研究性课题与实习作业线性规划的实际应用

线性规划的实际应用摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。

我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。

主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。

也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

一． 线性规划问题在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则006000700090321,,x x x Zs.t⎩⎨⎧=++=++89.07.06.010321321x x x x x x)3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克CB 乙产品需要种原料为3千克。

每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元，C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则21,x x Z s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,15325.43212121x x x x x x2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型1．概念对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线),,3,2,1(n j x j ⋅⋅⋅=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

线性规划实际应用的教学探究【摘要】：线性规划的实际应用是高中数学教学中的一个重要课题。

本文从三个方面对“线性规划的实际应用”这一研究性学习课题进行探讨。

【关键词】：研究性学习线性规划应用数学研究性学习的一个重要方面是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。

它要以所学数学知识为基础，密切结合生活和生产实际。

学习过程中要充分体现学生的自主活动和合作活动，要学会提出问题、明确探究方向，体验数学活动的过程，培养学生的创新精神和应用能力。

简单的线性规划是直线方程的简单应用，是知识应用的重要体现。

全日制高中数学大纲和教科书第二册（上）安排了线性规划实际应用的研究性学习课题和实习作业，借以培养学生应用数学知识解决实际问题能力。

在各种训练中，简单的线性规划问题时常会出现。

所以，对于简单的线性规划知识我们应给予足够的重视，本文结合具体实例谈一谈线性规划实际应用。

一、线性规划中的有关知识线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值的问题。

满足线性约束条件下的解叫做可行解，由所有的可行解组成的集合叫做可行域。

一般地，线性规划问题的数学模型是已知a11x1+a12x2+…+a1mxm ≤b1,a21x1+a22x2+…fa2mxm≤b2,……an1x1+an2x2+…fanmxm≤bm,这里的”≤”也可以是”≥”或”=“，其中ai j (i=1,2,…，n,j = 1,2,…,m),b i (i=1,2…，n)都是常量，x j (j=1,2…，m)是非负常量，求z=c1x1+c2x2+…fcmxm的最大值或最小值，这里cj(j=1,2…,m)是常量。

应用线性规划解决实际问题一般步骤是：①设出变量，列线性约束条件和线性目标函数；②利用图解法求出最优解，进而求得目标函数的最大（或最小值）。

二、线性规划问题中应注意的问题1、线性规划问题实质是数形结合的具体体现，它将最值问题借助图形直观表示出来。

线性规划的实际应用【摘要】线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.【关键词】研究性学习；线性规划；教学改革随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。

我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。

主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。

也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。

1 线性规划问题在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。

例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10 ，而市场上只有浓度为，和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多少？才能满足生产需求，且所花费用最小？设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则2 线性规划问题的模型2.1概念对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。

2.2模型3线性规划问题的求解3.1图解法在平面直角坐标系中，直线可以用二元一次方程来表示，点在直线上的充要条件是；若不在直线上，则或，二者必居其一。

直线将平面分为两个半平面和，位于同一个半平面内的点，其坐标必适合同一个不等式，要确定一个二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊点”法，如原点或坐标轴上的点来检验。

另外有如下结论：（1）若，则表示直线右侧的半平面，示直线左侧的半平面。

应用一：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石8t 、B 种矿石8t,煤5t;生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t,B 种矿石8t,煤10t 。

每吨甲种产品的利润是500元，每吨乙种产品的利润是400元。

工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过320t 、B 种矿石不超过400t 、煤不超过450t 。

甲、乙两种产品应各生产多少能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为x t 、y t 利润总额为z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+004501054008832048y x y x y x y x ，y x z 400500+=作出以上不等式组所表示的可行域。

作直线l：5x+4y=0，把直线l向右上方平移至1l的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=500x+400y取最大值，解方程组⎩⎨⎧=+=+5080 2yxyx得M的坐标为（30，20）答：应生产甲产品30t、乙产品20t，能使利润总额最大。

应用二：某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为22m与23m。

用A种规格金属板每张可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板每张可造甲、乙两种产品各6个，问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？（30，20）解答：设A 、B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0055654563y x y x y x目标函数y x z 32+=作出以上不等式组所表示的可行域，如下图所示。

作直线0l ：032=+y x ，把直线向右上方平移至l 的位置时，直线经过可行域上的点M 时，与原点距离最小，此时y x z 32+=取最小值。

解方程组⎩⎨⎧=+=+45635565y x y x 得M 点的坐标为（5，5）此时255352min =⨯+⨯=z答：两种金属板各取5张时，用料面积最省。

线性规划的实际应用指导教师：大连市第八中学数学组崔贺课题组成员：大连市第八中学高二（2）班全体同学课题背景：提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。

近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。

根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。

所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。

线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。

线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。

研究过程：一、研究性学习开题报告（一）教师提出总体要求（二）分析课题背景，可行性论证（三）制定总体目标与计划（四）明确具体操作过程（五）划分小组，确定活动地点（六）由组长负责小组成员分工（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）第一小组活动时间：2003.4.12活动地点：大连市天津街改造办活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题参加人员：组长：陈燕组员：丁琳许玲见琦任鑫王鑫刘姝言王全智孙颖李舒然冯昱黄漪墨活动过程：来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。

这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。

天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。

研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用
课时安排
1课时
从容说课
研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和某他学科中出现的问题进行研究.它是以我们所学的数学知识为基础，密切结合生活和生产实际所开展的自主的、开放的、探究式的学习活动.它能让我们体验知识的形成过程、体验知识发展的方阔前景，通过与相近相关知识的比较、类比；通过直觉感受、猜测的进一步分析，不断主动地去积极探索思辨，初步学会查找资料，分析处理有关的信息，善于反思辨别、判断创新，培养科学精神，善于与会协作，互享成果，真正做自己的学习的主人.
本小节的实习作业是高中数学教科书中的第二个实习作业，它是我们力所能及的一种数学实践活动，它对于我们认识学习数学的意义，提高学习数学的兴趣，培养解决问题的能力都有好处，我们应认真完成.
线性规划主要应用于这样两类问题：
1．在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
2．给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.
请同学们抽时间到附近的工厂、学样、企业、商店等作调查研究，了解线性规划在实际中的应用。

浅谈线性规划在实际生活中的应用随着计算机技术的发展，线性规划（Linear Programming，LP）已被广泛应用于科学理论和实际生活中。

LP的出现使得工程师们能够快速的解决复杂的实际问题，使得各种优化事件在时间上有很大的优势。

本文将探讨线性规划在实际生活中的应用。

首先，线性规划可以用于企业的生产规划，以实现企业的目标以及降低成本。

要达到此目的，企业需要根据相关因素，如生产量、市场需求、库存水平、机器等，制定最佳生产计划。

例如，一家企业可以用线性规划来解决库存控制问题。

同时，企业还可以使用线性规划来进行工资管理、资产配置等，实现企业成本最低化。

其次，线性规划可以用于交通系统的路径规划。

线性规划可以解决交通运输问题，如最优路径规划、最短路径规划，以及交通系统的容量调度等。

例如，在城市交通系统中，可以使用LP来解决最优路径问题，以帮助出行者在拥堵的状态下，尽快到达目的地。

此外，线性规划还可以用于个人理财规划，以优化个人投资组合。

通过线性规划，个人理财者可以根据自己的风险偏好，使用资金最优化分配，即考虑投资组合中的收益、风险和成本等因素。

同时，也可以利用LP模型，结合投资者的利率偏好、投资期限等因素，探索个人最优投资组合。

此外，线性规划还可以用于建筑物的设计。

例如，可以使用LP 模型来优化财务计划，以确定最佳建筑设计，并考虑在建设过程中可能出现的各种问题。

另外，LP也可以用于求解土地利用、城市综合规划等问题。

最后，LP也可以用于自然资源的有效利用。

LP模型可以用于最佳利用公共资源，如水、电、矿产等，达到最大利益的若干目标。

此外，LP模型也可以用于环境污染的减排、森林的保护、植物的种植等，确保自然资源的可持续发展。

综上所述，线性规划在实际生活中有着广泛的应用，可以有效地解决复杂的实际问题。

但是，在实际应用中，也存在一定的局限性，像非线性问题这类更加复杂的问题就不能使用LP来求解。

因此，未来需要在 LP模型和非线性模型之间进行技术上的结合，以解决更多实际问题。

分析与解决实际问题的应用线性规划线性规划是一种数学优化方法，用于解决实际问题中的最大化或最小化的目标函数。

它的关键是在一系列约束条件下，找到目标函数的最优解。

线性规划已经广泛应用于供应链管理、投资组合优化、生产计划等领域，本文将分析与解决实际问题的应用线性规划的过程和方法。

一、线性规划的基本模型在分析与解决实际问题中应用线性规划之前，我们需要了解线性规划的基本模型。

一般来说，线性规划模型可以表示为以下形式：最大化或最小化目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ满足一系列线性约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，x₁, x₂, ..., xₙ是决策变量，c₁, c₂, ..., cₙ是目标函数中的系数，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ是约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ是约束条件中的常数。

二、实际问题的线性规划建模过程在应用线性规划解决实际问题时，首先需要确定决策变量、目标函数和约束条件。

然后，根据问题的特点，将其转化为线性规划模型。

以生产计划为例，假设某公司有两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。

产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。

产品A每小时需要2小时的生产时间，产品B每小时需要3小时的生产时间。

公司希望在一天内最大化利润，同时满足生产时间的限制。

首先，我们定义决策变量。

设x₁为生产的产品A的数量，x₂为生产的产品B的数量。

其次，确定目标函数。

由于公司的目标是最大化利润，因此目标函数为：Z = 100x₁ + 150x₂最后，建立约束条件。

根据生产时间的限制，我们得到以下约束条件：2x₁ + 3x₂ ≤ 8由于产品的数量不能为负，所以还需要添加非负性约束条件：x₁ ≥ 0x₂ ≥ 0将目标函数和约束条件整理成线性规划的标准形式，即：最大化：Z = 100x₁ + 150x₂约束条件：2x₁ + 3x₂ ≤ 8x₁ ≥ 0x₂ ≥ 0三、线性规划的求解和应用根据建立的线性规划模型，可以使用线性规划方法进行求解。