2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题(解析版)

2019-2020学年浙江省宁波市鄞州中学高三（下）期初数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集0，1，2，，集合，，则A. B. 1，C. D. 0，2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 23.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 0 D. 24.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2B.C.D. 35.已知等比数列的前n项和为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称．若当时，，则A. 0B. 1C. 2D. 47.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．A盒中有m 个红球与个白球，B盒中有个红球与m个白球，若从A，B盒中各取一个球，表示所取的2个球中红球的个数，则当取到最大值时，m的值为A. 3B. 5C. 7D. 98.在棱长为2的正方体中，点P是正方体棱上的一点，若满足的点P的个数大于6个，则m的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数满足：对任意的实数x，y，都有成立，且，则A. B. C. D.10.已知数列满足，，则使得最小的整数m是A. 65B. 64C. 63D. 62二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.设i为虚数单位，给定复数，则z的虚部为______；模为______．12.二项式的展开式中常数项等于______，有理项共有______项．13.已知直线l：，到当实数m变化时，原点O到直线l距离的最大值为______；平面内所有恒不在l上的点所形成的图形面积为______．14.在中，，，，D为线段BC的中点，则______，______．15.已知抛物线E：和直线l：，P是直线上l一点，过点P做抛物线的两条切线，切点分别为A，B，C是抛物线上异于A，B的任一点，抛物线在C处的切线与PA，PB分别交于M，N，则外接圆面积的最小值为______．16.已知平面向量，满足，，则的取值范围是______．17.已知m，，，函数其中表示对于，当时表达式的最大值，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知，，令．Ⅰ求的最小正周期及的解集；Ⅱ锐角中，，边，求周长最大值．19.如图，在四棱台中，底面是正方形，且，点E，F分别为棱BC，的中点，二面角的平面角大小为．Ⅰ证明：；Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．20.已知数列的前n项和为，且满足，．Ⅰ证明：为常数列，并求；Ⅱ令，求数列的前n项和．21.已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，离心率为，P是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知的内切圆半径的最大值为．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设直线与椭圆E交于A，B两点不同于点，直线AP，BP分别与直线相交于点M，N，证明：．22.已知函数．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ若对任意的恒成立，求a的取值范围；Ⅲ证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：全集0，1，2，，集合1，，，1，，则，故选：C．求出集合A，再求出，得出结论．考查集合的交并补运算，基础题．2.答案：A解析：解：双曲线的一条渐近线方程为，，，双曲线的离心率是．故选：A．利用双曲线的一条渐近线方程为，可得，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．3.答案：A解析：解：由得；作出实数x，y对应的平面区域如图：阴影部分：平移直线；由图象可知当直线，过点时，直线的截距最大，此时z最小，代入目标函数，得，目标函数的最小值是；故选：A．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4.答案：B解析：解：如图，该几何体为三棱锥．则该几何体的体积是，故选：B．该几何体为三棱锥利用三棱锥体积公式求得几何体的体积．本题考查了三视图还原几何体，属于基础题．5.答案：C解析：解：设等比数列的公比为q，若，由，得，反之成立；若，，与同号，则．“”是“”的充要条件．故选：C．设等比数列的公比为q，分和两类分析得答案．本题考查等比数列的前n项和，考查充分必要条件的判定，是中档题．6.答案：C解析：解：根据题意，是R上的奇函数，则有，且，又由的图象关于直线对称，则有，则有，变形可得，则有，故是周期为8的周期函数；又由当时，，则，，故有；故选：C．根据题意，分析可得，则是周期为8的周期函数；结合函数的解析式求出和的值，据此计算可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期性，属于基础题．7.答案：B解析：【分析】本题考查了概率计算与离散型随机变量的分布列以及离散型随机变量的数学期望与方差计算公式，考查了基本不等式，属于中档题．由题意可得：，1，，，可得分布列，可得与．【解答】解：由题意可得：，1，2．，，．分布列为：0 1 2P．．，当且仅当时取等号．故选：B．8.答案：D解析：解：分类讨论：正方体的棱长为2，，点P是正方体棱上的一点不包括棱的端点，满足，点P是以为焦距，以为长半轴，以为短半轴的椭圆，在正方体的棱上，应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．满足的点P的个数为12个．满足条件．个顶点中，除了B，两个以外的6个顶点满足，且是正方体棱上的所有点中的最大值，只有这6个顶点．因此除了以上6个顶点以外的点满足：，不难得出满足条件：的点P都满足的点P的个数大于6个，由选择支可得只能选择D．故选：D．首先说明：满足条件的点P有12个，符合题意．再说明：个顶点中，除了B，两个以外的6个顶点满足，且是正方体棱上的所有点中的最大值，只有这6个顶点．因此除了以上6个顶点以外的点满足：，不难得出满足条件：的点P都满足的点P的个数大于6个，结合选择支即可得出结论．本题考查了正方体的性质、椭圆的意义、数形结合方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．9.答案：A解析：解：因为，令可得即，令，可得，所以因为，联立可得，，又因为，所以，因为，所以，所以，故故选：A．结合已知可对x进行合理的赋值，逐步推出的值即可求解．本题主要考查了利用抽象函数求解函数值，解题的关键是进行合理的赋值．．10.答案：B解析：解：数列满足，，，，，，，，，，，，最接近的整数是64，使得最小的整数m是64．故选：B．推导出，从而，进而利用累加法求出，，再由，得到，，利用累加法求出，由此能求出使得最小的整数m．本题考查满足条件的最小正整数的求法，考查累加求和法等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：复数，则z的虚部为；模，故答案为：；．利用复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式即可得出．本题考查复数的运算法则、虚部的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：15 4解析：解：二项式的展开式的通项公式为令，求得，可得展开式中常数项为，令，1，2，3，4，5，6；可得，，0，，，，；所以其有理项有4项．故答案为：15，4．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．再把r的所有取值分别代入幂指数即可求出其有理项的个数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题13.答案：解析：解：O到直线的距离，转化为：，不在直线上的点可得关于m的方程无解，所以，即，即不在直线上的点在以为圆心，以为半径的圆上，所以圆的面积为，故答案为：，．由点到直线的距离公式求出，再由均值不等式求出最大值，方程转化不在直线上的点可得关于m的二次方程无解，可得曲线方程，进而求出面积．本题考查了点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：如图所示，在中，设，则，令，在，中，分别利用余弦定理可得：，，相加可得：．代入可得：，解得．，，，故答案为：2，．如图所示，设，则在，中，分别利用余弦定理相加可得：代入可得由，可得即可得出．本题考查了余弦定理勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N四点共圆，则当点P确定时，选择恰当的C，面积最小值即为以为直径的圆，而的最小值即为焦点F到直线l的距离，即此时外接圆的半径为，此时的面积为，即外接圆面积的最小值为．故答案为：．由抛物线的光学性质可知，P，M，F，N四点共圆，则面积最小值为以为直径的圆，而的最小值即为焦点F到直线l的距离，由此即可得解．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线性质的运用，考查运算求解能力，属于较难题目．16.答案：解析：解：不妨设，则，又，，化简整理得，则表示椭圆上的动点到定点椭圆的左焦点的距离，由椭圆性质可知，的最大值为，最小值为，．故答案为：．不妨设，由题意化简可得，则表示椭圆上的动点到定点椭圆的左焦点的距离，由椭圆性质即可得解．本题考查平面向量模长范围的求解，涉及了平面向量的坐标运算以及椭圆的简单几何性质，解题的关键是将纯平面向量问题坐标化，进而通过几何意义得解，考查化归与转化思想，属于中档题．17.答案：解析：解：不妨令，的最大值为，则，，，当且仅当时取等号，，即的最小值为．故答案为：．设，的最大值为，由题意可得，两式相加后利用不等式即可求得，进而得解．本题考查二次函数的性质以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，，的解集是．Ⅱ，，，，，锐角三角形且角，，当时，最大为，周长最大值为．解析：Ⅰ先根据数量积以及三角函数的有关知识整理解析式，进而求解结论即可．Ⅱ先根据条件求出角A，根据正弦定理表示出周长，结合角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ证明：如图所示，延长，，，，EF交于点P，由题意得，取AD中点M，连接PM，EM，则，，又，所以平面PME，又平面PME，所以；Ⅱ连接AC交ME于O点，连接，则且，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由Ⅰ得平面PME，又，所以平面PME，又平面，所以平面平面PME，又平面平面，过O作，连接，则平面，则是直线与平面所成角．由Ⅰ得是二面角的平面角，所以，在中，，，即，计算得，在直角中，，所以直线与平面所成角的正弦值为．解析：Ⅰ延长，，，，EF交于点P，取AD中点M，连接PM，EM，运用线面垂直的判定和性质，即可得证；Ⅱ连接AC交ME于O点，连接，运用中位线定理和线面角的定义可得直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由面面垂直的性质定理过O作，连接，是直线与平面所成角．由Ⅰ得是二面角的平面角，由解三角形的知识可得OH，再由直角三角形的正弦函数的定义可得所求值．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间的二面角和线面角的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．20.答案：Ⅰ证明：因为，当时，，得，，即，同除得，，整理得，所以为常数列．因为，所以，则，所以．Ⅱ解：由Ⅰ得，所以，则．当，时，，当，时，，综上，．解析：Ⅰ由，当时，相减化简可得：，所以为常数列．即可得出．Ⅱ由Ⅰ得，可得，通过分类讨论求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ由题意知：，，，，设的内切圆半径为r，则，故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，所以，把，代入，解得：，，所以椭圆方程为；Ⅱ设，，，则，，，令得，从而，同理，．解析：Ⅰ先求出，，又当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，代入计算可得a，b，c的值，从而求出椭圆E的方程；Ⅱ先分别表达出点M，N的坐标，代入化简即可得到．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：函数的定义域为，．Ⅰ当时，，所以在上单调递增；当时，令，则，此时单调递增；令，则，此时单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减．Ⅱ当时，，故不合题意；当时，由Ⅰ知，解得，故a的取值范围为．Ⅲ证明：由Ⅱ知，取，有不等式成立．当时，得，所以．解析：Ⅰ函数的定义域为，，然后分和两个类别，讨论的正负性，从而确定函数的单调性；Ⅱ先将函数的恒成立问题转化为函数的最值问题，然后结合Ⅰ中函数的单调性，求出函数的最大值，列出关于a的不等式，解之即可得解；Ⅲ在Ⅱ的基础上，取，有不等式成立，再取，则，然后结合放缩法和等差数列的前n项和公式进行证明即可．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数求含参函数的单调性和最值、函数的恒成立问题，以及放缩法证明不等式、等差数列的前n项和公式等问题，考查学生转化与回归的能力和运算能力，属于难题．。

函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

2020届浙江省宁波市十校高三下学期3月联考数学试题一、单选题1．已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =I （ ）A ．(1,2)-B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(1,2)【答案】B【解析】直接根据交集的定义计算P Q I 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，所以{|01}P Q x x =<<I .故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查基本运算求解能力，属于容易题.2．双曲线22194x y -=离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．59【答案】A【解析】由标准方程求出c 和a ，继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=，所以13c =. 由29a = 可知3a =.13c e a ∴==. 故选:A.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，考查了离心率的求解.3．若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】由约束条件画出可行域，通过平移13y x =-分析即可得最优解，代回3z x y =+中即可求出最小值.【详解】解：画出可行域为如图所示的阴影部分.由3z x y =+可知1133y x z =-+.则当1133y x z =-+过()4,2C -时，min 462z =-=-.故选:B.【点睛】本题考查了线性规划.一般情况下，首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义，分析出最优解.这里在画可行域时应注意，边界线是实线还是虚线.4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．343cm B ．32cmC ．383cmD ．34cm【答案】C【解析】由三视图还原出几何体，依据锥体体积的公式即可求解.【详解】解：由三视图可知，该几何体为底面是正方形的四棱锥，高为2.所以体积为3118222333V Sh cm ==⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查了几何体体积的求解，考查了三视图.5．函数()()22x b af x -=的图像如图所示，则（ ）A ．0,01a b ><<B ．0,10.4a b >-<≤C ．0,10a b <-<<D ．0,01a b <<≤【答案】D【解析】由解析式及图像判断出01b <≤，结合复合函数单调性，可知0a <.【详解】解：由()()22x b af x -=可知，()()22x af x b f b x +=-= ，所以函数对称轴为x b =，由图可知01b <≤.设()2x b u a-=，则()2uf u =.由图可知，函数先增后减.因为()2uf u =单调递增，所以()2x b u a-=应先增后减，故0a <.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了复合函数的单调性.若()()f x a f b x +=-，则该函数的对称轴为2a bx +=；对于复合函数的单调性，遵循同增异减的原则.6．设a R ∈，则“2a =-”关于x 的方程“20x x a ++=有实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】以2a =-为条件，判断20x x a ++=有实数根是否成立；以20x x a ++=有实数根为条件，判断2a =-是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当2a =-时，1490a ∆=-=> ，此时20x x a ++=有实数根；当20x x a ++=有实数根时，140a ∆=-≥，即14a ≤. 故选:A.【点睛】本题考查了命题的充分必要条件的判断.一般此类问题分为两步，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则p 是q 的必要条件.7．正方体1111ABCD A B C D -，P 是线段1BD （不含端点）上的点.记直线PC 与直线AB 所成角为α，直线PC 与平面ABC 所成角为β，二面角PBC A -的平面角为γ，则（ ）A ．βγα<<B ．αβγ<<C ．γβα<<D ．γαβ<<【答案】A【解析】不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ，连接,,,,PO PK PC PD KO ,经过分析,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠，从而可求出tan ,tan ,tan αβγ，进而可比较三个角的大小.【详解】解：如图，不妨设P 为1A C 的中点，连接,AC BD 交于O ，做BC 的中点为K ， 连接,,,,PO PK PC PD KO ，则PO ⊥面ABCD .设正方体的边长为2a . 由题意知,,PCD PKO PCO αγβ=∠=∠=∠.KO PO a ==，2CO a =3PC CD a ==，则tan 1a a γ==；2223cos 232a aα==⋅⋅ 则tan 2α=； 2tan 22PO CO aβ===.因为tan tan tan βγα<<，所以βγα<<. 故选:A.【点睛】本题考查了线线角，考查了线面角，考查了二面角.对于空间中角的问题，在求解时有两种思路，一是按定义直接找到所求角，结合正弦定理、余弦定理、三角函数等求解；二是结合空间向量求解.8．已知随机变量的分布列如下102a ⎛<<⎫ ⎪⎝⎭：ξ1 2Pb a - ba则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ有最大值32C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12【答案】D【解析】由所有概率之和为1求出12b =,进而可求()122E a ξ=+，()211442D a ξ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，结合102a <<，可求最值. 【详解】解：由题意知，21b a b a b -++==，即12b =.则()()113022,222b a b a a E ξ⎛⎫=⋅-++=+∈ ⎪⎝⎭，所以()E ξ没有最值. ()()222111021222222a b a a D b a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22111424442a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.由102a <<可知，当14a =时，()D ξ有最大值为12. 故选:D.【点睛】本题考查了分布列，考查了数学期望，考查了方差.对于分布列的题目，隐藏条件为，所有概率之和为1.本题的难点是计算化简.9．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个.A ．576B ．1296C ．1632D ．2020【答案】B【解析】分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可.【详解】解：当取出的4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有224444864C C A ⋅⋅=个；当取出的4个数字中有0时，共有214424C C ⋅=中组合，这四位数字所组成的四位数有223318A ⨯⨯=个，所以这种情况下的四位数共有2418432⨯=个.4328641296+=故选:B.【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零.10．数列{}n a 满足21121,n n n a a a a n N ++==-+∈，，则（ ）A ．存在k N +∈，使1122k k k a --<<B ．存在m ，k N +∈，m k a ka =C ．存在m ，,m k k N a ma +∈=D ．121111na a a ++⋅⋅⋅+< 【答案】D【解析】由数列单调性的定义作差可得10n n a a +->，可得{}n a 为递增数列，又()2111n n n n n a a a a a +=--=-，两边取到数，结合裂项求和以及不等式的性质可选出正确选项.【详解】解：由题意知， ()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-.由于120a => ，所以()210n a ->，则10n n a a +->，所以{}n a 为递增数列. 211n n n a a a +=-+Q ，()2111n n n n n a a a a a +∴-=-=-，()11111111n n n n n a a a a a +∴==----.即111111n n n a a a +=---，则12122311111111111111 (11111111)n n n n a a a a a a a a a a a +++++=-+-++-=---------1111n a +=--.由{}n a 为递增数列，可得1101n a +>-，则11111n a +-<-. 即121111na a a ++⋅⋅⋅+<故选:D.【点睛】本题考查了数列递推式的应用，考查数列的单调性，考查了裂项求和，考查了化简运算能力和推理能力.本题的难点是对递推公式进行处理.二、填空题11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数字中的天桥”根据欧拉公式可知，2020i e π=___________【答案】1【解析】由已知可知2020cos2020sin2020i e i πππ=+，运用诱导公式可求出cos20201π=，以及sin20200π=，继而可求2020i e π.【详解】解：由题意知，2020cos2020sin2020i e i πππ=+，()cos2020cos 021010cos01ππ=+⋅==，同理，sin2020sin00π==.故2020cos2020sin20201i e i πππ=+=.故答案为:1.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了三角函数求值，考查了推理能力和计算能力. 12．()()421x x ++的展开式中项3x 的系数为___________【答案】14【解析】由二项式定理写出()()421x x ++的通向，求出通项中3x ，即可求系数.【详解】解：()41+x 展开式中的第1k + 项为414kkk T C x-+=，则()()54444221k k k k x C x x x C --=+++当2k =时，246C =；当1k =时，1428C =，8614+=.故答案为：14.【点睛】本题考查了二项式定理.做题关键是掌握二项展开式通项公式.13．设向量()()1122,,,a x y b x y ==r r ，记1212*a b x x y y =-r r ，若圆22:240C x y x y +-+=上的任意三点123A A A ，，，且1223A A A A ⊥，则1223**OA OA OA OA +u u u r u u u u r u u u u r u u u u r的最大值是___________【答案】16【解析】设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ,根据条件得13131,222x x y y ++==-,则 ()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v,所以当直线240x y b ++= 与圆相切时,24x y + 有最大值,利用圆与直线的位置关系可求出最大值.【详解】解：由圆的方程得()()22125x y -++=，则圆心()1,2C -，半径5r =.设()()()111222333,,,,,A x y A x y A x y ，由1223AA A A ⊥得13A A 为直径， 由此可得13131,222x x y y ++==-，即13132,4x x y y +=+=-. 则()()122321321322**24OA OA OA OA x x x y y y x y +=+-+=+u u u v u u u u v u u u u v u u u u v，2A 为圆上的一点，当直线240x y b ++=与圆相切时，24x y + 有最大值.则圆心到直线的距离28520b d -+==，解得16b =或4-.则当16b =时，24x y + 有最大值为16.故答案为:16.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查平面向量的运算，考查转化的思想.本题的难点在于将24x y +的最值问题转化为直线与圆相切的问题.三、双空题14．在四边形ABCD 中，12,34AB BC CD AD ====，，，且120ABC ∠=︒，则AC =___________，cos BCD ∠=___________7 2114-【解析】利用余弦定理求出AC 的值，利用勾股定理逆定理判断90ACD ∠=o ，由正弦定理和诱导公式即可求出cos BCD ∠的值.【详解】解：在ABC ∆中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠即21422cos1207AC =+-⨯⨯=o ，7AC ∴=又2227916AC CD AD +=+==，所以90ACD ∠=o.由sin sin AB AC ACB B =∠∠，可知21sin 147ACB ∠==o . ()21cos cos 90sin BCD ACB ACB ∴∠=∠+=-∠=o 故答案为:7;21. 【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断90ACD ∠=o .在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.15．已知直线()():10l y k x k =+≠，椭圆22:143x yC +=，点()1,0F ，若直线和椭圆有两个不同交点A B ，，则ABF V 周长是___________，ABF V 的重心纵坐标的最大值是___________【答案】83【解析】由椭圆的定义可求出三角形的周长为224a a a +=；设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，消去y ，即可求出122643ky y k +=+，进而可知重心纵坐标为1202334y y y k k+==+，分0,0k k >< 两种情况，结合基本不等式，即可求出033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦，从而可求出重心纵坐标的最大值.【详解】解：由题意知，可知()():10l y k x k =+≠恒过定点()1,0-，此点为椭圆的左焦点，记为'F .则'24,'24AF AF a BF BF a +==+==.所以ABF ∆的周长为''448AB AF BF AF AF BF BF ++=+++=+=.设()()1122,,,A x y B x y设ABF V 的重心纵坐标为0y .则12120033y y y y y +++== .联立直线与椭圆方程得 ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2236490y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.则222363136414410k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222663434k ky y k k+==++ 所以12022233434y y k y k k k+===++.当0k > 时，3424343k k+≥⨯=，当且仅当34k k =，即3k = 时，等号成立，此时03643y ≤=； 当k 0<时，()333442443k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+=---≤--⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当34k k-=-，即3k =时，等号成立，此时0343y ≥=. 综上所述：033y ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦.所以ABF V 的重心纵坐标的最大值是36. 故答案为: 83【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了基本不等式.对于椭圆中的三角形问题，常结合椭圆的定义、性质以及解三角形的思路求解.本题的易错点是求出重心纵坐标的表达式时，未对k 进行讨论.应用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等.16．()121f x x x =--+的值域为___________；若函数()()g x f x a =-的两个不同零点12,x x ，满足12210x x ≤-≤，则实数a 的取值范围是___________【答案】(],2-∞ 15,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】将函数化为分段函数的形式，作出图像，即可求出值域；依题意，()f x a =的零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或者(],1-∞-和[)1,+∞上，分类讨论结合已知即可求出.【详解】解：()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，作出图像如下，由图像可知，函数的值域为(],2-∞.由()0g x =得()f x a =，显然，零点必然在(],1-∞-和[]1,1-上或(],1-∞-和[)1,+∞上，令12331x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得12313x a a x =-⎧⎪+⎨=-⎪⎩，又12210x x ≤-≤，则111719,,2222a ⎡⎤⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由121,11x x ≤--≤≤，可得14,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；令1233x a x a +=⎧⎨--=⎩，解得1233x a x a =-⎧⎨=--⎩，又12210x x ≤-≤，则[][]5,11,5a ∈--⋃，同时121,1x x ≤-≥，得[]5,4a ∈--. 综上所述：15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：(],2-∞;15,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数值域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查不等式的求解，考查数形结合的思想，考查分类讨论思想以及运算求解的能力.求函数的值域时，一般采用的思路有：图像法、导数法、结合函数的性质等.17．已知双曲线221:1C x y -=，曲线222:x yC x y y x+=-，则曲线12,C C 的交点个数是___________个，原点O 与曲线2C 上的点之间的距离最小值是___________【答案】0 2【解析】联立曲线12,C C 的方程，通过配方法，解方程可判断交点个数；由两点的距离公式和三角换元，结合同角公式和二倍角公式，以及正弦函数的值域，可得所求最小值.【详解】解：联立方程组22221x y x y x y y x ⎧-=⎪⎨+=-⎪⎩，整理可得，22x y xy +=，即2213024x y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 由0xy ≠可知方程无解，即两条曲线没有交点.设曲线2C 上的点为(),x y ，则原点与2C 上的点之间的距离为22r x y =+设cos ,sin x r y r αα==，02απ≤<，代入2C 得()()()222222cos sin cos sin cossin r r r r r r αααααα+=⋅-整理得24411sin 2cos2sin 424r r r ααα==.由sin41α≤，可得241r≤，解得2r ≥ 当sin41α= 时，r 取最小值为2.故答案为: 0;2.【点睛】本题考查曲线方程的关系，考查两曲线的交点个数，考查了两点的距离公式.应注意运用方程思想和三角换元.本题计算量较大，计算容易出错.四、解答题18．设函数()sin cos ,R f x x x x =+∈.（1）已知[]0,2θπ∈，函数()f x θ+是奇函数，求θ的值；（2）若()2f α=3f πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）34πθ=或74π（2）23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭【解析】（1）由三角恒等变换求得()24f x x πθθ⎛⎫+=++⎪⎝⎭，再由奇函数可知,4k k Z πθπ+=∈，结合[]0,2θπ∈可求出符合题意的θ的值.（2）由()2f α可求出1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则所求26344f a πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即可求出值.【详解】解：（1）()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫ ⎪⎝==+⎭+，()24f x x πθθ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭因为()f x θ+为奇函数，所以,4k k Z πθπ+=∈，解得,4k k Z πθπ=-+∈∵02θπ≤≤∴当0k =或1 时，34πθ=或74π. （2）因为()2f α=，所以22sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得3cos 4πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭所以262sin sin cos 34344f a πππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 当3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当3cos 4πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，23f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角恒等变换，考查了同角三角函数的基本关系，考查了正弦函数的奇偶性.若已知()()sin f x A x ωϕ=+ 为奇函数，则,k k Z ϕπ=∈；若已知()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则,2k k Z πϕπ=+∈.19．如图，三棱锥P ABC -中，PAC V 是正三角形，ABC V 是直角三角形，点D 是PB 的中点，且APB CPB ∠=∠，2PA PB =.（1）求证：PB AC ⊥；（2）求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（211【解析】（1）取AC 的中点O ，连接OB OP ，，通过证明OP AC OB AC ⊥⊥，，则可证AC ⊥面PBO ，从而证明线线垂直.（2）由AC ⊥面PBO 可知二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥ 平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠ 是AD 和平面PAC 所成的角，由此能求出AD 和平面PAC 所成的角的正弦值.【详解】解：（1）证明：在APB △和CPB △中，∵APB CPB PA PC PB PB ∠=∠==，，，∴APB CPB △≌△，∴AB CB =.∴ABC V 为等腰直角三角形 取AC 的中点O ，连接OB OP ，，则OP AC OB AC ⊥⊥，， ∴AC ⊥面PBO ，PB ⊂面PBO ，∴PB AC ⊥（2）∵AC ⊥面PBO ，∴二面角B PO A --为直二面角，作DT OP ⊥于T ，则DT ⊥平面PAC ，连接TA ，则DAT ∠为AD 和平面PAC 所成的角. 设2PB =，则PAC V 的边长为4，22BA BC ==PBO V 中，12232PB OB OP DT ====，，APB △中，4222PA AB BP ===，，，D 为PB 的中点，∴11AD =在Rt ADT △中，11sin DT DAT AD ∠==AD 与平面PAC 11【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了线面角的正弦值求法.证明线线垂直时，可利用勾股定理、等腰三角形三线合一或者线面角的性质.求二面角时，有两种思路，一是直接找到二面角，在三角形内进行求解；二是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4324,a a S ==.数列{}n b 的前n 项和为n T ，1n n T b +=，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记,n n nn a c b n =⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前n 项和为n W ，证明：13n W n <.【答案】（1）n a n =；12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【解析】（1）结合基本量法，将已知4324,a a S ==用首项和公差表示出来，即可求出通项公式；由1n n T b +=推出111n n T b --+=，两式相减进行整理可求出{}n b 的通项公式.（2）求出n c ，分别讨论n 为奇数和偶数，结合数列的分组求和，以及裂项法、放缩法，结合等比数列的求和公式和不等式的性质可证明.【详解】解：（1）∵4324a a S ==，∴111a d ==，，∴n a n =∵1n n T b +=，∴111n n T b --+=，两式相减得112b =，112n n b b -=，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）①当2n m =时，则形211421kmmn mk k W W k ==⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭∑∵111144111111434314mkm mk =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑，当2k ≥21232121212123k k k k k k k =<=----+--+-∴(2121232121mmk k k k m k ==<+--=--∑112133n W m n <-.②当21n m =-时，21213n m m W W W n -=<<成立.综上①②得：13n W n 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，考查了等比数列的通项公式，考查了裂项求和，考查了分组求和，考查了放缩法.本题易错点在于第二问没对n 取奇数和偶数进行讨论.21．已知点()0,A a ，0a >，抛物线()220x py P =>上点B 处的切线交x 轴于点P ，且直线AB 交抛物线于另一个点C ，过点C 作AP 的平行线x 轴于点Q .（1）证明：//AQ BP ；（2）记直线BP ，CQ 与x 轴围成的三角形面积为1S ，BOC V的面积为2S ，是否存在实数λ，使12S S λ=？若存在，求实数λ的值若不存在，请说明理.【答案】（1）证明见解析（2）存在；12λ= 【解析】（1）设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则可知直线BC 的方程，由()0,A a 在BC 可知012a t t p=，求出22x Py =在B 处的切线的方程可得()0,0P pt ，从而可求出直线CQ的方程，继而可得()1,0Q pt ，由012AQ BP ak t k pt =-==可证明平行. （2）设直线,BP CQ 相交于点T ，则1PQT S S ∆= ,四边形AQTP 为平行四边形，由此推导出存在12λ=使得12S S λ=. 【详解】解：（1）证明：设()2002,2B pt pt ，()2112,2C p pt ，则直线BC 的方程为()01012y t t x pt t =+-由()0,A a 在BC 可知，012a t t p=，又22x Py =在B 处的切线的方程为20022y t x pt =-， 令0y =可得0p x Pt =即()0,0P pt ∴0AP ak pt =-.直线CQ 的方程为 ()()2111102222ay pt x pt t x pt pt -=--=-，令0y =可得1Q x pt =即()1,0Q pt ∴012AQ BP ak t k pt =-==即AQ BP ∥ （2）设BP 和CQ 相交于点T 则1PQT S S =△，由（1）可知，四边形AQTP 为平行四边形∴1101122PQT AQP Q P S S S OA x x ap t t ===-=-V V ， ∵21011222OBC B C S S OA x x a p t t ==-=⋅-V ，∴1212=S S ，即存在12λ=【点睛】本题考查了线线平行的证明，考查了直线方程，考查了直线与抛物线的关系.本题计算量较大，应注意计算的准确性，避免出错.在解析几何中，若证明两条直线平行，通常的思路是利用斜率相等或者两条直线斜率都不存在.22．已知函数()()2112xf x x e x -=+-，其中 2.71828e ≈为自然对数的底.（1）试求函数()f x 的单调区；（2）若函数()212x e g x x x a+=++的定义域为R ，且存在极小值b .①求实数a 的取值范围；②证明：1325b e <.（参考数据：1.64 1.65e <） 【答案】（1）函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减（2）①()1,4a ∈②证明见解析【解析】（1）求出导数为()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，令导数为零，解方程，结合函数的定义域，可探究'(),()f x f x 随x 的变化情况，即可求出单调区间.（2）①由定义域为R 可知220x x a ++≠恒成立，所以440a =-<△，可求出1a >，求出()()()()22222212x x a e x g x x x a +--+'=++，令()0g x '=得()22a f x -=，结合第一问的单调性可知()2202a f -<=，即14a <<.②由()2112f a -=-<-及3359222 1.644f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭可知存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，使()0g x '=，则极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.结合导数可证明()()21x e h x x =+在302x <<上递增，从而可求13255e b e e <【详解】（1）求导得()(1)x xf x xe x x e --'=--=-+，由()0f x '=，解得0x =.当0x <时，()0f x '≥；当0x >时，()0f x '<.又因为函数()f x 的定义域为R ， 故函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递增，在区间(0,)+∞上单调递减. （2）①因为函数()g x 的定义域为R ，则220x x a ++≠恒成立故440a =-<△，即1a >又()()()()()()()()2222222221122122x x x x x a x e x a e x g x xx a xx a e ++-+++--+'==++++则()0g x '=等价于()()22212x a x e x f x --=+-=，由（1）知()2y f x =在(,0]-∞上递增，在(0,)+∞上递减， 故函数()g x 存在极小值，必有()2202a f -<=，即14a <<.②又()2112f a -=-<-，339592224 1.644f a e e⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，故对任意()1,4a ∈， 存在()1231,00,2x x ∈-∈⎛⎫⎪⎝⎭，，使()0g x '=，即()22,1,2i a f x i -==，因此，()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞上递增，在()12,x x 上递减，所以，极小值()()()2222222222221122221x x x e e e b g x x x a x x f x x ++====+++++.记函数()()21x e h x x =+，302x <<，则()()2021x xe h x x '=>+，即()h x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 故()()320h h x h ⎛<<⎫⎪⎝⎭，即13255e b e e <1325b e <.【点睛】本题考查了函数的单调区间的求解，考查了结合导数证明不等式，考查了极值的求解，考查了不等式恒成立问题.。

2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期期初考试数学试题一、单选题1．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}|2,A x x x N =≤∈，{}1,2B =，则()U C A B =U （ ）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}2,1,3--D ．{}2,1,0,3--【答案】C【解析】求出集合A ，按照并集、补集定义，即可求解. 【详解】全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}|2,{0,1,2}A x x x N ∴=≤∈=，{},{0,1,22,}1A B B ∴==U ，(){2,1,3}U C A B =--U .故选:C. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为12y x =，则离心率为（ ）A B C D【答案】A【解析】根据双曲线中的,,a b c 关系，可得e =，即可求出结论. 【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线为12y x =，1,2b e a ∴====. 故选:A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知实数x ，y 满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．0D ．2【答案】A【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出2z x y =-的最小值. 【详解】做出满足2000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图所示，根据图象，当目标函数2z x y =-过(0,2)A 时， 取得最小值为4-. 故答案为:A.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合思想，求线性目标函数的最值，属于基础题.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．43C ．83D ．3【答案】B【解析】根据三视图的特征，在正方体中还原出直观图为三棱锥，如下图示，根据三棱锥与正方体关系，即可求解. 【详解】在正方体中可得三视图对应的三棱锥S ABC -的直观图， 其中S 为11C D 中点，正方体的棱长为2，211422323S ABC V -=⨯⨯⨯=.故选:B.【点睛】本题考查三视图求体积，在特殊的几何体中还原直观图是解题的关键，属于基础题. 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据99S 与1a 关系，结合充分必要条件的判定，即可求出结论. 【详解】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，涉及到等比数列的前n 项公式，属于基础题.6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 的图像关于直线2x =对称.若当02x <≤时，()1f x x =+，则()()20192020f f +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】根据已知条件可得()f x 是周期函数，且周期为8，将自变量转化为[2,2]-，即可求出结论. 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数， ()f x 的图像关于直线2x =对称，(4)()()f x f x f x ∴+=-=-，(8)(4)()f x f x f x ∴+=-+=，()f x 是周期为8的周期函数，()()20192020(3)(4)(1)(0)2f f f f f f +=+=+=.故选:C. 【点睛】本题考查函数的周期性、函数的奇偶性和对称性，要掌握函数对称性的代数表达式，意在考查直观想象、逻辑分析能力，属于中档题.7．已知A ，B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个，A 盒中有m 个红球与10m -个白球，B 盒中有10m -个红球与m 个白球（010m <<），若从A ，B 盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当()D ξ取到最大值时，m 的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】ξ可能值为0,1,2，分别求出各可能值的概率，得到分布列，求出期望，进而得到方差关于m 的函数，根据函数特征求出最值即可. 【详解】ξ可能值为0,1,2，10(10)(0)1010100m m m m P ξ--==⋅=，221010(10)(1)10101010100m m m m m m P ξ---+==⋅+⋅=， 10(10)(2)1010100m m m m P ξ--==⋅=， ξ分布列为22(10)(10)(10)()0121100100100m m m m m m E ξ--+-=⨯+⨯+⨯=，22222(10)(10)(10))(01)(11)(21)100100100(D m m m m m m ξ--+-=-⨯+-⨯+-⨯2(10)1101()505022m m m m -+-≤⨯==，当且仅当5m =时，等号成立.故选:B. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望方差，利用基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上的一点，若满足1PB PD m +=的点P 的个数大于6个，则m 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(2+D ．2⎡+⎣【答案】D【解析】由题意可得，点P 是以2c =利用三角形两边之和大于第三边，以及点P 的个数大于6，即可求出m 的范围. 【详解】点P 是正方体棱上的一点，满足1PB PD m +=点P 是以2c =正方体的棱长为2，正方体面的对角线为点P 的个数大于6个，∴椭圆的半短轴长b ≥Q短半轴长232,4m b m =∴-≥∴≥， 由三角形两边之和大于第三边可得，正方体棱上点到1,B D 之和最大值为2+，当2m =+P 只有6点，不合题意，m ∴的取值范围是2⎡+⎣. 故选:D. 【点睛】本题考查满足条件的点的个数的求法，以及正方体的结构特征，注意椭圆性质的合理应用，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.9．已知函数()f x 满足：对任意的实数x ，y ，都有()()()4f x y f x f y xy +=++成立，且()()2264f f -⋅≥，则23f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．89B ．169C ．409D ．163【答案】A【解析】抽象函数求值，考虑用赋值法，令0x y ==，求出(0)f ，再令2,2-==y x 得出(2),(2)f f -关系，利用基本不等式求出()()22f f -⋅，结合()()2264f f -⋅≥，求出(2)f ，再用赋值法即可求出结论. 【详解】令0,(0)2(0),(0)0x y f f f ===∴=， 令2,2,(0)0(2)(2)16x y f f f =-===-+-，()()4(2)(2)1226,(2)0,(2)06,f f f f f f ∴-+=>∴-⋅≥->，(2)(2)(2)(2)64f f f f ∴-+≥-⋅≤，(2)(2)64,(2)(2)8f f f f ∴-⋅=-==，422216()()2()33339f f f =+=+， 242432248(2)()()()3()83333939f f f f f =+=++=+=，28()39f ∴=.故选:A. 【点睛】本题考查抽象函数求值，赋值法是解题的关键，利用基本不等式是突破口，考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.10．已知数列{}n a 满足11a =，2121n n n n a a a a +=++m 最小的整数m 是（ ）A ．65B ．64C ．63D ．62【答案】B【解析】根据递推公式，可得12111121n n a n a a a -⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭L ，求出2020a ，进而估算出整数m . 【详解】因为2121n n nn a a a a +=++，故可得112n n na a a +=++， 110,0n a a =>∴>Q ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L 121111212n n n a a a -⎛⎫=-++++> ⎪⎝⎭L ，所以20204040a >63.5>， 另一方面()211n nna a a ++=⇒=<2n =<=≥=+⋯+264.5<<m 最小的整数m 是64故选:B. 【点睛】本题考查数列项的估值，注意累加法的应用，对数列通项放缩估值是解题的难点，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.二、填空题11．设i 为虚数单位，给定复数()212i z i+=-，则z 的虚部为______；模为______.【答案】45【解析】根据复数的乘除法运算法则求出z ，即可得出结论. 【详解】()212(2)242(2)(2)55i i i z i ii i ++===-+--+，所以z 的虚部是45.故答案为:45；. 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数的模长，属于基础题.12．二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中常数项等于______，有理项共有______项. 【答案】15 4【解析】(1)根据二项式定理的通项公式求解即可.(2)根据二项式定理的通项公式分析x 的指数为整数的项的个数即可. 【详解】(1)根据二项式定理的通项公式6321661rr rrr r T C C x x --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭.故取常数项时63022rr -=⇒=.此时常数项为2615C =. (2)当取有理项时, 632r-整数.此时0,2,4,6r =.故共有4项.故答案为：(1). 15 (2). 4 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用,属于中等题型. 13．已知直线l ：()22110mx my m +---=，到当实数m 变化时，原点O 到直线l 距离的最大值为______；平面内所有恒不在l 上的点(),x y 所形成的图形面积为______.【答案】124π【解析】根据点到直线距离公式，求出原点O 到直线l 的距离d ，得到d 关于m 的函数，根据函数特征求出其最大值；将直线l 方程看成关于m 的方程，由于平面内所有点(),x y 恒不在l 上的，因此关于m 的方程无实根，由判别式∆<0，得出图形，即可求出面积. 【详解】依题意，原点O 到直线l 的距离为d ，2|1|1m d m +==+要距离最大值，则0m >，2112(1)2(1)2(1)21m d m m m m +==+-++++-+12≤=，当且仅当1m =，等号成立， 所以原点O 到直线l距离的最大值为12； ()22110mx m y m +---=Q ，平面内所有点(),x y 恒不在l 上，∴关于m 的方程2(12)10ym m x y +--+=无解，显然1(0,)2不是直线l 的点20,(12)4(1)0y x y y ∴≠∆=---+<，即22111()(),0224x y y -+-<≠和点1(0,)2， 为(,)x y 所围成的图形，面积为4π. 故答案为:12；4π.【点睛】本题考查求点到直线距离、直线的一般式方程和圆的知识，转化为基本不等式求最值和关于m 的方程无实根是解决问题的关键，属于中档题.14．在ABC ∆中，AB =4AC =，AD =D 为线段BC 的中点，则BC =______，ABC S ∆=______.【答案】2【解析】根据向量的线性关系可得1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，结合向量的模长求出cos A ，进而求出sin A ，再由余弦定理求出BC 和三角形面积. 【详解】D Q 为线段BC 的中点，1()2AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，221113()(1216)44AD AB AC A ∴==+=++u u u r u u ur u u u r ，1cos 2A A ∴==， 2222cos 28244BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=-=，1112,sin 4222ABC BC S AB AC A ∆∴==⋅=⨯⨯=故答案为:2；【点睛】本题考查向量线性关系模长公式、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题. 15．已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π 【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，求出三条切线,,PA PB MN方程，三条切线方程分别联立求出,,P M N 坐标，点P 在直线l 上，得到,a b 关系，求出||,||,||PM PN MN ，进而求出PMN S ∆，设三角形PMN 外接圆半径为R ，利用||||||4PM PN MN R s=，求出R 的解析式，根据其特征，求出最小值.【详解】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭ 同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u ur ， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r ，设PMN ∆外接圆半径为R ，||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=1|||2PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P 在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥==≥=当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π. 【点睛】本题以抛物线为背景，考查切线方程、向量模长夹角、面积公式、正弦定理、二次函数最值等基础知识，综合性强、计算量大，意在考查直观想象、逻辑思维、数学计算能力，属于难题.16．已知平面向量a r ，b r满足1a =r ，42a b a b -⋅=-r r r r ，则a b +r r 的取值范围是______.【答案】[]1,3【解析】用坐标法表示向量坐标，设(1,0),(,)a b x y ==r r，a b +=r r 求(,)x y 与(1,0)-两点间距离的范围，根据已知等式求出,x y 关系式，即可求解.【详解】设(1,0),(,)a b x y ==r r，由42a b a b -⋅=-r r r r，得4x -=22143x y +=，a b +=r r(,)P x y到定点(1,0)F -（左焦点）的距离，当P 点位于椭圆长轴两端点取得最值，分别为1,3，所以a b +r r取值范围是[1,3].故答案为:[1,3]. 【点睛】本题考查向量的坐标表示、曲线轨迹方程、椭圆几何性质，解题的关键是向量坐标化，考查数形结合思想，属于中档题.17．已知,m n R ∈，m n <，函数()()()2max m t nf x x t x R ≤≤=+∈（其中max m t n≤≤表示对于x ∈R ，当[],t m n ∈时表达式()2x t +的最大值），则()f x 的最小值为______. 【答案】22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】根据()f x 的定义，设2()(),[,]h t x t t m n =+∈的最大值为()f x ，根据二次函数的性质，分类讨论求出()h t 的最大值，求出()f x ，再求出其最小值. 【详解】设2()(),[,]h t x t t m n =+∈，对称轴方程为t x =-，当2max ,,()()()()22m n m nx x f x h t h n x n ++-≤≥-===+， ,()2m n n f x +-<-Q 在[,)2m n+-+∞单调递增，2()()()22m n n m f x f +-≥-=当2max ,,()()()()22m n m nx x f x h t h m x m ++-><-===+， ,()2m n m f x +->-Q 在(,)2m n+-∞-单调递减，22()()()()222m n m n n m f x f +-->-==，所以()f x 的最小值为22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为:22n m -⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题以函数新定义为背景，考查二次函数的最值，注意理解题意，分清函数对应的自变量是解题的关键，属于中档题.三、解答题18．已知()sin ,cos a x x =r，()sin 2cos ,sin b x x x =-r ，令()f x a b =⋅r r .（1）求()f x 的最小正周期及()12f x =的解集；（2）锐角ABC ∆中，28A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭，边BC =，求ABC ∆周长最大值.【答案】（1）T π=，|,28k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；（2）【解析】（1）由向量的数量积公式，求出()f x ，用降幂公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x 为正弦型函数，即可求解；（2）依题意求b c +的最大值，由（1）求出角A ，利用正弦定理，将b c +用,B C 表示，再把,B C 转化为B 角关系式，利用三角恒等变换，化为关于B 的正弦型函数，即可求解. 【详解】（1）()2sin 2sin cos sin cos a b x x x x x x f =⋅=-+r r111cos 2sin 241222222x x x π⎛⎫=-+ ⎪=⎝--⎭=， ∴T π=，∵()12f x =，∴sin 204x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2,,,428k x k k Z k x Z ππππ+=∈-∈=， ∴()12f x =的解集是|,28k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭.（2）2284A f π⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴sin A =， 02A π<<Q ∴3A π=，∵2sin sin sin a b cA B C===，∴2sin 2sin a b c B C ++=+22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭33sin 3cos 323sin 6B B B π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∵锐角三角形且角3A π=，∴,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当3B π=时，a b c ++最大为33，∴ABC ∆周长最大值为33.【点睛】本题考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数性质、正弦定理，考查计算能力，属于中档题.19．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面是正方形，且11112222AD AA A D DD ====，点E ，F 分别为棱BC ，11B C 的中点，二面角1A AD B --的平面角大小为56π.（1）证明：AD EF ⊥；（2）求直线1AA 与平面11BCC B 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）31326【解析】（1）将四棱台还原为棱锥，延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD ，EF 交于点P ，取AD 中点M ，连接PM ，EM ，可得AD PM ⊥，AD ME ⊥，可证AD ⊥平面PME ，即可证明结论；（2）连接AC 交ME 于O 点，连接1C O ，可得1//C O PA ，转化为求直线1C O 与平面11BCC B 所成角，由（1）可得平面11BCC B ⊥平面PME ，过O 作OH PE ⊥，可证1OC H ∠是直线1C O 与平面11BCC B 所成角，在PME ∆中求出OH 即可.【详解】（1）如图所示，延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD ，EF 交于点P ， 由题意得2PA PB ==，取AD 中点M ，连接PM ，EM ， 则AD PM ⊥，AD ME ⊥，又PM ME M =I ， 所以AD ⊥平面PME ，又EF ⊂平面PME ， 所以AD EF ⊥；（2）连接AC 交ME 于O 点，连接1C O ， 则1//C O PA 且112C O PA =， 所以直线1C O 与平面11BCC B 所成角和直线1AA 与平面11BCC B 所成角相等， 由（Ⅰ）得AD ⊥平面PME ，又//BC AD ，所以BC ⊥平面PME ， 又BC ⊂平面11BCC B ，所以平面11BCC B ⊥平面PME ， 又平面11BCC B I 平面PME PE =， 过O 作,OH PE OH ⊥⊥平面11BCC B ， 则1OC H ∠是直线1C O 与平面11BCC B 所成角. 由（Ⅰ）得PME ∠是二面角1A AD B --的平面角， 所以5,2,36PME ME PM π∠=== 由余弦定理可得2222cos 13PE ME MP ME MP PME =+-⋅∠=，再由正弦定理得13sin sin 3PM PE PEM PME ==∠∠32sin 13213PEM ∴∠==在PME ∆中，313sin 26OH OE PEM =⋅∠=， 在直角1OC H ∆中，11313sin OH OC H OC ∠==， 所以直线1AA 与平面11BCC B 所成角的正弦值为313.【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，证明异面直线垂直，考查空间角，要注意用几何法求空间角“做”“证”“算”三步骤缺一不可，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()()221n n S n a =+-，*n N ∈. （1）证明：11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，并求n a ； （2）令2sin2n nn a b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）见解析；（2）()*2*421,2,327,21,3n n n n k k N T n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩. 【解析】（1）根据已知1n =，求出1a ，再由12,n n n n a S S -≥=-得到1,n n a a -，化简可证11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列，即可求出n a ； （2）由（1）求出2n a 进而求出{}n b 通项公式，根据通项公式对n 分类讨论，分组求和，即可得出结论. 【详解】（1）因为()()221n n S n a =+- ①， 当2n ≥时，()()11211n n S n a --=+- ②，①-②得，()()12211n n n a n a n a -=+-+-，即()111n n na n a --+=，同除()1n n +得，()1111111n n a a n n n n n n --==-+++， 整理得1111n n a a n n -++=+，所以11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列. 因为()()112121S a =+-，所以13a =， 则111212n a a n ++==+，所以21n a n =+. （2）由（Ⅰ）得1222121n nn a +=⋅+=+，所以()()()112121sin21sin 22n n n n b n πππ+++⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则()1*1*21,2,21,21,n n n n k k N b n k k N++⎧+=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩， ①当2n k =，*k N ∈时，()()()()()23412121212121n n n T +=--++-++⋅⋅⋅+--++23451222222n n +=-+-++⋅⋅⋅-+()244222213n n=++⋅⋅⋅+=-， ②当21n k =-，*k N ∈时，()()21211427212133n n n n n n T T b ++++++=-=--+=-， 综上，()*2*421,2,327,21,3n n n n k k N T n k k N +⎧-=∈⎪⎪=⎨+⎪-=-∈⎪⎩. 【点睛】本题考查数列通项以及前n 项和，注意辅助数列在解题中的应用，考查计算求解能力，属于中档题.21．已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，P 是椭圆上异于左右顶点的一动点，已知12F PF ∆（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线()0x m m a =<<与椭圆E 交于A ，B 两点（不同于点P ），直线AP ，BP 分别与直线4x m=相交于点M ，N ，证明：4OM ON ⋅>u u u u r u u u r . 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）12F PF ∆周长为定值22a c +，可得内切圆半径最大时12F PF ∆面积最大，而最大值为bc ，结合离心率，即可求解；（2）设()0,A m y ，()0,B m y -，()11,P x y ，求出,AP BP 方程，进而求出,M N 坐标，求出OM ON ⋅u u u u r u u u r ，结合22220111,14343y x y m +=+=化简，即可证明结论.【详解】 （1）由题意知：12c a =，∴2a c =，222b a c =-，∴b =. 设12PF F ∆的内切圆半径为r ，则()12121212PF F S PF PF F F r ∆=++⋅()()1222a c r a c r =+⋅=+⋅， 故当12PF F ∆面积最大时，r 最大， 即P点位于椭圆短轴顶点时3r =，)a c bc +=，把2a c =，b =代入， 解得：2a =，b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）设()0,A m y ，()0,B m y -，()11,P x y ，则220143y m +=，2211143x y +=()*，()1001y y y x m y x m -=-+-，令4x m=得()()011010011412343M y y mx y y y y m y x m m x m m -+-⎛⎫=-+=⎪--⎝⎭，从而()()0110141234,3y y mx y M m x m m ⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭， 同理()()0110141234,3y y mx y N m x m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭， ()()()()01100110211412341231633y y mx y y y mx y OM ON m x m m x m m -++-⋅=+--u u u u r u u u r()()()22220110222116123169y ymx ymx m m--=+-()()()()()22221102221123123123169m x mx ymx m m----=+-()()22211022214216m x mx y mx m m⎡⎤--+⎣⎦=+-()()222210022222141641643m x y y m m m m x m m--+=-==- 22434m m+=>. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆方程的应用，考查计算求解能力，属于较难题. 22．已知函数()()2f x ax a a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()0f x ≤对任意的1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（32600⋅⋅⋅<. 【答案】（1）()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单减；（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析.【解析】（1）求出()f x '，对a 分类讨论，求出()0,()0f x f x ''><的解，即可得出结论；（2）根据（1）的结论，只需max ()0f x ≤求解即可；（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+，取()1,2,3,,20482020k x k ==L 114040k ≤⨯+，即可证明结论. 【详解】()'f x a =. （1）当0a ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在()1,-+∞上单调递增；当0a <时，由()'0f x >解得21114x a -<<-， 所以()f x 在211,14a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增；在211,4a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a ≥时，()()2000f x a x =+≥+=，故不合题意；当0a <时，由（Ⅰ）知()max 21104x f f a ⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭， 211(21)(21)20141244a a f a a a a a a +-⎛⎫=-+- ⎪⎝-+=≤⎭ 102a a <∴≤-Q ， 综上，a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.（3）由（2）知，取12a =-112x ≤+成立. 当()1,2,3,,20482020k x k ==L 时，1111220204040k k =≤⨯+=⨯+，⋅⋅⋅ ()11234204820484040++++++<L 20491024204826004040⨯=+<. 【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.。

圆锥曲线中的离心率的问题一、题型选讲题型一 、求离心率的值求离心率的值关键是找到等式关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率。

常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。

例1、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D例2、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）A B ．53C ．52D例3、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：2221x y 相切，双曲线M 离心率的值为（ ）A BCD ．3例4、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()1F ，点A 的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D ．例5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．21 C ．53D ．73例6、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线22212x y a -=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为（ ） A ．233B ．263C ．3D ．2题型二、求离心率的范围求离心率的值关键是找到不等关系，解出a 与c 的关系，进而求出离心率的范围。

第 3 题图S S + S )h 11 2 2台体的体积公式V = 1(S + 5 ⎨ ⎩鄞州中学 2019—2020 学年第二学期期初考试高三数学试卷参考公式：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U = {-2,-1,0,1,2,3},集合 A = {x | x ≤ 2, x ∈ N}, B = {1,2} 则C U ( A B ) =A .{1,2}B .{0,1,2}C .{-2,-1,3}D .{-2,-1,0,3}x 2 - y 2 = =12. 已知双曲线 1 (a > 0,b > 0) 的一条渐近线为 y x ,则离心率为a 2b 2 2A.5 B. 2⎧x + y - 2 ≤ 0C.5 或 D. 23. 已知实数 x , y 满足 ⎪x - y ≤ 0⎪x ≥ 0 ,则 z = x - 2 y 的最小值为 A. - 4B. - 2C. 0D . 24. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A . 2B .4 C .8 D . 3335. 已知等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,则“ a 1 > 0”是“ S 99 > 0 ”的 A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 充要条件D .既不充分也不必要条件其中 R 表示球的半径πR 34 3球的体积公式V =球的表面积公式 S = 4πR 2 1 锥体的体积公式V = Sh3其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体 的高柱体的体积公式V = Sh其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高其中 S 1, S 2 分别表示台体的上、下底面积，h 表 示台体的高3nn 率 P (k ) = C k p k(1- p )n -k (k = 0,1, 2, , n ) 若事件 A , B 互斥，则 P ( A + B ) = P ( A ) + P (B )若事件 A , B 相互独立，则P ( AB ) = P ( A )P (B )若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概5322 216. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 对称．若当0 < x ≤ 2时, f (x ) = x +1,则 f (2019) + f (2020) =A . 0B .1C . 2D . 47. 已知 A , B 两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个, A 盒中有 m 个 红球与10 - m 个白球, B 盒中有10 - m 个红球与 m 个白球( 0 < m < 10 ),若从 A , B 盒中各取一个球, ξ 表示所取的 2 个球中红球的个数,则当 D ξ 取到最大值时, m 的值为 A . 3 B . 5 C . 7 D . 9 8. 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中 , 点 P 是 正 方 体 棱 上 的 一 点 , 若 满 足| PB | + | PD 1 |= m 的点 P 的个数大于6个,则 m 的取值范围是A. (2 3,2 5)B. (2 3,2 5]C. (2 5,2 + 2 2） D . [2 5,2 + 2 2）9. 已知函数 f (x ) 满足：对任意的实数 x , y ,都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) + 4xy 成立,且f (-2) ⋅ f (2) ≥ 64 ,则 f⎛ 2 ⎫=⎪⎝ 3 ⎭A .8B .16 C .40 D . 1699910. 已知数列{a }满足 a = 1，a a = a 2+ 2a +1,则使得|3- m | 最小的整数 m 是n1n +1 nnnA . 65B . 64C . 63D . 62二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.(1 + i )211. 设i 为虚数单位,给定复数 z =2 - i，则 z 的虚部为；模为.12. 二项式( + 1 )6的展开式中,常数项为 x；有理项共有项.13. 已知直线l : 2mx + (1 - m 2 ) y - m -1 = 0 ,到当实数 m 变化时,原点O 到直线l 距离的最大值为；平面内所有恒不在l 上的点(x , y ) 所形成的图形面积为.14. 在△ABC 中, AB = 2S △ ABC = .3, AC = 4，AD = 13，D 为线段 BC 的中点,则 BC = ，15. 已知抛物线 E ： y 2 = 4x 和直线l ： x - y + 4 = 0 , P 是直线上l 一点,过点 P 做抛物线的两条切线,切点分别为 A , B , C 是抛物线上异于 A , B 的任一点,抛物线在C 处的切线与PA , PB 分别交于 M , N ,则△PMN 外接圆面积的最小值为 .16. 已知平面向量 a , b 满足| a |= 1, 4 - a ⋅ b = 2 | a - b |,则| a + b | 的取值范围是 .a 2020 xn n n n17. 已知m , n ∈ R ，m < n ,函数 f (x ) = max (x + t )2(x ∈ R )（其中max 表示对于 x ∈ R ,m ≤t ≤nm ≤t ≤n当t ∈[m , n ]时表达式(x + t )2的最大值）,则 f (x )的最小值为．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. （14 分）已知 a = (sin x ,cos x ), b = (sin x - 2cos x ,sin x ) ,令 f (x ) = a ⋅ b .（Ⅰ）求 f (x ) 的最小正周期及 f (x ) = 1 的解集；2（Ⅱ）锐角△ABC 中, f ( A - 2 π ) = 8 ,边 BC = 4 ,求△ABC 周长最大值.19. （15 分）如图，在四棱台 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中,底面是正方形,且 AD = 2 A A 1 = 2 A 1 D 1 =2DD = 2 ,点 E , F 分别为棱 BC , B C 的中点,二面角 A - AD - B 的平面角大小为 5π.1 1 1 16（Ⅰ）证明： AD ⊥ EF ；（Ⅱ）求直线 AA 1 与平面 BCC 1 B 1 所成角的正弦值.20. （15 分）已知数列{a }的前 n 项和为 S ,且满足 2S = (n + 2)(a -1), n ∈ N * .（Ⅰ）证明：⎧ a n +1⎫为常数列,并求 a ；⎨ n +1 ⎬ n ⎩ ⎭（Ⅱ）令b = a ⋅ sin πan ,求数列{b } 的前 n 项和T .n 2n2n n 2 - 631+ x 2021 2020 2022 2020 2024 2020 x 2 y 2 121. （15 分）已知 F 1 , F 2 分别为椭圆 E : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,离心率为 , P 2是椭圆上异于左右顶点的一动点,已知△F PF 的内切圆半径的最大值为3. 123（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）设直线 x = m (0 <| m |< a ) 与椭圆 E 交于 A , B 两点（不同于点 P ）,直线 AP , BP 分 别与直线 x =4相交于点 M , N ,证明： OM ⋅ ON > 4.m22. （15 分）已知函数 f (x ) = + ax + 2a (a ∈ R ).（Ⅰ）讨论函数 f (x )的单调性；（Ⅱ）若 f (x )≤ 0 对任意的 x ≥ -1恒成立,求 a 的取值范围；（Ⅲ）证明：+ + + + + < 2600 .202320204068 2020。

专题12 圆锥曲线中的三角形问题一、题型选讲题型一 、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．9例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，若C 是抛物线上一点，且AC EF ⊥.（1）证明：直线BE 经过AC 的中点M ；（2）求ABC ∆面积的最小值及此时直线AC 的方程.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____.2、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．43、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：2∠=∠.PFy PQF ()2A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点()D(AB不与x轴平行)，且0,4+=.过y轴上一点E作直线//6AF BFm x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.一、题型选讲题型一、由面积求参数或点坐标等问题例1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．9【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则||MG ===，所以1||||2MNES EF MG =⋅=△ 132a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C.例2、（2020·浙江高三）如图，过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____．【答案】12【解析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S 21'BOF B OF S =，则有11275A B y S S y ==，所以175A B y y =-． 将直线AB 1方程4x c =-，代入椭圆方程后，222241x y c x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣b 2cy +8b 4＝0，由韦达定理解得12228A B cy y b a+=+，142288A B b y y b a -=+， 三式联立，可解得离心率12c e a ==． 故答案为：12． 例3、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．【解析】（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =. 设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--， 2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥，则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -.所以直线:3430.AB x y -+=设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯，则34120x y -+=或3460x y --=.由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解；由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-.代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.题型二、与面积有关的最值问题例4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A．5B．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．例5、【2020年新高考全国△卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y . 当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=， 解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=，化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8， 与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d ==，由两点之间距离公式可得||AM ==.所以△AMN的面积的最大值：1182⨯=. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．例6、【2019年高考全国△卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169．例7、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知1F ，2F 是椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点，且椭圆C，直线:l y kx m =+与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时2F AB 周长为8. （△）求椭圆C 的标准方程；（△）若0OA OB ⋅=，是否存在定圆222x y r +=，使得动直线l 与之相切，若存在写出圆的方程，并求出OAB 的面积的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（△）223144x y +=；（△）221x y +=，⎡⎢⎣⎦.【解析】（△）由题意可得，22||48F A F B AB a ++==， 故2a =，又有3c e a ==，∴c = 椭圆的标准方程为223144x y +=；（△）法1：设||OA m =，||OB n =，∵0OA OB ⋅=，∴OA OB ⊥， 设点(cos ,sin )A m m θθ，点(sin ,cos )B n n θθ-，22222222cos 3sin 144cos 3sin 144m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相加得22131144m n +=+， 2222m n m n +=⋅，222AB OA OB =⋅，∴1r =，442222222111||1111n n AB m n n n n n -+=+===++---，24,43n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴AB ⎡∈⎢⎣⎦，OABS ⎡∈⎢⎣⎦△． 法2：()2222234136340x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， ()()22222236434131248160k m m k m k ∆=--+=-++>，1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++222444013m k k--==+， ∴221m k =+，∴1r ===，122||13AB xk=-==+当0k=时，||2AB=，当0k≠时，||AB=≤213k=时取到等号，此时243m=符合>0∆∴1,3OABS⎡∈⎢⎣⎦△．例8、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，已知抛物线24y x=的焦点为F，准线为l，过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，若C是抛物线上一点，且AC EF⊥.（1）证明：直线BE经过AC的中点M；（2）求ABC∆面积的最小值及此时直线AC的方程.【答案】（1）详见解析；（2）面积最小值为16，此时直线方程为30x y±-=.【解析】（1）由题意得抛物线24y x=的焦点()1,0F，准线方程为1x=-，设()2,2B t t，直线AB：1x my=+，则()1,2E t-，联立1x my=+和24y x=，可得244y my=+，显然40A By y+=，可得212,At t⎛⎫-⎪⎝⎭，因为EFk t=-，AB EF⊥，所以1AC k t=， 故直线AC ：2211y x t t t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由224120y xx ty t ⎧=⎪⎨---=⎪⎩， 得224480y ty t---=. ∴4A C y y t +=，248A C y y t =--， 所以AC 的中点M 的纵坐标2M y t =，即M B y y =， 所以直线BE 经过AC 的中点M .（2）所以A C y A C =-== 设点B 到直线AC 的距离为d ，则2212t d ++==.所以1162ABCS AC d ∆=⋅=≥=，当且仅当41t =，即1t =±，1t =时，直线AD 的方程为：30x y --=，1t =-时，直线AD 的方程为：30x y +-=.另解：2221112222ABC A C S BM y y t t t ∆=⋅-=++-3222122t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.二、达标训练1、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =，而2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以22412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,12、【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C 的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 3、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线E ：24y x =和直线l ：40x y -+=，P 是直线上l 一点，过点P 做抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，C 是抛物线上异于A ，B 的任一点，抛物线在C 处的切线与PA ，PB 分别交于M ，N ，则PMN ∆外接圆面积的最小值为______. 【答案】258π【解析】设三个切点分别为222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c ，若在点A 处的切线斜率存在，设方程为2()4a y a k x -=-与24y x =联立，得，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=， 即222440,a k ak k a-+=∴=， 所以切线PA 方程为2202a x ay -+= ①若在点A 的切线斜率不存在，则(0,0)A ， 切线方程为0x =满足①方程，同理切线,PB MN 的方程分别为2202b x by -+=，2202c x cy -+=，联立,PA PB 方程，22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设PMN ∆外接圆半径为R ，|||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-，11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=21||||()2||||PM PN PM PN ===||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==，||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==08c =≥时取等号，点P在直线40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+，8R =∴≥8==4≥=， 当且仅当1,6,0a b c =-==或6,1,0a b c ==-=时等号成立， 此时PMN ∆外接圆面积最小为258π. 故答案为:258π.4、（2020届浙江省嘉兴市5月模拟）设点(,)P s t 为抛物线2:2(0)C y px p =>上的动点，F 是抛物线的焦点，当1s =时，54PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 作圆M ：22(2)1x y -+=的切线1l ，2l ，分别交抛物线C 于点,A B ．当1t >时，求PAB △面积的最小值．【答案】（1）2y x =（2）最小值 【解析】（1）当1s =时，5||24p PF s =+=， 所以12p =，故所求抛物线方程为2y x =. （2）点(),P s t 为抛物线2y x =上的动点，则2s t =，设过点2(,)P t t 的切线为2()x m y t t =-+， 21=， 得22222(1)2(2)(2)10(*)t m t t m t -+-+--=， 12,m m 是方程（*）式的两个根， 所以21222(2)1t t m m t -+=-，2123m m t =-， 设()()221122,,,A y y B y y ，因直线2:()l x m y t t =-+，与抛物线2:C y x =交于点A ，则212()x m y t t y x⎧=-+⎨=⎩得22110y m y m t t -+-=， 所以211ty m t t =-，即11y m t =-，同理22y m t =-，设直线()1212:AB x y y y y y =+-，则12||||AB y y =-，d =，又12122221t y y m m t t -+=+-=-， 2121223()()1t y y m t m t t -=--=-， 所以212121211|||||()|22PAB S AB d y y t t y y y y ==--++22222311t t t t t --=-⨯+--=令210u t=->，4(PAB S u u =++当且仅当2u =，即t =时，PAB S 取得最小值5、（2020届浙江省绍兴市4月模拟）如图，已知点(0,0)O ，(2,0)E ，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F为线段OE 中点.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点E 的直线交抛物线C 于, A B 两点，4AB AM =，过点A 作抛物线C 的切线l ，N 为切线l 上的点，且MN y ⊥轴，求ABN 面积的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】（1）由已知得焦点F 的坐标为(1, 0)， 2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =；（2）设直线AB 的方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立方程224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2480y my --=， 216320m ∴∆=+>，124y y m +=，128y y =-，设直线l 方程为：()11y y k x x -=-，联立方程()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩，消去x 得：2114440y y y x k k-+-=， 由相切得：112164440k k y x ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，112110y x k k ∴-+=， 又2114y x =，21121104y y k k ∴-+=， 21102y k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，12k y ∴=， ∴直线l 的方程为：11220x y y x -+=，由4AB AM →→=，得12034x x x +=，12034y y y +=， 将12034y y y +=代入直线l 方程，解得221121888N yy y y x +-==， 所以01212ABN N S x x y y =-⨯-△212112138248x x yy y +-=-⨯-2212121632y y y y ++=⨯-31232y y -=311832y y +=，又118y y +≥ 所以42ABN S △，当且仅当1y =±时，取到等号，所以ABN面积的最小值为6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE △面积的最大值.【答案】()1证明见解析； ()2 【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =， 所以在P 处的切线方程为：()200042x x y x x -=-， 令0x =，可得204x y =-， 即2040,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离2014x d =+，由抛物线的性质可得PF d = 所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠，可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k -+=--，由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=，所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E所以E 到直线AB的距离为：d = 而弦长AB ==，所以1232EAB S AB d =⋅==-将①代入可得2322212ABE S k k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--' 令()0f k '=，6k =当06k <<，()0f k '>，()f k 单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，66f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=。

绝密★启用前浙江省宁波十校联盟2020届高三毕业班下学期联考质量检测数学试题(解析版)2020年3月参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n k n n p k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知{|11}P x x =-<<，{|02}Q x x =<<，则P Q =（ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (1,0)-D. (1,2)【答案】B【解析】【分析】直接根据交集的定义计算P Q 即可得到答案.【详解】因为{|11}P x x =-<<,{|02}Q x x =<<,所以{|01}P Q x x =<<.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算,考查基本运算求解能力,属于容易题.2.双曲线22194x y -=离心率是（ ）C.23 D. 59 【答案】A【解析】【分析】由标准方程求出c 和a ,继而可求离心率.【详解】解：2229413c a b =+=+=,所以c =. 由29a = 可知3a =.c e a ∴==. 故选:A. 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,考查了离心率的求解.3.若x y ，满足约束条件0262x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则3z x y =+的最小值是（ ） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】 由约束条件画出可行域,通过平移13y x =- 分析即可得最优解,代回3z x y =+中即可求出最小值.。

浙江省宁波市鄞州区2017届高三数学下学期期中试题（无答案）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)，则2z = ( )B.2iC.2D. 2+2i 2. 命题:p x R ∈且满足sin 21x =.命题:q x R ∈且满足tan 1x =.则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.已知实数x,y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2x −y 的取值范围为（ ）A.[−1,3]B.[−3,−1]C.[−1,6]D. [−6,1] 4.右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）B. 44+125.已知函数f(x) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[)0,+∞单调递减，若实数a 满足()()313log (log )21f a f a f +≥, 则a 的取值范围是（ ）A.(0,3]B.(0, ]C.[,3]D.[1,3]6.过双曲线()22221,0x y a b a b-=> 的左焦点F 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A,B ，双曲线左顶点为M ，若∠A MB=1200，则该双曲线的离心率为（ ）B.7.在∆ABC 中，若动点P 满足()()21,3AP AB AC R λλλ=-+∈，则点P 的轨迹与直线BC,AC 所围成的封闭区域的面积为（ ）D.48.已知()()2ln 1,0,0x x f x x ax x ⎧-<=⎨-≥⎩ ，且()()2xg x f x =+有三个零点实数a 的取值范围为（ ） A. (,+∞) B. [1,+∞) C. (0, ) D.(0,1] 9.已知数列{}n a 满足143a =，()2*11n n n a a a n N +-=-∈，则122017111m a a a =+++的整数部分是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 10.已知函数()[)2,,bf x x a x a x=++∈+∞，其中a>0，b ∈R ，记m(a,b)为 f(x)的最小值，则当m(a,b)=2时，b 的取值范围为（ ）A. b>B.b<C.b>D.b<第II 卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.已知全集为R ，集合{}{}23,1,680x A y y x B x x x ==≤=-+≤，则A ∪B=__________A ∩C R B=_________.12.已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =+-∈，则1a = ；数列{}n a 的通项公式为n a = .13.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，则p = ；M 是抛物线上的动点，()6,4A ，则MA MF +的最小值为 ． 14.若()()1sin cos 2x x ππ+++=，则sin 2x = ，1tan sin cos()4x x x π+=- .15.已知直线280x my +-=与圆()22:4C x m y -+=相交于A 、B 两点，且∆ABC 为等腰直角三角形，则m= ． 16.若正数,,a b c 满足1b c a c a b a b c ++++=+，则a bc+的最小值是 . 17、如图，矩形ABCD 中，AB=1，∆ABD 沿对角线BD 向上翻折，若翻折过程中AC 长度在[]内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为 .三、解答题：18．（本题满分14分）已知函数()sin()3f x x πω=+(∈x R,0>ω)的图象如右图，P 是图象的最高点，Q是图象的最低点．且PQ =（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数)()()(x g x f x h ⋅=的最大值．19. 三棱锥A BCD -中, E 是BC 的中点,,AB AD BD DC =⊥ （I ）求证：AE BD ⊥；（II）若22DB DC ===，且二面角A BD C --为60︒,求AD 与面BCD 所成角的正弦值。

专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 例1、【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．1-1、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.1-2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D 1-3、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()10a b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 则()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->（比如：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义） 则()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 故选：A.1-4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m 为非零实数，则“11m＜-”是“1m ＞-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-”是“1m >-”的充分不必要条件.故选A.例2、【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.2-1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.例3、【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．3-1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数， 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要例4、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.4-1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B例5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知,R a b ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直， 则()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =”可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”，由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”不能推出“1a =”，故“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的充分不必要条件， 故选：A.5-1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ．例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C.6-1、（2020·浙江高三）等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。

1 2020鄞州中学三位一体自主招生综合检测卷理科综合（I.数学部分）本卷共36题，共计180分（填空选择4分/题，解答题3分/小题）考试时间180分钟请将答案作答于答题卷上，否则一律作废【阿氏圆推荐公式：r=a λ÷|λ²-1|（a=AB ，|PA|=λ|PB|）】1.如图1，点P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，若∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OP OB OA =⋅，就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角.（1）如图2，已知∠MON =90°，点P 为∠MON 的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且∠APB =135°. 求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连结AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；（3）如图3，C 是函数)0(3>=x xy 图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足BC =2CA ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标.2.如图，在ABC ∆中，AC BC AB 2=+，求2tan 2tanC A ∠⋅∠的值。

3.如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，BC ＝4，则△ABC 的面积最大值为_____．4.当01x <<时，则141x x +-的最小值是________．5.如图，△ABC 中，∠︒=90BAC ，D 在CB 延长线上，6=AD ，4=DB ，5=BC ，则DAB ∠tan 的值是（ ）.A 43 .B 32 .C 13132 .D 13133 6.如图，⊙O 的半径为3，A 为半径OM 上一点，OA ＝2，B 、C 为⊙O 上不同的两点，AB ⊥AC ，则BC 的最大值为（ ）A ．2＋14B ．6C ．5D ．4 27.如图，在ABC ∆中，D BC AC ACB ,,90=︒=∠是AC 上一点，F E 、在BC BD 、的延长线上，且︒=∠=∠90BEF BAE ，若3,2==EF DE ，则=BD __________（图见下页）28.如图正方形内接于为弧上的一点，分别交于点，且PBMN⊥，设aPBD=∠，求的值。

绝密★启用前浙江省宁波市宁波中学、北仑中学、奉化中学等五校2020届高三毕业班下学期高考适应性联合考试数学试题本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方，贴好条形码。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+ 柱体的体积公式V Sh =若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次锥体的体积公式13V Sh =独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 ()C (1)(0,1,2,,)k kn k n n P k p p k n -=-=球的表面积公式24S R =π台体的体积公式121()3V S S h =球的体积公式343V R =π 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示 其中R 表示球的半径台体的高第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集}1,0,1{-=U ,集合},1,0{},0,1{=-=B A 则=)(B A C U A.}0{ B.}0,1{- C.}1,1{- D.}1,0{2.若nxx )1(-展开式的各项二项式系数和为512,则展开式中的常数项A.84B.84-C.56D.56- 3.若R b a ∈,,则“11>>b a 且”是“1>ab 且2≥+b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-= ,0),1(log ,0,22)(212x x x x x x f 若当]1,[+∈a a x 时,不等式)2()(x a f a x f -≥+恒成立,则实数a 的取值范围是A.)2,(--∞B.]2,(--∞C.),2(+∞-D.),2[+∞-5.已知某函数的部分图象如图所示,则此函数的解析式可能是（其中e 为自然对数的底）A.x e e x f x x sin 11)(⋅+-=B.x e e x f x xsin 11)(⋅+-=C.x e e x f x x cos 11)(⋅+-=D.x e e x f x xcos 11)(⋅+-=6.已知非零实数c b a ,,的绝对值全不相等,那么满足“abc c b a =++”的c b a ,, A.仅有一组 B.仅有二组 C.仅有三组 D.有无穷多组7.已知}{n a 是等比数列,13=a ,那么其前5项和5S 的取值范围是A.），，∞+--∞1[]3(B.），，∞+--∞5[]3(C.），∞+1[D.），∞+5[8.一个袋子中放有大小、形状均相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现从袋子里随机等可能取出小球.当有放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出2个小球时,记取出的红球数为2ξ.则。

2020浙江高考数学冲刺卷本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟第（Ⅰ）卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A. {4} B. {2，3，6} C. {2，3，7} D. {2，3，4，7} 【答案】B 【解析】 【分析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案.【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B.【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题. 2.若双曲线的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线的离心率是（ ） 5 B. 2555 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线得到双曲线方程224(0)x y λλ-=≠，考虑0λ>和0λ<两种情况得到离心率. 【详解】根据渐近线设双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠，当0λ>时离心率454e λλλ+==0λ<时离心率452e e λλλ--==-=. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线、离心率的概念，考查考生基本运算求解能力，属于基础题.3.实数,x y 满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的取值范围是（ ）A. [0,6]B. [4,3]-C. [6,4]-D. [6,3]-【答案】A 【解析】 【分析】画出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数2z x y =+的最大值和最小值，即可得出结论.【详解】画出满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，令2z x y =+，由图形可得当目标函数2z x y =+分别过,A B 时，取得最大值和最小值，由323x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即(0,3)A ，由31x y y -=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)B -，所以目标函数2z x y =+最大值为6，最小值为0，所以2x y +的取值范围是[0,6]. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划问题，考查作图能力和直观想象能力，属于基础题. 4.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.5.冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A. 3222()π⋅B. 322()πC.32πD.31π【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ，设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=，故选：D.【点睛】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于中档题. 6.函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性排除A ，B,再利用函数值正负判断C 即可 【详解】函数1()()ln f x x x x=+，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x >故选：C【点睛】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，一般从定义域，奇偶性及函数值正负几方面考虑，属于简单题7.已知a b c ，，成等差数列，随机变量，ξη的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）ξ0 1 2Pa b cη0 1 2Pc b aA. ()()E E ξη=B. ()()D D ξη=C. ()()E E ξη>D.()()D D ξη>【答案】B【解析】 【分析】由条件可得12,33b ac =+=，然后2,2E b c E b a ξη=+=+，然后可计算出24()(1)03D D c a b ξη-=---=.【详解】1,2a b c b a c ++==+，12,33b ac ∴=+= 所以2,2E b c E b a ξη=+=+， 所以222()4(2)D E E b c b c ξξξ=-=+-+，222()4(2)D E E b a b a ηηη=-=+-+，所以24()(1)03D D c a b ξη-=---=，故选：B【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于稍难题.8.已知函数3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()(3)f x a x =+恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 2) B. [0,1) C. 1[2)3D. 1[,1)3【答案】D 【解析】 【分析】作出函数3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象，由题意得()(3)f x a x =+和3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象有四个交点，找到临界位置求出对应的a ，根据数形结合思想即可得结果. 【详解】设32()41(0),()34g x x x x g x x '=-->=-，则易得当23(0,3x ∈时，()g x 单调递减，当23()3x ∈+∞时，()g x 单调递增， 如图所示：直线(3)y a x =+与()f x 在0x <处有一个交点，在23()3+∞处有一个交点， 故在3(0,3处需2个交点，直线经过0,1（）点时13a =， 当230,3x ⎛∈ ⎝⎭时，334141y x x x x =--=-++，234y x '=-+， 设直线(3)y a x =+与曲线的相切时切点为()3000,41x x x -++，则切线的斜率2034k x =+，切线方程为()()3200004134y x x x x x +--=-+-，将点()3,0-代入可得01x =，此时1a = 则实数a 的取值范围是1[,1)3， 故选：D.【点睛】本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题.9.如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将ABE △沿直线AE 折起至AEM △，点M 在平面AECD 上的投影为O ，平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线MC 与平面AECD 所成角为β，若OB OC =，则下列说法正确的是（ ）A. 2αβ=B.2C.2D. 无法确定【答案】A 【解析】 【分析】作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，证明MBO MCO β∠=∠=，MFO α∠=，根据角度关系得到答案.【详解】MO ⊥平面AECD ，易得当OB OC =时，MBO MCO β∠=∠=， 作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，则MF AE ⊥，BF MF F =，故AE ⊥平面BFM ，MO ⊥平面AECD ，AE ⊂平面AECD ，AE MO ⊥，M ∈平面BFM ，故MO ⊂平面BFM ，故,,B F O 三点共线，故MFO α∠=， 又由于BF MF =，MBF FMB β∴∠=∠=，2=βα∴ 故选：A.【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想象能力和作图能力，属于难题. 10.数列{}n a 满足2113222n n n a a a a +==-+，，下列说法正确的是（ ）A. 存在正整数k ，使得34k a =B. 存在正整数k ，使得3k a =C. 对任意正整数k ，都有12k a <<D. 数列{}n a 单调递增【答案】C 【解析】 【分析】 由22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，可判断A ，由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-，两边取对数可得122+1n n a --=，从而可判断B ，C,进一步可得2132(2)(1)0n nn n n n a a a a a a +-=-+=--<，从而数列{}n a 单调递减，可判断D.【详解】数列{}n a 满足132a =. 22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，所以A 不正确.由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-两边取以2为底的对数，可得()()212log 12log 1n n a a +-=- 所以数列(){}21log 1n a +-是等比数列，且()2123log 1log 112a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭则()12log 12n n a --=-，所以1212n n a ---=，即122+1n n a --=当1n ≥时，121n -≥，121n --≤-，所以121022n --<≤，即12312+12n na --<=≤,所以B 不正确.所以2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，则数列{}n a 单调递减. 所以D 不正确.故选:C .【点睛】本题考查数列的递推关系，单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题7小题，多空题每题6分，单空每题4分，共36分，把答案填在题中的横线上．11.复数z 满足(2)21i z i +=+，则z =_____；z =_____ 【答案】 (1). 4355i + (2). 1 【解析】 【分析】根据(2)21i z i +=+，利用复数的除法运算得到4355z i =+，再利用复数的模的公式求解. 【详解】因为(2)21i z i +=+， 所以2143255+==++i z i i ， 所以1z = 故答案为：①4355i +；②1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12.点Q 是圆2211()C x y +-=：上的动点，点P 满足3OP OQ =（O 为坐标原点），则点P 的轨迹方程是_____；若点P 又在直线(33)y k x =-上，则k 的最小值是___ 【答案】 (1). 22(3)9x y +-= (2). 3-【解析】 【分析】设00(,),(,)P x y Q x y ，得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2200(1)1x y +-=即得点P 的轨迹方程；当直线和圆22(3)9x y +-=2|333|31+k k--=，解方程即得解.【详解】设00(,),(,)P x y Q x y ，由3OP OQ =得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程2200(1)1x y +-=得22(3)9x y +-=.所以曲线点P 的轨迹方程是22(3)9x y +-=.由题得直线方程为330kx y k --=，当直线和圆22(3)9x y +-=23331+k k=，解之得0k =或3k =所以k 的最小值为3.故答案为：22(3)9x y +-=；3-【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13.已知在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则n =_____；4x 项的系数为______【答案】 (1). 6 (2). 240 【解析】 【分析】根据只有第四项的二项式系数最大，可得6n =，然后利用通项公式可求4x 项的系数. 【详解】因为在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以由二项式系数的对称性质得6n =，通项公式361216(2)()r rr r T C x x --+=-1856262(1)r r r r C x--=-，令185422r r -=⇒=，所以含4x 的项系数为2462240C =. 故答案为：6；240.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的通项公式，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.四边形ABCD 内接于圆O ，其中AB 为直径，若7,3BC CD DA ===，则AB =_______；四边形ABCD 的面积是_______ 【答案】 (1). 9 (2). 2【解析】 【分析】连接BD ，设AB x =，在直角ABD △中，用x 表示出cos ,DAB BD ∠，在BCD 中，由余弦定理表示出cos BCD ∠，利用cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，建立x 的方程，求解得出,cos AB BCD ∠，进而求出sin BCD ∠，即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】连接BD ，四边形ABCD 内接于圆O ，且AB 为直径，,AD BD DAB BCD π∴⊥∠+∠=，设AB x =，则23cos ,9DAB BD x x∠==- cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，即23949(9)0237x x +--+=⋅⋅，化简得3671260x x --=， 即(9)(2)(7)0x x x -++=9x ∴=或2x =-（舍去）或7x =-（舍去），9AB ∴= 1cos cos ,032BCD DAB DAB BCD ππ∠=-∠=-∴<∠<<∠<，222sin sin 1cos DAB BCD BCD ∠=∠=-∠= ∴四边形ABCD 的面积为1sin ()2ABD BCD S S BCD AD AB BC CD +=∠⋅+⋅△△122(3937)16223=⨯⨯+⨯=故答案为：9；2【点睛】本题考查直角三角形边角关系、余弦定理、三角形面积公式，考查图形识别能力、方程思想，属于中档题.15.已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=__________． 【答案】2 【解析】 不妨设a ＞1，则令f （x ）=|log a |x-1||=b ＞0， 则log a |x-1|=b 或log a |x-1|=-b ；故x 1=-a b +1，x 2=-a -b +1，x 3=a -b +1，x 4=a b +1，故222214231234112112111122,1111b b b bx x a x x a x x x x a a --+=+=∴+++=+---- 22222 2.11bb b a a a =+=-- 故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.16.过点(1,0)P -的直线与抛物线2y x =相交于,A B 两点，(,0)M t 为x 轴上一点，若ABM ∆为等边三角形，则t =_______ 【答案】53【解析】【分析】设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，联立直线与抛物线的方程消元，然后得到AB 中点坐标，然后表示出AB 中垂线方程，即可得到21122t k =-，然后根据点M 到直线AB 的距离32d =求解即可. 【详解】由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0， 故设直线方程：(1),0y k x k =+≠，代入抛物线方程得2222(21)0k x k x k +-+=①设1122(,),(,)A x y B x y ，2140k ∆=->②21212212,1k x x x x k-+==，则AB 中点坐标为22121(,)22k k k - AB 中垂线方程为221112()22k y x k k k--=--，令0y =得21122t k =-， 则211(,0)22M k - ABE ∆为正三角形，点M 到直线AB 的距离32d =， 2222122133143911222k k k x k k k k +-=+-=+⇒= 代入②满足，则53t =【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题. 17.ABC 中，,D E 依次为BC 的三等分点，若2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADC ∠的最小值是_________ 【答案】47【解析】 【分析】根据已知将向量,AB AC 转化为用,AD AE 向量表示，再由2AB AD AC AE ⋅=⋅，得出,,AD AE DE 边的关系，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出结论.【详解】由11(),()22AD AB AE AE AD AC =+=+， 得2,2AB AD AE AC AE AD =-=- 设,,AD x AE y DE m ===222242AB AD AC AE x AD AE y AD AE ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅2222242cos 2x y m AD AE y x xy ADC +-∴⋅=-=∠=222222225142277x y m y x y x m +-∴=-⇒=-2222228477cos 227x mx m y ADC mx mx ++-∴∠==≥当且仅当2x m =时，等号成立.故答案为：47. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、余弦定理以及基本不等式，考查考生综合运用向量、三角、不等式等知识解决问题的能力，属于较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知函数()cos f x x =（1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+为奇函数，求θ值； （2）求函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域.【答案】（1）2π或32π；（2）31[,]44-【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义结合余弦函数的性质，即可得出θ值；（2）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦函数的性质，即可得出该函数的值域. 【详解】（1）()f x θ+为奇函数()()0f x f x θθ∴++-+=恒成立cos()cos()02cos cos 0x x x θθθ∴++-+=⇔=恒成立cos 0θ∴=又[0,2)θπ∈，2πθ∴=或32π（2）31sin sin cos sin cos sin 662y x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23131sin cos sin sin 2(1cos 2)24x x x x x =-=-- 1111(3sin 2cos 2)sin(2)44264x x x π=+-=+- 因为1sin 26(1)π-≤+≤x ，所以3144y -≤≤所以函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域是31[,]44-.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查学生三角函数的恒等变形能力，属于中档题.19.如图，菱形ABCD 与正BCE 的边长均为2，且平面BCE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =，（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若60ABC ∠=︒，求二面角A BF E --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）78-【解析】【分析】（1）如图，作EH BC⊥于H，连DH，证明四边形EFDH是平行四边形得到答案. （2）以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示，计算平面ABF和平面BEF的法向量，根据向量夹角公式得到答案.【详解】（1）如图，作EH BC⊥于H，连DH，平面BCE⊥平面ABCD，EH BC⊥，EH⊂平面BCE，∴EH⊥平面ABCD，且3EH=，又FD⊥平面ABCD，且3FD=，∴//EH FD，且EH FD=，故四边形EFDH是平行四边形，//EF HD∴，HD⊂平面ABCD，EH⊄平面ABCD，故//EF平面ABCD.（2）60ABC∠=︒，菱形ABCD，易知AH BC⊥，以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则3,0),(1,0,0),3),(3,3)A B E F-，有(1,3,0),(1,0,3),(3,3,3)BA BE BF=-=-=-，设平面ABF的一个法向量为1111(,,)n x y z=，11n BAn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11111333030x zx⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y=，取1(3,1,2)n=，设平面BEF的一个法向量为2222(,,)n x y z=，由22n BEn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22222333030x y zx z⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令21z=，取2(3,2,1)n=，则1212123227cos888n nn nn n⋅++〈〉===⨯⋅，，由题意知二面角A BF E--是钝二面角，故二面角A BF E--的余弦值是78-.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力.20.正项数列{}n a的前n项和为n S，满足对每个n N+∈，112nn nS a++，，成等差数列，且1236a a a+，，成等比数列.（1）求1a的值；（2）求{}n a的通项公式；（3）求证：21211111(13)103nna a a-+++≤-【答案】（1）11a=；（2）32n nna=-；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据12(2)1nn n S a ++=+对1n =和2n =成立，得到两个方程，根据1236a a a +，，成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得1a ；（2）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得132nn n a a +=+，再两边除以12n +后，可得{1}2nn a +为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果； （3）利用1913253n n n≤⋅-进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果.【详解】（1）由已知得1222322132(2)12(2)1(6)S a S a a a a +=+⎧⎪+=+⇒⎨⎪=+⎩1212322132(2)12(4)1(6)a a a a a a a a +=+⎧⎪++=+⎨⎪=+⎩ 21223111111221323613(23)(619)2790(6)a a a a a a a a a a a a =+⎧⎪⇒=+⇒+=+⇒+-=⎨⎪=+⎩ 因为10a >，所以11a =（2）因为112nn n S a ++，，成等差数列，所以1112(2)1221n n nn n n S a S a ++++=+⇒=-+当2n ≥时，111112212232221n n nn n n n n n n nn n S a a a a a a S a ++++-⎧=-+⇒=--⇒=+⎨=-+⎩ 又12211,532a a a a ==⇒=+符合上式，所以132n n n n N a a ++∀∈=+，11312222n n n n a a ++⇒=⋅+⇒1131112222n n n n n na a a ++⎛⎫⎧⎫+=+⇒+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是首项为32，公比为32的等比数列 31()3222nn n n n n a a ⇒+=⇒=- （3）因为，当2n ≥时，22255(32)34324(32)032399n n n n n n n n n n -----⋅=⋅-=-≥⇒-≥⋅1913253n n n⇒≤⋅-易知1n =时，原不等式成立；当2n ≥时，123212111119111911131()1(13)153335910313n n n n a a a ---+++≤++++=+⋅⋅=--综上，原不等式n N+∀∈成立.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，递推数列求通项的方法，考查考生运用所学的数学方法：比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题.21.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P在椭圆上，直线12,PF PF与椭圆的另一个交点分别为,A B.（1）若P点坐标为3(1,)2，且124PF PF+=，求椭圆的方程；（2）设11PF F Aλ=，22PF F Bμ=，求证：λμ+为定值.【答案】（1）22143x y+=；（2）定值为22121ee⎛⎫+⎪-⎝⎭，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题设条件可直接求出a，再根据P在椭圆上求出b后可得椭圆的方程.（2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y，:PA x my c=-，:PB x ny c=+，先用诸点坐标表示λμ+、22m n+，再联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理得到01y y、02y y与,m n的关系式，最后化简λμ+后可得定值.我们也可以利用椭圆的几何性质来证明λμ+为定值.【详解】（1）2224,2,31914aa ba b=⎧⎪∴==⎨+=⎪⎩22143x y+=.（2）法一：坐标法设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y，当00y =时，2222222()2(1)1a c a c a c e a c a c a c eλμ-++++=+==+---. 当00y ≠时，PA x my c =-：，PB x ny c =+：，其中：0000x c x c m n y y +-==，， 从而222222222000202(),()2()x c m n y m n x c y ++=∴+=+. 由222222x my c b x a y a b =-⎧⎨+=⎩得422222401222()20,b a b m y b mcy b y y a b m +--=∴=-+， 同理402222b y y a b n =-+，从而222240102112()a b m n y y y y b +++=-. 222222222200220000441201022()112()()[]y y a y b y m n a b m n y y y y y y y y b b λμ+++++=+=-+==222222222222222220000444222()2()2222a y b x c b x a y b c a b b c a c b b b b++++++====⋅ 2222222(1)21a c e a c e++=⋅=--. 法二：焦半径法不妨设点P 在x 轴上方，设1221,PF F PF F αβ∠=∠=，过P 作左准线的垂线，垂足为E ，过1F 作PE 的垂线，垂足为S ，由圆锥曲线的统一定义可得1PF e PE=，故22111cos =cos a b PF e c PF e PF c c αα⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得到211cos b e c PF e α⨯=-，所以2111cos b PF a e α=⋅-. 同理，2111cos b F A a e α=⋅+，2211cos b PF a e β=⋅-，2211cos b F B a e β=⋅+， 所以111cos 211cos 1cos PF e F A e e αλαα+===---，221cos 211cos 1cos PF e F B e e βμββ+===---. 又2212112,21cos 1cos b b PF PF a a a e a e αβ+=∴⋅+⋅=--， 221121cos 1cos a e e bαβ∴+=--， 所以222222222222242(2)2()2(1)221cos 1cos 1a a b a c e e e b b a c e λμαβ-+++=+-=-===--+-. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力.22.已知函数()ln f x x a x =+（1）若曲线()y f x =在点2x =处的切线与直线2y x =平行，求实数a 的值； （2）若()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）2a =；（2）e -【解析】【分析】（1）由题意()1a f x x '=+，由条件有(2)122a f '=+=，从而得到答案. （2）()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立,即n n l l x x a a e x x e ----≥在(1,)+∞上恒成立，设()ln g t t t =-，即转化为()()x a g e g x -≥在(1,)+∞上恒成立，求出函数()g t 的单调性，因为是求a 的最小值，故不妨先设0a <，求出此时a 的最小值，从而可得答案.【详解】（1）()1a f x x '=+由题意知(2)1222a f a '=+=⇒= （2）()ln ln ln ln a x a x x a x x a a f x x e x a x x e e x x a x e e x x -----≥-⇔+≥-⇔+≥-⇔-≥-设()ln g t t t =-，则原不等式()()x a g eg x -⇔≥ 由11()1t g t t t-'=-=，易知01t <<时，()0g t '<，1t >时，()0g t '>， 所以()ln g t t t =-在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增因为是求a 的最小值，故不妨先考虑0a <，又1x >，所以(),0,1x ae x -∈ 所以1ln ()()x a x a x g e g x e x a x --≥⇔≤⇔-≥，原不等式恒成立max 1ln ()x a x⇔-≥ 设ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()x h x x -'=，易知1x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 所以ln ()x h x x=在()1e ，上单调增，在(,)e +∞上单调减max 1()()h x h e e ⇒== 所以min 11a e a e a e -≥⇒≥-⇒=-，又求的是a 的最小值， 所以a 的最小值为e -.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.属于难题.。

2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下学期高考冲刺考试数学试题一、单选题1．设全集{U =1，2，3，4，5，6，7，8}，集合{A =2，3，4，6}，{B =1，4，7，8}，则()U A C B ⋂（ ） A ．{4} B ．{2，3，6} C ．{2，3，7} D ．{2，3，4，7}【答案】B【解析】先求出U C B 再与A 取交集，即可得到答案. 【详解】因为{2,3,5,6}U C B =，{A =2，3，4，6}， 所以{2,3,6)}(U A C B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.2．若双曲线的两条渐近线方程为20x y ±=，则双曲线的离心率是（ ） A．B ．2CD【答案】D【解析】根据渐近线得到双曲线方程224(0)x y λλ-=≠，考虑0λ>和0λ<两种情况得到离心率. 【详解】根据渐近线设双曲线方程为224(0)x y λλ-=≠，当0λ>时离心率e ==0λ<时离心率2e e ===. 故选：D.求解能力，属于基础题.3．实数,x y 满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[4,3]-C ．[6,4]-D ．[6,3]-【答案】A【解析】画出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数2z x y =+的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】画出满足3231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域，如下图阴影部分，令2z x y =+，由图形可得当目标函数2z x y =+分别过,A B 时，取得最大值和最小值，由323x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即(0,3)A ，由31x y y -=-⎧⎨=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，即(2,1)B -，所以目标函数2z x y =+最大值为6，最小值为0， 所以2x y +的取值范围是[0,6]. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划问题，考查作图能力和直观想象能力，属于基础题. 4．设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（ ）C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分别解两个不等式得到集合A ，B ，再利用集合间的关系，即可得到答案. 【详解】解不等式220x x -<得；{|02}A x x =<<， 解不等式12x -<得：{|13}B x x =-<<， 因为A 是B 的真子集，所以“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件，求解时要转化成集合间的关系进行判断，能使求解过程更清晰、明了.5．冶铁技术在我国已有悠久的历史，据史料记载，我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚期，已知某铁块的三视图如图所示，若将该铁块浇铸成一个铁球，则铁球的半径是（ ）A ．3222()π⋅B ．322()πC 3πD 3π【答案】D【解析】根据三视图可将该几何体放入正方体中，为四面体ABCD ，根据体积相等可得球的半径. 【详解】由三视图可得四面体ABCD ，设球半径为R ，则331141222323V R R ππ=⨯⨯⨯⨯=⇒=【点睛】本题考查三视图和直观图的关系，考查考生空间想象能力，四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力，属于中档题.6．函数1()()ln f x x x x=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用奇偶性排除A ，B,再利用函数值正负判断C 即可 【详解】函数1()()ln f x x x x=+，定义域为{}0x x ≠关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，当1x >时，()0f x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的图像和性质，考查考生分析函数性质能力和图像识别能力，一般从定义域，奇偶性及函数值正负几方面考虑，属于简单题7．已知a b c ，，成等差数列，随机变量，ξη的分布列如下，则下列结论正确的是（ ）A ．()()E E ξη=B ．()()D D ξη=C ．()()E E ξη>D ．()()D D ξη>【答案】B【解析】由条件可得12,33b ac =+=，然后2,2E b c E b a ξη=+=+，然后可计算出24()(1)03D D c a b ξη-=---=.【详解】1,2a b c b a c ++==+，12,33b ac ∴=+= 所以2,2E b c E b a ξη=+=+， 所以222()4(2)D E E b c b c ξξξ=-=+-+，222()4(2)D E E b a b a ηηη=-=+-+，所以24()(1)03D D c a b ξη-=---=，故选：B 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差，考查考生运算求解能力，属于稍难题.8．已知函数3141(0)()(0)x x x f xx x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若关于x 的方程()(3)f x a x =+恰有4个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ． B ．[0,1) C ．1[3D ．1[,1)3【答案】D341(0)x x x ⎧--≥3141(0)()(0)x x x f x x x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩的图象有四个交点，找到临界位置求出对应的a ，根据数形结合思想即可得结果. 【详解】 设32()41(0),()34g x x x x g x x '=-->=-，则易得当23(0,)x ∈时，()g x 单调递减，当23(,)x ∈+∞时，()g x 单调递增， 如图所示：直线(3)y a x =+与()f x 在0x <处有一个交点，在23(,)3+∞处有一个交点， 故在23(0,3处需2个交点，直线经过0,1（）点时13a =， 当230,3x ⎛∈ ⎝⎭时，334141y x x x x =--=-++，234y x '=-+， 设直线(3)y a x =+与曲线的相切时切点为()3000,41x x x -++，则切线的斜率2034k x =+，切线方程为()()3200004134y x x x x x +--=-+-，将点()3,0-代入可得01x =，此时1a = 则实数a 的取值范围是1[,1)3， 故选：D.本题考查函数与方程，考查考生用导数研究三次函数的图像和性质，导数的几何意义，函数的零点等知识，考查考生用数形结合方法解决问题的能力，属于稍难题.9．如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将ABE △沿直线AE 折起至AEM △，点M 在平面AECD 上的投影为O ，平面AEM 与平面AECD 所成锐二面角为α，直线MC 与平面AECD 所成角为β，若OB OC =，则下列说法正确的是（ ）A ．2αβ=B ．2C ．2D ．无法确定【答案】A【解析】作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，证明MBO MCO β∠=∠=，MFO α∠=，根据角度关系得到答案. 【详解】MO ⊥平面AECD ，易得当OB OC =时，MBO MCO β∠=∠=，作BF AE ⊥于F ，连接MF ，OF ，则MF AE ⊥，BF MF F =，故AE ⊥平面BFM ，MO ⊥平面AECD ，AE ⊂平面AECD ，AE MO ⊥，M ∈平面BFM ，故MO ⊂平面BFM ，故,,B F O 三点共线，故MFO α∠=， 又由于BF MF =，MBF FMB β∴∠=∠=，2=βα∴ 故选：A.本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角，二面角等立体几何知，考查考生空间想象能力和作图能力，属于难题.10．数列{}n a 满足2113222n n n a a a a +==-+，，下列说法正确的是（ ） A ．存在正整数k ，使得34k a = B ．存在正整数k ，使得3k a =C ．对任意正整数k ，都有12k a <<D ．数列{}n a 单调递增【答案】C 【解析】由22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，可判断A ，由2122n nn a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-，两边取对数可得122+1n n a --=，从而可判断B ，C,进一步可得2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，从而数列{}n a 单调递减，可判断D . 【详解】 数列{}n a 满足132a =. 22122(1)11n n n n a a a a +=-+=-+>，所以A 不正确.由2122n n n a a a +=-+，得()2211211n n n n a a a a +-=-+=-两边取以2为底的对数，可得()()212log 12log 1n n a a +-=- 所以数列(){}21log 1n a +-是等比数列，且()2123log 1log 112a ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭则()12log 12n n a --=-，所以1212n n a ---=，即122+1n n a --=当1n ≥时，121n -≥，121n --≤-，所以121022n --<≤，即12312+12n n a --<=≤,所以B 不正确. 所以2132(2)(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+=--<，则数列{}n a 单调递减. 所以D 不正确. 故选:C . 【点睛】本题考查数列的递推关系，单调性，考查考生的逻辑思维能力，及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.二、双空题11．复数z 满足(2)21i z i +=+，则z =_____；z =_____ 【答案】4355i + 1 【解析】根据(2)21i z i +=+，利用复数的除法运算得到4355z i =+，再利用复数的模的公式求解. 【详解】因为(2)21i z i +=+， 所以2143255+==++i z i i ， 所以1z = 故答案为：①4355i +；②1 【点睛】本题主要考查复数的四则运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 12．点Q 是圆2211()C x y +-=：上的动点，点P 满足3OP OQ =（O 为坐标原点），则点P 的轨迹方程是_____；若点P又在直线(y k x =-上，则k 的最小值是___ 【答案】22(3)9x y +-=【解析】设00(,),(,)P x y Q x y ，得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2200(1)1x y +-=即得点P 的轨迹方程；当直线和圆22(3)9x y +-=3=，解方程即得解.【详解】设00(,),(,)P x y Q x y ，由3OP OQ =得0033x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程2200(1)1x y +-=得22(3)9x y +-=.所以曲线点P 的轨迹方程是22(3)9x y +-=.由题得直线方程为330kx y k --=，当直线和圆22(3)9x y +-=2|333|31+k k--=，解之得0k =或3k =所以k 的最小值为3故答案为：22(3)9x y +-=；3. 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．已知在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则n =_____；4x 项的系数为______ 【答案】6 240【解析】根据只有第四项的二项式系数最大，可得6n =，然后利用通项公式可求4x 项的系数. 【详解】因为在1(2)nx x x的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以由二项式系数的对称性质得6n =，通项公式361216(2)()r rrr T C x x --+=-1856262(1)r r r rC x--=-，令185422r r -=⇒=，所以含4x 的项系数为2462240C =. 故答案为：6；240. 【点睛】14．四边形ABCD 内接于圆O ，其中AB 为直径，若7,3BC CD DA ===，则AB =_______；四边形ABCD 的面积是_______【答案】9【解析】连接BD ，设AB x =，在直角ABD △中，用x 表示出cos ,DAB BD ∠，在BCD 中，由余弦定理表示出cos BCD ∠，利用cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，建立x的方程，求解得出,cos AB BCD ∠，进而求出sin BCD ∠，即可求出四边形ABCD 的面积. 【详解】连接BD ，四边形ABCD 内接于圆O ，且AB 为直径，,AD BD DAB BCD π∴⊥∠+∠=，设AB x =，则3cos ,DAB BD x∠== cos cos 0DAB BCD ∠+∠=，即23949(9)0237x x +--+=⋅⋅，化简得3671260x x --=， 即(9)(2)(7)0x x x -++=9x ∴=或2x =-（舍去）或7x =-（舍去），9AB ∴= 1cos cos ,032BCD DAB DAB BCD ππ∠=-∠=-∴<∠<<∠<，sin sin 3DAB BCD ∠=∠==， ∴四边形ABCD 的面积为1sin ()2ABD BCD S S BCD AD AB BC CD +=∠⋅+⋅△△1937)2=⨯+⨯=故答案为：9；【点睛】本题考查直角三角形边角关系、余弦定理、三角形面积公式，考查图形识别能力、方程思想，属于中档题.三、填空题15．已知函数()|log 1(0,1)a f x x a a =-≠，若1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=__________． 【答案】2【解析】不妨设a ＞1， 则令f （x ）=|log a |x-1||=b ＞0， 则log a |x-1|=b 或log a |x-1|=-b ；故x 1=-a b +1，x 2=-a -b +1，x 3=a -b +1，x 4=a b +1， 故222214231234112112111122,1111b b b bx x a x x a x x x x a a --+=+=∴+++=+---- 22222 2.11bb b a a a =+=-- 故答案为2点睛：本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算，注意计算的准确性.16．过点(1,0)P -的直线与抛物线2y x =相交于,A B 两点，(,0)M t 为x 轴上一点，若ABM ∆为等边三角形，则t =_______【答案】53【解析】设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，联立直线与抛物线的方程消元，然后得到AB 中点坐标，然后表示出AB 中垂线方程，即可得到21122t k =-，然后根据点M到直线AB 的距离d =求解即可. 【详解】由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，故设直线方程为：(1),0y k x k =+≠，代入抛物线方程得2222(21)0k x k x k +-+=①设1122(,),(,)A x y B x y ，2140k ∆=->②21212212,1k x x x x k-+==，则AB 中点坐标为22121(,)22k k k - AB 中垂线方程为221112()22k y x k k k --=--，令0y =得21122t k =-， 则211(,0)22M k -ABE ∆为正三角形，点M 到直线AB 的距离d =，12x k =-=⇒= 代入②满足，则53t = 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查考生运算求解能力，属于稍难题.17．ABC 中，,D E 依次为BC 的三等分点，若2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos ADC ∠的最小值是_________ 【答案】47【解析】根据已知将向量,AB AC 转化为用,AD AE 向量表示，再由2AB AD AC AE ⋅=⋅，得出,,AD AE DE 边的关系，利用余弦定理结合基本不等式，即可求出结论. 【详解】 由11(),()22AD AB AE AE AD AC =+=+， 得2,2AB AD AE AC AE AD =-=-设,,AD x AE y DE m ===222242AB AD AC AE x AD AE y AD AE ⋅=⋅⇒-⋅=-⋅2222242cos 2x y m AD AE y x xy ADC +-∴⋅=-=∠=222222225142277x y m y x y x m +-∴=-⇒=-2222228477cos 227x mx m y ADC mx mx ++-∴∠==≥当且仅当2x m =时，等号成立. 故答案为：47. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、余弦定理以及基本不等式，考查考生综合运用向量、三角、不等式等知识解决问题的能力，属于较难题.四、解答题18．已知函数()cos f x x =（1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+为奇函数，求θ值； （2）求函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域.【答案】（1）2π或32π；（2）31[,]44-【解析】（1）根据函数奇偶性的定义结合余弦函数的性质，即可得出θ值；（2）由三角恒等变换化简函数解析式，利用正弦函数的性质，即可得出该函数的值域. 【详解】 （1）()f x θ+为奇函数()()0f x f x θθ∴++-+=恒成立cos()cos()02cos cos 0x x x θθθ∴++-+=⇔=恒成立cos 0θ∴=又[0,2)θπ∈，2πθ∴=或32π （2）31sin sin cos sin cos sin 6622y x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23131sin cos sin sin 2(1cos 2)2244x x x x x =-=-- 1111(3sin 2cos 2)sin(2)44264x x x π=+-=+- 因为1sin 26(1)π-≤+≤x ，所以3144y -≤≤所以函数sin ()6y x f x π=⋅+的值域是31[,]44-.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性，考查学生三角函数的恒等变形能力，属于中档题.19．如图，菱形ABCD 与正BCE 的边长均为2，且平面BCE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =，（1）求证：//EF 平面ABCD ；（2）若60ABC ∠=︒，求二面角A BF E --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）78-【解析】（1）如图，作EH BC ⊥于H ，连DH ，证明四边形EFDH 是平行四边形得到答案.（2）以H 为原点，,,HB HA HE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，计算平面ABF 和平面BEF 的法向量，根据向量夹角公式得到答案. 【详解】（1）如图，作EH BC ⊥于H ，连DH ，平面BCE ⊥平面ABCD ，EH BC ⊥，EH ⊂平面BCE ，∴EH⊥平面ABCD，且3 EH=，又FD⊥平面ABCD，且3FD=，∴//EH FD，且EH FD=，故四边形EFDH是平行四边形，//EF HD∴，HD⊂平面ABCD，EH⊄平面ABCD，故//EF平面ABCD.（2）60ABC∠=︒，菱形ABCD，易知AH BC⊥，以H为原点，,,HB HA HE所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则3,0),(1,0,0),3),(3,3)A B E F-，有(1,3,0),(1,0,3),(3,3,3)BA BE BF=-=-=-，设平面ABF的一个法向量为1111(,,)n x y z=，11n BAn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11111333030x zx⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y=，取1(3,1,2)n=，设平面BEF的一个法向量为2222(,,)n x y z=，由22n BEn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，22222333030x zx z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令21z=，取2(3,2,1)n=，则1212123227cos888n nn nn n⋅++〈〉===⨯⋅，，由题意知二面角A BF E--是钝二面角，故二面角A BF E--的余弦值是78-.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面角的方法，考查考生空间想象能力和运算求解能力.20．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112nn n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列. （1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤- 【答案】（1）11a =；（2）32n nn a =-；（3）证明见解析【解析】（1）根据12(2)1n n n S a ++=+对1n =和2n =成立，得到两个方程，根据1236a a a +，，成等比数列得到一个方程，三个方程联立组成方程组可解得1a ；（2）根据当2n ≥时，1n n n a S S -=-可得132nn n a a +=+，再两边除以12n +后，可得{1}2nn a +为等比数列，利用等比数列的通项公式可求得结果； （3）利用1913253nn n ≤⋅-进行放缩后，再根据等比数列的求和公式可得结果. 【详解】（1）由已知得1222322132(2)12(2)1(6)S a S a a a a +=+⎧⎪+=+⇒⎨⎪=+⎩1212322132(2)12(4)1(6)a a a a a a a a +=+⎧⎪++=+⎨⎪=+⎩21223111111221323613(23)(619)2790(6)a a a a a a a a a a a a =+⎧⎪⇒=+⇒+=+⇒+-=⎨⎪=+⎩ 因为10a >，所以11a =（2）因为112nn n S a ++，，成等差数列，所以1112(2)1221n n nn n n S a S a ++++=+⇒=-+当2n ≥时，111112212232221n n n n n n n n n n nn n S a a a a a a S a ++++-⎧=-+⇒=--⇒=+⎨=-+⎩ 又12211,532a a a a ==⇒=+符合上式，所以132n n n n N a a ++∀∈=+，11312222n n n n a a ++⇒=⋅+⇒1131112222n n n n nn a a a ++⎛⎫⎧⎫+=+⇒+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭是首项为32，公比为32的等比数列31()3222nn n n n n a a ⇒+=⇒=- （3）因为，当2n ≥时，22255(32)34324(32)032399n n n n n n n n n n -----⋅=⋅-=-≥⇒-≥⋅1913253n n n⇒≤⋅-易知1n =时，原不等式成立；当2n ≥时，123212111119111911131()1(13)153335910313n n n n a a a ---+++≤++++=+⋅⋅=--综上，原不等式n N +∀∈成立. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，递推数列求通项的方法，考查考生运用所学的数学方法：比较法、放缩法解决问题的能力，属于稍难题.21．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，直线12,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为,A B .（1）若P 点坐标为3(1,)2，且124PF PF +=，求椭圆的方程； （2）设11PF F Aλ=，22PF F B μ=，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）定值为22121e e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，证明见解析. 【解析】（1）根据题设条件可直接求出a ，再根据P 在椭圆上求出b 后可得椭圆的方程. （2）设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，:PA x my c =-，:PB x ny c =+，先用诸点坐标表示λμ+、22m n +，再联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理得到01y y 、02y y 与,m n 的关系式，最后化简λμ+后可得定值.我们也可以利用椭圆的几何性质来证明λμ+为定值.【详解】（1）2224,2,31914a a b a b =⎧⎪∴==⎨+=⎪⎩22143x y +=. （2）法一：坐标法设001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，当00y =时，2222222()2(1)1a c a c a c e a c a c a c eλμ-++++=+==+---. 当00y ≠时，PA x my c =-：，PB x ny c =+：， 其中：0000x c x c m n y y +-==，， 从而22222222200022(),()2()x c m n y m n x c y ++=∴+=+. 由222222x my c b x a y a b =-⎧⎨+=⎩得422222401222()20,b a b m y b mcy b y y a b m +--=∴=-+，同理402222by ya b n=-+，从而222240102112()a b m ny y y y b+++=-.22222222220022000044 1201022()112()()[]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b bλμ+++++=+=-+==22222222222222222 0000444222()2()2222a yb xc b x a y b c a b b c a cb b b b++++++====⋅2222222(1)21a c ea c e++=⋅=--.法二：焦半径法不妨设点P在x轴上方，设1221,PF F PF Fαβ∠=∠=，过P作左准线的垂线，垂足为E，过1F作PE的垂线，垂足为S，由圆锥曲线的统一定义可得1PFePE=，故22111cos=cosa bPF e c PF e PFc cαα⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得到211cosbecPFeα⨯=-，所以2111cosbPFa eα=⋅-.同理，2111cosbF Aa eα=⋅+，2211cosbPFa eβ=⋅-，2211cosbF Ba eβ=⋅+，所以111cos211cos1cosPF eF A e eαλαα+===---，221cos211cos1cosPF eF B e eβμββ+===---.又2212112,21cos1cosb bPF PF a aa e a eαβ+=∴⋅+⋅=--，221121cos1cosae e bαβ∴+=--，所以222222222222242(2)2()2(1)221cos 1cos 1a a b a c e e e b b a c e λμαβ-+++=+-=-===--+-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生函数与方程思想、数形结合思想，逻辑推理能力和运算求解能力.22．已知函数()ln f x x a x =+（1）若曲线()y f x =在点2x =处的切线与直线2y x =平行，求实数a 的值； （2）若()a xf x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 【答案】（1）2a =；（2）e -【解析】（1）由题意()1a f x x '=+，由条件有(2)122a f '=+=，从而得到答案. （2）()a x f x x e -≥-在(1,)+∞上恒成立,即n n l l x x a a e x x e ----≥在(1,)+∞上恒成立，设()ln g t t t =-，即转化为()()x a g e g x -≥在(1,)+∞上恒成立，求出函数()g t 的单调性，因为是求a 的最小值，故不妨先设0a <，求出此时a 的最小值，从而可得答案.【详解】（1）()1a f x x'=+ 由题意知(2)1222a f a '=+=⇒= （2）()ln ln ln ln a x a x x a x x a a f x x e x a x x e e x x a x e e x x -----≥-⇔+≥-⇔+≥-⇔-≥-设()ln g t t t =-，则原不等式()()x a g eg x -⇔≥ 由11()1t g t t t-'=-=，易知01t <<时，()0g t '<，1t >时，()0g t '>， 所以()ln g t t t =-在(0,1)上单调减，在(1,)+∞上单调增因为是求a 的最小值，故不妨先考虑0a <，又1x >，所以(),0,1x ae x -∈ 所以1ln ()()x a x a x g e g x e x a x --≥⇔≤⇔-≥，原不等式恒成立max 1ln ()x a x⇔-≥ 设ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()x h x x-'=，易知1x e <<时，()0h x '>，x e >时，()0h x '<， 所以ln ()x h x x =在()1e ，上单调增，在(,)e +∞上单调减max 1()()h x h e e ⇒== 所以min 11a e a e a e-≥⇒≥-⇒=-，又求的是a 的最小值， 所以a 的最小值为e -.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式，考查考生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，证明不等式的关键是先将问题进行等价转化，再构造函数利用导数研究新函数的性质.属于难题.。

浙江省宁波市鄞州职业中学2020年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92参考答案：C【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．2. 下列四个判断，正确的是①某校高二某两个班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；②名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；③从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）；④已知服从正态分布,，且，则.（A）①②③（B）①③④（C）②③④（D）①②③④参考答案：C3. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案．【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以，所以双曲线的离心率为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，4. 一个算法的程序框图如图，若该程序输出结果为6，则判断框内m的取值范围是( )A．（12，20] B．（20，30] C．（30，42] D．（12，42]参考答案：B考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由程序框图依次求得程序运行的结果，再根据输出的k值判断运行的次数，从而求出输出的S值．解答：解：由程序框图知第一次运行第一次运行S=2，i=2；第二次运行S=0+2+4，i=3；第三次运行S=0+2+4+6，i=4；第四次运行S=0+2+4+6+8，i=5；第五次运行S=0+2+4+6+8+10，i=6；∵输出i=6，∴程序运行了5次，此时S=0+2+4+6+8+10=30，∴m的取值范围为20＜m≤30．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据程序运行的结果判断程序运行的次数是关键，属于基本知识的考查．5. 用表示三个数中的最小值，, (x0) , 则的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：C略6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的取值范围为（）A．[－7,1] B．[1,3] C．[0,3] D．[0,1]参考答案：C7. 已知a<b函数，若命题，命题q:g(x)在 (a，b) 内有最值，则命题p是命题q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：A略8. 已知x∈（，π），tanx=﹣，则cos（﹣x﹣）等于（）A．B．﹣C．﹣D．参考答案：C【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由tanx求出sinx的值，再利用诱导公式求出cos（﹣x﹣）的值．【解答】解：∵tanx==﹣，∴cosx=﹣sinx，∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1，∴sin2x=；又x∈（，π），∴sinx=，∴cos（﹣x﹣）=cos（+x）=﹣sinx=﹣．故选：C．9. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．10. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B． C. D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品．产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，已知A种型号产品共抽取了16件，那么此样本的容量n＝参考答案：80略12. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为____________．参考答案：抛物线的准线方程为．∵抛物线的准线方程与圆相切，∴，．13. 如右图，它满足：（1）第行首尾两数均为；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第行（）第2个数是 .参考答案：．设第行（）第2个数为，则．从而通过累加可知，又=2，所以可知．14. 在等比数列{a n}中，a11+a12= a，a21+a22=b（ab≠0），则a101+ a102= 。