北京市2018届高三零模数学试卷(理科) Word版含解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A{x ||x |<2},B{-2,0,1,2},则AB（A ）{0,1} （B ）{-1,0,1}（C ）{-2,0,1,2} （D ）{-1,0,1,2} （2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ） （B ）（C ）（D ）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（A ） （B ） （C ）（D ）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ） 1 （B ） 2（C ） 3（D ） 4 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号（6）设a,b 均为单位向量，则“”是“a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）在平面直角坐标系中，记d 为点到直线x 的距离，当m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4(8)设集合A，则（A）对任意实数a ，（B）对任意实数a ，（C）当且仅当a 时，（D）当且仅当a 时，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

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第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1.详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市2018届高三零模试卷（理科数学）一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．8．如图，已知平面α∩β=l，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P ，使得∠APD=∠BPC ，则P ﹣ABCD 体积的最大值是（ ）A ．B ．16C ．48D ．144二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=______． 10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k=______．11．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为______．12．设函数的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是______．13．如图，圆O ：x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______．14．集合U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，M={（x ，y ）||x|+|y|＜a}，P={（x ，y ）|y=f （x ）}，现给出下列函数：①y=a x ，②，③y=sin（x+a ），④y=cosax，若0＜a ＜1时，恒有P∩∁U M=P ，则所有满足条件的函数f （x ）的编号是______．三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cosB=bcosC ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若，求△ABC 的面积．16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．18．已知函数f （x ）=x 2+2alnx ．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在（2，f （2））处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为，求直线AB 的方程．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．北京市2018届高三零模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，∵全集U={1，2，3，4}，（A∪B）={3}．∴∁U故选A2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）【考点】圆的参数方程．【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，从而求得圆心坐标．【解答】解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A．4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故选：B5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：P=1×1=1，1＜N成立，循环K=2，P=1×2=2，2＜N成立，循环K=3，P=2×3=6，3＜N成立，循环K=4，P=6×4=24，4＜N成立，循环K=5，P=24×5=120，5＜N成立，循环K=6，P=120×6=720，6＜N不成立，输出P=720，故选：B6．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．36【考点】二项式系数的性质．【分析】首先利用所有二项式系数和为512，求出n，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为∴几何体的体积为故选B．8．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积V==12=48，即四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值为48， 故选C ．二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由两个向量共线的性质可得cosθ•3cosθ﹣1=0，cos 2θ=，再由 cos2θ=2cos 2θ﹣1 求得结果． 【解答】解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos 2θ=，故 cos2θ=2cos 2θ﹣1=﹣， 故答案为．10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k= 10 ． 【考点】等差数列的性质．【分析】先设出等差数列{a n }的首项和公差为a 1、d ，由等差数列的前n 项和代入条件得到a 1和d 关系，再由通项公式代入a k +a 4=0，求出k 的值．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9a 1+36d=4a 1+6d ，其中a 1为首项，d 为等差数列的公差， ∴a 1=﹣6d ， 又∵a k +a 4=0∴a 1+（k ﹣1）d+a 1+3d=0，把a 1=﹣6d 代入上式得，k=10， 故答案为：1011．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】设出AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF 求出k 的值，利用切割定理求出CE ． 【解答】解：由题意，设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF，得8=8k 2，∴k=1． ∴AF=4，BF=2，BE=1， ∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=．故答案为：12．设函数的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是a≥﹣．【考点】函数最值的应用．【分析】根据函数在（﹣∞，）上单调递减，求出函数的最值，根据题意建立不等式，解之即可．【解答】解：当x＜时，f（x）=﹣x+a，该函数在（﹣∞，）上单调递减则﹣x+a＞﹣+a而函数的最小值为﹣1∴﹣+a≥﹣1解之a≥﹣故答案为：a≥﹣13．如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．【考点】几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosxπ=4，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|π=4由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：14．集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函M=P，则所有满足条件数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U的函数f（x）的编号是①②④．【考点】绝对值不等式的解法；对数函数的值域与最值；余弦函数的定义域和值域．【分析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（﹣a≤x≤a ）的上方．①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．②中，x＞0，y=loga③中的函数不满足条件，如 x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，﹣1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．三、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得．又0＜B＜π，从而得到角B的大小．（Ⅱ）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据△ABC的面积运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．…∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴．…（Ⅱ）由正弦定理，得，…由可得，由，可得，…∴． …16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 【分析】（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． … 则；； ；．ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P… ∴． …（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件． … 所以P （A ）=P （B 1）+P （B 2）=．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ，我们由三角形的中位线定理，易得OD ∥AB 1，进而由线面平行的判定定理得到AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C 1BD 和平面BDC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1，我们可以设出P 点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．【解答】证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥AB 1．∵AB1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1∥面BDC 1．解：（II ）如图，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0） 设=（x ，y ，z ）是面BDC 1的一个法向量，则即，令x=1 则=（1，，）． 易知=（0，3，0）是面ABC 的一个法向量．∴cos ＜，＞=． ∴二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值为．（III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1． 则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1．18．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可【解答】解：（Ⅰ）…由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（2）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）﹣0 +f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．…（III）由得，…由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积． 由可得k 2=2，∴， 所以直线或．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，能证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，由此能求出数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）由已知得a n =（5﹣1），由此能求出T n =5．（3）由b n ===2﹣，得S n =2n ﹣2+．由此能求出使S n ＞2012的n 的最小值．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，∴数列{2a n +1}是“平方递推数列”．由以上结论lg （2a n+1+1）=lg （2a n +1）2=2lg （2a n +1），∴数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）解：lg （2a n +1）=[lg （2a 1+1）]×2n ﹣1=2n ﹣1lg 5=lg5，∴2a n +1=5，∴a n =（5﹣1）． ∵lg T n =lg （2a 1+1）+…+lg （2a n +1）=（2n ﹣1）lg 5，∴T n =5．（3）解：∵b n ===2﹣， ∴S n =2n ﹣2+．∵S n ＞2 012，∴2n ﹣2+＞2 012．∴n+＞1008．∴n=1008．min。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I （A ）{}01， （B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，， 2.在复平面内，复数i1i-的共轭复数对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．12 B ．56C ．76D ．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．ABC ．D ．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为 。

北京一零一中2017-2018学年度第二学期统考四高三数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合,,那么A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，所以，=，选B.2. 若满足则的最大值为A. B. C. D.【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.设得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大. 由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.3. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为则输出的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】初始值k=1,S=0第一次循环：S=2,k=2第二次循环：S=2+4=6,k=3,第三次循环：S=2+4+6=12,k=4,……第十次循环：S=2+4+6+…+20=220,k=11,11>10,退出循环，输出S=220.选B.4. 设是首项为正数的等比数列,公比为则“”是“对任意的正整数”的A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：①定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．②等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．③集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．5. 若将函数的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为A. B.C. D.【答案】B【解析】函数的图像向左平移个单位长度得所以，选B.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.6. 如图,正方体的棱长为2,动点在棱上,动点分别在棱上,若大于零则四面体的体积A. 与都有关B. 与有关,与无关C. 与有关,与无关D. 与有关,与无关【答案】D【解析】如图：在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选．点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．7. 已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为,则的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.8. 定义“规范数列”如下:共有项,其中项为0,项为且对任意中的个数不少于的个数,若则不同的“规范01数列”共有A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】枚举找规律，新加的两个数0,1必须是0在1前，所以把前面数排列，插到01排列中，共三种2个数时只有0,14个数时，把0,1，插入到01中，共三种，有一个重复，所以减1，共2种，0011，01016个数时，把前面0011，0101插入到01，共6种，1种重复，所以共5种。

2018年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A．B． C．D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A．﹣1 B．1 C．D．08．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④二、填空题9．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．10．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．11．一几何体的三视图如下：其体积为．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．18．已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6，记点P 的轨迹为C1．抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．20．正整数数列{a n}满足：a1=1，（Ⅰ）写出数列{a n}的前5项；（Ⅱ）将数列{a n}中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k}，试用n k表示n k（不必证明）；+1（Ⅲ）求最小的正整数n，使a n=2018．2018年北京市人大附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．设全集U=R，集合A={x∈R|x2﹣2x＜0}，B={y|y=e x+1，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|x＞2} C．{x|x＞1} D．{x|1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中函数的值域确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的y=e x+1＞1，得到B={y|y＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}．故选：D．2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．【解答】解：∵0＜0.32＜1log20.3＜020.3＞1∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a故选B．3．直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【考点】定积分．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故答案为．4．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A．B．C．D．【考点】选择结构．【分析】本题的框图是一个选择结构，其算法是找出即是奇函数存在零点的函数，由此规则对四个选项进行比对，即可得出正确选项．【解答】解：由框图知，其算法是输出出即是奇函数存在零点的函数，A中的函数不能输出，因为此函数没有零点；B中的函数可以输出，验证发现，函数是奇函数且当x=0时函数值为0，故B正确；C中的函数不能输出，因为不存在零点；D中的函数不能输出，因为它是偶函数，不是奇函数．故选B．5．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的S4=2S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方是1，从而得到结果．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=2S2，∴a1+a2+a3+a4=2（a1+a2）∴a3+a4=a1+a2，∴q2=1，⇔“|q|=1”∴则“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件，故选：C．6．某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（）A．B． C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是从12名选手中选出4个优胜者，共有C124种结果，而满足条件的是选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手表示从6个省中选一个省，它的两名选手都获奖，同时从余下的10名选手中选一个，再从剩下的4个省中选一个，共有C61C101C41种选法，∴P==，故选A．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图，则（）A．﹣1 B．1 C．D．0【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用函数的周期性求得的值．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象的周期性可得==﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），且函数的周期为π．∴f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（π）=1+﹣﹣1﹣+=0，∵2018=6×335+3，故=f（）+f（）+f（）=1+﹣=1，故选B．8．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A．①④B．②C．③D．③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD'B'．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B'D'，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD'B'，所以平面MENF ⊥平面BDD'B'，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C'E，C'M，C'N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C'EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C'EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．所以四个命题中③假命题．所以选C．二、填空题9．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第象限．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由图得到复数z1，z2，然后利用复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【解答】解：由图可知z1=﹣2﹣i，z2=i，则=．该复数对应的点为（﹣1，2），该点位于第二象限．故答案为二．10．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．【解答】解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2=AC•AD=mn，即．故答案为：．11．一几何体的三视图如下：其体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图可知，该三棱锥的高和底面三角形的一边及此边上的高，进而可求该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6，其底面三角形的一边及此边上的高分别为5与2.4，由棱锥的体积公式V=，则该几何体的体积为．故答案为12．12．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．则直线l的倾斜角为；设点Q是曲线C上的一个动点，则点Q到直线l 的距离的最小值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】化直线的参数方程为普通方程，求出直线的斜率，由直线倾斜角的范围和倾斜角的正切值等于斜率可求直线的倾斜角；化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离减去圆的半径得到点Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：由直线l的参数方程为（t为参数），得y=x+1，则直线l的斜率为k=，设l的倾斜角为α，由0≤α＜π，且tanα=，所以；由曲线C的参数方程为（θ为参数），则（x﹣2）2+y2=1．所以曲线C为以（2，0）为圆心，以1为半径的圆，则圆心C到直线l的距离为d=，所以曲线C上的一个动点Q到直线l的距离的最小值为．故答案为，．13．已知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程．【分析】分类讨论，设双曲线的方程，利用焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，求出几何量，即可得到双曲线的方程．【解答】解：焦点在x轴上时，设方程为（a＞0，b＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c=5，∴∴C的方程为；焦点在y轴上时，设方程为（a′＞0，b′＞0），则∵焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴c′=5，∴∴C的方程为故答案为或．14．已知A、B为函数y=f（x），x∈[a，b]图象的两个端点，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1﹣λ）b，λ∈[0，1]，又已知向量=λ+（1﹣λ），若不等式||≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数f（x）=x﹣在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为．【考点】平面向量的综合题．【分析】先得出M、N横坐标相等，再将恒成立问题转化为求函数的最值问题．【解答】解：由题意，M、N横坐标相等，恒成立，即，由N在AB线段上，得A（1，0），B（2，），∴直线AB方程为y=（x﹣1）∴=y1﹣y2=﹣（x﹣1）=﹣（+）≤（当且仅当x=时，取等号）∵x∈[1，2]，∴x=时，∴故答案为：三、解答题.15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，=．（1）求角A的大小；（2）求函数y=sinB+sin（C﹣）的值域．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．【分析】（I）由条件利用正弦定理求得cosA=，从而求得A=．（II）由A=，可得B+C=．化简函数y等于2sin（B+），再根据＜B+的范围求得函数的定义域．【解答】解：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，…即2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…∴cosA=，A=．…（II）∵A=，∴B+C=．…故函数y==sinB+sin（﹣B）=sinB+cosB=2sin（B+）．…∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴sin（B+）∈（，1]，…故函数的值域为（1，2]．…16．如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=．（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；（Ⅱ）求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．（Ⅲ）在PC上是否存在一点Q，使得平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）若M为PA中点，证明MN∥AC，利用线面平行的判定，即可证明AC∥平面MDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，确定面PBC的法向量，即可求直线PE与平面PBC所成角的正弦值；（Ⅲ）确定平面QAD的法向量，利用平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为，结合向量的夹角公式，即可求得结论．【解答】（Ⅰ）证明：连结PC，交DE与N，连结MN，∵△PAC中，M，N分别为两腰PA，PC的中点，∴MN∥AC…因为MN⊂面MDE，又AC⊄面MDE，所以AC∥平面MDE…（Ⅱ）解：∵∠ADC=90°，∴AD⊥DC，又AD⊂平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD，∴AD⊥平面PDCE，又PD⊂平面PDCE，∴AD⊥PD．…以D为空间坐标系的原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，…设面PBC的法向量=（x，y，1），应有即：解得：，所以…设PE与PBC所成角的大小为θ，∵∴，…（Ⅲ）解：设﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面QAD的法向量为=（x′，y′，1），即：…解得：，所以…∵面PBC的法向量，平面QAD与平面PBC所成锐二面角的大小为．∴，…∴所以，PC上存在点Q满足条件，Q与P重合，或…17．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔．受风力自然资源影响，项目投资存在一定调研结果是，未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2．假设投资A项目的资金为x（x≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目．（1）请根据公司投资限制条件，写出x，y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；（2）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目，可得x，y满足的条件，从而可得平面区域；（2）利用未来一年内，位于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2，可得随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（3）利用平面区域，即可求得一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目，公司要求对A项目的投资不得低于B项目可得，表示的区域如图所示；η（Ⅲ）z=Eξ+Eη=0.16x+0.19y，可得x=y=50根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值为17.5万元．18．已知函数f（x）=﹣（1+2a）x+ln（2x+1），a＞0．（1）已知函数f（x）在x=2取得极小值，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调区间；（3）当a＞时，若存在x0∈（，+∞）使得f（x0）＜﹣2a2，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，利用函数f（x）在x=2取得极小值，则f'（x）=0，解a．（Ⅱ）解导数不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0，判断函数的单调区间．（Ⅲ）将不等式转化为最值恒成立问题，利用导数求函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为，且f'（x）=x﹣（1+2a）+，…因为函数f（x）在x=2取得极小值，所以f'（2）=0，即f'（2）=2﹣（1+2a）+=0，．…解得a=1．…经检验：a=1时，函数f（x）在x=2取得极小值，所以a=1．…（Ⅱ）f'（x）=x﹣（1+2a）+==令f'（x）=0，则x=或x=2a…i、当2a＞，即a＞时，所以f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，所以f（x）的增区间为（，+∞）…iii、当0＜2a＜，即0＜a＜时，，所以f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…综上所述：0＜a＜时，f（x）的增区间为（﹣，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（﹣，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）（Ⅲ）由题意，a＞时，存在x0∈（，+∞），f（x0）＜，即a＞时，f（x）在（，+∞）上的最小值小于．…由（Ⅱ）a＞时，f（x）在（，2a）上递减，在（2a，+∞）上递增，f（x）在（，+∞）上的最小值为f（2a），…所以f（2a）＜，即＜…化简得ln（4a+1）＜1，4a+1＜e，，又a＞，所以，所求实数a的取值范围为．…19．已知F1（﹣1，0），F2（1，0），坐标平面上一点P满足：△PF1F2的周长为6，记点P 的轨迹为C1．抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）若过F2的直线l与抛物线C2交于A，B两点，问在C1上且在直线l外是否存在一点M，使直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用△PF1F2的周长为6，结合椭圆的定义，可求C1的方程；利用抛物线C2以F2为焦点，顶点为坐标原点O，可得C2的方程；（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程，利用直线MA，MF2，MB的斜率依次成等差数列，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|，由于|F1F2|=2，故|PF1|+|PF2|=4，由于|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，故点P的轨迹为C1为以F1，F2为焦点的椭圆的一部分，且a=2，c=1，故，故C1的方程为：；C2的方程为：y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线AB的方程为：x=my+1，，故，故，由，y2﹣4my﹣4=0，故y1+y2=4m，y1y2=﹣4，故m（x0+1）（x0﹣my0﹣1）=0，因为直线AB不经过点M，故x0﹣my0﹣1≠0，故m=0或x0+1=0，当m=0时，C1上除点外，均符合题意；当m ≠0时，则当x 0=﹣1时，椭圆上存在两点和都符合条件．20．正整数数列{a n }满足：a 1=1，（Ⅰ）写出数列{a n }的前5项；（Ⅱ）将数列{a n }中所有值为1的项的项数按从小到大的顺序依次排列，得到数列{n k }，试用n k 表示n k +1（不必证明）；（Ⅲ）求最小的正整数n ，使a n =2018． 【考点】数列递推式；数列的函数特性． 【分析】（Ⅰ）由数列{a n }满足递推公式，令n=1，2，3，4及a 1=1，我们易得到a 2，a 3，a 4，a 5，的值；（Ⅱ）由（1）和条件可归纳数列{n k }中每一项的值与序号的关系，由归纳推理出n k 的一个通项公式，再由（Ⅰ）归纳出数列{a n }中项之间的关系式，再得到项数之间的关系式； （Ⅲ）把（Ⅱ）的结论化为2n k +1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ，转化为新的等比数列{x k }，利用此数列的通项公式进而求出n k 的表达式，把n k +1=3n k +1转化为不等式“a n ≤3n k +1=n k +1”，给k 具体值结合（Ⅱ）的结论，进行注意验证a n 与2018的大小关系，一直到n 8+2﹣m=2018，进而求出m 的值，代入对应的式子求出n 的值．【解答】解：（Ⅰ）令n=1代入得，a 2=a 1+1=2，令n=2代入得a 3=a 2+2=4；令n=3代入得a 4=a 3﹣3=1， 令n=4代入得a 5=a 4+4=5；∴a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=1，a 5=5；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知n 1=1，n 2=4，n 3=13，…，猜想使的下标n k 满足如下递推关系：n k +1=3n k +1，k=1，2，3，…．对k 归纳：k=1，2时已成立，设已有，则由（Ⅰ）归纳可得，，，，，…．归纳易得：，，故当m=n k +1时，=．因此n k +1=3n k +1，（k=1，2，3，…）成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，n k +1=3n k +1，则2n k +1=2（3n k +1）， 即2n k +1+1=3（2n k +1），记2n k +1=x k ，则x k +1=3x k ，x 1=3，故，因此，由n k+1=3n k+1，k=1，2，3，…可知，当n≤3n k=n k+1﹣1时，a n≤3n k+1=n k+1．因此，当n＜n7时，a n≤n7==1183；而当n7≤n＜n8时，要么有a n≤1184，要么有a n≥2×1184，即a n取不到2018，进而考虑n8≤n＜n9的情况，由（Ⅱ）得，，则n8+2﹣m=2018，解得m=1269，解得n8+2m﹣1=5817故．故使得a n=2018的最小n为5817．2018年10月13日。

北京市2018届高考数学理科仿真模拟卷10第一部分选择题（40分）一、选择题（每小题 5分，共40分） 1.若 p: —x •二 R,sinx^1，则（）A .一 p: x R, si nx . 1B.—p :-x R,si nx . 1C. _p: x R, sin x _ 1D.2." a=2”是"直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件4.甲校有3600名学生。

乙校有 5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生 某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90人的样本，则应在()A. 120 B . 105 C . 90 D . 756.已知两个不重合的平面 a 和B ,下面给出四个条件:①a 内有无穷多条直线均与平面 B 平行；② 平面a , B 均与平面丫平行；③ 平面a , B 与平面丫都相交，且其交线平行; ④ 平面a , B 与直线I 所成的角相等. 其中能推出a // B 的是（）A .①B ，②C .①和③D .③和④ 2 27.设P 是双曲线x - y.=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为 a 2 9 ■分别是双曲线的左、右焦点，若 | PR | = 3，则|PF 2 |=（） A. 1 或 5 B. 6 C. 7 D. 9 8.如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧 AP 的长为I ，弦这三校分别抽取学生（ )A . 30 人，30 人，30 人B .30 人， 45人， 15人 C . 20 人，30 人，10 人D . 30 人， 50人，10人5.设a ［是公差为正数的等差数列，若3.如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻， 它落在阴影部分（圆内接正三角形）上的概率是（ ）A . ) B.4343C. 43 D-3.3 4 二日1 “■a ? ■' a 3AP的长为d,则函数d=f（l）的图像大致是（）A. B. C. D.第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题 5分，共30分） 9•在某项测量中，测量结果 ■服从正态分布N （1,；「2）（匚.0）.若■在（0,1）内取值的概率为0.4，贝U •在(0 , 2)内取值的概率为 __________________210. 0 (2—11 —x|)dx =5311. 若（ax-1） 的展开式中x 的系数是80 ,则实数a 的值12. 已知数列 也［中，a 1=1, a n+i =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数 列的第10项，则判断框中应填的语句是 ____________________ . 13 .甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共 有 （用数字作答）21.选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分） 14. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线G ‘X =2t +2a （t 为参数），曲线=-t（a 为参数）.若曲线 0、C 2有公共点，则实数 a 的取值范围15.（几何证明选讲）如图，已知△ ABC 内接于圆O,点D 在OC的延长线上，AD 是O 0的切线，若/ B=30°, AC=2贝U OD 的长为 _________________三、解答题（共6大题，共80分） 16. （本题满分12分）已知 a=（sinx,-cosx ）, b =l cosx, 3cosx ，函数 f x 二 a b —32（1） 求f （x ）的最小正周期；（2） 当0空x "；；上时，求函数f （x ）的值域.2x =2cos 日C 2 :丿y =2 +2si n 日A17. （本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为11 ，乙胜丙的概率为45(1) 求甲获第一名且丙获第二名的概率： (2) 设在该次比赛中，甲得分为E,求E 的分布列和数学期望。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷1（北京卷）理科数学本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟，考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并收回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，若A B =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2} 2.下列函数中，在区间(0,}+∞上为增函数的是 A ．1y x =+ B ．2=(1)y x - C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+3.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的 A ．充分且不必要条件 B ．必要且不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件4.设a ，b R ∈，若a b >，则 A ．11a b< B ．lg lg a b > C ． 22a b> D ．sin sin a b > 5.若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是 A .3?k ≤ B .3?k < C .4?k ≤ D .4?k > 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．19B ．16C ．13D ．12注：1-4页为试题，5-11页为详细答案及评分标准，12-13页为试题难度说明. 本试卷配套标准答题纸可在百度文库本试卷作者处免费获得. 印发时，请删去本标注.7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ===； 项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ===； 项目④：打开后（如图3），检查123490∠=∠=∠=∠=︒； 项目⑤：打开后（如图3），检查''''AB A B C D CD ===．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。