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一、一维分岔 考虑一维随机微分方程()()()()()()()()()dX = m X dt +X dB t =m X +X X /2dt +X dB t 6.141σσσσ'-⎡⎤⎣⎦ 生成的连续动态系统()()()()()()tt00t x =x +m s x dx + s x dB s 6.142ϕϕσϕ-⎰⎰ () 它是以 x 为初值的（6.1-41）之唯一强解。
假定()()m 0 = 00 = 0 6.143σ-，（）从而0是ϕ的一个固定点。
对此固定点，dB(t)是随机参激。
设m(x)有界，对所有x 0≠满足椭圆性条件 ()0 6.144x σ≠-()这保证最多只有一个平稳概率密度。
求解与（6.1-41）相应的平稳FPK 方程得平稳概率密度()()()()122m u p x C x exp[ ] 6.145u xdu σσ-=-⎰（） 于是，上述动态系统有两种可能的平稳状态：不动点（平衡状态）与非平凡平稳运动。
前者的不变测度0δ的密度为()x δ，后者的不变测度ν的密度为（6.1-45）。
为研究 D-分岔，需计算这两个不变测度的Lyapunov 指数。
为此，考虑（6.1-41）的线性化方程()()()()dV =m X Vdt +X V dB t =[m (X)((X)(X))/2]Vdt VdB t 6.146σσσσ''''''++- （）利用（2.5-6）之解（2.5-11），得（6.1-46）之解()()()()()ttV t =V 0exp[(m +/2)X ds +X dB s ] 6.147 σσσ''''-⎰⎰（）动态系统ϕ关于测度μ的Lyapunov 指数定义为()()1lim ln V t 6.148t tϕλμ→∞=-（）（6.1-47）代入（6.1-48），注意()00σ=，得不动点Lyapunov 指数()()()()()()()()001()lim [ln 000]00 lim0(6.1-49)?t tt t B t V m ds dB s m m ttϕλδσσ→∞→∞'''''=++=+=⎰⎰对以（6.1-45）为密度的不变测度ν，（6.1-47）代入（6.1-48）， 假定σ'有界，m /2σσ'''+可积，得Lyapunov 指数()01 lim (m /2)(X)ds [m (x)(x)(x)/2]p(x)dx 6.150tt Rt ϕλνσσσσ→∞''''''=+=+-⎰⎰（）进行分部积分，并利用（6.1-45），最后得()2m(x) -2p(x)dx 0 6.151(x)R ϕλνσ⎡⎤=<-⎢⎥⎣⎦⎰（） 随机跨临界分岔考虑（6.1-41）的特殊情形()()2dX X X dt X dB t 6.152ασ=-+- （）生成的动态系统族αϕ()0exp[()] 6.1531[()]tx t B t t x x s B s dsαασϕασ+=-++⎰ （）（6.1-53）是以 x 为初值的（6.1-52）之解。
我们要解决的是一个慢快随机微分方程问题。
首先，我们需要理解什么是慢快随机微分方程。
慢快随机微分方程是一种描述两个不同时间尺度的变量的微分方程。
通常，一个变量变化快，另一个变量变化慢。
这种方程在物理、化学、生物等许多领域都有应用。
假设我们有两个变量x 和y，其中x 变化快，y 变化慢。
我们可以用以下的微分方程来描述这两个变量：dx/dt = f(x, y)dy/dt = g(x, y)其中 f 和g 是关于x 和y 的函数。
但是，如果y 是随机的，那么上面的方程就需要修改。
修改后的方程为：dx/dt = f(x, y) + σ(x) dWtdy/dt = g(x, y)其中dWt 是Wiener 过程，σ 是x 的函数，表示x 的噪声强度。
现在我们要来解这个慢快随机微分方程，找出x 和y 的值。
解这个慢快随机微分方程需要使用数值方法，例如Euler-Maruyama方法。
假设我们有一个初始条件(x0, y0)，我们可以从这一条件开始，逐步迭代方程来找到x 和y 的值。
使用Euler-Maruyama方法，我们可以得到以下的迭代公式：x_n+1 = x_n + f(x_n, y_n) Δt + σ(x_n) ΔW_ny_n+1 = y_n + g(x_n, y_n) Δt其中Δt 是时间步长，ΔW_n 是Wiener 过程在时间步长内的增量。
通过反复迭代上面的公式，我们可以得到x 和y 的近似值。
需要注意的是，慢快随机微分方程的解可能会表现出不同的动力学行为，例如快变量的瞬态行为、慢变量的长期行为等。
因此，在解这类方程时，需要仔细选择数值方法和参数，以确保结果的准确性和可靠性。
