初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第18章整数几何试题新人教版

人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值.AD⌒ PA PC PBP ABCD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （）A.到CD 的距离保持不变B.位置不变C.等分D.随C 点的移动而移动DB⌒A【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB⌒ 的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.BOACE HG D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.（1）求点C的坐标；（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC；OF（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时，的比值是否PF发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】如图，已知等边△ABC内接于半径为1的圆O，P是⊙O上的任意一点.求证：PA2+PB2+PC2为定值.A【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则xy 3=_______.=+21S SABCDEF（第1题图）（第3题图）（第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作⊥AB ，，且A A 'AB B B ⊥'=AP ，=BP .连接，当点P 从点A 移动到点B 时，的中点的位置（ ）A A 'B B 'B A ''B A ''A ．在平分AB 的某直线上移动B.在垂直AB 的某直线上移动C.在弧AMB 上移动D.保持固定不移动AB'（第5题图） （第6题图）6.如图，A ，B 是函数图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构xky成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ）A.3B.6C.9D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，PA ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.①①①①①①(B )B（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线上时停止旋转.旋转过程x y =中，AB 边交直线于点M ，BC 边交x 轴于点N .x y =（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图） （第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证：（1）是定值；2222DK CK BK AK +++（2）是定值.2222DA CD BC AB +++11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：的值为定值.DPCP BPAP ++1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分xy 16=别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.3.如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使点A，B落在六边形ABCDEF的内部，记∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝α，则下列结论一定正确的是（）A. ∠1＋∠2＝900°－2αB. ∠1＋∠2＝1080°－2α1C. ∠1＋∠2＝720°－αD. ∠1＋∠2＝360°－α2（第3题图）（第4题图）4.如图，正△ABO的高等于⊙O的半径，⊙O在AB上滚动，切点为T，⊙O交AO，BO于M，N，则弧MTN（）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB是⊙O的直径，且AB=10，弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与AB相交，记点A，B到MN的距离分别为h1，h2，则∣h1-h2∣等于（）A.5B.6C.7D.8（第5题图）（第6题图）6.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A，C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B，D.（1）求点A的坐标（用m表示）（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F.试证明：FC（AC+EC）为定值.7.如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A，B的点M.设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点10941812--=x x y 为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）.（1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程；（3）当时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；290<<t（4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.（第9题图）（第10题图）10.已知抛物线C 1：，点F （1,1）.12121+-=x x y （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：.211=+BFAF （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点Q （x Q ，y Q ），试判断是否成立？请说明理由.211=+QFPF11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.参考答案例1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为的中点． P A P C C E P C P E P B P B P B++=== A P B 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝∠SOT 为定角． 例124 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝DE ＝×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 1313于N ，则CN ＝DN ＝ x ， ， .∴，而ON ＝CH ，∴12229C E x =-2214D N x =22394O N x =-32．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－x 2)＝x 2＋12－x 2为定值．例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得22143C H x =-13AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得，O G ＝，，又OG AO MN AN =3238OG OM OC OB ==∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求163的值．当F 与点A 重合时，；当点F 与点B 重合时，OF PF2316523OF AO PF AP ===-；当点F 不与点A ，B 重合时，连接8316583OF OB PF PB ===+OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即，又FM MP OM FM =∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，，故的比值不35OF MO PF MF ==OF PF 变，比值为．例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得35BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×＝6．故PA 2＋PB2＋PC 221．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4． 2．提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高．3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B ＝6． 7．⑴略 ⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径A A x y k = k =CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值．结论：过不22OP r -在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值．8．⑴ ⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△2πOCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝，又()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值．11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP ，DP •a ＝BP •a ＋AP ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a )，从而为定值．1AP BP CP DP+=-+1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝141122BC AD BC HD ⎛⎫⎛⋅⋅⋅ ⎪ ⎝⎭⎝＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为16x1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴．∴E G ＝2OD ＝6，∴＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) 12OD FO GE FG ==12h h AF BE -=-⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN ＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴，即，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴，即QM PM EC PC =()2112x x EC --=QN BN FC BC=，得FC ＝．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ＝8为定值． ()24134x x FC ---=41x +()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关．8．提示：S △ABC •S △HBC ＝BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △116HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－) ⑵若四边形PQCA 为平行四边989形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝． ⑶设185点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故．同理QC ∥AF ，故，即，144QD QC t DP OP t ===14QC CE AF EA ==14t AF =∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝•PF •d ＝×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，1212F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2．∴t ＝ 2． ②若24425=QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足．③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭当t ＝ 2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 12于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易12证△PMF ∽△QNF ，则，∴，即，∴＝2． 11．先PM QN PF QF =11Q P y y PF QF --=11PF QF PF QF --=11PF QF+从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过12C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝(EM ＋G N )＝ (AH ＋BH )＝1212AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．12。

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。

（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别 是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。

中学平面几何竞赛练习题及答案1．两线平行与垂直的证明（1）利用两线平行与垂直的判定定理。

（2）利用平行四边形的性质可证明平行；利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

（3）利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

2．线段或角的和差倍分的证明（1）转化为相等问题。

如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

（2）直接用已知的定理。

例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半；△的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

3．线段或角相等的证明（1）利用全等△或相似多边形；（2）利用等腰△；（3）利用平行四边形；（4）利用等量代换；（5）利用平行线的性质或利用比例关系（6）利用圆中的等量关系等。

【竞赛例题剖析】【例1】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC 平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则只需证DD‘=PM。

连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。

过O作m⊥PK，则DD’,K P，∴∠D‘PK=∠DKPBL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。

而D’ D∥PM，∴DMPD‘为平行四边形。

【例2】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。

倍长中线：延长AM至M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

PQ∥AB←←←←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。

初中几何竞赛试题及答案1. 题目：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，且BD=DC。

求证：AD是角BAC的平分线。

答案：由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，我们知道角B等于角C。

又因为BD=DC，所以三角形ABD和三角形ACD是全等的。

根据全等三角形对应角相等的性质，我们可以得出角BAD等于角CAD。

因此，AD是角BAC的平分线。

2. 题目：在一个矩形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2EB。

如果三角形BCE的面积是6平方厘米，求矩形ABCD的面积。

答案：设矩形ABCD的长为a，宽为b。

则三角形BCE的底边BC等于b，高EC等于2/3a。

根据三角形面积公式，三角形BCE的面积为1/2 *BC * EC = 1/2 * b * (2/3)a = 6。

解得ab = 18。

因此，矩形ABCD的面积为ab = 18平方厘米。

3. 题目：如果一个圆的半径增加20%，那么它的面积增加了多少百分比？答案：设原圆的半径为r，那么增加后的半径为1.2r。

原圆的面积为πr^2，增加后的面积为π(1.2r)^2 = 1.44πr^2。

面积增加的百分比为(1.44πr^2 - πr^2) / πr^2 * 100% = 44%。

因此，圆的面积增加了44%。

4. 题目：在直角三角形ABC中，角C为直角。

如果角A的正切值是3/4，求角B的正切值。

答案：在直角三角形ABC中，角A和角B互为余角，即角A + 角B = 90度。

根据正切的定义，tan(A) = 对边/邻边 = 3/4。

由于tan(90度- B) = cot(B) = 1/tan(B)，我们可以得出tan(B) = 4/3。

因此，角B的正切值为4/3。

5. 题目：一个正五边形的内角和是多少度？答案：正五边形有5个内角，每个内角的度数可以通过公式(n-2) * 180度/n计算，其中n为边数。

将5代入公式，我们得到(5-2) * 180度/5 = 540度/5 = 108度。

第十八讲平移、对称、旋转趣题引路】如图18-1，已知△ABC内有一点M，沿着平行于边BC的直线运动到CA边上时，再沿着平行于AB的直线运动到BC边时，又沿着平行于AC直线运动到AB边时，再重复上述运动，试证：点M最后必能再经过原来的出发点证明设点M运动过程中依次与三角形的边相遇于点A1，B1，B2，C2，C3，A3，A4，B5，….易知△AC2B₂≌△A1CB1≌△A3C3B.按点M平移的路线，△A C2B2可由△A1CB1平移得到；△A3C3B可由△AC2B2平移得到；△A1CB1可由△A3C3B平移得到，此时，A3应平移至A4，所以A4与A1重合.而这时的平移方向恰与点M开始平移时的方向一致，因此从A3平移到A1的过程中必经过点M，这表明在第七步时，点M又回到了原来的出发点.图18-1知识拓展】1.平移、对称和旋转是解决平面几何问题常用的三种图形变换方法，它们零散地分布在初中几何教材之中.例如，平行四边形的对边可以看成是平行移动而形成，这里的平行移动，就是平移变换.2.一般地，把图形F上的所有点都按照一定的方向移动一定距离形成图形F'.则由F到F'的变换叫做平移变换，简称平移.由此可知，线段平移可以保持长短、方向不变，角、三角形等图形平移保持大小不变.将平面图形F变到关于直线l成轴对称的图形F'，这样的几何变换简称为对称，它可使线段、角大小不变.3.将平面图形F绕着平面内的一个定点O旋转一个定角a到图形F'，由F到F'的变换简称为旋转.旋转变换下两点之间的距离不变，两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角.4.运用平移、对称或旋转变换，能够集中图形中的已知条件，沟通各条件间的联系.例1 已知：如图18-2，△ABC中，AD平分∠CAB，交BC于D，过BC中点E作AD的平行线交AB于F，交CA的延长线于C.求证：2ACAB=CG=BF.图18-2解析直接证三角形全等或者用角平分线定理显然不能解决问题.注意到要证式的形式，条件中又有角平分线和中点，如果能切分BF、CG，使分出的两部分一部分是AB的一半，余下的是AC的一半，问题就解决了.由中点，我们不难想到中位线，两条有推论效力的辅助线（EH和EI）就产生了，H、I切分了BF、CG，由平行线性质∠1=∠2=∠3=∠4=∠6，再由中位线定理，等腰三角形的判定定理，切分后的结论不难证明.略证过E作AC、AB的平行线交AB、AC于H、I，由平行线性质及已知条件得，∠1=∠2=∠3=∠4=∠6， ∴EI =GI ，EH =FH .∵E 为BC 中点，EH ∥AC ，EI ∥AB ， ∴EI =2AB =BH ，EH =2AC=CI ， ∴EI =GI =2AB=BH ， FH =EH =2AC=CI . 由于BF =BH +FH ， CG =GI +CI ， ∴2ACAB =BF =CG .例2 如图18-3，E 是正方形ABCD 的BC 边上的一点，F 是∠DAE 的平分线与CD 的交点，求证：AE =FD +BE .图18-3解析 表面上看所要证等式的各边分布在正方形不同的边上，欲证它们之间的关系，似乎不可能.但我们可以将某一条边作适当的延伸，使等量关系转移（比如证某两个三角形全等，中位线的关系等）.此题中可将FD 延长至G ，使得DG =BE ，于是易证△AGD ≌△AEB ，则将AE 与AG ，BE 与GD 联系了起来，转而只需证明AG =GF ，即只要证明△AGF 为等腰三角形即可，由∠1=∠2，∠3=∠4及AB ∥CD 即证得.略证 延长FD 至G 使DG =BE ， ∵△ADG ≌△ABE ，∴AG =AE ，GD =BE ，∠1=∠2. 又∵ ∠3=∠4， ∴∠1+∠4=∠2+∠3. 由于DC ∥AB ，∴∠DFA =∠2+∠3， ∴∠1+∠4=∠DFA ， ∴GF =AG .即GD +DF =BE +FD =AE .例3 已知∠MON =40°，P 为∠MON 内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上的点，则△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.图18-4解析 如图18-4，若在OM 上A 点固定，不难在ON 上找出点B （B 为P 关于ON 的对称点P ''与A 点的连线与ON 的交点），同样若在ON 上B 点已固定，则点P 关于OM 的对称点P'与B 点的连线与OM 交于A ，因此A 、B 应为P'P ''与0M 、ON 的交点，这时可求得∠A .解 作P'为P 关于OM 的对称点，P ''为P 关于ON 的对称点，连接P'P ''分别交OM 、ON 于A 、B 两点，则△PAB 周长为最小，这时△ABP 的周长等于P'P ''的长（连接两点间距离最短）.∵OM P P ⊥',ON P P ⊥''垂足分别为C 、D , ∴∠OCP =∠ODP =90°. ∵∠M O N=40°，∴∠CPD =180°-40°=140°.∴∠PP'P ''=∠P P ''P'=180°-140°=40°.由对称性可知：∠PAB =2∠P'，∠PBA =2∠P ''， ∴∠APB =180°-（∠PAB -∠PBA ）=180°-（2∠P'-2∠P ''）=100°.例4 如图18-5，在ABC 中，BC =h ，AB +AC =l ，由B ,C 向∠BAC 外角平分线作垂线，垂足为D 、E , 求证：BD ·CE =定值.图18-5解析 BC =h 是定值，AB +AC =l 是定值，要证BD ·CE 是定值，设法使BD ·CE 用h ,l 的代数式来表示，充分利用DE 是BAC 的外角平分线，构造对称图形，再利用勾股定理。

初一几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 任意三角形B. 任意四边形C. 任意五边形D. 等腰三角形答案：D2. 一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 20πC. 25πD. 30π答案：C3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，腰长为8厘米，那么它的高是多少厘米？A. 4.8B. 6C. 7.2D. 8答案：A4. 下列哪个选项是正确的？A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等B. 两条平行线被第三条直线所截，同位角互补C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 两条平行线被第三条直线所截，内错角互补答案：C5. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，那么它的斜边长是多少厘米？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是______。

答案：60°7. 一个正方形的边长为a，那么它的周长是______。

答案：4a8. 一个等边三角形的边长为b，那么它的高是______。

答案：(b√3)/29. 一个圆的直径为d，那么它的面积是______。

答案：π(d²)/410. 如果一个角的余角是30°，那么这个角的度数是______。

答案：60°三、解答题（每题10分，共70分）11. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求这个三角形的面积。

答案：根据直角三角形面积公式，面积 = (底 ×高) / 2 = (6 × 8)/ 2 = 24平方厘米。

12. 已知一个等腰三角形的底边长为10厘米，腰长为13厘米，求这个三角形的周长。

答案：周长 = 底边长 + 2 ×腰长 = 10 + 2 × 13 = 10 + 26 = 36厘米。

一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，正数是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 02. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -1/2B. -√2C. √2D. 03. 若a=3，b=-3，则a-b的值为（）A. 0B. 6C. -6D. -94. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，则第10项an的值为（）A. 19B. 23C. 27D. 315. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-1，-4），则线段AB的中点坐标是（）A. （1，-1）B. （3，2）C. （1，2）D. （2，3）6. 若x^2+4x+4=0，则x的值为（）A. -2B. 2C. -4D. 47. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°8. 若a+b=5，ab=4，则a^2+b^2的值为（）A. 21B. 25C. 29D. 339. 已知一元二次方程x^2-3x+2=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°二、填空题（每题5分，共25分）11. 若a=√2，b=√3，则a^2+b^2的值为______。

12. 已知等差数列{an}的前三项分别为2，5，8，则第10项an的值为______。

13. 在直角坐标系中，点P（3，4），点Q（-2，-1），则线段PQ的长度为______。

14. 若x^2-6x+9=0，则x的值为______。

15. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，则∠C的度数是______。

三、解答题（每题10分，共20分）16. （10分）已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，求该数列的通项公式。

九年级数学竞赛第十八讲平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．例1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．例2 如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．例3 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB 渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．例4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD ⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S△ABC≥S△AKL．例5 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．例6 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C 到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A 的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．例7 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD 面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为练习十八1．设M为圆O外一定点，P为圆O上一动点．试求MP的最大值和最小值．2．设AB是圆O的动切线，直线OA，OB保持互相垂直．如果圆O的半径为r，试求OA+OB的最小值．3．一直角三角形的周长为10厘米(cm)，则其面积的最大值是多少厘米？4．已知l1∥l2，A，B是直线l1上的两个定点，且AB=10，l1，l2的距离为8，P为直线l2上的一个动点，试求△ABP周长的最小值．5．如果矩形ABCD的周长为40厘米，那么这个矩形面积的最大值是多少平方厘米？。

人教版初一下数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果a和b是两个连续的整数，且a > b，那么a-b的值是：A. 1B. 0C. -1D. 23. 一个数的平方根是它本身，这个数可以是：A. 1B. -1C. 0D. 44. 一个数的立方等于它本身，这个数有：A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5. 一个圆的半径是r，它的面积是：A. πr²B. 2πrC. πrD. r²6. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，它的体积是：A. abcB. 2abcC. a+b+cD. a²b²c²7. 一个等差数列的首项是a，公差是d，第n项是：A. a+(n-1)dB. a+ndC. a-dD. a-d(n-1)8. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不规则三角形9. 一个分数的分子和分母同时扩大相同的倍数，其值：A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法确定10. 一个数的绝对值是它本身，这个数：A. 必须为正数B. 必须为负数C. 可以是正数或零D. 可以是负数或零二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方等于16，这个数是________。

12. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是________。

13. 一个数的绝对值等于5，这个数可以是________。

14. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。

15. 一个数的倒数是1/4，这个数是________。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算下列表达式的值：(3+5)² - 2×(4-1)。

17. 一个长方体的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，求它的表面积和体积。

初中平面几何竞赛题题目一：已知在△ABC 中，AB = AC，D 是BC 中点，E 是AD 上一点，求证：BE = CE。

解析：因为AB = AC，D 是BC 中点，根据等腰三角形三线合一性质，AD 垂直平分BC。

所以BE = CE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。

题目二：在矩形ABCD 中，E、F 分别是AB、CD 上的点，且AE = CF，求证：四边形AECF 是平行四边形。

解析：因为四边形ABCD 是矩形，所以AB△CD，AB = CD。

又因为AE = CF，所以BE = DF。

且BE△DF，所以四边形BEDF 是平行四边形，所以BF△DE。

又因为AB△CD，AE = CF，所以四边形AECF 是平行四边形。

题目三：已知在圆O 中，弦AB 与弦CD 相交于点E，且△AEC = 45°，AE = 3，CE = 5，求圆O 的半径。

解析：连接OA、OC，过O 作OF△AB 于F，OG△CD 于G。

则AF = FB，CG = GD。

因为△AEC = 45°，所以△FEG = 45°，则OF = OG。

设圆O 的半径为r，在Rt△AOF 和Rt△COG 中，根据勾股定理可得：AF² + OF² = r²，CG² + OG² = r²。

又因为AF = (AE + EF)/2，CG = (CE - EG)/2，且EF = EG = OF = OG。

设OF = OG = x，则可得方程组：[(3 + x)/2]² + x² = r²，[(5 - x)/2]² + x² = r²。

解方程组可得r 的值。

题目四：在△ABC 中，△BAC = 90°，AD 是BC 边上的高，E 是BC 中点，求证：AE² = DE² + BD²。

初中数学竞赛第二轮专题复习（2）几何证明的基本方法（1)一、常用定理梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。

塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=⋅⋅BC AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。

角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠⋅∠∠⋅∠∠BAB CBB CBC ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABCD 为任意凸四边形，则AB •CD+BC •AD ≥AC •BD,当且仅当A,B ，C ，D 四点共圆时取等号.斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有AP 2=AB 2•BC PC +AC 2•BCBP -BP •PC 。

人教版八年级数学下册 第18章 菱形、正方形创新题及解析一、操作题例1．在数学活动中，小明为了求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n表示），设计如图1－1所示的几何图形．（1）请你利用这个几何图形求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值为__________．（2）请你利用图2－2，再设计一个能求2341111122222n ++++⋅⋅⋅+的值的几何图形．解：由图形知利用的是面积法：第一次把面积为1的正方形等分，得到12，第二次把面积为12的一个矩形等分得到212，第三次把面积为212的一个正方形等分得到312，第四次把面积为312的一个等腰直角三角形等分得到412，…，最后把面积为112n -的一个等腰直角三角形的面积等分得到两个12n ，从而易知2341111122222n ++++⋅⋅⋅+=112n -，由以上过程知：首次把正方形的面积等份，以后每次均为等分上次所得的两个图形中的一个，n-1次即达到目的，如图2给出供参考，事实上，方法还有很多，不再列举，答案如下： （1）112n-． （2）如图2－1或如图2－2或如图2－3或如图2－4等，图形正确．二、拼图题图2－1图2－2 图2－3 图2－4例2．如图3，是由四个形状大小完全相同的长方形拼成的图形，利用面积的不同表示法，写出一个代数恒等式： ．分析：如何展示一个代数恒等式的几何意义，又如何从一个图形中挖掘提炼一个抽象的代数恒等式，成为近年中考命题的一大亮点，事实上，利用面积的割补原理，可列出22()()4a b a b ab +=-+，或22()4()a b ab a b +-=-， 或22()()4a b a b ab +--=．三、探究题例3．如图4甲，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥DC ．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形．(1)求四边形ABCD 四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．解：(1)如图，∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=360°， 所以3∠1=360°，即∠1=120°．所以梯形的上底角均为120°，下底角均为60°(2)由于EF 既是梯形的腰，又是梯形的上底，所以梯形的腰等于上底． 连接MN ，则∠FMN=∠FNM=30°．图4从而∠HMN=30°，∠HNM=90°．所以NH=AH 21． 因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长． (3)能拼出菱形．如图5：(拼法不唯一) ．评析：本题是考察学生观察能力和综合分析能力的好素材，由图甲（等腰梯形）到图乙（平行四边形）的拼合中隐含了等腰梯形内角之间的内在的关系．只要认真观察，就不难发现角的关系：即下底角的3倍等于180°或三个上底角拼成了一个周角，同时由乙图中隐含的信息很容易看出等腰梯形上底等于其腰长，这样问题便很容易得到解决了．四、猜想题例4．如图6－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图6－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图6－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图6－2图6－3图6－1A ( G )B ( E )分析：本题是以正方形为背景的操作探究题，以学生非常熟悉的学具------等腰直角三角尺进行操作，只要动手、动脑就能发现不变量，用“不变应万变”、“以静制动”，借助正方形和全等知识就可以解决了．解：（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．又∵∠BOM =∠FON ，∴ △OBM ≌△OFN ，∴ BM =FN ． （2）BM =FN 仍然成立．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ．∴∠MBO =∠NFO =135°．点评：本题是一道以正方形为背景的三角板操作题，它推广旋转角度的变化，来探究图形的规律，寻找出不变量，并证明猜想的开放题．五、方案设计题例5．正方形通过剪切可以拼成三角形，方法如下： 仿上用图7（1）示的方法，解答下列问题：操作设计：（1）对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．（2）如图7（2），对任意三角形设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形．分析：本题通过对图形的剪裁拼接，考查学生的创新求索， 发散思维，优化解题方案和过程的策略．本题的方案很多， 略举几例：（1）方案1． 方案2．图7（1）图7（2）（2）方案1． 方案2．课后自测小练习1、如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F ，G 分别在边BC，CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为________．第1题图解析：如图，延长GE 交AB 于点O ，作PH ⊥OE 于点H ，则PH ∥AB .中点 中点 ①②∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝12OA＝12(3－1)＝1.∵Rt△AOE中，∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，同理可得HE＝PH＝1.∴HG＝HE＋EG＝1＋1＝2.∴在Rt△PHG中，PG＝PH2＋HG2＝12＋22＝ 5.故答案是 5.2、在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，AH＝2AE，求AE的长．2、解析：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠EAH ＝∠GCF ＝90°.∵BF ＝DH ，∴AH ＝CF .在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠EAH ＝∠GCF ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF (SAS)∴EH ＝FG .(4分)同理EF ＝HG ，∴四边形EFGH 为平行四边形．(2) 解：在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，设AE ＝x ，则BE ＝x ＋1. 在Rt △BEF 中，∠BEF ＝45°，∴BE ＝BF .∵BF ＝DH ，∴DH ＝BE ＝x ＋1， ∴AH ＝AD ＋DH ＝x ＋2.在Rt △AEH 中，AH ＝2AE ，∴2＋x ＝2x ， 解得x ＝2，∴AE ＝2.3、如图①，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.(1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时(如图②)，求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离.解析：3、(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF. 又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP 为菱形．(3)解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°.∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm. 在Rt△CDE中，DE＝CE2－CD2＝4cm，∴AE＝AD－DE＝5－4＝1(cm)．在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3－PB＝3－EP，∴EP2＝12＋(3－EP)2，∴EP＝53 cm，∴菱形BFEP的边长为53 cm.②当点Q与点C重合时，如图②所示．点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm.当点P与点A重合时，如图③所示．点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm.4、如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．图1 图2解：(1)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PFQ＝90°.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)．∴PB＝PQ.(2)PB＝PQ.证明：过P作PE⊥BC，交BC的延长线于点E，PF⊥CD，交DC的延长线于点F.∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°.∴PF＝PE.∴四边形PECF为正方形．∴BE∥PF. ∴∠EBP＝∠BPF.∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠Q＋∠QPF＝90°，∴∠BPF＝∠Q.∴∠EBP＝∠Q.∴Rt△PQF≌Rt△PBE(AAS)．∴PB＝PQ.5、 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：已知如图在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线BC 交于E ，∠ABD 的平分线交AD 于F ，AE ，BF 相交于O ，则四边形ABEF 为菱形，说明理由．理由：（1）因为四边形ABCD 为平行四边形，（2）所以AD //BC（3）所以∠ABE +∠BAF =18︒0（4）因为AE ，BF 分别是∠BAD ，∠ABC 的平分线（5）所以∠1=∠2=21∠BAF ，∠3=∠4=21∠ABE （6）所以∠1+∠3=21（∠BAF +∠ABE ）=︒⨯18021=9︒0 （7）所以∠AOB =︒90（8）所以AE ⊥BF（9）所以四边形ABEF 是菱形问：（1）上述理由是否充分？回答：（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程解析：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．。

第18章 整数几何18.1.1★已知ABC △的两条高长分别是5、15，第三条高的长数，求这条高之长的所有可能值． 解析 由面积知，三条高的倒数可组成三角形三边，这是它们的全部条件． 设第三条高为h ，则111,155111.515h h⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩ 解得151545h <<，h 可取4、5、6、7这四个值． 18.1.2★已知ABC △的三边长分别为3AB n x =+，2BC n x =+，CA n x =+，且BC 边上的高AD 的长为n ，其中n 为正整数，且01x <≤，问：满足上述条件的三角形有几个？ 解析 注意AB 为ABC △之最长边，故90B ∠<︒，设BD y =，CD z =，则0y >，而z 可正可负．AB D C由2y z n x +=+，及()()()22223242y z n x n x n x x -=+-+=+⋅，得4y z x -=，32ny x =+，由勾股定理，知()222332n x n n x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，展开得12n x =，由01x <≤及n 为正整数，知1n =，2，…，12，这样的三角形有12个．18.1.3★已知一个直角三角形的三条边均为正整数，其中一条直角边不超过20，其外接圆半径与内切圆半径之比为52∶，求此三角形周长的最大值．解析 设该直角三角形直角边长为a 、b ，斜边为c ，则外接圆半径2cR =，内切圆半径2a b cr +-=，不妨设20a ≤． 由条件知52c a b c =+-，557a b c +=，平方，得()()222225249a b ab a b ++=+，即()2212250a b ab +-=，()()34430a b a b --=，于是3a k =，4b k =，5c k =，或4a k =，3b k =，5c k =，周长为12k ，k 为正整数．k 的最大值为6，此时各边为18、24、30，周长最大值为72．18.1.4★ABC △为不等边三角形，60A ∠=︒，7BC =，其他两边长均为整数，求ABC △的面积．A BCx y60°解析设AB x =，AC y =，则由余弦定理，有2249x y xy +-=．由条件x y ≠，不妨设x y <，则AB 为ABC △之最小边，x 只能取值1、2、3、4、5、6，分别代入，发现当3x =或5时，8y =，其余情形均无整数解．于是1sin 602ABC S xy =︒=△． 18.1.5★★一点P 与半径为15的圆的圆心距离是9，求经过P 且长为整数的弦的条数． 解析 如图，O 半径为15，9OP =，过P 的弦ST 长为整数，APB 为直径，6AP =，24PB =，则144SP TP PA PB ⋅=⋅=，因此24ST SP TP =+≥．又30ST AB =≤，故这样的弦共有()302412212-+⨯-=条，其中与AB 垂直的弦及AB 各一条，其余的弦每种长度有两条（关于AB 对称）．18.1.6★★在直角三角形ABC 中，各边长都是整数，90C ∠=︒，CD 为边AB 上的高，D 为垂足，且3BD p =（p 奇素数），求ACAB的值（用p 表示）． C解析由2BC BD AB =⋅知2BD BC ，故设2BC p t =（t 为正整数），则2BA pt =，又由勾股定理，知22442AC p t p t =-，故tp AC ．设AC kpt =，代入得()()222p t k t k t k =-=+-，易知只能有2t k p +=，1t k -=，解得212p t +=，212p k -=，于是2211AC p AB p -=+． 18.1.7★★设正三角形ABC ，M 、N 分别在AB 、AC 上，MN BC ∥，两端延长MN ，交ABC △外接圆于P 、Q ，若PM 、MN 、AB 长均为正整数，求AB 的最小值． 解析 如图， 易知NQ PM =也是整数．设AM x =，BM y =，PM NQ z ==，则M N x =，于是由相交弦定理，得()xy z x z =+，2z x y z=-．APQM NB C设y ks =，z kt =，(),k y z =，s t >，(),1s t =，则2kt x s t=-，由于()2,1s t t -=，故s tk -，要使2t AB x y k ks s t=+=+-达到最小，k 得取s t -，于是()2AB t s t s =+-．由于s t >，2s ≥，1t ≥，知()223t s t s t s +-+≥≥．当1AM =，2BM =时AB 取到最小值3，此时1PM =．18.1.8★★已知凸四边形ABCD 的四边长是两两不相等的整数，对边乘积之和等于四边形面积的两倍，且22250AD BC +=，求该四边形面积、对角线长度． 解析 不妨设AB α=，BC b =，CD c =，DA d =，AC 与BD 交于O ，则sin 2ABCD AC BD AOB S ac bd AC BD ⋅⋅∠==+⋅≥，于是由托勒密定理，知A 、B 、C 、D 必共圆，且满足AC BD ⊥．又由已知条件，22250b d +=，22250a c +=．经搜索知250表为平方和只有两组：22515+和22913+．由对称性，不妨设5a =，13b =，15c =，9d =，则19622ABCD ac bdS AC BD +=⋅==．由余弦定理，因cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，得222222591315045195B D B D +-+-+=，得BD =AC18.1.9★★是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC △？证明你的结论． 解析 存在满足条件的三角形．当ABC △的三边长分别为6a =，4b =，5c =时，2A B ∠=∠．如图，当2A B ∠=∠时，延长BA 至点D ，使AD AC b ==．连结CD ，ACD △为等腰三角形．CD A因为BAC ∠为ACD △的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以B D ∠=∠．所以CBD △为等腰三角形．又D ∠为ACD △与CBD △的一个公共角，有~ACD CBD △△，于是AD CD CD BD =，即b aa b c=+，所以()2a b b c =+．而()26445=⨯+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． 评注满足条件的三角形是唯一的．若2A B ∠=∠，可得()2a b b c =+．有如下三种情形：（ⅰ）当a c b >>时，设1a n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b b c =+，得()()()21121n n n +=--，解得5n =，有6a =，4b =，5c =；（ⅱ）当c a b >>时，设1c n =+，c n =，1b n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b b c =+，得()212n n n =-⋅．解得2n =，有2a =，1b =，3c =，此时不能构成三角形；（ⅲ）当a b c >>时，设1a n =+，b n =，1c n =-（n 为大于1的正整数），代入()2a b b c =+，得()()2121n n n +=-，即2310n n --=，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4、5、6构成的三角形满足条件．18.1.10★★三边长为连续整数、周长不大于100、且面积是有理数的三角形共有多少个？ 解析 设三角形三边依次为1n -、n 、1n +，则333n ≤≤，()131122p n n n n =-+++=，S △==于是()234n -是平方数，令()()22343n k -=，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()222343n k k =+≡，得2243n k -=，则32n ≤，224102034033n k -==≤，18k ≤．又k 不可能是奇数，否则()22343mod 4n k =+≡，将2k =，4，6，8，10，12，14，16，18代入，发现仅当2k =，8时满足要求．因此这样的三角形共有两个，三边长依次为3、4、5与13、14、15．18.1.11★★某直角三角形边长均为整数，一直角边比斜边小1575，求其周长的最小值． 解析 设直角三角形直角边长a 、b ，斜边为1575a +，则 ()2221575a b a +=+，()2157521575b a =+．由于221575357=⨯⨯，设105b k =，则2721575k a =+，设7a s =，则22225k s =+，于是k 的最小值为17，此时32s =，224a =，1785b =，1799c =．此时的最小周长为3808． 18.1.12★★已知ABC △，AD 是角平分线，14AB =，24AC =，AD 也是整数，求AD 所有可取的值．AEB DC解析 如图，作DE AB ∥，E 在AC 上，则易知AE ED =． 又ED CD AC AB BC AB AC==+，故 22AB ACAD AE DE ED AB AC⋅<+==+33617.6819==…， 故17AD ≤．又当17AD ≤时，不难通过AED △构造出ABC △，故AD 所有可取的值为1，2， (17)18.1.13★面积为c 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a 、b 、c 是整数，且b 不能被任何质娄的平方整除，求a cb-的值．ADGB E F C解析设正方形DEFG 的边长为x ，正三角形ABC 的边长为m ，则2m ，由ADG ABC △∽△，可得xx m -=．解得()3x m =．于是()222348x m ==．由题意得28a =，3b =，48c =，所以203a cb -=-． 17.1.14★★如图，AD 是ABC △的高，四边形PQRS 是ABC △的内接正方形，若BC ab =（即两位数），SRc =，ADd =，且a 、b 、c 、d 恰为从小到大的4个连续正整数，求ABC S △的所有可能值．AS RP D Q解析易知11SR AR CR SR BC AC AC AD ==-=-，于是有110c c a b d +=+，或1111132a a a +=+++，移项，得()()1111123a a a =+++，或2650a a -+=，解得1a =或5．于是有两解： 12,3,4;BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩56,7,8.BC SR AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩易知这两组数据都符合要求，故24ABC S =△或224．18.1.15★★已知ABC △中，B ∠是锐角．从顶点A 向BC 边或其延长线作垂线，垂足为D ；从顶点C 向AB 边或其延长线作垂线，垂足为E ．当2BD BC 和2BEAB均为正整数时，ABC △是什么三角形？并证明你的结论． 解析设2BD m BC =，2BEn AB=，m 、n 均为正整数，则 244cos 4BD BE mn B AB BC=⋅⋅=<， 所以，1mn =，2，3． （1）当1mn =时，1cos 2B =，60B ∠=︒，此时1m n ==．所以AD 垂直平分BC ，CE 垂直平分AB ，于是ABC △是等边三角形．（2）当2mn =时，cos B =45B ∠=︒，此时1m =，2n =，或2m =1n =，所以点E 与点A 重合，或点D 与点C 重合．故90BAC ∠=︒，或90BCA ∠=︒，于是ABC △是等腰直角三角形．（3）3mn =时，cos B =，30B ∠=︒，此时1m =，3n =，或3m =，1n =．于是AD 垂直平分BC ，或CE 垂直平分AB ．故30ACB ∠=︒，或30BAC ∠=︒，于是ABC △是顶角为120︒的等腰三角形．18.1.6★★某直角三角形两直角边长均为整数，周长是面积的整数倍（就数字上讲），问问这样的直角三角形有多少个？解析 设直角边分别为a 、b ，则斜边c =，由条件知它是有理数，故必定是整数．设2ka b ab +=，k 为正整数，于是k =．由于a b +1、2或4，记作k '．由a b k +-'=()2220ab k a b k -'++'=，()()22a k b k k -'-'='，1k '=时无解；2k '=时，有()()222a b --=，{a ，b }={3，4}；4k '=时，()()448a b --=，{a ，b }={5，12}或{6，8}，所以这样的直角三角形共有3个． 18.1.17★★在等腰ABC △中，已知AB AC kBC ==，这里k 为大于1的自然数，点D 、E 依次在AB 、AC 上，且DB BC CE ==，CD 与BE 相交于O ，求使OCBC为有理数的最小自然数k ．ADEBCO解析如图，连结DE ，则DE BC ∥，11DE AD AB BC BC AB AB k -===-，1k DE BC k-=． 由于四边形DBCE 为等腰梯形，则由托勒密定理（或过D 、E 作BC 垂线亦可），2222121k k CD CD BE DE BC DB CE BC BC BCk k --=⋅=⋅+⋅=+=，又21CO BC kCD DE BC k ==+-，于是CO BC =k 与21k -互质，由题设知其必须均为平方数，1k >，25k =适合，这是满足要求的最小自然数．18.1.18★★★对于某些正整数n 来说，只有一组解xyz n =（不计顺序），这里，x 、y 、z 是正整数且可构成三角形的三边长，这样的()100n ≤共有多少个？ 解析显然，当n p =（素数）时无解；当2n p =或1时只有一组解（1，p ，p ）或（1，1，1）；当n pq =（p 、q 为不同素数）时无解；当4n p =（p 为大于3的素数）时也无解．剩下的数为8，12，16，18，24，27，30，32，36，40，42，45，48，50，54，56，60，63，64，66，70，72，75，78，80，81，84，88，90，96，98，99，100． 易验证，无解的n 有：30，42，54，56，63，66，70，78，88，99；唯一解的n 有：8，12，16，18，24，27，32，40，45，48，50，75，80，81，84，90，96，98；不止一组解的n 有：36，60，64，72，100．注意：判定无解的主要依据是，abc n =，c ab >时无解，困为1c ab a b ++≥≥． 因此，有解的n 共有23个．18.1.19★★面积为整数的直角三角形周长为正整数k ，求k 的最小值，并求此时这个直角三角形的两条直角边的可取值（如不止一组解，只需举了一组即可）．解析设该直角三角形的直角三角形周长分别为a 、b ，则112ab ≥，a b +≥2，2k a b =+，故5k ≥．下令5k =，2ab =，如有解，则可．()5a b -+，平方得()222225102a b a b a b ab +=-++++．取2ab =，得29,102.a b ab ⎧+=⎪⎨⎪=⎩因此a 、b 为方程21029200x x -+=的根，解得a 、bk 的最小值是5．18.1.20★★若ABC △的三边长a 、b 、c 均为整数，且140abc =，求ABC △内切圆半径． 解析 不妨设a b c ≤≤，于是7c ≥．又14011c a b ab c<++=+≤，故140c c ≤，得10c ≤．于是c 只可能为7或10． 7c =时，20ab =，只可能4a =，5b =，()182p a b c =++=，内切圆半径r =． 10c =时，14ab =，没有满足要求的解．18.1.21★★证明：若a 、b 、c 是一组勾股数()222a b c +=，则存在正整数k 、u 、v 、u v >，(),1u v =使得()22c k u v =+，而()22a k u v =-，2b kuv =；或2a kuv =，()22b k u v =-．解析222a b c +=，设（a ，b ，c ）k =，则1a ka =，1b kb =，1c kc =，222111a b c +=．易知1a 、1b 、1c 两两互质；1a 与1b 不可能同偶，否则12a ，1b ，1c ；1a 与1b 也不会同奇，否则()212mod 4c =，矛盾．于是1a 与1b 必一奇一偶，不妨设1a 奇而1b 偶，于是1c 为奇数．从而()()211111a c b c b =+-，11c b +与11c b -必互质，否则有一奇素数11|p c b +，11c b -，得|2p c ，12b ，故|p （1c ，1b ），与（1c ，1b ）=1矛盾． 于是可设2111c b u +=，2111c bv -=，（1u ，1v ）=1，且1u 、1v 均为奇数，解得221111122u v u v c +-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11111222u v u v b +-=⋅⋅，221111122u v u v a +-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112u v u +=，112u v v -=，即得结论． 18.1.22★★★如图，F 、E 在ABC △的边AB 、AC 上，FE 的延长线与BC 的延长线交于D ，求证：AF 、BF 、CB 、CD 、AE 、EC 、FE 、ED 的长度不可能是1～8的排列． 解析 如果1EF =，则1A E A F E F -<=，得A E A F =，矛盾，故1EF ≠，同理AF 、AE 、ED 、CD 、EC 都不等于1．AFE GDCB因此1只可能等于FB 或BC 之长，不失对称性，设1BF =，则1FD BD BF -<=，FD BD =，作CG AB ∥，G 在ED 上，四边形FBCG 乃一等腰梯形，于是EG FG EF BC EF =-=-为正整数．又1EG EC CG BF -<<=，故E G E C =，但BFD ∠为等腰三角形DFB 的底角，90BFD <︒∠，18090EGC BFD =︒->︒∠∠，为EGC △的最大内角，EC EG >，矛盾，因此结论证毕．18.1.23★★★已知梯形ABCD 中，AD BC <，E 、F 分别在AB 、CD 上，EF AD BC ∥∥，ED BF ∥，如果AD 、EF 、BC 均为正整数，称该梯形为“整数梯形”．现对于正整数n ，有正整数x x <′<y ′<y ，x y x +=′+y ′=n ，且x 、y 为一“整数梯形”的上、下底， x ′、y ′为另一“整数梯形”的上、下底，求n 的最小值．解析 如图，由AED EFD △∽△,DEF FBC △∽△,得AD AE DF EFEF BE FC BC===，得E F C =，于是问题变为求最小的n ，使xy 与x ′y ′均为平方数． A DEFB Cxy 、x ′y ′不可能都为4，故至少有一组≥9，显然另一组也不可能为4，于是xy ，x ′y ′≥9．如果xy 或x ′y ′25≥，则10n =≥．若xy 或x ′y ′=9或16，则19n =+或2810+=．于是n 的最小值为10，1x =，x ′=2，y ′=8，y =9．18.1.24★★★求证：存在无穷多个每边及对角线长均为不同整数的、两两不相似的凸四边形．ABDPC解析 如图，作圆内接四边形ABCD ，AC 与BD 垂直于P ，设a 为一整数，2a >，4AP a =，24BP a =-，241DP a =-，则24AB a =+，241AD a=+，，由此知()()224414aa CP a--=，而由ABP DCP △∽△，BPC APD △∽△知，()224414a BC a a -=+，()224144a CD a a -=+．同时乘以系数4a ，得()244AB a a =+，()2441AD a a =+，()()22441BC a a =-+，()()22414CD a a =-+，4244AC a a =-+，()2201BD a a =-．易知上述6个多项式无二者恒等，于是任两者相等只能得有限个a ，但正整数有无限个，因此有无限个a ，使6个多项式两两不等，又当a →+∞时，0BDAC→，因此有无限个这样的凸四边形两两不相似． 18.1.25★★★已知PA 、PB 为圆的切线，割线过P ，与圆交于M 、N ，与AB 交于S ，若PA 、PM 、MS 、SN 均为正整数，求PA 的最小值．PMABSN解析 如图，易知有PM PNMS SN=(调和点列)． 设PM a =，MS b =，SN c =，则()b ab c a ++=，()b c b c a b+=-，从而PA = 设a ks =，b kt =，k =（a ，b ），则（s ，t ）=1，s t >，s tc kts t+=-，PA =易见（s t +，s t -）=1，则s 、t 一奇一偶．于是由（()t s t +，s t -）=1，得|s t k -，且由PA 为整数知2s t x +=，2s t y -=，x 、y 为奇数．因为|s t k -，于是k 的最小值为s t -，()c t s t =+，PA sxy ==，当s =1，2，3，4时，t 无解(即PA 不是整数)，故5s ≥，又3x ≥，1y ≥，于是PA ≥15，当a =5，b =4，c =36时取到15PA =．若（s t +，s t -）=2，此时s 、t 同奇，k 的最小值为2s t-，此时()2t s t c +=，PA =22s t x +=，22s t y -=，当1s =，3时，无t 使PA 为整数，于是5s ≥，又x y >，所以1y ≥，2x ≥，5210PA sxy =⨯=≥．当5a =，3b =，12c =时取到PA =10． 综上，PA 的最小值是10．18.1.26★★★一圆内接四边形的四边长及对角线长都是整数，求这类四边形中周长最小者． 解析 显然长与宽为4、3的矩形满足要求，其周长=14．若等腰梯形上、下底分别为3、4，腰为2，则由托勒密定理，对角线长为4，满足要求，此时周长为11．故最小周长≤11． 显然对圆内接凸四边形ABCD ，无边长为1．否则若设1AB =，—1AD BD AB <=，得AD BD =，同理AC CB =，于是C 、D 均在AB 中垂线上，构不成凸四边形．因此最小周长≥2×4=8．四边均为2，得正方形，对角线为2，另一边为3，得等腰梯形，10．当周长为10时，显然至少有两边为2．若是2、2、2、4能为2、2、3、3故最小周长为11．18.1.27★★★在Rt ABC △中，90BCA =︒∠，CD 是高，已知ABC △的三边长都是整数，且311BD =，求BCD △与ACD △的周长之比．CB D A解析 设ABC △的三边长分别为a 、b 、c ．由题设知 2BC BD BA =⋅，故2311a c =．于是设211a l =，得211l c =由勾股定理得11b ==2211l -是 完全平方数，设为()20t t >，则22211l t -=，()()211l t l t -+=．由于0l t l t <-<+，所以21,11.l t l t -=⎧⎨+=⎩解得61,60.l t =⎧⎨=⎩于是21161a =⨯，116160b =⨯⨯． 因为BCD CAD △∽△，所以它们的周长比等于它们的相似比，即1160a b =．18.1.28★★★已知锐角三角形ABC 中，AD 是高，矩形SPQR 的面积是ABC △的1／3，其顶点S 、P 在BC 上，Q 、R 分别在AC 、AB 上，且BC 、AD 及矩形SPQR 的周长均为有理数，求AB ACBC+的最小值． 解析 如图，设ABC △的三边长依次为a 、b 、c ，AD h =，PQ x =，RS y =，则16xy ah =，及1x y AQ CQ a h AC AC+=+=．由条件，知a 、h 、x y +均为有理数． AR QB S D P C由16x a a x+=，得x a =，33y h =，)2a h x y a h ++=-，因此只能有a h =．若过A 作BC 的平行线l ，再作C 关于l 的对称点C '，则AB AC AB AC +=+′≥BC ′，于是AB ACBC+，仅当AB AC =时取到． 18.1.29★★★★整数边三角形ABC 中，90BAC =︒∠，AD 是斜边上的高，BD 也是整数．若对同一个BD 能长度，有两个不全等的直角整数边三角形ABC 满足要求，求BD 的最小值．解析 不妨设ABC △的三边长为a 、b 、c ，AD h =，BD d =，首先bch a=为有理数，又222h c d =-为整数，因此h 也是整数．又CD 为整数，故2h d也是整数．又ABD CBA △∽△,故h b d c=． AB D C因此，只需正整数h 、c 、d 满足222h c d =-及2|d h ，这样的整数边三角形就存在．因为此时hcb d=是有理数，而222b h CD =+为整数，从而b 为整数．易知由2|d h 可得2|d c ． 设21d d σ=，σ、1d 为正整数，且σ无平方因子，于是由2|h σ及2c 知|h σ，c ．设1h h σ=，1c c σ=，代入得422111d c h =-，又由2|d h ，2c 得2211|d h σ，21c σ，今对1d 的任一素因子p ，其在1d 的指数()1s d 不会比1h 的指数高，否则()()111s d s h +≥，()()22112s d s h +≥，而()s σ最多为1，于是()()2211s d s h σ>，这是不可能的．于是11|d h ，同理11|d c ．又令112h d h =，112c d c =，代入422111d c h =-得222122d c h =-． 于是对1d 有两组不同的2c 、2h 满足222122d c h =-．经计算18d ≥，故64d ≥．当64d =时，确实有满足要求的两组解：80AB =，60AC =，100BC =，和136AB =，255AC =，289BC =．故BD 的最小值是64．18.1.30★★★★试找一不等边三角形ABC ，使BC 及BC 边上的中线、角平分线、高的长度都是整数，BC 可以是多少(此时的中线、角平分线、高的长度分别为多少)?若要求BC 不是整数，但2BC 是整数，则BC 可为多少(此时中线、角平分线、高的长度分别为多少)?解析 首先处理BC 为整数的问题，我们选择的是直角三角形ABC ，对应边为a 、b 、c ，中线AM ，角平分线AD ，高AH ，2aAM =，bc AH a =，又ABC ABD ACDS S S =+△△△，得)2bc b c AD =+，故AD b c =+，于是a 为偶数2k ，b =，c =，mn AH k =而2mn AD m n =+，2222m n k +=，这个方程有解1m =，7n =，5k =，得75AH =，5AM =，74AD =．乘以一个系数20，即得直角三角形ABC ，它的斜边为200，斜边上的中线为100，角平分线为35，高为28．下面处理BC 为无理数、2BC 为整数的情形，如图，延长AD ，与MP 交于P ，此处MP BC ⊥．易知A 、B 、P 、C 共圆(P 是ABC △外接圆弧BC 之中点)．今从基本勾股数出发构造．取12AH =，13AD =，15AM =，则5DH =，9MH =，4MD =，485MD MP AH HD =⋅=，45255PD AD ==． ABMD HCP易知BPD APB △∽△，于是25211760845525BP PD PA =⋅=⨯=，()22222608448302444425255BC BM PB MP ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭． 再乘以系数5，得所求三角形的高60AH =，角平分线65AD =，中线75AM =，边BC =是无理数，但15120BC =．18.1.31★★作圆外切凸五边形ABCDE ，现知该五边形每边长均为整数，1AB =，又圆与BC 切于K ，求BK ．解析 如图，设CD 、DE 、EA 、AB 分别与圆切于P 、Q 、R 、S ．则RE DP ED +=为整数，于是由题设，AR CP +亦为整数，而AR CP AS KC +=+．于是22BK BS BK BS ==+为整数，由于1BS AB <=，故22BS <，221BK BS ==，12BK =． A S RB EQ K CPD。

一、三角法解几何题的基本定理：1．正弦定理：∆ABC中，asin A＝bsin B＝csin C＝2R(其中，R为∆ABC的外接圆半径)．2．余弦定理：∆ABC中，a2＝b2＋c2－2bc cos A；…cos A＝b2＋c2－a22bc；…．二、常用的结论：3．张角定理：sin(α+β)t＝sinαb+sinβa．4．r＝4R sin A2sinB2sinC2．典型例题例1．已知一个直角三角形ABC，其斜边BC被分成n等分，n是大于1的奇数，α表示点A对包含斜边中点在内的那一等分线段的视角．a为斜边的长，h为斜边上的高，求证：tanα=4nha(n2－1)．例2．锐角ABC的∠A的平分线交BC于L，交外接圆于N，作LK ⊥AB，LM⊥AC，垂足分别为K，M．求证:四边形AKNM的面积=ΔABC 的面积．例3．设P为⊿ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC，又设D、E分别是⊿APB与⊿APC的内心．求证：AP、BD、CE交于一点．例4．在筝形ABCD中，AB=AD，BC=CD，经AC、BD的交点O 任作两条直线分别交AD于E，交BC于F，交AB于G，交CD于H，GF、EH分别交BD于I、J．求证:IO=OJ．例5．设a、b、c为三角形的三边，a≤b≤c，R和r分别表示⊿ABC 的外接圆半径与内切圆半径．令f=a+b－2R－2r，试用∠C的大小来判定f的符号．例6．给定a，2<a<2，内接于单位圆P的凸四边形ABCD适合以tαβabAB CAKLMNt3t2t4t1JHEFGBCDAOαβabcIC‘B‘BCDAOA‘⑴ 圆心在这凸四边形内部；⑵ 最大边长为a ，最小边长为4－a 2 ，过点A 、B 、C 、D 依次作圆P 的四条切线l A 、l B 、l C 、l D ，已知l A 与l B ，l B 与l C ，l C 与l D ，l D 与l A 分别交于点A'，B'，C'，D'．求面积之比S 四边形A 'B 'C 'D 'S 四边形ABCD的最大值与最小值．例7.一条直线l 与具有圆心O 的圆ω不相交，E 是l 上的点，OE ⊥l ，M 是l 上不同于E 的点，从M 作w 的两条切线切ω于点A 和B ，C 是MA 的点，使得EC 垂直于MA ，D 是MB 上的点，使得ED 垂直于MB ，直线CD 交OE 于F ．求证点Ｆ的位置不依赖于点M 的位置．例8.凸四边形的四个角分别为 2α, 2β, 2γ, 2δ，四条边分别为l , m , n , k ．求证它的面积 S = (l + m + n + k ) 24(cot α + cot β + cot γ + cot δ) －(l + n －m －k ) 24(tan α + tan β + tan γ + tan δ)．例9.在△ABC 的三边中点D 、E 、F 向内切圆引切线，设所引的切线分别与EF 、FD 、DE 交于I 、L 、M ．求证：I 、L 、M 三点共线．例10.已知平面上一个半径为R 的定圆⊙O ，A 、B 是⊙O 上两个定点，且A 、B 、O 不共线，C 为异于A 、B 的点，过点A 作⊙O 1与直线BC 切于点C ，过点B 作⊙O 2与直线AC 切于点C ，⊙O 1与⊙O 2相交于DC (异于C 点)．求证：(1) CD ≤ R ；(2) 当点C 在⊙O 上移动时，且与A 、B 不重合时，直线CD 过一定点．例11.已知P 是△ABC 内一点，过P 作BC 、CA 、AB 的垂线，其垂足分别为D 、E 、F ，又Q 是△ABC 内的一点，且使得∠ACP = ∠BCQ , ∠BAQ = ∠CAP ．证明∠DEF = 90︒的充要条件是Q 为△BDF 的垂心．例12.设点D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，并且△AEF 、△BFD 、△CDE 的内切圆都与△DEF 的内切圆外切．求证AD 、BE 、CF 三线共点．12AB CDE MF OPP lDL MNBαKβA δγrrr r ●●●●BDI E F●●●OACBDEF AC P QXYO 1●3●2M●●O O O ●●I HA J A21MBCO POO ●1．设M 是⊿ABC 的AB 边上的任一点，r 1、r 2、r 分别是ΔAMC 、ΔBMC 、ΔABC 的内切圆半径，ρ1、ρ2、ρ分别是这些三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径．求证：r 1ρ1·r 2ρ2＝rρ．2．设正方形ABCD 边长为1，试求其内接正三角形面积的最大值与最小值．3．在∠A 内有一定点P ，过点P 作直线交角的两边于B 、C ，问何时PB ·PC 取最小值． 4．在平面上有一个定点P ，考虑所有可能的正三角形ABC ，其中AP =3，BP =2，求CP 长度的最大值．5．设⊿ABC 的三个内角A 、B 、C 分别为α、β、γ，求证：在AB 上有一点D ，使CD 为AD 与BD 的几何中项的充要条件为sin αsin β≤sin 2γ2．6．在梯形ABCD 中(AB ∥CD )，两腰AD 、BC 上分别有点P 、Q 满足∠APB =∠CPD ，∠AQB =∠CQD ．求证：点P 与Q 到梯形对角线的交点O 的距离相等．7．在一个非钝角⊿ABC 中，AB >AC ，∠B =45︒，O 与I 分别是⊿ABC 的外心与内心，且2 OI =AB －AC ，求sin A ．8.ABCD 内接于圆，AB ∩CD = E ，AD ∩BC = F ，M 、N 为AC 、BD 中点，已知AC = a , BD = b ，求MNEF． 9.△ABC 内心为I ，A 对应的旁心为I a ，II a 分别交BC 、⊙ABC 于A '、M ，N 为 ⌒ABM 的中点，NI 、NI a 分别交⊙ABC 于S 、T ．求证S 、A '、T 三点共线．10.设△ABC 内切圆与BC 、CA 、AB 相切于D 、E 、F ，一圆与△ABC 内切圆切于D ，并与△ABC 外接圆切于K ，点M 、N 类似定义．求证DK 、EM 、FN 相交于△DEF 的欧拉线上．γ2γ1βαBCAD。

A . 11 cmB . 15 cmC . 18 cmD . 19 cm第十八章平行四边形一、选择题1. 已知正方形 BDEF 的边长是正方形 ABCD 的对角线，贝U S 正方形BDEF : S 正方形 ABCD = （ ）. A . 2 : 1B . 2、2 : 1C . 4 : 1D . 1 : 22. 四边形 ABCD 中，/ A =Z C ,Z B =Z D ，则下列结论不一定正确的是 （） .A . AB = CD B . AD // BC C ./ A =Z BD .对角线互相平分3.正方形具有而矩形不一定具有的特征是 （）. A .对角线相等 B .对边都相等 C .对角线互相平分 D .对角线互相垂直4.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点 O, 0E // DC , OE 交BC 于点E ,AD = 6，贝U 0E =() . A . 6 B . 4 C . 3 D . 2 5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 （第4题）AC 与BD 相交于点 0, 0E 丄AB ，垂足为 E .若 / ADC = 130°则/ A0E 的大小为（） A 75 B . 65 ° C . 55 ° D 50 B （第5题） 6.已知口 ABCD 周长为60 cm ，对角线 AC , BD 交于点 0,A A0B 的周长比厶B0C 的 周长长8 cm ,则AB 为（）.7.如图，在矩形 ABCD 中，BC = 2, AE 丄BD ，垂足为 E , / BAE = 30° 则 E CD 为（）.A . 2.3的周长为 ____________&如图,EF 过矩形ABCD 对角线交点0,且分别交AB , CD 于E , F ，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的（）1A.-5 C .-3D . -3 109.如图, 在 □ABCD 中，AE 丄 BC 于 E , AF _ CD 于 F , 若 AE = 4, AF = 6, □ ABCD 的周长为 40,^U D ABCD 的面 积为（）A . 24B . 36C . 40D . 4810 .如图，连接边长为 1的正方形对边中点，可将一个正方形分成 正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成4个更小的小正方形…重复这样的操作，则 小正方形面积是（）6次操作后右下角的、填空题11 .如图，矩形 ABCD 的AB 边长为4, M 为BC 中点，/ AMD = 90 °则矩形ABCD（第8题）12 .如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , AB = DC , BD 丄 DC 于 D ，且/ C = 60 ° 若14. 如图，在口ABCD 中，CE 是/ DCB 的角平分线，F 是AB 的中点，AB = 6, BC = 4,贝U AE : EF : FB 为 ______15. 如图，□ABCD 的对角线相交于点 0,且 AD 工CD ，过点 0作0M _ AC ,交 AD于点M ，如果△ CDM 的周长为a ,那么口ABCD 的周长为 __________________ .16. 如图，在菱形 ABCD 中，AB = 4a , E 在边 BC 上, BE = 2a ，/ BAD = 120 ° P 点在 BD 上，贝U PE + PC 的最小值为 ______ .AD = 5 cm ,则梯形腰长为贝V S»DE + S ^BCE=13.如图，在（第14题）（第16题）17. 正方形ABCD中，将厶ABP绕点B顺时针旋转后与厶CBP'重合，若BP = a,则PP'18. 如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连结PA、PB、PC、PD ,得到△ PAB、△ PBC、△ PCD、△ PDA，设它们的面积分别是S i、S2、S3、S4.给出如下C② S2+ S4= S1+ S3③若S3= 2S i，贝y S4= 2S2④若S= S2，则P点在矩形的对角线上结论：① S1+ $4 = S2 + S3其中正确结论的序号是____________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.三、解答题19. 如图，在口ABCD中，E, F, G, H分别是各边上的点，且AE= CG, AH = CF .求证：四边形EFGH是平行四边形.20. □ABCD 的周长为 16,对角线 AC , BD 相交于点 O , 0E 丄AC 交AD 于E ,求（第19题）△ CDE的周长.21. 已知：如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD , BC分别相交于E, F,求证：四边形AFCE是菱形.B22 .如图，已知E为口ABCD的边DC的延长线上的一点，且CE = DC ,连接AE，分别交BC, BD于点F, G, 求证：AB= 2OF.23. 如图，已知口ABCD的对角线交于点0,点E, F, P分别是OB, OC, AD的中点,若 AC = 2AB ，求证：EP = EF .24. 如口E ,F ,G ,H ,连接 EG , FH .求证：EG = FH.25. 点0是厶ABC所在平面内一动点，连接OB, 0C,并把AB, OB , OC, CA的中点D , E, F , G顺次连接起来.设DEFG能构成四边形.(1) 如图①，当点0在厶ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形;(2) 当点0移动到△ ABC外时，(1)的结论是否成立？画出图形说明理由；(3) 若四边形DEFG为矩形，则点0所在位置满足什么条件？试说明理由。