数学试卷 第1页（共21页） 数学试卷 第2页（共21页） 数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B =+U 如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =,其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高棱锥的体积公式13V Sh =,其中S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4}A =,{|32,}B y y x x A ==-∈,则A B =I( )A .{1}B .{4}C .{1,3}D .{1,4}2.设变量x ,y 满足约束条件20,2360,3290,x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≥≤则目标函数25z x y =+的最小值为( )A .—4B .6C .10D .173.在ABC △中,若AB =3BC ,=120C ∠︒,则AC =( )A .1B .2C .3D .44.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S 的值为( )A .2B .4C .6D .85.设{}n a 是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“0q <”是“对任意的正整数n ,2120n n a a -+<”的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件6.已知双曲线222=1(0)4x y b b ->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A .22443=1y x -B .22344=1y x -C .2244=1y x -D .2224=11x y -7.已知ABC △是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得2DE EF =,则AF BC u u u r u u u rg 的值为 ( ) A .58-B .18C .14D .1188.已知函数2(4,0,()log (1)1,0),33ax a x f x x x a x ⎧+<⎪⎨+++⎪-⎩≥（0a >,且1a ≠）在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是 ( )A .20,3⎛⎤⎥⎝⎦ B .23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭U D .123,334⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭U姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共21页） 数学试卷 第5页（共21页） 数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知,a b ∈R ,i 是虚数单位,若(1i)(1i)b a +-=,则ab的值为 .10.281()x x-的展开式中7x 的系数为 （用数字作答）.11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示（单位:m ）,则该四棱锥的体积为 3m .12.如图,AB 是圆的直径,弦CD 与AB 相交于点E ,22BE AE ==,BD ED =,则线段CE 的长为 .13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a满足|1|(2)(a f f ->,则a 的取值范围是 .14.设抛物线22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数,0p >）的焦点为F ,准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B .设7,02C p （）,AF 与BC 相交于点E .若||2||CF AF =,且ACE △的面积为则p 的值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=---（Ⅰ）求)(f x 的定义域与最小正周期;（Ⅱ）讨论)(f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.16.（本小题满分13分）某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（Ⅰ）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率; （Ⅱ）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图,正方形ABCD 中心为O ,四边形OBEF 为矩形,平面OBEF ⊥平面ABCD ,点G 为AB 的中点,2AB BE ==. （Ⅰ）求证:EG ∥平面ADF ;（Ⅱ）求二面角O EF C --的正弦值.（Ⅲ）设H 为线段AF 上的点,且23AH HF =,求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的n ∈*N ,n b 是n a 和1n a +的等比中项.（Ⅰ）设221n n n c b b +=-,n ∈*N ,求证:数列{}n c 是等差数列;（Ⅱ）设1a d =,()2211nkn k k T b ==-∑,n ∈*N ,求证:21112nk kT d =<∑.19.（本小题满分14分）设椭圆的2221(3x y a a +=>的右焦点为F ,右顶点为A .已知113||||||eOF OA FA +=,其中O 为原点,e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程;（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上）,垂直于l 的直线与l 交于点M ,与y 轴交于点H ,若BF HF ⊥,且MOA MAO ∠∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.20.（本小题满分14分）设函数3()(1)f x x ax b =---,x ∈R 其中,a b ∈R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若()f x 存在极值点0x ,且10()()f x f x =,其中10x x ≠,求证:1023x x +=; （Ⅲ）设0a >,函数()|()|g x f x =,求证:()g x 在区间[]0,2上的最大值不小于14.数学试卷 第7页（共21页） 数学试卷 第8页（共21页） 数学试卷 第9页（共21页）2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】把x 1,2,3,4=分别代入y 3x 2=-得：y 1,4,7,10=，即B {1,4,7,10}=， ∵A {1,2,3,4}=，∴A B {1,4}=I ，故选D ．【提示】把A 中元素代入y 3x 2=-中计算求出y 的值，确定出B ，找出A 与B 的交集即可．【考点】集合思想；定义法；集合． 2.【答案】B【解析】做出不等式组x y 202x 3y 603x 2y 90-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如下图中三角形的区域，做出直线0l :2x 5y 0+=，图中的虚线，平移直线0l ，可得经过点(3,0)时，z 2x 5y =+取得最小值6，故选B ．【提示】做出不等式组表示的平面区域，做出直线0l :2x 5y 0+=，平移直线0l ， 可得经过点(3,0)时，z 2x 5y =+取得最小值6． 【考点】简单线性规划． 3.【答案】A【解析】在ABC △中，若AB =，BC 3=，C 120︒∠=，222AB BC AC 2AC BCcosC =+-g ，得：2139AC 3AC =++，解得AC 1=或AC 4=-（舍去），故选A ．【提示】直接利用余弦定理求解即可． 【考点】余弦定理的应用． 4.【答案】B【解析】第一次判断后：不满足条件，S 248=⨯=，n 2=，i 4>；第二次判断不满足条件n 3>；第三次判断满足条件：S 6>，此时计算S 862=-=，n 3=，第四次判断n 3>不满足条件，第五次判断S 6>不满足条件，S 4=，n 4=，第六次判断满足条件n 3>，故输出S 4=，故选B ．【提示】根据程序进行顺次模拟计算即可． 【考点】程序框图． 5.【答案】C【解析】n {a }是首项为正数的等比数列，公比为q ，若“q 0<是“对任意的正整数n ，2n 12n a a 0-+< 不一定成立，例如：当首项为2，1q 2=-时，各项为2，1-，12，14-，…，此时2(1)10+-=>，1110244⎛⎫+-=> ⎪⎝⎭；而“对任意的正整数n ，2n 12n a a 0-+< ，前提是“q 0< ，则“q 0< 是“对任意的正整数n ，2n 12n a a 0-+<的必要而不充分条件，故选C ．【提示】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可． 【考点】必要条件，充分条件，充要条件．6.【答案】D【解析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为22x y 4+=，双曲线两条渐近线方程为b y x 2=±，设b A x,x 2⎛⎫⎪⎝⎭，则∵四边形ABCD 的面积为2b ，∴2x bx 2b =g ，∴x 1=±，将b A 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入22x y 4+=，可得2b 144+=，∴2b 12=，∴双曲线的方程为22x y 1412-=，故选D ．【提示】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为22x y 4+=，双曲线的两条渐近线方为by x 2=±，利用四边形ABCD 的面积为2b ，求出A 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．【考点】双曲线的简单性质． 7.【答案】B【解析】由DD 、E 分别是边AB 、BC 的中点，DE 2EF =，AF BC (AD DF)(AC AB)=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g221313311AB DE (AC AB)AB AC (AC AB)AC AB AC AB 2224442⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，311111144228=--=ggg ，故选B ．【提示】运用向量的加法运算和中点的向量表示，结合向量的数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【考点】平面向量数量积的运算．8.【答案】C【解析】a y log (x 1)1=++在[0,)+∞递减，则0a 1<<，函数f (x)在R 上单调递减，则2a 34a 020a 10(4a 3)03a log (01)1-⎧≥⎪⎪<<⎨⎪+-+≥++⎪⎩g ；解得，13a 34≤≤；由图像可知，在[0,)+∞上，f (x)2x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，f (x)2x=-同样有且仅有一个解，当3a 2>即2a 3>时，联立2x (4a 3)3a 2x +-+=-，则数学试卷 第10页（共21页） 数学试卷 第11页（共21页） 数学试卷 第12页（共21页）2(4a 2)4(3a 2)0∆=---=，解得3a 4=或1（舍去），当13a 2≤≤时，由图像可知，符合条件，综上：a 的取值范围为123,334⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭U ，故选C ．【提示】利用函数是减函数，根据对数的图像和性质判断出a 的大致范围，再根据f (x)为减函数，得到不等式组，利用函数的图像，方程的解的个数，推出a 的范围． 【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】∵(1i)(1bi)1b (1b)i a +-=++-=，a,b ∈R ，∴1b a 1b 0+=⎧⎨-=⎩，解得：a 2b 1=⎧⎨=⎩，∴a2b =． 【提示】根据复数相等的充要条件，构造关于a ，b 的方程，解得a ，b 的值，进而可得答案．【考点】复数代数形式的乘除运算． 10.【答案】56- 【解析】rr28rr r 163rr 1881T C (x )(1)C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令163r 7-=，解得r 3=． ∴821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为338(1)C 56-=-．【提示】利用通项公式即可得出． 【考点】二项式系数的性质． 11.【答案】2【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积2S 212m =⨯=，棱锥的高h 3m =，31V Sh 2m 3==．【提示】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案． 【考点】三视图12.【解析】过D 作DH AB ⊥于H ，∵BE 2AE 2==，BD ED =， ∴BH HE 1==，AH 2=，BH 1=，∴2DH AH?BH 2==，则DH =，在Rt DHE △中，则DE ==，由相交弦定理得：CE DE AE EB =gg ，∴AE EB CE DE ===g ．【提示】由BD ED =，可得BDE △为等腰三角形，过D 作DH AB ⊥于H ，由相交弦定理求得DH ，在Rt DHE △中求出DE ，再由相交弦定理求得CE ． 【考点】与圆有关的比例线段．13.【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】∵f (x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增， ∴f (x)在区间(0,)+∞上单调递减，则a 1f (2)f (->，等价为a 1f (2)f ->，即a 12-<，则1a 12-<，即13a 22<<． 【提示】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化进行求解即可． 【考点】奇偶性与单调性的综合．14.【解析】抛物线2x 2pt y 2pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，p 0>）的普通方程为：2y 2px =焦点为p F ,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，如图：过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7C p,02⎛⎫⎪⎝⎭，AF 与BC 相交于点E ．CF 2AF =，CF 3p =，3AB AF p 2==，，ACE ∆的面积为，AE AB 1EF CF 2==，可得AFC ACE 1S S 3∆∆=即：113p 32⨯⨯=，解得p =．【提示】化简参数方程为普通方程，求出F 与l 的方程，然后求解A 的坐标，利用三角形的面积列出方程，求解即可．【考点】抛物线的简单性质，参数方程化成普通方程． 三、解答题15.【答案】解：（Ⅰ）()f x 的定义域为x x k ,k Z 2⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭．()f x 4tan x cos x cos x 4sin x cos x 33ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭214sin x cos x x 2sin x cos x x 2⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭πsin2x cos2x)sin2x 3=+-=-．所以，f (x)的最小正周期2πT π2==． （Ⅱ）令πz 2x 3=-，函数y 2sinz =的单调递增区间是ππ2k π,2k π,k 22⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z由πππ2k π2x 2k π232-+≤-≤+，得π5πk πx k π1212-+≤≤+，k ∈Z 设ππA ,44⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，π5πB x k πx k π,k 1212⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，数学试卷 第13页（共21页） 数学试卷 第14页（共21页） 数学试卷 第15页（共21页）易知ππA B ,124⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦I ．所以，当ππx ,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f (x)在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．【提示】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的余弦公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简求解即可．（Ⅱ）利用三角函数的单调性进行求解即可．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图像．16.【答案】解：（Ⅰ）由已知，有112344210C C C 1P(A)C 3+==所以，事件A 发生的概率为13． （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为1,2,3，222334210C C C 4P(X 0)C 15++===， 11113334210C C C C 7P(X 1)C 15+===， 1134210C C 4P(X 2)C 15===．随机变量X 的数学期望E(X)0121151515=⨯+⨯+⨯=．【提示】（Ⅰ）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A ，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率．则P(A)． （Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3分别求出P(X 0)=，P(X 1)=，P(X 2)=，P(X 3)=的值，由此能求出X 的分布列和EX ．【考点】离散型随机变量的期望与方差，列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列．17.【答案】解：依题意，OF ABCD ⊥平面，如图，以O 为点，分别以AD u u u r ，BA u u u r ，OF u u ur 的方向为x 轴，y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)-，B(1,1,0)--，C(1,1,0)-D(1,1,0)，E(1,1,2)--，F(0,0,2)，G(1,0,0)-．（Ⅰ）AD (2,0,0)=u u u r ，AF (1,1,2)=-u u u r ．设1n (x,y,z)=u u r 为平面ADF 的法向量，则11n AD 0n AF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g u u r u u u r g ， 即2x 0x y 2z 0=⎧⎨-+=⎩．不妨设z 1=，可得1n (0,2,1)=u u r ，又EG (0,1,2)=-u u u r ，可得1EG n 0=u u u r u u r g ， 又因为直线EG ADF ⊄平面，所以EG ADF ∥平面．（Ⅱ）易证，OA (1,1,0)=-u u u r为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF (1,1,0)=u u r ，CF (1,1,2)=-u u u r ．设2n (x,y,z)=u u r 为平面CEF 的法向量，则22n EF 0n CF 0⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u r g u u r u u u r g ， 即x y 0x y 2z 0+=⎧⎨-++=⎩．不妨设x 1=，可得2n (1,1,1)=-uu r ． 因此有222OA n cos OA,nOA n ==u u u r u u ru u u r u u r g u u u r u u r g ，于是2sin OA,n =u u u r u u r 所以，二面角O EF C --的正弦值为3．（Ⅲ）由2AH HF 3=，得2AH AF 5=． 因为AF (1,1,2)=-u u u r ，所以2224AH AF ,,5555⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u ur ，进而有334H ,,555⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而284BH ,,555⎛⎫= ⎪⎝⎭u u ur ，因此222BH n cos BH,n BH n ==u u u r u u ru u u r u u r g u u u r u u r g ． 直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为21． 【提示】（Ⅰ）通过证明1EG n 0=u u u r u u rg ，又因为直线EG ADF ⊄平面证明：EG ADF ∥平面；（Ⅱ）求出平面OEF 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O EF C --的正弦值；（Ⅲ）求出284BH ,,555⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，利用向量的夹角公式求出直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角． 18.【答案】解：（Ⅰ）由题意得2n n n 1b a a +=，有22n n 1n n 1n 2n n 1n 1c b b a a a a 2da +++++=-=-=，因此2n 1n n 2n 1c c 2d(a a )2d +++-=-=，所以n {c }是等差数列． （Ⅱ）222222222n n 12342n 12n 242nn(a a )T (b b )(b b )(b b )2d(a a a )2d 2d n(n 1)2-+=-++-++-+=+++==+L g 所以nn n 2222k 1k 1k 1k1111111111T 2d k(k 1)2d k k 12d n 12d ===⎛⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑g ． 【提示】（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质，建立方程关系，根据条件求出数列n {c }的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可．（Ⅱ）利用裂项法进行求解，结合放缩法进行不等式的证明即可【考点】数列与不等式的综合，等差关系的确定．19.【答案】解：（Ⅰ）设F(c,0)，由113c OF OA FA +=，即113c c a a(a c)+=-， 可得222a c 3c -=，又222a c b 3-==， 所以2c 1=， 因此2a 4=，数学试卷 第16页（共21页） 数学试卷 第17页（共21页） 数学试卷 第18页（共21页）所以椭圆的方程为22x y 143+=．（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (k 0)≠，则直线l 的方程为y k(x 2)=-．设B B B(x ,y )，由方程组22x y 143y k(x 2)⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得2222(4k 3)x 16k x 16k 120+-+-=． 解得x 2=或228k 6x 4k 3-=+，由题意得2B 28k 6x 4k 3-=+，从而B 212k y 4k 3-=+．由（Ⅰ）知，F(1,0)，设H H(0,y )，有H FH (1,y )=-u u u r，22294k 12k BF ,4k 34k 3⎛⎫-= ⎪++⎝⎭u u u r ．由BF HF ⊥，得BF HF 0=u u u r u u u rg ，所以2H 2212ky 94k 04k 34k 3-+=++，解得2H 94k y 12k-=． 因此直线MH 的方程为2194k y x k 12k -=-+．设M M M(x ,y )，由方程组2194k y x k 12k y k(x 2)⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩消去y ，解得2M 220k 9x 12(k 1)+=+． 在MAO △中，MOA MAO |MA ||MO|∠≤∠⇔≤，即2222M M M M (x 2)y x y -+≤+，化简得M x 1≥，即2220k 9112(k 1)+≥+，解得k ≤k ≥． 所以，直线l的斜率的取值范围为,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭U ．【提示】（Ⅰ）由题意画出图形，把OF 、OA 、FA 代入113c OF OA FA+=，转化为关于a 的方程，解方程求得a 值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由已知设直线l 的方程为y k(x 2)=-，(k 0)≠，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B 的坐标，再写出MH 所在直线方程，求出H 的坐标，由BF HF ⊥，得11H BF HF (1x ,y )(1,y )0=---=u u u r u u u rg g ，整理得到M 的坐标与k 的关系，由|MA ||MO |≤，得到0x 1≥，转化为关于k 的不等式求得k 的范围 【考点】椭圆的简单性质．20.【答案】解：（Ⅰ）由3f (x)(x 1)ax b =---，可得2f '(x)3(x 1)a =--．下面分两种情况讨论：①当a 0≤时，有2f '(x)3(x 1)a 0=--≥恒成立，所以f (x)的单调递增区间为(,)-∞+∞．②当a 0>时，令f '(x)0=，解得x 1=x 1=-．所以f (x)的单调递减区间为1⎛ ⎝⎭，单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝⎭，1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为f (x)存在极值点，所以由（Ⅰ）知a 0>，且0x 1≠，由题意，得200f '(x )3(x 1)a 0=--=，即20a(x 1)3-=，进而300002a af (x )(x 1)ax b x b 33=---=---．300000008a 2a af (32x )(22x )a(22x )b (1x )2ax 3a b x b f (x )333-=----=-+--=---=，且0032x x -≠，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足10f (x)f (x )=，且10x x ≠，因此10x 32x =-，所以10x 2x 3+=．（Ⅲ）设g(x)在区间[]0,2上的最大值为M ，max{x,y}表示x,y 两数的最大值．下面分三种情况同理：①当a 3≥时，1021≤<≤+，由（Ⅰ）知，f (x)在区间[0,2]上单调递减，所以f (x)在区间[0,2]上的取值范围为[]f (2),f (0)，因此{}{}M maxf(2),f(0)max 12a b ,1b ==---- {}max a 1(a b),a 1(a b)=-++--+a 1(a b),a b 0a 1(a b),ab 0-+++≥⎧=⎨--++<⎩，所以M a 1a b 2=-++≥． ②当3a 34≤<时，101121≤<<<≤+， 由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，()f 0f 1f 1⎛⎛≥=+ ⎝⎭⎝⎭，()f 2f 1f1⎛⎛≤=- ⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为f 1,f 1⎡⎤⎛⎛+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，M max f 1,f 1⎧⎫⎛⎛⎪⎪=+ ⎨⎬ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭ maxa b ab ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭()()max a b a b ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭231a b 944=+≥⨯． ③当30a 4<<时，0112<<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，()f 0f 1f 133⎛⎫⎛⎫<-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f 2f 1f 133⎛⎫⎛⎫>+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在区间[]0,2上的取值范围为()()f 0,f 2⎡⎤⎣⎦，因此{}{}M max f(0),f(2)max 1b ,12a b ==----{}max 1a (a b),1a (a b)=-++--+11a |a b |4=-++>．综上所述，当a 0>时，g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于14． 【提示】（Ⅰ）求出f (x)的导数，讨论a 0≤时，f '(x)0≥，f (x)在R 上递增；当a 0>时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）0f '(x )0=，可得203(x 1)a -=，分别计算0f (x )，0f (32x )-，化简整理即可得证；（Ⅲ）要证g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于，即证在[0,2]上存在x ，2x ，使得121g(x )g(x )2-≥．讨论当a 3≥时，当0a 3<<时，运用单调性和极值，化简14整理即可得证【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值．数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
