高等代数 考研习题 张升祝

华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式：11222221122111112211...1(1)(1) (1)(1)(1)...(1)(1)(1)...(1)n n nn n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------------二.（15分）设5200200000520022A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T，使'1T AT T AT -=为对角形矩阵，并写出这个对角形矩阵.三.(15分)设200201A a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是复矩阵.1.求出A 的一切可能的Jordan 标准形；2.给出A 可对角化的一个充要条件.四.(15分)已知3阶实数矩阵()ij A a =满足条件(,1,2,3)ij ij a A i j ==，其中ij A 是ij a 的代数余子式，且331a =-，求： 1.A2.方程组123001x A x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解.五.（15分）证明：一个非零复数α是某一有理系数非零多项式的根⇔存在一个有理系数多项式()f x 使得1().f αα=六.（15分）设A 是n 阶反对称阵。

证明：1.当n 为奇数时|A|=0.当n 为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A 的秩为偶数 .七.（15分）设V 是有限维欧氏空间.内积记为(,)αβ.又A 设是V 的一个正交变换。

记{}{}12|,,|V V V V ααααααα=A =∈=-A ∈，求证：1.12,V V 是v 的子空间;2. 12.V V V =⊕八.（15分）设n 阶实数方阵的特征值全是实数且A 的所有1阶主子式之和为0，2阶主子式之和也为0.求证：0n A =九.（15分）设A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程0A B λ-=的根均大于0； 2 .方程0A B λ-=所有根等于1⇔A=B.华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题一.（10分）计算下列行列式:131********...2223333 (336)...n n n n n n n n n n n n n n-------------二.(10分)证明：方程组111122121122221122...0...0(1) 0n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的解全是方程1122...0(2)n n b x b x b x +++=的解的充分必要条件是：12(,...,)n b b b β=可由向量组12,...,s ααα线性表示，其中12(,,...,)(1,2,...,).i i i in i s αααα==三（15分）设32()f x x ax bx c =+++是整系数多项式，证明：若ac+bc 为奇数，则f(x)在有理数域上不可约.四（15分）设A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。

华东师范大学2023年高等代数考研试题## 2023华东师范大学高等代数考研试题### 一、选择题1. 集合P是实数集，则“∃x∈P,x+2<7”的否定形式是A. ∀x∈P,x+2<7B. ∀x∈P,x+2≥7C. ∃x∈P,x+2≥7D.∃x∈P,x+2>72. 下列命题中，属于广义算子*的特征是A. x*y=x+yB. x*x=xC. x*1=xD. x*0=13. 已知αβγ三个元素的秩为3，由α+β=γ 知下面最小的空间维数是A. 0B.1C. 2D. 34. 对于一个n阶矩阵A，若所有元素都为0，那么A的行列式的值是A. nB. n!C. 0D. 1### 二、填空题5. 多项式f(x)=2x²-3x+5在x=1处的值是 _________。

6. 有限集P={2, 3, 4, 7, n}中n的最小可能值是 _________。

### 三、解答题7. 设m、n是自然数，证明对任意（m，n）∈N*×N*，都有m+n大于等于mn+1。

证明：由算术基本定理知，对于任意非负整数m，都有m!+1>m，将m 及n分别代入m!+1>m及m+n≥mn+1，化简后有（m+1）!>m+n，发现左右两边同乘以（m+1），可以得出（m+1）m!>m（m+1）+m（n−1），即mn+m>m（m+1），减去m（m+1）得mn>0，同时减去m+n< mn+1得负，此仅在m > 0时成立，故该式成立。

由例出可知m，n都大于等于0，因此该式成立，即m+n≥mn+1成立，证毕。

8. 已知线性代数空间V、W和线性映射T：V→W，请回答下列问题：（1）V和W是否都有双重自反？（2）V和W是否都有对称？（3）T是否具有线性特性？（1）双重自反：V和W均需要满足双重自反的性质才可以。

（2）对称：若存在T：V→W的线性映射，则V和W均需要满足对称性质。

高代考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C2. 若向量α=(1,2,3)和向量β=(2,3,4)，则向量α和向量β的点积为：A. 20B. 21C. 22D. 23答案：B3. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)：A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+3答案：A4. 若矩阵B为3阶方阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵C为2阶方阵，其特征值为1和2，则矩阵C的特征多项式为________。

答案：λ^2 - (1+2)λ + 1*2 = λ^2 - 3λ + 22. 设向量a=(1,0)，向量b=(0,1)，则向量a和向量b的叉积为________。

答案：(0,0)3. 设函数g(x)=x^2+2x+1，则g''(x)=________。

答案：24. 设线性方程组Ax=b，其中A为3阶方阵，且A的秩为3，b为3维列向量，则该方程组的解集为________。

答案：非空集合三、解答题（每题10分，共60分）1. 求矩阵D=\[\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{matrix}\]的逆矩阵。

答案：矩阵D的逆矩阵为\[\begin{matrix}2 & -1 \\ -3 &2\end{matrix}\]。

2. 设向量c=(3,-1)和向量d=(2,4)，求向量c和向量d的夹角。

答案：向量c和向量d的夹角为cos^-1((3*2 + (-1)*4) / (sqrt(9+1) * sqrt(4+16))) = cos^-1(0.6)。

3. 设函数h(x)=x^3+3x^2-3x+1，求h'(x)和h''(x)。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （）。

A ．1B ．2C ．3D ．43．以下命题不正确的是（）。

A .若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的()条件。

A .充分B .充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6．对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号,则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置,则行列式反号”有()。

A .甲成立,乙不成立；B .甲不成立,乙成立；C .甲,乙均成立；D ．甲,乙均不成立7．下面论述中,错误的是()。

A .奇数次实系数多项式必有实根；B .代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ．在[]P x 中,()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式,则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =()。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题高等代数与空间解析几何卷一、（共32分）填空1、平面上的四个点在同一个圆上的充要条件为。

（要求用含有()(,1,2,3,4i i x y i =)_____,i i x y 的等式表示）； 2、设方阵A 只与自己相似，则A 必为；_____3、设111222333a b c A a b c a b c ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟为可逆矩阵，则直线121212x y z a a b b c c ==−−−与直线232323x y za ab bc c ==−−−的位置关系为。

（要求填写相交、平行、重合、异面四者之一）；_____4、设(1234,,,A )αααα=为四阶正方矩阵，其中1234,,,αααα均为四维列向量；1242ααα=+−1233，βααα=−，且234,,ααα线性无关。

求线性方程组AX β=的通解；_____120二、（16分）求二次曲面的主方向；22224246x y z xz x y z −−+−−+−=三、（17分）设V 为n 维欧式空间，与为V 中向量，线性无关，且对任意的均有12,,,n u u u L 12,,,n v v v L 12,,,n u u u L (),,1,2,,i j i j n =L i j i j u u v v =。

证明，必有V 上的正交变换σ，使得()()1,2,,i i u v i n σ==L四、（17分）设V 为数域上的n 维向量空间，Ω,στ均为V 上的线性变换，且满足0στστ++=。

证明：σττσ=五、（17分）设A 为实对称矩阵，证明，必有实对称矩阵B ，使得A B +为正定矩阵。

六、（17分）设V 为数域上的2n 维向量空间，Ωσ为V 上的线性变换，且()Ker V σσ=。

证明，存在V 的一个适当基底及形矩阵Jordan A ，使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。

七、（17分）设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间，σ为V 上的线性变换，且对任意的A ，()TA A σ=。

完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。

若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。

若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。

综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。

1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。

由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。

根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。

用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

目　录2016年华侨大学823高等代数考研真题2015年华侨大学823高等代数考研真题2014年华侨大学823高等代数考研真题2013年华侨大学823高等代数考研真题2012年华侨大学825高等代数（A）考研真题2011年华侨大学825高等代数（B）考研真题2010年华侨大学825高等代数（A）考研真题2009年华侨大学827高等代数（B）考研真题2008年华侨大学827高等代数（A）考研真题2016年华侨大学823高等代数考研真题华侨痔2016年毗瞰生牌皓瞄（曾鼬柄在答鲫上）招生削I 基阳数学_____________________________________科目解高鄂徽 科目间（本蹒20分）I l+fl a a ■- aa 2+o a - a旅撅行列丈中# a 3+tf …a l 其中湛触!•a a a n 拓二（榔冲）邮1,坷二4硼朝，方醐叫地忸=2凯-解?孺?有耕螺?糙有游矽派+、= 4卸时危晚的瑚脸三体瞬分叫）谶慵好四何娜炯制=（叫0）物咐LW,穴=妇邮,^（1,-LVf 州=血闷）融时特Jtt 了如,匕=/叫从）融/U 锹防蛹,刈卵的州+K 贼烟北■用蹒四、（横翔15分）肺嫩氏魏『上的T 知,割推娜睡如寸，融侦《）,妣））池0，其中（-「）卧上丽札京证:iuJTil捌生制t基础数学_________________________________楣蜘高酬数植辟顼—瓦（本毓分20分）如肛阶正踊阳iffl：（i）/TM砌疏的顼械脸嗣拽耽①毗蜥制攻a,M聃招+*+吼觥晓的,帅甘孙州觥队'I0M六、体麟分15分）i拓I0-I.「I I0；⑴耕岫粼⑵证知濒默上棚化觥A.啪邮财聃觥，七、（横舫20分）g/（.r）=UH-+-Z2!M（1）邮.佝洲哪赤（2）踢飘融她何布锢麒QU利输儿体毓分M）加顺虾上屈岫袖濒.（1）蹦对料鞋虹K排正剿"企,僻仙a,饰），，杼仞栅航翎护财的做于空何，养求儿在项虾觥％（2）踢m州的网协勒北枷的飘"解度+祁翩，傩血楠额是残卵Ker侧麒）耶页舅2页2015年华侨大学823高等代数考研真题倾大学2015年硕土研魔生入学鸵专蟀琳（曾耕柄在答醐上）解专业融孵__________________________________裾爵翳燃科目册梆题（本默5帽,刨明。