2020届北京市西城区十五中2017级高三一模考试数学试卷及含解析

西城区高三统一测试数学（文科） 2017.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}A =，{1,4}B =，那么U A B =ð（A ）{3,5} （B ）{2,4,6} （C ）{1,2,4,6} （D ）{1,2,3,5,6}2．在复平面内，复数1ii+的对应点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3．双曲线2213x y -=的焦点坐标是（A ），(0, （B ），( （C ）(0,2)，(0,2)-（D ）(2,0)，(2,0)-4．函数21()()log 2x f x x =-的零点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2 （D ）35．函数()f x 定义在(,)-∞+∞上．则“曲线()y f x =过原点”是“()f x 为奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在ABC △中，点D 满足3BC BD −−→−−→=，则（A ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=+（B ）1233AD AB AC −−→−−→−−→=-（C ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=+ （D ）2133AD AB AC −−→−−→−−→=-7．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．如果小 正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A） （B ）6 （C） （D）8．函数()f x 的图象上任意一点(,)A x y 的坐标满足条件||||x y ≥，称函数()f x 具有性 质P ．下列函数中，具有性质P 的是 （A ）2()f x x = （B ）21()1f x x =+ （C ）()sin f x x = （D ）()ln(1)f x x =+第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．函数()f x =的定义域为____． 10．执行如图所示的程序框图. 当输入1ln 2x =时，输出的y 值为____．11．圆22:2210C x y x y +--+=的圆心坐标是____；直线 :0l x y -=与圆C 相交于,A B 两点，则||AB =____． 12．函数sin4()1cos4xf x x=+的最小正周期是____．13．实数,x y 满足1,2,220,x y x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____；最小值是____．14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知{}n a 是等比数列，13a =，424a =．数列{}n b 满足11b =，48b =-，且{}n n a b +是等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和．16．（本小题满分13分）在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan 2sin a C c A =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． 17．（本小题满分13分）在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“√”表示答对，“×”表示答错）：（Ⅰ）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（Ⅱ）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（Ⅲ）定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n '''=-+-++-，其中i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度(1,2,,)i n =．规定：若0.05S <，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -，||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 作OE DF ⊥，交直线4x =于点E ．求证：//OE AP ．20．（本小题满分13分）已知函数21()e 2x f x x =-．设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线，其中0[1,1]x ∈-． （Ⅰ）求直线l 的方程（用0x 表示）； （Ⅱ）求直线l 在y 轴上的截距的取值范围；（Ⅲ）设直线y a =分别与曲线()y f x =和射线1([0,))y x x =-∈+∞交于,M N 两点，求||MN 的最小值及此时a 的值．西城区高三统一测试高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．D 3．C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．{|0x x ≥，且1}x ≠ 10．1211．(1,1)；2 12．π2 13．5；4514．π44-注：第11，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得3418a q a ==， 解得 2q =． [ 2分] 所以 11132(1,2,)n n n a a q n --=⋅=⋅=． [ 4分]设等差数列{}n n a b +的公差为d ，由题意得4411()()1644413a b a b d +-+-===-． [ 6分]所以 11()(1)4n n a b a b n d n +=++-=． [ 8分] 从而 1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=． [ 9分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知1432(1,2,)n n b n n -=-⋅=．数列{4}n 的前n 项和为2(1)n n +；数列1{32}n -⋅的前n 项和为3(21)n ⋅-．[12分] 所以，数列{}n b 的前n 项和为 222323n n n +-⋅+． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由 tan 2sin a C c A =，得sin 2sin cos a CA c C⋅=． [ 1分] 由正弦定理得 sin sin 2sin sin cos A CA C C⋅=． [ 3分] 所以 1cos 2C =． [ 4分] 因为 (0,π)C ∈， [ 5分]所以 π3C =． [ 6分] （Ⅱ） sin sin A B +2πsin sin()3A A =+- [ 7分]3sin 2A A = [ 9分] π)6A =+． [11分]因为 π3C =，所以 2π03A <<， [12分]所以 当π3A =时，sin sin AB + [13分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：[ 4分] 所以，估计120人中有1200.224⨯=人答对第5题． [ 5分]（Ⅱ）记编号为i 的学生为(1,2,3,4,5)i A i =，从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种．其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为12(,)A A ，13(,)A A ，14(,)A A ，25(,)A A ，35(,)A A ，45(,)A A ，共6种． [ 9分] 所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题 的概率为63105P ==． [10分]（Ⅲ）i P '为抽样的10名学生中第i 题的实测难度，用i P '作为这120名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=． [12分]因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． [13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥． [ 1分] 因为ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥， [ 2分] 所以BC ⊥平面PAB ． [ 3分] 所以平面PAB ⊥平面PBC ． [ 4分]（Ⅱ）连接AF ． [ 5分]因为 PC ⊥平面AEFG ，所以 PC AF ⊥． [ 7分] 又因为 PA AC =，所以 F 是PC 的中点． [ 8分] 所以12PF PC =． [ 9分] （Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行． [10分]证明如下：假设//AE 平面PCD ，因为 //AB CD ，AB ⊄平面PCD ．所以 //AB 平面PCD ． [12分] 而 AE AB ⊂，平面PAB ，所以 平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾！ [13分] 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行． [14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =． 所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 5分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 7分]所以 21216243k x k --+=+． [ 8分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43ky k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 9分] 所以直线OM 的斜率是 22263438443k k k k k +=--+， [10分]所以直线OM 的方程是 34y x k =-．令4x =，得3(4,)D k-． [11分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 3141k k-=--， [12分]因为OE DF ⊥，所以直线OE 的斜率为k ， [13分] 所以直线//OE AP ． [14分] 解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分] 所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 由(1,0)F ，得直线DF 的斜率是 1143(2)DF y k x =-． [ 9分]因为直线AP 的斜率是 112AP y k x =+， [10分] 所以 2121413(4)DF APy k k x ⋅==--， [12分] 所以 AP D F ⊥． [13分] 因为 OE DF ⊥，所以 //OE AP ． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 对()f x 求导数，得()e x f x x '=-， [ 1分]所以切线l 的斜率为000()e x x f x '=-， [ 2分]由此得切线l 的方程为：000002(1(e 2))e ()x x x x x y x ----=，即 000020(e )(1)1e 2x x x x y x x =+-+-. [ 3分]（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，直线l 在y 轴上的截距为0020(1)1e 2x x x +-． [ 4分]设 2()(1)1e 2x g x x x +=-，[1,1]x ∈-． 所以 ()(1e )x g x x '=-，令()0g x '=，得0x =． ()g x ，()g x '的变化情况如下表：所以函数()g x 在[1,1]-上单调递减， [ 6分]所以max 21[()](1)e 2g x g =-=+，min 1[()](1)2g x g ==， 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围是121[,]2e 2+． [ 8分]（Ⅲ）过M 作x 轴的垂线，与射线1y x =-交于点Q ，所以△MNQ 是等腰直角三角形． [ 9分] 所以 21|||||()()||e 1|2x MN MQ f x g x x x ==-=--+． [10分]设 21()e 12x h x x x =--+，[0,)x ∈+∞， 所以 ()e 1x h x x '=--．令 ()e 1x k x x =--，则()e 10(0)x k x x '=->>， 所以 ()()k x h x '=在[0,)+∞上单调递增， 所以 ()(0)0h x h ''=≥，从而 ()h x 在[0,)+∞上单调递增， [12分] 所以 min [()](0)2h x h ==，此时(0,1)M ，(2,1)N ．所以 ||MN 的最小值为2，此时1a =． [13分]。

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)西 城 区 高 三 统 一 测 试数学参考答案 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1．C 2．B 3．C 4．B 5. A 6. C7. D8. A9. D10. B二、填空题：本大题共5题，每小题5分，共25分. 11．2012．(3,1)-13214．π，π815．②③注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分. 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在底面ABCD中，2,AB AD BD ===所以222AB AD BD +=，即AB AD ⊥. ……………… 2分 因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以1AA ⊥AB ， ……………… 4分 又因为1AA AD A =，1,AA AD ⊂平面11ADD A ，所以AB ⊥平面11ADD A . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得1,,AB AD AA 两两垂直，故分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分 在底面ABCD 中，由题意，得224BC BD CD =+=.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,4,0)C ，1(2,0,2)B ，1(0,2,2)D ，所以(2,0,0)AB =，1(0,4,2)B C =-，11(2,2,0)B D =-， ……………… 8分 设平面11B CD 的法向量(,,)x y z =n ，由10B C ⋅=n ，110B D ⋅=n ，得420,220,y z x y -=⎧⎨-+=⎩令1y =，得(1,1,2)=n . ………………11分 设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ， 则 6sin |cos ,|||6||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n n n ， 直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为66. ……………… 14分17．（本小题满分14分）解：（不可以选择②作为补充条件.）选择①作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 4分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 6分B 1B DAA 1D 1CC yxz2ππ2ππsincos cos sin 3434=+4=. ……………… 8分 在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin 3sin b A a B ==. ……………… 11分 所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分选择③作为补充条件. ……………… 2分 解答如下：在△ABC中，由a B =，以及正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 4分得2πsin3B ，解得21sin 2B =. 由2π3A =，得B 为锐角， 所以π4B =，且3a B ==. ……………… 6分 因为在ABC △中，πA B C ++=，所以sin sin()C A B =+ ……………… 8分 sin cos cos sin A B A B =+ ……………… 10分2ππ2ππsincos cos sin 3434=+=. ……………… 11分 所以△ABC的面积1sin 2S ab C =. ……………… 14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为212010=，……… 3分 故在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生约为150510⨯=万人. ……………… 5分（Ⅱ）由图表知，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，由题意，随机变量X 的所有可能取值为：0，1，2. ……………… 6分且205328C C 5(0)C 14P X ⋅===，115328C C 15(1)C 28P X ⋅===，025328C C 3(2)C 28P X ⋅===. ……………… 9分 所以随机变量的分布列为：……………… 10分所以51533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）m 的最小值为4. ……………… 14分19．（本小题满分14分）解:（Ⅰ）由题意，得()2(2)f x x a xa'=+-+， ……………… 2分 X则π(2)tan 4f '=， ……………… 4分即224()1a a+-+=，解得2a =. ……………… 6分 （Ⅱ）(2()2(2))(1)x f x a a x x a x x '=+--+=-，其中(1,e)x ∈. ……………… 7分 令0(2())(1)a x f x x x'=-=-，得1x =，或2ax =. ……………… 8分由导函数()f x '在区间(1,e)上存在零点，得(1,e)2a∈，即(2,2e)a ∈. …… 9分随着x 变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在(1,)2上单调递减，在(,e)2上单调递增.所以()f x 在(1,e)上存在最小值2()ln()224a a af a a =--. ……………… 11分设2()2ln 2g x x x x x =--，(1,e)x ∈. 则()()22a a g f =，(1,e)2a ∈. …… 12分所以()2ln 2g x x x '=-.由(1,e)x ∈，得2ln (0,2)x ∈，2(2,2e)x ∈，则()2ln 20g x x x '=-<. 所以()g x 在区间(1,e)上单调递减.所以2()(e)e g x g >=-，即2()()e 22a a g f =>-故当(1,e)x ∈时，2()e f x >-. ……………… 14分20．（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意，得a 1b =，则1c =. ……………… 2分 根据椭圆的对称性，知四边形ABCD 是矩形.设0(1,)A y -，0(1,)B y --，0(1,)C y -，0(1,)D y ，将1x =-代入椭圆方程得2012y =. ……………… 3分 所以四边形ABCD的面积0||||2||2S AB AD y c =⋅=⋅=. ……………… 5分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线1()l y k x m =-：， ……………… 6分联立22(),1,2y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22222(12)4220k x k mx k m +-+-=， …… 7分 则42222164(12)(22)0k m k k m ∆=-+->，2122412k m x x k +=+，221222212k m x x k -=+. ……………… 8分所以12|||AB x x - ……………… 9分=同理，得||CD = 由四边形ABCD 为平行四边形，得||||AB CD =，即得22m n =. 由题意知m n ≠，所以m n =-，即0m n +=. ……………… 11分 （Ⅲ）结论：四边形ABCD 不可能为矩形. ……………… 12分由（Ⅱ）知,M N 两点关于原点对称.根据椭圆的对称性，可得,A C 两点关于原点对称，故C 的坐标为11(,)x y --.由题意，得221112x y +=，222212x y +=. ……………… 13分 于是，2221212122212121AB BC y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-22212221112(1)2(1)2y y y y -==-≠----. 所以AB 不可能垂直于BC .所以四边形ABCD 不能为矩形. ……………… 15分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1,1,1,1)，(1,1,2)，(1,3)，(2,2)，(4) . ……………… 3分（Ⅱ）由题意，知122k a a a n =≤≤≤≤，且12k a a a n +++=， 得122k n a a a k =+++≥，即2n k ≤. ……………… 5分 所以当n 是偶数时，k 的最大值是2n （此时，2(2,2,,2)k 共有个 是n 的一个“正整数分拆”）； 当n 是奇数时，k 的最大值是12n -（此时，12(2,2,,2,3)k -共有个是n 的一个“正整数分拆”）. ……………… 8分（Ⅲ）当n 为奇数时，由题意，得0n f =；且1(1,1,,1)n 共有个是n 的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以0n g >，故n n f g <. ……………… 9分当n 为偶数时，由()n 是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，1(1,1,,1)n 共有个是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得0n f >，0n g >.① 当2n =时，n 的“正整数分拆”只有(1,1)和(2)，所以221f g ==； ② 当4n =时，由（Ⅰ）知，442f g ==； ……………… 11分 ③ 当n 为大于4的偶数时，因为对于n 的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”12(,,,)k a a a ，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个.且当12(,,,)k a a a 不同时，其对应的121(1,1,,1,1,1,,1)k k a a a ---共有个也不相同，所以n n f g ≤.又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”(3,3)n -不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为6n ≥，所以(3,3)n -有意义） 所以n n f g <.综上，对所有的正整数n ，n n f g ≤；当且仅当2n =或4时等号成立. ……… 14分。

2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）（有答案解析）2020年北京市西城区⾼考数学⼀模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，共40.0分）1.设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B=（）A. {-3，-1}B. {-3，-1，3}C. {1，3}D. {-1，1}2.若复数，则在复平⾯内z对应的点位于（）A. 第⼀象限B. 第⼆象限C. 第三象限D. 第四象限3.执⾏如图所⽰的程序框图，则输出的k值为（）A. 4B. 5C. 7D. 94.下列直线中，与曲线C：没有公共点的是（）A. 2x+y=0B. 2x+y-4=0C. 2x-y=0D. 2x-y-4=05.设a，b，m均为正数，则“b＞a”是“”的（）A. 充分⽽不必要条件B. 必要⽽不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.如图，阴影表⽰的平⾯区域W是由曲线x-y=0，x2+y2=2所围成的．若点P（x，y）在W内（含边界），则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为（）A. ，-7B. ，C. 7，D. 7，-77.购票⼈数1~5051~100100以上门票价格13元/⼈11元/⼈9元/⼈现某单位要组织其市场部和⽣产部的员⼯游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需⽀付门票费为1290元；若两个部门合在⼀起作为⼀个团体，同⼀时间购票游览公园，则需⽀付门票费为990元，那么这两个部门的⼈数之差为（）A. B. C. D.8.如果把⼀个平⾯区域内两点间的距离的最⼤值称为此区域的直径，那么曲线围成的平⾯区域的直径为（）A. B. C. D.⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共30.0分）9.在等⽐数列{a n}中，a2=1，a5=8，则数列{a n}的前n项和S n=______．10.设F1，F2为双曲线的两个焦点，若双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，则双曲线C的离⼼率为______．11.函数f（x）=sin2x+cos2x的最⼩正周期T=______；如果对于任意的x∈R都有f（x）≤a，那么实数a的取值范围是______．12.某四棱锥的三视图如图所⽰，那么该四棱锥的体积为______．13.能说明“若sinα=cosβ，则α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”为假命题的⼀组α，β的值是______．14.如图所⽰，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表⽰数2，右侧的每个算珠表⽰数1（允许⼀侧⽆珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有______种．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80.0分）15.在△ABC中，已知a2+c2-b2=mac，其中m∈R．（Ⅰ）判断m能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若m=-1，，c=4，求sin A．16.如图，在多⾯体ABCDEF中，梯形z与平⾏四边形D-xyz所在平⾯互相垂直，AF∥DE，DE⊥AD，AD⊥BE，，．（Ⅰ）求证：BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．17.为培养学⽣的阅读习惯，某校开展了为期⼀年的“弘扬传统⽂化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、⼄两组各10名学⽣的阅读量（单位：本），统计结果⽤茎叶图记录如下，⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以a表⽰．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值⼤于⼄组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、⼄两组中阅读量超过15本的学⽣称为“阅读达⼈”．设a=3，现从所有“阅读达⼈”⾥任取3⼈，求其中⼄组的⼈数X的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的⽅差为s02．在甲组中增加⼀名学⽣A得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的⽅差为s12；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的⽅差为s22，试⽐较s02，s12，s22的⼤⼩．（结论不要求证明）18.设函数f（x）=me x-x2+3，其中m∈R．（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）=xf（x）的极值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点，求m的取值范围．19.已知椭圆W：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（n，0）的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．（Ⅰ）当n=0，且直线CD⊥x轴时，求四边形ACBD的⾯积；（Ⅱ）设n=1，直线CB与直线x=4相交于点M，求证：A，D，M三点共线．20.如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n⾏n列的数表，其中a ij（i，j=1，2，…，ij∈{1，-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)…?a n1a n2…a nn定义p st=a s1a t1+a s2a t2+…+a sn a tn（s，t=1，2，…，n）为第s⾏与第t⾏的积．若对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时，试写出⼀个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10⾏10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n⾏n列的完美数表，且对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，证明：kl≤n．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，则?U A={x|x≤0或x≥2}⼜由B={-3，-1，1，3}，则集合（?U A）∩B={-3，-1，3}；故选：B．根据题意，由补集的定义求出集合?U A，进⽽由交集的定义分析可得答案．本题考查集合的混合运算，关键是掌握集合交、并、补集的定义，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵=，∴在复平⾯内z对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表⽰法及其⼏何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：当k=1时，S==-3，k=3，S＜2成⽴，S==-，k=5，S＜2成⽴，S=，k=7，S＜2成⽴，S=，k=9，S＜2不成⽴，输出，k=9，故选：D．根据程序框图进⾏模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利⽤模拟运算是解决本题的关键．4.答案：C解析：解：曲线C参数⽅程为：，①×2-②得，2x-y-4=0，故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．⽽D与曲线C重合，有⽆数个公共点，排除．故选：C．通过C的参数⽅程，得到C的普通⽅程2x-y-4=0，再根据直线与直线的位置关系，可得．本题考查了直线的参数⽅程，直线与直线的位置关系，为基础题．5.答案：C解析：解：∵a，b，m均为正数，∴由得b（a+m）＞a（b+m），即ab+bm＞ab+am，即bm＞am，∵m是正数，∴b＞a，反之也成⽴，所以“b＞a”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进⾏判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式关系是解决本题的关键．6.答案：A解析：解：由题意可知直线平移直线0=4x+3y，当直线经过A上取得最⼩值，平移到与x2+y2=2相切于B时，取得最⼤值，B（-1，-1），最⼩值为：-7；由可得：25x2-8zx+z2-18=0，△=64z2-4（z2-8）×25=0，解得z=5，z=（舍去），所以则z=4x+3y的最⼤值和最⼩值分别为：5；-7．故选：A．利⽤已知条件平移直线0=4x+3y，判断最优解，求解⽬标函数的最值即可．本题考查线性规划的简单应⽤，考查转化思想以及计算能⼒．7.答案：B解析：解：∵990不能被13整除，∴两个部门⼈数之和：a+b≥51，（1）若51≤a+b≤100，则11 （a+b）=990得：a+b=90，①由共需⽀付门票费为1290元可知，11a+13b=1290 ②解①②得：b=150，a=-60，不符合题意．（2）若a+b≥100，则9 （a+b）=990，得a +b=110 ③由共需⽀付门票费为1290元可知，1≤a≤50，51≤b≤100，得11a+13b=1290 ④，解③④得：a=70⼈，b=40⼈故两个部门的⼈数之差为70-40=30⼈，故选：B．根据990不能被13整除，得两个部门⼈数之和：a+b≥51，然后结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程组进⾏求解即可．本题主要考查函数的应⽤问题，结合门票价格和⼈数之间的关系，建⽴⽅程是解决本题的关键．考查学⽣分析问题的能⼒．8.答案：B解析：解：曲线x4+y2=2围成的平⾯区域，关于x，y轴对称，设曲线上的点P（x，y），可得|OP|==≤．所以曲线x4+y2=2围成的平⾯区域的直径为：3．故选：B．利⽤曲线的对称性，设出点的坐标，通过距离公式以及⼆次函数的性质求解最值即可．本题考查曲线与⽅程的应⽤，新定义的应⽤．考查转化思想以及计算能⼒．9.答案：解析：解：∵a2=1，a5=8∴a5=a2q3，即q3==8，即q=2，⾸项a1=，则数列{a n}的前n项和S n==2n-1-，故答案为：2n-1-．根据等⽐数列的通项公式，求出⾸项和公⽐，结合等⽐数列的前n项和公式进⾏计算即可．本题主要考查等⽐数列前n项和的计算，结合通项公式求出⾸项和公⽐是解决本题的关键．10.答案：3解析：解：双曲线C的两个顶点恰好将线段F1F2三等分，可得2a=?2c，则c=3a，即e==3．故答案为：3．由题意可得2a=?2c，结合离⼼率公式，可得所求值．本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是离⼼率的求法，考查运算能⼒，属于基础题．11.答案：π解析：解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），即函数的周期T==π，若对于任意的x∈R都有f（x）≤a，则a≥f（x）max，即当sin（2x+）=1时，f（x）取得最⼤值，最⼤值为，即f（x）max=，则a≥，故答案为：π，a≥．利⽤辅助⾓公式，结合周期公式进⾏求解，不等式f（x）≤a等价为a≥f（x）max，进⾏求解即可．本题主要考查三⾓函数的性质的应⽤，利⽤辅助⾓公式进⾏化简是解决本题的关键．12.答案：解析：【分析】本题考查三视图求解⼏何体的体积，判断⼏何体的形状是解题的关键，属于基础题．画出⼏何体的直观图，利⽤三视图的数据，求解⼏何体的体积．【解答】解：⼏何体的直观图如图：是底⾯是长为2，宽为1的长⽅形，⾼为2的四棱锥，故四棱锥的体积为：×1×2×2=．故答案为．13.答案：α=110°，β=20°解析：解：若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），命题中α=k?360°+90°-β，（k∈Z），要否定命题，只须从α=k? 360°+90°+β（k∈Z）中找⼀个反例即可，如α=110°，β=20°，（答案不唯⼀，再如α=120°，β=30°等，只要满⾜α=k? 360°+90°+β（k∈Z）且α≠k?360°+90°-β（k∈Z）即可作为反例．故填：α=110°，β=20°．若sinα=cosβ，则α=k?360°+90°±β（k∈Z），⽽命题中只给出了α=k?360°+90°-β（k∈Z）的情况，故可从另⼀种情况中找反例．本题考查了三⾓函数的值及三⾓函数的性质、诱导公式等知识，属于基础题．14.答案：32解析：解：根据题意，a，b，c的取值范围都是从7～14共8个数字，故公差d范围是-3到3，①当公差d=0时，有=8种，②当公差d=±1时，b不取7和14，有2=12种，③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2=8种，④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2=4种，综上共有8+12+8+4=32种，故填：32a，b，c的取值范围都是从7～14，可以根据公差d的情况进⾏讨论．本题考查排列、组合的应⽤，要表⽰的有3项，做题时容易找不到切⼊点，本题应考虑等差中项的选取⽅法，属于中档题．15.答案：解：（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得．这与cos B∈[-1，1]⽭盾，所以m不可能等于3．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，所以．因为，c=4，a2+c2-b2=-ac，所以a2+16-28=-4a，解得a=-6（舍）或a=2.在△ABC中，由正弦定理，得．解析：本题考查了正弦定理余弦定理的应⽤，考查了推理能⼒与计算能⼒，属于中档题．（Ⅰ）当m=3时，由题可知a2+c2-b2=3ac，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，化简求得cos B，即可判断出结论．（Ⅱ）由（Ⅰ），得，可得B．由，c=4，a2+c2-b2=-ac，解得a，再利⽤正弦定理即可得出．16.答案：解：（Ⅰ）由底⾯ABCD为平⾏四边形，知AB∥CD，⼜因为AB?平⾯CDE，CD?平⾯CDE，所以AB∥平⾯CDE．………………（2分）同理AF∥平⾯CDE，⼜因为AB∩AF=A，所以平⾯ABF∥平⾯CDE．……………（3分）⼜因为BF?平⾯ABF，所以BF∥平⾯CDE．………………（4分）（Ⅱ）连接BD，因为平⾯ADEF⊥平⾯ABCD，平⾯ADEF∩平⾯ABCD=AD，DE⊥AD，所以DE⊥平⾯ABCD．则DE⊥DB．⼜因为DE⊥AD，AD⊥BE，DE∩BE=E，所以AD⊥平⾯BDE，则AD⊥BD．故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建⽴空间直⾓坐标系，………………（6分）则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），E（0，0，2），F （1，0，1），所以，，=（0，1，0）为平⾯DEF的⼀个法向量．设平⾯BEF的⼀个法向量为=（x，y，z），由=0，?=0，得令z=1，得=（1，2，1）．………………（8分）所以cos＜，＞==．如图可得⼆⾯⾓B-EF-D为锐⾓，所以⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值为．………………（10分）（Ⅲ）结论：线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF．………………（11分）证明如下：设，所以．设平⾯CDQ的法向量为=（a，b，c），⼜因为，所以，=0，即………………（12分）若平⾯CDQ⊥平⾯BEF，则=0，即a+2b+c=0，………………（13分）解得．所以线段BE上存在点Q，使得平⾯CDQ⊥平⾯BEF，且此时．……（14分）解析：（Ⅰ）根据⾯⾯平⾏的性质定理先证明平⾯ABF∥平⾯CDE即可证明BF∥平⾯CDE；（Ⅱ）建⽴空间坐标系，求出两个平⾯的法向量，利⽤向量法求⼆⾯⾓B-EF-D的余弦值；（Ⅲ）根据⾯⾯垂直与向量之间的关系转化为向量进⾏求解．本题主要考查空间直线和平⾯，平⾯和平⾯位置关系的判定，利⽤相应定理或者建⽴空间坐标系，利⽤向量法是解决本题的关键．17.答案：（本⼩题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学⽣阅读量的平均值为，⼄组10名学⽣阅读量的平均值为．………………（2分）由题意，得，即a＜2．………………（3分）故图中a的取值为0或1．………………（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．由题意，随机变量X的所有可能取值为：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以随机变量X的分布列为：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）解析：（Ⅰ）由茎叶图分别求出甲组10名学⽣阅读量的平均值和⼄组10名学⽣阅读量的平均值，由此能求出图中a的取值．（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达⼈”有2⼈，⼄组“阅读达⼈”有3⼈．随机变量X的所有可能取值为：1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．（Ⅲ）．本题考查实数值的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、⽅差等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）由函数f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即me-x-（-x）2+3=me x-x2+3对于任意实数x都成⽴，所以m=0．此时h（x）=xf（x）=-x3+3x，则h'（x）=-3x2+3．由h'（x）=0，解得x=±1,当x变化时，h'（x）与h（x）的变化情况如下表所⽰：x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）h'（x）-0+0-h（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以（）在（，），（，）上单调递减，在（，）上单调递增,所以h（x）有极⼩值h（-1）=-2，h（x）有极⼤值h（1）=2．（Ⅱ）由f（x）=me x-x2+3=0，得．所以“f（x）在区间[-2，4]上有两个零点”等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对函数g（x）求导，得．由g'（x）=0，解得x1=-1，x2=3．当x变化时，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所⽰：x（-2，-1）-1（-1，3）3（3，4）g'（x）-0+0-g（x）↘极⼩值↗极⼤值↘所以g（x）在（-2，-1），（3，4）上单调递减，在（-1，3）上单调递增．⼜因为g（-2）=e2，g（-1）=-2e，，，所以当或时，直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点．即当或时，函数f（x）在区间[-2，4]上有两个零点.解析：（Ⅰ）先求出m的值，再求函数的导数，得到函数的单调区间，从⽽求出函数的极值；（Ⅱ）由已知可得，命题等价于“直线y=m与曲线，x∈[-2，4]有且只有两个公共点”．对g（x）求导，得到函数的单调区间，分类讨论即可得解．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应⽤，考查换元思想、分类讨论思想，解题时仔细谨慎，属于中档题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意，得a2=4m=4，解得m=1．所以椭圆W⽅程为．当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，所以四边形ACBD的⾯积为．（Ⅱ）当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的⽅程为x=1，代⼊椭圆W的⽅程，得，，易得CB的⽅程为．则，，，所以，即A，D，M三点共线．当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．由题意，得△＞0恒成⽴，故，．直线CB的⽅程为．令x=4，得．⼜因为A（-2，0），D（x2，y2），则直线AD，AM的斜率分别为，，所以．上式中的分⼦===0，所以k AD-k AM=0．所以A，D，M三点共线．解析：（Ⅰ）当n=0，及直线CD⊥x轴时，易得C（0，1），D（0，-1）．且A（-2，0），B（2，0）．所以|AB|=4，|CD|=2，显然此时四边形ACBD为菱形，可得⾯积．（Ⅱ）分斜率是否存在讨论，①当直线CD的斜率k不存在时，求出A，M，C，D坐标，⽤向量法易证A，D，M三点共线．②当直线CD的斜率k存在时，设CD的⽅程为y=k（x-1）（k≠0），C（x1，y1），D（x2，y2），联⽴⽅程消去y，得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0．将k AM，k AD表⽰为含有k的算式，可以证k AM，k AD相等．故A，D，M 三点共线．本题考查椭圆的⽅程和性质，主要考查椭圆⽅程的运⽤，注意联⽴直线⽅程，运⽤韦达定理，同时考查向量的共线的坐标运算，证明时需对直线CD斜率是否存在讨论，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：11-11+a12a22=1×（-1）+1×1=0，121121∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10⾏10列的完美数表A．根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何⼀列的数变为其相反数（即+1均变为-1，⽽-1均变为+1），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换，前三⾏可以为如下形式：1...11...11...11 (1)1…11…1-1…-1-1…-11…1-1…-11…1-1…-1在这个新数表中，设前三⾏中的数均为1的有x列，前三⾏中“第1，2⾏中的数为1，且第3⾏中的数为-1”的有y列，前三⾏中“第1，3⾏中的数为1，且第2⾏中的数为-1”的有z列，前三⾏中“第1⾏中的数为1，且第2，3⾏中的数为-1”的有w列（如上表所⽰），则x+y+z+w=10①由p12=0，得x+y=z+w；②由p13=0，得x+z=y+w；③由p23=0，得x+w=y+z．④解⽅程组①，②，③，④，得．这与x，y，z，w∈N⽭盾，所以不存在10⾏10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l⾏中的数的和a11+a21+…+a l1=X1，第2列前l⾏中的数的和a12+a22+…+a l2=X2，……，第n列前l ⾏中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n，∵对于任意的i=1，2，…，l和j=1，2，…，k，都有a ij=1，∴．⼜∵对于任意s，t（s≠t），都有p st=0，∴．⼜∵，∴ln≥l2k，即kl≤n．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题⽬的意思先写出⼀个完美数表，然后⽤P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10⾏10列的完美数表是存在的，然后根据完美数表的特点进⾏适当变换，观察完美数表中1与-1的个数再与题⼲中的验证公式去验证，最终得到⽭盾的结论，命题得证；第（Ⅲ）题先设出每⾏中1的个数，然后根据题⼲中结论的任意性来证明结论成⽴．本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能⼒；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是⼀道较难的偏难题．。

2020年北京西城区高三一模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.设集合，，或，则（ ）．A. B. C. D.2.若复数，则（ ）．A. B. C. D.3.下列函数中，值域为且为奇函数的是（ ）．A. B. C. D.4.设等差数列的前项和为，若，，则（ ）．A.B.C.D.5.设，，则以线段为直径的圆的方程是（ ）．A.B.C.D.6.设，，为非零实数，且，，则（ ）．A.B.C.D.7.某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）．正（主）视图侧（左）视图俯视图A.， 且B.，且C.，且D. ，且8.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）．A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）．①绕着轴上一点旋转；②沿轴正方向平移；③以轴为轴作轴对称；④以轴的某一条垂线为轴作轴对称．A.①③B.③④C.②③D.②④10.设函数，若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）12.若向量，满足，则实数的取值范围是 ．13.设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 ．14.函数 的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为 ．15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为；乙校男生成绩的优秀率为，女生成绩的优秀率为．对于此次测试，给出下列三个结论：①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且，．（1）（2）求证：平面．求直线与平面所成角的正弦值．17.已知满足 ，且，，求的值及的面积．从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．（1）（2）（3）18.2019年底，北京年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破万，其中青年学生约有万人．现从这万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如下：男女试估计在这万青年学生志愿者中，英语测试成绩在分以上的女生人数．从选出的名男生中随机抽取人，记其中测试成绩在分以上的人数，求的分布列和数学期望．为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于），并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有人的英语测试成绩在分以上的概率大于．根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值．（结论不要求证明）（1）（2）19.设函数，其中．若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值．已知导函数在区间上存在零点，证明：当时，．（1）20.设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线，分别与椭圆相交于，两点和，两点．若，分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积．【答案】解析:由题意知，，或，∴或．故选．解析:复数，则．故选．解析:由等差数列性质知，，而，则，（2）（3）若直线的斜率存在且不为，四边形为平行四边形，求证：．在（）的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由．（1）（2）（3）21.对于正整数，如果个整数，，，满足，且，则称数组为的一个”正整数分拆”．记，，，均为偶数的”正整数分拆”的个数为，，，，均为奇数的”正整数分拆”的个数为．写出整数的所有”正整数分拆”．对于给定的整数，设是的一个”正整数分拆”，且，求的最大值．对所有的正整数，证明：；并求出使得等号成立的的值．(注：对于的两个”正整数分拆”与，当且仅当且，，，时，称这两个”正整数分拆”是相同的．)C1.B2.C3.B4.∴公差，首项，∴．故选．解析:由题意知，圆心为中点，而，，∴，半径，∴圆心的方程为．故选．解析:由，，取，，则，，，排除、、选项．由同向不等式性质，，即．故选．解析:将四棱锥的三视图转化为直观图如下：其中，，A 5.C 6.D 7.，，即 ，且．故选．解析:由知，，∴，则，，即，同向，故“”是“，共线”的充分不必要条件．故选．解析:正弦函数的最小正周期为，则，即为的周期，可向右平移单位与原图重合，②对．正弦函数关于对称，即，所以，故关于对称，④对．综上所述，选．解析:作出函数的图象，如图所示：A 8.D 9.B 10.x–1010y–20–10O因为方程有四个实数解，则函数的图象与的图象有个交点，所以可知，当时，，其对称轴为，由二次函数的对称性可知：．当时，则，即，则，当时，，即，所以，所以，则，由可知，，则，又，，令，，则可知在上单调递减，又，，所以，所以的取值范围为．故选．解析:11.的二项展开式的通项公式为，令，得，故的二项展开式中常数项为．解析:，，则，即，解得：．故答案为：．解析:由题意知，，则双曲线的一条渐近线方程为，则，，所以离心率．解析:由题意知，，周期．令得，，．令得，在上单调增，故的最大取值为．答案为，．解析:设甲校有男生人，则有女生人，设乙校有男生人，则有女生人，其中、，且、，则甲校有优秀学生人，乙校有优秀学生人，12.13. ;14.②③15.（1）（2）令，得：，所以当乙校男生比甲校男生超过人以上时，乙校学生优秀学生更多，即乙校学生优秀率更高，故①错，由题意知，甲、乙两校男生成绩优秀率各自都比女生高，故甲乙两校所有男生优秀率大于甲乙两校所有女生优秀率，故②对，由①知，当时，乙校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率小于两校所有学生成绩优秀率，当时，甲校学生优秀率更高，此时，甲校学生成绩优秀率大于两校所有学生成绩优秀率，即甲校学生与两校所有学生优秀率的大小关系不确定，故③对，综上所述，正确的结论有②③．解析:∵平面，∴，又∵在中，，∴，又∵，∴平面．由（）问可知，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，∵在四棱柱中，平面，∴，且和都垂直于平面，∵在中，，∴，又∵，（1）证明见解析．（2）．16.∴，又∵在中，，∴，且，∴，，，，，∴，，，∴平面的法向量，∴直线和平面所成角的正弦值．解析:当选择条件①时：∵，，，由正弦定理得：，即得，，∴．当选择条件②时：已知，，，∵，，且为钝角，所以无解．当选择条件③时：∵，，，∴为锐角，由正弦定理得：，即得，当选择条件①时：，．当选择条件②时：无解．当选择条件③时：，．17.（1）（2），，由正弦定理得，，即得，，∴．解析:在茎叶图中，女生一共有人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以在这个抽样的人中，英语成绩在分以上者比例为，因为人中女生的占比为，由此得到万青年点燃者中女生的人数为，如果以抽取的人中的女生中成绩在分以上的比例作为万女青年志愿者的英语成绩在分以上的比例估计，则有万女青年志愿者中英语成绩在分以上的人数为万人．因为从名男生中抽取人，其中英语成绩在分以上者共有人，所以的取值为，，，，，，则随机变量的分布列为：（1）万人．（2）的分布列为：数学期望为．（3）．18.（3）（1）（2）数学期望．在抽取的人中，英语成绩在分以上者共计人，所以在这人中随机抽取一人，其英语成绩在分以上的概率为，在超过人的青年志愿者中抽取人，其英语成绩在分以上至少一人为事件，则，由此得到，所以的最小值为．解析:∵，由题可知，即，得．∵，∵，可设，令得或，∵在上存在零点，∴，即，由此可知：减极小增∴在单调递减，单调递增，∴，设，，（1）．（2）证明见解析．19.（1）（2）（3）∵，∴，∴，∴在单调递减，∴，∴当时，．解析:由题意可得：，，所以．由题意可得，，，由得，所以，，且，即，，同理可得，因为四边形为平行四边形，所以，即，因为，所以，即．点到直线，直线的距离分别为，由（）知，所以点到直线，直线的距离相等，根据椭圆的对称性，故而原点是平行四边形的对称中心，假设平行四边形是矩形，则，那么，则，所以，这时直线轴，（1）．（2）证明见解析．（3）不能为矩形，证明见解析．20.四边形（1）（2）（3）这与直线的斜率存在相矛盾，所以假设不成立，即平行四边形不能为矩形．解析:，，，，．欲使最大，只须最小，当为偶数时，，当为奇数时，，．当为奇数时，由题意，得，且是的一个各位数字均为奇数的“正整数分拆”，所以，故．当为偶数时，由是各位数字均为偶数的“正整数分拆”，是各位数字均为奇数的“正整数分拆”，得，．①当时，的“正整数分拆”只有和，所以；②当时，由知，；③当为大于的偶数时，因为对于的任意一个各位数字均为偶数的“正整数分拆”，都存在一个与之对应的各位数字均为奇数的“正整数分拆”．且当不同时，其对应的也不相同，所以．又因为在上述对应关系下，各位数字均为奇数的“正整数分拆”不存在与之对应的各位数字都是偶数的“正整数分拆”，（注：因为，所以有意义），所以．（1），，，，．（2）当为偶数时，，当为奇数时，．（3）证明见解析；为，．21.共有个共有个共有个共有个综上，对所有的正整数，；当且仅当或时等号成立．。

2020北京西城区高三一模 数 学 2020.4第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1、设集合{}{}20,3><=<=x x x B x x A 或，则=⋂B A ( ) (A))0,(-∞ (B))3,2( (C))3,2()0,(⋃-∞ (D))3,(-∞ 2、若复数)1)(3(i i z +-=,则=z ( ) (A)22(B)52(C)10(D)203、下列函数中,值域为R 且为奇函数的是( ) (A)2+=x y(B)x y sin = (C)3x x y -= (D)xy 2=4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5,2413=+=a a a ,则=6S ( ) (A)10(B)9(C)8(D)75、设)1,4(),1,2(B A -，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )(A)2)3(22=+-y x (B)8)3(22=+-y x (C)2)3(22=++y x (D)8)3(22=++y x6、设c b a ,,为非零实数,且c b c a >>,,则( )(A)c b a >+ (B)2c ab > (C)c b a >+2 (D)cb a 211>+ 7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( ) (A)S S ∉∉3222且 (B)S S ∈∉3222且 (C)S S ∉∈3222且 (D)S S ∈∈3222且8.设b a ,为非零向量,则“b a b a +=+”是“a 与b 共线”的( )(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知函数xxx f sin 1sin )(+=的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有( ) ①绕着x 轴上一点旋转180; ②沿x 轴正方向平移;③以x 轴为轴作轴对称; ④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解),,4,3,2,1(=i x i 其中4321x x x x <<<,则))((4321x x x x -+的取值范围是( )(A)]101,0((B)]99,0((C)]010,0((D)),0(+∞第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11、在6)1(xx +的展开式中,常数项为.(用数字作答)12、若向量),1(),2,(2x b x a ==满足3<⋅b a ,则实数x 的取值范围是.13、设双曲线)0(14222>=-b by x 的一条渐近线方程为x y 22=,则该双曲线的离心率为 .14、函数)42sin()(π+=x x f 的最小正周期为 ;若函数)(x f 在区间),0(a 上单调递增,则α的最大值为.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论: ①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,⊥1AA 平面ABCD ,底面ABCD 满足BC AD //, 且22,21=====DC BD AA AD AB (Ⅰ)求证:⊥AB 平面11A ADD ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11CD B 所成角的正弦值.17.(本小题满分14分)已知ABC ∆满足 ，且,32,6π==A b 求C sin 的值及ABC ∆面积 从①4π=B ②3=a ③B a sin 23=这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。

2020北京西城区高三一模数学 2020.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页,共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设集合A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2},则A∩B=(A)(−∞,0) (B)(2,3)(C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)2.若复数z=(3−i)(1+i),则|z|=(A)2√2(B)2√5(C)√10(D)203.下列函数中,值域为R且为奇函数的是(A)y=x+2(B)y=sinx(C)y=x−x3(D)y=2x4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=2,a1+a4=5,则S6=(A)10 (B)9 (C)8 (D)75.设A(2,−1),B(4,1),则以线段AB为直径的圆的方程是(A)(x−3)2+y2=2(B))(x−3)2+y2=8(C)(x+3)2+y2=2(D) (x+3)2+y2=86.设a,b,c为非零实数,且a>c,b>c,则(A)a+b>c(B)ab>c2(C)a+b2>c(D)1a+1b>2c7.某四棱锥的三视图如图所示,记S 为此棱锥所有棱的长度的集合,则 (A)2√2∉S,且2√3∉S (B)2√2∉S,且2√3∈S (C)2√2∈S,且2√3∉S (D)2√2∈S,且2√3∈S8.设a,b 为非零向量,则“|a +b|=|a|+|b|”是“a 与b 共线”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④10.设函数f(x)={x 2+10x +1,x ≤0|lgx |, x >0若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是 (A)(0,101] (B)(0,99](C)(0,100](D)(0,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)12.若向量a =(x 2,2),b =(1,x)满足a ·b <3,则实数x 的取值范围是. 13.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ,则该双曲线的离心率为.)的最小正周期为;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为14.函数f(x)=sin(2x+π4.15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中,所有正确结论的序号是.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,底面ABCD满足AD∥BC,且AB=AD=AA1=2,BD= DC=2√2.(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADD1A1;(Ⅱ)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值.17.(本小题满分14分),求sinC的值及△ABC的面积.已知△ABC满足,且b=√6,A=2π3从①B=π,②a=√3,③a=3√2sinB这三个条件中选一个,补充到上面问题中,并完成解答.4注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.2019年底,北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募,仅一个月内报名人数便突破60万,其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中,按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试,所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中,英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人,记其中测试成绩在70分以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000),并在每组中随机选取m个人作为联络员,要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据,以频率作为概率,给出m的最小值.(结论不要求证明)19.(本小题满分14分)设函数f(x)=alnx+x2−(a+2)x,其中a∈R.,求a的值;(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线的倾斜角为π4(Ⅱ)已知导函数f′(x)在区间(1,e)上存在零点,证明:当x∈(1,e)时,f(x)>−e2.设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(Ⅰ)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(Ⅱ)若直线l1的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.21.(本小题满分14分)对于正整数n,如果k(k∈N∗)个整数a1,a2,…,a k满足1≤a1≤a2≤⋯≤a k≤n,且a1+a2+⋯+a k=n,则称数组(a1,a2,…,a k)为n的一个“正整数分拆”.记a1,a2,…,a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n,a1,a2,…,a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数n(n≥4),设(a1,a2,…,a k)是n的一个“正整数分拆”,且a1=2,求k的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n,证明:f n≤g n;并求出使得等号成立的n的值.(注:对于n的两个“正整数分拆”(a1,a2,…,a k)与(b1,b2,…,b m),当且仅当k=m且a1=b1,a2=b2,…,a k=b m 时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)2020北京西城区高三一模数学参考答案一、选择题：（本题满分40份）16.（本小题满分14份）（1）证明：在∆ABD中，AB=AD=2，BD=2√2有勾股定理得，∠BAD=90°∴AB⊥ADAA1⊥平面ABCD，AB⊆平面ABCD，∴AA1⊥AB又∵AA1∩AD=A∴AB⊥平面ADD1A1（2）解：由（1）知，AB，AD，AA1两两垂直，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,4,0),B 1(2,0,2),D 1(0,2,2)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)设平面B 1CD 1的法向量为n ⃗ =(x,y,z) ∴{n ⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n ⃗ ·B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{4y −2z =0−2x +2y =0令x =1,则y =1,z =2∴n ⃗ =(1,1,2)设直线AB 与平面B 1CD 1所成角为θ，∴sinθ=|cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗ ||=|22×√6|=√6617.（本小题满分14份） 当选择条件①时：∵B =π4，A =2π3， sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√32×√22−12×√22=√6−√24由正弦定理得，a sinA =b sinB ,即√32=√6√22得，a =3∴S ∆ABC =12absinC =9−3√34当条件选择②时： 已知a =√3,b =√6,A =2π3∵a <b,A <B,且A 为钝角，所以无解。

2020年北京十五中高考数学模拟试卷(一)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−4<−x≤3}，B={x|(x−2)(x+5)<0}，则A∩B=()A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)2.已知a=51.1,b=51.2，则()．A. a>bB. a=bC. a<bD. a≥b3.直线kx−y+k=0与圆x2+y2−2x=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−√33,√33] B. (−∞,−√33]∪[√33,+∞)C. [−√3,√3]D. (−∞,−√3]∪[√3,+∞)4.若a⃗与b⃗ −c⃗都是非零向量，则“a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗”是“a⃗⊥(b⃗ −c⃗ )”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直线m，n互不重合，平面α，β互不重合，下列命题正确的是()A. m//α，m//n，则n//αB. m⊥α，m⊥n则n//αC. m⊥α，n⊥α，则m//nD. α∩β=m，m//n，则n//α且n//β6.某三棱锥的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1)，则该三棱锥的最长的棱的长度为A. √3B. 2√2C. 2√3D. 47.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1，a32，a2成等差数列，则a2017+a2016a2015+a2014=()A. 2B. 3C. 4D. 98.以下命题中正确命题的个数是()个(1)将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；(2)调查剧院中观众观后感，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样；(3)事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小；(4)气象局预报说，明天本地降水概率为70%，则明天本地有70%的区域下雨，30%区域不下雨；(5)同时掷两个骰子，则向上的点数之和是5的概率是221．A. 0B. 1C. 2D. 39.设f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，若f(π4)=1，则函数y=f(π4−x)()A. 是奇函数B. 的图象关于点(π2,0)对称C. 是偶函数D. 的图象关于直线x=π2对称10.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目．按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜．下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是()A. 在100米项目中，甲的得分比乙高B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C. 甲的各项得分比乙更均衡D. 甲的总分高于乙的总分二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 设i 是虚数单位，复数5i1+2i = ______ ．12. 抛物线x 2=2py(p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23−y 23=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =_________．13. 已知(a x −√x 2)9的展开式中x 3的系数为94，常数a 的值为______ ．14. 设函数f(x)=3sin(π2x +π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1−x 2|的最小值为________．15. 已知函数f(x)={x 2−4x +5,x ≤2log 12(x −1)+1,x >2，若f(a 2−3a)>f(2a −6)，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3sin A ，周长为4(√2+1)，且．(1)求a 及cos A 的值； (2)求的值．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，∠PCA =90°，E 、F 、H 分别为AP 、AB 、AC 的中点，PF 交BE 于点M ，CF 交BH 于点N ，AP =4，BE =√3． (1)求证：AC ⊥平面BEH ； (2)求证：PC//MN ；(3)求直线PA 与平面ABC 所成角的正弦值．18.从集合P={x|1≤x≤9,x∈N∗}中等可能地取出m个不同元素，记所取元素之和为ξ．(1)若m=2，求ξ为偶数的概率；(2)若m=3，η表示ξ被3整除的余数，求η的概率分布及数学期望E(η)．19.已知函数f(x)=(ax2−lnx)(x−lnx)(a∈R)．(1)当a=6时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，其离心率e =12，点M 为椭圆上的一个动点，△MAB 面积的最大值是2√3． (1)求椭圆C 的方程；(2)若过椭圆C 右顶点B 的直线l 与椭圆的另一个交点为D ，线段BD 的垂直平分线与y 轴交于点P ，当PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0时，求点P 的坐标．21. 设数列{a n }满足：①a 1=1；②所有项a n ∈N ∗；③1=a 1<a 2<⋯<a n <a n+1<⋯.设集合A m ={n|a n ≤m,m ∈N ∗)，将集合A m 中的元素的最大值记为b m ，即b m 是数列{a n }中满足不等式a n ≤m 的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n }为数列{a n }的伴随数列． 例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．(I)若数列{a n }的伴随数列为1，1，2，2，2，3，3，3，3……，请写出数列{a n }； (II)设a n =4n−1，求数列{a n }的伴随数列{b n }的前50项之和；(III)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2+c(其中c 为常数)，求数列{a n }的伴随数列{b m }的前m 项和T m ．【答案与解析】1.答案：D解析：解：A={x|−3≤x<4}，B={x|−5<x<2}；∴A∩B={x|−3≤x<2}=[−3,2)．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．2.答案：C解析：本题考查指数函数及其性质，属于基础题．利用指数函数的性质可得结论．解：∵y=5x是单调增函数，∴51.1<51.2∴a<b．故选C．3.答案：A解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用，是中档题．由题意利用点到直线的距离小于等于半径，求出k的范围即可．解：由题意可知圆的圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线kx−y+k=0与圆x2+y2−2x=0有公共点，所以√k2+1≤1，解得−√33≤k≤√33．故选：A．4.答案：C解析：解：∵a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗∴a⃗⋅b⃗ −a⃗⋅c⃗=0∴a⃗⋅(b⃗ −c⃗ )=0∴a⃗⊥(b⃗ −c⃗ )，由于本过程可逆，故选：C．根据题目所给的条件，要推导一个是另一个的什么条件，把前面的条件变形，移项、提公因式，得到两向量的数量积为0，推出垂直，另一个方面，从垂直入手，也可推出数量积相等．得到结论．本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，只是题目所给的向量要应用向量的性质来运算，本题是把向量的数量积同条件问题结合在一起，这也是一种常见的结合．5.答案：C解析：解：A.根据线面垂直的判定定理可知，直线n必须在α内，否则不成立．所以A错误．B.当n⊄α时，结论成立，当n⊂α时，结论不成立，所以B错误．C.根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线平行，所以C正确．D.根据线面平行的性质可知，当α∩β=m，m//n时，n//α或n//β或n⊂α或n⊂β，所以D错误．故选C．A.利用线面平行的判定定理判断．B.利用线面垂直的性质判断．C.利用线面垂直的性质判断．D.利用线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要熟练掌握线面平行和垂直的性质和判定定理．6.答案：C解析：本题考查三视图，考查空间几何体的结构特征，是基础题．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，由图可知棱AC最长，求解即可．解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥A−BCD，该三棱锥的所有棱中，显然棱AC最长．由题知|AC|=√22+22+22=2√3故选C．7.答案：C解析：本题主要考查了等比数列的通项公式和等差数列中项性质的运用，属于基础题．先根据等差数列的中项性质建立等式求得公比q，进而代入原式求得答案．解：设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a1，a32，a2成等差数列可知a3=2a1+a2，∴a1q2=2a1+a1q，整理可得q2−q−2=0，求得q=2或−1(舍去)，∴a2017+a2016 a2015+a2014=a2014q3+a2014q2a2014q+a2014=q3+q2q+1=q2=4，故选：C．8.答案：A解析：解：对于(1)，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数减小，方差没有变化，故错误；对于(2)，调查剧院中观众观后感，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查是系统抽样，故错误；对于(3)，事件A、B同时发生的概率不一定比A、B中恰有一个发生的概率小，故错误；对于(4)，气象局预报说，明天本地降水概率为70%，则明天本地下雨的可能性为70%，不下雨的可能性为30%，故错误；对于(5)，同时掷两个骰子，则向上的点数之和是5的概率是436=19，故错误．故正确命题的个数是0个，故选：A根据概率的定义及实际含义，分别判断5个结论的真假，可得结论．本题以命题的真假判断为载体考查了概率的定义及实际意义，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：解：f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)，由于f(π4)=1，则：sin(πω4+φ)=1，即：πω4+φ=2kπ+π2，所以：函数y=f(π4−x)=sin(πω4+φ−ωx)=cosωx，故函数的图象关于y轴对称．故选：C．直接利用三角函数的图象的变换求出函数的关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的图象的变换问题的应用．10.答案：C解析：本题考查统计图和平均数、方差的应用，考查读图能力、分析能力，属基础题．根据雷达图中各项数据，逐个分析即可得到答案．解：从雷达图中可以得到：在100米项目中，甲的得分为1000分，乙的得分低于800分，甲比乙高，A正确；在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分点基本重合，得分基本相同，B正确；从图形中，易看出甲的得分波动比较大，乙虽然多项得分比甲低，但相对更稳定，C错误；甲的多项得分高于乙的得分，易判断甲的总分高于乙的总分，D正确．故选C．。