九年级上册综合检测(二)[时间:120分钟 分值:120分]卷Ⅰ(选择题,共42分)一、选择题(本大题有16个小题,1~10小题,各3分,11~16小题,各2分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2sin45°的值等于 ( ) A .√22B .√2C .√24D .2√22.一元二次方程x 2+x=0的解是 ( )A .0B .0或1C .1D .0或-13.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中,甲、乙两位同学的平均分都是90分,甲成绩的方差是15,乙成绩的方差是3,下列说法正确的是( )A .甲的成绩比乙的成绩稳定B .乙的成绩比甲的成绩稳定C .甲、乙两人的成绩一样稳定D .无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 4.若反比例函数y=kx 的图像经过点(-1,3),则这个函数的图像一定过点 ( )A .(-3,1)B .-13,3C .(-3,-1)D .13,35.数学课上,老师让学生利用尺规作图画Rt △ABC ,使其斜边AB=c ,一条直角边BC=a ,小明的作法如图2-ZH -1所示,你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是 ( ) A .勾股定理 B .勾股定理的逆定理C .直径所对的圆周角是直角D .90°的圆周角所对的弦是直径图2-ZH -1 图2-ZH -26.李老师用手机软件记录了某个月(30天)每天健步走的步数(单位:万步),将记录结果绘制成了如图2-ZH -2所示的统计图.在每天所走的步数这组数据中,众数和中位数分别是 ( ) A .1.2,1.3 B .1.4,1.3 C .1.3,1.4 D .1.3,1.3图2-ZH-37.如图2-ZH-3,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心,作出与△AOB的位似比为k的位似三角形CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为()A.(0,0),2B.(1,1),12C.(2,2),12D.(2,2),28.如图2-ZH-4为4×4的正方形网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是 ()A.△ACD的内心B.△ABC的内心C.△ACD的外心D.△ABC的外心图2-ZH-4 图2-ZH-59.如图2-ZH-5,点A是量角器直径的一个端点,点B在半圆周上,点P在AB⏜上,点Q在AB上, 且PB=PQ.若点P对应140°(40°),则∠PQB的度数为()A.65°B.70°C.75°D.80°10.某公司今年4月的营业额为2500万元,按计划第二季度的总营业额要达到9100万元,设该公司5,6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程,则下列方程正确的是() A.2500(1+x)2=9100 B.2500(1+x%)2=9100C.2500(1+x)+2500(1+x)2=9100D.2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=910011.已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的三角形.观察下列图中尺规作图痕迹,作法错误的是()图2-ZH-612.如图2-ZH -7,DE 是△ABC 的中位线,M 是DE 的中点,CM 的延长线交AB 于点N ,则NM ∶MC 等于 ( )A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶5图2-ZH -7 图2-ZH -813.函数y=kx的图像如图2-ZH -8所示,那么函数y=kx-k 的图像大致是图2-ZH -9中的 ( )图2-ZH -914.如图2-ZH -10,某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门A 测得历下亭C 在北偏东37°方向,继续向北走105 m 后到达游船码头B ,测得历下亭C 在游船码头B 的北偏东53°方向.请计算一下南门A 与历下亭C 之间的距离约为参考数据:tan37°≈34,tan53°≈43 ( )A .225 mB .275 mC .300 mD .315 m图2-ZH -10 图2-ZH -1115.如图2-ZH -11,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,在以AB 的中点O 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC 绕点B 顺时针旋转,使点A 旋转至y 轴的正半轴上的点A'处.若AO=OB=2,则阴影部分的面积为 ( ) A .23π B .23π-1C .4π3+1D .4π316.如图2-ZH -12,在边长为1的正方形ABCD 中,动点F ,E 分别以相同的速度从D ,C 两点同时出发向点C ,B 运动(其中一个点到达终点时两点同时停止运动),连接AE ,BF 交于点P ,过点P 作PM ∥CD 交BC 于点M ,PN ∥BC 交CD 于点N ,连接MN ,在运动过程中有下列结论:①△ABE ≌△BCF;②AE=BF;③AE⊥BF;④CF2=PE·BF;⑤线段MN的最小值为√5-22.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个图2-ZH-12卷Ⅱ(非选择题,共78分)二、填空题(本大题有3个小题,共11分.17小题3分,18~19小题各有2个空,每空2分,把答案写在题中横线上)17.已知xy =34,那么2xx+y的值为.18.若关于x的方程2x2-5sin Ax+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角,则sin A=,此时方程的根是.19.如图2-ZH-13所示,有(n+1)个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1,△C1B2C2,…,它们的斜边在同一直线上,设△B2D1C1的面积为S1,△B3D2C2的面积为S2,…,△B n+1D n C n的面积为S n,则S1=,S n=.图2-ZH-13三、解答题(本大题有7个小题,共67分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)20.(本小题满分8分)已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根.(1)求实数k的取值范围;(2)写出满足条件的k的最大整数值,并求此时方程的根.21.(本小题满分9分)如图2-ZH-14,小亮一家到桃林口水库游玩.在岸边码头P处,小亮和爸爸租船到库区游玩,妈妈在岸边码头P处观看小亮与爸爸在水面划船,小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行,划行速度是20米/分,划行10分钟后到达A处,接着向正南方向划行一段时间到达B处,在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米?(精确到1 m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,√2≈1.41,√3≈1.73)图2-ZH-1422.(本小题满分9分)为了了解某校新九年级暑期阅读课外书的情况,某研究小组随机采访该校新九年级的20位同学,得到这20位同学暑期阅读课外书的册数如下:册数0 2 3 5 6 8 10人数 1 2 4 8 2 2 1(1)求这20位同学暑期阅读课外书册数的中位数、众数、平均数;(2)若小明同学把册数中的数据“8”看成了“7”,那么中位数、众数、平均数中不受影响的是;(3)若该校有600名新九年级学生,试估计该校新九年级学生暑期阅读课外书的总册数.23.(本小题满分9分)近年来,随着城市居民入住率的增加,污水处理问题成为城市的难题.某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水,减少污水排放,规定:居民用水量每月不超过a吨时,只需交纳10元水费,如果超过a吨,除按10元收费外,超过部分,每吨按5a元收取水费(水费+污水处理费).(1)某居民2019年3月份的用水量为8吨,超过规定水量,用含a的代数式表示该用户应交多少元水费;(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和交费情况;月份用水量(吨) 交水费总金额(元)4 7 705 5 40根据上表中的数据,求规定用水量a的值;(3)结合当地水资源状况,谈谈如何开展水资源环境保护,如何节约用水.24.(每小题满分10分)如图2-ZH-15,矩形ABCD为台球桌面,AD=240 cm,AB=120 cm,球目前在点G处,AG=80 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去,经过点F反弹后碰到CD边上的点H,再经过点H反弹后,球刚好弹到AD边的中点E处落袋.(1)求证:△BGF∽△DHE;(2)求BF的长.图2-ZH-15的图像25.(本小题满分10分)如图2-ZH-16,已知一次函数y=k1x+b的图像与反比例函数y=k2x交于第一象限内的P1,8,Q(4,m)两点,与x轴交于点A.2(1)写出点P关于原点的对称点P'的坐标;(2)分别求出这两个函数的表达式;(3)求∠P'AO的正切值.图2-ZH-1626.(本小题满分12分)问题呈现:阿基米德折弦定理:如图2-ZH -17,AB 和BC 是☉O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦),BC>AB ,M 是ABC⏜的中点,则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD 的部分过程.图2-ZH -17证明:如图②,在CB 上截取CG=AB ,连接MA ,MB ,MC ,MG. ∵M 是ABC⏜的中点,∴MA ⏜=MC ⏜, ∴MA=MC.……请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分. 实践应用:(1)如图③,已知△ABC 内接于☉O ,BC>AB>AC ,D 是ACB ⏜的中点,依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 .(2)如图④,已知等腰三角形ABC 内接于☉O ,AB=AC ,D 为AB ⏜上一点,连接DB ,∠ACD=45°,AE ⊥CD 于点E ,△BDC 的周长为4√2+2,BC=2,请求出AC 的长.教师详解详析1.B [解析] ∵sin45°=√22,∴2sin45°=√2.2.D [解析] 原方程变形为x (x+1)=0,解得x 1=0,x 2=-1.3.B [解析] ∵乙成绩的方差<甲成绩的方差,∴乙的成绩比甲的成绩稳定.4.A [解析] ∵反比例函数y=kx 的图像经过点(-1,3),∴k=-1×3=-3.∵-3×1=-3,-13×3=-1,-3×(-1)=3,13×3=1,∴反比例函数y=kx 的图像一定过点(-3,1).5.C6.B7.C [解析] 如图所示,位似中心F 的坐标为(2,2),k 的值为DF FO =12.8.D [解析] 设小正方形的边长为1,则由图可得OA=OB=OC=√12+22=√5,所以点O 是 △ABC 的外心.9.B [解析] ∵点P 对应140°,∴∠ABP=70°.∵PB=PQ ,∴∠PQB=∠ABP=70°. 10.D11.B [解析] A 项,由作图痕迹可知:∠BAD=∠C ,可以推出∠B=∠CAD ,故△CDA 与△ABD 相似;B 项,无法判断△CAD 与△ABD 相似;C 项,由作图痕迹可知:AD ⊥BC.∵∠BAC=90°,故可得△CAD ∽△ABD ;D 项,由作图痕迹可知:AD ⊥BC ,∵∠BAC=90°,故可得△CAD ∽△ABD. 12.B [解析] ∵DE 是△ABC 的中位线,M 是DE 的中点,∴DM ∥BC ,DM=ME=12DE=14BC ,∴△NDM ∽△NBC ,∴DM BC =NM CN =14,∴NM MC =13.13.B [解析] ∵反比例函数y=kx 的图像位于第二、四象限,∴k<0,∴-k>0.∵k<0,∴函数y=kx-k 的图像过第二、四象限.又∵-k>0,∴函数y=kx-k 的图像与y 轴相交于正半轴,∴一次函数y=kx-k 的图像过第一、二、四象限.故选B .14.C [解析] 如图,过点C 作CE ⊥BA 于点E.设EC=x m,BE=y m .在Rt △ECB 中,tan53°=EC EB ,即x y =43. 在Rt △AEC 中,tan37°=ECAE ,即x 105+y =34.解得x=180,y=135.∴AC=√EC 2+AE 2=√1802+2402=300(m).15.D [解析] ∵∠ACB=90°,OA=OB=2,∴AB=4,OC=2,∴AC=BC=2√2,∴△ABC 是等腰直角三角形.∵△ABC 绕点B 顺时针旋转,使点A 旋转至y 轴的正半轴上的点A'处,∴BA'=AB=4,∴BA'=2OB ,∴∠OA'B=30°,∴∠A'BA=60°,即旋转角为60°,S 阴影=S 扇形ABA'+S △A'BC'-S △ABC -S 扇形CBC'=S 扇形ABA'-S 扇形CBC'=60π×42360-60π×(2√2)2360=43π.16.C [解析] ∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=DA , ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.∵动点F ,E 的速度相同,且同时开始运动,∴DF=CE.又∵CD=BC ,∴CF=BE.在△ABE 和△BCF 中,{AB =BC ,∠ABE =∠BCF ,BE =CF ,∴△ABE ≌△BCF (SAS),故①正确;∴∠BAE=∠CBF ,AE=BF ,故②正确;∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠APB=90°,即AE ⊥BF ,故③正确;在△BPE 和△BCF 中,∵∠BPE=∠BCF=90°,∠PBE=∠CBF ,∴△BPE ∽△BCF ,∴PE CF =BEBF ,∴CF ·BE=PE ·BF .∵CF=BE ,∴CF 2=PE ·BF ,故④正确;∵点P 在运动过程中保持∠APB=90°,∴点P 的运动路径是一段以AB 为直径的弧,设AB 的中点为G ,连接CG 交弧于点P ,此时CP的长度最小,如图.在Rt △BCG 中,CG=2+BG 2√1+14=√52.∵PG=12AB=12,∴CP=CG-PG=√52-12=√5-12.∵PN ∥BC ,PM ∥CD ,∠BCD=90°, ∴四边形CMPN 为矩形,∴MN=CP ,∴线段MN 的最小值为√5-12,故⑤错误. 综上可知正确的结论有4个.故选C .17.67[解析] ∵xy=34,∴可设x=3k,则y=4k,则原式=6k3k+4k=67.18.45x1=x2=1[解析] ∵关于x的方程2x2-5sin Ax+2=0有两个相等的实数根,∴(-5sin A)2-4×2×2=0,解得sin A=±45.又∵∠A是锐角三角形ABC的一个内角,∴sin A=45.∴原方程为2x2-4x+2=0,解得x1=x2=1.19.949n2n+2[解析] 连接B1,B2,B3,B4,B5,如图所示,∵(n+1)个直角边长为3的等腰直角三角形的斜边在同一直线上,∴B1,B2,B3,B4,B5的连线与直线AC5平行.∵等腰直角三角形的直角边长为3,∴S△AB1C1=12×3×3=92.由题意可知:△B1C1B2为直角边长为3的等腰直角三角形,∴△B1C1B2≌△C1B1A.∴B1B5∥AC5,∴△AC1D1∽△B2B1D1,∴C1D1B1D1=AC1B1B2=1,∴S1=12S△B1C1B2=12×92=94,同理可得△B2D2B3∽△C2D2A,∴B2B3AC2=B2D2D2C2=12,∴S2=23S△B2B3C2=23×92=3,同理可得△B3D3B4∽△C3D3A,∴B3B4AC3=B3D3D3C3=13,∴S3=34S△B3B4C3=34×92=278,…,∴S4=45S△B4B5C4=45×92=185,∴S n=nn+1×92=9n2(n+1)=9n2n+2.20.解:(1)由题意得b2-4ac>0,即(-4)2-4k·2>0,解得k<2.又∵k≠0,∴k<2且k≠0.(2)∵k<2且k取最大整数,∴k=1.当k=1时,原方程为x2-4x+2=0.解得x1=2+√2,x2=2-√2.21.解:如图,过点P作PQ⊥AB于点Q.由已知可得∠APQ=30°,则AQ=12AP.∵AP=20×10=200(米),∴AQ=100(米),∴PQ=√AB2-AQ2=100√3(米).在Rt△BPQ中,sin B=PQBP ,∴BP=PQsinB≈100√3÷0.60≈288(米).∴此时小亮与妈妈相距约288米.22.解:(1)这20位同学暑期阅读课外书册数的中位数是(5+5)÷2=5(册),众数为5册, 平均数为0×1+2×2+3×4+5×8+6×2+8×2+10×120=4.7(册).故这20位同学暑期阅读课外书册数的中位数是5册,众数是5册,平均数是4.7册. (2)中位数和众数 (3)4.7×600=2820(册).答:该校新九年级学生暑期阅读课外书的总册数约是2820册. 23.解:(1)3月份应交水费10+5a (8-a )=(10+40a-5a 2)元. (2)由题意,得5a (7-a )+10=70,解得a 1=3,a 2=4. 5a (5-a )+10=40,解得a 1=3,a 2=2.综上,a=3.(3)既然我们的水资源比较缺乏,就要提高节水技术、防治水污染、植树造林(答案合理即可). 24.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°.∵∠FHC=∠EHD ,∠HFC+∠FHC=∠HED+∠EHD=90°,∴∠HED=∠HFC.又∵∠GFB=∠HFC ,∴∠GFB=∠HED ,∴△BGF ∽△DHE.(2)如图,延长AD 交FH 的延长线于点N ,过点N 作NM ⊥BC 交BC 的延长线于点M , 则四边形DNMC 为矩形,∴DN=CM ,MN=CD=AB=120 cm .∵∠FHC=∠EHD ,∠FHC=∠NHD ,∴∠EHD=∠NHD.在△EDH 和△NDH 中,{∠EDH =∠NDH =90°,DH =DH ,∠EHD =∠NHD ,∴△EDH ≌△NDH ,∴DN=DE=120 cm .∵∠B=∠M=90°,∠GFB=∠HFC ,∴△GBF ∽△NMF ,∴BGMN =BFMF .∵AB=120 cm,AG=80 cm,∴BG=40 cm,∴40120=BF240-BF+120.解得BF=90(cm).25.解:(1)点P 关于原点的对称点P'的坐标是-12,-8.(2)∵P12,8在反比例函数y=k 2x的图像上,∴k 2=12×8=4,∴反比例函数的表达式是y=4x . ∵Q (4,m )在反比例函数y=4x 的图像上,∴4m=4,解得m=1,∴Q (4,1). ∵一次函数y=k 1x+b 的图像过P12,8,Q (4,1)两点,∴{12k 1+b =8,4k 1+b =1,解得{k 1=-2,b =9.∴一次函数的表达式是y=-2x+9.(3)如图,过点P'作P'B ⊥x 轴于点B ,则P'B=8,BO=12. 对于y=-2x+9,令y=0,则x=92,∴AB=12+92=5.在Rt △ABP'中,tan ∠P'AO=P 'B AB =85.26.解:问题呈现证明:在CB 上截取CG=AB ,连接MA ,MB ,MC ,MG. ∵M 是ABC⏜的中点,∴MA ⏜=MC ⏜,∴MA=MC. 在△MBA 和△MGC 中,{BA =GC ,∠A =∠C ,MA =MC ,∴△MBA ≌△MGC (SAS),∴MB=MG.又∵MD ⊥BC ,∴BD=GD ,∴CD=GC+GD=AB+BD. 实践应用 (1)BE=CE+AC.(2)∵AB=AC ,∴AB⏜=AC ⏜,∴A 是BAC ⏜的中点.∵AE ⊥CD ,根据阿基米德折弦定理,得CE=BD+DE. ∵△BCD 的周长为4√2+2,∴BD+CD+BC=4√2+2,∴BD+DE+CE+BC=2CE+BC=4√2+2. ∵BC=2,∴CE=2√2.在Rt △ACE 中,∵∠ACD=45°,∴AE=CE=2√2,∴AC=4.。
