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2014北京东城高考二模数学理(含解析)

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东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学 （理科)第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（）．A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-（2）在复平面内，复数32i 1i--对应的点位于（）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 值为（）．A ．2或2-B ．1-或2-C ．1或2-D ．2或1-（4）如果实数x ，y 满足条件10,10,10,x y x y y -+≥⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为（）．A ．3-B ．1-C ．0D ．1（5）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则n =（）． A ．5 B ．6C ．7D ．8（6）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（）．A ．12B ．18C ．24D ．36（7）若直线1,x t y a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+⎧⎨=+⎩αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为（）．A ．1或5B ．1-或5C ．1或5-D ．1-或5-（8）对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：,1,,1,b a b ab a a b -⎧=⎨-<⎩…设2()(1)(4)f x x x k =-++，若函数()f x 的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是（）．A ．(2,1)-B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知tan =2α，那么cos 2=α．（10）已知平面向量a ，b ，若3=a ，13-=a b ，6⋅=a b ，则=b ；向量a ，b 夹角的大小为．（11）在区间[0,6]上随机取两个实数x ，y ,则事件“26x y +…”的概率为_________．（12）如图所示，PA 与圆O 相切于A ，直线PO 交圆O 于B ，C 两点，AD BC ⊥，垂足为D ，且D 是OC 的中点，若6PA =，则PC =．（13）若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线的准线上的射影分别是M ，N ，若2BN AM =，则k 的值是．（14）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点）， A BCPD O·1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++．（Ⅰ）求()12f π的值； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．（16）（本小题共13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10,20)，[20,30)，，[50,60)的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50,60)年龄段抽取的人数； （Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X 为年龄在[50,60)年龄段的人数，求X 的分布列及数学期望．0.020 0.025 10 20 30 40 50 60 0.015 0.005频率 组距（17）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC //AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====．（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由．（18）（本小题共13分）已知0a >，函数2()21axf x a x =++，()ln g x a x x a =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．DCBEA（19）（本小题共13分）已知椭圆22221x y a b +=的一个焦点为(2,0)F ，且离心率为63．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k 的直线l 过点F ，且与椭圆交于,A B 两点，P 为直线3x =上的一点，若△ABP 为等边三角形，求直线l 的方程．（20）（本小题共14分）设a 是一个自然数，()f a 是a 的各位数字的平方和，定义数列{}n a ：1a 是自然数，1()n n a f a -=（*n ∈N ，2n ≥）．（Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ≥，求证：12a a >；（Ⅲ）当11000a <时，求证：存在*m ∈N ，使得32m m a a =．东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）A （3）C （4）D （5）D （6）C （7）A （8）D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）35-（10）460（11）14（12）23 （13）223（14）6(3,5) 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）2()sin 3sin sin()2f x x x x π=++2sin 3sin cos x x x =+ 1cos 23sin 222x x -=+ 311sin 2cos 2222x x =-+ 1sin(2)62x π=-+． 所以1()122f π=． （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，52666x πππ-≤-≤． 所以，当266x ππ-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最小值0； 当262x ππ-=时，即3x π=时，函数()f x 取得最大值32．（16）（共13分）解：（Ⅰ）110(0.0200.0250.0150.005)0.35-⨯+++=，1000.35⨯=，即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为35． （Ⅱ）1000.1515⨯=，1000.055⨯=，所以85220⨯=， 即抽取的8人中[50,60)年龄段抽取的人数为2．（Ⅲ）X 的所有可能取值为0，1，2．36385(0)14C P X C ===；12263815(1)28C C P X C ===； 2126383(2)28C C P X C ===．所以X 的分布列为X 0 1 2P514 1528 328X 的数学期望为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=． （17）（共14分）解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD ==．,可得22BD =．由EA ED ⊥，且2EA ED ==， 可得22AD =． 又4AB =． 所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． （II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =，(2,2,0)DC =-．D B ACEzxy设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ， 即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n ．所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23． （III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(2,2,0)DC =-，(22,2,2)CE =-，(0,22,0)DB =．则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ， 即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈．所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE ．（18）（共13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ,()()()()()()a x a x x f x x x --+'==++2222211111， 因为0a >，所以，当1x <-，或1x >时，'()0f x <；当11x -<<时，'()0f x >．所以，()f x 的单调递增区间为(,)-11,单调递减区间为(,)-∞-1,(,)+∞1．（Ⅱ）因为()f x 在区间(,)01上单调递增，在区间(,e)1上单调递减，又()f a =02，e (e)e af a a =+>+2221， 所以，当(,e)x ∈0时，()f x a >2．由()ln g x a x x a =-+，可得'()1a a x g x x x-=-=． 所以当e a ≥时，函数()g x 在区间(0,e)上是增函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()(e)g x g a e a <=-<22． 所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >． 当0e a <<时，函数()g x 在区间(0,)a 上是增函数，在区间(,e)a 上是减函数， 所以，当(,e)x ∈0时，()()ln g x g a a a a ≤=<2． 所以，当(,e)x ∈0时，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有1()2f x a >，2()2g x a <，所以12()()f x g x >．综上，对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >．（19）（共13分） 解（Ⅰ）依题意有2c =，63c a =． 可得26a =，22b =．故椭圆方程为22162x y +=．（Ⅱ）直线l 的方程为(2)y k x =-．联立方程组22(2),1.62y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得2222(31)121260k x k x k +-+-=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ．故21221231k x x k +=+，212212631k x x k -=+． 则2221212121(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-2226(1)31k k +=+． 设AB 的中点为00(,)M x y ．可得202631k x k =+，02231k y k =-+．直线MP 的斜率为1k-，又3P x =，所以220222113(1)1(31)P k k MP x x k k k ++=+⋅-=⋅+． 当△ABP 为正三角形时，32MP AB =， 可得22222213(1)326(1)(31)231k k k k k k +++⋅=⋅++， 解得1k =±．即直线l 的方程为20x y --=，或20x y +-=．（20）（共14分）解：（Ⅰ）22(99)99162f =+=；2222(2014)201421f =+++=． （Ⅱ）假设1a 是一个n 位数（3n ≥）， 那么可以设1221132110101010n n n n a b b b b b ---=⋅+⋅++⋅+⋅+，其中09i b ≤≤且i b ∈N （1i n ≤≤），且0n b ≠．由21()a f a =可得，2222221321n n a b b b b b -=+++++．1221211332111(10)(10)(10)(10)(1),n n n n n n a a b b b b b b b b b b -----=-+-++-+-+-所以11211(10)(1)n n n a a b b b b --≥---．因为0n b ≠，所以1(10)99n n n b b --≥．而11(1)72b b -≤，所以120a a ->，即12a a >．（Ⅲ）由11000a <，即1999a ≤，可知2222999243a ≤++=．同理999n a ≤，可知2221999243n a +≤++=．由数学归纳法知，对任意*n ∈N ，有999n a ≤． 即对任意*n ∈N ，有{1,2,3,,999}n a ∈．因此，存在,*p q ∈N （p q <），有p q a a =． 则11p q a a ++=，22p q a a ++=，…，11q q q p a a -+--=， 可得对任意*n ∈N ，n p ≥，有n q p n a a +-=． 设q p T -=，即对任意n p ≥，有n T n a a +=． 若T p ≥，取m T =，2n m =，则有32m m a a =． 若T p <，由n T n a a +=，可得n pT n a a +=， 取m pT =，2n m =，则有32m m a a =．北京市东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）数学（理工类）选填解析一、 选择题1．【答案】B 【解析】解：由题意知：{1}A x x =∈≥R ，A B ⋂={1,2} 故选B ．2．【答案】A 【解析】解：3322(1)i i 1i i 12i 1i (1i)(1i)i +-=-=++=+--+，点(1,2)在第一象限 故选A ．3．【答案】C【解析】解：当0x ≥，则210y x =-=，解得:1x =±取1x =；当0x <，则220y x x =+=，解得：0x =（舍）或2x =-故选C ．4．【答案】D【解析】解：如下图所示，阴影区域面积是可行域，在(0,1)C -时z 有最大值1．故选D ．5．【答案】D 【解析】解：由题意知21212(21)36n n n n S S a a a n d +++-=+=++=，把1a ，d 的值带入，解得：8n =故选D6．【答案】C【解析】解：丙丁相邻就绑定看成一个人，把此人和除甲乙的人排列有3232A A 种，又因为甲乙可以换位置，所以共有32232224A A A =种方法． 故答案为C ．7．【答案】A【解析】解：直线化为10x y a +--=，圆的方程可化为22(2)(2)4x y -+-=，过圆心向直线作垂线，则平分弦，由于圆的半径是2，弦长的一半是2，故圆心到直线的距离是2，列式得：22122a d +--==，解得：1a =或5故答案选A ．8．【答案】D 【解析】解：由题意得24,2,3()1,23x k x x f x x k x ++≤-≥⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩或，先画出2g()(1)(4)x x x =-+的图像如图下图所示，显然[)2,1k ∈-故答案选D ．二、 填空题9．【答案】35- 【解析】解：222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5ααααααα--===-++ 故答案为35-．10．【答案】4，60 【解析】解：2222()291213a b a ab b b -=-+=-+=r r r r r r r ，4b ∴=r ，61cos 122a b a bθ⋅===r r r r 故答案为4，6011．【答案】14【解析】如图，概率为13612=664⨯⨯⨯ 故答案为14．12．【答案】23【解析】解：连接OA ,AC ,则OA AP ⊥,且由题意知道OAC 是等边三角形，060AOC ∴∠=，从而23OA OC AC ===,43OP =,那么23PC = 故答案为23．13．【答案】223【解析】解：联立2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩消去x 得到2440ky y k -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则121244y y k y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，由题意知122y y =，带入韦达定理得到：223k = 故答案为223．14．【答案】6，(3,5)【解析】解：如下图所示，AB ,1AA ,AD ，以及1C B ，1C C ，11C D 棱上面的 点到A ，1C 距离的情况是一致的，范围在(3,21)+之间，而另外六条棱上的点情况是一致的，以1BB 为例，当P 点在M 位置时，值最小是5．当2m =时，满足条件的在AB ,1AA ,AD ，1C B ，1C C ，11C D 棱上各有一点；如果满足条件的点个数为6，那么m 的取值范围是(3,5)．故答案为6，(3,5)．。

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北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷(带解析)

北京市西城区2014届高三数学二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D ）[2,)+∞ 【答案】Ｄ 【解析】试题分析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，A B A =，则A B ⊆，2a ≥．考点：集合的运算．2．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】Ｂ 【解析】试题分析：2=(12i)34z i +=-+，在复平面内对应的点位于第二象限． 考点：复数的运算，复数的几何意义．3．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（ ）（A （B （C （D 【答案】Ａ 【解析】试题分析：由题意可得2b a =，即22222241b c a e a a-===-，所以25e =，即e = 考点：双曲性的几何意义．4．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A ．，且B ．，且C ．，且D ．，且【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该四棱锥是底面对角线长为2，高为4的正四棱锥，因此它的底考点：三视图．5．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由b c =得，0b c -=，得()0a b c ⋅-=；反之不成立，故()0a b c ⋅-=是b c =的必要而不充分条件． 考点：充要条件的判断．6．如图，阴影区域是由函数cos y x =的一段图象与x 轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）π2（D ）π【答案】Ｂ 【解析】图形的面积，2222cos sin 2S xdx xππππ--===⎰，故选B ．考点：定积分求面积。

2014东城区高三二模数学(理科)

2014东城区高三二模数学(理科)

2014东城区高三二模数学（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合S={x∈R|x+1≥2}，T={﹣2，﹣1，0，1，2}，则S∩T=（）A．{2}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x值为（）A．2或﹣2 B．﹣1或﹣2 C．2或﹣1 D．1或﹣24．（5分）如果实数x，y满足条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．15．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．（5分）6个人站成一排，其中甲、乙必须站在两端，且丙、丁相邻，则不同站法的种数为（）A．12 B．18 C．24 D．367．（5分）若直线（t为参数）被圆（α为参数）所截的弦长为2，则a的值为（）A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣58．（5分）对任意实数a，b定义运算“⊗”：，设f（x）=（x2﹣1）⊗（4+x），若函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．[0，1]C．[﹣2，0）D．[﹣2，1）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanx=2，求cos2x=．10．（5分）已知平面向量，，若||=3，|﹣|=，•=，则||=；向量，夹角的大小为．11．（5分）在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，则事件“2x+y≤6”的概率为．12．（5分）如图所示，PA与圆O相切于A，直线PO交圆O于B，C两点，AD⊥BC，垂足为D，且D 是OC的中点，若PA=6，则PC=．13．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．14．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上一点（不包括棱的端点），|PA|+|PC1|=m，①若m=2，则满足条件的点P的个数为．②若满足|PA|+|PC1|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=sin2x+sinxsin（x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．（13分）“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话．活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄段在[10，20），[20，30），…，[50，60）的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数；（Ⅱ）从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，求[50，60）年龄段抽取的人数；（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的8人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记X为年龄在[50，60）年龄段的人数，求X的分布列及数学期望．17．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．18．（13分）已知a＞0，函数f（x）=+2a，g（x）=alnx﹣x+a．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞g（x2）．19．（13分）已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．20．（14分）设a是一个自然数，f（a）是a的各位数字的平方和，定义数列{a n}：a1是自然数，a n=f ）（n∈N*，n≥2）．（a n﹣1（Ⅰ）求f（99），f（2014）；（Ⅱ）若a1≥100，求证：a1＞a2；（Ⅲ）当a1＜1000时，求证：存在m∈N*，使得a3m=a2m．参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】S={x∈R|x+1≥2}，则∴S={x∈R|x≥1}，又∵T={﹣2，﹣1，0，1，2}，故S∩T={1，2}．故选B．2．【解答】复数﹣i3=+i=1+2i，复数的在复平面内的对应点（1，2）．在复平面内，复数﹣i3对应的点位于第一象限．故选：A．3．【解答】由题意，或∴x=1或﹣2故选D．4．【解答】由约束条件作可行域如图，由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，要使z最大，则直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小，由图可知，当直线y=2x﹣z过可行域内的点C（0，﹣1）时直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小．∴z=2x﹣y的最大值为2×0﹣（﹣1）=1．故选：D．5．【解答】由S n+2﹣S n=36，得：a n+1+a n+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，∴2+2n+2（n+1）=36．解得：n=8．故选：D．6．【解答】甲、乙必须站在两端有=2，剩下4个位置，4个人排列，丙、丁相邻，把丙和丁看成一个元素有=2，同另外2个人排列有=6，根据乘法原理知共有2×2×6=24种结果，故答案为：C．7．【解答】直线（t为参数）即x+y﹣a﹣1=0，圆（α为参数），即（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，表示以（2，2）为圆心、半径等于2的圆．圆心到直线的距离为d==，再根据弦长公式可得+=4=r2，求得a=1，或a=5，故选：A．8．【解答】当（x2﹣1）﹣（x+4）＜1时，f（x）=x2﹣1，（﹣2＜x＜3），当（x2﹣1）﹣（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤﹣2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：﹣2≤k＜1，函数y=f（x）与y=﹣k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故答案选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanx=2，∴cos2x===；所以cos2x=2cos2x﹣1=2×﹣1=﹣故答案为﹣10．【解答】∵||=3，|﹣|=，•=，∴=13，∴=13，解得=7则||=．∴=，解得=．∴=．故答案为：，．11．【解答】由题意，在区间[0，6]上随机取两个实数x，y，在平面直角坐标系中做出对应的区域，事件“2x+y≤6”对应的区域，如图所示：所以事件“2x+y≤6”的概率为=故答案为：12．【解答】连接OA，则OA⊥PA，∴PA2=PD•PO，∵PA=6，D是OC的中点，∴（PC+OC）•（PC+OC）=36，①∵PA2=PC•PB，∴PC•（PC+2•OC）=36，②由①②可得PC=2．故答案为：PC=2．13．【解答】设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，∴点A为BP的中点．连接OA，则|OA|=|BF|，∴|OA|=|AF|，∴点A的横坐标为，∴点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故答案为：．14．【解答】∵正方体的棱长为1，∴AC1=，∵|PA|+|PC1|=2，∴点P是以2c=为焦距，以a=1为长半轴，以为短半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．故满足条件的点P的个数为6个．（2）∵|PA|+|PC1|=m＞|AC1|=，∴m＞，∵正方体的棱长为1∴正方体的面的对角线的长为，∵点P的个数为6，∴b＜∵短半轴长b=，∴，∴m，∴m的取值范围是（，）故答案为：6，（，）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）====．∴f（x）=．∴．（Ⅱ）当时，．∴当时，即x=0时，函数f（x）取得最小值0；当时，即时，函数f（x）取得最大值．16．【解答】（Ⅰ）1﹣10×（0.020+0.025+0.015+0.005）=0.35，100×0.35=35，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40）的人数为35．…（4分）（Ⅱ）100×0.15=15，100×0.05=5，所以，即抽取的8人中[50，60）年龄段抽取的人数为2．…（7分）（Ⅲ）X的所有可能取值为0，1，2．；；．所以X的分布列为PX的数学期望为．…（13分）17．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（5分）（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）18．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为R，，∵a＞0，∴当x＜﹣1，或x＞1时，f′（x）＜0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，e）上单调递减，又f（0）=2a，，∴当x∈（0，e）时，f（x）＞2a．由g（x）=alnx﹣x+a，可得．∴当a≥e时，函数g（x）在区间（0，e）上是增函数，∴当x∈（0，e）时，g（x）＜g（e）=2a﹣e＜2a．∴当x∈（0，e）时，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞2a，g（x2）＜2a，∴f（x1）＞g（x2）．当0＜a＜e时，函数g（x）在区间（0，a）上是增函数，在区间（a，e）上是减函数，∴当x∈（0，e）时，g（x）≤g（a）=alna＜2a．∴当x∈（0，e）时，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞2a，g（x2）＜2a，所以f（x1）＞g（x2）．综上，对于任意的x1，x2∈（0，e），都有f（x1）＞g（x2）．…（13分）19．【解答】（Ⅰ）∵椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为．∴c=2，，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．∴椭圆方程为．（Ⅱ）直线l的方程为y=k（x﹣2）．联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．故，．则|AB|=||==．设AB的中点为M（x0，y0）．可得，．直线MP的斜率为，又x P=3，所以．当△ABP为正三角形时，|MP|=，∴，解得k=±1．∴直线l的方程为x﹣y﹣2=0，或x+y﹣2=0．20．【解答】（Ⅰ）解：f（99）=92+92=162；f（2014）=22+02+12+42=21．…（5分）（Ⅱ）证明：假设a1是一个n位数（n≥3），那么可以设，其中0≤b i≤9且b i∈N（1≤i≤n），且b n≠0．由a2=f（a1）可得，．，所以．因为b n≠0，所以（10n﹣1﹣b n）b n≥99．而（b1﹣1）b1≤72，所以a1﹣a2＞0，即a1＞a2．…（9分）（Ⅲ）证明：由a1＜1000，即a1≤999，可知．同理a n≤999，可知．由数学归纳法知，对任意n∈N*，有a n≤999．即对任意n∈N*，有a n∈{1，2，3，…，999}．因此，存在p，q∈N*（p＜q），有a p=a q．=a q+1，a p+2=a q+2，…，a q﹣1=a q+q﹣p﹣1，则a p+1=a n．可得对任意n∈N*，n≥p，有a n+q﹣p=a n．设q﹣p=T，即对任意n≥p，有a n+T若T≥p，取m=T，n=2m，则有a3m=a2m．=a n，可得a n+pT=a n，若T＜p，由a n+T取m=pT，n=2m，则有a3m=a2m．…（14分）。

北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题-含答案

北京市东城区普通校2014届高三12月联考数学(理)试题-含答案

东城区普通校2013-2014学年第一学期联考试卷高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 ( )（A ） 22(1)(1)2x y +++= （B ）22(1)(1)4x y +++=（C ）22(1)(1)2x y -++= （D ）22(1)(1)4x y -++= 8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷(带解析)

北京市朝阳2014届高三二模理科数学试卷（带解析）1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则AB =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是( )（A ）33log log a b < （B ）11()()44a b>（C ）11a b< （D ）22a b < 【答案】C 【解析】试题分析：33log log ,a b a b <⇔<11()(),44a b a b >⇔<110b a a b ab -<⇔<，又0a b >>所以0b aab -<成立，22||||a b a b <⇔<，而0a b >>，所以||||a b <不成立． 考点：不等式恒等变形3．执行如图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是( )（A ）{}1,2,3,4,5 （B ）{}1,2,3,4,5,6 （C ）{}2,3,4,5 （D ）{}2,3,4,5,6【答案】C 【解析】试题分析：因为输出的结果为2，所以2313,2(23)313a a +≤++>，即75,4a <≤又a 为正整数，所以a 的可能取值的集合是{}2,3,4,5考点：循环结构流程图4．已知函数()π()sin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则ϕ=( )（A ）π6- （B ）6π（C ）π3- （D ）π3【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：2,, 2.24312T T A T ππππω=-====，又sin(2)112πϕ⨯+=，π2ϕ<，所以π3ϕ=.考点：三角函数图像与性质 5．已知命题p ：复数1iiz +=在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q ：0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是( )（A ）()()p q ⌝∧⌝ （B ）()p q ⌝∧ （C ）()p q ∧⌝ （D ）p q ∧ 【答案】D 【解析】试题分析：因为1i 1i z i +==-，所以复数1ii z +=在复平面内所对应的点位于第四象限，命题p 为真命题，因为y x =与cos y x =在(0,)2π上有交点，所以0x ∃>，cos x x =，命题q 为真命题，p q ∧为真命题.考点：复合命题真假6．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )（A ）(1,2] （B ）[2,)+∞ （C）(1 （D）)+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线为y bx =，由题意得：圆心到渐近线的2222211,3,4,1 2.1c b b e e a +≥≤==≤<≤考点：双曲线渐近线若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是( )（A ）60万元 （B ）80万元 （C ）90万元 （D ）100万元 【答案】C 【解析】试题分析：设生产甲x 吨、乙y 吨.则312060,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，利润2z x y =+.可行域为一个四边形OABC 及其内部，其中(60,0),(30,30),(0,40)A B C ,当2z x y =+过点B 时取最大值，为90.考点：线性规划8．如图放置的边长为1的正△PMN 沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当△PMN 沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是( ) （A ）83π （B ）163π （C ）4π （D ）5πBA【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：当△PMN 沿正方形一边滚动时，点P 的轨迹为两个圆弧，其对应圆半径皆为1，圆心角为23π，因此点P 的轨迹长度是21624.33ππ⨯⨯=考点：动点轨迹9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a b ____．【答案】【解析】试题分析：因为2221244122+=++⋅⨯⨯=a b a b a b =4+4+42，所以2+=a b考点：向量数量积10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___．（用数字表示） 【答案】80- 【解析】试题分析：由15(2)r r r T C x +=-得：3x 项的系数为335(2)80.C -=-．考点：二项展开式定理求特定项11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =,过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点，则AC BC ⋅=_____．【答案】3 【解析】试题分析：由切割线定理得：2AC BC CM ⋅=,连OM ，则在直角三角形ODM 中，因为OM=2OD,所以60DOM ∠=，因此CM = 3.AC BC ⋅=考点：切割线定理12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．【解析】2的正方形．因此体积为212233⨯=表面积为8个全等的边长为2的等边三角形面积之和，即282= 考点：三视图13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24()n n S a n *=-∈N ，则n a = ； 数列2{log }n a 的前n 项和为 ． 【答案】12n +,(3)2n n + 【解析】试题分析：因为24,n n S a =-所以1124(2)n n S a n --=-≥，两式相减得1122,2n n n n n a a a a a --=-=.因此{}n a 为等比数列，又11124,4S a a =-=，所以11422.n n n a -+=⋅=因此2log 1,n a n =+前n 项和为(21)(3)22n n n n +++=.考点：已知n S 求.n a14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，则称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．下列函数①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()xf x x=； ④()sin f x x x =，其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为 ． 【答案】②③【解析】试题分析：因为(1,)x ∈+∞时，1()(0,)1f x x =∈+∞-，所以函数①不是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，21|()|122x x f x x x =≤=+，所以函数②是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，2l n 1l n (),()x x f x f x x x-'==，()f x 在(1,)e 单调增，在(,)e +∞上单调减，所以函数10()()f x f e e<≤=，因此③是有界函数．因为(1,)x ∈+∞时，取2()2x k k z ππ=+∈，则()sin f x x x x ==→+∞，所以函数④不是有界函数．考点：函数值域15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3A 2π=，3b =，△ABC的面积为4． （Ⅰ）求边a 的长； （Ⅱ）求cos 2B 的值． 【答案】（Ⅰ）7a =，（Ⅱ）71.98【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化. 由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=．所以5c =．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos 493a 2π=+-⨯⨯⨯=，所以7a =．（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a bA B =，即3sin B=，所以sin 14B =，根据二倍角公式有271cos 212sin 98B B =-=． 解：（Ⅰ）由1sin 2ABC S bc A ∆=得，13sin 234ABC S c ∆2π=⨯⨯=． 所以5c =．由2222cos a b c bc A =+-得，22235235cos493a 2π=+-⨯⨯⨯=， 所以7a =． 7分（Ⅱ）由sin sin a b A B =得，3sin B=，所以sin B =所以271cos 212sin 98B B =-=． 13分 考点：正余弦定理，二倍角公式16．某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计 从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）2.（Ⅱ）6.E ξ=【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图中小长方形面积为频率，而频数为总数与频率之积. 因此参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人．概率估计为6020802.2002005P +===（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．由（Ⅰ）可知，概率为2.5因为 ξ~2(3)B ，，所以26355E ξ=⨯=．随机变量ξ的分布列为解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为2000.060560⨯⨯=（人）， 参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）． 所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的 概率估计为6020802.2002005P +=== 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为 ξ~2(3)5B ，，所以26355E ξ=⨯=． 13分 考点：频率分布直方图17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为A P ，BD 中点，2PA PD AD ===． （Ⅰ）求证：EF ∥平面BC P ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱C P 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．FABCDP E【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）5（Ⅲ）不存在. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. E ，F 分别为A P ，BD 中点，在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ．（Ⅱ）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线定理及其逆定理，利用侧面PAD ⊥底面ABCD ，可得底面ABCD 的垂线，再作DF 的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取AD 中点O ．由侧面PAD ⊥底面ABCD 易得PO ⊥面ABCD ．以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（Ⅲ）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.E P DCBAF证明：（Ⅰ）如图，连结AC ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 互相平分． 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是A P 中点，F 是AC 中点， 所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面BC P ，所以EF ∥平面BC P ． 4分 （Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =， 所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ， 且面PAD 面=ABCD AD ， 所以PO ⊥面ABCD ． 因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点， 所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 因为2PA PD AD ===，所以OP =则(0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(,0,22E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(2DE =，(1,1,0)DF =． 因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量． 设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n． 由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A ． 10分 （Ⅲ）假设在棱C P 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111G(,,)x y z ，则111FG =(,1,)x y z -． 由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ． 因为GF ⊥面EDF ，所以FG =λn ．于是，111,1,x y z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=． 又因为点G 在棱C P 上，所以GC 与PC 共线．因为PC (1,2,=-，111CG (+1,2,)x y z =-， 所以111212x y +--=．所以1112λλ+---= 故在棱C P 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． 14分 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角 18．已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）e a =，（Ⅱ）当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln,)222a -+∞，()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． （Ⅲ）22(,e ]-∞.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率为在点(0,(0))f 处的导数值. 由已知得21()2e x f x a +'=-．所以(0)e f '=．(0)2e e f a '=-=，e a =（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域(),-∞+∞，再导数值的符号确定单调区间. 当0a ≤时，()0f x '>,所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞．当0a >时,令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当(0,1]x ∈时，21()e 11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x +≤恒成立．”设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．” 易得函数()g x 在12x =处取得最小值，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞．（Ⅰ）由已知得21()2e x f x a +'=-．因为曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直， 所以(0)e f '=．所以(0)2e e f a '=-=．所以e a =． 3分（Ⅱ）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，21()2e x f x a +'=-．（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，所以)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞． （2）当0a >时，令()0f x '>，得11ln 222a x >-，所以()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞；令()0f x '<，得11ln 222a x <-，所以()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞， ()f x 的单调减区间是11(,ln )222a -∞-． 8分（Ⅲ）当0x =时，(0)e 11f =+≥成立，a ∈R ． “当(0,1]x ∈时，21()e11x f x ax +=-+≥恒成立”等价于“当(0,1]x ∈时，21e x a x+≤恒成立．” 设21e ()x g x x+=，只要“当(0,1]x ∈时，min ()a g x ≤成立．”212(21)e ()x x g x x +-'=．令()0g x '<得，12x <且0x ≠，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(0, )2上为减函数；令()0g x '>得，12x >，又因为(0,1]x ∈，所以函数()g x 在1(,1]2上为增函数．所以函数()g x 在12x =处取得最小值，且21()2e 2g =． 所以22e a ≤． 又因为a 32e <，所以实数a 的取值范围22(,e ]-∞． 13分 （Ⅲ）另解：（1）当0a ≤时，由（Ⅱ）可知， ()f x 在[0,1]上单调递增，所以()(0)e 1f x f ≥=+． 所以当0a ≤时，有()1f x ≥成立．（2）当02e a <≤时， 可得11ln 0222a -≤． 由（Ⅱ）可知当0a >时，()f x 的单调增区间是11(ln ,)222a -+∞，所以()f x 在[0,1]上单调递增，又()(0)e 1f x f ≥=+，所以总有()f x ≥1成立．（3）当32e 2e a <<时，可得110ln 1222a <-<． 由（Ⅱ）可知，函数()f x 在11[0,ln )222a -上为减函数，在11(ln ,1]222a -为增函数，所以函数()f x 在11ln 222a x =-处取最小值，且ln 211(ln )e ln 1ln 122222222a a a a a a af a -=-++=-+．当[0,1]x ∈时，要使()f x ≥1成立，只需ln 1122a aa -+≥，解得22e a ≤．所以22e 2e a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围22(,e ]-∞．考点：利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值 19．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22143x y +=，（Ⅱ）2(,[21,)7-∞+∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，关键利用待定系数法求出a,b. 由12c e a ==及1a c -=，解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．（Ⅱ）存在性问题，一般从假设存在出发,建立等量关系，有解就存在，否则不存在. 条件22OA OB OA OB +=-的实质是垂直关系，即0OA OB ⋅=.所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=,221212(1)()0k x x km x x m ++++=,由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+．代入化简得，2271212m k =+．由222(8)4(34)(412)0k mk m ∆=-+->化简得2234k m +>．解得，234m >． 由227121212m k =+≥，2127m ≥，所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． （Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221x y a b +=()0a b >>，半焦距为c .依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=． 解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=． 4分（Ⅱ）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+． 若22OA OB OA OB +=-成立，即2222OA OB OA OB +=-，等价于0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=， 222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->， 解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ 所以实数m 的取值范围是2(,[21,)7-∞+∞． 14分 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系20．已知1x ，2x 是函数2()f x x mx t =++的两个零点，其中常数m ，t ∈Z ，设120()nn r rn r T x x n -*==∈∑N ．（Ⅰ）用m ，t 表示1T ，2T ；（Ⅱ）求证：543T mT tT =--； （Ⅲ）求证：对任意的,n n T *∈∈N Z ．【答案】（Ⅰ）1,T m =-22.T m t =-（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意得：12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T x x -==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）555432234551211212121220,r rr T xx x x x x x x x x x x -===+++++∑而4322343212343121121212212112122()()()mT tT x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=+++++-+++5432234432234543223411212121212121212212121212()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++-+++5432234511212121225x x x x x x x x x x T =+++++=，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数，由（Ⅱ）问知11k k k T mT tT +-=--．即1n k =+时，结论也成立． 解：（Ⅰ）由12x x m +=-，12x x t =．因为120nn r r n r T xx-==∑，所以11112120r r r T x x x x m-===+=-∑．222222212112212120()r r r T x x x x x x x x x x m t -===++=+-=-∑． 3分（Ⅱ）由12kk r rk r T xx -==∑，得5454555121122142r r r r r r T xx x x x x x T x --====+=+∑∑． 即55142T x T x =+，同理，44132T x T x =+． 所以5241232x T x x T x =+．所以5142412312412343()()T x T x T x x T x x T x x T mT tT =+-=+-=--． 8分 （Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）当1,2n =时，由（Ⅰ）问知k T 是整数，结论成立．（2）假设当1,n k =-n k =（2k ≥）时结论成立，即1,k k T T -都是整数． 由12kk r rk r T xx -==∑，得1111121122k kk r rk r r k k r r T xx x x x x ++--++====+∑∑． 即1112k k k T x T x ++=+．所以112k k k T xT x -=+，121212k k k x T x x T x +-=+．所以11212112121()()k k k k k k T x T x T x x T x x T x x T +--=+-=+-． 即11k k k T mT tT +-=--．由1,k k T T -都是整数，且m ，t ∈Z ，所以1k T +也是整数．即1n k =+时，结论也成立．由（1）（2）可知，对于一切n *∈N ，120nn r r r xx-=∑的值都是整数． 13分考点：数学归纳法证明。