不定积分.doc

经济数学——微积分 4不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是cos 兀的原函数.(inx) =— (X >0)XIn X 是1在区间((),+oo)内的原函数.X第一节五、定理原函数存在定理：如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =f(x).简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？1 f例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx(C为任意常数)经济数学一微积分关于原函数的说明:(1)(2)证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分经济数学——微积分不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ・经济数学——微积分6=X% /. fx^dx =——十 C. J」6例2求f --------- dr.J 1 + X-/ J解•/ (arctanx)=,,I‘1 + 疋 心& =皿2被积函数『积分号积分变量寒积表达式F(x)例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成本函数C(jc).解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK™其中c为任意常数经济数学一微积分二、不定积分的几何意义函数八兀）的原函数的图形称为y（x）的积分曲线.显然，求不定积分得到一积分曲线族，在同一经济数学一微积分经济数学——微积分经济数学微积分基本积分表p*l=x“ zz> k"dx= — + C ・J “+1(“H -l)既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.经济数学一微积分(1) f kdx = kx + C 仏是常数)； (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1(3)[竺"=In X +C;J jrr dx说明；X >0, => 一 = lnx + C,J Xx<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄，—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X实例“+1启示 能否根据求导公式得出积分公式?结论 基本积分表(4)(6)(7) f ------ -dx =arctanx4-C;J 1 + x"f t -------- dx = arcsin jc + C;JJ cos xdx =sinx + C;Jsin xdx =-cosx +C;r dr r r---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X Jf = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J经济数学一微积分(10)(11)(12)(13) J sec X tan xdx =secx + C;J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;X= a +C;J Ina经济数学一議积分经济数学一微积分例4求积分5解 ^x^yfxAx — J x^dr飞+12经济数学一議积分四、不定积分的性质(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证•・・J/(x)dx ± Jg(x)dxtt=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).・・・等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）+ C=-x^+C.7经济数学一議积分J kf{x}Ax =町/（x ）dx.（A:是常数，A: H0）求积分=3arctanx —2arcsinx + C经济数学一微积分r 1 + X + 工2•」X （1 + X*）「1+…L =厂（1+% J 兀（1 +工2） J 兀（1 +云）= arctanx + lnA +C.例6求积分WF—^dx +经济数学一微积分解KrS 訂甯斗 」Ar(l + jr) J 兀・(1 +兀・)J 刖 JE"----- arctanx + C< X经济数学一微积分例8求积分1 ------------- —dx.J 1 + cos 2x 解J 1 + ；心4 = j 1 + 2丄—严£土吨g + G说明：以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.I 化积分为代做和的积分\ 例9 已知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的 切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.例7求积分r 1+2兀2J 兀2（］ + 尤2）1 + 2*2解•/— = sec2 X十sin x,dr二y = J^sec' X + sinx)dx=tanx —cosx H-C,j(0) = 5, /. C = 6、所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.经济数学一微积分五、小结原函数的概念：F\x) = f(x)不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表(1)〜(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质经济数学一微积分经济数学——积分思考题1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0—1, X < 0在（-co,+ 00）内是否存在原函数？为什么？经济数学——积分X + C, X >0X =0[―x+C,x <0 但F （兀）在工=0处不可微， 故假设错误所以/（X ）在（-00, + 8）内不存在原函数.思考题解答不存在.假设有原函数F （x ） F （x ） = -ic,经济数学一微积分练习题、 填空题；1. 一个已知的连续函数，有个原函数，其中 任意两个的差是一个 2. 3・ /(•V )的______ 称为/(X)的不定积分！ 把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ； 由F (x) = /(x)可知，在积分曲线族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的点处作切线，这 些切线彼此 的；若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的 原函数一定存在：经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—dx =求下列不定积分:3x经济数学一微积分3. f cos* —drJ 25. J （1-占）厶石血a fF+SlirX.6.----- ； ---- sec* xQxJ x" + l, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程•经济数学一微积分 练习题答案一、1.无穷多，常数：2.全体原函数； 积分曲线,积分曲线族；4.平行；5.连续 2 色 2 ---x'+C ； 7, -------- x '+C ；53 3 -- +2x + C ； 3 22 - 2 -- + -x2--x2-x + C ； 3 5 3 —4 - 2 - 2\・x —一—3 53. 6. 9.10.3.5.X—arctanx + C；X + sin X _2 24(*+7)717 +6三s , = lnx+C・经济数学一微积分2. 2’” + C；In 2-In 34e-(cotx +tanx) + C ；6. tan* —arccatx + C.o。

不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。

1）∫0dx=c 不定积分的定义2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c 基本积分公式14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=(1/a)*arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。

第五章 不定积分第一节 不定积分的概念及性质思考题：1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？ 答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 习作题：1. 已知曲线)(x f y =过点（0，0）且在点（y x ,）处的切线斜率为132+=x k ，求该曲线方程.解：依题意，132+=='x k y ，故C x x x x y ++=+⎰=32d )13(，又0)0(=y ，故0=C ，从而曲线方程为x x y +=3.2. 计算下列不定积分：（1）x x d 5⎰, （2）x xd 2⎰, （3）xe x d 1+⎰, （4）x x x d )sin (cos -⎰,（5）x x d 122+⎰,（6）x xd 122--⎰,（7）x xe x d )(3+⎰,（8）x x x d )cos 1sin 1(22+⎰. 解：（1）C x C x x x +=++=⎰+651d 6515. （2）C x xx+=⎰2ln 2d 2. （3）C C x x x x x x +=+=⎰=⎰++11e ee d e e d e.（4）C x x x x x x x x x ++=-⎰+⎰=-⎰cos sin d )sin (d cos d )sin (cos . （5）C x x x x x +=+=+⎰⎰arctan 2d 112d 1222.（6）C x x xx x+-=--=--⎰⎰arcsin 2d 11)2(d 1222.（7）C x C xx x x x x xxxx++=+++=⎰+⎰=+⎰+3431131343e 311e d d e d )e (. （8）C x x x x x x x xx ++-=⎰+⎰=+⎰tan cot d sec d csc d )cos 1sin 1(2222. 第二节 不定积分的积分方法思考题：1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数)()]([x x f ϕϕ'中的中间变量)(x ϕ作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数)(t ϕ，以t 作为新的积分变量.2. 应用分部积分公式u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按什么样的规律设u 和v d ？答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按如下的规律去设u 和v d ：（1）由v d 易求得v ；（2）u v d ⎰应比v u d ⎰容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？ 答: 一般地，若被积函数中含有22a x ±或22x a -，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax +，则可令n b ax +=t ，将原积分化为有理函数的积分. 习作题1. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1,（10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65.（2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰=)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰ =C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7）C x x x x x x x x x +=⎰==⎰⎰2ln 21)2ln d(2ln )2(d 22ln d 2ln 2. （8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(61)32(d )32(21d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx⎰=C x +2arcsin .2. 计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x x d e 4,(4)⎰x x x d 4sin e 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰-=⎰+-2241)(d 2arctan xx x x =)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 3. 计算下列不定积分：（1）x x d 162-⎰, （2）⎰+232)4(d x x .解：（1）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故 C xx x x ++=+⎰223242)4(d .xx2。

一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。

越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。

所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。

对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。

常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。

1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。

2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。

3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。

所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。

4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。

5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。

对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。

6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。

7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。

8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。

第四讲 不 定 积 分Ⅰ.考试要求1. 理解原函数的概念，理解不定积分的概念.2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分的性质,掌握换元积分法与分部积分法.3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.Ⅱ. 考试内容一. 原函数的概念1. 定义：原函数定义 如果)()(x f x F =', 或者dx x f x dF )()(=, 则称)(x F 是)(x f 的原函数. 2. 存在性：连续函数有原函数.推论 初等函数在有定义的区间上有原函数. 注：（1）原函数有无穷多.（2）任意两个原函数差一个常数.二. 不定积分的的概念与性质1. 定义：函数)(x f 的全部原函数{+∞<<-∞+C C x F |)(}称为)(x f 的不定积分, 记作⎰dx x f )(.注：（1）不定积分不是一个函数, 而是一个函数的集合.（2）11s i n s i n d x d x C x x-=⎰⎰ 2. 性质基本性质：[])()(x f dx x f dxd=⎰, 或者[]dx x f dx x f d )()(=⎰ ⎰+='C x F dx x F )()(, 或者⎰+=Cx F x dF )()( 运算性质：[()()]f x g xd x αβ+⎰=()()f x d x g x d xαβ+⎰⎰注：当积分号消失时加任意常数三.基本公式1.k d x k x C =+⎰,2.(1)1x x dx C μμμμ=+≠-+⎰, 3. 1ln||d x x C x=+⎰,4.ln x xa a dx C a=+⎰, x xed x e C =+⎰, 5.s i n c o s x d x x C=-+⎰, 6.c o s d s i n xx x C =+⎰, 7.2s e c d t a n x x x C=+⎰, 8.2c s cd c o t x x x C=-+⎰, 9.s e ct a n d s e c x x x xC =+⎰， 10.c s c c o td c s c x x x xC =-+⎰，11. 221a r c s i n xd x Ca a x=+-⎰, 12.2211a r c t a n xd x C a x a a=++⎰, 13.s e c d l n |s e c t a n |x x x xC =++⎰， 14. c s c d l n |c s c c o t|x x x xC =-++⎰，15.2211l n ||2a xd x C a x a a x+=+--⎰. 16. 22221l n ()d x x x a Cx a=+±+±⎰. 注：不能用初等函数表示的积分2x e d x ⎰,2x ed x -⎰,s in x d x x ⎰,1ln d x x⎰. 四. 基本积分方法1. 换元积分法：()()[()]()x t f x d x f t td t ϕϕϕ='⎰⎰ 2.常见换元公式 （1）1()()()fa xb d x fa xb d a xb a +=++⎰⎰,（2）11()()f x x d x f x d x μμμμμ-=⎰⎰, （3）1()()l n x x x xf aa d x f ad a a=⎰⎰,（4）(s i n )c o s (s i n )s i n f x x d x f x dx =⎰⎰, （5）(c o s )s i n (c o s )c o s f x x d x f x dx =-⎰⎰, （6）21(s i n )(s i n )s i n 1f a r c x d x f a r c x d a r c x x=-⎰⎰, （7）21(a r c t a n )(a r c t a n )a r c t a n 1f x d x f x d x x=+⎰⎰, （8）22(,)Rxa x d x -⎰， 令22a x -，令t a x sin =,22ππ≤≤-t ；（9）22(,)Rxa x d x +⎰， 令t a x tan =, 22ππ<<-t .（10）22(,)Rx x a d x -⎰，令t a x sec =, 20π<<t 或02<<-t π, （11）(,)nax bR x dx cx d++⎰，令na x bu cx d+=+，其中，0a d b c -≠，2,3,4,n =（12）(s i n ,c o s )R x xd x ⎰，令ta n 2x u = 分母次数较高时，倒代换1x t=；a xe t =，a r c s i n x t = 3.分部积分法:⎰⎰'-='vdxu uv dx v u . 注：反对幂三指（1）()s i n n P x a x d x ⎰，()c o s n P x a x d x ⎰，()a xn P x e dx ⎰ （2）()a r c s i n nPx a x d x ⎰，()a r c c o s nPx a x d x ⎰，()l n nP x x d x ⎰ （3）s i n ()k xe a x bd x+⎰Ⅲ．题型与例题【例1】d xx x ++-⎰11.【例2】计算下列不定积分 【例3】计算不定积分dx x x x⎰-)1(arccos 2.【例4】求计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+【例5】⎰+dx exe xx 1【例6】计算不定积分⎰+dx xx xcos sin sin 【例7】求dx xxx x ⎰-2sin cos sin .【例8】（11317）（本题满分10分）求arcsin ln x xdx x+⎰. 【例9】设x xx f sin )(sin 2=，求⎰-dx x f xx )(1 【例10】设函数f x ()有连续导函数, 且f x d x x x C ()(s i n )l n =++⎰1, 求 xf x d x '⎰().第五讲 定积分及其应用Ⅰ.考试要求1. 理解定积分的概念．2. 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法．3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式．5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分． 注：（1）数一、数二要求：掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值．（2）数三要求：会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题．Ⅱ.考试内容一、定积分的概念与性质1. 定义∑⎰=→∆∆ni i i ba x f dx x f 1)(lim )(ξλ； 注：（1）积分与所用变量的符号无关. （2）规定：()()baab f xd x f xdx =-⎰⎰, ()0a af x dx =⎰.（3）几何意义（4）设)(x f 在[,]a b 上可积，则1011l i m ()()nn k ba ba fa k fx d x n n n →∞=--+=∑⎰ 特别地， ⎰∑==∞→101)()(1lim dx x f n kf n n k n ． 【例1】求和式极限（1）222121l i m []n n n n n→∞-+++ （2）222222l i m []12n n n nn n n n→∞++++++（3）12l i m [1c o s 1c o s 1c o s ]n n nnn nπππ→∞++++++（4）!l i mnn n n→∞2. 可积的条件（1）可积的必要条件：若)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界． （2）可积的充分条件：若)(x f 在],[b a 上连续或仅有有限个间断点，则)(x f 在],[b a 上可积； 3. 定积分的性质假设各性质中所列出的定积分都是存在的． （1）⎰⎰⎰±=±bababa dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([βαβα． （2）⎰⎰⎰+=bcc a ba dx x f dx x f dx x f )()()(． 注：分段函数的积分（3）若在],[b a 上()()f x g x ≤，则()()bbaaf xd xg xd x ≤⎰⎰．|()||()|()bbaaf x d x f x d x b a ≤>⎰⎰． （4）设M 与m 分别是)(x f 在],[b a 上最大值与最小值，则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰． （5）积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则存在],[b a ∈ξ，使得)()()(ξf a b dx x f ba-=⎰. 注：① ξ可以在区间内部取到.② 若)(x f 在],[b a 上连续，()g x 在],[b a 上可积且定号,则],[b a ∈ξ，使得()()()()b baaf xg x d x f g x d x ξ=⎰⎰. 【例2】 （11304）设⎰=4sin ln πxdx I ,⎰=4cot ln πxdx J ,⎰=40cos ln πxdxK ,则I ,J ,K 的大小关系是[ ]．)(A K J I <<. )(B J K I <<. )(C K I J <<. )(D I J K <<. 【例3】 设函数)(x f y =在区间]1,0[上可导, 且⎰=2/10)(2)1(dx x xf f , 则存在(0,1)ξ∈, 使得0)()(=+'ξξξf f二、奇偶函数与周期函数的积分性质1. 若)(x f 在],[a a -上可积，则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-为偶函数若为奇函数若)(,)(2)(,0)(0x f dx x f x f dx x f a aa ． 2. 若)(x f 在],[a a -上可积，则⎩⎨⎧⎰为偶函数若奇函数为奇函数若偶函数为)(,)(,)(0x f x f dt t f x． 注：若)(x f 为奇函数，则)(x f 的原函数均为偶函数．若)(x f 为偶函数，则原函数中只有一个原函数是奇函数． 3. 设)(x f 是以T 为周期的可积函数，则任意周期上的积分相等.⎰⎰⎰-+==2/2/0)()()(T T T Ta a dxx f dx x f dx x f ， ⎰⎰=T nTdx xf n dx x f 00)()(． 4. 设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则)(x f 的原函数以T 为周期的充分必要条件是0)(0=⎰Tdx x f ．【例4】积分=+⎰-22223cos )sin (ππxdt x x ________． 【例5】设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，“N M ⇔”表示M 的充要条件是N ，则必有 [ ]．（A ）)(x F 是偶函数 ⇔)(x f 是奇函数．（B ）)(x F 是奇函数 ⇔)(x f 是偶函数． （C ）)(x F 是周期函数 ⇔)(x f 是周期函数． （D ）)(x F 是单调函数 ⇔)(x f 是单调函数． 【例6】设函数⎰=xdt t x S 0cos)(， （1）当n 为正整数，且ππ)1(+≤≤n x n 时，证明：)1(2)(2+<≤n x S n ； （2）求xx S x )(lim+∞→.三、计算定积分1. 微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式）：若)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰． 2. 换元积分法与分部积分法 注：换元要换限 【例7】计算⎰--2ln 021dx e x 。