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第九章 平面解析几何第6课时 椭 圆(1) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫对应学生用书（文）125～127页 （理）130～132页考情分析考点新知建立并掌握椭圆的标准方程，运用方程(组)或不等式求椭圆的基本量．① 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.② 掌握椭圆的一些基本量.1. 设Ρ是椭圆x 225＋y 216上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|＝________．答案：10解析：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.2. 椭圆x 216＋y 24＝1的离心率为________．答案：32解析：a ＝4，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝23，e ＝c a ＝32. 3. (选修11P 26习题3改编)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 与椭圆的焦点F 1重合，且椭圆的另外一个焦点F 2在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案：43解析：AB ＋BC ＋CA ＝BF 1＋(BF 2＋CF 2)＋CF 1＝(BF 1＋BF 2)＋(CF 2＋CF 1)＝4a ＝4 3. 4. (选修11P 31习题4改编)方程x 2k －3＋y 2k ＋3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________.答案：k ＞3解析：方程x 2k －3＋y2k ＋3＝1表示椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －3>0，k ＋3>0，k －3≠k ＋3Þk ＞3.5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．答案：y 264＋x 248＝1解析：∵ 2c ＝8，∴ c ＝4，∴ e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.1. 椭圆的定义平面内到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于F 1F 2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1、F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2. 椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0) 图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：x 轴，y 轴_对称中心：(0，0)顶点A 1(－a ，0)A 2a ，0B 10，－b B 20，bA 10，－a A 20，aB 1－b ，0 B 2b ，0轴 长轴A 1A 2的长为2a 短轴B 1B 2的长为2b焦距F 1F 2＝2c离心率 e ＝ca ∈(0，1) a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 2题型1 求椭圆的方程例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．解：设该椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a>b>0)，依题意，2a ＝2(2b)a ＝2b.由于点P(4，1)在椭圆上，所以424b 2＋1b 2＝1或14b 2＋42b 2＝1.解得b 2＝5或654，这样a 2＝20或65，故该椭圆的方程为x 220＋y 25＝1或4x 265＋y 265＝1. 变式训练根据下列条件求椭圆的标准方程：(1) 两准线间的距离为18 55，焦距为2 5；(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为4 53和2 53，过P 点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．解：(1) 设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则⎩⎪⎨⎪⎧2·a 2c ＝18 55，2c ＝2 5，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2.故该椭圆的方程为x 29＋y 24＝1或y 29＋x 24＝1. (2) 由题设，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2 5a ＝ 5.又b 2a ＝2 53b 2＝103，故该椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1. 题型2 求椭圆离心率的值例2 在平面直角坐标系中，有椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆．过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________． 答案：22解析：如题图，PA 、PB 与圆O 相切，由于切线PA 、PB 互相垂直，所以四边形OAPB 为正方形，OP ＝2OA ，这样就得到一个关于基本量a 、c 的齐次方程，从而求解出比值ca (e)的值．由已知条件，四边形OAPB 为正方形，所以OP ＝2OA ，所以a 2c ＝2a ，解得c a ＝22，即e ＝22.备选变式（教师专享）在△ABC 中，∠ACB ＝60°，sinA ∶sinB ＝8∶5，则以A 、B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为________． 答案：713解析：由题意e ＝c a ＝2c 2a ＝ABAC ＋BC .∵ sinA ∶sinB ＝8∶5，∴ 由正弦定理得a ∶b ＝8∶5. 设a ＝8k ，b＝5k ，∴ 由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，∴ c ＝7k ，∴ e ＝7k 8k ＋5k ＝713.题型3 求椭圆离心率的取值范围例3 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫12，1解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝a 2c －c ，|PF|≤a ＋c ，所以a 2c －c ≤a ＋c ，即a 2≤ac ＋2c 2.又e ＝ca ，所以2e 2＋e ≥1，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0.又0<e<1，所以12≤e<1.(解法2)设点P(x ，y)．由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，所以|PF|＝|FA|，由椭圆第二定义，|PF|a 2c －x ＝e ，所以|PF|＝a 2c e －ex ＝a －ex ，而|FA|＝a 2c －c ，所以a －ex ＝a 2c －c ，解得x ＝1e (a＋c －a 2c)．由于－a ≤x ≤a ，所以－a ≤1e (a ＋c －a 2c )≤a.又e ＝ca ，所以2e 2＋e －1≥0，即(2e －1)(e ＋1)≥0. 又0<e<1，所以12≤e<1.备选变式（教师专享）设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫33，1解析：设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)，由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝（a 2＋c 2）（2c 2－b 2）c 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c －c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)若椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和．学生错解：解：∵ 2c ＝2，即c ＝1，∴m －4＝1，∴a ＝5，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2 5.审题引导： (1) 椭圆的定义；(2) 椭圆中参数a ，b ，c 满足a 2－b 2＝c 2；(3) 焦点在x 轴与焦点在y 轴上的椭圆的标准方程的区别． 规范解答： 解：∵ 2c ＝2，即c ＝1，(4分)∴ 当焦点在x 轴上时，m －4＝1，∴ a ＝5，(6分) 则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25；(8分)同理，当焦点在y 轴上时，4－m ＝1，∴ b ＝3，a ＝2，(10分) 则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，(12分) ∴ 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25或4.(14分)错因分析： 本题考查了椭圆的定义及标准方程，易错原因是忽略椭圆焦点位置对参数的影响．当椭圆焦点位置不确定时，一般要分类讨论．1. 椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标x 0的取值范围．解：由题意F 1(－5，0)，F 2(5，0)，设P(x 0，y 0)，则PF →1＝(－5－x 0，－y 0)，PF →2＝(5－x 0，－y 0)，∴ PF →1·PF →2＝x 20－5＋y 20<0.① 又x 209＋y 24＝1，② 由①②得x 20<95， ∴ －3 55<x 0<355.则点P 的横坐标x 0的取值范围为⎝⎛⎭⎫－355，355.2. 椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为________．答案：－1925或21解析：若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925；若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k＝45，解得k ＝21. 3. 已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足PF 1＝2PF 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．答案：33解析：在△PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设PF 2＝1，则PF 1＝2，F 2F 1＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.4. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M 、N 两点在椭圆C 上，且MF→＝λFN →(λ＞0)，定点A(－4，0)．(1) 求证：当λ＝1时，MN →⊥AF →；(2) 若当λ＝1时，有AM →·AN →＝1063，求椭圆C 的方程．(1) 证明：设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，F(c ，0)，则MF →＝(c －x 1，－y 1)，FN →＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF →＝FN →，∴ －y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c.∵ M 、N 两点在椭圆C 上，∴ x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2，∴ x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c(舍去)，∴ x 1＝x 2，∴ MN →＝(0，2y 2)，AF →＝(c ＋4，0)，∴ MN →·AF →＝0，∴ MN →⊥AF →.(2) 解：当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ， ∴ M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴ AM →＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ，AN →＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ， ∴ AM →·AN →＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*)∵ c a ＝63，∴ a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴ c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴ a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M 、N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ，求证：点T 在椭圆C 上．(1) 解：由题意知b ＝22＝ 2.因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝⎛⎭⎫c a 2＝12.所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2) 证明：由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，①直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②(证法1)联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3. 由x 208＋y 202＝1可得x 20＝8－4y 20. 因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2 ＝8－4y 20＋4（3y 0－4）28（2y 0－3）2＝32y 20－96y 0＋728（2y 0－3）2＝8（2y 0－3）28（2y 0－3）2＝1，所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．(证法2)设T(x ，y)．联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 202＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1.整理得x 28＋（3y －4）22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1. 所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．1. 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 、B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，F 1A ＝10＋5，则此椭圆的方程是________________．答案：x 210＋y 25＝1解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－bax.与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a.根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c.又F 1A ＝a＋c ＝10＋5，故2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.2. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P.若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．答案：12解析：如图，由BF ⊥x 轴，知x B ＝－c ，y B ＝b 2a ，设P(0，t)，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t)＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t ， ∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝12.3. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案：6解析：由椭圆方程得F(－1，0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20. ∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.4. 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1) 若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2) 若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1) 若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2) 由题知A(0，b)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B(x ，y)．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b)＝2(x －c ，y)， 解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.① 又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b)·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.1. 椭圆的定义中应注意常数大于F 1F2.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于F 1F 2时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于F 1F 2时，其轨迹不存在．2. 已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B＞0，且A ≠B)．3. 求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca 或e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2去整体求解．请使用课时训练（A ）第6课时（见活页）.[备课札记]。
学案51 椭 圆导学目标： 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若________，则集合P 为椭圆； (2)若________，则集合P 为线段； (3)若________，则集合P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)图形性质范围 －a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝ca ∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2自我检测1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．122．(2011·揭阳调研)“m >n >0”是方程“mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，π B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫π2，3π44．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 5．(2011·开封模拟)椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 5探究点一 椭圆的定义及应用例1 (教材改编)一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．变式迁移1 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．探究点二 求椭圆的标准方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝⎛⎭⎫12，3.变式迁移2 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的标准方程．探究点三 椭圆的几何性质例3 (2011·安阳模拟)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．变式迁移3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM .(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．方程思想的应用例 (12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答题模板】解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.[4分](2)若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.[6分]因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.[7分]又x 1＋x 2＝8k (2k －1)3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，且P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54.[9分]所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k (2k －1)3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12.[11分]所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .[12分]【突破思维障碍】直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．反映在代数上，就是直线与椭圆方程联立的方程组有无实数解及实数解的个数的问题，它体现了方程思想的应用，当直线与椭圆相交时，要注意判别式大于零这一隐含条件，它可以用来检验所求参数的值是否有意义，也可通过该不等式来求参数的范围．对直线与椭圆的位置关系的考查往往结合平面向量进行求解，与向量相结合的题目，大都与共线、垂直和夹角有关，若能转化为向量的坐标运算往往更容易实现解题功能，所以在复习过程中要格外重视．1．求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为x 2m ＋y2n＝1 (m >0，n >0且m ≠n )，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．2．椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；另一类是与坐标系有关的性质，如：顶点坐标，焦点坐标等．第一类性质是常数，不因坐标系的变化而变化，第二类性质是随坐标系变化而相应改变． 3．直线与椭圆的位置关系问题．它是高考的热点，通常涉及椭圆的性质、最值的求法和直线的基础知识、线段的中点、弦长、垂直问题等，分析此类问题时，要充分利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011·温州模拟)若△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )A.x 225＋y 29＝1 (y ≠0)B.y 225＋x 29＝1 (y ≠0)C.x 216＋y 29＝1 (y ≠0)D.y 216＋x 29＝1 (y ≠0) 2．已知椭圆x 210－m ＋y2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．83．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A.32B.22C.2－1D. 2 4．(2011·天门期末)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．椭圆x 225＋y29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．7．(2011·唐山调研)椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．8.如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是______．三、解答题(共38分)9．(12分)已知方向向量为v ＝(1，3)的直线l 过点(0，－23)和椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且椭圆的离心率为63.(1)求椭圆C 的方程；(2)若已知点D (3,0)，点M ，N 是椭圆C 上不重合的两点，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围．10．(12分)(2011·烟台模拟)椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为22，求椭圆的方程．11．(14分)(2010·福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程．(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．学案51椭圆自主梳理1．椭圆焦点焦距(1)a>c(2)a＝c(3)a<c自我检测1．C 2.C 3.D 4.A 5.B课堂活动区例1解如图所示，设动圆的圆心为C，半径为r.则由圆相切的性质知，|CO1|＝1＋r，|CO2|＝9－r，∴|CO1|＋|CO2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x 225＋y 216＝1. 变式迁移1 解 将圆的方程化为标准形式为： (x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r ＝6. 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)， 动圆与已知圆的切点为C.则|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y 25＝1.例2 解题导引 确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)或y 2a 2＋x2b2＝1 (a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，且m ≠n)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，∴a ＝3，又2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b2＝1，∴b ＝3，又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝⎛⎭⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1.变式迁移2 解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a ＝3，c a ＝63，∴c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b ＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y 227＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0且m ≠n)． ∵椭圆经过P 1、P 2点，∴P 1、P 2点坐标适合椭圆方程， 则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.例3 解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系．(2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(|PF 1|＋|PF 2|)2＝(2a )2，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ，S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ.(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m ＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn. ∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e ≥12.∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式迁移3 解 (1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM ∥AB ，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，故e ＝c a ＝22.(2)设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2(r 1＋r 22)2－1＝0， 当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．课后练习区1．A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.x 236＋y 29＝1 7.2 120° 8.539．解 (1)∵直线l 的方向向量为v ＝(1，3)， ∴直线l 的斜率为k ＝ 3. 又∵直线l 过点(0，－23)， ∴直线l 的方程为y ＋23＝3x .∵a >b ，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点．∴c ＝2.又∵e ＝c a ＝63，∴a ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆方程为x 26＋y 22＝1.(6分)(2)若直线MN ⊥y 轴，则M 、N 是椭圆的左、右顶点， λ＝3＋63－6或λ＝3－63＋6，即λ＝5＋26或5－2 6. 若MN 与y 轴不垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋3(m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x ＝my ＋3得(m 2＋3)y 2＋6my ＋3＝0.设M 、N 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6mm 2＋3，①y 1y 2＝3m 2＋3，②Δ＝36m 2－12(m 2＋3)＝24m 2－36>0，∴m 2>32.∵DM →＝(x 1－3，y 1)，DN →＝(x 2－3，y 2)，DM →＝λDN →，显然λ>0，且λ≠1， ∴(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)．∴y 1＝λy 2.代入①②，得λ＋1λ＝12m 2m 2＋3－2＝10－36m 2＋3.∵m 2>32，得2<λ＋1λ<10，即⎩⎪⎨⎪⎧λ2－2λ＋1>0，λ2－10λ＋1<0，解得5－26<λ<5＋26且λ≠1.综上所述，λ的取值范围是5－26≤λ≤5＋26， 且λ≠1.(12分)10．解 方法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .(4分)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b，再由|AB |＝1＋k 2 |x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 得⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，(8分) 将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y23＝1.(12分)方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.(2分) 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①(6分)设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b ，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22.(9分)代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋2y23＝1.(12分)11．解 方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分)(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎨⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.(7分)因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.(9分)另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4， 得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.(12分) 由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．(14分)方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 且有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)． 从而a 2＝16.(3分) 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(5分) (2)同方法一．。
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第九章 解析几何 第五节 椭圆一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。
）1. 【改编自2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷）】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于A B ，两点，1F B 与y 轴交于点D ，若1AD F B ⊥，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．3C ．12. 【2015高考数学一轮配套特训】椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A ．14 B ．12C ．2D ．43. 【2014届福建省福州市高三5月综合练习】已知P(x,y)为椭圆22:12516x y C +=上一点,F 为椭圆C 的右焦点,若点M 满足||1MF =且0MP MF ⋅=,则||PM 的最小值为( )125D.14. 【2015高考数学一轮配套特训】设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A ．2421x －2425y ＝1B ．2421x ＋2425y ＝1C ．2425x －2421y ＝1D ．2425x ＋2421y ＝15. 【2014年高考数学考前复习】设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x＝2a c 上存在P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．0,3⎛ ⎝⎦ C ．2⎫⎪⎪⎣⎭ D ．3⎫⎪⎪⎣⎭6.【2014届安徽省“江淮十校协作体”四月联考】如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为00(090)θθ<<的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A.1223 【答案】A【解析】由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ，所以椭圆的长轴长22cos R a θ=，得3a R =c R === 所以椭圆的离心率12c e a == 故选A7. 【2015高考数学一轮配套特训】已知椭圆C ：24x ＋22y b ＝1(b>0)，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．[1,4) B ．[1，＋∞) C ．[1,4)∪(4，＋∞) D ．(4，＋∞) 【答案】C【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4．8. 【2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>右焦点为(,0)(0)F c c >，方程20ax bx c +-=的两实根分别为12,x x ，则12(,)P x x （ ）A.必在圆222x y +=内 B.必在圆222x y +=外 C.必在圆221x y +=外D.必在圆221x y +=与圆222x y +=形成的圆环之间9. 【2015高考数学一轮配套特训】若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆29x ＋24y ＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．010. 【2014届河北省唐山市高三年级第三次模拟】椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2．12-C 1D ．211. 【2015数学一轮复习迎战高考】[2014·福建调研]若点O 和点F 分别为椭圆24x ＋23y ＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8∴OP ·FP ＝x 02＋x 0＋3(1－204x )＝204x ＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2.∵－2≤x 0≤2，∴OP ·FP 的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.12. 【改编自2014届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设1F 是椭圆2214y x +=的下焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆上，则1PF PO ⋅的最大值为( ).A ．4+．4- C 1 D 1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
