期末复习 图形的相似

本章复习【知识与技能】掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定解决具体问题.【过程与方法】通过回顾和梳理本章知识了解图形的相似有关知识.【情感态度】在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.【教学重点】相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.【教学难点】能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及其之间的关系.二、释疑解惑，加深理解1.比例的基本性质：线段的比；成比例线段；黄金分割.2.图形的相似：相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方.3.三角形相似：两个三角形相似的条件.4.图形的位似：能够利用位似将一个图形放大或缩小.5.利用相似解决实际问题（如：测量旗杆的高度）.【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.三、典例精析，复习新知1.若2a b b c a c m c a b+++===-，则m=±1.解析：分a+b+c ≠0和a+b+c=0两种情况.2.如图，在△ABC 中，AB=AC=27，D 在AC 上，且BD=BC=18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝10. 解析：由△ABC ∽△BCD ，列出比例式，求出CD ，再用△ABC ∽△AED 求DE. 3.已知：如图，F 是四边形ABCD 的对角线AC 上一点，EF ∥BC ，FG ∥AD.求证：AE CG AB CD +=1.分析：利用AC=AF+FC.解：∵EF ∥BC ，FG ∥AD ，∴.AE AF CG CF AB AC CD CA ==， 1.AE CG AF CF AC AB CD AC CA AC+=+== 4.如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 为BC 的中点，延长AC 、DE 相交于点F ，求证：AC AF BC DF ＝.分析：过F 点作FG ∥CB ，只需再证GF=DF.解：如图（2），作FG ∥BC 交AB 延长线于点G.∵BC ∥GF ，∴AC AF BC GF ＝. 又∠BDC=90°，BE=EC ，∴BE=DE.∵BE ∥GF ，∴DF DE GF BE ==1. ∴DF=GF.∴AC AF BC DF =. 四、复习训练，巩固提高1.如图，AB ∥CD ，图中共有6对相似三角形.2.如图，已知AD ∥EF ∥BC ，且AE=2EB ，AD=8cm ，BC=14cm ，则S 梯形AEFD ︰S 梯形BCFE =2013. 解析：延长EA ，与CD 的延长线交于P 点，则△APD ∽△EPF ∽△BPC.3.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°，在BC 边上取一点D ，使BD=BA ，连接AD.求证：（1）△ADC ∽△BAC ；（2）点D 是BC 的黄金分割点.证明：（1）∵AB=AC ，∠BAC=108°，∴∠B=∠C=36°，∵BD=BA ，∴∠BAD=72°，∴∠CAD=36°，∴∠CAD=∠B ，∵∠C=∠C ，∴△ADC ∽△BAC ；（2）∵△ADC ∽△BAC ， ∴AC BC CD AC =， ∴AC 2＝BC ²CD ，∵AC=AB=BD ，∴BD 2＝BC ²CD ，∴点D 是BC 的黄金分割点.4.如图，路灯（P 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？图（1） 图（2）分析：如图（2），由于AC ∥BD ∥OP ，故有△MAC ∽△MOP ，△NBD ∽△NOP ，即可由相似三角形的性质求解.解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP ，∴△MAC ∽△MOP.∴MA AC MO OP =，即20MA MA +=1.68，解得，MA=5米；同理，由△NBD ∽△NOP ，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.【教学说明】解此题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出式子，即而得出结论.五、师生互动，课堂小结这节课知识方面你收获了什么？数学思想方法方面你收获了什么？学习习惯方面你又收获了什么？1、布置作业：教材P103~107“复习题”.2、完成创优作业中本课时部分.通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形的相似的有关知识解决实际问题.经过不断地练习，使学生能够将本章的内容很好的融合的一起.。

图形的相似单元复习知识点回顾：知识点1.．相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。

（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关．知识点2．相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性．知识点3．相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形．解读：（1）相似三角形是相似多边形中的一种；（2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；（3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；（4）相似用“∽”表示，读作“相似于”；（5）相似三角形的对应边之比叫做相似比．知识点4．相似三角的判定方法（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似．（3）如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（4）如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．（5）如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似．知识点5．相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边的比相等；（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方．知识点6.相似三角形的基本类型两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：注意分清相似三角形中对应角和对应边。

九年级相似图形知识点归纳相似图形是几何学中的一个基本概念，它指的是形状相似但尺寸不同的两个或多个图形。

在九年级的数学学习中，相似图形是一个重要的知识点，涉及到比例、比例尺、相似比等概念。

本文将对九年级相似图形的相关知识进行归纳总结。

一、相似图形的定义相似图形是指在形状上相似但尺寸不同的两个或多个图形。

相似图形具有以下特点：1. 对应角相等：两个相似图形的对应角都相等；2. 对应边成比例：两个相似图形的对应边的长度成比例。

二、相似图形的判定方法1. AAA判定法：若两个图形的对应角分别相等，则它们是相似图形。

2. AA判定法：若两个图形的两组对应角分别相等，则它们是相似图形。

三、相似图形的性质和定理1. 三角形的相似定理：a. AA相似定理：如果两个三角形的两组对应角相等，则这两个三角形是相似的。

b. SSS相似定理：如果两个三角形的三组对边成比例，则这两个三角形是相似的。

c. SAS相似定理：如果两个三角形的一组对边成比例且对应角相等，则这两个三角形是相似的。

2. 相似三角形的性质：a. 对应边成比例：相似三角形的对应边的长度成比例。

b. 三角形内角对应：相似三角形的内角都对应相等。

四、相似图形的应用相似图形的知识在实际生活和实际问题中有广泛应用，例如：1. 测量：利用相似图形的知识可以进行测量，如通过测量一个三角形的边长和另一个相似三角形的边长，可以得到未知边长的长度。

2. 设计：在设计中，相似图形的概念可以应用于建筑、道路等方面，通过对已知图形进行放大或缩小，使其与实际需求相适应。

3. 地图测绘：地图上的比例尺就是利用相似图形的原理进行测绘的。

五、示例题目1. 已知两个三角形的对边成比例，但两个三角形的对应角不全等，是否可以判定这两个三角形是相似的？2. 若一个平面图形与一个已知的相似图形所对应的角相等，并且对应边成比例，能否判断这两个图形是相似的？六、总结九年级相似图形是一个重要的几何学知识点，它涵盖了相似图形的定义、判定方法、性质和应用等方面。

图形相似复习课教案一、教学目标1. 回顾和巩固图形相似的概念和性质。

2. 提高学生解决实际问题的能力，运用图形相似的性质进行计算和证明。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

二、教学内容1. 图形相似的定义和性质2. 相似图形的对应边和对应角的关系3. 相似图形的面积和周长的计算4. 实际问题中应用图形相似的性质5. 图形相似的证明方法三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理，探索图形相似的性质。

2. 利用多媒体课件和实物模型，帮助学生直观地理解图形相似的概念和性质。

3. 组织小组讨论和合作交流，促进学生之间的互动和思考。

四、教学步骤1. 复习导入：通过提问和复习已学过的图形相似的概念和性质，激发学生的记忆和兴趣。

2. 探究活动：引导学生观察和分析一些实际问题，运用图形相似的性质进行解决，巩固和应用知识。

3. 证明练习：给出一些图形相似的证明题目，要求学生运用所学的证明方法进行解答，培养学生的逻辑思维能力。

4. 总结归纳：通过学生的小组讨论和总结，归纳出图形相似的主要性质和应用方法。

5. 课后作业：布置一些有关图形相似的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。

五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况，评估学生对图形相似概念和性质的理解程度。

2. 练习解答：评估学生在练习题中的解答情况，检查学生对图形相似性质的应用能力。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作交流和思考问题的能力。

4. 课后作业：通过学生完成的课后作业，评估学生对图形相似知识的掌握程度和解题技巧。

六、教学资源1. 教材或教学指导书：提供图形相似的相关理论知识。

2. 多媒体课件：通过动画和图片展示图形相似的性质和实例。

3. 实物模型：使用几何模型或纸牌等物品，帮助学生直观理解图形相似。

4. 练习题库：提供一系列图形相似的练习题，包括不同难度层次的问题。

图形相似复习课教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）能够理解图形相似的定义及性质；（2）能够运用相似性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、操作、交流等活动，提高学生对图形相似的认识；（2）培养学生运用相似性质解决几何问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对图形相似的兴趣；（2）培养学生勇于探究、积极进取的学习精神。

二、教学内容1. 图形相似的定义及性质；2. 相似图形的判定方法；3. 相似图形的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）图形相似的定义及性质；（2）相似图形的判定方法；（3）相似图形的应用。

2. 教学难点：（1）图形相似的性质在实际问题中的应用；（2）相似图形的判定方法的灵活运用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究；2. 利用多媒体辅助教学，直观展示图形相似的特点；3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程1. 导入新课：（1）复习已学过的图形相似的定义及性质；（2）提问：在日常生活中，你们见过哪些相似的图形？2. 自主学习：（1）学生自主探究相似图形的判定方法；（2）学生举例说明相似图形的应用。

3. 课堂讲解：（1）讲解图形相似的定义及性质；（2）讲解相似图形的判定方法；（3）讲解相似图形的应用。

4. 课堂练习：（1）学生独立完成练习题；（2）教师点评并解答学生疑问。

5. 总结拓展：（1）学生总结本节课所学内容；（2）教师提出拓展问题，引导学生课后思考。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对图形相似概念的理解程度，以及学生对相似性质和判定方法的掌握情况。

2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对相似图形应用的掌握程度。

3. 小组讨论：观察学生在小组合作学习中的参与程度，评估学生的团队合作能力。

七、教学反思本节课结束后，教师应反思教学效果，包括学生对图形相似知识的掌握情况、教学方法的适用性以及学生的学习兴趣等方面。

图形的相似知识点总复习含解析一、选择题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】【分析】【详解】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.2．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，使得△A'B'C的边长是△ABC的边长的2倍．设点B的横坐标是﹣3，则点B'的横坐标是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据位似图形的性质得到B′C＝2BC，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．【详解】解：作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，则BD∥B′E，由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，∴△BDC∽△B′EC，∴1'2 CD BCCE B C==，∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，∴点B'的横坐标是3，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（）A．AD DEDB BC=B．BF EFBC AB=C．AEEC FCDE=D．EF BFAB BC=【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的判定与性质逐项分析即可.由△ADE∽△ABC，可判断A的正误；由△CEF ∽△CAB，可判定B错误；由△ADE～△EFC，可判定C正确；由△CEF∽△CAB，可判定D错误.【详解】解：如图所示：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴DE AD AD BC AB DB=≠，∴答案A错舍去；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，CF EF BC A B B BF C =≠ ∴答案B 舍去∵∠ADE ＝∠B ，∠CFE ＝∠B ，∴∠ADE ＝∠CFE ，又∵∠AED ＝∠C ，∴△ADE ～△EFC ，∴AE DE EC FC=，C 正确； 又∵EF ∥AB ， ∴∠CEF ＝∠A ，∠CFE ＝∠B ，∴△CEF ∽△CAB ，∴EF CE FC BF AB AC BC BC==≠， ∴答案D 错舍去；故选C ．【点睛】 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似是解题的关键．4．如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，AC 分别交BE ，DF 于G ，H ，试判断下列结论：①△ABE ≌△CDF ；②AG ＝GH ＝HC ；③2EG ＝BG ；④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，其中正确的结论是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据SAS ，即可证明①△ABE ≌△CDF ；在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，根据有一组对边平行且相等四边形是平行四边形，即可证明四边形BFDE 是平行四边形，由AD ∥BC ，即可证明△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，然后根据相似三角形的对应边成比例，证得AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2，即可证得②AG ＝GH ＝HC ，③2EG ＝BG ；由S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，可得结论④S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，∠BAE ＝∠DCF ，BC ＝DA ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AGE ∽△CGB ，△CHF ∽△AHD ，∴AG ∶CG ＝EG ∶BG ＝AE ∶CB ，CH ∶AH ＝CF ∶AD ，∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，∴AE ＝12AD ，CF ＝12BC ， ∴AE ∶CB ＝1∶2，CF ∶AD ＝1∶2，∴EG ∶BG ＝AG ∶CG ＝1∶2，CH ∶AH ＝1∶2∴AG ＝CH ＝１３AC ，2EG ＝BG ，故③正确； ∴AG ＝GH ＝HC ，故②正确；∵S △ABG ＝2S △AEG ，S 四边形GHD E ＝3S △AEG ，∴S △ABG ：S 四边形GHDE ＝2：3，故④正确，故选：D【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解本题的关键．5．如图所示，Rt AOB ∆中，90AOB ∠=︒ ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）A 5B 5C 25D 10【答案】B【解析】【分析】过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的性质得到S△BDO=52，S△AOC=12，根据相似三角形的性质得到=5OBOA=，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴于D，则∠BDO=∠ACO=90°，∵顶点A，B分别在反比例函数()1y xx=>与()5y xx=-<的图象上，∴S△BDO=52，S△AOC=12，∵∠AOB=90°，∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴251522BODOACS OBS OA⎛⎫==÷=⎪⎝⎭△△，∴5OBOA=，∴tan∠BAO=5OBOA=.故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB的中点，点P是直线BC 上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若B1D⊥BC，则点P与点B之间的距离为（）A．1 B．54C．1或 3 D．54或5【答案】D【解析】【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线分线段成比例可得12BD BE DEAB BC AC===，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长．【详解】解：如图，若点B1在BC左侧，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴225AC BC+∵点D是AB的中点，∴BD=12BA=52∵B1D⊥BC，∠C=90°∴B1D∥AC∴12 BD BE DEAB BC AC===∴BE=EC=12BC=2，DE=12AC=32∵折叠∴B1D=BD=52，B1P=BP∴B1E=B1D-DE=1∴在Rt△B1PE中，B1P2=B1E2+PE2，∴BP2=1+（2-BP）2，∴BP=5 4如图，若点B1在BC右侧，∵B1E=DE+B1D=32+52，∴B1E=4在Rt△EB1P中，B1P2=B1E2+EP2，∴BP2=16+（BP-2）2，∴BP=5故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则BQAQ的值为（）A2B3C．22D3【答案】A【解析】【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将BQAQ转化为BQAC，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝22AD，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∴AD＝CD＝BD，由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，∴AC′＝AQ＝AC，由△AEC∽△BDQ得：BQAC＝BDAE，∴BQAQ＝BQAC＝ADAE＝2AE＝2．故选：A．【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键．8．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A 、E 两点分别作AN ⊥BD 、EM ⊥BD ，垂足分别为M 、N ，则EM ∥AN ，∴EM ：AN ＝BE ：AB ，∵E 为AB 中点，∴BE=12AB ， ∴EM ＝12AN ， ∵平行四边形ABCD 的面积为8，∴2×12×AN×BD ＝8， ∴AN×BD ＝8 ∴S △OED ＝12×OD×EM ＝12×12BD×12AN ＝18AN×BD ＝1． 故选：C ．【点睛】 本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．9．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为( )A ．2∶3B ．4∶9C 23D ．3∶2 【答案】B【解析】【分析】 根据两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以224()39ABC DEF S S ==V V ． 【详解】因为△ABC ∽△DEF ，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，所以S △ABC ：S △DEF =（23）2=49，故选B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握：两个相似三角形面积比等于相似比的平方．10．矩形ABCO如图摆放，点B在y轴上，点C在反比例函数ykx=(x＞0)上，OA＝2，AB＝4，则k的值为（）A．4 B．6 C．325D．425【答案】C【解析】【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠AOC=90°，OC=AB，根据勾股定理得到OB22OA AB=+=5C作CD⊥x轴于D，根据相似三角形的性质得到CD855=，OD45=求得8545，)于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCO是矩形，∴∠A＝∠AOC＝90°，OC＝AB，∵OA＝2，AB＝4，∴过C作CD⊥x轴于D，∴∠CDO＝∠A＝90°，∠COD+∠COB＝∠COB+∠AOB＝90°，∴∠COD＝∠AOB，∴△AOB∽△DOC，∴OB AB OA OC CD OD==，∴25424CD OD==，∴CD85=，OD45=，∴4585)，∴k325 =，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．12．如图，点E 为ABC ∆的内心，过点E 作MN BC P 交AB 于点M ，交AC 于点N ，若7AB =，5AC =，6BC =，则MN 的长为（ ）A ．3．5B ．4C ．5D ．5．5【答案】B【解析】【分析】 连接EB 、EC ，如图，利用三角形内心的性质得到∠1=∠2，利用平行线的性质得∠2=∠3，所以∠1=∠3，则BM=ME ，同理可得NC=NE ，接着证明△AMN ∽△ABC ，所以767MN BM -=，则BM=7-76MN①，同理可得CN=5-56MN②，把两式相加得到MN 的方程，然后解方程即可．【详解】连接EB 、EC ，如图，∵点E 为△ABC 的内心，∴EB 平分∠ABC ，EC 平分∠ACB ，∴∠1=∠2，∵MN ∥BC ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴BM=ME ，同理可得NC=NE ，∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴MN AM BC AB = ，即767MN BM -=，则BM=7-76MN①， 同理可得CN=5-56MN②， ①+②得MN=12-2MN ，∴MN=4．故选：B ．【点睛】此题考查三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．13．26，2，A B C '''∆的两边长分别是13，如果ABC ∆与A B C '''∆相似，那么A B C '''∆的第三边长应该是（ ）A 2B ．22C ．62D ．33【答案】A【解析】【分析】根据题中数据先计算出两相似三角形的相似比，则第三边长可求．【详解】解：根据题意，易证ABC ∆∽△A B C '''，且相似比为：2:1，∴△A B C '''的第三边长应该是22=． 故选：A ．【点睛】 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，关键就是要清楚对应边是谁．14．要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知甲三角形框架三边的长分别为50 cm 、60 cm 、80 cm ，乙三角形框架的一边长为20 cm ，则符合条件的乙三角形框架共有（ ）.A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 【答案】C【解析】试题分析：根据相似图形的定义，可由三角形相似，那么它们边长的比相同，均为5：6：8，乙那个20cm 的边可以当最短边，最长边和中间大小的边．故选：C ．点睛：本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．15．如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且BE ⊥AC 于点F ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AF ＝12CF B ．∠DCF ＝∠DFCC ．图中与△AEF 相似的三角形共有5个D ．tan ∠CAD ＝32【答案】D【解析】【分析】由AE=12AD=12BC，又AD∥BC，所以12AE AFBC FC==，故A正确，不符合题意；过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=12BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由△BAE∽△ADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tan∠CAD的值，故D错误，符合题意．【详解】解：A、∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC＝AFFC，∵AE＝12AD＝12BC，∴AFFC＝12，故A正确，不符合题意；B、过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝12 BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，∴∠DCF＝∠DFC，故B正确，不符合题意；C、图中与△AEF相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，△ABE共有5个，故C正确，不符合题意．D、设AD＝a，AB＝b由△BAE∽△ADC，有ba＝2a．∵tan∠CAD＝CDAD＝ba＝22，故D错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．16．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．17．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=33；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP，由相似三角形的性质得到AD=CE，作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质得到1=4KP PIKB BE=，得到BP=3PK，故③错误；作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠3②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD2，故④正确．【详解】解：作PI∥CE交DE于I，∵四边形ABCD为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中，DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON 是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，则根据三角形面积公式，BM=7， ∵点O 是线段BK 的中点，∴PB=3PO ，∴OG=13BM=21， MG=23MP=27， tan ∠OMN=OG MG ，故②正确； ∵∠ABP=90°，BM ⊥AP ，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．18．如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平行线交AC于点F，则下列结论错误的是（）A．AD AEBD EC=B．AF DFAE BE=C．AE AFEC FE=D．DE AFBC FE=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质进行判断.【详解】∵DE//BC，∴AD AEBD EC=，故A正确；∵DF//BE，∴△ADF∽△ABF, ∴AF DFAE BE=，故B正确；∵DF//BE，∴AD AFBD FE=，∵AD AEBD EC=，∴AE AFEC FE=，故C正确；∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC,∴DE ADBC AB=，∵DF//BE，∴AF ADAE AB=，∴DE AFBC AE=，故D错误.故选D.【点睛】本题考查平行线分线段成比例性质，相似三角形的性质，由平行线得出比例关系是关键.19．平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（）A．S112=S2B．S114=S2C．S1＝2S2D．S1＝4S2【答案】D【解析】【分析】先根据点P及其对应点判断出变换的类型，再依据其性质可得答案．【详解】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（12a+1，12b﹣1）知，此变换是以点（2，﹣2）为中心、2：1的位似变换，则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，∴S1＝4S2，故选：D．【点睛】本题主要考查几何变换类型，解题的关键是根据对应点的坐标判断出其几何变换类型．20．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM．∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=12OA=2．由勾股定理得：5设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．∴BF OF CM AMDE OE DE AE==，x2x2255-，，解得：)52x5BF?x CM22-==，．∴5．故选A．。