2020届一轮复习人教版简单的三角恒等变换课件(23张)

(或 asin x+bcos x= + cos(x-θ)).
.
2.在上述化简过程中,如何确定θ所在的象限?
提示:θ所在的象限由a和b的符号确定.
3.辅助角公式 asin x+bcos x= + sin(x+φ)= + cos
(x-θ).其中 cos φ=

+
+1,





-
∴f(x)的最小正周期为 T= =π.
-

+1
(2)当 f(x)取得最大值时,sin -
=1.
故 2x- =2kπ+(k∈Z),即 x=kπ+(k∈Z).
因此,所求 x 的取值集合为
= +

,∈ .
探究四 三角恒等变换在实际问题中的应用
【例4】 如图,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样
截取,才能使△OAB的周长最大?
解:设∠AOB=α,△OAB的周长为l,
则AB=Rsin α,OB=Rcos α.
∴l=OA+AB+OB=R+Rsin α+Rcos α
=R(sin α+cos α)+R= Rsin + +R.
∵0<α<,∴<α+ <
∴当 α+ = ,

.
即 α=时,l 取得最大值 R+R=( +1)R.
公式,若用α替换2α,则结果怎样?
提示:结果是 cos

2
α=2cos -1



2
2

α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2

解答
根据三角函数的基本关系式，我们有 $cos^2theta = 1 - sin^2theta$，代入 $sintheta = -frac{2}{3}$， 得到 $cos^2theta = 1 - left(-frac{2}{3}right)^2 = 1 - frac{4}{9} = frac{5}{9}$，所以 $costheta = sqrt{frac{5}{9}} = frac{sqrt{5}}{3}$。再根据 $tantheta = frac{sintheta}{costheta}$，得到 $tantheta = frac{-frac{2}{3}}{frac{sqrt{5}}{3}} = sqrt{frac{2}{5}} = -frac{sqrt{10}}{5}$。
举例
利用诱导公式，将cos(π/2 - x) 转换为sin(x)，通过角度的变换
简化表达式。
函数名称的变换
总结词
通过改变函数名称来简化表达式。
详细描述
在三角恒等变换中，有时可以通过改变函数名称来简化表达式。例如，将cos(x)转换为sin(-x)，或将sin(x)转换为 cos(π/2 - x)等。这种变换通常基于三角函数的性质和恒等式。
三角恒等变换课件
目录
• 三角恒等变换概述 • 三角恒等变换的基本公式 • 三角恒等变换的技巧 • 三角恒等变换的实例解析 • 三角恒等变换的习题与解答
01
三角恒等变换概述
定义与性质
定义
三角恒等变换是数学中一种重要 的变换方法，通过代数运算将一 个三角函数式转换为另一个三角 函数式。
性质
三角恒等变换具有一些重要的性 质，如线性性质、乘积性质、幂 的性质等，这些性质在变换过程 中起着重要的作用。

2
α α α 2.用cos α表示sin ,cos ,tan . 2 2 2 1 cos α 1 cos α α α sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2 α 1 cos α tan =± . 1 cos α 2
二、简单的三角恒等变换
1.和、差公式的应用技巧 (1)直接应用 例:sin(α+β+γ)=sin[(α+β)+γ]=sin(α+β)cos γ+cos(α+β)sin γ.
α 2
方法指导
三角函数式化简的“三看”原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进 行合理的拆分,从而正确使用公式. (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如
“遇到分式要通分”等.
三角函数的求值 给值求值
D )
命题方向一
3 α = 典例2 (1)(2016课标全国Ⅱ理,9,5分)若cos 4 5 ,则sin 2α= ( 7 1 1 7 A. B. C.- D.- 25 5 5 25 α 1 tan 4 2 (2)若cos α=- ,α是第三象限的角,则 α = ( A ) 5 1 tan 1 1 2 2 2 A.- B. C.2 D.-2
2sin 2α sin 2α 2sin α(sin α cos α) 解析 = =2 2 sin α, 2 cos α (sin α cos α) 4 2 tan α tan 1 1 4 4 由tan ,得tan α=tan =- ,所以3 α = α = 3 4 4 4 2 1 tan α tan 4 4

电磁学
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
感谢您的观看
THANKS
总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
04
三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。

α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α

5
= 10,且 α∈ π ,π ,β∈ π, 3π ,
课堂考点探究
例 4 若 sin 2α= 5,sin(β-α)
5
= 10,且 α∈ π ,π ,β∈ π, 3π ,
课堂考点探究
[总结反思] 通过求角的某种三
①已知正切函数值,则选正切函
课堂考点探究
变式题 已知 α,β∈(0,π), [答 [解
变式题
[答
[解 1 + sin6+ 1-sin6=
课堂考点探究
角度1 给值求值
探究点
课堂考点探究
例 2 (1)已知 sin(α-β)cos α-cos α=35,则 cos 2β 的值为 ( )
课堂考点探究
例 2 (1)已知 sin(α-β)cos α-cos α=3,则 cos 2β 的值为 ( )
例 1 [配合例 1 使用] 化简: sin(α+β)cos α-1[sin(2α+β)-sin
教师备用例题
例 2 [配合例 2 使用] [2018·资 诊] 已知角 α 的顶点与原点 O
教师备用例题
例 3 [配合例 3 使用] 若 a= 2(cos216°-sin216°),b=sin
教师备用例题
6
3
cos π -2������ =
.
课前双基巩固
6.已知 α,β 均为锐角,且 tan α
tan β=4,则 α+β=
.
课前双基巩固
7.sin α-cos α= 2sin(α+φ)中的
φ=
.
课前双基巩固
8.已知 sin 2α=34,2α∈
0,
π 2
,则
-cos α=

右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两 边化异为同.
2.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证 等式之间的联系，选择适当途径对条件等式进行变形， 直到得到所证等式，或者将欲证等式及条件进行变式， 创造机会代入条件，最终推导出所证等式.
求证: tan2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左 证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若 选择“从右证到左”，则倍角公式应是必用公 式.
12
(2)已知tan2θ 2 2, 2 2 ,求
的值.
要先化简再求值，将所给关系式尽可能化成最简式或化 成含有已知式子的形式，运用整体代入的方法求值.
【解】 (1)f(α)＝2tanα－
(2)原式＝ 又tan2θ＝
解得tanθ=
∵π＜2θ＜2π，∴ ＜θ＜π，
∴tanθ＝
故原式=
1.化简
4
2 cos 3 2 .
5
2 sin( )
2
答案：D
3.已知
则
解析：
2 2tan 3.
答案：A
等于
()
4.已知α、β均为锐角，且
＝
.
解析：tan
∵ α、β均为锐角，
∴α+β= 答案：1
tan(α+β)=1.
则tan(α＋β)
5.已知 sinθ= 且cosθ－sinθ＋1＜0，则sin2θ＝ .
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查 的热点是借助三角变换研究三角函数的性质、解三角形 有关的问题.2009年山东卷就考查了这一问题

∵α 为第二象限角，
∴sinα＋1π2＝255，cosα＋1π2＝－ 55，
则 sinα＋56π＝－sinα－π6＝－sinα＋1π2－π4
＝cosα＋1π2sinπ4－sinα＋1π2cosπ4＝－3
β∈π，32π，则
α＋β
7π 的值是____4____．
[解析] ∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π， 又 sin 2α＝ 55，∴2α∈π2，π， ∴cos 2α＝－255且 α∈π4，π2， 又∵sin(β－α)＝ 1100，β∈π，32π， ∴β－α∈π2，π，∴cos(β－α)＝－3 1010， ∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝－31010×－255－ 1100× 55＝ 22， 又 α＋β∈54π，2π，∴α＋β＝74π.
考点二 三角函数的求值[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 给角求值 [例 1] [2sin 50°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)]· 2sin280°＝____6__.
[解析]
原式＝2sin
50°＋s3sin 10°
10°·
2 sin
(3)谨记“给值求角”问题口诀
求角大小象限定，函数转化标准型.
找 研究三角函数式的求值问题，解题的关键都是找出条
共 件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换 性 特点，选择合适的公式求解
[过关训练]
1．已知 α 为第二象限角，且 tan α＋tan1π2＝2tan αtan1π2－2， 则 sinα＋56π＝__－_3__1_01_0_. 解析：由已知可得 tanα＋1π2＝－2，
(2)若 α∈(0，π)，且 fα4－π8＝ 22，求 tanα＋π3的值．