第四章 转动参照系
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第四章 转动参考系
第四章 转动参考系第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d ？在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
转动参考系
第四章转动参照系本章应掌握①转动参照系中的速度、加速度计算公式及有关概念；②转动参照系中的动力学方程；③惯性力的有关概念、计算公式；④地球自转产生的影响。
第一节平面转动参照系本节应掌握：①绝对运动、相对运动、牵连运动的有关概念及相互关系；特别是科里奥利加速度的产生原因；②平动转动参照系中的速度和加速度。
一、绝对运动、相对运动、牵连运动有定系οξηζ，另一平面以角速度ω绕轴旋转，平板上固定坐标系oxyz，oz轴与οζ轴重合。
运动质点P相对板运动。
由定系οξηζ看到的质点的运动叫绝对运动；动系oxyz看到的质点运动叫相对运动；定系上看到的因动系转动导致质点所在位置的运动叫牵连运动。
绝对速度、加速度记为；相对速度、加速度记为V',a'。
二、平动参照系中的速度、加速度1、v和a的计算公式速度：（为牵连速度）加速度：其中，牵连加速度a l为：（转动加速度+向心加速度）科里奥利加速度：2、科里奥利加速度a c①它产生条件是：动系对定系有转动；质点相对动系的运动速度不为零，而且运动方向与转轴方向不平行。
②它产生原因是：科氏加速度的产生在于牵连运动与相对运动的相互影响：从静止系看来，一方面牵连运动使相对速度发生改变，另一方面，相对运动也使牵连速度中的发生改变，两者各贡献，结果科氏加速度为。
三、平面转动参照系问题解答例关键是分清定系，动系和运动物体；然后适当选取坐标系，按公式计算。
[例1]P263 4.1题等腰直角三角形OAB，以匀角速ω绕点O转动，质点P以相对速度沿AB边运动。
三角形转一周时，P点走过AB。
求P质点在A 点之速度、加速度（已知AB=b）解：（1）相对动系（直角三角形）的速度v r=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向）A点的牵连速度（方向垂直）由V=V r+V e，利用矢量合成法则，得到（2）加速度，因匀速，所以相对加速度α'=0 又匀角速转动，所以角加速牵连加速度，大小，方向沿科氏加速度注意到，所以其大小方向与AB边垂直（见图4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角第二节空间转动参照系本节要求：①掌握空间转动参照系中绝对、相对、牵连变化率等概念；②掌握空间转动参照系中的速度V、加速度a的计算公式。
第四章 空间转动参考系 (302宿舍作品)
将速度沿转动的反 方向转一直角，即可得 出科里奥利力的方向。
对于平面转动参考系来讲，参考 系转动的角速度恒与质点相对于参考 系的速度垂直。
返回
课堂巩固
[例] 在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球。此管以恒定角速度 ω绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距 离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对 小球的约束反作用力。
2
••
••
•
其中
a′ = x+ y aτ =ω×r −ω r ac = 2ω×v′
2 •
相对加速度
•• ••
牵引加速度
a = a′ + aτ + ac
科里奥利加速度
习题讲解
例题 圆盘半径为R，以匀速角速度ω绕垂直于 盘心O的轴线转动。一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’ 向外运动，试求质点加速度各分量的量值（如下图）
返回
②惯性离心力
惯性离心力是由于转动 参考系的转动所引起的。 参考系的转动所引起的。惯 性离心力的量值和ω的平方 O 及质点离开坐标轴原点O的 距离r成正比，它的方向则 自坐标原点O沿矢径向外， 如图所示。
返回
ω
υ′
r
P
mω 2 r
− 2 mω × υ ′
③科里奥利力
科里奥利力是由于参考系的转动及质点对此转动参考 系又有相对运动所引起的。 系又有相对运动所引起的。科里奥利力的量值与参考系转 动的角速度ω及质点相对于参考系的速度成正比，方向垂 直于它们所确定的平面。
由此可知绝对速度等于相对速度与牵引速度的 矢量和，由公式表示为
ω
ω
v = v′ + ω × r
相对加速度、向心加速度、科里奥利加速度（ 相对加速度、向心加速度、科里奥利加速度（一）
对于平面转动参考系来讲，参考 系转动的角速度恒与质点相对于参考 系的速度垂直。
返回
课堂巩固
[例] 在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球。此管以恒定角速度 ω绕通过管子一端的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴的距 离为a，球相对于管子的速度为零，求小球沿管的运动规律及管对 小球的约束反作用力。
2
••
••
•
其中
a′ = x+ y aτ =ω×r −ω r ac = 2ω×v′
2 •
相对加速度
•• ••
牵引加速度
a = a′ + aτ + ac
科里奥利加速度
习题讲解
例题 圆盘半径为R，以匀速角速度ω绕垂直于 盘心O的轴线转动。一质点沿径向槽自盘心以匀速度v’ 向外运动，试求质点加速度各分量的量值（如下图）
返回
②惯性离心力
惯性离心力是由于转动 参考系的转动所引起的。 参考系的转动所引起的。惯 性离心力的量值和ω的平方 O 及质点离开坐标轴原点O的 距离r成正比，它的方向则 自坐标原点O沿矢径向外， 如图所示。
返回
ω
υ′
r
P
mω 2 r
− 2 mω × υ ′
③科里奥利力
科里奥利力是由于参考系的转动及质点对此转动参考 系又有相对运动所引起的。 系又有相对运动所引起的。科里奥利力的量值与参考系转 动的角速度ω及质点相对于参考系的速度成正比，方向垂 直于它们所确定的平面。
由此可知绝对速度等于相对速度与牵引速度的 矢量和，由公式表示为
ω
ω
v = v′ + ω × r
相对加速度、向心加速度、科里奥利加速度（ 相对加速度、向心加速度、科里奥利加速度（一）
转动力学解题指导
第四章 转动参照系解题指导（一）基本要求这一章实际上是在两个作相对运动的参照系上研究对同一质点（或物体）所观察到运动特征间的关系。
因此从运动学来说，这是运动合成的问题；以动力学来说，则是如何对非惯性系建立运动方程的问题。
在数学处理前应该注意到下面几点。
（二）解题要点首先，应该注意参考系、坐标系、观察者三位一体。
我们说“相对某某坐标系运动”，“从某某坐标系来看”等等，意思是指站在该坐标系上（比如原点处）的观察者所看到的运动。
因此，当牵涉到不同坐标系时，大家应该把自己“扮演”成不同角色，在这些坐标系之间“跳来跳去”，并设身处地的想一想，这样才有助于对问题的理解。
为了理解牵连速度，就需要会严格区分质点P 和它在动点P '上所占据的几何位置（或重合点）。
由于动系在不同时刻运动状态并不相同，所以质点P 在动系上几何位置P '也不固定，因此牵连运动随时随地在发生变化。
理解转动参照系（相对运动）的关键就在这里。
无论是平动还是空间转动参照系，质点的绝对速度总等于相对速度和牵连速度的矢量和。
也就是说，在转动参照系S '中，任一矢量G 对固定参照系S 的时间变化率总可写成：绝对变化率=相对变化率+牵连变化率。
G GG⨯+=*ωdt d dt d由于在加速度矢量中出现了科氏加速度c a （实际上也是牵连变化的一部分）。
这个加速度对在动坐标系中的观察者是观测不到的，但它又是绝对变化的一部分。
另外，在解决运动学或动力学问题时，泊松公式必须常记心中。
它们是：k ωk j ωj i ωi⨯=⨯=⨯=dt d dt d dt d ；；解答相对运动中关于加速度的合成问题时，我们建议一般采用以下步骤：1.确定定系（一般取固连在地球表面的参照系）、动系（取相对定系运动的物体上）、动点（研究对象）、相对运动（动点对动系的运动）、牵连运动（动系对定系的运动）、绝对运动（动点对定点的运动）。
2.分析动系的运动规律，及运动类型（平面，空间转动），不同类型，所列方程不一样。
理论力学课件：第四章_转动参照系
为r 的圆柱上作纯滚动，圆管中心的速度 v0 u 。试求小球在图示
位置时的绝对速度和绝对加速度
解：运动分析： 小球相对圆管运动：圆周运动
C
o1h
u
j
牵连运动：平面平行运动（纯滚动）
v小tv球的uv绝j0 对u速i度：3vrorMj
v' vt
3r
ui 2uj
u
u 3r
ho
3
r
v0
2
11
x a (e t e t ) ach( t)
2 管对小球的约束反作用力为：
R
y
mg
Rz
2m
x
2m 2
a (e t 2
e t )
2ma 2sh( t)
②选用惯性参照系，建立柱坐标系，小球受力分析如 图所示，运动微分方程为：
m(r
m(r
r2 ) 2r)
Fr R
0
mz Rz mg 0
Res Re
1 365
2
1 105 4
0.2
aces esv 1 0.003 ace ev 365
13
Ft mR02 cos
mg F Ft
F sin mg sin( )
Ft sin mg sin
mg(sin cos cos sin )
F mg cos Ft cos
Ft mx1A ma2 sin t
l g sin a2 cos sin t x l sin l , cos 1
OA
x
F
x1
M
y Ft mg
y1
x g x a2 sin t
l
若考虑空气阻力：
x 2 x e2x a2 sint
第四章转动参照系
(4.2.1)
(4.2.2)
(4.2.3)
(4.2.4)
d G dGx dGy dGz i j k ,是 i , j , k 固定不动时的 G 变化率. 式中 dt dt dt dt
*
* dG dG 故 包含两部分:一为观测者在 S 系所观测出来的 G 的变化率 dt dt
(4.2.10)
式中
d 2 at r ( r ) r dt * d r ac 2 2 v dt
(4.2.11)
如质点 P 固着在 S 系上不动,则 v 0 ,故 a 0， ac 0 ,而 a 与 at
其中 又
vM vA AM vr vA R r j , AM r j
rr R
故
R r r
R vr r AM AM R j r
dt dt di dj dk dr yj zk x y z v xi dt dt dt dt y)i ( y x) j (x
（4.1.3）
及y 为 P 对转动参照系 上式中的 x （平板） 诸轴的分速度，
2
2 处可仍按原先 O12 的径向及横向进行投影,因此
vr [v cos t (r vt )sin t ] v [v (r vt )t ] v 2rt
(1)
v [(r vt )cos t v sin t ] r
相等.所以 a t 只和 S 系的转动有关,故称为牵连加速度.它又包括
第四章 空间转动参考系 (302宿舍作品)
（2）三种惯性力 ）
1 2 3
变角速转动惯性力 惯性离心力 科里奥利力
课堂巩固
①变角速转动惯性力
1.表达式：
& − mω × r
2.原因：由于转动参考系作变角速转动所引起的。 由于转动参考系作变角速转动所引起的。 由于转动参考系作变角速转动所引起的
3.特点：如果转动是匀速的，则此项惯性力即为 零。
相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（ 相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（二）
由4.2.4式得
dω d ω dω dω = + ω ×ω = + ω ⋅ sin 0 = dt dt dt dt 2 ω × (ω × r ) = ω (ω ⋅ r ) − ω r
* * *
相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（ 相对加速度、牵引加速度与科里奥利加速度（三）
图1
η
ω
S′
y
j
x
ζ
r
i θ
k
相对速度和牵引速度（ 相对速度和牵引速度（一）
ω矢量在z轴，即ω=ωk 如果p点为平面上运动着的一个质点，则p点的位矢为
r = xi + yj
(4.1.1)
因p和坐标轴都以ω转动由
di di dθ • = ⋅ =θ j dt dθ dt • dj dj dθ = ⋅ = −θ i dt dθ dt
dG dGx dGy dGz di dj dk =( i+ j+ k) + Gx + Gy + Gz dt dt dt dt dt dt dt d∗G = + Gx (ω×i +ω× j +ω×k) （4.2.4） dt d∗G = +ω×(Gxi + Gy j + Gzk) dt d∗G = +ω×G dt
理论力学第四章 转动参照系
y
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
理论力学第4章转动参考系
v v r
相对速度 牵连速度
▪ 对于刚体来说，上一章的 公式显然没有第一项 v 。
▪ P 点对静止系的加速度
▪ 科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
▪ 在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即 ) 可使相对速度 v 发生改变, 而相对运动 ( 即 v ) 又同时使牵连速度 r 中的 r 发生 改变, 即科里奥利加速度 2 v 是由牵连 运动与相对运动相互影响所产生的. ▪ 其方向垂直于 及 v 所决定的平面并且依右
手螺旋法则定其指向. ▪ 如 与v 者中有一为零, 则此项加速度即为零.
§4.2 空间转动参考系
G Gx i G y j Gz k
di dj dk i , j, k dt dt dt
§4.1 平面转动参考系
▪ 在平板参考系上取坐标系 O xy, 它的原点 和静止坐标系原点 O 重合, O xy绕着通过
O点并垂直于平板的直线(即z轴)以角速度
转动.令单位矢量 i , j 固着在平板上的
x轴
和 y 轴上. P 为平板上运动着的一质点
▪ 因 P 和坐标轴都以 转动 所以有 di dj j , i dt dt
为 a0
2 ma F ma0 m r m( r ) m r 2m v
§4.4 地球自转所产生的影响
第24讲结束
r xi yj
▪ 则 P 点相对静止坐标系的速度（不是对平板， 因为对平板， i , j 都是常矢量）为
dr di dj dk i y j z k x v x y z dt dt dt dt y )i ( y x) j (x
第4章 转动参照系
第四章 转动参照系 §4.1 平面转动参照系考虑一旋转的平面参照系oxy ，记为S ′（如平板），其角速度ω沿轴，其原点与静止坐标系(z S ξηo )的原点重合。
令单位矢量、固着在平板上的o i j x 轴和轴上，ω可表为y k ωω=。
再考虑平板上的运动质点P (想象为一小虫)，其位矢为j i r y x += 严格应为：)()()()()(t t y t t x t j i r +=d d d x y x y dt dt dt ==+++r i j v i j ) ()(xy y x ωω=++−+i j i j 其中v j i ′=+y x 应为相对速度（即对转动参照系而言）；0v r ωj i =×=+−x y ωω应为点所在处的牵连速度 P 于是，点的速度为：P r ωv v ×+′=与刚体力学中定轴转动公式r ωv ×=比较可见此处多出了相对速度这一项，原因是刚体上的质点相对刚体是没有相对运动的。
v ′ya j i ′=+yx 为相对加速度； r j i 222ωωω−=−−y x 为平板转动引起的向心加速度；(方向由点指向o 点)P r ωj i ×=+− x y ωω为平板作变角速转动引起的切向加速度（方向与r 垂直，在平板上。
匀速转动时为0）；向心加速度 + 切向加速度 = 牵连加速度；(用表示)t a v ωj i ′×=+−222x yωω为科里奥利加速度。
(用表示)c a 故上式又可写成v ωr r ωa a ′×+−×+′=22ω 或简写为t c ′=++a a a a与平动情况相比，不仅牵连加速度项不同，这里还多了一项，这是转动参照系所特有的。
c a 必须明确两点：1. 平面转动参照系是非惯性系。
这是因为对固结在平面上的点来说，0,0′′≡=v a 。
这时，质点的加速度就等于牵连加速度，所以是非惯性系。
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( ) 牵连速度
ωr × rr = ωkr ×
r xi
+
r yj
= ωxrj − ωyir
∴vr = vr'+ωr × rr
( ) ( ) ar = dvr =
&x&
−
2ωy&
−
ω
2
x
r i
+
&y& + 2ωx& − ω 2 y
r j
−
ω&yir
+
ω&xrj
dt
−
ω&
y
r i
+
ω&
r xj
=
ωr&
×
x
r di
+
y
r dj
+
z
r dk
dt
dt dt dt
= (x& − ωy)ir + (y& + ωx)rj
vr = drr = (x& − ωy)ir + (y& + ωx)rj
dt
x&和y&为P对转动诸轴的分速度，其合速度vr′ = x&ir + y&rj应为相对速度
− ωy和ωx是由于平板带着P点一同转动引起的，是牵连速度在 坐标轴上的分量，其合速度为ωr × rr
第四章 转动参照系
☺ 知识回顾与引言 ☺ 平面转动参照系 ☺ 空间转动参照系 ☺ 非惯性系动力学(二) ☺ 地球自转所产生的影响
2、4、6、10
惯性力
•如果要在非惯性坐标系中应用牛顿第二定律，就必 须引入惯性力（牵连惯性力和科氏惯性力）。惯性力 具有虚假的和真实的两重性。
– 虚假性 既无施力体，也无相应的反作用力。牛顿第 三定律不成立。 惯性力随坐标系的不同而不同。
引得入：SSmrrmmecar==raarr=ar−−mm==Fraarr+FFcrre Sr−e
marear−a m=ararce + arr + arc
（牵连惯性力）
（科氏惯性力）
r + Sc
质点的相对运动微分方程式
在研究质点相对非惯性系的运动时，在形式上仍可 使用牛顿第二定律，条件是在真实力之外再加上牵 连惯性力和科氏惯性力。
a (x2 − a2) 0
( ) ⇒
ln
⎜⎛ ⎜⎝
2a a
+ +
(2a)2 − a 2 (a)2 − a2
⎟⎞ ⎟⎠
= ωt ⇒
t
=
1 ω
ln
2
+
3
（2）空间转动参照系
ar = ar'+art + arc
ar' = mar'
ar =
− r F
art −
− arc mart
−
marc
art
=
dωr dt
Qvr = drr = d *rr + ωr × rr dt dt
∴ar
=
d 2*rr dt2
+
d *ωr dt
×
rr
+ωr
×
d *rr dt
+ωr
×⎜⎜⎝⎛
d *rr dt
+ωr
×
rr
⎟⎟⎠⎞
= d2*rr + d*ωr ×rr +ωr ×(ωr ×rr)+ 2ωr × d*rr
dt2
dt ar ' =
绝对速度：
⇒ x& = 3aω
v=
v
2 相
+
v
2 牵
=
3ω 2a 2 + 4ω 2a 2 =
7aω
∫ ∫ x& x&dx& = x ω 2 xdx ⇒ x& 2 = ω2( x2 − a2 )
0
a
⇒ x& = ω ( x 2 − a 2 )
∫ ∫ ⇒
dx
= ωdt ⇒ 2a
dx
= t ωdt
(x2 −a2)
o z fc = 2mωx
ft = mωx vx
mg
x
由运动微分方程第1式得
&x& = dx& dx = dx& x& = ω 2 x dx dt dx
⇒ x&dx& = ω 2 xdx
4
对x&dx& = ω 2 xdx 两边同时积分
∫ ∫ x& x&dx& = 2a ω 2 xdx
0aLeabharlann ⇒ x& 2 = 3ω 2a 2
由变角速度引起的惯性力 − mωr& × rr 惯性离心力 m ω 2 rr 科里奥利力 − 2mωr × vr'
ω
rr
vr' P mω 2rr
O
− 2mωr ×vr'
实例分析 科里奥利力的方向
例 在一光滑水平直管中, 有一质量为m的小球. 此管以 恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动.如果起始 时, 球距转动轴的距离为a,而的总长为 2a，球相对于管 子的速度为0, （1）求小球沿管的运动规律及管对小球的约束反力. （2）求球刚离开管口时的相对速度与绝对速度，并求
§4.2 空间转动参照系
静止坐标系 S 两坐标系原点重合
转动坐标系 S’ 任意矢量G
r G
=
r Gxi
+
Gy
r j
+
r Gzk
在S’系中
r dG dt
=
dGx dt
r i
+
dGy
dt
r j
+
dGz
dt
r k
+ Gx
r
di dt
+ Gy
r
dj dt
+
Gz
r dk dt
在S系中
r di
=
ωr
×
r i
dt
x(t) = x0 cosh ωt + (v0 /ω ) sinhωt
FN = 2mω(ω x0 sinhωt + v0 coshωt) − mω 2s
质点在转动坐标系中的运动
例3 如图, 写出质点的相对运动微分方程
分析受力：P、N1、N 2(沿z轴) 加惯性力：
Se = −mae , Se = mR sinϕ ⋅ω 2 Sc = −marc , Sc = 2mRωϕ& cosϕ 列写相对运动微分方程
ar aθ
= lim Δvr Δt→0 Δt
= lim Δvθ Δt→0 Δt
=
−ω
2r
⎫ ⎪
⎬
= −2ωv'⎪
⎭
向心加速度 科氏加速度
牵连运动改变了相对速度的方向, 因而产生横向加速度 ωv’, 同时,相对运动又改变了牵连速度ω×r的量值, 产
生横向加速度ωv’,因而科里奥利加速度为 2ω v'
2
=
0
相对平衡
例2 已知：水平圆盘绕O轴转动，角速度ω = const。
求：小球的运动和光滑槽对小球的横向作用力。
解：动坐标系Oxyz固结于圆盘上，研究小球的相对
运动。加惯性力：
SrSrec==m−ω22mxirω+x&rmj ω
2
r sj
相对运动微分方程
m&x& = mω 2x 0 = mω 2s − 2mω x& + FN 初始条件： t = 0, x = x0, x& = v0
vω ×v v′
两个原因形成科氏加速度的直观图像
uv + ωv × vv′
avc =
uv
vv′ A
B
Oωv′
+
vv′ Oω′v
vv
运度里动奥vv′设至里质随想加点圆B，一速以盘质以度速转点角度动a增v速v而vc加′度改相正的ω变对是v速方于上绕度向圆述轴(a（)，盘两转加这半种动速也径加的度就向速圆）造外度盘是成运之。ω对动和v ×加，。vv速单(b′，)度位质的时点贡间相献内对。由速科A
2mωx&
Ry P
Rz x
mω 2 x
x& = Aωeωt − Bω e −ωt
Q
t
=
0,
x
=
a,
x&
=
0
→
A
=
B
=
a 2
( ) x = a eωt + e−ωt = achωt
2
( ) Ry = mg
Rz
=
2mωx&
=
2mω 2
a 2
eωt − e−ωt
= 2maω 2shωt
解法二 在惯性系
rr
r dk
=
ωr
×
r k
dt
r dj
=
ωr
×
r j
dt
d *Gr
=
dGx
r i
+
dGy
r j
+
dGz
r k
dt dt
dt
dt
r dG
=
d *Gr
+ ωr
×
r G
dt dt
相对变化率
牵连变化率
vr = drr = d*rr + ωr × rr dt dt