20181213小学奥数练习卷(知识点：数列分组)含答案解析.doc

20181213小学奥数练习卷（知识点：不定方程的分析求解）含答案解析小学奥数组卷（知识点：不定方程的分析求解）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 5 小题） 1．甲乙丙三人进行一场特殊的真人 CS 比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙，以后的射击过程中，若甲被击中一次，则甲可以有 6 发子弹射击乙或丙，若乙被击中一次，则乙可以有 5 发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有 4 发子弹射击甲或乙，比赛结束后，共有 16 发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有（）种不同的情况． A．1 B．2 C．3 D．4 2．某次知识竞赛共 5 道题，全班 52 人，答对一题得 1 分．已知全班共得 181分．已知每人至少得 1 分，且得 1 分的有 7 人，得 2 分和得 3 分的人一样多，得 5 分的人有 6 人，则得 4 分的有（）人． A．25 B．30 C．31 D．35 3．某校学生到郊外植树，已知老师是学生人数的．若每位男生种 13 棵树，女生每人种 10 棵树，每个老师种 15 棵树，他们共种了 204 棵树，那么老师有（）人． A．6 B．7 C．5 D．4 4．爱丽丝的房间里有三条的凳子和四条腿的椅子．它们共有 17 条腿，那么爱丽丝的房间里有（）张三条腿的凳子．A．1 B．2 C．3 D．4 5．符号[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[5]=5、[6.31]=6．如果[ ]=4，这样的正整数 x 有（） A．3 个 B．4 个 C．5 个D．2 个第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 28 小题） 6．儿童节时，某游乐场门票价格如下：儿童票每人 6 元，成人票每人11 元，开门后过了一段时间，游乐场靠门票收入了 97 元，那么此时共卖出了张门票． 7．张大爷带着 24 只鸡到集市上去卖，上午时，他每只鸡卖 7 元，结果卖出的鸡不到总数的一半；下午张大爷减价卖出了所有的鸡（减价后每只鸡的单价还是整数元）．如果他全天收入了 132 元，那么他上午卖出了只鸡． 8．m，n是两个自然数，满足26019m﹣649n=118，那么m= ，n= ． 9．9个鸡蛋的价格为11元a分，13个鸡蛋的价格为15元b分，其中，那么一个鸡蛋的价格为元分（注本题不考虑角这个货币单位，1 元=100 分）． 10．对 35 个蛋黄月饼进行打包，一共有两种打包规格：大包袋里每包有 9 个月饼，小包装里每包有 4 个月饼．要求不能剩下月饼，那么一共打了个包． 11．若 x，y 是正整数，且 + =1，则 x+y= ． 12．学校组织 482 人去郊游，租用 42 座大巴和 20 座中巴两种汽车．如果要求每人一座且每座一人，则有种租车方案． 13．学校组织 1511 人去郊游，租用 42 座大巴和 25 座中巴两种汽车．如果要求恰好每人一座且每座一人，则有种租车方案． 14．有 2 元、5 元及 10 元人民币共 ...。

20181213小学奥数练习卷（知识点：同余定理）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：同余定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 6 小题） 1．一个自然数被 3、5、7 除的余数分别为 1、2、4，三个商的整数部分之和是257，那么这个自然数除以 11 的余数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知 283，352，444 被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是（） A．5 B．7 C．8 D．9 3．一个整数去除151、197、238所得3个余数的和是31，所得3个商的和是（） A．12 B．15 C．18 D．21 4．某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是（） A．53 B．37 C．71 D．41 5．学校买来了 200 多本《汉语词典》，若 7 本 7 本地搬，最后余 5 本；若 9 本 9本地搬，搬最后一次时差 2 本，这批《汉语词典》共有多少本？（） A．252 B．251 C．250 D．61 6．有写着 5、9、17 的卡片各 8 张，现在从中任意抽出 5 张，这 5 张卡片上的数字之和可能是（） A．31 B．39 C．55 D．41第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 37 小题） 7．被3、4、5 除都余 1，且不等于 1 的最小非 0 自然数是． 8．若 2017，1029 与 725 除以 d 的余数均为 r，那么 d﹣r 的最大值是． 9．S（n）表示自然数 n 的数码和，比如 S（123）=1+2+3=6，如果两个不同的正整数 m、n，满足，那么我们就称 m、n 构成一个数对＜m，n＞．数对＜m，n＞共有对． 10．有一个自然数用 7 除余 3，用 9 除余 4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的两个自然数写在这里． 11．对任意正整数 m、n，定义 r （m，n）为 mn 的余数（比如 r（8，3）表示83 的余数，所以 r（8，3）=2．那么满足方程 r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）++r（m，10）=4）的最小正整数解为． 12．我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数．用现代语言表述就是有一个数用 2 除余 1，用 5 除余 2，用 7 除余 3，用 9 除余4，问这个数是多少？请将满足条件的最小的自然数写在这里． 13．如果两个自然数的积被 13 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 13 的倒数比如，27=14，被 13 除余 1，则 2 和 7 互为模 13 的倒数；11=1，则 1 的模 13 的倒数是它自身．显然，一个自然数如果存在模 13 的倒数则它的倒数并不是唯一的，比如，14 就是 1 的另一个模 13 的倒数．判断 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12 是否有模 13 的倒数，并利用所得结论计算 123456789101112（记为 12！，读作 12 的阶乘）被 13 除所得的余数． 14．4208141616 除以 13 的余数为．15．86...。

小学奥数练习卷（知识点：凑数谜）题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共2小题）1．如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．42．在如图的算式中，每个汉字代表0至9中的一个数字，不同汉字代表不同的数字．当算式成立时，“好”字代表的数字是（）A．1B．2C．4D．6第Ⅰ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共43小题）3．在下列横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没有汉字代表7，“迎”、“春”、“杯”均不等于1，那么“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是．．4．有算式：（好问+好学）×学问=410，其中的“好问”、“好学”、“学问”表示三个自然数，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，好问+好学+学问=．（备注：这里“好问”，“好学”，“学问”都是两位数）5．在×=这个等式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，=．6．在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表2～9这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么=．7．如图十个不同的字母分别表示0﹣9这十个不同的数字，如果下面的加法竖式是成立的．那么是，是，是．8．在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则“FIGAA”表示的五位数是．9．如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．10．如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是或．11．把1、2、3、4、5、6、7、8填入如图的○内，使每边上三个数的和相等而且最大，这个最大的每边三个数的和是，再把○填完整．12．如图的竖式中，同样的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式正确，△里应该填，◇里应该填，□里应该填．13．观察上式中的算式谜，两个三位数的乘积是一个五位数ABC62，已知这两个三位数是由6个不同的数字组成，那么三位数=．14．在如图的算式迷中填入适当的数字使竖式成立，则竖式中两个乘数之和为．15．在如图的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的三位数是．16．如图的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，当竖式成立时，“尊”、“敬”、“的”、“大”、“师”五个汉字代表的数字之和是．17．在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是．18．在如图所示每个格子里填入数字1～4中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（如图给出了一个填1～3的例子，如图中第3行从左到右三格依次为2，3，1），那么如图中最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是．19．下面的数字谜中的不同的汉字代表不同的数字，那么四位数““的最小值是．20．“二零一六学而思杯赛”九个汉字代表九个不同的数字，并满足如下算式，那么，四位数的最大值是．++=2016．21．请将1～6分别填入如图的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等（图中有3条直线上各有3个圆圈，有2条直线上各有2个圆圈）；那么两位数=．22．在算式“×8=×5”中，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的六位偶数是．23．四位数除以两位数的余数恰好为，如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质，那么四位数最大是．24．如图的两个竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么六位数=．25．请将0﹣9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是．26．如图，一个环上有6个圆圈，如果从标S的圆圈开始填入数字1～6，填入哪个数字，就以顺时针方向前进几个圆圈填下一个数字（这个数字可任意填写），如果恰好可以将1～6全部填入，则称为完全环，如图所示就是一种完全环的填法．请将如图的完全环补充完整，那么5位数ABCDE是．27．在中的圆圈中填入从1到16的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的幻和．那么，8阶幻星图的幻和为，并继续完成以下8阶幻星图．28．如图，三个圆圈两两相交组成了七个部分，在七个部分中填入3～9这七个数，使得每个圆圈中四个数的和都是23，则图中“△”处应填入．29．在如图的算式中，a，b表不同的数字，都不为0．那么，这个算式的答数是．30．在如图所示的算式谜中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“陈”+“杯”+“好”+“啊”=．31．在图中，分别将1﹣9这九个数字填入九个圆圈内，使两条直线上的五个数字和相等，那么中心处的圆圈内可以填入的数字是．32．如图所示，在□中填上适当的数，使除法竖式算式成立，那么被除数等于．33．如图的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么所代表的三位数是．34．在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字，在算式的方格中填入适当的数字，使得算式成立，那么所代表的三位数是．35．如图，将1～6这六个数字填入图中的圆圈内，使得每一个圆圈内的数字等于其下面相邻两个圆圈内的数字之差（大减小），当然，最下面三个圆圈内的数字不用遵从这个规定（这三个圆圈没有下面相邻的圆圈了）．那么，最上面的那个圆圈内的数字为（有多个答案的话都要写出来）36．正四面体PQRS的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有10个数，这10个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11．每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的两个顶点上的数之和，棱PQ上的数为9，则棱RS上的数为．37．在如图的两个空白的圆圈内填入适当的自然数，使得三角形每条边上三个数的和都相等，那么，左下角的圆圈内应填．38．如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数的最小值是．39．请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么四位数是（如图是一个3×3的例子）．40．如图算式中，最后的乘积为．41．在如图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，这个算式的乘积是．42．将0～9这10个数字分别填入加法竖式的方框中，那么和的最大值是．43．在空格内填入数字1﹣6，使得每个雪花和三个方向上六个格内数字都不重复，如图1是一个完整的例子，请填出如图2空格中的数字，那么图中四个英文字母所代表的四位数是44．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果=2015，且是质数，那么=．45．将1～7填入下左图的○中，使得图中四个三角形的三个顶点数之和都等于11．A+B=．评卷人得分三．解答题（共5小题）46．把1，2，7，8，9，10，12，13，14，15填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是60．47．在图的算式中，A，B，C，D代表0～9中四个各不相同的数字，且A是最小的质数，求四位数．48．在如图的算式中，“希“、“望”、“杯”三个字分别代表0～9中三个不同的数字，求“希望杯”代表的数．49．一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．50．将1、2、…、7填入下图的圆圈内，要求每个数值能且只能使用一次，每个圆圈内的数都等于箭头指向这个圆圈的所有圆圈内的数之和的个位数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先根据排除法在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．继续使用排除法即可推理成功．【解答】解：依题意可知：首先根据在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．同理在第二行第四列的数字只能是1．继续推理可得：所以再五角星的空格位置填写1．故选：A．【点评】本题是考察对凑数谜的理解和运用，关键的问题是使用排除法．问题解决．2．在如图的算式中，每个汉字代表0至9中的一个数字，不同汉字代表不同的数字．当算式成立时，“好”字代表的数字是（）A．1B．2C．4D．6【分析】“”一定是111的倍数，表示为：111n=37×3×n，不同汉字代表不同的数字，所以n≠1，然后根据n=2、3、4、5、6逐个筛选即可．【解答】解：根据分析可得，“”，表示为：111n=37×3×n，不同汉字代表不同的数字，所以n≠1，n=2，则“”=37×6（符合要求）或74×3（不符合要求），n=3，则“”=37×9（不符合要求），n=4，则“”=74×6（不符合要求），n=5，则“”=37×15（不符合要求），n=6，则“”=74×9（不符合要求），所以，“”=37×6=222，即“好”字代表的数字是2．故选：B．【点评】本题解答的突破口知道“好好好”一定是37与3倍数，再根据不同汉字代表不同的数字验证解答即可．二．填空题（共43小题）3．在下列横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没有汉字代表7，“迎”、“春”、“杯”均不等于1，那么“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是15．．【分析】确定不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配，即可得出结论．【解答】解：若含5，则必为“加”，此时=56，3和9各剩一个，无法满足，所以不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配．第一种情况，吧=9，则3，6在左侧，且不是3的倍数，则=14或28，无解；第二种情况，9在左侧，则3，6在右侧，可得1×2×4×9×7=63×8，所以“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是15．故答案为15．【点评】本题考查凑数谜，考查学生的计算能力，确定不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配是关键．4．有算式：（好问+好学）×学问=410，其中的“好问”、“好学”、“学问”表示三个自然数，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，好问+好学+学问=51．（备注：这里“好问”，“好学”，“学问”都是两位数）【分析】先把410分解质因数，然后根据“相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字”拆分变形为三个自然数的和即可．【解答】解：（好问+好学）×学问=410=41×2×5=41×10=（20+21）×10所以，好问+好学+学问=20+21+10=51故答案为：51．【点评】解答此题的关键是把410分解质因数．5．在×=这个等式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，=1207、1458、1729．【分析】根据式子的特点，我们可从“个位分析”入手，B×A的个位是B，可能分为：第一种，A=1，B为2﹣﹣9；第二种，A是奇数3、7、9，B=5；第三种，A为2、4、8，B没可取的值；第四种，A=6，B为2、4、8．然后用“枚举法”对第一、二、四种存在的情况一一检验，即可得出答案．【解答】解：因为B×A的个位是B，所以可能有下列4种情况：第一种，A=1，B为2﹣﹣9时，有12×21=252，13×31=403，14×41=574，15×51=765，16×61=976均不符合舍去而17×71=1207，18×81=1458，19×91=1729这三个都符合；第二种，A是奇数3、7、9，B=5时，有35×53=1855，75×57=4275，95×59=5605均不符合，舍去；第三种，A为2、4、8，B直接没有可取得值，所以舍去；第四种，A=6，B为2、4、8时，62×26=1612，64×46=2944，68×86=5848均不符合舍去．综上可得符合的有：17×71=1207，18×81=1458，19×91=1729故：ACDB=1207、1458、1729．【点评】用枚举法来对此题解答，注意不要有遗漏即可．6．在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表2～9这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么=2526．【分析】首先找到题中的特殊情况，结果中的首位字母只能是数字2，再看个位数字满足O+X=10，同时十位满足W+I=9，枚举即可排除．【解答】解：依题意可知：首先分析数字是从2﹣9的，那么3个不同数字相加最大进位是2，所以N=2；再根据个位数字为E，那么O+X=10．向前进位1，然后得出W+I=9；分析数字和为9的数字有3+6或者是4+5．数字和为10的有3+7或者4+6．那么得出结论根据4和6的数字重复，得数数字10的一定是3+7．当O=3时．I的数字是4或者是5，T+S结果需要为20或21，没有满足条件的数字．当O=7，I的数字是4或5．T+S结果需要为16或者17．那么9+8满足条件．剩下的数字E=6．故答案为：2526．【点评】本题是考查凑数谜的理解和应用，关键问题是找到题中的特殊情况，字母N和E就是本题的突破口．问题解决．7．如图十个不同的字母分别表示0﹣9这十个不同的数字，如果下面的加法竖式是成立的．那么是29786，是850，是31486．【分析】根据此式得特点，先从个位和十位入手，推出G、H的取值，再考虑千位和万位的情况，推出N与B的取值及AM的数字特点；然后以前面已推出的结果为条件再推出CD的取值，之后是H的取值与A、M取值，最后剩下的数是E的值，这样一步步就得出结果了．【解答】解：①由个位上E+G+G=E，十位上D+F+F和的个位上数是D⇒个位上没有进位，十位上有进位，G与F可能是0或5⇒G=0，F=5．②由千位上的B落下和是N，万位上A落下的和是M⇒B≥8，N为0或者1，A+1=M⇒A、M为连续的两个自然数．又因G=0⇒N=1，B=9，百位上的进位是2即C+D+D+1（进位1）的进位是2⇒D 必须为6、7、8⇒A、M在2、3、4中⇒H≠3．③经检验D是6、7均不行，只有D=8，C=7可以⇒H=4⇒A=2，M=3．④剩下的只有6，所以E=6．综上得：A=2，B=9，C=7，D=8，E=6，F=5，G=0，H=4，M=3，N=1．故：ABCDE是29786，DFG是850，MNHDE是31486．【点评】解此题的关键是抓住式子的特点，找出突破口才行的．8．在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则“FIGAA”表示的五位数是15744．【分析】首先找到题中的特殊情况，根据第一个乘积是三位数，尾数相同可以枚举排除，再根据A和C确定B，然后就可以求解．【解答】解：依题意可知：A、B、C、D、E、F、G、H、I共9个数字，题中没有数字0．再根据结果是三位数，那么首位字母可以是C=2，A=4或者C=3，A=9不满足三位数的条件．所以A=4，C=2．再根据进位B=9，E=8．根据E+H=A=4那么H=6，A加上进位等于I=5．所以D=3，F=1．即：49×32=15744．故答案为：15744．【点评】本题考查凑数谜的理解和运用，突破口就是字母C和第一个乘积是三位数限制了百位数字不能太大，问题解决．9．如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合：因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有2×5=10种；答：共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．故答案为：10．【点评】此题重点考查学生的数字分析与组合能力，关键是确定一个顶点有几种选值．10．如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是3或4．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可解决问题．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，根据这点可知，和“杯”在一条线段上的“华”可能是3或4，（2与1的和不在新的和内，5必须与3组合）．答：“华”代表的数字是3或4．故答案为：3；4．【点评】此题考查了数字分析推理能力，难点是确定新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多多少．11．把1、2、3、4、5、6、7、8填入如图的○内，使每边上三个数的和相等而且最大，这个最大的每边三个数的和是15，再把○填完整．【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，36÷4=9，4个交点的和最大是5+6+7+8=26，26不能被4整除，所以只有24符合要求，即4个交点的和最大是24，然后求出幻和，然后凑数即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8=3636÷4=926不能被4整除，所以只有24符合要求，即4个交点的和最大是24，所以幻和是：9+24÷4=15因为，3+7+6+8=24所以，四个顶点上的数可以是3、7、6、8，6+2+7=7+5+3=3+4+8=8+1+7所以，填图如下：【点评】本题考查了极值问题与幻方问题的综合应用，关键是确定最大的幻和．12．如图的竖式中，同样的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式正确，△里应该填1，◇里应该填9，□里应该填0．【分析】（1）两个三位数的和不可能是两千多，所以可以判断△是1；（2）根据和的末位数字是8，可以确定◇是4或者9；根据百位数字其中一个是1，那另一个至少8，也可能是9，两者结合就判断◇是9；（3）根据十位数字8，加进上来的1，加□得9，可以判断□为0．【解答】解：△里应该填1，◇里应该填9，□里应该填0．【点评】此题抓住数的特征找出突破口进行分析推理．13．观察上式中的算式谜，两个三位数的乘积是一个五位数ABC62，已知这两个三位数是由6个不同的数字组成，那么三位数=906．【分析】首先根据数字1推理出第一个乘数的首位数字是2．第二行的结果中尾数是6．个位没有进位上面的数字是0．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：①首先根据数字1推理出第一个乘数的首位数字是2．第二行的结果中尾数是6．那么根据结果中十位数字是6，推理出第三行结果的十位上是数字0．②再根据结果的尾数是2，第一个乘数百位数字是2，那么第二个乘数的个位与第一个乘数相乘的积是第三行的四位数，个位上只能是数字7．③再判断第一个乘数的十位数字8才能符合十位和百位都是0．推理出第一行的四位数字是2002．③第一个乘数是286．④第二个乘数的百位数字需要小于4才能保证第五行乘积的结果是三位数．第二个乘数的百位数字只能是3．286×317=90662．故答案为：906【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到题中第一个四位数的结果2002的由来问题解决．14．在如图的算式迷中填入适当的数字使竖式成立，则竖式中两个乘数之和为310、810．【分析】为了好表述两个乘数用AB2×CDE表示．根据2与D积个位数的特点推算出D=5，然后再依次去推断、检验E、B、A、C的取值，最后把得出的两个乘数进行相加即可．【解答】解：为了好表述两个乘数用AB2×CDE表示．①2×D积的个位数是0⇒D为0或5，如D=0，就不存在AB2×D的积□□0了⇒只能D=5．②2×E积的个位是6⇒E为3或8．若E=3时，B×3积的个位数是1⇒B=7，A×3+2（进位）和要有进位⇒A≥3⇒AB2×D最小是372×5积不符合□□0的形式⇒E=3不行⇒只能E=8．③B×E+1（进位）=B×8+1（进位）和的个位数是1⇒B为0或5．若B=0⇒A≥2；又因AB2×D即最小是202×5不符合□□0的形式⇒B=0不行⇒只能B=5．④AB2×D=□□0，即A52×5=□□0⇒A=1．⑤2×C积的个位数是2⇒C为1或6．若C=1，AB2×C=□□2即152×1=152符合□□2的形式，所以行；若C=6，AB2×C=152×6=912也符合□□2的形式，所以也行；综上得：AB2×CDE有152×158和152×658两种．152+158=310，152+658=810．故：竖式中两个乘数之和为310、810．【点评】此题根据竖式给出的数字的特点，主要是利用了两数相乘积个位数的数字进行的推断．15．在如图的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的三位数是709．【分析】首先分析陈+省+身的结果尾数是6，如果是26那么只能是9+9+8才行不符合题意，所以陈+省+身=16，继续推理即可．【解答】解：依题意可知：陈+省+身的结果尾数是6，如果是26那么只能是9+9+8才行不符合题意，所以陈+省+身=16根据十位推理出陈+省=7．根据百位陈=7．所以陈=7，省=0，身=9．故答案为：709．【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到个位的数字和是16．问题解决．16．如图的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，当竖式成立时，“尊”、“敬”、“的”、“大”、“师”五个汉字代表的数字之和是22．【分析】首先分析津可能是0或者是5．天也可能是0或者是5，如果津是5有进位不符合题意．津=0．天=5．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①津可能是0或者是5．天也可能是0或者是5，如果津是5有进位不符合题意．津=0．天=5．②省+进位后结果个位是敬同时还需要向前进位只能是省=9，并且是2的进位才能符合题意．③陈加1个进位等于尊．④大+大+身结果是20多的没有重复数字的可能的情况是6+6+8+1进位尾数是1不符合题意．7+7+8+1尾数是3首位没有数字填写，只能是8+8+7+1进位尾数是4．⑤陈=2，尊=3，师=6符合条件．3+1+4+8+6=22．故答案为：22【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到题中百位向千位进位2．问题解决．17．在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是68523、68524、68529．【分析】先据c与ade的乘积是ade本身，可得c为1；再由d+0没有进位和c+b=6，得到b=5；后由d+0=8与其后面的进位情况推算出d=7；再后由d+b+a=1b与b+d的进位情况推出a=2，至此可得e的可能值，即知道了积68bae是多少了．【解答】解：①e×c=e，d×c=c，a×c=a⇒c=1；②c+b=6，d+0没有进位⇒b=5；③d+0=8，d+b+a的最大进位是2⇒d=6或7，可6已有⇒d=7；④d+b+a=1b⇒7+5+a=15⇒b+d有进位时a=2，没有进位时a=3⇒b+d=1a，b+d=3⇒5+7=12成立，5+7=3这是不成立的⇒a=2；⑤因式子中有了0、6、8和a=2，b=5，c=1，d=7⇒e可以为：3、4、9．68bae=68523、68524、68529．故：下面的积是68523、68524、68529．【点评】此题只要找准突破点C，推得它的值，后面其它的值就好推算了，所以找准突破点是关键．18．在如图所示每个格子里填入数字1～4中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（如图给出了一个填1～3的例子，如图中第3行从左到右三格依次为2，3，1），那么如图中最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是2143．【分析】按照题目要求，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和填入具体的数字，即可得出结论．【解答】解：如图所示，根据每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和，由于1+2=3，4+2=6，3+2=5，结合每一行和每一列数字都不重复，可得最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是2143．故答案为2143．【点评】本题考查凑数字，考查学生的动手能力，正确理解题意，得出图形是关键．19．下面的数字谜中的不同的汉字代表不同的数字，那么四位数““的最小值是1026．【分析】数字谜中出现了“黄金三角”，所以可知“学”=1，“三”=9，“而”=0，四位数““最小，可令“思”=2，则“未”+“年”=11，经尝试“好”+“来”+“级”=16时，““取得最小值．【解答】解：数字谜中出现了“黄金三角”，所以可知“学”=1，“三”=9，“而”=0，四位数““最小，可令“思”=2，则“未”+“年”=11，经尝试“好”+“来”+“级”=16时，““的最小值为1026，填法如下（不唯一）：．故答案为1026．【点评】本题考查凑数字，考查学生分析解决问题的能力，抓住四位数为最小值，。

小学奥数练习卷（知识点：最佳对策问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．九张纸片，每张纸片上一个数，分别是1，3，4，5，6，7，8，9，10，甲乙轮流取纸片放入3×3的方格中，一次一张，最后得分：甲是第一、三行及中心数的和，乙是第一、三列及中心数的和，得分多者为胜，由甲先放，甲想取胜，那么甲第一步应（）A．取1放入第一列或第三列的中间格内B．取10放入第一行或第三行的中间格内C．取9放入第一列或第三列的中间格内D．取1放入任一角上或者正中心的格内2．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜．当N小于15时，使得乙有必胜策略的N有（）A．5B．6C．7D．83．如图所示是一个游戏板，它由14个正方形组成．在标有S的正方形处放有一枚棋子；游戏规则是每步可将这枚棋子移动到与它所在方格关于图中的某条直线对称的方格中去．从开始位置S移到终点T，需要移动的次数最少是（）A．3B．4C．5D．64．甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后一根谁胜．甲每次可以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取1根或2根．如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（）A．取1根B．取3根C．取4根D．无论怎么取都无法获胜第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共29小题）5．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写法是．6．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜．面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号木格中的个小球．7．在一个摆满棋子的长方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取），不允许不取，也不能在多行（多列）中拿取．当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束．取走最后一颗棋子的一方获胜．面对如图所示的棋盘，先手有必胜策略．先手第一步应该取走（写出所有的正确方案），才能确保获胜．8．在一个摆满棋子的正方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取），不允许不取，也不能在多行（多列）中拿取，当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束．取走最后一棵棋子的一方获胜．面对如图所示的棋盘，先手有必胜策略，先手第一步应该取走（写出所有的正确方案），才能确保获胜．9．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜．面对如图所示的局面（每个木格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号木格中的个小球．10．甲、乙两人玩井字棋游戏，轮流在一个3×3的方格棋盘内画符号，甲画“○”先走，乙画“×”后走，谁能将棋盘的一整行，一整列或一整条对角线的3个格都画上自己的符号，谁就赢．如果前4步甲乙所下位置如图1所示，那么甲下一步应该下在号位置（位置编号如图2所示），才能保证必胜．11．甲、乙两人轮流从1～17这17个整数中选数，规定：不能选双方已选过的数，不能选已选数的2倍，不能选已选数的，谁没有数可选谁就输，现在甲已选8，乙要保证自己必胜，乙接着应该选的数是．12．甲和乙在一张20×15的棋盘上玩游戏，开始时把一个皇后放在棋盘除了右上角外的某格内；从甲开始，两个人轮流挪动皇后，每次可以按直线或斜线走若干格，但只能往右、上或右上走；谁把皇后挪到了右上角的格子，谁就获胜．那么这个棋盘上，有个起始格是让甲有必胜策略的．13．这是一种两人玩的游戏．两位选手轮流在一条20×1的矩形长带上移动筹码．每一轮都可将四个筹码的任意一个向右移动任意方格．但不能放在其他筹码上面或超过其他筹码．开始时如图中看到的各筹码位置，赢家是最后移动筹码者．（他移动后，四个筹码恰好占据了长带右端的四个放个，不可能在移动了）．先移动者应将向右移动格，才能保证获胜．14．如图是一个棋盘，开始时，警察在位置A，小偷在位置B．双方交替走棋，警察先走，每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走步才能保证抓住小偷．15．有一个两人游戏，22颗围棋子是游戏道具，用抓阄等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先走方必须选择拿走1颗或2颗围棋子；先手完成后，后手方开始按照同样的规则取围棋子：双方轮流抓取，直到取完所有的棋子．取走最后一颗围棋子的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方应该留给对手的围棋子数目从第一轮开始到取胜依次为．16．有一个两人游戏，13颗围棋子是游戏道具，用抓阄等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先走方必须选择拿走1颗或2颗围棋子；先手完成后，后手方开始按照同样的规则取围棋子：双方轮流抓取，直到取完所有的棋子．取走最后一颗围棋子的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方应该留给对手的围棋子数目从第一轮开始到取胜依次为．17．有一个两人游戏，两堆黑（5颗）白（8颗）棋子是游戏道具，用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择将这一堆全部棋子取走；先手方完成之后，后手方开始按照同样的规则取围棋子：双方轮流抓取，直到取完所有棋子，取走最后一颗围棋子的人获胜．这个游戏先手方有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应该取走．18．甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入1～20中的一个数（不能重复），要求每次填的数一定比3个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了17（如图所示），那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是．19．有6张牌，每张牌上写有1个数字，分别写着数字1～6．佳佳和俊俊两人轮流抓牌，从佳佳开始，每人每次抓1张，把牌抓完．在抓牌的整个过程中，佳佳手中牌的数字之和一直比俊俊的大，但俊俊抓完最后一张牌后，手中牌的数字之和反而比佳佳的大1．那么，两人的抓牌顺序共有种不同的可能．20．有一个二人游戏，游戏道具为一支笔和一张白纸，游戏过程为两人轮流在白纸上写字．用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先写，把先写的一方称为先手方，后写的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方必须选择拿走1颗或2颗围棋子；先手方完成之后，后手方在先手方写下的数字上选择加1或者加2．将选择后计算的结果写在白纸上，双方依照这个规则轮流依次写下自己的数字，先写到22的人获胜．纸上开始按照同样的规则取围棋子；双方轮流抓取，直到取完所有棋子，取走最后一颗棋子的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方从第一轮开始到取胜分别写下的数字为．21．有一个两人游戏，游戏道具为一支笔和一张白纸，游戏过程为两人轮流在白纸上写数字，用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先写，把先写的一方称为先手方，后写的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方首先选择在白纸上写下1或2，先手方写完之后，后手方在先手方写下的数字上选择加1或加2，将选择后计算的结果写在白纸上，双方依照这个规则轮流一次写下自己的数字，先写到11的人获胜．这个游戏先手方是由必胜策略的，如果要取胜，先手方从第一轮开始到取胜分别写下的数字为．22．有一个两人游戏，两堆黑（5颗）白（8颗）围棋子是游戏道具，用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择将这一堆全部棋子取走；先手方完成之后，后手方开始按照同样的规则取围棋子；双方轮流抓取，直到取完所有棋子．取走最后一颗围棋子的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应该取走．23．有一个两人游戏，两堆黑（10颗）白（21颗）棋子是游戏道具，用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也可以选择将这一堆全部棋子取走；先手方完成之后，后手方开始按照同样的规则取围棋子；双方轮流抓取，直到取完所有棋子．取走最后一颗围棋子的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应该取走．24．有一个两人游戏，游戏道具为一支笔和一张白纸，游戏过程为两人轮流在白纸上写数字、用抓阄或者猜叮壳等方式确定谁先写．把先写的一方称为先手方，后写的一方称为后手方，游戏规则如下：先手方首先选择在白纸上写下1或2，先手方完成之后，后手方在先手方写下的数字上选择加1 或者加2，将选择后计算的结果写在白纸上，双方依照这个规则轮流一次写下自己的数字，先写到22的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方从第一轮开始到取胜分别写下的数字为．25．一个箱子装着苹果、一个箱子装着梨、一个箱子装着苹果和梨．但粗心的人把三个标签全贴错了．现在要求只能从一个箱子中取出一只水果（看不到箱子里面的水果），就能把标签全部改正，应从贴着标签的箱子中取出水果．26．由单位正方形组成的m×n的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：或者向上走任意多格，或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走．若规定不能再走者为负（即最先将棋子移至右上角者获胜）．那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有个．27．两人做一种游戏：轮流报数，报出的数不能超过8 （也不能是0 ），把两个人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是88（或88 以上的数），谁就获胜．如果让你先报，就一定会赢，那么你第一个数应该报．28．甲、乙两人玩游戏，他们轮流从一堆有1999 个硬币中取硬币中取硬币，规定每次只能取1 个或2 个或3 个，取到最后一个硬币者算输．现在甲先取先取硬币．试问：甲第一次必须取个硬币，才能保证他一定会赢．29．如果在81个零件混杂了一个重量稍轻的次品，用天平（不用砝码）至少称次就能把次品找出来．30．甲乙两人轮流从65，119，133，143，170，285，418，546，561这9个数中取数，谁先取到最大公约数大于1的三个数，谁胜利．假设甲先取走了418，乙接着要取才可能保证不败．31．图的9个圆圈间，连有9条直线，每条直线上有3个圆圈．甲先乙后轮流将9个圆圈涂上颜色；如果谁先将某条直线上的3个圆圈全涂上自己的颜色，谁就获胜；和局判乙胜．现在，甲先选择了“A”，乙接着选择了“B”．甲要取胜，接下来的一步应填在标号为的圆圈中．（注：写出所有答案！每多写一个错误答案抵消一个正确答案，依此类推，不倒扣分．）32．一次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．那么田忌有种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．33．一堆火柴有20根，甲乙二人轮流从中取出一些火柴，要求每次取的根数是前一个人所取根数的约数，谁取走最后一根谁就获胜．如果甲先取，并且第一次取的根数是一位数，那么为了确保自己获胜，他第一次应该取根．三．解答题（共17小题）34．有分别装了88，99个玻璃球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意的球数，规定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的人为输，你能给出方案吗？35．梅川分校四（2）班举行取桔子游戏，两位同学轮流把100只桔子从筐内取出．规定每人每次至少取走1只，最多取走5只，直至把筐内的桔子取完，谁取到筐内剩下的最后一只桔子谁获胜．请你写出取桔子获胜的方法（步骤）．36．如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作），再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）．这样继续操作下去，完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸板上涂色，每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁赢．在甲先涂的情况下，请设置一个方案使得甲赢．37．桌子上有2014枚棋子，甲乙两人轮流取走棋子．规则是：每人每次取的个数是1枚至5枚，谁最后取光桌上的棋子谁就获胜．如果甲先取，那么甲先取枚棋子，才能保证自己必胜．38．一堆计数卡片分别写着2，3，4，5，…，2012．甲先从中抽走1张，然后乙再从中抽走1张，如此轮流下去．如果最后的2张上的数是互质数时，甲胜；如果最后剩下的2个数不是互质数时，乙胜．甲想要获胜有几种抽取方法？各应该怎样抽取卡片？39．两个人共同写一个由1、2、3、4、5组成的2010 位数，先由甲写第一个数字，然后两人轮流写数字．（1）乙是否可以保证最终得到的数是9 的倍数？若能，如何做到？若不能请说明理由．（2）如果两人共同写一个这样的2012 位数，乙是否可以保证最终得到的数是9的倍数？若能，如何做到？若不能，请说明甲的策略．40．有夫妇带着儿子和女儿，一条狗外出旅行，途中要过一条河，渡口有一只空船，最多能载50千克，而夫妇二人各重50千克，儿子与女儿各重25千克，狗重10千克．请问：他们应该如何过河？41．（选做题）有一架天平，只有5克和30克砝码，要把300克盐分成三等分，最少称几次，写出你的称法．42．某商店出售啤酒，规定每4个空瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他一家前后最多能喝到瓶啤酒．43．有9张卡片，上面分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．淘气与蓝猫两位小朋友轮流从中取卡片，每次取一张，谁取的卡片中有3张卡片上所标的数字和为15，谁就是胜者．如果淘气首先取得了标有5的卡片，那么要使蓝猫不败，蓝猫应该取数字是几的卡片？并说明理由．44．桌上有21根火柴，小刚和小亮两人轮流取，每人每次取1根或2根．谁取到最后一根谁就获胜．小亮该怎样取才能保证获胜？45．甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过l0的自然数．规定禁止在黑板上写已写过的数的约数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数，试问谁一定获胜？给出一种获胜的方法．46．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点A，而一只爬虫处在A的体对顶点G，假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移动，任何时候它们都知道彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬虫的方案．47．有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最少称几次，可以找到那颗较轻的钢珠？48．有100名少先队员在岸边准备坐船去湖中离岸边600米的甲岛，等最后一人到达甲岛15分钟后，再去离甲岛900米的乙岛，现有机船和木船各1条，机船和木船每分钟各行300米和150米，而机船和木船可各坐10人和25人，问最后一批少先队员到达乙岛，最短需要多长时间？（按小时计算）49．如图，五行五列共亮着的25个灯，共有5个行开关和5个列开关，每个开关只同时控制一行或一列的5个灯泡，规定每次操作都要从中选一列改变状态，再从中选一行改变状态．问能否通过有限次操作使得25盏灯都熄灭？50．有一堆棋子共53枚，甲，乙两人轮流从中拿走1枚或2枚棋子．规定谁拿走最后一枚棋子，谁获胜．如果甲先拿，乙后拿，谁有必胜的策略？必胜策略是什么？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．九张纸片，每张纸片上一个数，分别是1，3，4，5，6，7，8，9，10，甲乙轮流取纸片放入3×3的方格中，一次一张，最后得分：甲是第一、三行及中心数的和，乙是第一、三列及中心数的和，得分多者为胜，由甲先放，甲想取胜，那么甲第一步应（）A．取1放入第一列或第三列的中间格内B．取10放入第一行或第三行的中间格内C．取9放入第一列或第三列的中间格内D．取1放入任一角上或者正中心的格内【分析】由题意可知，左上角、右上角、左下角、右下角以及中心格这个五个格中的数是大家共有的，各人采取的策略尽量让较大的数归自己且不与别人共有，尽量让较小的数归别人且不与自己共有．【解答】解：按照A的策略，乙接下来只能将10放到自己第三列或第一列的中格，这样乙与别人不共有的两个数的和是11，接下去甲取9，无论乙怎样放甲都保证了自己不与乙共有的两个数的和至少是12．所以此题选A．【点评】此题甲只要保证自己不与乙共有的两个数的和大于乙不与甲共有的两个数的和即可．2．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N整除，乙胜；否则甲胜．当N小于15时，使得乙有必胜策略的N有（）A．5B．6C．7D．8【分析】若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N是奇数．分类讨论，可得结论．【解答】解：若N是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N 是奇数．N=1，显然乙必胜．N=3，9，乙只需配数字和1﹣8，2﹣7，3﹣6，4﹣5，9﹣9即可．N=5，甲在个位填不是5的数，乙必败．N=7，11，13，乙只需配成=×1001=×7×11×13，故选：B．【点评】本题考查最佳对策问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．如图所示是一个游戏板，它由14个正方形组成．在标有S的正方形处放有一枚棋子；游戏规则是每步可将这枚棋子移动到与它所在方格关于图中的某条直线对称的方格中去．从开始位置S移到终点T，需要移动的次数最少是（）A．3B．4C．5D．6【分析】如图所示，S→A→B→C→D→T，可得结论．【解答】解：如图所示，S→A→B→C→D→T，所以从开始位置S移到终点T，需要移动的次数最少是5次，故选C．【点评】本题考查最佳策略问题，考查对称性的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．甲、乙两人玩拿火柴棍游戏，桌上共有10根火柴棍，谁取走最后一根谁胜．甲每次可以取走1根、3根或4根（只能取恰好的数量，如果最后剩2根火柴棍，甲只能取1根），乙每次可以取1根或2根．如果甲先取，那么甲为了取胜，第一次应（）A．取1根B．取3根C．取4根D．无论怎么取都无法获胜【分析】无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜．在这之前只要保证火柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根，乙取1根，乙胜．所以甲无论怎么取都无法获胜．【解答】解：无论甲怎么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取1根，乙胜；在这之前只要保证火柴剩下5根，甲取1根，则乙取2根，剩2根，乙胜；或者甲取3根，乙取2根，乙胜；或者甲取4根，乙取1根，乙胜．所以甲无论怎么取都无法获胜．故选：D．【点评】本题的关键是甲先拿，然后保证让最后火柴棒剩两根，就一定会获胜．二．填空题（共29小题）5．甲、乙两人轮流在黑板上写不超过10的自然数，规定每人每次只能写一个数，并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写法是甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．【分析】甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6．接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10．把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最佳对策．【解答】解：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：（4，7）、（5，8）、（9，10），当然也可（4，5）、（8，10）、（7，9）或（4，9）、（5，7）、（8，10）等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，答：甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．故答案为：甲先把（4，5），（7，9），（8，10）分组，先写出6，则乙只能写4，5，7，8，9，10中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．【点评】解答此题的关键是，根据数的特点，以及题目的要求，只要找到先写的数，然后再将有关数进行合理分组，即可找到最佳对策．6．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动的规则为：每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少1个）的小球，并将其移动到该木格右边紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，移动最后一个小球的一方获胜．面对如图所示的局面（格中的数字代表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号），先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号1木格中的3个小球．【分析】第一次从1号格中移3个球到0号格．这样就变成了（2）（6）（2）（），以后无论后手方怎么移，先手都必胜．【解答】解：第一次从1号格中移3个球到0号格．这样就变成了（2）（6）（2）（），以后无论后手方怎么移，先手都必胜．这时后手有三种移动情况：[情况1和情况2]如果后手方从3号格（1号格）移几个球，那么先手方都从1号格（3号格）移相同数目的球；[情况3]如果后手方移2号格中的球，无论后手移动几个球，先手就从1号格中移动相同数目的球；一直这样移下去，只要后手方有球可移，先手方就一定有球可移，这样先手方必胜．【点评】本题给出实际问题，考查最佳对策问题，考查学生分析解决问题的能力，。

小学奥数练习卷（知识点：竖式数字谜）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．加法算式中，七个方格中的数字和等于（）A．51B．56C．49D．48第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共44小题）2．根据下面的乘法竖式，可判断出最后的乘积是．3．如图是一个空白的除法竖式迷．要使计算成立，商最大时，被除数是．4．如图，在方框中填入适当的数字，使得竖式成立，则所得结果的各位数字和最大是．5．已知除法竖式如图：则除数是，商是．6．如图的式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为．7．在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立．这个乘法算式的积是．8．填入合适的数字，使如图所示乘法竖式成立．两个乘数的和是．9．请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是．10．下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字2、0、1、6已经填好，那么，这个加法竖式的和是．11．将下面的乘法竖式补充完整，最后一行的乘积是．12．如图是一个乘法数字谜，最后的乘积为13．图中的乘法竖式，最后结果为．14．如图，乘法竖式中已经填出了3和8，那么，乘积是．15．在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是．16．在如图的乘法整式中，每一个“□”和英文字母都代表一个数字；其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，而“□”中可以填写在任意的数字，已知P=6，那么五位数HAPPY是．17．如图，一道除法竖式中已经填出了“2016”和“0”，那么被除数是．18．如图乘法算式中只有四个位置上的数已知，它们分别是2，0，1，6请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立．那么乘积为．19．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么，代表的四位数最大是．20．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘数中较小的是．21．如图的乘法竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：乘法竖式正确填写后，“”所代表的四位数是．22．如图，一道乘法竖式已经填出了2、0、1、6，那么乘积是．23．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是．24．如图的两个竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．两个△和两个□中填入的数字分别相同：那么，“花园探秘”的值是．25．如图，将竖式填写完全后，所得的乘积是．26．请把如图所示的算式谜补充完整，那么被除数为．27．在下面的空格中填入合适的数字，使得乘法竖式成立，其中的乘积为．28．在如图的方格中填入适当的数字，使乘法竖式成立，那么乘积是．29．已知图中的除法竖式成立，则被除数等于．30．在如图的方格中填入适当的数字，使乘法竖式成立，那么乘积是．31．如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．所有的汉字都不为0，也不与图中已经出现的数字相同，那么四位数“中环杯棒”=．32．已知0.+0.b=，相同的字母代表相同的数字，不同的字母也可以代表相同的数字（比如a=b=1），则=．33．将如图的乘法竖式数字填充完整，其中，两个乘数的和是．34．在如图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么，这个算式的乘积是．35．如图，一道除法竖式中已经填出了“2015”和“0”，那么被除数是36．在如图的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法算式成立，乘积等于．37．在图中的竖式除法中，被除数为？38．在下面算式的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立，两个乘数之和是39．在下面算式的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法整式成立，两个乘数之和是40．如图除法竖式中的商是．41．如图的两个竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数=．42．请在如图的每个方框中填入适当的数字，使得竖式成立（现已填入“2015”）那么竖式中乘积的最大值是．43．在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么这个算式的乘积是．44．请将0～9折10个数分别填入如图的10个方框中，使得减法算式成立．如果“6”、“1”这两个数字分别填在被减数的前两个方框中，那么算式的差是．45．在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．三．计算题（共1小题）46．在下面□中填入合适的数．四．解答题（共4小题）47．下面竖式中的两个乘数之和为多少．48．在如图算式中的所有空格内各填入一个数码，使得算式成立．49．a，b，c，d，e都是自然数，且0＜c＜b＜a＜d＜e≤9，若如图的算式成立，求．50．如图，一个四位数加上一个三位数和为2015，这两个数的数字和等于．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．加法算式中，七个方格中的数字和等于（）A．51B．56C．49D．48【分析】根据两数相加最大进位是1可知．个位数字相加结果是14，十位和百位数字相加和为18，千位有1个进位1．即可求解．【解答】解：依题意可知：根据两数相加最大进位是1可知．个位数字相加结果是14，十位和百位数字相加和为18，千位有1个进位1．14+18+18+1=51．故选：A．【点评】本题考查对竖式谜的理解和运用，关键是找到只有1的进位问题解决．二．填空题（共44小题）2．根据下面的乘法竖式，可判断出最后的乘积是9708．【分析】假设两位数为AB，三位数为8CD，由竖式中可知：该两位数与三位数相乘后，中间一行没有，故C必为0，然后再根据两位数与一位数相乘的规律即可求出A、B、D的数字．【解答】解：为方便说明，假设两位数为AB，三位数为8CD，由竖式中可知：该两位数与三位数相乘后，中间一行没有，故C必为0，由竖式可知：AB×8还是两位数，故A必为1，由于1B×D是三位数，故B必定大于1，因为1B×8是两位数，所以B不能大于2，故B只能等于2，所以两位数为12，由于12×D是三位数，故D必定为9，所以三位数为809，故最后乘积为12×809=9708，故答案为：9708．【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是熟练运用两个数相乘的竖式运算规律，本题属于中等题型．3．如图是一个空白的除法竖式迷．要使计算成立，商最大时，被除数是10879．【分析】注意观察竖式可知五位数中，万位是1，千位为0，除数的十位只能是1，由于商要最大，所以商的百位最大为9，从9开始讨论即可得出答案．【解答】解：为方便说明：可用字母表示各个空格，如图所示，由于竖式除法可知：FGH减去KL后是所得的数是个位数，从而可知F=1，G=0，K=9，由于要使商最大，∴A最大为9，可从9开始尝试，由于K=9，9乘以DE后所得的两位数，十位为9，故D=1，E只能是1或0，当E=0时，所以除数为10，此时KL必定为90，由于FGH减去KL所得的数为个位数，即10H减去90所得数为个位数，由减法可知，该式不可能成立，当E=1时，所以除数为11，此时KL必定为99，由于商要最大，所以B先从9开始考虑，当B=9时，此时OP=99，由于MN减去OP所得的数为个位数，即MN减去99所得的数为个位数，由减法可知：此式不可能成立，所以B=8，此时OP=88，由于商要最大，所以C可以从9开始考虑，当C=9时，此时SM=99，由于余数为0，所以QR=SM=99，所以J=9，所以MN=88+9=97，所以H=8，I=7，所以被除数为10879，除数为11，此时商最大为989，故答案为：10879，【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是根据竖式除法以及竖式减法先得出F、G、K的值，然后根据商最大判断A、B、C的情况，本题属于中等题型．4．如图，在方框中填入适当的数字，使得竖式成立，则所得结果的各位数字和最大是36．【分析】首先根据已知数字找到能确实的数字，然后根据进位和找到数字的最大和最小再排除即可．【解答】解：根据题意可知求最大：根据已知数字0判断第一个乘数的十位有可能是0或者5，再因为数字6，只能是与5的乘积加上一个进位．故第一个十位数字是5．根据乘数的乘积有数字6并且是三位数，那么首位数字乘积加上一个进位就是小于10的，那么3×2=6满足条件而且最大1×5=5满足条件而且最小；①当第一个乘数的首位数字是2，第二个乘数的首位是3．再根据含有数字1的结果是4位数，而且是偶数乘以5加上进位满足1的条件．最大是4，那么第一个乘数的个位数字就是4．即：254×342=86868（数字和为36）②当第一个乘数的首位数字是1，第二个乘数的首位数字是5时152×582=88464（数字和为30）也是满足条件的，故答案为：36【点评】本题考查对数式谜的理解和综合运用，关键在找到确定数字，再进行枚举排除．问题解决．5．已知除法竖式如图：则除数是15，商是29．【分析】根据题意，由除法竖式的计算方法进行推算即可．【解答】解：根据竖式可知，除数与商的个位数相乘的积的末尾是5，可得，除数的个位数与商的个位数必有一个是5，另一个是奇数；假设，商的个位数是5，即商是25，由135÷5=27，27×2=54，大于被除数的前两位，不符合题意，那么除数的个位数字是5；由□5×2是两位数，并且小于4□，可知除数的十位数字小于或等于2，假设是2即25×2=50＞4□，不符合题意，那么除数只能是15；又因为15×9=135，所以，商是29，被除数是29×15=435．竖式是：故答案为：15，29．【点评】根据题意，由除法竖式的计算方法进行推算即可．6．如图的式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为142857．【分析】根据汉字代表数字的特点，设出相同的文字用同一个字母代替，利用给出的算式列出等式，进一步利用数字特点解答即可．【解答】解：设“学奥林匹克“=A，“数”=B，则3×（A+100000B）=10A+B，3A+300000B=10A+B，7A=299999B，A=42857B．只可能B=1，符合题意，从而A=42857，B=1．所以被乘数是142857．故答案为：142857．【点评】考查了竖式数字谜，此题主要抓住相同的文字，设出同一个字母表示，再利用十进制列出等式，进一步利用数字特点解答即可．7．在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立．这个乘法算式的积是8820．【分析】（1）根据两个乘数的末尾数字相乘得0，可以第一个乘数的末尾可能是0或5，在根据第一个乘数的末尾数字与第二个乘数的十位数字相乘的末尾数字是5，可以确定第一个乘数的个位就是5．（2）根据第一个乘数与第二个乘数个位6相乘得一千多，就能确定第一个数的百位数字是2或3，分别计算245÷6=1470，345×6=2070，由此断定第一个乘数就是245．（3）因为积是八千多，所以能确定第一个乘数245乘第二位乘数的十位数字积是六百多或七百多，由此确定第二个数的十位数字是3．【解答】解：245×36=8820．【点评】抓住积的特征联系乘数各位数字进行推理．8．填入合适的数字，使如图所示乘法竖式成立．两个乘数的和是925．【分析】根据第一个因数的个位与第二个因数十位乘积的末位数是1，可确定第一个因数和第二个因数的十位是1，或9，或3、7，如是1，第二个因数的十位与第一个因数相乘的积是二位数，与算式矛盾；如是9，则第一个因数应是几十九，它与2的乘积不可能得到几百零几，所以第一个因数的个位是3或7，如是7，则第一个因数应是几十七，它与2的乘积不可能得到几百零几，所以第一个因数的个位是3，第二个因数的十位是7，据此可推出第一个因数的十位是5，进而推出第二个因数的百位是8．【解答】解：53+872=925答：两个乘数的和是925．故答案为：925．【点评】本题的重点是根据第一个因数的个位与第二个因数十位乘积的末位数是1，来推出第一个因数和第二个因数十位上的数是多少．9．请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是30975．【分析】根据竖式乘法以及乘法与加法的法则即可求出答案．【解答】解：为方便说，各空格标示字母，如图所示，由竖式可知：E=0，由于ABC×5是一个四位数，且最高为1，若A=1时，此时1BC×5不可能是四位数，故A=2，由于2BC×D=2F5，故D=1，且B=F，因为1+F=10，所以F=9，所以ABC表示三位数是295，DE5表示三位数是105，所以最后结果为30975故答案为：30975【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是熟练竖式乘法，以及乘法、加法的法则，本题属于中等题型．10．下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字2、0、1、6已经填好，那么，这个加法竖式的和是1053．【分析】此题的思路就是根据黄金三角得出C=9．知道ABDEF从3、4、5、7、9中选，再根据条件推算ADF，最后推出BE即可．【解答】解：式子中的空格用字母表示，如上图．（1）因出现黄金三角，所以C一定为9．（2）由题目要求数字互不相同，所以ABDEF只能是3、4、5、7、8．（3）A+2+D应该有的情况为：①AD取3与4、5、7、8的组合有：3+4+2=9，9已有不行；3+5+2=10，0已有不行；3+7+2=12，2已有不行；3+8+2=13，3已有不行．②AD取4与5、7、8的组合有：4+5+2=11，1已有不行；4+7+2=13，3没有可以；4+8+2=14，4已有不行．③AD取5与7、8的组合有：5+7+2=14，4没有可以；5+8+2=15，5已有不行．④AD取7、8组合，7+8+2=17，7已有不行．综上可得：AD取4与7，5与7两种组合符合条件．若AD为4、7时，F=3⇒BE为5、8．当B=5时，B+6+1=12，即E为2不是5，所以不行；当B=8时，B+6+1=15，即E=5行．若AD为5、7时，F=4⇒BE为3、8．当B=3时，B+6+1=10，即E为0不是8，所以不行；当B=8时，B+6+1=15，即E为5不是3，所以不行．故：只有E=5，F=3一种符合条件．即答案是1053．【点评】此题首先应看到黄金三角，从而确定C，然后才便于推算出结果．11．将下面的乘法竖式补充完整，最后一行的乘积是2016．【分析】观察式子的特点，得知F一定为6，AB与C积的个位是2，AB与D积的个位是6．这是此题的着手点，然后再找条件，进行逐步检验得出符合条件的式子即可．【解答】解：将题目中的空格用字母表示，如上图．（1）F+0=6⇒F=6（2）B×D积的个位是6⇒BD进行组合的数应为1与6、2与3、2与8、4与4、4与9、6与6、7与8⇒B可为1、2、3、4、6、7、8．（3）B×C积的个位是2⇒BC进行组合的数应为1与2、2与6、3与4、4与8、6与7、8与9⇒B可为1、2、3、4、6、7、8、9．（4）B可选的数有：1、2、3、4、6、7、8共7种情况．（5）AB×D积是两位数，AB×C积是三位数⇒C＞D①若B=1时，则只能D=6，C=2，所以D＞C不行．②若B=2时，则D可为3、8，B可为1、6．因C＞D，所以只能C=6，D=3⇒A2×63，A可取2﹣﹣9．即得：22×63=1386，32×63=2016，42×63=2646，52×63=3276，62×63=3906，72×63=4536，82×63=5166，92×63=5796．这些积只有32×63的积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有A=3，32×63行．③若B=3时，则D=2，C=4⇒A3×42，A可取3﹣﹣9．经检验（过程同上）都不行．④若B=4时，则D为4、9，C为3、8⇒D=4，C=8⇒A4×84，A可取2﹣﹣9．经检验（过程同上）只有24×84的积符合G0H6的形式，其它均不行，故A=2，24×84行．⑤若B=6时，则D为1、6，C为2、7⇒D=1，C=2或D=1，C=7或D=6，C=7三种可能，即A6×71，A6×21，A6×76三种．经检验（过程同上）A6×71和A6×76中没有符合的，只有A6×21中96×21积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有96×21行．⑥若B=7时，则D=8，C=6，所以D＞C不行．⑦若B=8时，则D为2、7，C为4、9⇒D=2，C=4或D=2，C=9或D=7，C=9三种可能，即A8×42，A8×92，A8×97三种．经检验（过程同上）A8×92和A8×97中没有符合的，只有A8×42中的48×42积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有48×42行．综上得：32×63=2016，24×84=2016，96×21=2016，48×42=2016故：最后一行的乘积是2016．【点评】此题突破口好找，但检验麻烦，一定要认真细心才行．12．如图是一个乘法数字谜，最后的乘积为56500【分析】将此题的空用不同字母分别代替，如图．根据图形结构可得这题的着手点是题目中的出现数字多的部分，所以应从K入手，然后一步一步地去推算出来所有字母代表的数字．【解答】解：用不同字母表示不同位置的空格，如上图．（1）∵2+0+2＜10，∴2+9+K和的个位数是6⇒K=5，（2）∵2+9+5=16，∴J+1=5⇒J=4，（3）∵ABC×F=22GH，ABC×D=452，452的6倍＞22GH＞452的4倍，∴F＞4D⇒D只能是1或者2，又∵C×D积的个位是2，⇒CD可能是（1×2）、（2×1）、（3×4）…，∴CD只要两种情况C=1，D=2或C=2，D=1，①C=1，D=2时：∵ABC×D=452⇒AB1×2=452⇒2和1﹣﹣9的任意一个数相乘个位都不肯能出现5．∴这种情况不行．②C=2，D=1时：ABC×D=452⇒AB2×1=452⇒A=4，B=5，ABC×E=90S⇒452×E=90S⇒4×E＜10⇒E是1，2．若E=1时，452×1积不能出现90S形式，所以E不能是1，只能是2．若E=2时，452×2=904，符合90S的形式，所以E是2，S=4．ABC×F=22GH，F＞4D，D=1⇒F是5、6、7、8、9．若F=5时，452×5=2260，符合22GH的形式⇒G=6，H=0．若F=6时，452×6=2712，2712＞22GH的形式，所以F=6不行．∵6与452的积大于22GH，∴7、8、9与452的积就更大于22GH⇒F是7、8、9时也不行．综上所述得：A=4，B=5，C=2，D=1，E=2，F=5，G=6，H=0，S=4，J=4，K=5．（4）H+0+0=0，N为0的个位⇒N=0（5）G+S=6+4=10，M为10的个位⇒M=0（6）2+0+2+1=5，L为5的个位⇒L=5故：452×125的积是56500．【点评】此题着手点好找，就是过程太麻烦，要求能做到耐心与细心才行．13．图中的乘法竖式，最后结果为4485．【分析】用字母代表空白的位置，如图．观察图中的情况可从AB与C、D、5三个数的乘积的数位入手，逐步推算即可．【解答】解：（1）∵AB×5=E1F是个三位数⇒AB最小是20，又∵AB×C=2H，∴A=2，C=1．（2）AB×5=2B×5=E1F⇒E=1，B×5=1F⇒B=2，F=0或B=3，F=5，∵AB×D=22×D=G0S是个三位数⇒D为5、6、7、8、9．①若B=2，F=0时，22×5=110，22×6=132，22×7=154，22×8=176，22×9=198这些积中没一个符号G0S形式的，所以此情况不行．②若B=3，F=5时，23×5=115，23×6=138，23×7=161，23×8=184，23×9=207这些积只有207符号G0S的形式，D=9．总结得：B=3，F=5，D=9．（3）23×195=4485．故：最后结果为4485．【点评】此题的入手点是积的数位，像这类题只有入手点正确就可推出结果．14．如图，乘法竖式中已经填出了3和8，那么，乘积是1843．【分析】首先根据进位分析结果的首位是1，再根据乘积的尾数是3的共有2种情况，分析排除即可．【解答】解：依题意可知：结果中有1个进位那么前两位数字是18，乘积中最大数字就是两位数乘一位数的最大99×9=891结果是800多，不会有900多．故第一个结果首位是8，第二个结果中的首位数字就是9．尾数是3的共有1×3或者7×9，再根据第二个乘积是两位数，即97×19=1843故答案为：1843【点评】本题的关键是找到结果首位是1，相加得18的只能是9和8，再加上进位，乘积尾数是3的情况可以确定2种，枚举即可问题解决．15．在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是53036．【分析】首先根据已知数字确定尾数分别是2，1，7．根据尾数判断除数和商的数字，最后根据除数和商的乘积加上余数就是被除数．【解答】解：依题意可知乘积的结果的个位数字分别是2，1，7．根据尾数是1的共有1×1，3×7，9×9．再根据尾数是7的乘积是1×7，3×9，两次都有数字3，那么优先考虑除数的尾数是3的情况．那么商分别是4079．再根据除数与7的积是两位数，那么首位数字只能是1，即13×4079+9=53036故答案为：53036【点评】本题的关键是找到乘积的尾数是2，1，7．在根据数字的尾数判断除数的十位，被除数=除数×商+余数或者倒推填写竖式解决问题．16．在如图的乘法整式中，每一个“□”和英文字母都代表一个数字；其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，而“□”中可以填写在任意的数字，已知P=6，那么五位数HAPPY是90662．【分析】首先根据数字1进行推理出来乘数的结果是十位数字是0+6组合，再确定第一个乘数的首位数字2，再用枚举法找出第二个乘数的个位满足题意合适的数字，接下来末尾分析即可．问题解决．【解答】解：依题意可知首先根据数字P=6，十位数字中没有进位，那么第一个结果中的四位数的十位是0．再根据乘数中的数字1和得数中的数字2判断第一个乘数的百位是2．再根据第一个结果中含有2个数字0，如果千位数字是1，那么需要乘数乘以5，经过检验不符合条件，那么四位数的千位数字或者为2．那么第二个乘数的个位数字就是6，7，8，9这四种可能性．根据尾数判断只有数字7符合．即286×7=2002．再根据结果中的百位数字P是6，得最后的三位数尾数是8，那么乘数中的百位数字就是3．故答案为：90662【点评】本题的关键是根据数字1进行推理出来乘数的结果是十位数字是0+6组合，再确定第一个乘数的首位数字2，再用枚举法找出第二个乘数的个位满足题意合适的数字，接下来末位分析即可．问题解决．17．如图，一道除法竖式中已经填出了“2016”和“0”，那么被除数是83720．【分析】根据题意可知被除数的个位是0，因被除数的十位与0与相减的差是2，所以被除数的十位上的数是2，再根据被除数的百位与6的差是1，可确定被除数的百位上的数是7，又根据除数与与商的十位数及商的个位数相乘的得数的末位数是0，可确定商的个位数或除数的个位数有一个是0或5，0不符合题意，只能是5，又除数与商的百位数相乘的结果的末尾数是6，所以只能是商的个位数是5，则除数的个位数只能是一个偶数，不能是2，如是2则与除数与5相乘的十位数上不可能是2，可以是4，不能是6，因如是6，则除数与5相乘的十位数上不可能是2，同理也不能是8，所以除数的个位数只能是4，且除数与商的个位数5相乘得数是一个三位数，所以除数的百位数只能是1，就是1几十4与5的乘积得到是几百二十，这样可确定除数的十位数是8，进而可确定除数与商的个位数相乘得数是920，再根据除数与商的十位数相乘是三位数，上面的四位数减这个三位数是92，可确定商的十位数也是5，进而再根据除数和商的百位数上的商的个位数是6，可确定商的百位数是4．据此解答．【解答】解：【点评】本题的重点是根据已知的条件，先确定商的个位数是5，进而推出除数是多少，再进一步解决问题．18．如图乘法算式中只有四个位置上的数已知，它们分别是2，0，1，6请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立．那么乘积为2205．【分析】根据题意第一个因数是六十几，它与第二个因数相乘的十位相乘后得到的积与这个数与个位数相乘的积的和是二千几百零几，可确定第二个因数的十位数是3或4，再根据积的十位数是0，可确定第一个因数的个数与第二个因数的十位数相乘的末尾数是9，可确定第二个因数的十位数是3，因4不论和谁相乘的末尾数不能得到9，这样就可确定第一个因数的个位数是3，再根据第一个因数63与第二个因数相乘得几百一十几，可推出第二个因数的个位数是5．据此解答．【解答】解：答：乘积是2205．故答案为：2205．【点评】本题的重点是先确定第二个因数的十位数是多少，进而推理解答问题．19．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么，代表的四位数最大是1786．【分析】根据和是2016，要使代表的四位数最大，可确定“数”是1，因“探”不能为0，“学”最大是9，如是9，则“探”是1，不合题意，“学”是8，则“探”是2，“花”与“秘”的和的末尾应是1，且不能进位，不合题意，所以“学”是7，“秘”是3或2，要使“花”最大，则“探”应是2，所以“花”是9，则“秘”是2，不合题意，“花”是8“秘”是3，则“园”最大是6，“行”是0，据此解答．【解答】解：答：代表的四位数最大是1786．【点评】本题的重点是先确定中数是几，再把数从大到小进行推理，得出符合条件的数．20．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘数中较小的是152．【分析】根据题意可知第一个因数与第二个因数相乘的积是一百几十几，可确定第一个因数的个位数是1，第二个因数的个位数也是1，又第一个因数与第二个因数的百位数相乘得一个四位数，所以第二个因数的百位上的数是大于5的数，又因它与2的乘积是十几，再根据第一个因数与第二个因数的百位数相乘的倒数第二位数是6，可确定第二个因数的百位数是9或7，所以乘数较小的数是152．【解答】解：答：乘数较小的数是152．故答案为：152．【点评】本题的重点是先确定第一个因数的百位数是几，进而求出第二个因数百位上的数，从面解决问题．21．如图的乘法竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：乘法竖式正确填写后，“”所代表的四位数是1537．【分析】根据乘法口诀可确定“学”是1、5或6，“学”如是1，则“学”与“数”的乘积应是“数”不合题意，所以“学”是5，则根据“数学”与“学”的乘积是一个两位数，可确定数只能是1，进而可得出“园”是7，再积的最高位是5，可确定“花”是3．如“学”是6，则根据则根据“数学”与“学”的乘积是一个两位数，可确定数只能是1，则“园”是9，进而推出“花”是1或6，都不符合题意．【解答】解：答：”所代表的四位数是1537．故答案为：1537．【点评】本题的重点是先确定“学”是几，进而进行推理解答．22．如图，一道乘法竖式已经填出了2、0、1、6，那么乘积是6156．【分析】首先判断根据数位相乘结果是一个四位数和一个三位数，那么两位数的乘数中的十位数字小于2只能是1，再根据个位数字是6，那么乘数的尾数是3，同时四位数的结果是1000多那么百位数字只能是5，再根据数字关系求解即可．【解答】解：依题意可知乘数中的三位数乘以2结果是一个四位数，那么百位数字是大于4的数字，再根据数字0得知结果是1000多是数字那么乘数中的百位数字是5．而且乘数的三位数的十位数字乘以2没有进位．同时这三位数乘以一个数还是结果是三位数推理出乘数中2前面的数字是1，即乘数的两位数是12．再根据结果中的尾数是6，那么三位数的乘数的个位是3．再根据数字1得0+1=1，那么这个三位乘数是513故答案为：6156【点评】本题的关键是找到结果数字中位数的关系，利用末位分析法和首位分析法再结合已知数字进行排除即可问题解决．23．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是612．。

小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有个约数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为．10．有10个不同因数的最小自然数为．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．12．60的不同约数（1除外）的个数是．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有个“中环数”．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有个．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是．（回文数例如：1111、4334、3210123）24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．27．一个合数至少有3个约数．．（判断对错）28．把72的所有约数从小到大排列，第4个是．29．把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是．30．已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有个．31．一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是．32．已知300=2×2×3×5×5，则300一共有不同的约数．33．A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B=．34．能被2345整除且恰有2345个约数的数有个．35．分母是3553的最简真分数的和是．36．若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G（36）+G（42）=．37．聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3，最大的和是2010，那麼這個自然數N是．38．自然数N有20个正约数，N的最小值为．39．一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有个约数的个位是3．40．数22×33×55有个不同的约数．41．设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是．三．解答题（共9小题）42．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？43．A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数．那么，这四个数和的最小值是．44．如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21 也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．45．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是．46．求100至160之间有8个约数的数．47．2008的约数有个．48．100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？49．已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值．50．求360所有约数的和．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．【解答】解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．故选：B．【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数），由此可得结论．【解答】解：根据题意可得：2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；3×23=24，5×23=40，7×23=56，11×23=88，2×33=54；27=128＞100．所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个．故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【点评】本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数）是关键．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数．【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10=20个，则n的分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又∵，∴n的质因数分解式中含有0个2；设n=3a m x，又∵，∴n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）=10，解得：a=1，x=4，此时n=3×m4；故6n=2×3×n=2×3×3×m4=2×32×m4，其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）=2×3×5=30，故答案是：30．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是2520．【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数．如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，就这样去尝试．【解答】解：因为10=2×5，9=3×3，8=4×2，所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数．7、8的最小公倍数是56，9、10的最小公倍数是90，56和90的最小公倍数是2520．将2520分解质因数得23×32×5×7，所以它的因数个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48个故此题填2520．【点评】此题考查是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，采用的是假设验证的解题策略．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有8个约数．【分析】最小的数为4，则约数最小的数为1，另外一个第二小的约数为4﹣1=3，即：3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：，再根据最大的两约数和为2684，可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数．【解答】解：根据分析，约数最小的数为1，最小的两个约数和为4，则第二小的约数为：4﹣1=3，约数是成对出现的，N=1×N=3×，即是第二大的约数，由于最大的两约数和为2684，则有：，解得：N=2013，分解质因数2013=3×11×61，根据约数和定理，得：2013的约数个数为：（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，故答案是：8．【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：根据约数和第二大和第二小约数，再求出N，再算其约数的个数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有12个因数．【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是11的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数．42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．再枚举即可．【解答】解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数．因数一共的个数是3+39=42（个），将42分解成3个数字相乘42=2×3×7．=a×b2×c6．如果是11×52×26=17600（不是四位数不满足条件）．再看一下如果这个数字最小是=11×32×26=6336．=3663=11×37×32．因数的个数共2×2×3=12（个）．故答案为：12个．【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字11就是本题的突破口，同时关键分析42分解成2×3×7的情况．实际就是特殊的情况，都是最小的质数．问题解决．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是6336．【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况．同时这四位数中奇数偶数位数和相等．满足11整除特性．接下来从最小的情况枚举尝试即可．【解答】解：根据奇数偶数位数和相等，所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个．四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘．42=2×3×7．所以可以写成a×b2×c6．那么看一下质数是最小的是什么情况．11×32×26=6336．当质数再打一点b=5时，c=2时，11×52×26=17600（不满足是四位数的条件）．故答案为：6336．【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．同时数字是11的倍数．最后发现实际都是特殊情况唯一确定．问题解决．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为121．【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可．【解答】解：81的因数：1、3、9、27、81，81的所有因数之和为：1+3+9+27+81=121，故答案为：121．【点评】本题关键是找到81的所有因数．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为60．【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：12=1×12=2×6=3×4=2×2×3，有12个约数的自然数有：①2×2×…×2×2（11个2）=2048，②2×2×…×2（5个2）×3=96，③2×2×2×3×3=72，④2×2×3×5=60；从以上可以看出只有④的乘积最小；所以有12个约数的最小自然数是60．故答案为：60．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．10．有10个不同因数的最小自然数为48．【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：因为10=2×5=1×10，210=1024，24×3=48，所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：24×3=48；故答案为：48．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2=2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25×32×7，2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），共有因数36÷2=18对因数，其中奇因数有：（2+1）×2=6对，所以偶数有：18﹣6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对．故答案为：12．【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．12．60的不同约数（1除外）的个数是11．【分析】先将60分解质因数，60=2×2×3×5，再写成标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1，即得答案．【解答】60分解质因数60=2×2×3×5，再下称标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘．60的不同约数（1除外）的个数是（2+1）×（1+1）×（1+1）﹣1=11个．答：答案是11个．【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有6个“中环数”．【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论．【解答】解：由题意，N的因数个数是2，N就是2；N的因数个数是3，则N是完全平方数，由于末尾是3，不存在N满足题意；N的因数个数是4，由于末尾是4，则满足条件的数为14，34，74；N的因数个数是5，则N是完全平方数，由于末尾是5，不存在N满足题意；N的因数个数是6，则N是76满足题意；同理78满足题意，所以在2～84中，”中环数”是2，14，34，74，76，78，故答案为6．【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有19个．【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30，则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数．【解答】解：根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：10+9=19个．故答案为：19．【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：从质数开始排查，再检验其它非质数．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是24168．【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始，再根据的约数个数，来确定这个五位数的最小值．【解答】解：根据分析，2014的倍数是五位数的数：①最小是10070=5×2014，末尾三位是：70=2×5×7，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；②12084=6×2014，末三位是：84=22×3×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；③14098=7×2014，末三位是：98=2×72，约数个数为：（1+1）（2+1）=6个；④16112=8×2014，末三位是：112=24×7，约数个数为：（4+1）（1+1）=10个；⑤18126=9×2014，末三位是：126=2×32×7，约数个数为：（1+1）（2+1）（1+1）=12个；⑥20140=10×2014，末三位是：140=22×5×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；⑦22154=11×2014，末三位是：154=2×7×11，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；⑧24168=12×2014，末三位是：168=23×3×7，约数个数为：（3+1）（1+1）（1+1）=16个；显然符合题意的只有：24168．故答案是：24168．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是162．【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、、、n，立即可以填出1、2、3、、、、、、、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、、、n，根据因数个数定理10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34=162更大．故答案为：162．【点评】解答本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是385．【分析】先把35和77分解质因数，即35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案．【解答】解：35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11=385，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）因数，正好符合要求．答：这个数是385．故答案为：385．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1～600中，完全平方数的个数即可．【解答】解：如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P 为质数），因为，242=576，252=625，所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11、13、17、19、23，共有9个；答：在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．故答案为：9．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为1．【分析】显然先分解质因数2013，可以求得其约数的个数为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，而8=2×2×2=2×4，故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数．【解答】解：根据分析，分解质因数2013=3×11×61，有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成m3×n或m×n×w （m、n、w为互不相同的质数），故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：①104=23×13与105=3×5×7均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）；②189=33×7与190=2×5×19均有8个约数；③23×37=296与297=33×11均有8个约数；④2013=3×11×61，2014=2×19×53均有8个约数．综上，a、b 两数之差（大减小）的最小值为1．故答案是：1．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：先分解质因数，求出约数的个数，再算出a，b最小的差．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=1．【分析】由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，即可得出结论．【解答】解：由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，所以（﹣）÷=（6﹣4）÷2=1，故答案为1．【点评】本题考查因数与倍数，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是441．【分析】一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，利用其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79；②A×A=B×C，进行验证即可得出结论．【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，（1）当N=x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，不可能．（2）当N=x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，①A=x，B=1，C=x2，则x+1+x2=79，无解．②A=xy，B=1，C=x2y2，则xy+1+x2y2=79，无解．③A=xy，B=x，C=xy2，则xy+x+xy2=79，无解．④A=xy，B=x2，C=y2，则xy+x2+y2=79，解得：，则N=32×72=441．⑤A=x2y，B=x2y2，C=x2，则x2y+x2y2+x2=79，无解．故答案为441．【点评】本题考查约数个数和约数和定理，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是55．【分析】A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数），分类讨论，即可得出结论．【解答】解：A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数）；若A=p4，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p、p7）（1、p2、p6）（1、p3、p5）（p、p2、p5）（p、p3、p4）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1+p4+p8=625或1+p5+p7=625，可是这两种情况p均无解；故知A的质因数分解形式不能为p4，只能为pq；若A=pq，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是（1、p、pq2）（1、q、p2q）（1、p2、q2）（p、q、pq）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2q、pq2），故1+p2q+pq2=625，解得A的两个质因数p、q为3和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3+13+39=55．故答案为55．【点评】本题考查约数和定理，考查幻方的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用约数个数定理是关键．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是2772．（回文数例如：1111、4334、3210123）【分析】最小的八个约数的和为43，约数首先为自然数，首先该有1和2（如果没2的话，就不会有偶约数，最小的8个奇数的和大于43），不该有5（有5的话首末位都为0）和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，就只有下面一种情形了：1+2+3+4+6+7+9+11=43，然后求出这8个数的最小公倍数即可；由此解答．【解答】解：由分析可知：约数首先为自然数，首先该有1和2，不该有5和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，则有：1+2+3+4+6+7+9+11=43，以上数的最小公倍数为：4×7×9×11=2772，正好满足要求；答：这个四位回文数是2772；故答案为：2772．【点评】明确回文数的含义：从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”；然后根据题意，进行推导，求出这8个约数，是解答此题的关键．24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是1221或2013．【分析】它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，然后通过列举，推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，3和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；由此即可得出结论．【解答】解：它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，可能是：7、7（不符），6、8（如果是这两个，那2也是，不符），5、9（如果是这两个，那3也是，不符），4、10（如果是这两个，那2也是，不符），3、11（符合），所以可以推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，33和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；所以它的约数有：1，3，11，33（3×11），37，111（3×37），407（11×37），1221（3×11×37）或1，3，11，33（3×11），61，183（3×61），671（11×61），2013（3×11×61）所以答案应该是1221或2013；故答案为：1221或2013．【点评】此题考查了约数个数和约数和定理，根据题意，进行推导，得出它的最小的3个约数是：1，3，11，是解答此题的关键．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=20．【分析】依次算出各部分约数的个数，然后相加即可．【解答】解：1×8的因数有4个2×7的因数有4个3×6的因数有6个4×5的因数有6个所以1□8+2□7+3□6+4□5=4+4+6+6=20故填20【点评】此题的关键是看懂A□B的意思，然后确定运算顺序．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是30．【分析】根据能被2、5整除的数的特征；自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少，而其它质因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个；据此解答．【解答】解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N=21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）=8，（a+1）×2×2=8，a=1；所以，N最小是：2×3×5=30；答：N最小是30．故答案为：30．【点评】本题关键是根据能被2、5整除的数的特征确定自然数N的质因数；难点是根据约数和定理得出质因数5、3和2的个数．27．一个合数至少有3个约数．√．（判断对错）【分析】根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．由此解答．【解答】解：根据合数的意义，一个合数至少有3个约数；所以这种说法是对的．。

小学奥数练习卷（知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第个吃到的．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第轮训练．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下枚白子．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第号椅子．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有个白子．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是号棋子．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为，游戏前后一个同学手里糖果数为．13．有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个．14．圆周上均匀地放置了31枚棋子，其中黑棋子14枚，白棋子17枚，若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，则最少经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．15．圆周上均匀地放置了100枚棋子，其中黑棋子48枚，白棋子52枚．若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，那么最少要经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．16．有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置；第三次跳三步，跳到7号位置…这样一直进行下去．棋子永远跳不到的位置是号．17．把“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”12枚生肖棋子围成如图的样子，如果按顺时针方向计数，每数到第“12”就将该生肖棋子取走，然后，再从下枚生肖棋子开始数，不断重复上面的过程，要求最后一个只留下“虎”，应该从12生肖中的开始数起．18．9个小朋友围坐在一张圆桌边，每人想好一个数并告诉坐在他两边的人，然后，每人将他两边人告诉他的平均数报出来，报的结果如图，则报10的人想的数是．19．如图，圆周上写有3，1，8三个数，称如下操作为一次操作：在所有相邻的两个数之间写上这两个相邻的数的和．图1到图2为第1次操作，那么第5次操作后，圆周上所有数的和为．20．班级召开联欢会，大家围成一个椭圆形，在男孩小明的左边依次是2名女同学，一名男同学，又4名女同学，一名男同学，6名女同学，一名男同学，如此下去，在小明的右边排列规律与他的左边相同，直至两名男同学之间有8名女同学，那么，小明班级共有学生名．21．将自然数1到2012依次等距离地排列在圆周上，从1开始每隔5个数删去一个数．第一次删去的是7，在圆周上如此不断地删下去，则第340次删去的数是．22．如图，一个圆盘上均匀地依次表示第1、2、3、…、12个洞．有一只小虫从1号洞按顺时针方向起跳，规定它跳的步数是它起跳洞的数码．例如，第1次从第1洞跳到第1洞，第2次从第2洞跳2步到第4洞，第3次从第4洞起跳，跳4步到第8洞，…．第m次从第x洞起跳，跳x步，如果小虫按照这个规则从第1洞起跳，跳了100次到第N（N=1、2、3、…12）洞，则它共跳了多少步？N是几？23．盒中有10个白球和10个黑球．每次取出两个，如果取出的两个球同色，则放回一个，如果取出的两个球异色，则不放回．经过若干次之后，盒中仅剩余一个黑球，则最少取了次，最多取了次．24．若干名小朋友排成一行，从左边第一人开始每隔2人发一个苹果，从右边第一个人开始每隔4人发一个橘子，结果有10人拿到了两种水果，那么这群小朋友最少有人．25．小明和小华下棋，他们执棋从①号位出发，轮流顺着箭头方向前进（如图）．小明走的规则是在三步一步、三步一步…（即①～④～⑤～②…），小华走的规则是二步一步、二步一步…（即①～③～④～⑥…）．那么在他们各自走了100次以后，小明的棋子走到了号位，小华的棋子走了号位．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共20小题）26．如图，在一个圆周上有3个1，进行如下操作：在相邻的两个数之间写上它们的和，如：第1次操作后，圆周上有6个数：1，2，1，2，1，2．如此操作3次．问：（1）此时圆周上有多少个数？（2）此时圆周上的所有数的和是多少？27．有30个人围成一圈，从小军开始，按顺时针方向1至7报数，报到7的人被淘汰出局，再从被淘汰者后面第一人开始同样报数，报到7者同样被淘汰，这样一直报下去…．（1）小军第四次报数时，报的是几号？（2）小军第几次报数时被淘汰？28．如图，圆周上顺次排列着1、2、3、…、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．29．如图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3， (2999)3000．首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止．问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子？（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？30．有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果．他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13：1，问最多有多少名小朋友？31．6个小朋友围成一圈，每人心里想好一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮数来（如图），问亮出11的人原来心中想的数是多少？32．电子跳蚤游戏盘（如图所示）为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1点跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2点跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2007次落点为P2007，请计算P0与P2007之间的距离．33．圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的﹣枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的l枚棋子，然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是l4的倍数，请帮肋小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？34．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？35．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？36．圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1、2、3、4、5、6、7．小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，…放置第k﹣1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k﹣1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子．随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放了300枚红色棋子．请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？37．如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是2011号，则最后剩下的棋子最初是第多少枚？38．将编号为1到1000的瓶子依序排在一个圆上，从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖，当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止，请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？39．一摞2014张的卡片，方浩拿着它，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片扔掉，把下一张卡片放到这摞卡片的最下面；再把第三张卡片扔掉，把下一张卡片放在最下面；反复这样地做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞2014张卡片中从上往下数的第几张？40．1﹣2014，这2014个数按逆时针的顺序排在一个圆上，从1开始，保留1消去2，保留3消去4，按这样的顺序每隔一个数消去一个数．有2014个人，请问你站在第几位是最后剩下的那个？41．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再将四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的…如此进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？42．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000．现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下…学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人．问：这个学生的编号是几号？43．有一摞100张卡片由小马拿着，他从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面．再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面．反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？44．有11个人围成一个圆圈，并依次编成1～11号，从1号起依次发《趣味数学》书，发书的方法是：隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本…．这样发下去，试问最少要准备多少本书才能使发给每人的本数同样多？45．某工厂生产一种圆盘形玩具．在圆盘正面的圆周上均匀分布安装10个小球，其中3个为红球，7个为白球，如图所示，若两个圆盘都正面朝上，可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，就算同一种规格．问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第7个吃到的．【分析】利用列举法，将每次吃的甜饼依次列举出来，即可得出结论．【解答】解：如图，第一个吃1号，第二个吃4号（隔2，3号），第三个吃7号（隔5，6好），第四个吃10号（隔8，9号），由于第1，4号已吃，所以第五个吃5号（隔2，3号），由于7号已吃，所以第六个吃9号（隔6，8号），而10，1，4，5已吃，所以第七个6号（隔2，3号），故答案为7．【点评】本题主要考查了列举法，解本题的关键是根据题目中的要求列举出每次吃的甜饼的编号．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是7．【分析】由题意可知，被减数十位数要大于减数的十位数．要使差最小，被减数十位数不能是4，1也不能取，否则差小于0．当被减数十位数取2时，这个减法算式最小的情况应该是23﹣14=9；当被减数十位数取3时，这个减法算式最小的情况应该是31﹣24=7．【解答】解：要使差最小应是算式：31﹣24=7，即：答：这个最小的差是7．故答案为：7．【点评】解决本题抓住差最小是一位数，得出被减数的十位比减数的十位大1，再由此进行推算即可．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．【分析】一共是10人，而每次有3人进行训练，要使1、2、3号同时训练，中间隔的人数应是10和3的最小公倍数，由此求出中间又隔了多少人，进而求出隔的轮数，再加上1轮即可求解．【解答】解：10×3=30，30÷3+1=11（轮）；答：当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．故答案为：11．【点评】本题关键是找出三人再次同时训练时中间隔的人数，再根据每3人一轮进行求解．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是36．【分析】本题的关键是要找出12个数一循环：若余数为0，圆圈所标的数字是0；若余数为1，圆圈所标的数字是11；若余数为2，圆圈所标的数字是10；若余数为3，圆圈所标的数字是9；…；若余数为11，圆圈所标的数字是1．确定顺时针方向，然后再求2013被12整除后余数是多少来决定是哪个数；确定逆时针方向，然后再求2012被12整除后余数是多少来决定是哪个数．【解答】解：根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环．①2013÷12=167…9，按顺时针方向跳，故该圆圈所标的数字是9．②2012÷12=167…8；按逆时针方向跳，故该圆圈所标的数字是4．9×4=36．答：这两个圆圈里数字的乘积是36．故答案为：36．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是6．【分析】A B C D 8 6 3 1（原），7 5 2 4（第1个小朋友取后），6 4 5 3（第2个小朋友取后），5 3 4 6（第3个…），4 6 3 5（第4个…），3 5 6 4（第5个…），6 4 5 3（第6个…），第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；即：除去前一次不规则的数组，还应有49次重复组，余下一次，那么，第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球．【解答】解：由分析可知：第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球；答：当50位小朋友放完后，A盒中求的个数是6；故答案为：6．【点评】解答此题的关键是先进行列举，进而分析，找出规律，然后进行解答，得出结论．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=91．【分析】由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，100以内的数只有91．【解答】解：由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，因为10＜n＜100，所以n=91，故答案为91．【点评】本题考查余数问题，考查学生分析解决问题的能力，得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0是关键．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有260块糖果．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块，…，1=20，2=21，4=22，8=23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．【解答】解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n=90，因为1+4+16+64+5=90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27=2+8+32+128=170（块），90+170=260（块），答：最初包裹中有260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．【分析】从黑子的右面第一枚白子开始编号为1，2，3，…2012，则黑子为2013；从黑子计数，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，首先取走的依次是2、4、6、8…2012号，到此时剩余奇数号；继续取，取走的依次是1、5、9、…4n﹣3号（n=1、2、3…），因为2013=4×504﹣3，所以2013此时被取走；余下的是3，7，11，15，…2011，规律是4n﹣1，n=1，2，3…，求出3到2011以4为等差的等差数列的个数，即可得解．【解答】解：（2011﹣3）÷4+1=503（枚），答：若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．故答案为：503．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链问题，锻炼了学生的认真分析问题的能力．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第15号椅子．【分析】做时可以将题目分开，即顺时针前进了（328+328+136）个，也就是792个；而逆时针前进了（485+485）=970个；再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，也就是说逆时针前进了（970﹣792）=178个；那么总共有16个椅子，即11×16+2个，但它是逆时针前进的，所以是15号．【解答】解：[（485+485）﹣（328+328+136）]÷16=178÷16=11…2（个）16+1﹣2=15（号）答：他到了第15号椅子．故答案为：15．【点评】此题应结合题意，先算出顺时针和逆时针分别前进了多少个，进而再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，然后结合图进行分析计算即可得出结论．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有3个白子．【分析】如下图所示：经过3次将同色相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，（红色圈内是放入的棋子）；在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，就又回到第一次的结果了，说明3次一个循环，在这些图中，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子．故答案为：3．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链中蕴含的规律．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是7号棋子．【分析】此题剩下的号码是偶数，所以，要从奇数开始拿起，假设先从1开始拿起，可以进行讨论找出规律解决问题．【解答】解：假设第一枚拿走1则：第一圈剩下：2，4，6，8，…50，第二圈剩下：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，第三圈剩下：4，12，20，28，36，44，第四圈剩下：4，20，36，第五圈剩下：4，36，最后剩下：36，要想剩下42顺推一下即可：1+42﹣36=7，第一个拿走7即可．答：应该从第7个棋子开始取．故答案为：7．【点评】本题利用剩下的是偶数这一特点，先从1开始拿起，逐步推算，得出最后剩下的数，然后再看它离42还差几，然后把1加上几即可．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为3或9，游戏前后一个同学手里糖果数为1或3．【分析】这是一道难题，分析出里面的数量关系是关键，找到隐含的等量关系．里面含有两个未知数，设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T 轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人一开始应该有T+N﹣1块糖，因为每轮他会多N﹣1块糖，T轮就会多T （N﹣1）块糖．【解答】解：设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人。

小学奥数练习卷（知识点：奇阶、偶阶幻方）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是（）A．9B．16C．21D．232．九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x等于（）A．47B．48C．50D．51第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共22小题）3．将数字1、2、3、4、5、6、7填入右图的每一方格中，使一横行和两竖列中的三个数字的和都相等．如果数字1、2已固定在现有位置上，有种填其他数字的方式．4．将1、3、5、7、9、11、13、15、17 这九个数填入如图的九个方框内，使每一横行、每一竖列、每一斜行的三个数的和都相等．5．将5、10、15、20、25、30、35、40、45九个数填在图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等，这个相等的和是．6．在图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则a+b+c+d=．7．字1～9被填入到下面3×3的方格中，其中每个数字都恰好被用了一次．如果在方格的右边和下边所写的数字代表的是该行或该列中所填数的乘积，则在“*”格中所填的数字应该是．8．所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等．请将如图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“X”所代表的数是．9．从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．这9个数中最多有个质数．10．在如图所示的3×3方格表中填入合适的数，使每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等．那么标有“★”的方格内应填入的数是．11．在九宫格中，填入的都是大于0的整数，且每行，每列，每条对角线上三数之积相等，则图中A表示的整数等于．12．将不大于12且互不相同八个自然数填入图中八个方格中，使九宫格图中的每一行，每一列以及对角线上的三个数的和都等于21．13．如图，图中每一横行，每一竖列和两条对角线上的三个数之和均相等，则x=．14．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，如图给出了“河图”的部分点图，那么P处有个点，M处有个点．15．把2，3，4，…，10这九个数字填到图中的3X3方格内，使每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．16．福尔摩伍是一个很有名的解密码高手，他曾经破解了一个关于保险箱的密码，要求“把3、6、9、12、15、18、21、24、27填入合适的方格中，使每横行、竖行、斜行的三个数相加都是45．”按要求填入正确的数后，密码就解开了，聪明的同学，请你也填一填．17．如图中16格内填的都是由1、6、8、9组成的两位数．并且横行、竖行和对角线上四个数的和都相等．则快=，乐=，数=，学=．18．如图，在一个4×4的方格中放入16个连续的自然数，使得每行、每列、每条对角线的“和”都相等，那么大于70小于80的“和”有个，分别是：．19．在图的16个方格中，每行、每列、每条对角线上的4个数的和都相等，则△=．20．传说夏禹时代，洛河中出现过一只神龟，背上有一张图，后人称它为“洛书”．“洛书”就是将1到9这九个数字填在如图1的9个方格中，使每行、每列和对角线上的数字和相等．如果将正中间的数5改为6，请在图2中填出一个使每行、每列的数字和都相等的情况．21．下面方格中每横行、每竖行、每条对角线上的三个数之和都相等，那么方格中的A、B、C、D、E各是、、、．22．在图的每个没有数的格内填入一个数使得每持、每列及每条对角线的三个数的和都等于66.66，那么有“？”的格内所填的数是．23．图中，每一横行、每一竖列和两条对角线上的三个数之和均相等，则X=．24．如图所示，在3×3的方格内已填好了两个数19和99，可以在其余空格中填上适当的数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数的和都相等．则x=．三．解答题（共26小题）25．在如图的3×3方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7、8、9，使横、竖、对角线上的任意三个方格中的数字之和相等．26．将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入．27．将九宫图填完，使九宫图的每行，每列，对角线上三个数的和都相等．28．在如图的9个小方格中各有一个数字，而且每行每列及每条对角线上的三个数字之和都相等，则其中带“？”中所填入的数字是多少？29．如图是一个9×9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字．小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由．30．在如图的空格中填上不同的自然数，使每行、每列和两条对角线的四个数之和等于264，求A+B﹣C+D+E﹣F+G﹣H的和是多少？31．如图是3×3的幻方．当空格填上适当的数字后，每行、每列以及对角在线的数字的和都是相等的．求k的值．32．将l﹣9这九个数字填入如图的9个圆圈中，使每个三角形和直线上的3个数字之和都相等．（写出一个答案即可）33．如图中有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．问：图中左上角的数是多少？34．你能在3×3的方格表中每个格子里都填一个自然数，使得每行、每列及两条对角线上的三数之和都等于1997吗？若能，请填出一例，若不能，请说明理由．35．在表中的每个没有数字的格内各填入一个数，使每行、每列及每条对角线的三个格中的三数之和，都等于19.95时那么，画有“？”的格内所填的数是多少？36．如图中方格内已经填了三个数13、17、24，在空格中填上适当的数，使得每行、每列和两条对角线的三个数之和都相等．37．用1～25可以在5×5方格内填一个标准的五阶幻方，如图所示．满足同样条件，能否用总和为2010的25个互不相同的数填入5×5方格中？如果能，如何填？38．在3×3的方格内，各行、各列及对角线上的三个数字之和都相等，请你求出a，b的值，并在方格的第三行第二列中填入适当的数．﹣ bba39．将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数填入下面的方框中，使每横行、竖行上的三个数的和等于15．40．（105，92，100，97，108，95，98，103，102）（97，99，101，96，105，103，100，98，106）上面有两组数，请选出一组填入图中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．41．在空格里填数，使横、竖、斜行的三个数的和都是45．42．如图是一个三阶幻方，由9个数组成，并且每横行、竖行和对角线上数字的和都相等，试填出空格中的数．43．如图，将l～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于15．44．9宫格，将1～9填入其中，使每条线上数的和相等．45．把0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9这九个数填在方格里，使每一行、每一列、每条对角线上三个数的和都相等（每个数只能用一次）46．将1﹣16这16个数分别填入下图的16个方格内，使每行、每列两条对角线上的4个数字的和都相等．47．把20个棋子放到图中的方格里，每个格子都要放，怎样放才能使每边的棋子加起来都是6个？48．在下面的空格里填上合适的数，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都相等．49．将0.1～0.9填入下面空格里，使纵、横、斜三数之和相等．50．将，，，，这九个数分别填入图中，使每一横行，每一竖行，两条对角线中三个数的和都相等．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图有九个空格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则图中左上角的数是（）A．9B．16C．21D．23【分析】首先设出几个未知数，利用行、列及对角线的三个数的和都相等列出等式解决问题即可．【解答】解：如图，设相应方格中的数为x1，x2，x3，x4；由已知条件：行、列及对角线的三个数的和都相等，可以列出下面的等式（方程）：？十x1十x2=？+x3+x4=x1+x3+13=x2十19+x4，这样，前面两个式子的和就等于后面两个式子的和，即有2×？+x1十x2+x3+x4=13+19+x1十x2+x3+x4，所以．答：图中左上角的数是16．故选：B．【点评】计算注意抓住九宫图的特点：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．2．九宫图的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么x等于（）A．47B．48C．50D．51【分析】由于每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，所以可以得到每一横行、每一竖行及对角线上的三个数之和为x+2+37=x+39，如图，根据图示可以得到c+16+x=X+39，由此求出c，同理用X求出其它数，根据x+a+e=x+39列出方程，进而求出x．【解答】解：幻和是：x+2+37=x+39，c=（x+39）﹣16﹣x=23，a=（x+39）﹣37﹣23=x﹣21，b=（x+39）﹣（x﹣21）﹣16=x+39﹣x+21﹣16=44；e=（x+39）﹣44﹣37=x﹣42；所以：x+（x﹣21）+（x﹣42）=x+39x+x+x﹣21﹣42=x+392x=102x=51．故选：D．【点评】解题的关键是把握每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，都等于x+39，由此表示其他位置的数字，然后列出方程解决问题．二．填空题（共22小题）3．将数字1、2、3、4、5、6、7填入右图的每一方格中，使一横行和两竖列中的三个数字的和都相等．如果数字1、2已固定在现有位置上，有4种填其他数字的方式．【分析】如图：计算3条线上的和时a和2都被计算了2次，所以这三条线的3个和一共是：1+2+3+4+5+6+7+2+a=30+a，由于30+a必须是3的倍数，所以a 是3的倍数，只有3和6两种可能，由此求解．【解答】解：在下图中，计算3条线上的和时a和2都被计算了2次；1+2+3+4+5+6+7+2+a=30+a；买条线上的和就是（30+a）÷3=10+；只能是自然数，所以a是3的倍数，只能是3和6．这时两个幻方是：、第一个幻方中的4和5可以交换位置，第二个幻方中的7和3可以交换位置，有多出2种不同的填法；一共是：2+2=4（种）故答案为：4．【点评】解决本题关键是找清楚有2个位置的数被计算了2次，然后再根据它们的和是3的倍数进行求解．4．将1、3、5、7、9、11、13、15、17 这九个数填入如图的九个方框内，使每一横行、每一竖列、每一斜行的三个数的和都相等．【分析】先求出这9个数的和，用这个9个数的和除以3求出幻和，再用幻和除以3求出中间数；再根据幻和减去中间数，就是剩下两个数的和，根据幻和，调整这些数的位置，得出幻方．【解答】解：（1+3+6+…+17）÷3=27；27÷3=9；27﹣9=18=1+17=3+15=5+13=7+11；这个三阶幻方是：【点评】这类问题关键是再求出中间数，然后把剩下的数根据和凑成对，根据幻和调整每一对数的位置填入表中．5．将5、10、15、20、25、30、35、40、45九个数填在图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等，这个相等的和是75．【分析】由于5、10、15、20、25、30、35、40、45这九个数是等差，所以中心数是这些数中间的一个为25，再乘3就是幻和，也就是每行、每列、两条对角线上的三个数的和，由此得出答案即可．【解答】解：中心数为25，幻和为25×3=75，其他两个数的和为5+45=10+40=15+35=20+30，填表如下：这个相等的和为75．故答案为：75．【点评】解决三阶幻方的关键是确定中心数，得出幻和，调整数字的出问题．6．在图的九个方格中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则a+b+c+d=29．【分析】首先分析题意，根据幻方的比较法和弹弓法即可求解．【解答】解：依题意可知：根据第一列的数字和为13+m．那么推理出n=2．弹弓法即是左下角的2倍等于另外2个阴影部分的和．再根据数列规律可知1+11=2b．∴b=6．那么b+c=13．所以c=7．再根据数列规律12×2=11+d，d=13．幻和为b+d+n=6+13+2=21．∴a=3a+b+c+d=3+6+7+13=29．故答案为：29【点评】本题考查对幻方的理解和运用，关键问题是使用弹弓法和比较法，问题解决．7．字1～9被填入到下面3×3的方格中，其中每个数字都恰好被用了一次．如果在方格的右边和下边所写的数字代表的是该行或该列中所填数的乘积，则在“*”格中所填的数字应该是4．【分析】首先从最小的数20开始分析，20=1×4×5，所以下面一行的数字只能是1、4、5，而由于与1、4、5再乘得出72、105、48，5只能在中间位置，如果第一个数字是4，则得出第一行的第一个数字是2；105=5×21，只有3×7=21，正中间数是3，得不出9×3×（）=126，是7，则有9×7×2=126，就与4×9×2矛盾，因此下面一行的数字顺序为1、4、5，得出*=4，进一步经过计算得出答案即可．【解答】解：有分析可知因为20=1×4×5，1×9×8=72，8×3×6=144，9×7×2=126，1，×4×5=20，填表如下：故答案为：4．【点评】此题主要抓住每行、每列的数字乘积已知，利用已知的数字，根据数字乘积的特点，推出结论．8．所谓“三阶乘法幻方”是指在3×3的方格中填入9个不等于0的整数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等．请将如图的“乘法幻方”补充完整，则其中的“X”所代表的数是8．【分析】如图：因为每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等，可以得到20×16×A=A×4×B=B×E×X=X×D×20=A×C×X=20×C×B=4×C×D=16×C×E，选择合适的等式求得结论即可．【解答】解：如图：由20×16×A=A×4×B得出B=80，20×C×80=4×C×D得出D=400，20×400×X=80×E×X得出E=100，20×16×A=20×400×X得出A=25X，16×C×100=20×400×X得出C=5X，所以A×C×X=20×C×80，25X×X=1600X×X=64，X=8．故答案为：8．【点评】此题考查“三阶乘法幻方”的推到方法，关键是利用每行、每列及每条对角线上的三个数之积都相等建立等式推出答案．9．从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入3×3的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．这9个数中最多有7个质数．【分析】1～20中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19总共8个，其中2与3的差是1，而其它相邻两个质数的差是2或者4，都是偶数，所以要使这个幻方成立，需要把偶数2去掉，加上9和15，使它们相邻两个数的差都是2即可．【解答】解：1～20中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19总共8个；最多可以有7个（分别是3、5、7、11、13、17、19），填法如下：故答案为：7．【点评】本题需要注意特殊的质数2，它是一个偶数，再根据奇偶性以及三阶幻方的特点进行求解．10．在如图所示的3×3方格表中填入合适的数，使每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等．那么标有“★”的方格内应填入的数是8．【分析】如图，首先由3+7+★=★+□+4，推出中间的数字为6；又因每行、每列以及每条对角线上的三个数的和相等，说明行、列以及对角线上的三个数的和是6的3倍为18，由此解决问题．【解答】解：3+7+★=★+□+4，得出□=6，6×3=18，所以★=18﹣7﹣3=8；具体答案如下，故答案为：8．【点评】事实上任何一个3阶幻方一般按下列步骤完成：首先确定每行、每列以及对角线上三个数的和，再次要确定的是中心数，最后确定四角和其它数．11．在九宫格中，填入的都是大于0的整数，且每行，每列，每条对角线上三数之积相等，则图中A表示的整数等于9．【分析】已知它每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等，由图可知，3×4×C=C×1×B，得出B=12，再由3×B×x=4×x×A，得出A=9；由此求得答案解决问题．【解答】解：如图，因为3×4×C=C×1×B，所以B=12；因为3×B×x=4×x×A，3所以A=9．故答案为：9．【点评】解决此题的关键是利用每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等，充分利用已知数列出等式解决问题．12．将不大于12且互不相同八个自然数填入图中八个方格中，使九宫格图中的每一行，每一列以及对角线上的三个数的和都等于21．【分析】幻和是21，所以中间数是21÷3=7，由此可以先前推算出前面的4个数是6、5、4、2，后面的四个数就是8、9、10、12；21﹣7=14=2+12=4+10=5+9=6+8，由此进行求解即可．【解答】解：21÷3=7，中间数是7；21﹣7=14=2+12=4+10=5+9=6+8调整各个数的位置可得：【点评】解决此题的关键确定中心数，利用幻和推出其他数，只要保证四个小数和四个大数都是等差且与中心数的间隔相同的数列即可．13．如图，图中每一横行，每一竖列和两条对角线上的三个数之和均相等，则x=22.5．【分析】由于每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，所以可以得到每一横行、每一竖行及对角线上的三个数之和为x+8+10=x+18，如图，根据图示可以得到a1+a5+x=x+18，由此列出方程求出x解决问题．【解答】解：设这个幻方的未知数如下：每一横行、每一竖行和对角线上三个数之和均相等，所以：可以看出，每一横行、每一竖行及对角线上的三个数之和为x+8+10=x+18，显然a3=18+x﹣x﹣1=17，a1=18+x﹣10﹣17=x﹣9，a2=18+x﹣（x﹣9）﹣1=26，a5=18+x﹣10﹣26=x﹣18，所以x+（x﹣9）+（x﹣18）=x+182x=45，x=22.5．这个幻方如下：故答案为：22.5．【点评】本题根据幻和相等，列出等式，然后根据等量代换和解方程的方法求解．14．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等，如图给出了“河图”的部分点图，那么P处有3个点，M处有4个点．【分析】首先根据左边的图中第1列和对角线上的三个点图的点数之和相等，可得P+2=4+1，所以P=3；然后根据右边的图中第2行和第3列的三个点图的点数之和相等，可得M+3=2+5，所以M=4．【解答】解：因为P+2=4+1，所以P=3；因为M+3=2+5，所以M=4，所以P处有3个点，M处有4个点．故答案为：3、4．【点评】此题主要考查了奇阶幻方问题，考查了分析推理能力，解答此题的关键是熟练运用：每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．15．把2，3，4，…，10这九个数字填到图中的3X3方格内，使每行、每列及对角线上的三个数的和都相等．【分析】只看行，有三行，三行的总和是：2+3+…+8+9+10=54，由于每行上的三个数的和都相等，所以幻和是：54÷3=18；由于三个数的和是18，所以中心格的数字必须是：18÷3=6；然后把剩下的和为18﹣6=12的两个数：2和10，3和9，4和8，5和7，调整填入方格即可．【解答】解：2+3+…+8+9+10=54，幻和：54÷3=18；中间数：18÷3=6；剩下两个数=18﹣6=12=10+2=9+3=8+4=7+5，所以幻方如下：【点评】这类问题关键是再求出中间数，然后把剩下的数根据和凑成对，根据幻和调整每一对数的位置填入表中．16．福尔摩伍是一个很有名的解密码高手，他曾经破解了一个关于保险箱的密码，要求“把3、6、9、12、15、18、21、24、27填入合适的方格中，使每横行、竖行、斜行的三个数相加都是45．”按要求填入正确的数后，密码就解开了，聪明的同学，请你也填一填．【分析】幻和是45，用45÷3，求出中间数，再根据中间数，求出这个幻方．【解答】解：45÷3=15；45﹣15=30=6+24=3+27=9+21=12+18；调整数字的位置，便可得到这个幻方：【点评】三阶幻方关键是求出中间数，利用中间数和幻和，进行推算即可．17．如图中16格内填的都是由1、6、8、9组成的两位数．并且横行、竖行和对角线上四个数的和都相等．则快=69，乐=91，数=86，学=18．【分析】根据双偶数阶幻方的制作的对称性可知：“快”原来在“学”的位置，“乐”原来在“数”的位置，（原图如下）；因此可得：乐=快+1，数=快+4，学=快+5，“快”原来左面的数是“快”﹣1，“乐”右面的数是“快”+2，根据幻和横行、竖行和对角线上四个数的和都相等即和为：96+11+89+68=264，可得：（快﹣1）+学+数+（快+2）=（快﹣1）+（快+5）+（快+4）+（快+2）=264，得出“快”=69，进而可得：“学”=18，“数”=86，“乐”=91，然后填空即可．【解答】解：根据分析可得，乐=快+1，数=快+4，学=快+5，（快﹣1）+学+数+（快+2）=264，（快﹣1）+（快+5）+（快+4）+（快+2）=264，解得：“快”=69，“学”=18，“数”=86，“乐”=91，故答案为：69，91，86，18．【点评】本题考查了双偶数阶幻方制作的逆推导，关键是根据它的对称性、幻和、数字间的关系先确定其中的一个数；实际上中间四个数的和就等于幻和，同学们可以记住这个结论直接解答．18．如图，在一个4×4的方格中放入16个连续的自然数，使得每行、每列、每条对角线的“和”都相等，那么大于70小于80的“和”有2个，分别是：74，78．．【分析】16个连续自然数：首项+末项=奇数，16个数的和=奇数×8，那么每行、每列、对角线的“和”=奇数×2；所以大于70小于80的和就有：37×2=74，39×2=78．【解答】解：16个连续的自然数，首项和末项的奇偶性相反；所以首项+末项=奇数；16个数的和=奇数×8；每行、每列、对角线的“和”=奇数×2；大于70小于80的和就有：37×2=74，39×2=78．这个幻方可以是：和是74：和是78：故答案为：2；74，78．【点评】本题先根据这16个数的和的奇偶性，找出幻和，进而求解．19．在图的16个方格中，每行、每列、每条对角线上的4个数的和都相等，则△=10．【分析】先根据第三行的数求出幻和：6+15+11+18=50；然后根据幻和是50逐步推出△表示的数．【解答】解：幻和是：6+15+11+18=50；第二行第一个数是：50﹣（17+6+20）=7；第二行第二个数是：50﹣（17+11+8）=14；第四行第二个数是：50﹣（12+14+15）=9；第四行第三个数是：50﹣（20+9+8）=13；20+15比11+13多11，所以第一行第三个数比第一行第四个数要多11．所以第一行第四个数是：（50﹣17﹣12﹣11）÷2=5；△=50﹣（20+15+5）=10；这个幻方是：【点评】本题先求出幻和，然后根据幻和逐步推算出各个位置的数．20．传说夏禹时代，洛河中出现过一只神龟，背上有一张图，后人称它为“洛书”．“洛书”就是将1到9这九个数字填在如图1的9个方格中，使每行、每列和对角线上的数字和相等．如果将正中间的数5改为6，请在图2中填出一个使每行、每列的数字和都相等的情况．【分析】根据每一个空格的数被使用3次，所以最中间的数的3倍就是幻和；6是9个数的中间数，而幻和是18，由此求解．【解答】解：6是中间数，这9个数可以是：2，3，4，5，6，7，8，9，10；幻和是6×3=18；这个幻方可以是（答案不唯一）：【点评】本题根据中间数，先找出这样的9个数和幻和，再根据幻和进行求解．21．下面方格中每横行、每竖行、每条对角线上的三个数之和都相等，那么方格中的A、B、C、D、E各是12、15、20、16．【分析】先求出C，C与18的和是和它们都不相邻顶角数的2倍，18+C=19×2，所以C=20；此时九宫格中最小的数是10，最大的数是20；令B是10﹣﹣20最中间的数15，那么幻和就是15×3=45；然后根据幻和求出其它数．【解答】解：18+C=19×2，C=20；令B=15，幻和就是15×3=45；A=45﹣19﹣14=12；D=45﹣19﹣10=16；E=45﹣16﹣18=11；验证后这个幻方是正确的：所以A=12，B=15，C=20，D=16，E=11．故答案为：12，15，20，16，11．【点评】本题需要对三阶幻方的特点熟练掌握，找出幻和和中间数是解题的关键．22．在图的每个没有数的格内填入一个数使得每持、每列及每条对角线的三个数的和都等于66.66，那么有“？”的格内所填的数是21.13．【分析】使每行、每列及每条对角线的三个格中的数之和都等于66.66，用三个数的和除以3求出中间数；由此求出右下角的数；再根据右下角的数推算出左下角的数；进而推算出要求的数．【解答】解：最中间的数就是66.66÷3=22.22；右下角的数：66.66﹣8.42﹣22.22=36.02；左下角的数：66.66﹣36.02﹣7.33=23.31；右上角的数（？里面的数）：66.66﹣22.22﹣23.31=21.13；如图：故答案为：21.13．【点评】解决此题的关键确定中心数，利用幻和推出其它数；中间数=和÷3．23．图中，每一横行、每一竖列和两条对角线上的三个数之和均相等，则X=1．【分析】为了便于分析推导，先在方格内填入相应的字母来代替数，如下图所示，由于方格内已填好了两个数2和3，还有一个未知数x，根据“每一行、每一列以及两条对角线上的三个数的和都相等”可得等式：解得x的值即可．【解答】解：如上图，由题意得：由①+②可得：a+b+c+d+x+3=a+b+c+d+4，x+3=4，x=1；故答案为：1．【点评】解答此题要根据幻和相等来找等量关系，进而求得x的值．24．如图所示，在3×3的方格内已填好了两个数19和99，可以在其余空格中填上适当的数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数的和都相等．则x=179．【分析】为了便于分析推导，先在方格内填入相应的字母来代替数，如下图所示，由于方格内已填好了两个数19和99，还有一个未知数x，根据“每一行、每一列以及两条对角线上的三个数的和都相等”可得等式，解得x的值即可．【解答】解：如上图，由题意得：把①、②的两边分别相加得：a+b+c+d+x+19=a+b+c+d+99+99整理，得x=179；故答案为：179．【点评】解答此题要根据幻和相等来找等量关系，进而求得x的值．三．解答题（共26小题）25．在如图的3×3方格中分别填入1、2、3、4、5、6、7、8、9，使横、竖、对角线上的任意三个方格中的数字之和相等．【分析】因为1+2+…+9=45，45÷3=15，所以每行的3个数字之和为15；又因15÷3=5，所以方格的中间必须填5；其他8个数按1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10的要求填在相对的其他8个方格内；横、竖、对角线上的数按大数和小数互相搭配，再调整就可以了．【解答】解：根据分析，可得【点评】解答此题的关键是首先确定出每行的3个数字之和，以及方格中间应该填的数字．26．将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入．【分析】先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算．【解答】解：3+8+7=18；第二行中间的数是：18﹣8﹣4=6；第三行中间的数是：18﹣7﹣9=2；第一行第一个数是：18﹣4﹣9=5；第一行中间的数是：18﹣3﹣5=10；这个表格就是：【点评】本题关键是先根据给出的数字求出和，再根据这个和推算．27．将九宫图填完，使九宫图的每行，每列，对角线上三个数的和都相等．【分析】选择1～9这9个数字，先求出这9个数的和，用这个9个数的和除以3求出幻和，再用幻和除以3求出中间数；再根据幻和减去中间数，就是剩下两个数的和，根据幻和，调整这些数的位置，得出幻方．【解答】解：选择1～9这9个数字，幻和：（1+2+3+4+…+9）÷3=45÷3=15；中间数：15÷3=5；其它两个数的和是10，1+9=2+8=3+7=4+6；。

小学奥数练习卷（知识点：填符号组算式） 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分

一．选择题（共5小题） 1．“凑24点”游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24，每张牌必须用一次且只能用一次，并不能用几张牌组成一个多位数，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9﹣8）×8×3或（9﹣8÷8）×3等，在下面4个选项中，唯一无法凑出24点的是（ ） A．1、2、3、3 B．1、5、5、5 C．2、2、2、2 D．3、3、3、3 2．在5（ ）4（ ）6（ ）3的括号中．选用+、﹣、×、÷符号填入（每个符号只用一次），能得到的最大结果是（ ） A．17 B．19 C．23 D．26 3．在下面的每个方框中填入“+”或“﹣”，得到所有不同计算结果的总和是（ ） 25□9□7□5□3□1． A．540 B．600 C．630 D．650 4．将6、7、8、9填入右边算式的方格中：“□×□+□□”那么这个算式的结果最大为（ ） A．152 B．145 C．140 D．154 5．在10口 10口 10口 10口 10的四个口中填入“+”“﹣”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（ ） A．104 B．109 C．114 D．119 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分

二．填空题（共31小题） 6．“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=l，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算得出24，先找到算法者获胜．游戏规定4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3，4，Q，则可以由算法（2×Q）×（4﹣3）得到 24． 如果在一次游戏中恰好抽到了以下两组排，请分别写出你的算法： （1）5，5，9，9，你的算法是 （2）4，5，8，K，你的算法是 ． 7．24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，8，8这四个数组成一个算式，使结果等于24． ． 8．在下列方框内填入“+”或“﹣”，使得等式成立． 1□2□3□4□5□6□7=20． 9．24点游戏，用适当的运算符号（包括括号）把3，3，9，9这四个数组成一个算式，是结果等于24． ． 10．“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=l，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算得出24，最先找到算法者获胜．游戏规定4 张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3，4，Q，则可以由算法（2×Q）×（4﹣3）得到24，海亮在一次游戏中抽到了2，3，13，13，经过思考，他发现13×3﹣13﹣2，我们将满足a×b﹣c﹣d=24的牌组{a，b，c，d}称为“海亮牌组”，请再写出5组不同的“海亮牌组”． 11．24点游戏：用适当的运算符号（包括括号）把3，4，8，9这四个数组成一个算式，使结果等于24． ． 12．“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌 （不包括大小王）中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1，J=11，Q=12，K=13）通过加减乘除四则运算得出24，先找到算法者获胜，游戏规丁4张牌扑克都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3，4，Q，则可以由算法 （2×Q）×（4﹣3）得到24． 如果在一次游戏中恰好抽到了以下两组排，请分别写出你的算法： （1）2，2，9，10，你的算法是 （2）8，8，8，10，你的算法是 ． 13．在算式“2□3□7□5”的三个方框中分别填入“+”、“﹣”、“×”这三个运算符号各一次，使得填入符号之后的运算结果最大，这个最大的结果是 ． 14．根据算24点的游戏规则，选用加、减、乘、除四种运算（可加括号）使下列四个数计算的结果是24，每个数必须用一次且只能用一次．请在横线上写出正确的算式． （1）6，6，6，10 =24 （2）3，8，8，2 =24． 15．在下面算式的方框中填入适当的符号（只能填加、减、乘、除这四种符号），使得算式成立． （6□2）□（3□4）□（6□2）=25． 16．在算式1□2□3□6□12的□填入“+”或“﹣”号，共可得到 不同的自然数结果． 17．现有算式：甲数□乙数○1，其中□，○是符号+，﹣，×，÷中的某两个．李雷对四组甲数、乙数进行了计算，结果见表格，那么，A○B= ．