几何证明题和应用题的复习八年级上册湘教版

《三角形全等的判定》知识全解课标要求1.探索几何的基本图形——三角形，探索全等三角形的基本性质、三角形全等的判定条件和其相互关系，及角平分线性质，进一步丰富对空间图形的认识和感受.2.在探索全等三角形的性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情合理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了三角形的性质的基础上，探索全等三角形的判定条件和角平分线性质及其逆运用.知识结构内容解析在一个三角形的三条边，三个角中任取三个元素，可以有下列组合；SAS、SSA、ASA、AAS、SSS、AAA，但其中SSA和AAA不能判定三角形全等。

◆如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等。

（2）可以从已知条件出发，看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，可采用添加辅助线的方法，构造三角形全等。

重点难点本节的重点是：掌握三角形全等的判定定理，并灵活运用。

本节的难点是：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件，恰当的选择判定定理，正确地书写演绎推理过程。

教法导引1．注重培养探索归纳能力经历探究三角形全等条件的过程：由全等三角形的定义可以知道，由三条边对应相等、三个角对应相等能判定三角形全等，那么减少条件能否判定三角形全等呢？于是，依次探究：满足一个条件、两个条件、三个条件、……能否判定三角形全等．通过探究得到：满足一个条件、两个条件不能判定三角形全等；满足三个条件不一定能判定三角形全等，即“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”能判定三角形全等，“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等．将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，可以判定直角三角形全等；但对于满足斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，就无法运用三角形全等的判定方法来进行判断了，因此应探究“斜边、直角边”能否判定直角三角形全等．2．注重培养推理能力本章要求学生有理有据地推理论证，精炼准确地表达推理过程，这对于学生比较困难，因此我们在教学中应采取以下措施突破难点：（1）注意减缓坡度，循序渐进．精心选择全等三角形的证明问题，开始阶段的例题，证明方向明确、过程简单，容易规范书写格式，主要让学生体会证明思路及格式．然后逐步增加题目的复杂程度，每一步都为下一步做准备，下一步又要注意复习前一步训练过的内容．（2）在不同的阶段，安排不同的内容，突出一个重点．先安排证明两个三角形全等，进而安排通过证明三角形全等证明两条线段或两个角相等，重点使学生熟悉证明的步骤和方法．最后安排的问题涉及前面学过的内容，重点培养学生分析问题，选择推理途径的证明能力．（3）注重分析思路注重分析思路，让学生学会思考问题．（4）注重规范书写格式注重规范书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程．3．注重联系实际从实际例子引入全等形的概念，易于学生理解概念，易于调动学生学习的积极性．从分析平分角仪器的原理引入角平分线的画法，通过确定集贸市场位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生感受理论来源于实际的需要．运用全等三角形可以解决实际中许多测量边、角的问题．学法建议学生在初一学习过三角形的相关知识，会作一个三角形等于已知三角形，本节是使学生在原有知识的基础上探索怎样判定三角形全等的判定条件及恰当地选择判定定理来判别两个三角形全等,并能灵活运用全等三角形的判定方法解决线段或者角相等的问题。

八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。

（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。

3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。

（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。

（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。

（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。

（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。

4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。

（3）等腰三角形的判定：等角对等边。

（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。

（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。

5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。

（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。

（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。

湘教版初二几何知识点归纳总结初中阶段的几何学是数学学科的重要组成部分，对培养学生的空间想象力和逻辑思维能力有着重要的作用。

湘教版初二几何主要包括平面几何和立体几何两部分，下面将对几何学中的主要知识点进行归纳总结。

一、平面几何知识点1. 线段和角度- 线段：线段是指由两个端点确定的一条有限直线段。

线段的长度可以通过线段的两个端点的坐标计算得到。

- 角度：角度是由两条射线共同作用于一个点上得到的图形，用度数来表示。

常见的角度有直角（90度）、钝角（大于90度）、锐角（小于90度）等。

2. 三角形- 三角形的定义：三角形是由三条线段相交而成的封闭图形。

- 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、一般三角形等。

- 三角形的性质：三角形的内角和为180度，三角形的两边之和大于第三边。

3. 四边形- 四边形的定义：四边形是由四个线段相交而成的封闭图形。

- 四边形的分类：根据边长和角度的不同，四边形可以分为矩形、正方形、平行四边形、菱形等。

- 四边形的性质：矩形的四个角都是直角，正方形的四个角都是直角且四条边相等，平行四边形的对边平行且相等，菱形的对角线相等且互相垂直。

4. 圆和圆周率- 圆的定义：圆是平面上所有与一个定点的距离相等的点组成的图形。

- 圆的性质：圆的直径是两个相对的点在圆上的最长线段，圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离，圆上任意两点之间的线段叫做弦，弦在圆上的中点与圆心连线垂直。

圆周率π是一个无理数，近似取值为3.14。

二、立体几何知识点1. 空间几何- 空间几何的基本概念：点、线、面、体是空间几何的基本要素。

点是没有大小和形状的，只有位置；线由无限个点相连而成，没有宽度和高度；面由无限个线相交而成，有长和宽；体是由无限个面相连而成，有长、宽和高。

- 空间几何的分类：根据形状的不同，体可分为球体、柱体、锥体、棱柱和棱锥等。

2. 球体- 球体的定义：球体是由空间中一点到距离它恒定的一点的所有点为中心的一系列射线所围成的图形。

初中数学试卷考点一三角形的边和角【例1】下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）错.【方法归纳】在实际判断时，不需要去将三角形的任意两边都相加 边相加，判断其和是否大于最大边即可［例2］如图，在那BC 中,/A : /ABC : /ACB=3:4 : 5,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的高，BD,CE 相交于H,求/BHC 的【分析】 根据三角形的内角和定理 ，结合已知条件可先求出/ A,/ABC,/ACB,因为/ BHC 在ABHC 中,则需先求出/DBC 和/ECB 的值.期末复习（二）三角形A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.3,4,8【分析】本题考查了三角形的三边关系及不等式的相关知识.A中,1+2=3,错；B 中，2+2=4,错；C 正确;D 中，3+4<8, 然后判断其和是否大于第三边.只需选取较小的两【解答】依题意设/ A=(3x) °,/ABC=(4x) °,"CB=(5x) °,• .3x+4x+5x=180. .1.x=15.即/A=45 ，/ABC=60 ，/ACB=75•. BD,CE 分另1J是边AC,AB 上的高，，/BDC= /BEC=90 二・•.ZDBC=90 -75 =15，/ECB=90 -60 =30 °.在ABHC 中，/BHC=180 -15 -30 =135 °.【方法归纳】已知三角形三个内角的比例关系，可根据份数设未知数，再结合三角形内角和定理，可得到一个方程，解方程即可求得三角形三个内角的度数.1.如图，/1=100 ,72=145。

则/3=( )B.65C.75 °D.852.一个三角形的两边a=2,b=15,试确定第三边c的范围，当各边均为整数时，有几个三角形？有等腰三角形吗？等腰三角形的各边长各是多少考点二命题与证明【例3】用反证法证明命题"三角形中必有一个内角小于或等于60。

5．如图，在△ABC中，AB⊥BC，求作△ABD，使D点在 线段CB的延长线上，且△ABD≌△ABC. 解：作法如下． (1)延长CB； (2)以点B为圆心，以BC长为半径画 弧交CB的延长线于点D；
(3)连接AD，则△ABD即为所求作的三角形，如图所示．
6．利用尺规作三角形，有三种基本类型： (1)已知三角形的两边及其夹角，求作符合要求的三角形， 其作图依据是“___S_A_S___”； (2)已知三角形的两角及其夹边，求作符合要求的三角形， 其作图依据是“___A_S_A___”； (3)已知三角形的三边，求作符合要求的三角形，其作图 依据是“___S_S_S___”．
②若∠B＝60°，求证：BD＝12BC. 证明：如图②，连接 AC，
∵直线 CD 是 AB 的垂直平分线， ∴BD＝12AB，CA＝CB， 又∵∠B＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AB，∴BD＝12BC.
13．如图所示，已知线段a，b，∠α. (1)求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ABC＝∠α.
4．如图①所示，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC＝a， AC＝b，∠ACB＝∠α. 作法如下：
(1)作∠ECF＝___∠__α___； (2)在射线CE上截取线段CB＝____a____，在射线CF上截取线
段CA＝____b____； (3)连接AB，则△ABC即为所求作的三角形，如图②所示．
11．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，请你用尺规 作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个 三角形全等的理由．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，作出 BC 的垂直平分线，交 BC 于点 D，易知 点 A 在 BC 的垂直平分线上，图中△ABD≌△ACD. 理由：易知 BD＝CD. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 在△ABD 和△ACD 中，A∠BB＝＝A∠C，C，

湘教版八年级数学（上）第二章《三角形》复习卷知识点1、三角形1、如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）A.2；B.3；C.4；D.8；2、到三角形三条边的距离相等的点是这个三角形的（ ）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条边的垂直平分线的交点；D.三条角平分线的交点；3、不一定在三角形内部的线段是（ ）A.三角形的角平分线；B.三角形的中线；C.三角形的高；D.以上都不对；4、在△ABC 中，∠A=105°，∠B -∠C=15°，则∠C 的度数是（ ）A. 35°；B. 60°；C. 45°；D. 30°；5、已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于（ ）A. 40°；B. 60°；C. 80°；D. 90°；6、如图，△ABC 的外角是（ ）A. ∠1；B. ∠2；C. ∠3；D. ∠4； 7、如图，∠1=100°，∠C=70°， 则∠A 的大小是（ ） A. 10°； B. 20°； C. 30°； D. 80°； 8、小明有两根3cm ，7cm 的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根 cm 长的木棒。

知识点2、命题与证明9、下列命题是真命题的是（ ）A.同位角相等；B.过一点有且只有一条直线与这条直线平行；C.相等的角是对顶角；D.同旁内角互补，两直线平行；10、“等腰三角形的两底角相等。

”的逆命题是 。

11、把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式为 。

知识点3、等腰三角形 12、如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB=AD=DC ，∠B=80°，则∠C 度数为( )A. 30°；B. 40°；C. 45°；D. 60°； 13、如图，在△ABC 中，AB=AC ， 且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ， 则∠B 度数为（ ）A. 30°；B. 36°；C. 40°；D. 45°； 14、在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ， 则AB 边的取值范围是（ ）A. 1cm<AB<4cm ；B. 5cm<AB<10cm ；C. 4cm<AB<8cm ；D. 4cm<AB<10cm ；A B C 1 2 3 4 第6题 A B C 1 第7题A B C D 第12题A B D C 第13题15、一个等腰三角形的两边长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（ ）A.13；B.17；C.22；D.17或22；16、已知一个等腰三角形的两内角的度数比是1:4，则这个等腰三角形的顶角度数为 。

湘教版数学八年级上册期末复习题（一）一．精心选一选（本题共10小题，每题3分，共30分．请把你认为正确结论的代号填入下面表格中）1．16的算术平方根是 （★）A ． 2B ． ±2C ．4D ． ±4 2．在实数23-，0，34，π（★） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个3．下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（★）4. 如图，△ABC 与△A ′B ′C ′关于直线l 对称，则∠B 的度数为 （★）A ．30oB ．50oC ．90oD ．100o5．如果实数y 、x 满足y=111+-+-x x ，那么3y x +的值是（★）A ．0B ．1C ．2D ．-26．与三角形三个顶点的距离相等的点是 （★） A ．三条角平分线的交点 B ．三边中线的交点 C ．三边上高所在直线的交点 D ．三边的垂直平分线的交点7．如图，已知∠1=∠2，AC=AD ，增加下列条件：①AB=AE ； ②BC=ED ；③∠C=∠D ；④∠B=∠E ．其中能使 △AB C ≌△AED 的条件有 （★）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A 处，则点A 表示的数是（★）B ACB ′（第4题）lＣ．A ．211 B ．1.4 C ．3 D ．29.如图点A 和B 关于X 轴对称，已知点A 坐标是（4，4）， 则点B 的坐标是 （★） A ．（4，－4） B ．（4，－2） C ．（－2，4） D ．（－4，2）10．一个正方体的体积是99，估计它的棱长的大小在 （★）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果） 11．计算︱2-3︱+２2的结果是 ．12．若25x 2=36，则x ＝ ；若23-=y ，则y ＝ ．13．点P 关于x 轴对称的点是（3，–4），则点P 关于y 轴对称的点的坐标是 ． 14．如图，BAC ABD ∠=∠，请你添加一个条件：，使OC OD =（只添一个即可）． 15．等腰三角形的一个外角等于110︒，则这个三角形的顶角应该为 ．16．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…… 如此继续下去，结果如下表：n ＝ （用含三．计算题（计算要认真仔细，善于思考！本大题有3个小题，共24分）17．（8分）计算 ()32281442⨯+--）（18．（8分）如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简222)(b a b a -+-第16题DO CBA第14题图19．（8分）如图， AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm ，求四边形ABCD 的周长．四．解答题（本大题有3个小题，共26分）20．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案。

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B
3．已知：如图所示，△ABC 中，D 为 BC 上一点，AB=AC， ED=DF，求
证：BE=CF.
A
D
E
C
A
1．如图, 已知: B 是线段 AD 上的一点, △ ABC、△ BDE 均为等边三角形. AE 交 BC
于 P,CD 交 BE 于 Q.
E
求证:1)△ ABE≌△CBD. 2)△ BDQ≌△BEP. 3)PQ∥AD.
XJ 湘教版 初二八年级数学 上册第一学期 同步课堂补习练习题作业 第二章 三角形
2.2 命题与证明
第 3 课时 命题的证明
1．如图所示，已知：CD⊥AB 于 D，且 AC2=AD·AB. 求证：△ABC 为直角三角形． 分析：可通过勾股定理和勾股定理的逆定理解决．
2． 已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°,DE 垂直平分 AB 于 D,交 AC 于 E,求证：DE=CE.
B
EC
D
C
F
P
图，在△ ABC 中，∠A=2∠B，CD 是∠ACB 的平分线．求 证：BC=AC+AD．
A D
B
C
3．已知：如图，在四边形 ABCD 中,BD 平分∠ABC, ∠A+∠C=180°,BC>BA.
求证：点 D 在线段 AC 的垂直平分线上．
A
B 第1页共2页
D C
XJ 湘教版 初二八年级数学 上册第一学期 同步课堂补习练习题作业 第二章 三角形

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1分式1.2分式的乘法和除法1.3整数指数幕1.4分式的加法和减法1.5可化为一元一次方程的分式方程J本章复习与测试第2章三角形2.1三角形2.2命题与证明2.3等腰三角形2.4线段的垂直平分线2.3全等三角形2.6用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1平方根3.2立方根3.3实数第4章一元一次不等式（组）4.1不等式4.2不等式的基本性质4.3一元一次不等式的解法4.4一元一次不等式的应用4.5—元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式3.1二次根式3.2二次根式的乘法和除法3.3二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P IT回顾相关知识:—分式的走义4—分式的概念一—分式的性质2分式_—分式的运算一—分式方程a一分式无意义+j—分式的值为零4—乘’除运算a—整数指数幕的运算A—加、减运算厂二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1：分式的定义：f 一个空成/除以一个 ______________ （___________ ）,所得的商®叫做分乙1S例1、下列式子竿竽,±⅛叵中,是分式的是__________________ 。

“2x 5 K X姑点2汾式无意义:*jf⅛5>X-屮，当g ______ 时.分Λt⅛⅛: g_______ 时.÷1S例2、令二_____ 亦分式上没有意凫争__________ 陥分式厶有意矢2兀+1 工+1姑点3汾式的值为象亠f⅛5>X-屮，⅛/ ________ JLg ______ 叭分貞的½⅛0BSIY-I例氐若分式J的動岔则询勵_____________ O ÷'A-+1知识点二：分式的性质★考点4：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 _________ ,所得分式与原分式相等。

即 ___________ （其中A ≠ O）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

三角形知识点一、三角形及其有关概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：三角形用符号“△"表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2)三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系.4、三角形的内角的关系:（1）三角形三个内角和等于180°。

（2)直角三角形的两个锐角互余.5、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.6、三角形的分类：(1)三角形按边分类:不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形（2)三角形按角分类:直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）还有一种特殊的三角形：等腰直角三角形.它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：（1）三角形的角平分线：定义:在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质:三角形的三条角平分线交于一点。

交点在三角形的内部。

（2)三角形的中线:定义：在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点,交点在三角形的内部.（3)三角形的高线：定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；8、三角形的面积:1×底×高三角形的面积=2二、全等图形：定义:能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

湘教版数学八年级上《第2章三角形》单元复习与小结湘教版数学八年级上册单元复与小结第二章：三角形一、知识构建二、知识点拨考点1：三角形三边的关系三角形的任意两边之和大于第三边。

例1：已知一个三角形的两边长分别是1和5，则第三边C的取值范围是（）A．1<C<5B．4≤C≤6C．4<C<6D．1<C<6考点2：三角形的高、角平分线和中线①三角形的高是从三角形的一个顶点到所对的边的垂线段。

②三角形的角平分线是从一个角的顶点到所对边上的一点，且把这个角分成两个相等的角。

③三角形的中线是从一个顶点到所对边的中点的线段。

例2：能把一个三角形分成两个面积相等的小三角形的是（）A.中线B.高C.角平分线D.以上都不是考点3：三角形的内角和三角形的内角和等于180°。

例3、已知△ABC中，∠A=20°，∠B－∠C=40°，则∠B=120°。

考点4：三角形按角分类三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

例4：满足下列条件的△ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？1)∠A=20°,∠B =65°，则△ABC是钝角三角形；2)∠A=90°，则△ABC是直角三角形；3)∠A:∠B:∠C=2:3:4，则△ABC是钝角三角形。

考点5：三角形的外角①定义：三角形的一边与另一边的所组成的角叫做三角形的外角；②性质：三角形的一个外角等于其它两个内角的和。

例5：在△ABC中，∠A的外角是80°，则∠B+∠C=100°。

考点6：命题与逆命题①一般地，对某一件事情做出的语句（陈述句）叫做命题，命题常写成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论；②对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做逆命题。

总结：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
方法总结
判断一个定理是否有逆定理，应写出这个定 理的逆命题，再分析是否为真命题，若是真命题， 则它就是原定理的逆定理；若逆命题是假命题， 则原定理没有逆定理．
1. 下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？ 请说说你的理由. (1) 绝对值最小的数是 0； 真命题 (2) 相等的角是同位角； 假命题
有一位田径教练向领导汇报训练成绩： 好！继续努力，
小明的百米
争取超过10秒.
成绩有进步，
已达到9秒9.
相传，阎锡山在观看士兵篮球赛时， 双方争抢非常激烈，于是命令：
不要再抢啦！ 每人发一个球！
定义 对一个概念的含义加以描述说明或作出明确 规定的语句叫作这个概念的定义.
例如：“把数与表示数的字母用运算符号连 接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.
形的任何一个内角.
定义与 命题
定义 命题
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
相关概念：互逆命题、原命题、 逆命题
湘教版数学八年级上册
第2章 三角形
2.2 命题与证明
第2课时 真命题、假命题与定理
问题1 下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）如果两个角相等，那么它们是对顶角； （2）如果 a＞b，b＞c，那么 a = c； （3）正方形的四条边都相等.
典例精析 例1 举反例说明下列命题是假命题. （1）若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； （2）若 ab = 0，则 a + b = 0. 解：（1）如：两条平行线被第三条直线所截得的一组 内错角，它们不是对顶角，但这两个角相等.
（2）如：当 a = 5，b = 0 时，ab = 0，但 a +b ≠ 0.

解得
x=-36.
检验：把x=-36代入原方程，得左边= 1 =右边，因此 8
x=-36是原方程的解.
11.某学校后勤人员到文具店给八年级学生购买考试用文 具包，该文具店规定一次购买400个以上，可享受八折 优惠.若给每人购买一个，不能享受八折优惠，需付款 1936元；若再多买88个就可享受八折优惠，并且同样只 需付款1936元.求该校八年级学生的总人数.
的等式成立？
1 a
1 b
2
4 ab
.
你能讲出道理吗？
解：当正数a=b时，等式成立.
证明：等式左边=
1 a
1 b
2
a b2 ab 2
；等式右边
4 ab
.
当等式左边
=
等式右边时，则有 a b2 ab 2
4 ab
.
即a b2 =4ab, 整理得，a b2 =0.故，当a=b时，
a
x 1
x 12
1 x 1
x2 2x 1
x 12 x 1
x2 2x 1
x 12 x 1
x
4x
12
x
1
.
4
y
3 2
1
2 y1
1. y1
解： 4
3 y2 1
2 y1
1 y1
y
3
1
y
1
y
2y2
1 y
1
y
y
1
1 y
1
32y2 y
y 1 y 1
1
y
43y
1 y
1
.
7.解下列方程：1 2x 1 1;
解：设该校八年级学生的总人数为 x .

湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复习与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：回顾相关知识：认真阅读教材P1－40二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1:分式的定义：知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。

即（其中）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。

即（其中）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

即。

★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。

约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。

（2）最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。

知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母，把分子。

即。

②异分母分式相加减，要先，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。

即。

①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。

③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。

例7、计算的结果是。

★考点7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。

湘教版版八年级上册数学知识点总结一、代数与函数- 有理数的概念和运算法则- 负数的概念及运算法则- 基本代数式的化简与展开- 字母的正负（代数式的符号问题）- 一元一次方程的解法和应用- 一元一次方程组的解法和应用- 函数的概念和函数图象- 函数的表示方法和性质- 解直角三角形的问题二、几何- 平面与空间中的点、线、面、立体名词和相关概念- 平行线与平行四边形的性质- 同位角、内错角、同旁内角、同旁外角、对顶角、同位线- 相交线与平行线的性质- 三角形内角和外角的关系- 三角形的中线、角平分线、垂线、高线- 三角形的相似性质及判定- 三角形的全等性质及判定- 三角形的角平分线和垂线的性质三、数与式- 整数除法算法与综合应用- 近似数和有效数字的概念- 分数、比例与百分数的运算- 简单利率和复利的计算- 比例中的几何例题解答四、统计与概率- 统计中的调查报表、频数直方图与数值统计- 统计调查报表中的直方图的制作- 众数、中位数、平均数- 简单的样本容量（轮盘、掷骰子）- 简单事件和复合事件的概念- 概率的定义和计算五、空间与图形- 平面中的平行四边形、长方形、正方形- 空间中的长方体和正方体的表面积和体积- 平面中的圆的概念和性质- 平面中的弧长和扇形面积计算- 空间中的球的表面积和体积- 空间中的圆柱的表面积和体积六、代数与函数拓展- 有理数的开平方- 二次方程的概念和求解- 算式的解决问题方法- 函数图象与线性函数以上是湘教版版八年级上册数学的知识点总结。

期末复习：三角形一、选择题1.在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．1，2，4B ．1，4，9C ．3，4，5D ．4，5，9 2．已知在△ABC 中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 3.已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A ．16B ．17C ．16或 17D ．10或12▓已知等腰三角形中的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为A 、13B 、17C 、22D 、17或22 4.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A.锐角三角形B.角三角形C.直角三角形D.不能确定 5.把一个三角形的面积分为相等的两部分的一定是三角形的 A ．角平分线 B ．中线 C ．高 D ．垂直平分线 6.三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3个D ．不确定 7.适合条件12A B C ∠=∠=∠的△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．任意三角形 8.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°， 若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( ) A. 90° B. 135° C. 270° D. 315° 9.给出下列命题：⑴三角形的一个外角小于它的一个内角．⑵若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形 ⑶三角形的最小内角不能大于60°⑷三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 其中真命题的个数是 ( )A ．1个．B ．2个．C ．3个．D ．4个． 10.到△ABC 的三个顶点距离相等的点是 ( )A 、三条中线的交点B 、三条角平分线的交点C 、三条高线的交点D 、三条边的垂直平分线的交点 11.如图，△ACB ≌△A ’CB ’，∠BCB ’=30°， 则∠ACA ’的度数为 A ．20° B ．30° C ．35° D ．40°12, 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．做法中用到三角形全等的判定方法是 （ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 13.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线 交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为(第12题图)B 'A 'C B AA ．6B ．7C ．8D ．9 14.下列命题是真命题的是（ ）A.两腰对应相等的两个等腰三角形全等B.面积相等的两个等腰三角形全等C.能够完全重合的两个三角形全等D.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 (第15题图) 15.如图，在△AB C 与△DEF 中，已有条件AB=DE ， 还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能．．添加的一组条件是A ．∠B=∠E ，BC=EFB ．BC=EF ，AC=DFC ．∠A =∠D ，∠B =∠E D ．∠A=∠D ，BC=EF ▓如图，在下列条件中，不能．．证明 △ABD ≌△ACD 的条件是…（ ）. A ．∠B=∠C ，BD=DC B ．∠ADB =∠ADC ，BD =DCC ．∠B =∠C ，∠BAD =∠CAD D ．BD =DC ，AB =AC16.如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，如果60BAF ∠=，那么DAE ∠等于 （ ） A.60 B.45 C.30 D.1517.如图所示，△ABC 中，AC=AD=BD ，80DAC ∠=，则B ∠的度数是（ ） A.40 B. 35 C.25 D.2018.如图：∠C =90°，DE ⊥AB ，垂足为D ，BC=BD ，若AC =3，则AE+DE =________(第16题图) (第17题图) (第18题图) (第19题图)19.如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，BF=CD ，BD=CE ，∠FDE =α ，则∠B 与α的大小关系是________________（填“大于”、“等于”或“小于”） 二、填空题1.已知一个三角形的三条边长为2、7、x ，则x 的取值范围是________ ▓三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是________．2.等腰三角形一边的长是4，另一边的长是8，则它的周长是________3.在△ABC 中，与∠B 相邻的外角等于140°，则∠A +∠C ＝______ 4．若△ABC 的∠A ＝60°，且∠B :∠C ＝2:1，那么∠B 的度数为 5.写出“两直线平行，内错角相等.”的逆命题 . 6.一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是_________ ▓一副三角板如图所示叠放在一起，则图中的度数是_________7.如图，在△ABC 中，两条角平分线BD 和CE 相交于点O ， 若（第17题）E D C BA (第18题）αFEDC BA∠BOC=116°，那么∠A 的度数是_______(第6题图) (第▓题图) (第7题图) (第8题图) 8.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°,ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ,交BC 于点E .已知∠BAE =16°,则∠C 的度数为 ． 9.如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 交EF 于F ，若BF=AC ，则∠ABC 等于_________ .10.如图，点B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1＝∠2，BC ＝FE ，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，这个条件可以是__________(只需写出一个)．11.如图所示，∠B =∠D =90°，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是________(填上一个条件即可) 12．如图，将等边△ABC 剪去一个角后，∠BDE ＋∠CED =_________．(第9题图) (第10题图) (第11题图) (第12题图)13. 如图，△ABC 为等边三角形，BD ⊥AB ，BD=AB ，则∠DCB = ． 14．如图，已知AB ∥CF ，E 为DF 的中点，若AB =9 cm ，CF =5 cm ，则BD = cm ．15．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是 ．16.如图所示，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________．(第13题图) (第14题图) (第15题图) (第16题图) 三、解答题1、如图，AF ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，BE 是△ABC 的角平分线，AD 、BE 交于点O ，且∠ABC =36°， ∠C =76°，求∠DAF 和∠DOE 的度数.E B C D A O E D C B A αα第14题） A B C DE DC B A E ADC BF B C DA ED C B A2、已知：在Rt △ABC 中，∠C =90°，E 为AB 的中点，且DE ⊥AB 于E ，若∠CAD ：∠DAB =1﹕2，求∠B 的度数．3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：△ABD 是等腰三角形； （2）若∠A =40°，求∠DBC 的度数（3）若AE =6，△CBD 的周长为20，求△ABC 的周长。

湘教版（2012）初中数学八年级上册2 .2 命题与证明（练习） 课件
中考
试题
1、已知下列语句， ①平角都相等；②两点之间，线段最
短；③画两条平行线；④今天你们做完计算题了吗 ？是
命题的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、下列四个命题中是真命题的有（ ）.
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形两
锐角互余；④三个内角相等的三角形是等边三角形.
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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证明
几何命题证明需要哪几个步骤？
（1）根据题意，画出图形。
（2）结合图形，写出已知求证。
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命题与证明（练习）
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下面语句是命题吗？ 1、两点确定一条直线. 2、延长线段AB到C，使BC=AB. 3、同位角相等. 4、这两条直线平行吗？
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