转动参考系

ma ' F mgk 2m v '
S
P i
j
因为 与 i , k 共面 i j k v ' cos 0 sin x y z sin i z sin j y cos k cos x y
2y sin x 2 ( z h) cos x sin y gt 2y cos z
所以
4 2 sin x sin ( z h) cos x 2 gt cos 4 2 y y g 4 2 cos x sin ( z h) cos z
2*
其中
小结
空间转动参照系
d r a 2 dt
2*

dr d * r v dt dt 相对速度 d *
dt r
r
牵连速度
r dr 2 dt
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
§4.3 非惯性系动力学（二）
第四章 转动参考系
§4.1 平面转动参考系
在平板参考系上取坐标系O-xy, 它的原点和静止坐 标系原点O重合, O-xy绕着通过O点并垂宜于平板的直 线(即z轴)以角速度转动.令单位矢量 i , j 固着在平板 上的x轴和y轴上. P为平板上一质点
r xi yj
因 P 和坐标轴都以角速度 运动, dj di j , i dt dt
如转动坐标系的原点与固定坐标系的原点 O 重合，并 以角速度 绕着O转动，则对静止系来说, 一个在转动 系中运动的质点P的绝对速度为
* dr d r v dt dt 相对速度 r
牵连速度
* dv d v v a dt dt 2* * d r d 2 r dt dt 2* * d r d 2 r dt dt


小结
惯性力
d m r m r dt
*

参照系做变角速运动引起的. 参照系转动引起的惯性离心力 科里奥利力
2 m r m r
*
dr 2 m 2 m v ' dt
§4.4 地球自转所产生的影响
消去时间, 得到轨道方程
y z 0, x y 0, z h t 0, x
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
所以对
积分, 得
地球既有自转又有公转, 所以是非惯性参考系. 公转的角速度很小, 常可忽略不计. 自转的角速度 约为7.3l0-5rad/s, 虽然也比较小, 但却产生了一些 可以观察到的现象.
1 惯性离心力 地球绕地轴自转角速度是沿地轴的一个常矢量, 所以
2 F离心 m r m r

所以质点P运动微分方程的分量形式为
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
利用科里奥利力可以解释一些地球上发生的基本现象 a．贸易风 在地球上, 热带的空气 因热上升, 并在高 空向两极推进, 而两极空气因冷下降, 在地面附近向赤 道附近推进,形成了一种对流, 故称为贸易风. 但由于 受到科里奥利力的作用, 南北向的气流, 就会发生东西 向的偏转. 如果气流自北向南推进, 则所受到科里奥利 力沿东西方向. 故北半球(sin ＞0)地面附近自北向南 的气流 , 有朝西的偏向 , 成为 东北贸易风 . 而在 南半球 (sin＜0)地面附近自南向北的气流, 也有朝西的偏向, 而成为东南贸易风. 大气上层的反贸易风在北半球为 西南贸易风, 在南半球为西北贸易风.
在高度不大时, 2项的值很小, 计算发现比科里奥利 加速度小100倍, 所以可以忽略. 这样上式就简化为
0, 2 gt cos , g x y z
两次积分, 并考虑初始条件, 得
1 3 1 2 x 0, y gt cos , z h gt 3 2

y
j



S
O k
P r i
x

则P 点相对静止坐标系的速度
dr di dj dk i y j z k x y z x v dt dt dt dt y i y x j x
b．轨道磨损和河岸冲刷 当物体在地面运动时, 在北半球 (sin＞0) 科里奥利 力的水平分量指向运动的右侧, 这样长年累月的作用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡峭. 而在南半球 (sin＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或者 冲刷比较厉害. 双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题 假定质点由高度h自由下落,认为重力不变,且不受其他 外力, 显然有

惯性力有三项:
d m r m r dt
*

参考系做变角速运动引起的
2 m r m r
dr 2 m 2 m v ' dt
*
参考系转动引起的惯性离心力
科里奥利力
如转动坐标系角速度 恒定
转动参考系以角速度 相对于静止参照系转动, 因 此转动参照系是非惯性参照系, 牛顿运动定律对这种参 照系来讲, 是不成立的. 在非惯性系质点m动力学方程为
* * dr d 2 ma ' F m r m r m r 2m dt dt
和 y 为P对转动参考系(平板)诸轴的分速度, 合 上式中 x 成应为相对速度v′. 而y和x，是由于平板转动而带 r ，因此 动P一同转动所引起的，故应为牵连速度
v v' r
相对速度 牵连速度
P的加速度为
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt 2 2 yi xj 2y i j xi yj i 2x j x y 2 r a' r 2 r



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相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
相对速度 v '发生改变, 而相对运动 ( 即 v ' ) 又同时使 r r 牵连速度 中的 发生改变 , 即科里奥利加速度 2 v '是由牵连运动与相对运动相互影响所产生的. 其方向垂直于 及 v '所决定的平面并且依右手螺
2 r
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
§4.2 空间转动参考系
转动参考系以角速度 转动, 角速度的大小和方向都 随时间改变. 在转动参考系上取坐标系O-xyz, 它的原 点和静止坐标系原点O重合. 令单位矢量 i , j , k 固着 在转动刚体的x轴、y轴和z轴上. 任一个矢量可以表 述为
dr dt
*
d r dt r d *r r 2 dt
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度

2 ma ' F m R 2m v '
R 表示质点到转动轴的距离矢量.
a0 , 则 O的加速度为
如果转动系的原点O′不和静止系原点O重合, 且O′对
2 ma ' F ma0 m r ' m r ' m r ' 2m v '

G Gx i G y j Gz k
单位矢量以角速度 运动, d i d j dk i , j, k dt dt dt

在静止坐标系，G的变化率
d G d G x d G y dG z di dj dk G y Gz i j k Gx dt dt dt dt dt dt dt * dG G dt d *G 上式中 dt 为坐标系不动时 G的变化率, 即相对变化率. 而 G 是坐标系转动所引起的, 故应为牵连变化率.
惯性离心力的作用使重力常小于引力. 重力随着纬度发生变化, 在纬度越低的地方重力 越小. 只有在两极的地方, 重力和引力才相等. 另外, 重力的方向也不与引力的方向一致. 引力的作用线通 过地球的球心，而重力的作用线一般并不通过地球的 球心.
2 科里奥利力 当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性 离心力和科里奥利力的作用. 由于质点离地轴的距离 的变化不太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点 运动只要考虑科里奥利力.
旋法则定其指向.
在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即 )可使

如 与 v ' 者中有一为零, 则此项加速度即为零.
平面转动参照系
小结 v v' r
相对速度 牵连速度
a a'
相对加速度 P相对平板
r
2


r
例一质点在北半球的某点 P 上以 速度 v ' 相对于地球运动, P点的纬 度为. 图中SN是地轴, 地球自转 的角速度 就沿着该轴. 单位矢量 i , j , k 固着在地球表面上. 且 i 水 平向南, j 水平向东, k 竖直向上. 则在地球上看
N


k
如果质点固定在转动系中, v ' 0, 故a ' 0, ac 0, 则
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我 们通常把这种平衡叫做相对平衡.
ac
科里奥利加速度
d r a' 2 dt * * d d 2 r r r r r at dt dt * 角速度 转动 dr 2 v ' ac 2 变化 本身 dt