2015河西总复习(三) 天津市河西区2015届高三下学期总复习质量调查(三)数学(理)试题 Word版含答案

河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数 学 试 卷（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。

答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考号填写密封线内相应位置。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，将答案填在题后的括号内。

3．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=·如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P AB P ⋅=·柱体的体积公式Sh V = ·锥体的体积公式Sh V31=其中S 表示柱（锥）体的底面面积h 表示柱（锥）体的高一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数3223ii+=-（ ） (A) i (B) i -(C) 1213i -(D) 1213i +（2）已知命题p :对任意x R ∈，总有20x>，q :“1x >”是“2x >”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）(A) p q ∧(B) ()()p q ⌝∧⌝(C) ()p q ⌝∧(D) ()p q ∧⌝（3）如图所示,程序框图的输出结果是（ ） (A) 16(B)2524(C)1112(D)34（4）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭 图形的面积为( )(A) (B) (C) 2(D) 4 （5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点,PA l ⊥,A 为垂足，若直线AF 斜率为那么PF = ( )(A) (B) 8(C) (D) 16（6）如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD AC ⊥,sin BAC ∠=AB =3AD =，则BD 的长为( )(B) (D) （7）给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =-，④12x y += ，其中在区间()0,1上单调递减函数的序号是( )(A) ①②(B) ②③(C) ③④(D) ①④（8）已知函数()212x f x x e =+-()0x <与()2ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )(A) (-∞(B)⎛-∞ ⎝ (C) ⎛ ⎝ (D) ⎛ ⎝ 河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数 学 试 卷（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在试卷上。

2．本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知某地区小学生3500人，初中生4500人，高中生2000人，近视情况如图所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 .（10）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_______.（11）已知曲线C的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）C 在点()1,1处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为____________.（12）如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点，若1QC =，3CD =，则PB = ________．（13）设D ,E 分别是ABC ∆的边AB ,BC 上的点,AB AD 21=,BC BE 32=, 若AC AB DE 21λλ+= (1λ,2λ为实数),则21λλ+的值为________.（14）设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2()97a f x x x=++,若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 .三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知向量1(cos ,)2x =-a,,cos2)x x =b ,x ∈R ,设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率； （Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是35,答对每道乙类题的概率都是45,且各题答对与否相互独立.用X 表示张同学答对题的个数,求X 的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，在在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，2AB BC ==，AD CD ==，PA =120ABC ∠=︒，G 为线段PC 上的点.（Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ；（Ⅱ）若G 是PC 的中点,求DG 与面APC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求PGGC的值.（18）（本小题满分13分）椭圆C :22221x y a b +=错误！未找到引用源。

()0a b >>的离心率2e =错误！未找到引用源。

,3a b +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图, A ,B ,D 是椭圆C 的顶点, P 是椭圆C 上除顶点外的任意点,直线DP 交x 轴于点N 直线AD 交BP 于点M ,设BP 的斜率为k ,MN 的斜率为m ,证明2m k -为定值.（19）（本小题满分14分）正项数列{}n a 的前项和{}n a 满足:2n s -2(1)n n n s +-2()0n n -+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令n b =221(2)nn n a ++,数列{}n b 的前n 项和为n T ， 证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T <.（20）（本小题满分14分）已知函数()2f x x ax b =++,()()x g x e cx d =+,若曲线()y f x =和曲线()y g x = 都过点()0,2P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值；(Ⅱ)若2x ≥-时, ()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.河西区2014—2015学年度第二学期高三年级总复习质量调查（三）数学试卷（理工类）参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.（1）A （2） D （3） C （4） D （5） B（6） C（7） B（8） A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.（9）200,20（10） 1616π-（11）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（12）4（13）12（14）87a ≤-三、解答题：本大题共6小题，共80分. （15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解:()·f x =a b=1cos cos 22x x x -=12cos 22x x -sin(2)6x π=-.所以()f x 的周期ππ==22T . …………7分 （Ⅱ）解:当[0,]2x π∈时，(2)6x π-∈5[-,]66ππ，由sin y x =在5[-,]66ππ上的图象可知 当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 取最小值12-，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取最大值1.…………13分（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设事件A 为“张同学所取的3道题至少有一道乙类题” 则有A 为“张同学所取的3道题都是甲类题”因为()36310C P A C =16=，所以()()1P A P A =-56= …………5分（Ⅱ）解：X 所有可能取的值为0,1,2,3.()0P X ==00235C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭221455125⎛⎫⋅=⎪⎝⎭, …………6分()1P X ==11235C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭12155⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭00235C ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭22455⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭28125=, …………8分 ()2P X ==22235C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭02155⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭11235C ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭12455⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭57125=, …………10分 ()2P X ==22235C ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭0243655125⎛⎫⋅=⎪⎝⎭ …………11分所以()E X =0125⨯+1125⨯+2125⨯+32125⨯= …………13分（17）（本小题满分13分）（Ⅰ） 证明:由已知得三角形ABC 是等腰三角形,且底角等于30︒,且AB CB AD CD BD DB =⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭ABD CBD ∆≅∆⇒60ABD CBD ∠=∠=且30BAC ∠=，所以BD AC ⊥,又因为PA ABCD BD PA BD AC ⊥⇒⊥⎫⎬⊥⎭BD PAC ⇒⊥；…4分（Ⅱ）解：设AC BD O =,由（Ⅰ）知DO PAC ⊥,连接GO ,所以DG 与面APC所成的角是DGO ∠, 由已知及（Ⅰ）知:1BO =,AO CO ==所以2DO==12GO PA ==⇒tan OD DGO GO ∠==21=所以DG 与面APC…………8分（Ⅲ）解：由已知得到PC ==因为PC BGD ⊥所以PC GD ⊥, 在PDC ∆中,PD ==CD =PC =设PG x =则CG x =所以22107)xx -=-所以PG x ==GC =32PG GC =.…………13分（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）解:由2c a =e=得22222c a b a a -=22314b a =-= 所以2a b =再由3a b +=得2a =，1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y += …………5分（Ⅱ）因为B （2，0），P 不为椭圆顶点， 则BP 方程为y=k(x-2)（≠k 0且12≠±k ）① 将①代入2214x y +=,解得222824(,)4141k k P k k --++ 又直线AD 的方程为112y x =+ ② ①与②联立解得424(,)2121k kM k k +-- 由(0,1)D ，222824(,)4141k kP k k --++，(,0)N x 三点共线可角得42(,0)21k N k -- 所以MN 的分斜率为214k m +=,则2m k -=212k k +-12= (定值) ………13分 （19）（本小题满分14分）（Ⅰ）解:由22(1)n n S n n S -+-2()0n n -+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+.于是112,2a S n ==≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n n =+--(1)2n n --=.综上,数列{}n a 的通项2n a n =. ………7分 （Ⅱ）证明:由于2n a n =221,(2)n nn b n a +=+. 则2214(2)n n b n n +==+2211116(2)n n ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦.（20）（本小题满分14分）(Ⅰ)解：由已知得()02f =,()02g =,()04f '=,()04g '=,而()f x '=2x b +,()g x '=()xe cx d c ++,∴a =4,b =2,c =2,d =2；………4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)xg x e x =+,设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-), ()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-,有题设可得(0)F ≥0,即1k ≥,令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,(1)若21k e ≤<,则-2<1x ≤0,∴当1(2,)x x ∈-时,()F x <0,当1(,)x x ∈+∞时, ()F x >0,即()F x 在1(2,)x -单调递减,在1(,)x +∞单调递增,故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ,而1()F x =21112242x x x +---=11(2)x x -+≥0,∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,(2)若2k e =,则()F x '=222(2)()x e x e e +-,∴当x ≥-2时,()F x '≥0,∴()F x 在(-2,+∞)单调递增,而(2)F -=0, ∴当x ≥-2时,()F x ≥0,即()f x ≤()kg x 恒成立,(3)若2k e >,则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---<0,∴当x ≥-2时,()f x ≤()kg x 不可能恒成立,综上所述,k 的取值范围为[1,2e ]. ………14分。