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第九讲、三角函数2——同角三角函数的基本关系 [讲义]

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同角三角函数的基本关系课件

同角三角函数的基本关系课件
重要性
积化和差公式是和差角公式的推广，它反映了三角函数之间更为复杂的相互关系，对于后续公式的推导有重要的 作用。
和差化积公式
定义
sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)
诱导公式是一组基本的三角函数 关系式，可以通过对角度的变换 来简化求值。
和差角公式可以将两个角度的三 角函数值转化为一个角度的三角 函数值，从而简化计算。
三角函数的化简技巧
消去分母
对于分式形式的三角函数表达式，可以通过乘以分母的余 数来消去分母，从而将表达式转化为整式。
01
提取公因数
对于多个项相乘的表达式，可以寻找公 因数并提取出来，使表达式更加简洁。
在物理学中的应用
波动和振动
同角三角函数在波动和振动 的分析中有着广泛的应用， 例如简谐振动可以用同角三
角函数来描述。
电磁学
在电磁学中，同角三角函数 被广泛应用于电场和磁场的 研究，例如在计算电磁波的 传播方向和极化状态时常常
会用到同角三角函数。
量子力学
在量子力学中，波函数的模 平方等于粒子在某个特定位 置的概率密度，而波函数的 解析需要用到同角三角函数 。
在工程学中的应用
01
信号处理
在信号处理领域，同角三角函数被广泛应用于信号的调制 和解调，例如在模拟通信系统中常常会用到同角三角函数 进行调制。
02
声学
在建筑声学中，同角三角函数被用于计算房间的声学特性 ，例如混响时间和频率响应等。
03
地球物理学
在地球物理学中，同角三角函数被用于计算地球磁场和地 震波的传播方向等。

高中数学《同角三角函数的基本关系》课件

高中数学《同角三角函数的基本关系》课件

一 同角三角函数的基本关系
例 6 已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α .
解 由角α在第三象限知：sin α ＜0，cos α ＜0.
由
sin cos
tan
k
，得sin
α＝kcos
α
.
将上式代入 sin2α＋cos2α ＝1，
பைடு நூலகம்
得 k2cos2α＋cos2α＝1，
即
cos2α＝
同角三角函数的基本关系
一 同角三角函数的基本关系
我们给一个角α定义了正弦、余弦、正切这三种三角函数．从定义中可以 看出这些函数是相互关联的，我们希望可以由其中一个函数计算出其他函数 的值．
为此我们需找出同一个角的正弦、余弦、正切的关系式．
一 同角三角函数的基本关系
如图5.2-7，设α＝∠xOM是任意角．以点O为圆心作单位圆与角α的终边交于 点P，并作角α的正弦线DP和余弦线OD.在Rt△OPD中，由勾股定理得
图5.2-7
一 同角三角函数的基本关系
例 5 已知 sin 5 ，并且α是第四象限角，求cos α，tan α .
13 解 由sin α，cos α之间的关系式sin2α＋cos2α ＝1及第四象限角的余弦cos α＞0
得
cos
1 sin2
1
5 13
2
12， 13
tan sin 5 13 5 . cos 13 12 12
α＋cos
α＝
1 5
，求sin
α·cos
α的值．
解
因为sin
α＋cos
α＝
1 5
，
两边平方，得(sin α＋cos α)2＝ 1 ， 25

同角三角函数的基本关系式课件

同角三角函数的基本关系式课件
利用同角三角函数的基本关系式， 可以将复杂的三角函数表达式进
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。

同角三角函数基本关系 课件

同角三角函数基本关系 课件
1-si n 2
|1-sin |
|1+sin |
=
+
|cos |
|cos |
1-sin +1+sin
=
-cos
=-
2
cos
.
探究三证明三角恒等式
【例 4】 求证:
sin
1-cos
=
1+cos
sin
分析:思路一:平方关系
.
平方差公式展开→作商→结论
思路二:作差:左-右
4si n-3cos
6cos +2sin
化弦为切.
解:(1)∵tan θ=2,∴
sin
cos
=2.①
又 sin2θ+cos2θ=1,②
∴由①②解得
sin =
2 5
5
5
cos =
2 5
∵cos θ<0,∴sin θ=(2)方法一:
5
4sin -3cos
6cos +2sin
(1)sin2α+cos2α=1的变形公式:
sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α;
(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α;(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
(2)tan α= sin 的变形公式:
cos
sin α=tan αcos α;cos α=
sin
si n 2 -si n 2
(1-cos )·
sin
(1-cos )·
sin
sin
1+cos
∴1-cos =

同角三角函数的基本关系ppt课件

同角三角函数的基本关系ppt课件
5.2.2同角三角函数 的基本关系
温故知新
公式一： 文字语言： 终边相同的角的同一三角函数的值相等
符号语言： sin(α＋k·2π)＝
cos(α＋k·2π)＝
tan(α＋k·2π)＝ 其中k∈Z
探索新知
问题1 公式一表明,终边相同的角的同一三角函数值相等,那么, 终边相同的角的不同三角函数值之间是否也有某种关系呢?
探索新知
(1)首先我们知道三个三角函数的值都是由角的终 边与单位圆的交点坐标所唯一确定的,这说明它们 定义的背景统一,所以它们之间一定有内在联系。
探索新知
(2)可以利用公式一,把这些终边相同角的三角函数值转化 为同一个角的三角函数值,这时就可以将这个问题进一步 转化为“研究同一个角的三个三角函数值之间的关系”.
1.两个公式的结构特点:
(1)
是
的简写,
不能将
写成
,
(2)
同角三角函数基本关系的理解与认识
2.同角的理解: (1) 关系式中的角要相同，与角的形式无关。
同角三角函数基本关系的理解与认识
3.公式等价变形 (1)
(2)
学以致用
例1 解：
∵ 为第三象限角 ∴
学以致用
变式 思考2： 若把题目中的条件“角 该解如：何解答？
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题3:同一个角的三角函数值还有什么关系？
由定义可知：
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
追问1:函数的基本关系
1、平方关系： 2、商数关系：
注意：只要能使得函数有意义，对任意一个角关系式恒成立。
同角三角函数基本关系的理解与认识
探究:同一个角的不同三角函数值之间的关系
问题2:给一个角 ,在单位圆中你能找到与点 P 坐标 对应的线段吗?从而建立 与 关系吗?

同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数基本关系【学习目标】1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin ,1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。

【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sin cos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅= 要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。

要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。

【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。

【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα==-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。

【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。

①又sin 2α+cos 2α=1， ②由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即21cos 5α=。

当α为第二象限角时，cos α=，代入①得sin α=。

当α为第四象限角时，cos 5α=，代入①得sin 5α=-。

同角三角函数的基本关系(公开课)


具体形式
sin(x) = cos(x - π/2)， cos(x) = sin(x + π/2)， tan(x) = sec(x) - 1， cot(x) = csc(x) - 1等。
意义
同角三角函数是三角函数 的基本关系之一，是解
同角三角函数具有周期性， 其周期为2π。
同角三角函数的和差公式
定义
总结词
同角三角函数的和差公式是三角函数 中重要的基本公式之一，用于描述两 个同角三角函数值之间的关系。
详细描述
同角三角函数的和差公式表示为 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny和 cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，其中x 和y为角度，sin和cos为正弦和余弦函 数。
具体形式
sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]、
cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2]、
tan(x/2)
=
±√[(1-
cosx)/(1+cosx)]。
性质
奇偶性
半角公式具有奇偶性，即当角度加上或减去180度时，其对应的半 角函数值会变成相反数。
周期性
半角函数具有周期性，其周期为180度，即当角度增加或减少360 度时，其对应的半角函数值不变。
物理应用
在物理中，同角三角函 数的基本关系可以用来 描述一些物理现象，例 如振动、波动等。
THANKS
感谢观看
y = cos(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = tan(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = cot(ax + b)，其中a、 b为常数。
02

同角三角函数的基本关系课件


正弦函数和余切函数是互为倒数的。
2
互为倒数
余弦函数和正切函数是互为倒数的。
正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函 数的图像及性质
正弦函数
正弦函数的图像是一条连续的波浪线。它的性质包 括周期性、对称性和取值范围在-1到1之间。
余弦函数
余弦函数的图像是一条连续的波浪线。它的性质也 包括周期性、对称性和取值范围在-1到1之间。
三角函数和平面几何
同角三角函数与平面图形相互联系，通过它们可以推导出诸如正多边形面积、三角形面积等几何问题。
三角函数和三角方程
同角三角函数可以用于求解涉及角度的各类方程，包括线性、二次和三角方程。
三角函数的简单应用题
通过解答一些简单的应用题，我们可以加深对同角三角函数的理解和应用。
怎样掌握好同角三角函数的基 本关系
掌握同角三角函数的基本关系需要多做练习，理解其定义、图像和性质，灵 活运用三角恒等式和诱导公式。数，而正切函数和余切函数都是奇函数。
三角函数的单调性和最值
正弦函数和余弦函数在一定区间内是周期性增减的，而正切函数和余切函数 在某些区间内都是单调增或单调减的。
三角函数的极值和拐点
正弦函数和余弦函数存在极值点和拐点，而正切函数和余切函数没有极值点。
三角函数的定义及各种符号
正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)，它们分别代表 着角度和三角比例之间的关系。
弧度制和角度制的转换
角度可以通过弧度来表示，1弧度等于180/π度。弧度制和角度制之间的转换可以通过简单的乘除运算完成。
同角三角函数间的基本关系
1
互为倒数
相关角的概念及与同角三角函数的关系
相关角是指在平面几何中具有特定关系的两个角。同角三角函数可以用于描述相关角之间的关系。

公开课课件-同角三角函数基本关系式

公开课课件-同角三角函 数基本关系式
欢迎来到本次公开课课件，我们将探索同角三角函数的基本关系式，并了解 它们的用途和特性。
同角三角函数定义
1 正弦函数（sin）
描述一个角的正弦值，即 对边与斜边之比。
2 余弦函数（cos）
描述一个角的余弦值，即 邻边与斜边之比。
3 正切函数（tan）
描述一个角的正切值，即 对边与邻边之比。
正切函数的图像
在某些点上取无穷大值，呈现周 期性的锯齿状波形。
同角三角函数的积化简
sin α sin β = (1/2)(cos (α - β) - cos (α + β)) cos α cos β = (1/2)(cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = (1/2)(sin (α + β) + sin (α - β))
同角三角函数的基本关系式
sin²θ + cos²θ = 1 1 + cot²θ = csc²θ cos 2θ = cos²θ - sin²θ
1 + tan²θ = sec²θ sin 2θ = 2sinθcosθ tan 2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
同角三角函数的和差化简
1
和差化简公式
可将两个三角函数的和/差用一个三角函
sin (α ± β) = sin α cos β ± cos
2
数表示。
α sin β
3
cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin
α sin β
同角三角函数的奇偶性质
偶函数
cos(x)、sec(x)是对称于y轴的函数。

同角三角函数的基本关系 课件

3t－t3
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
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