可化为分一元一次方程的分式方程的解法

可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。

所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。

2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。

教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

青岛版数学八年级上册3.7《可化为一元一次方程的分式方程》教学设计1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是青岛版数学八年级上册3.7的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是引导学生理解并掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。

教材通过生活中的实际问题引出分式方程，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于分式的相关知识也有一定的掌握。

但是，学生在解决实际问题时，往往不能很好地将实际问题转化为数学问题，对于分式方程的解法也有一定的局限性。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。

三. 教学目标1.理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。

2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。

3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

4.培养学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引导学生理解并掌握分式方程的解法。

2.案例教学法：通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。

3.问题驱动法：引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实际问题和相关的例题。

2.教学案例：准备一些生活中的实际问题和相关的例题，用于讲解和练习。

3.教学素材：准备一些与本节课相关的学习素材，以便学生在课后进行自主学习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考并提出问题。

可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。

探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。

分式方程的解法及应用【要点梳理】要点一、分式方程的概念★分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【例1】下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．B ．C ．D ．，（，为非零常数） 【变式1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1 B ．x +1x=2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【变式1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【变式1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ）A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2要点二、分式方程的解法★解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. ★解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例2】解分式方程（1）22151210=-+-x x ；（2）013522=--+xx x x3214312x x +--=124111x x x x x -+-=+--21305x x +=x ax a b+=a b【变式2.1】解方程：要点三、解分式方程产生增根的原因★方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.★产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.【例3】若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 【变式3.1】如果方程xxx --=++21321有增根，那么增根是________．要点四、分式方程的应用★分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案.【例4】甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?典型例题题型一：分式方程的定义【练习1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1B ．x +1x =2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【练习1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【练习1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5 B ．12+x=1−2x21233x x x-=---C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【练习1.4】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）A ．2+x5−3=3+x6B ．x a−a b−xbC ．x−17+a=3﹣xD ．(x−1)2x−1=1【练习1.5】下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.6】下列关于x 的方程①x−13=5，②1x =4x−1，③3−x 3=x ﹣1，④x a=1b−1中，是分式方程的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.7】有下列方程：①2x +x−15=10；②x −1x =2；③12x+1−3=0；④2x 3+x−12=0．属于分式方程的有（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【练习1.8】在下列各式中，是关于x 的分式方程的是（ ） A ．2x ﹣3y ＝0B ．x+12−3=2x 7C ．x+1x−2+3 D ．3x−2=5x【练习1.9】下列各式中是分式方程的是（ ） A ．1xB ．x 2+1＝yC ．x2+1＝0D ．1x−1=2【练习1.10】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．3x =12B ．1x=2C ．x+25=3+x 4D ．3x ﹣2y ＝1【练习1.11】下列关于x 的方程是分式方程的是（ ） A ．x+12−1=2+x 3B ．x−13+a=2−xC ．xm−1=n mD ．(x−1)2x−1=1【练习1.12】下列方程是分式方程的是（ ） A ．x−b a =2−x−a b（a ，b 为常数）B ．x +1x =c +1c （c 为常数）C ．x +b 2=5（b 为常数）D ．x+12=3【练习1.13】在下列关于x 的方程中分式方程的个数有（ ）①12x 2−23x +4＝0；②x a =4；③a x =5；④x 2−9x+3=1；⑤1x+2=6；⑥2x−13=x +7．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.14】下列关于x 的方程中，属于分式方程的个数是（ ）①−12x 3+3x ＝0； ②x b 2+b ＝1； ③1x 2−1＝2； ④x x +x 24=6．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练习1.15】下列方程不是分式方程的是（ ） A ．x−3x=1B ．xx+1+1x−1=1C ．3x+4y=2D ．12−x−23=x【练习1.16】在方程x+53=7，−2x =2，1π+x =12，x−12=x−13+4，3x+9x=1中，分式方程有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.17】在下列各式①x 2﹣x +1x ；②1a−3＝a +4；③x 2+5x ＝6；④20x−y+10x+y=1中，是分式方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.18】下列是关于x 的分式方程的是（ ）A ．x+24−3=3+x6B ．x−7a+7=3﹣x C ．x a−x b=1D ．2x x 2+2=5【练习 1.19】下列方程：①x5=2；②5x=2；③y =23x ；④1+x 5+x=12；⑤y +1=2y ；⑥1+3（x ﹣2）＝7﹣x ；⑦y 2﹣3=y3．其中，分式方程有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.20】观察分析下列方程：①x +2x =3；②x +6x =5；③x +12x =7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 ．题型二：解分式方程 【练习2.1】解分式方程2x−1+x+21−x=3时，去分母后变形为（ ）A ．2+（x +2）＝3（x ﹣1）B ．2﹣x +2＝3（x ﹣1）C ．2﹣（x +2）＝3（1﹣x ）D ．2﹣（x +2）＝3（x ﹣1）【练习2.2】解分式方程2x+1+3x−1=6x 2−1，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）A ．方程两边分式的最简公分母是（x ﹣1）（x +1）B ．方程两边都乘以（x ﹣1）（x +1），得整式方程2（x ﹣1）+3（x +1）＝6C ．解这个整式方程，得x ＝1D ．原方程的解为x ＝1【练习2.3】已知点P （1﹣2a ，a ﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程x+1x−a=2的解是（ ） A ．5B ．1C ．3D ．不能确定【练习2.4】解分式方程1x−2−3=42−x时，去分母可得（ ） A ．1﹣3（x ﹣2）＝4 B ．1﹣3（x ﹣2）＝﹣4 C ．﹣1﹣3（2﹣x ）＝﹣4 D ．1﹣3（2﹣x ）＝4【练习2.5】方程2x+3=1x−1的解为（ ）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【练习2.6】解分式方程1−x x−2=12−x−2时，去分母变形正确的是（ ）A ．﹣1+x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）B ．1﹣x ＝1﹣2（x ﹣2）C ．﹣1+x ＝1+2（2﹣x ）D ．1﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）【练习2.7】解分式方程x 2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）A ．x +2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3（2x ﹣1）D ．x +2＝3（2x ﹣1）【练习2.8】对于实数a 、b ，定义一种新运算“ⓧ”为：a ⓧb =3a 2−ab，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）ⓧx ＝2，则x 的值为（ ） A ．﹣2B ．−52C ．52D ．−72【练习2.9】方程2−x x−5−35−x=0的解为（ ）A ．﹣2B ．2C ．5D ．无解【练习2.10】对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b =2a b −1a．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1B ．13C ．﹣1D ．−13【练习2.11】对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b =1b −1a．若2⊕（2x ﹣1）＝1，则x ＝（ ） A ．56B ．54C ．32D ．−16【练习2.12】把分式方程1x−2−1−x 2−x=1的两边同时乘以（x ﹣2），约去分母，得（ ）A ．1﹣（1﹣x ）＝1B ．1+（1﹣x ）＝1C ．1﹣（1﹣x ）＝x ﹣2D ．1+（1﹣x ）＝x ﹣2【练习2.13】方程2x+2=1x−1解是（ ）A ．x =43B ．x ＝4C ．x ＝3D ．x ＝﹣4【练习2.14】分式方程1x−3+1=x3−x 的解为（ ）A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝﹣1D ．x ＝﹣2【练习2.15】分式方程2x−3=3x的解是 ．【练习2.16】对于实数a ，b 定义一种新运算“⊗”：a ⊗b =1a−b2，例如，1⊗3=11−32=−18．则方程x ⊗2=2x−4−1的解是 ． 【练习2.17】分式7x−2与x 2−x的和为4，则x 的值为 ．【练习2.18】分式方程1x−2=3x的解是 ．【练习2.19】定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（2x ）的解为 ． 【练习2.20】分式方程1x+2−3x x 2−4=0的解为x ＝ ． 【练习2.21】分式方程3−2x x−2+22−x =1的解为 ． 【练习2.22】分式方程4x+1x 2−1−52(x−1)=1的解为【练习2.23】分式方程3x+1=2x的解是 ．【练习2.24】若代数式6x+2与4x 的值相等，则x ＝ ．【练习2.25】方程x−3x=xx+1的解是 ．【练习2.26】关于x 的分式方程2x−1−1x+1=11−x的解是 ．【练习2.27】分式方程5x =7x−2的解是x ＝ ．【练习2.28】对两个不相等的实数根a 、b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定：方程max {x ，﹣x }=2x+1x的解为 ． 【练习2.29】对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a ，b 中的较大值，如max {﹣3，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }=3x+2x的解为 ． 【练习2.30】在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a △b =1a +1b，根据这一规则，方程x △（x +1）=32的解是 ． 【练习2.31】分式方程x x−1=32(x−1)−2的解为 ．【练习2.32】解方程：x x+1=2x 3x+3+1．2−x x−3=13−x−2． x x−1−2x−1x 2−1=1． 1x+2+4x x 2−4−2x−2=1．x x−1−1=2x3x−3． 4x 2−1+1=x−1x+1．2x−1=4x 2−1x−3x−2+1=32−x ．题型三：分式方程的解 【练习3.1】关于x 的分式方程2x−a x+1=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A ．a ≥﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ≤﹣1D ．a ＜﹣1【练习3.2】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0或2【练习3.3】已知关于x 的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m ＞2且m ≠3【练习3.4】已知方程3−aa−4−a =14−a ，且关于x 的不等式组{x ＞a x ≤b只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜b ≤3B ．2＜b ≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【练习3.5】若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜92 B ．m ＜92且m ≠32C ．m ＞−94D ．m ＞−94且m ≠−34【练习3.6】关于x 的方程3x−2x+1=2+mx+1无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【练习3.7】若方程3x+3=2x+k的根为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ≠﹣3D ．k ＜2且 k ≠﹣3【练习3.8】若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12＜x +2的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程2y−a y−1−y−41−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．6【练习3.9】已知关于x 的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤3B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2【练习3.10】已知关于x 的分式方程m x−1=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥﹣1且m ≠0D ．m ≥﹣1【练习3.11】关于x 的分式方程2x+a x+1=1的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜1且a ≠﹣2D ．a ＞1且a ≠2【练习3.12】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值是 ．【练习3.13】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，则m 的值 ． 【练习3.14】若关于x 的方程1x−4+m x+4=m+3x 2−16无解，则m 的值为 ．【练习3.15】已知关于x 的方程2x+m x−2=3的解是正数，则m 的取值范围是 ． 【练习3.16】若关于x 的分式方程x+m x−2+2m 2−x=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．【练习3.17】关于x 的分式方程x+k x+1+2x x+1=1的解为非正数，则k 的取值范围是 ． 【练习3.18】若关于x 的分式方程xx−3+3a 3−x=2a 无解，则a 的值为 ．【练习3.19】若关于x 的方程ax+1x−1−1=0的解为正数，则a 的取值范围是 ．【练习3.20】已知关于x 的分式方程xx−3−2=kx−3有一个正数解，则k 的取值范围为 ． 【练习3.21】若关于x 的方程axx−1=3x−1+1无解，则a 的值是 ．【练习3.22】若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x35x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+a y−1+2a 1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．【练习3.23】关于x 的方程3−2x x−3+2+mx 3−x=−1无解，则m ＝ ．【练习3.24】已知关于x 的方程：2xx+3=mxx+3−2．（1）当m 为何值时，方程无解． （2）当m 为何值时，方程的解为负数．【练习3.25】（1）解下列方程：①x +2x =3根为 ；②x +6x =5根为 ；③x +12x=7根为 ； （2）根据这类方程特征，写出第n 个方程为 ，其根为 ．（3）请利用（2）的结论，求关于x 的方程x +n 2+nx−3=2n +4（n 为正整数）的根．【练习3.26】若关于x 的分式方程xx−3+3a3−x =2a 无解，求a 的值．【练习3.27】已知关于x 的方程x x+1+x+1x=4x+ax(x+1)只有一个实数根，求实数a 的值． 【练习3.28】已知关于x 的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2，若方程无解，求m 的值．【练习3.29】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，求m 的值．【练习3.30】已知关于x 的方程xx−3−2=mx−3解为正数，求m 的取值范围．【练习3.31】若关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2无解，求m 的值．【练习3.32】关于x 的分式方程x−5x−3=m 3−x的解为正数，求m 的取值范围．题型四：分式方程的增根 【练习4.1】若分式方程3x−a x 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（ ）A ．0或2B ．4C ．8D ．4或8【练习4.2】关于x 的方程x−1x−3=2+kx−3有增根，则k 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．2【练习4.3】分式方程xx−1−1=m (x−1)(x+1)有增根，则m 的值为（ ） A ．0和2B ．1C ．1和﹣2D ．2【练习4.4】若关于x 的分式方程x+m 4−x 2+x x−2=1无解，则m 的值是（ ） A ．m ＝2或m ＝6B ．m ＝2C ．m ＝6D ．m ＝2或m ＝﹣6【练习4.5】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0或m ＝3B ．m ＝3C ．m ＝0D ．m ＝﹣1【练习4.6】若关于x 的分式方程m+1x−1=x 1−x有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝﹣1B ．m ＝1C ．m ＝﹣2D ．m ＝2【练习4.7】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0B ．m ＝﹣1C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝3【练习4.8】若分式方程1x−2+3=a+1x−2有增根，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【练习4.9】若分式方程x x−4=2+ax−4有增根，则a 的值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0【练习4.10】若解分式方程2x x+1−m+1x 2+x=x+1x产生增根，则m 的值是（ ） A ．﹣1或﹣2B ．﹣1或2C ．1或2D ．1或﹣2【练习4.11】关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值为（ ）A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【练习4.12】分式方程xx−3+1=mx−3有增根，则m 为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【练习4.13】如果关于x 的分式方程4x−3=1+mx−3有增根，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．10【练习4.14】解关于x 的方程x x−1−k x 2−1=x x+1不会产生增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．k ≠2且k ≠一2D ．无法确定【练习4.15】关于x 的分式方程x−2x+3=2−ax+3有增根，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣5C ．5D ．2【练习4.16】关于x 的方程x−1x−3=k x−3有增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．0D ．﹣3【练习4.17】若关于x 的分式方程2x−1+a 1−x=1有增根，则a 的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或2【练习4.18】若关于x 的方程ax+1x−1=1有增根，则a ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．1D ．3【练习4.19】若关于x 的分式方程mx−2=1−x 2−x−3有增根，则实数m 的值是 ． 【练习4.20】当m ＝ 时，解分式方程x−5x−3=m 3−x会出现增根．【练习4.21】关于x 的分式方程2x−1+kx x 2−1=3x+1会产生增根，则k ＝ ．【练习4.22】若分式方程xx−1−m 1−x =2有增根，则这个增根是 ． 【练习4.23】若关于x 的分式方程xx−2+2m 2−x=2m 有增根，则m 的值为 ．【练习4.24】已知关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=0有增根且m ≠0，则m ＝ ．【练习4.25】若关于x 的方程1x−2+x+m 2−x =1有增根，则m 的值是【练习4.26】如果关于x 的分式方程m x−2−2x 2−x=1有增根，那么m 的值为 ．【练习4.27】若关于x 的分式方程x+m x−2+3m 2−x=2有增根，则m 的值为 ．【练习4.28】若关于x 的方程x+2x−1=m+1x−1产生增根，则m ＝ ．【练习4.29】关于x 的分式方程7x x−1+5=2m−1x−1有增根，则m 的值为 ．【练习4.30】若分式方程mx−3=2x−3+1有增根，则m ＝ ． 【练习4.31】m ＝ 时，方程x x−3−2=m x−3会产生增根．【练习4.32】若关于x 的分式方程2x−5+x−a 5−x =7有增根，则a 的值为 ． 【练习4.33】若关于x 的分式方程xx−2−x−a 2−x=1有增根，则a 的值 ．【练习4.34】若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a 的值是 ．【练习4.35】（1）若解关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2会产生增根，求m 的值．（2）若方程2x+a x−2=−1的解是正数，求a 的取值范围．【练习4.36】解关于x 的方程x+1x+2−x x−1=kx+2(x−1)(x+2)时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．【练习4.37】小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x−2+3=12−x．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x ＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【练习4.37】解方程：1x−2−1=4x 2−4．【练习4.39】关于x 的方程2x+1+51−x=m x 2−1去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．题型五：换元法解分式方程【练习5.1】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘y 得：y 2﹣4＝0， 解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1，当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程x−14x −xx−1=0中，设y =x−1x ，则原方程可化为： ； （2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．【练习5.2】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0， 方程两边同时乘以y 得：y 2﹣4＝0，解得：y ＝±2， 经检验：y ＝±2都是方程y −4y=0的解， ∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1；当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题：（1）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （2）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．【练习5.3】用换元法解方程x 2−12x −4x x 2−12=3时，设x 2−12x =y ，则原方程可化为（ ）A ．y −1y−3＝0B ．y −4y−3＝0C ．y −1y+3＝0 D ．y −4y+3＝0【练习5.4】用换元法解方程3x x 2−1+x 2−1x=52时，如果设xx 2−1=y ，则原方程可化为（ ）A ．y +1y=52B ．2y 2﹣5y +2＝0C ．6y 2+5y +2＝0D ．3y +1y=52【练习5.5】用换元法解方程x+1x 2+x 2x+1=2时，若设x+1x 2=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0 B ．y 2+2y +1＝0 C ．y 2+y +2＝0 D ．y 2+y ﹣2＝0题型六：有实际问题抽象出分式方程【练习6.1】“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x −180x+2=3 B ．180x+2−180x =3 C ．180x−180x−2=3D ．180x−2−180x=3【练习6.2】九年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm /h ，则所列方程正确的是（ ） A ．10x =102x −13B ．10x =102x −20C ．10x=102x+13D ．10x=102x+20【练习6.3】A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm /h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．180x −180(1+50%)x =1 B ．180(1+50%)x −180x =1 C ．180x−180(1−50%)x=1D ．180(1−50%)x−180x=1【练习6.4】2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（ ） A ．30x−30(1+20%)x=5 B ．30x−3020%x=5C ．3020%x+5=30xD ．30(1+20%)x−30x=5【练习6.5】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．800x+50=600xB ．800x−50=600xC ．800x=600x+50D ．800x=600x−50【练习6.6】小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的为（ ） A ．5x +16=52xB ．5x−16=52xC ．5x+10=52xD ．5x−10=52x【练习6.7】施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．2000x −2000x+50=2 B ．2000x+50−2000x =2C ．2000x−2000x−50=2D ．2000x−50−2000x=2【练习6.8】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20−120x=4 B ．240x+20−120x=4 C ．120x−240x−20=4D ．120x−240x+20=4【练习6.9】小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．24x+2−20x=1 B ．20x−24x+2=1C ．24x−20x+2=1D ．20x+2−24x=1【练习6.10】甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm /h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．180x+6=120x−6B ．180x−6=120x+6C ．180x+6=120xD ．180x=120x−6【练习6.11】某工程队准备修建一条长1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm ，则根据题意可列方程为（ ）A ．1200(1−20%)x −1200x=2 B ．1200(1+20%)x−1200x=2C ．1200x−1200(1−20%)x=2D ．1200x−1200(1+20%)x=2【练习6.12】衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ） A ．30x−361.5x =10 B ．30x −301.5x =10 C ．361.5x−30x=10D ．30x+361.5x=10【练习6.13】某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ） A ．480x +480x+20=4 B ．480x −480x+4=20C ．480x−480x+20=4D ．480x−4−480x=20【练习6.14】在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ． 【练习6.15】某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x 元，根据题意可列方程为 ． 【练习6.16】端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x 元，列方程为 ．【练习6.17】已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为 ．【练习6.18】2019年2月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆，依题意，可列方程为 ．【练习6.19】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为 ．【练习6.20】在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3人，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的45．求甲、乙两班各有多少人？设乙班有x 人，则甲班有（x +3）人，依题意，可列方程为 ．【练习6.21】两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米．第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程 ．【练习6.22】某圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h ．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则可列方程 ．【练习6.23】某市为治理无水，需要铺设一段全长为600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 【练习6.24】清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x 人，则可列分式方程 ．【练习6.25】新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，若设甲厂每天生产口罩x 万只，根据题意可列出方程： ．【练习6.26】已知A ，B 两地相距80千米，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，两车同时出发，已知甲车的速度比乙车的速度快15千米/时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/时，则根据题意可列方程为 ．【练习6.27】题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km 2的土地进付绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为60x −601.5x=2乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2（1）甲同学所列方程中的x 表示 ．乙同学所列方程中的y 表示 ． （2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．【练习6.28】2019年4月4日，珊瑚中学组织七年级学生乘车前往距学校130km 的大观参观．学校租用30座和48座两种客车运送学生．（1）一部分学生乘48座客车先行，出发0.5小时后，另一部分学生乘30座的客车前往，结果他们同时到达大观．已知30座客车的速度是48座客车速度的1.3倍，求48座客车的速度．解：设48座客车的速度为xkm /h ： 填写表格：s v t 48座客车 x 30座客车1.3x列出方程： ， 解： ， 答： ．（2）若学校单独租用50座客车m 辆，则有2人没有座位，则全校七年级学生人数可表示为 人．题型七：分式方程的应用【练习7.1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ．1080x =1080x−15+6 B ．1080x =1080x−15−6C ．1080x+15=1080x−6D ．1080x+15=1080x+6【练习7.2】某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【练习7.3】某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（ ）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务 【练习7.4】甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ） A ．a+b b倍 B ．ba+b倍 C ．b+a b−a倍 D ．b−a b+a倍【练习7.5】某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利（ ）元． A ．1220元B ．1225元C ．1230元D ．1235元【练习7.6】一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 ．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价） 【练习7.7】徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐”徐州号“高铁A 与”复兴号“高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80km /h ，A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为 ．【练习7.8】某网店老板经营销售甲、乙两种款式的浮潜装备，每件甲种款式的利润率为30%，每件乙种款式的利润率为50%，当售出的乙种款式的件数比甲种款式的件数少40%时，这个老板得到的总利润率是40%；当售出的乙种款式的件数比甲种种款式的件数多80%时，这个老板得到的总利润率是．【练习7.9】某水果销售商在年末准备购进一批水果进行销售，经过市场调查，发现芒果、车厘子、奇异果、火龙果比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案．其中芒果、车厘子的进货量与奇异果、火龙果的进货量分别相同，而芒果、车厘子的单价与火龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘子的单价和为每千克180元，且芒果和车厘子的进货总价比奇异果和火龙果的进货总价多863元．由于年末资金周转不开，所以临时决定只购进芒果和车厘子，芒果和车厘子的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过300kg，则该水果商最多需要准备元进货资金．【练习7.10】某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，规定甲乙两队单独施工的总天数不超过25天完成，且施工总费用最低，则最低费用为万元．【练习7.11】某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是天．【练习7.12】将三支长度相同的蜡烛A，B，C同时点燃，当蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B剩一半时，蜡烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为．【练习7.13】某饮品店老板新推出A、B两种囗味的饮料，其中每杯A种口味饮料的利润率为60%，每杯B种口味饮料的利润率为20%．当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数少50%时，这个老板得到的总利润率为36%；当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数多25%时，这个老板得到的总利润率为．（利润率＝利润÷成本）【练习7.14】中有公司是中国知名手机厂家，旗下的产品不仅受到国人追捧而且在国外也圈粉不少．2018年6月中有公司推出了A款手机，国内售价和国外售价分别定为3000元/部和4500元/部，且国内出货量与国外出货量之比为3：2，经核算，6月份A款手机的利润率为80%．11月份中有公司推出了更高端更智能的B款手机，已知每部B款手机的成本是每部A款手机的1.5倍，其国内售价和国外售价分别定为5000元/部和6000元/。

可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程的分式方程是一类有用的数学方程式，它可以通过将一元多项式分式化来解决复杂的表达式问题。

它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。

该方程的本质是变形，我们可以把它化成一元一次方程来解决。

首先，我们可以利用乘法来变换这个分式方程。

首先，我们将二分之一乘以a变成a/2，然后再乘以c，得到a/2 * c = b。

这样，就将分式方程变成一元一次方程a/2 * c - b = 0，即a/2c - b = 0。

接下来，我们可以利用反相法将这个方程进一步化简。

首先，我们可以把a/2c乘以2，变成2a/2c，然后用2a减去2b，得到2a/2c - 2b = 0。

这样，就将分式方程变成了一元一次方程2a - 2b = 0，即2a - 2b = 0。

最后，我们可以将这个方程进一步化简。

首先，我们可以把2a 除以2，变成a，然后用a减去b，得到a - b = 0。

这样，就将分式方程变成了一元一次方程a - b = 0，即a - b = 0，这就是最终的结果。

总之，一元一次方程的分式方程是一类重要的数学方程，它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。

我们可以通过乘法和反相法将这个方程变换为一元一次方程，从而解决复杂的表达式问题。

而且，这种变形的方法也可以应用在多元方程的解决中，这样就可以让复杂问题变得更加容易处理。

从上面的讨论可以看出，一元一次方程的分式方程是一类具有重要意义的数学方程式。

它不仅可以用来解决简单的表达式问题，而且也可以应用在多元方程中，让复杂问题变得更加容易处理。

因此，一元一次方程的分式方程受到广泛的应用，不管是在数学领域还是其他领域。

分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。