），而后再比较自3|log 5c=f0变量的值，依据 f（ x）在 [ 0， +∞）上的单一性即可比较出a， b，c 的大小．【解答】解：∵ f（x）为偶函数；∴f（﹣ x） =f（x）；∴2| ﹣x﹣m| ﹣1=2| x﹣m| ﹣1；∴| ﹣ x﹣m| =| x﹣m| ；（﹣ x﹣ m）2=（ x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[ 0，+∞）上单一递加，而且 a=f（| log0.53| ）=f（ log23），b=f （log25），c=f（0）；∵0＜ log23＜ log25；∴ c＜a＜b．应选：C．，8．（5 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2，＞﹣x），此中 b∈R，若函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A．（， +∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）【剖析】求出函数 y=f（x）﹣ g（x）的表达式，结构函数 h（ x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数 h（ x）的图象，利用数形联合进行求解即可．【解答】解：∵ g（x）=b﹣f（ 2﹣ x），∴y=f（ x）﹣ g（ x） =f（x）﹣ b+f （2﹣x），由 f（ x）﹣ b+f（2﹣x） =0，得 f（ x） +f （2﹣x）=b，设 h（x） =f（x）+f（2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣x≥2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若 0≤x≤ 2，则﹣ 2≤﹣ x≤ 0， 0≤2﹣x≤2，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣| 2﹣ x| =2﹣ x+2﹣ 2+x=2，若 x＞2，﹣ x＜﹣ 2，2﹣x＜0，则 h（x） =f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣| 2﹣ x| =x2﹣5x+8．，即 h（x） =，＜，，＞作出函数 h（x）的图象如图：当 x≤0 时， h（x）=2+x+x2=（x+ ）2+ ≥，当 x＞2 时， h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+ ≥，故当 b= 时， h（x）=b，有两个交点，当 b=2 时， h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f（x）﹣ g（x）恰有 4 个零点，即 h（x） =b 恰有 4 个根，则知足＜b＜2，应选： D．二 .填空题（每题 5 分，共 30 分）9．（5 分）（2015?天津） i 是虚数单位，若复数（ 1﹣ 2i）（ a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为﹣2．【剖析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得a 的值．【解答】解：由（ 1﹣ 2i）（ a+i） =（ a+2） +（ 1﹣ 2a）i 为纯虚数，得，解得： a=﹣2．故答案为：﹣ 2．10．（ 5 分）（2015?天津）一个几何体的三视图以下图（单位：m），则该几何体的体积为m3．【剖析】依据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，联合图中数据求出它的体积．【解答】解：依据几何体的三视图，得；该几何体是底面同样的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为几何体 =2× π22V×1+π?1 ?1?2=π．故答案为：π．11．（ 5 分）（2015?天津）曲线 y=x2与 y=x 所围成的关闭图形的面积为．【剖析】先依据题意画出地区，而后依照图形获得积分下限为0，积分上限为 1，进而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先依据题意画出图形，获得积分上限为1，积分下限为 02所围图形的面积12直线 y=x 与曲线 y=x S=∫0（ x﹣x ） dx 121= ﹣ =而∫0（x﹣x）dx=（）| 0∴曲边梯形的面积是．故答案为：．．（分）（天津）在（﹣）6的睁开式中， x2的系数为．12 52015?x【剖析】在二项睁开式的通项公式中，令x 的幂指数等于 2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数．【解答】解：（ x﹣）6的睁开式的通项公式为T r+1= ?（x）6﹣r?（﹣）r=（﹣）r? ?x6﹣2r，令 6﹣2r=2，解得r=2，∴睁开式中x2的系数为×=，故答案为：．13．（5 分）（2015?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知△ ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则 a 的值为 8．【剖析】由 cosA=﹣， A ∈（ 0 ，π），可得 sinA=．利用△S ABC==，化为 bc=24，又 b﹣c=2，解得 b，c．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA即可得出．【解答】解：∵ A∈（ 0，π），∴ sinA==．∵ S△ABC=bc=，化为，=bc=24又 b﹣c=2，解得 b=6，c=4．由余弦定理可得： a2 2+c2﹣ 2bccosA=36+16﹣48×．=b=64解得 a=8．故答案为： 8．14．（ 5 分）（ 2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知 AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点 E和 F 分别在线段 BC和 DC上，且=λ，=，则 ?的最小值为．【剖析】利用等腰梯形的性质联合向量的数目积公式将所求表示为对于λ的代数式，依据详细的形式求最值．【解答】解：由题意，获得 AD=BC=CD=1，所以?（）?（）= =（）?（）==2× 1× cos60 °+λ1× 1× cos60 °+×2×1+ × 1× 1× cos120°=1++ ﹣≥ +=（当且仅当时等建立）；故答案为：．三 .解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）15．（ 13 分）（ 2015?天津）已知函数 f （x）=sin2x﹣sin2（ x﹣），x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区间 [ ﹣，] 内的最大值和最小值．【剖析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=﹣ sin（2x﹣），由周期公式可得；（Ⅱ）由 x∈ [ ﹣，] 联合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）化简可得 f（ x） =sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣ [ 1﹣cos（2x﹣） ]=（1﹣cos2x﹣1+ cos2x+ sin2x）=（﹣ cos2x+ sin2x）=sin（2x﹣）∴ f（x）的最小正周期 T=π；=（Ⅱ）∵ x∈[ ﹣， ] ，∴ 2x﹣∈[ ﹣， ] ，∴ sin（2x﹣）∈ [ ﹣1，] ，∴（﹣）∈[﹣， ]，sin2x∴ f（x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值分别为，﹣16．（ 13 分）（2015?天津）为推进乒乓球运动的发展，某乒乓球竞赛同意不一样协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，此中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，此中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加竞赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的散布列和数学希望．A 发生的个数，而后利用【剖析】（Ⅰ）利用组合知识求出基本领件总数及事件古典概型概率计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为 1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出散布列，代入希望公式求希望．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有 P（A）=，∴事件 A 发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X 的全部可能取值为1， 2， 3， 4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量 X 的散布列为：X1234P随机变量 X 的数学希望 E（ X） =．17．（ 13 分）（2015?天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2， AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D 的中点．（Ⅰ）求证： MN∥平面 ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD所成角的正弦值为，求线段 A1E 的长．【剖析】（Ⅰ）以 A 为坐标原点，以AC、AB、 AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，经过平面 ABCD的一个法向量与的数目积为0，即得结论；（Ⅱ）经过计算平面 ACD1的法向量与平面 ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）经过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以 A 为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、 z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（ 0， 0， 2），B1（ 0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣ 2，2），又∵ M、N 分别为 B1 C、D1D 的中点，∴ M（1，，1），N（1，﹣ 2，1）．由题可知：（，，）是平面的一个法向量，=（0，﹣，0），= 0 01ABCD∵? =0， MN?平面 ABCD，∴ MN∥平面 ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设 =（ x， y，z）是平面 ACD1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（0，1，1），设 =（x，y，z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得=（0，﹣ 2，1），∵ cos＜，＞=﹣，∴ sin＜，＞ ==，=∴二面角 D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，此中λ∈[ 0，1]，∴ E=（0，λ，2），=（﹣ 1，λ+2，1），又∵=（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量，∴ cos＜，＞=== ，2整理，得λ+4λ﹣3=0，解得λ= ﹣2 或﹣ 2﹣（舍），∴线段 A1 E 的长为﹣2．18．（ 13 分）（ 2015?天津）已知数列 { a n } 知足 a n+2=qa n（q 为实数，且 q≠1），n ∈N*，a1=1， a2=2，且 a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（ 1）求 q 的和 { a n} 的通公式；（ 2） b n=，n∈N*，求数列{ b n}的前n和．【剖析】（1）通 a n+2=qa n、 a1、a2，可得 a3、a5、a4，利用 a2+a3， a3+a4，a4+a5成等差数列，算即可；（ 2）通（1）知 b n=，n∈N*，写出数列 { b n} 的前n 和T n、2T n的表达式，利用位相减法及等比数列的乞降公式，算即可．【解答】解：（1）∵ a n+2=qa n（ q 数，且 q≠ 1），n∈N*，a1=1， a2=2，∴a3=q，a5=q2， a4=2q，又∵ a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2× 3q=2+3q+q2，即 q2 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），，奇数；∴ a n=，偶数（ 2）由（ 1）知 b n==，n∈N*，=数列 { b n} 的前 n 和 T n，T n=1+2? +3? +4? +⋯+（n 1）?+n?，∴2T n=2+2+3? +4? +5? +⋯+（n 1）?+n?，两式相减，得 T n=3+ + + +⋯+n? =3+n?=3+1n?=4．19．（14 分）（2015?天津）已知+（＞＞）的左焦点（，），=1 a b 0F c 0离心率，点 M 在上且位于第一象限，直FM 被 x2 +y2=截得的线段的长为 c， | FM| =．（Ⅰ）求直线 FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点 P 在椭圆上，若直线斜率的取值范围．FP的斜率大于，求直线OP（O 为原点）的【剖析】（Ⅰ）经过离心率为，计算可得a2=3c2、b2=2c2，设直线FM 的方程为y=k（x+c），利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论；（Ⅱ）经过联立椭圆与直线FM 的方程，可得M（c，c），利用 | FM| =计算即可；（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程，分 x ∈（﹣，﹣1）与x∈（﹣1，0）两种状况议论即可获得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵离心率为，∴== ，∴2a2=3b2，∴ a2=3c2，b2=2c2，设直线 FM 的斜率为 k（k＞0），则直线 FM 的方程为 y=k（ x+c），∵直线 FM 被圆 x2+y2=截得的线段的长为 c，∴圆心（ 0， 0）到直线 FM 的距离 d=，∴ d2+=，即（）2+=，解得 k=，即直线 FM 的斜率为；（Ⅱ）由（ I）得椭圆方程为：+，直线FM 的方程为y=（ x+c），=1联立两个方程，消去 y，整理得 3x2+2cx﹣5c2，解得﹣，或，=0x= c x=c ∵点 M 在第一象限，∴ M （c，c），∵| FM| =，∴=，解得 c=1，∴ a22，22 ，=3c =3 b =2c =2即椭圆的方程为+；=1（Ⅲ）设动点 P 的坐标为（ x，y），直线 FP的斜率为 t，∵ F（﹣ 1， 0），∴ t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去 y 并整理，得 2x2+3t2（ x+1）2，=6又∵直线 FP的斜率大于，∴＞，6﹣2x2＞6（x+1）2，整理得： x（2x+3）＜ 0 且 x≠﹣ 1，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线 OP的斜率为 m，得 m= ，即 y=mx（ x≠0），联立方程组，消去 y 并整理，得 m2=﹣．①当 x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，所以m＞0，∴ m=，∴ m∈（，）；②当 x∈（﹣ 1， 0）时，有 y=t（x+1）＞ 0，所以 m＜ 0，∴ m=﹣，∴ m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP 的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20．（14 分）（2015?天津）已知函数 f（x）=nx﹣x n，x∈R，此中 n∈ N?，且 n≥ 2．（Ⅰ）议论 f （x）的单一性；（Ⅱ）设曲线 y=f（x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g （x），求证：对于随意的正实数x，都有 f （x）≤ g（x）；（Ⅲ）若对于 x 的方程 f（x）=a（ a 为实数）有两个正实数根x1， x2，求证： | x2﹣x1| ＜+2．【剖析】（Ⅰ）由 f（x）=nx﹣x n，可得 f ′（ x），分 n 为奇数和偶数两种状况利用导数即可得函数的单一性．（Ⅱ）设点P 的坐标为（ x0，0），则可求x0=n，f （′x0）=n﹣ n2，可求g（ x）﹣=f （′x0）（x﹣x0），F′（x）=f （′x）﹣f （′x0）．由 f （′x）=﹣ nx n 1+n 在（0，+∞）减，即可得证．（Ⅲ）设 x1≤x2，设方程 g（ x） =a 的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线y=f （x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，设方程 h（ x） =a 的根为，可得＜ x1，进而可得： x2﹣ x1＜﹣ =，由 n≥2，即 2n ﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，推得： 2=x0，即可得证．【解答】（此题满分为 14 分）解：（Ⅰ）由 f（ x）=nx﹣ x n，可得 f ′（x）=n﹣ nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），此中 n∈N?，且 n≥ 2．下边分两种状况议论：（1）当 n 为奇数时，令 f ′（x）=0，解得 x=1，或 x=﹣1，当 x 变化时， f （′x），f（x）的变化状况以下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣ 1，1）（1，+∞）f ′（x）﹣+﹣f （x）所以， f（ x）在（﹣∞，﹣ 1），（1，+∞）上单一递减，在（﹣ 1，1）单一递加．（ 2）当 n 为偶数时，当 f ′（x）＞ 0，即 x＜1 时，函数 f（ x）单一递加；当 f ′（x）＜ 0，即 x＞1 时，函数 f（ x）单一递减；所以， f（x）在（﹣∞， 1）单一递加，在（ 1，+∞）上单一递减；（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（x0，0），则x0=n，f ′（x0）=n﹣n2，曲线 y=f（x）在点 P 处的切线方程为y=f ′（x0）（x﹣ x0），即 g（x）=f ′（ x0）（ x﹣x0），令 F（ x）=f（x）﹣ g（x），即 F（x） =f（x）﹣ f ′（x0）（x﹣ x0），则 F′（x）=f ′（ x）﹣f ′（x0）．因为 f ′（x）=﹣nx n﹣1 +n 在（ 0，+∞）上单一递减，故F′（x）在（ 0， +∞）上单调递减，又因为 F′（ x0）=0，所以当 x∈（ 0，x0）时， F′（ x）＞ 0，当 x∈（ x0，+∞）时，F′（x）＜ 0，所以 F（x）在∈（ 0，x0）内单一递加，在（ x0，+∞）上单一递减，所以对应随意的正实数 x，都有 F（x）≤ F（ x0）=0，即对于随意的正实数 x，都有 f （x）≤ g（x）．（Ⅲ）证明：不如设x1≤ x2，由（Ⅱ）知 g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a 的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥ f（x2） =a=g（），可得x2≤．近似地，设曲线y=f（ x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得 h（x）=nx，当 x∈（ 0，+∞），f（ x）﹣ h（x）=﹣x n＜0，即对于随意的 x∈（ 0， +∞）， f（x）＜ h（x），设方程 h（ x）=a 的根为，可得= ，因为 h（x）=nx 在（﹣∞， +∞）上单一递加，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），所以＜x1，由此可得： x2﹣x1＜﹣=，因为 n≥2，所以 2n﹣1（）n﹣1≥1+=1+n ﹣，=1+11=n 故： 20．=x所以： | x2﹣x1| ＜+2．。

数学试卷 第1页（共9页）数学试卷 第2页（共9页）数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B U =+.·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高. ·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A UB =I ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页）数学试卷 第6页（共9页）D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x x f x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________. 13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为315，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60o .动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，BE BC u u u r u u u r 且λ=，19DF DC u u u r u u u rλ=，则 AE AF u u u r u u u r g 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）数学试卷 第7页（共9页） 数学试卷 第8页（共9页） 数学试卷 第9页（共9页）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4b x y =截得的线段的长为c，|FM .（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.。

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．参考公式： ·如果事件A ，B 互斥，那么 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． ·棱柱的体积公式V ＝Sh ． 其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高．·圆锥的体积公式V ＝13Sh ． 其中S 表示圆锥的底面面积， h 表示圆锥的高．第Ⅰ卷本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． i 是虚数单位，复数7i3i-=+( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－2＋i D ．－2－i2．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为－25时，输出x 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．94．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．在(2x 2－1x)5的二项展开式中，x 的系数为( ) A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－406．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．725-C ．725±D ．24257．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2．设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ．若32BQ CP ⋅=-，则λ＝( )A ．12B ．12±C ．12±D ．32-±8．设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．［11B ．(－∞，11)C ．［22-2+］D ．(－∞，2-2+，＋∞)第Ⅱ卷本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m 3．11．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝__________．12．已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l ．过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E ．若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝__________．13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ．过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，32EF =，则线段CD 的长为__________．14．已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间［π4-，π4］上的最大值和最小值． 16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E (ξ)．17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1．(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．18．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)．19．设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； (2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k满足||k >．20．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0． (1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈［0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值； (3)证明1221ni i =-∑－ln(2n ＋1)＜2(n ∈N *)．1． B 227i (7i)(3i)217i 3i i 2010i 2i 3i (3i)(3i)9i 10-----+-====-++--． 2． A φ＝0时，f (x )＝cos x ，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数；若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝k π(k ∈Z )．∴是充分而不必要条件．3． C x ＝|－25|＞1，x 1＝4；x ＝|4|＞1，x －1＝1； x ＝|1|＞1不成立， ∴x ＝2×1＋1＝3．4．B f ′(x )＝2x ln2＋3x 2，在(0,1)上f ′(x )＞0恒成立， ∴f (x )在区间(0,1)上单调递增．又∵f (0)＝20＋03－2＝－1＜0，f (1)＝21＋13－2＝1＞0， ∴f (x )在区间(0,1)上存在一个零点．5． D T r ＋1＝5C r(2x 2)5－r (1x-)r ＝(－1)r 25－r 5C rx 10－3r ， ∴当10－3r ＝1时，r ＝3．∴(－1)325－335C ＝－40．6． A 在△ABC 中，由正弦定理：sin sin b c B C =，∴，sin sin C cB b=∴sin28sin 5B B =，∴4cos 5B =．∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725．7． A 设AB =a ，AC =b ，则|a |=|b |=2，且〈a ，b 〉=π3．()1BQ AQ AB λ=-=--b a ，CP AP AC λ=-=-a b ．BQ CP ⋅=［(1－λ)b －a ］·(λa －b )=［λ(1－λ)+1］a ·b －λa 2－(1－λ)b 2 =(λ－λ2+1)×2－4λ－4(1－λ) =－2λ2+2λ－2=32-． 即(2λ－1)2=0，∴12λ=． 8．)D 直线与圆相切，1=，∴||m n +=mn ＝m ＋n ＋1，设m ＋n ＝t ，则22()24m n t mn +≤=，∴t ＋1≤24t ，∴t 2－4t －4≥0，解得：2t ≤2t ≥+9．答案：18 9解析：共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：1503018250⨯=所，中学中应抽取：75309250⨯=所． 10．答案：18＋9π解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m 的长方体，底部为两个直径为3 m 的球．∴该几何体的体积为：V ＝6×3×1＋2×343π()32⨯＝18＋9π(m 3)． 11．答案：－1 1解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，∴|x ＋2|＜3． ∴－3＜x ＋2＜3，∴－5＜x ＜1．又∵B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，∴－1是方程(x －m )(x －2)＝0的根，n 是区间(－5,1)的右端点， ∴m ＝－1，n ＝1． 12．答案：2解析：由参数方程22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩(t 为参数)，p ＞0，可得曲线方程为：y 2＝2px (p ＞0)．∵|EF |＝|MF |，且|MF |＝|ME |(抛物线定义)， ∴△MEF 为等边三角形， E 的横坐标为2p-，M 的横坐标为3． ∴EM 中点的横坐标为：322p -，与F 的横坐标2p 相同， ∴3222p p -=，∴p ＝2． 13．答案：43解析：在圆中，由相交弦定理： AF ·FB ＝EF ·FC ，∴2AF FBFC EF⋅==， 由三角形相似，FC AFBD AB =， ∴83FC AB BD AF ⋅==． 由切割弦定理：DB 2＝DC ·DA ，又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649． ∴43DC =． 14．答案：(0,1)∪(1,4)解析：21,1|1||1||1||1|,111x x x x x y x x x x +>⎧-+-===⎨-+<--⎩函数y =kx －2过定点(0，－2)，由数形结合：k AB ＜k ＜1或1＜k ＜k AC ， ∴0＜k ＜1或1＜k ＜4． 15．解：(1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x π)4x +． 所以，f (x )的最小正周期2ππ2T ==． (2)因为f (x )在区间［π4-，π8］上是增函数，在区间［π8，π4］上是减函数，又π()14f -=-，π()8f =π()14f =，故函数f (x )在区间［π4-，π4］，最小值为－1．16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23． 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)， 则4412()C ()()33iiii P A -=． (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率22224128()C ()()3327P A ==． (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4．由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝3344441211C ()()C ()3339+=． 所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19． (3)ξ的所有可能取值为0,2,4．由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781．所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望148()024********E ξ=⨯+⨯+⨯=． 17．解法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B (12-，12,0)，P (0,0,2)．(1)证明：易得PC =(0,1，－2)，AD =(2,0,0)， 于是0PC AD ⋅=，所以PC ⊥AD ．(2)PC =(0,1，－2)，CD =(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量n =(x ，y ，z )，则00,PC CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 即2020,y z x y -=⎧⎨-=⎩，不妨令z =1， 可得n =(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量m =(1,0,0)．于是cos 6⋅===⋅〈，〉m n m n m n ，从而sin =〈，〉m n ． 所以二面角A －PC －D ． (3)设点E的坐标为(0,0，h )，其中h ∈［0,2］，由此得11()22BE h =，－，．由CD =(2，－1,0)，故3cos 1BE CD BE CD BE CD⋅===⋅〈，〉cos30=︒=10h =，即10AE =．解法二：(1)证明：由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，P A ∩AC =A ，故AD ⊥平面P AC ．又PC 平面P AC ，所以PC ⊥AD ．(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH ．由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，可得PC ⊥平面ADH ．因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角． 在Rt △P AC 中，P A ＝2，AC ＝1，由此得AH =由(1)知AD ⊥AH ，故在Rt △DAH 中，5DH ==．因此sin 6AD AHD DH ∠==．所以二面角A －PC －D 的正弦值为6． (3)如图，因为∠ADC ＜45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF ．故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF ∥CD ，故∠AFB =∠ADC ．在Rt △DAC 中，CD =sinADC ∠=，故sinAFB ∠=在△AFB 中，由sin sin BF ABFAB AFB =∠∠，AB =，sin ∠F AB ＝sin135°＝2，可得2BF =． 由余弦定理，BF 2＝AB 2＋AF 2－2AB ·AF ·cos ∠F AB ， 可得12AF =． 设AE ＝h ．在Rt △EAF 中，EF ==在Rt △BAE 中，BE == 在△EBF 中，因为EF ＜BE ，从而∠EBF ＝30°，由余弦定理得222cos302BE BF EF BE BF+-︒=⋅，可解得h =．所以AE =．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d ．由条件，得方程组3323227,86210,d q d q ⎧++=⎨+-=⎩解得3,2.d q =⎧⎨=⎩ 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *．(2)证明：(方法一) 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1．② 由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝112(12)12n ---＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n －6n －10．而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n －6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *．(方法二：数学归纳法)①当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； ②假设当n ＝k 时等式成立，即T k ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时有： T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1 ＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12，即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1，因此n ＝k ＋1时等式也成立． 由①和②，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立． 19．解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由题意，有2200221x y a b+=① 由A (－a,0)，B (a,0)，得00AP y k x a =+，00BP y k x a=-． 由k AP ·k BP ＝12-，可得x 02＝a 2－2y 02，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 02＝0．由于y 0≠0，故a 2＝2b 2．于是222212a b e a -==，所以椭圆的离心率e = (2)证明：(方法一)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得00220022,1,y kx x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 0并整理得2220222a b x k a b =+．②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0， 得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2．整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0．而x 0≠0，于是021ax k -=+，代入②，整理得 (1＋k 2)2＝4k 2(a b)2＋4．由a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3．所以||k >．(方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)，由点P 在椭圆上，有22200221x k x a b +=．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以22200221x k x a a+<，即(1＋k 2)x 02＜a 2．③ 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 02＝a 2，整理得(1＋k 2)x 02＋2ax 0＝0，于是0221ax k -=+． 代入③，得(1＋k 2)2224(1)a k +＜a 2，解得k 2＞3，所以||k >20．解：(1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．11()1x a f x x a x a+-'=-=++． 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a ．当x因此，f (x )在a ＝1．(2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln2＞0，故k ≤0不合题意．当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2．g ′(x )＝1xx +－2kx ＝[]2(12)1x kx k x ---+．令g ′(x )＝0，得x 1＝0，21212kx k-=>-． ①当12k ≥时，1202kk-≤，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在［0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈［0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在［0，＋∞)上恒成立，故12k ≥符合题意． ②当0＜k ＜12时，1202k k ->，对于x ∈(0，122k k -)，g ′(x )＞0，故g (x )在(0，122kk-)内单调递增．因此当取x 0∈(0，122k k-)时，g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 02不成立． 故0＜k ＜12不合题意． 综上，k 的最小值为12． (3)证明：当n ＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立． 当n ≥2时，11222()ln(1)212121n n i i f i i i ==⎡⎤=-+⎢⎥---⎣⎦∑∑ ＝[]112ln(21)ln(21)21n n i i i i i ==-+---∑∑ ＝1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)．在(2)中取12k =，得f (x )≤22x (x ≥0)，从而 2222()21(21)(23)(21)f i i i i ≤<----(i ∈N *，i ≥2)， 所以有1221n i i =-∑－ln(2n ＋1) ＝1222()(2)()2121n n i i f f f i i ===+--∑∑ ＜2－ln3＋22(23)(21)n i i i =--∑ ＝2－ln3＋211()2321n i i i =---∑＝2－ln3＋1－121n -＜2． 综上，1221n i i =-∑－ln(2n ＋1)＜2，n ∈N *．。

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 ·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩C u B=（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE的长为（A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）70,4⎛⎫⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC和DC上,1,,9BE BC DF DC AE AF λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g 且则的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-.2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2015 年天津市高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一. 选择题（在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的）1．（ 5 分）（2015?天津）已知全集U={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8} ，会集 A={2， 3， 5， 6} ，会集 B={1， 3， 4， 6， 7} ，则会集A∩ ?U B=（）A．{ 2，5}B．{ 3， 6}C．{ 2，5，6}D．{ 2，3，5，6，8}考交、并、补集的混杂运算．点：专会集．题：分由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可；析：解解：∵全集U={1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8} ，会集 A={2， 3， 5，6} ，会集 B={1，3，答：4， 6，7} ，∴?U B={2 ， 5， 8} ，则 A∩ ?U B={2， 5} ．应选： A．点此题观察了交、并、补集的混杂运算，熟练掌握运算法规是解此题的要点．评：2．（5 分）（2015?天津）设变量 x，y 满足拘束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值为（）A． 3B．4C． 18D． 40考简单线性规划．点：专不等式的解法及应用．题：分作出不等式组对应的平面地域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最析：大值．解解：作出不等式组对应的平面地域如图：（阴影部分）．答：由 z=x+6y 得 y=﹣x+z ，平移直线 y= ﹣ x+z，由图象可知当直线 y=﹣ x+z 经过点 A 时，直线 y=﹣ x+z 的截距最大，此时 z 最大．由，解得，即 A（0， 3）将 A（ 0， 3）的坐标代入目标函数z=x+6y ，得 z=3×6=18．即 z=x+6y 的最大值为 18．应选： C．点此题主要观察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想评：是解决此类问题的基本方法．3．（ 5 分）（2015?天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（）A．﹣10B．6C． 14D． 18考程序框图．点：专图表型；算法和程序框图．题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环获取的i ， S 的值，当 i=8时满足条件 i ＞ 5，析：退出循环，输出 S 的值为 6．解解：模拟执行程序框图，可得答：S=20，i=1i=2 ， S=18不满足条件i ＞ 5， i=4 ， S=14不满足条件i ＞ 5， i=8 ， S=6满足条件 i ＞ 5，退出循环，输出S 的值为 6．应选： B．点此题主要观察了循环构造的程序框图，正确写出每次循环获取的i ， S 的值是解题的评：要点，属于基础题．4．（ 5 分）（2015?天津）设 x∈R，则“ |x ﹣ 2| ＜1”是“x2+x﹣ 2＞0”的（）A．充分而不用要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件考必要条件、充分条件与充要条件的判断．点：专简单逻辑．题：分依照不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．析：解解：由“ |x ﹣ 2| ＜1”得 1＜ x＜ 3，2答：由 x +x﹣ 2＞0 得 x＞ 1 或 x＜﹣ 2，2即“ |x ﹣ 2| ＜1”是“x +x﹣ 2＞0”的充分不用要条件，应选： A．点此题主要观察充分条件和必要条件的判断，比较基础．评：5．（ 5 分）（2015?天津）如图，在圆 O中， M、N 是弦 AB的三均分点，弦CD，CE分别经过点M， N，若 CM=2， MD=4， CN=3，则线段 NE的长为（）A．B．3C．D．考与圆有关的比率线段．点：专选作题；推理和证明．题：分由订交弦定理求出AM，再利用订交弦定理求NE即可．析：解解：由订交弦定理可得CM?MD=AM?MB，答：∴2×4=AM?2AM，∴A M=2，∴M N=NB=2，又 CN?NE=AN?NB，∴3×NE=4×2，∴N E=．应选： A．点此题观察订交弦定理，观察学生的计算能力，比较基础．评：6．（ 5 分）（2015?天津）已知双曲线﹣ =1（a＞ 0，b＞ 0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1考双曲线的标准方程．点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再依照焦点在x 轴上析：的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、 b 的另一个方程，求出a、 b，即可获取双曲线的标准方程．解解：由题意， =，答：∵抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x 的准线上，∴c=，222∴a+b =c =7，∴a=2， b=，∴双曲线的方程为．应选： D．点此题主要观察双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，观察学生的计算能力，属于基评：础题．7．（ 5 分）（2015?天津）已知定义在R 上的函数 f （ x） =2|x﹣m|﹣ 1（ m为实数）为偶函数，记a=f （）， b=f （ log 25）， c=f （ 2m），则 a， b， c 的大小关系为（）A． a＜b＜ c B．a＜ c＜ b C． c＜ a＜b D． c＜b＜ a考函数单调性的性质．点：专函数的性质及应用．题：分依照 f （ x）为偶函数即可求出 m=0，从而 f （x） =2|x|﹣ 1，这样便知道 f （ x）在 [0 ，析：+∞）上单调递加，依照 f （ x）为偶函数，即可将自变量的值变到区间[0 ，+∞）上：a=f （ || ），b=f （ log25），c=f（0），尔后再比较自变量的值，依照 f （ x）在 [0 ，+∞）上的单调性即可比较出a，b， c 的大小．解解：∵ f （ x）为偶函数；答：∴f （﹣ x） =f （x）；| ﹣ x ﹣m||x ﹣ m|﹣ 1；∴2﹣ 1=2∴|﹣ x﹣ m|=|x ﹣m|；（﹣ x﹣m）2=（ x﹣ m）2；∴m x=0；∴m=0；|x|∴f （ x） =2﹣1；∴f （ x）在 [0 ，+∞）上单调递加，并且 a=f （ || ）=f （ log 23）， b=f （ log 25）， c=f（ 0）；∵0＜ log 23＜log 25；∴c＜ a＜b．应选：C．点观察偶函数的定义，指数函数的单调性，关于偶函数比较函数值大小的方法就是将自评：变量的值变到区间 [0 ，+∞）上，依照单调性去比较函数值大小．对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用．8．（ 5 分）（2015?天津）已知函数f （ x）=，函数 g（x）=b﹣ f （ 2﹣ x），其中 b∈R，若函数y=f （ x）﹣ g（ x）恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（ 0，）D．（， 2）考根的存在性及根的个数判断．点：专创新题型；函数的性质及应用．题：分求出函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的表达式，构造函数h（ x） =f （ x） +f （ 2﹣ x），作出函析：数 h（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解解：∵ g（ x） =b﹣ f （ 2﹣x），答：∴y=f （ x）﹣ g（x） =f （x）﹣ b+f （ 2﹣ x），由 f （ x）﹣ b+f （2﹣ x） =0，得 f （x） +f （ 2﹣ x） =b，设 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0， 2﹣x≥2，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =2+x+x2，若 0≤x≤2，则﹣ 2≤﹣ x≤0，0≤2﹣x≤2，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =2﹣ x+2﹣ |2 ﹣ x|=2 ﹣ x+2﹣ 2+x=2，若 x＞ 2，﹣ x＜ 0， 2﹣ x＜0，则 h（ x） =f （ x）+f （ 2﹣x） =（ x﹣ 2）2+2﹣ |2 ﹣x|=x 2﹣ 5x+8．即 h（ x） =，作出函数h（ x）的图象如图：当 x≤0时， h（x） =2+x+x2=（x+）2+≥，当 x＞ 2 时， h（x） =x2﹣ 5x+8=（x﹣）2+≥，故当 b=时， h（ x） =b，有两个交点，当 b=2 时， h（ x） =b，有无数个交点，由图象知要使函数 y=f （ x）﹣ g（ x）恰有 4 个零点，即h（ x） =b 恰有 4 个根，则满足＜ b＜ 2，应选： D．点此题主要观察函数零点个数的判断，依照条件求出函数的分析式，利用数形结合是解评：决此题的要点．二. 填空题（每题 5 分，共 30 分）1﹣ 2i ）（ a+i）是纯虚数，则实数 a 的值为9．（ 5 分）（2015?天津） i 是虚数单位，若复数（﹣2．考复数的基本看法．点：专数系的扩大和复数．题：分由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0 且虚部不等于0 求得 a 的值．析：解解：由（ 1﹣ 2i ）（ a+i ） =（ a+2） +（1﹣ 2a）i 为纯虚数，答：得，解得： a=﹣2．故答案为：﹣2．点此题观察了复数代数形式的乘法运算，观察了复数为纯虚数的条件，是基础题．评：m），则该几何体的体积为10．（ 5 分）（2015?天津）一个几何体的三视图以下列图（单位：3m．考由三视图求面积、体积．点：专计算题；空间地址关系与距离．题：分依照几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出析：它的体积．解解：依照几何体的三视图，得；答：该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为22V 几何体 =2×π ?1 ×1+π?1 ?2=π．故答案为：π．点此题观察了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．评：11．（ 5 分）（2015?天津）曲线y=x2与 y=x 所围成的封闭图形的面积为．考定积分在求面积中的应用．点：专计算题；导数的看法及应用．题：分先依照题意画出地域，尔后依照图形获取积分下限为0，积分上限为1，从而利用定析：积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．解解：先依照题意画出图形，获取积分上限为1，积分下限为 0答：直线 y=x 与曲线 y=x 2所围图形的面积 S=∫01（x﹣ x2） dx121而∫ 0（ x﹣ x ） dx=（） | 0 =﹣ =∴曲边梯形的面积是．故答案为：．点此题主要观察了学生会求出原函数的能力，以及观察了数形结合的思想，同时会利用评：定积分求图形面积的能力，解题的要点就是求原函数．12．（ 5 分）（2015?天津）在（x﹣）6的张开式中，x2的系数为．考点：专题：分析：解答：点评：二项式定理的应用．计算题；二项式定理．在二项张开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于2，求出 r 的值，即可求得 x2的系数．6T r+1 =?（ x）6﹣ r r r6﹣ 2r解：（ x﹣）的张开式的通项公式为?（﹣） =（﹣） ??x，令 6﹣ 2r=2 ，解得 r=2 ，∴张开式中x2的系数为× =，故答案为：．此题主要观察二项式定理的应用，二项张开式的通项公式，求张开式中某项的系数，属于中档题．13．（ 5 分）（2015?天津）在△ ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c．已知△ ABC 的面积为 3， b﹣ c=2， cosA=﹣，则 a 的值为 8 ．考余弦定理．点：专解三角形．题：分由 cosA=﹣， A∈（ 0，π），可得sinA= ．利用 S ==，化为 bc=24，又 b﹣ c=2，解△ABC析：得 b， c．由余弦定理可得：222即可得出．a =b +c ﹣ 2bccosA解解：∵ A∈（ 0，π），∴ sinA==．答：∵S ABC==bc=，化为bc=24，△又 b﹣ c=2，解得 b=6， c=4．222由余弦定理可得： a =b +c ﹣ 2bccosA=36+16﹣48×=64．故答案为： 8．点此题观察了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，观察了推理评：能力与计算能力，属于中档题．14．（ 5 分）（2015?天津）在等腰梯形ABCD中，已知 AB∥DC， AB=2，BC=1，∠ ABC=60°．动点 E 和 F 分别在线段BC和 DC上，且 =λ， =，则 ?的最小值为．考平面向量数量积的运算．点：专创新题型；平面向量及应用．题：分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于析：体的形式求最值．解解：由题意，获取AD=BC=CD=1，因此 ?=（） ?（） =（） ?（）答：==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥ +=（当且仅当时等号成立）；λ的代数式，依照具点评：故答案为：．此题观察了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；要点是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．三. 解答题（本大题共 6 小题，共80 分）15．（ 13 分）（2015?天津）已知函数 f （x） =sin 2x﹣ sin 2（ x﹣），x∈R．（Ⅰ）求 f （ x）的最小正周期；（Ⅱ）求 f （ x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值．考两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．点：专三角函数的求值．题：分（Ⅰ）由三角函数公式化简可得 f （ x） =﹣ sin （ 2x﹣），由周期公式可得；析：（Ⅱ）由 x∈[ ﹣， ] 结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值．解解：（Ⅰ）化简可得 f （ x） =sin 2x﹣ sin 2（ x﹣）答：=（ 1﹣cos2x ）﹣ [1 ﹣ cos （ 2x﹣） ]=（ 1﹣cos2x ﹣ 1+cos2x+sin2x）=（﹣ cos2x+sin2x ）=sin （2x﹣）∴f （ x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵ x∈[ ﹣， ] ，∴ 2x﹣∈ [ ﹣， ] ，∴s in （ 2x ﹣）∈ [ ﹣ 1， ] ，∴ sin （ 2x﹣）∈ [ ﹣， ] ，∴f（ x）在区间 [ ﹣， ] 内的最大值和最小值分别为，﹣点此题观察两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题．评：16．（ 13 分）（2015?天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛赞同不相同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学希望．考失散型随机变量的希望与方差；失散型随机变量及其分布列．点：专概率与统计．题：分（Ⅰ）利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，尔后利用古典概型概率析：计算公式得答案；（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入希望公式求希望．解解：（Ⅰ）由已知，有P（A） =，答：∴事件 A 发生的概率为；（Ⅱ）随机变量 X 的所有可能取值为1， 2， 3， 4．P（ X=k） =（ k=1， 2， 3，4）．∴随机变量 X 的分布列为：X1234P随机变量X 的数学希望E（X） =．点此题主要观察古典概型及其概率计算公式，互斥事件、失散型随机变量的分布列与数评：学希望等基础知识，观察运用概率知识解决简单实责问题的能力，是中档题．17．（13 分）（2015?天津）如图，在四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中，侧棱 AA1⊥底面 ABCD，AB⊥AC，AB=1， AC=AA1=2， AD=CD=，且点 M和 N 分别为 B1C和 D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面 ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣ AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面 ABCD所成角的正弦值为，求线段A1 E 的长．考二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断；直线与平面所成的角．点：专空间地址关系与距离；空间角．题：分（Ⅰ）以 A 为坐标原点，以AC、 AB、 AA1所在直线分别为x、 y、 z 轴建系，经过平面析：ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）经过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）经过设 =λ，利用平面 ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．解（Ⅰ）证明：如图，以 A 为坐标原点，以AC、 AB、 AA1所在直线分别为 x、 y、 z 轴建答：系，则 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 2， 0， 0）， D（ 1，﹣ 2， 0），A1（0， 0， 2）， B1（ 0， 1，2）， C1（ 2， 0， 2）， D1（ 1，﹣ 2， 2），又∵ M、 N 分别为 B1C、D1 D的中点，∴ M（ 1，， 1）， N（ 1，﹣ 2，1）．由题可知： =（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量， =（ 0，﹣，0），∵?=0， MN?平面 ABCD，∴ MN∥平面 ABCD；（Ⅱ）解：由（I ）可知： =（ 1，﹣ 2， 2）， =（ 2， 0， 0）， =（ 0， 1， 2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（ 0，1， 1），设 =（ x， y， z）是平面 ACB1的法向量，由，得，取 z=1，得 =（ 0，﹣ 2， 1），∵cos＜，＞ ==﹣，∴ sin ＜，＞ ==，∴二面角D1﹣ AC﹣ B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈ [0 ， 1] ，∴E=（ 0，λ， 2）， =（﹣ 1，λ +2， 1），又∵=（ 0， 0， 1）是平面 ABCD的一个法向量，∴c os＜，＞ ===，2整理，得λ +4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段 A1E 的长为﹣ 2．点此题观察直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，观察用评：空间向量解决立体几何问题的方法，观察空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题．* 18．（ 13 分）（2015?天津）已知数列 {a n} 满足 a n+2=qa n（ q 为实数，且 q≠1），n∈N，a1=1，a2=2，且 a2 +a3， a3+a4， a4+a5成等差数列（ 1）求 q 的值和 {a n} 的通项公式；（2）设 b n=，n∈N*，求数列 {b n} 的前 n 项和．考数列的求和．点：专等差数列与等比数列．题：分（ 1）经过 a n+2=qa n、a1、a2，可得 a3、 a5、 a4，利用 a2+a3， a3 +a4， a4+a5成等差数列，析：计算即可；*（ 2）经过（ 1）知 b n =，n∈N，写出数列 {b n} 的前 n 项和 T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．解解：（ 1）∵a n+2=qa n（ q 为实数，且*=1， a2 =2，q≠1），n∈N， a12答：∴a3=q，a5=q，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4 ，a4 +a5 成等差数列，∴2×3q=2+3q+q 2，即 q2 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍），∴a n=；（2）由（ 1）知 b n ===，n∈N*，数列{b n} 的前 n 和 T n，T n=1+2?+3?+4?+⋯+（ n 1）?+n?，∴2T n=2+2+3?+4?+5?+⋯+（ n 1）?+n?，两式相减，得 T n=3++++⋯+ n?=3+ n?=3+1 n?=4．点本考求数列的通与前 n 和，考分的思想，利用位相减法是解决本：的关，注意解方法的累，属于中档．19．（ 14 分）（2015?天津）已知+=1（ a＞ b＞ 0）的左焦点 F（ c， 0），离心率，点M在上且位于第一象限，直FM被 x2+y2=截得的段的 c，|FM|= ．（Ⅰ）求直 FM的斜率；（Ⅱ）求的方程；（Ⅲ）点 P 在上，若直FP 的斜率大于，求直 OP（ O原点）的斜率的取范．考直与曲的合；的准方程．点：新型；直与；曲的定、性与方程．：分（Ⅰ）通离心率，算可得a2=3c2、 b2=2c2，直 FM的方程 y=k （ x+c），利析：用勾股定理及弦心距公式，算可得；（Ⅱ）通立与直FM的方程，可得 M（ c， c），利用 |FM|= 算即可；（Ⅲ）点 P 的坐（x，y），分立直FP、直 OP与方程，分 x∈（，1）与 x∈（ 1， 0）两种情况即可．解解：（Ⅰ）∵离心率，∴ ==，答：222222∴2a =3b，∴a =3c， b =2c，直 FM的斜率k（ k＞0），直 FM的方程 y=k（ x+c ），∵直 FM被 x2+y2=截得的段的c，∴ 心（ 0， 0）到直 FM的距离 d=，22+=，∴d+=，即（）解得 k=，即直 FM的斜率；（Ⅱ）由（ I ）得方程： +=1，直 FM的方程 y=（ x+c），立两个方程，消去22y，整理得 3x +2cx 5c=0，解得 x= c，或 x=c ，∵点 M在第一象限，∴ M（ c， c），∵|FM|= ，∴ =，2222解得 c=1，∴a =3c =3， b =2c =2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（ x， y），直线 FP 的斜率为t ，∵F（﹣ 1， 0），∴ t= ，即 y=t （ x+1）（x≠﹣ 1），222联立方程组，消去y 并整理，得2x +3t （ x+1） =6，∴＞，解得﹣＜x＜﹣ 1，或﹣ 1＜ x＜0，设直线 OP的斜率为m，得 m=，即 y=mx（x≠0），2联立方程组，消去y 并整理，得m=﹣．①当 x∈（﹣，﹣ 1）时，有y=t （x+1）＜ 0，因此 m＞ 0，∴m=，∴ m∈（，）；②当 x∈（﹣ 1，0）时，有y=t （ x+1）＞ 0，因此 m＜0，∴m=﹣，∴ m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．点此题观察椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的地址关系、评：一元二次不等式等基础知识，观察用代数方法研究圆锥曲线的性质，观察运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题．20．（ 14 分）（2015?天津）已知函数n，x∈R，其中?f （x） =nx﹣x n∈N，且 n≥2．（Ⅰ）谈论 f （ x）的单调性；（Ⅱ）设曲线 y=f （ x）与 x 轴正半轴的交点为P，曲线在点 P 处的切线方程为y=g（ x），求证：关于任意的正实数x，都有 f （ x）≤ g（ x）；（Ⅲ）若关于 x 的方程 f （x）=a（ a 为实数）有两个正实数根x1，x2，求证： |x 2﹣ x1| ＜ +2．考利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．点：专压轴题；创新题型；导数的看法及应用；导数的综合应用．题：分（Ⅰ）由 f （ x）=nx﹣ x n，可得 f ′（ x），分 n 为奇数和偶数两种情况利用导数即可得析：函数的单调性．（Ⅱ）设点 P 的坐标为（ x0，0），则可求 x0=n，f ′（ x0）=n﹣ n2，可求 g（x）=f ′（x0）n﹣ 1（ x﹣ x0），F′（ x）=f ′（ x）﹣ f ′（ x0）．由 f ′（ x）=﹣ nx+n 在（ 0，+∞）上单调递减，可求F（x）在∈（ 0， x0）内单调递加，在（x0，+∞）上单调递减，即可得证．（Ⅲ）设 x1≤x2，设方程 g（ x） =a 的根为，由（Ⅱ）可得x2≤．设曲线 y=f （ x）在原点处的切线方程为 y=h（x），可得 h（ x）=nx，设方程 h（ x）=a 的根为，可得＜ x1，从而可得： x2﹣ x1＜﹣ =，由 n≥2，即 2n﹣ 1n﹣ 1=（ 1+1）≥1+=1+n﹣ 1=n，推得： 2=x0，即可得证．解（此题满分为14 分）答：n，可得 f ′（ x） =n﹣ nxn﹣ 1n﹣ 1?解：（Ⅰ）由 f （x） =nx﹣x=n（ 1﹣x），其中 n∈N，且n≥2．下面分两种情况谈论：（ 1）当 n 为奇数时，令 f ′（ x）=0，解得x=1，或x=﹣ 1，当x 变化时， f ′（x），f （ x）的变化情况以下表：xf ′（ x）（﹣∞，﹣﹣1）（﹣ 1， 1）+（ 1，+∞）﹣f （ x）因此， f （ x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1， 1）单调递加．（ 2）当 n 为偶数时，当 f ′（ x）＞ 0，即 x＜ 1 时，函数 f （ x）单调递加；当 f ′（ x）＜ 0，即 x＞ 1 时，函数 f （ x）单调递减；因此， f （ x）在（﹣∞， 1）单调递加，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P 的坐标为（ x0， 0），则 x0=n，f ′（ x0） =n﹣ n2，曲线 y=f （ x）在点 P 处的切线方程为 y=f ′（ x0）（x﹣ x0），即 g（ x）=f ′（ x0）（ x﹣ x0），令 F（ x）=f （x）﹣ g（x），即 F（ x）=f （ x）﹣ f ′（ x0）（ x﹣ x0），则 F′（ x）=f ′（ x）﹣ f ′（ x0）．由于 f ′（ x） =﹣nx n﹣1+n 在（ 0，+∞）上单调递减，故F′（ x）在（ 0，+∞）上单调递减，又由于 F′（ x0） =0，因此当 x∈（ 0， x0）时， F′（ x）＞ 0，当 x∈（ x0，+∞）时，F′（ x）＜ 0，因此 F（ x）在∈（ 0， x0）内单调递加，在（x0，+∞）上单调递减，因此对应任意的正实数x，都有 F（x）≤ F（ x0） =0，即关于任意的正实数x，都有 f （ x）≤ g（ x）．（Ⅲ）证明：不如设x1≤x2，2知 g（ x2）≥ f （ x2） =a=g（），可得x2≤．近似地，设曲线y=f （ x）在原点处的切线方程为y=h（ x），可得 h（ x）=nx，当 x∈（0，+∞），f （ x）﹣ h（ x）=﹣x n＜0，即关于任意的 x∈（ 0，+∞），f （ x）＜ h（ x），设方程 h（ x） =a 的根为，可得 =，由于 h（ x） =nx 在（﹣∞， +∞）上单调递加，且 h（） =a=f （ x1）＜ h（ x1），因此＜ x1，由此可得： x2﹣ x1＜﹣ =，n﹣ 1n﹣ 1由于 n≥2，因此 2 =（ 1+1）≥1+=1+n﹣1=n，因此： |x 2﹣ x1| ＜+2．点本小题主要观察导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等评：式等基础知识和方法，观察分类谈论思想、函数思想和化归思想，观察综合分析问题和解决问题的能力．。

2015年天津市高考数学理科试题2015年天津市高考数学理科试题第I卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集，集合，集合，则集合（A）（B）（C）（D）（2）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（A）3（B）4（C）18（D）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A）（B）6（C）14（D）18（4）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆中，是弦的三等分点，弦分别经过点.若，则线段的长为（A）（B）3（C）（D）（6）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第II卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为. （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.（11）曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.（12）在的展开式中，的系数为.（13）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，则的值为.（14）在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱中，侧棱,,, ,且点M和N分别为的中点.(I)求证：；(II)求二面角的正弦值；(III)设E为棱上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段的长18.（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求q的值和的通项公式；(II)设，求数列的前n项和.19.（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆截得的线段的长为c，.(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：。