2018-2019学年 数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．1(,0)8B ．1(0,)8C ．1(0,)2D ．1(,0)22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是（ ）A ．()2224x y -+=B ．()2222x y +-=C ．()2222x y -+= D ．()2224x y +-=3.下列命题中是假命题的是（ ） A ．方程222450x x y y -+++=表示一个点B ．若0m n >>，则方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆C ．已知点()2,0M -、()2,0N ，若4PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线的一支D ．以过抛物线()220y px p =≠焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是相切4.双曲线22221x y a b-= ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=0y ±= D ．0x ±=5.椭圆()222210x y a b a b+=>>的两顶点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A B D 6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．128B ．127 C.64 D ．637.“函数()3f x a x =-在[)1,+∞上为单调递减函数”是“3a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分又不必要条件8.已知点()2,1A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为（ ）A ．1(,1)4-B ．(2,- C.1(,1)4-- D ．(2,-- 9.设P 为椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一点，12,F F 是该双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若12212PF F IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为（ ）A B D 11.设:01p x <<，()():20q x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,0-B ．()1,0- C.(][),01,-∞+∞U D ．()(),10,-∞-+∞U 12.已知双曲线()2210mx y m -=>的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A．( B ．()1,2C. ( D ．()1,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“020,log 0x R x ∃∈≤”的否定为 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C，且过点(，则曲线C 的方程为 ．15.过点()2,0A 且与圆224320x x y ++-=内切的圆的圆心的轨迹方程为 ．16.抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M '，则MM AB'的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中左焦点为()2,0F -（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点M 在圆221x y +=外，求m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()()()311,01,0x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪-+≤⎩， （I ）求函数()f x 的最小值；（II ）已知m R ∈，命题p ：关于x 的不等式()222f x m m ≥+-对任意的x R ∈恒成立；命题q ：指数函数()21xy m =-是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形侧面PAD ⊥底面ABCD ，F 为BD 中点，2PA PD AD ===（I ）在线段PA 上是否存在点E ,使得EF //平面PBC ，指出点E 的位置并证明； （II ）求二面角E DF A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），记点P 的轨迹为C . （I ）求曲线C 的方程；（II ）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点()0,2到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程. 21. （本小题满分12分）如图，已知ABC ∆与BCD ∆所在的平面互相垂直，且90BAC BCD ∠=∠=o ，AB AC =，CD CB =，点,P Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将PQD ∆向上翻折，使D 与A 重合.（I ）求证：AB CQ ⊥；（II ）求直线AP 与平面ACQ 所成的角. 22. （本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在原点O ，左焦点1F ，左顶点1A ，上顶点1B ，11FOB ∆的周长为3+，11OA B ∆（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k R =+∈使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ADCBB 6-10:BBACB 11、12：AA 二、填空题13.2,log 0x R x ∀∈> 14. 221y x -= 15.22195x y +=三、解答题17.（I ）由题得：22222c a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………2分解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为22184x y +=…………………………………………3分29680m ∆=->，m ∴-<<6分120223x x m x +∴==-，003my x m =+=…………………………7分 ()00,M x y Q 在圆221x y +=外222()()133m m ∴-+>，所以m <m >9分所以m -<<m <<10分 18.（I ）由()()()311,01,0x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪-+≤⎩得函数()f x 的最小值为1………………4分 （II ）由（I ）得2221m m +-≤对任意x R ∈恒成立 即2230m m +-≤，解得31m -≤≤∴命题:31p m -≤≤……………………………………………6分命题:q 指数函数()21xy m =-是增函数，∴211m ->∴命题:q m m <->…………………………8分由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假分两种情况：若p 真q假，则31m m -≤≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩21m -≤≤………………………10分若p 假q真，则31m m m m <->⎧⎪⎨<->⎪⎩或3m m <->或所以实数m 的取值范围为()),31⎡⎤-∞--+∞⎣⎦U U…………………………………12分19.（I ）存在点E ，为线段PA 的中点…………………1分 证明：如图，连结AC因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点 所以//EF PC ………………………………3分 又因为EF PBC ⊄平面，PC PBC ⊂平面 所以//EF PBC 平面…………………………5分 （II ）取AD 中点O在PAD ∆中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD I 面ABCD AD = 所以PO ABCD ⊥面因为OF ABCD ⊂面，所以PO OF ⊥又因为F 是AC 的中点，所以OF AD ⊥……………………7分 如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系因为2PA PD AD ===，所以OP =，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2,0O A B C -()(()11,0,0,,,0,1,02D P E F ⎛- ⎝于是()()30,2,0,,1,1,02AB DE DF ⎛=== ⎝uu u r uuu r uuu r 因为OC ABCD ⊥面，所以(OP =uu u r是平面FAD 的一个法向量………………9分设平面FED 的一个法向量是()000,,n x y z =r………………11分因为00n DF n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uuu r g r uuu r g，所以00000302x y x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即0000y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =，则(1,1,n =-r所以cos ,OP n 〈uu u r r 由图可知，二面角E DF A --为锐角，所以二面角E DF A --的余弦值为……………12分 20.（I ）设点(),P x y ，点(),2Q x -因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ =uu u r uuu rg ，即22x y =当0x =时，,,P O Q 三点共线，不合题意，故0x ≠ 所以曲线C 的方程为()220x y x =≠…………4分（II ）直线2l 与曲线C 相切，所以直线2l 的斜率存在 设直线2l 的方程为y kx b =+ 由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩得2220x kx b --=……………6分Q 直线2l 与曲线C 相切，22480,2k k b b ∴∆=+=∴=-……………8分点()0,2到直线2l 的距离1122d =≥⨯=k ==时等号成立，此时1b =-……………11分所以直线2l10++10y y --==……………12分 21.（I ）证明：ABC BCQ ⊥Q 面面，又CQ BC ⊥CQ ABC ∴⊥面，CQ AB ∴⊥…………4分（II ）取BC 中点O ，BD 中点E如图，以OB 所在直线为x 轴，以OE 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系……………5分不妨设2BC =，则()()()0,0,1,1,2,0,,1,0A D P x x --……………6分 由AP DP =,即()()()2222111x x x x +-=+++ 解得0x =，所以()0,1,0P ……………8分故()0,1,1AP =-uu u r……………9分设(),,n x y z =r为平面ACQ 的一个法向量， 因为()()1,0,1,1,0,1AC CQ OE λλ=--==-uuu r uu u r uu u r由00n AC n CQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uuu r g r uu u rg ，即00x z y λ--=⎧⎨=⎩，所以()1,0,1n =-r ……………10分 设直线AP 与平面ACQ 所成的角为α，则1sin cos 2AP α=〈=uu u r ，所以6πα=即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π……………12分22.（I ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c依题意11FOB ∆的周长为3a b c ++=11OA B ∆的面积为12ab =又2223b a c =-=，所以2,1a b c ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=……………3分 （II ）存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立……………4分利用如下：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=()()()22284344120km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>……………6分设()()1122,,,A x y B x y ，在21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++ 若22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r 成立，即2222OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r等价于0OA OB =uu r uu u rg ，所以12120x x y y +=……………7分()()()()22121212120,10x x kx m kx m k x xkm x x m +++=++++=()()()22212122241280,103434m km x x kx m kx m k km m k k-+++=+++=++ 化简得，2271212m k =+……………9分将2222713412k m k m =-+>代入中，2273+4(1)12m m -> 解得234m >……………10分又由2271212m k =+，2127m >……………11分从而2127m >，m m ≥≤所以实数m 的取值范围是(,)-∞+∞U ……………12分。
