2013年海淀初三一模数学试题及答案

海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习数 学2013.5一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2的相反数是A. 2B.2-C.21D.21-2．十八大开幕当天,网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次.将5.5亿用科学记数法表示为A. 8105.5⨯B. 81055⨯ C. 755010⨯ D. 10100.55⨯ 3．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4．一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为A. 5B.6C. 7D. 85．小林在元宵节煮了20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅，4个红豆馅（除馅料不同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是A ．12 B ．13 C ． 15 D ．256.一副三角板如图放置，若∠1＝90︒，则∠2的度数为A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°7.在篮球比赛中，某队员连续10场比赛中每场的得分情况如下表所示：则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是A.10, 4B.10，7C.7，13D. 13，48.如图，△ABC 是等边三角形，6AB =厘米，点P 从点B 出发,沿BC 以每秒1厘米的速度运动到点C 停止；同时点M 从点B 出发,沿折线BA -AC 以每秒3厘米的速度运动到点C 停止.如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P 的运动时间为t 秒，P 、M 两点之间的距离为y 厘米，则表示y 与t 的函数关系的图象大致是A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题4分）9． 分解因式：22369a b ab b -+= ．10．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．11．如图,将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A 落在EF 上，折痕为GB ，则ABG ∠的正切值是 . 12. 如图1所示，圆上均匀分布着11个点12311,,,,A A A A .从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k +1阶正十一角星”，其中18k ≤≤（k 为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么1211A A A ∠+∠++∠=°；当1211A A A ∠+∠++∠=900°时，k = .图1 图2三、解答题（本题共30分，每小题5分）EDCBA130112cos301)()8-︒+-- ．14．解不等式组：20,11.2x x x +>⎧⎪⎨-+≥⎪⎩15．先化简，再求值：4212112--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中3=x ．16.已知：如图，点A ，D ，C 在同一直线上，AB ∥EC ，AC CE =，.B EDC ∠=∠求证：.BC DE =17. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数xy 2-=的图象与一次函数k kx y -=的图象的一个交点为(1,)A n -． （1）求这个一次函数的解析式；（2）若P 是x 轴上一点，且满足45APO ∠=︒，直接写出点P 的坐标．18. 列方程（组）解应用题：雅安地震灾情牵动全国人民的心．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，加工了300顶帐篷后，由于救灾需要，将工作效率提高到原计划的2倍，结果提前4天完成了任务．求原计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19.如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ,BD 相交于点E ,DAB ∠=CDB ∠=90︒,ABD ∠=45︒,∠DCA =30︒,AB =.求AE 的长和△ADE 的面积．=．以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作20.已知：如图，在△ABC中，AB ACDE⊥AC于点E.(1)求证：DE与⊙O相切；AB=，(2)延长DE交BA的延长线于点F.若6sin B求线段AF的长.21. 下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果.为了解今年北京市春节假期空气质量情况，小静查到下表所示的某天15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了以下两个统计图.解答下列问题：（1）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为；（2）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因. 市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹.（结果保留整数）22.问题：如图1，a、b、c、d是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）.画出一个正方形ABCD，使它的顶点A、B、C、D分别在直线a、b、d、c上，并计算它的边长.图1 图2小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了33⨯的正方形网格，得到了辅助正方形EFGH ，如图2所示, 再分别找到它的四条边的三等分点A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 . 请参考小明的方法，解决下列问题：（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60︒，边长为1）中，画出一个等边△ABC ，使它的顶点A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线a 、b 、c 上；（3）如图4，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行线，1l 、2l 之间的距离是215，2l 、3l 之间的距离是2110，等边△ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，直接写出△ABC 的边长.图3 图4五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线y =12x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线y =12x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．24．在△ABC 中，∠ACB ＝90︒．经过点B 的直线l （l 不与直线AB 重合）与直线BC 的夹角等于ABC ∠，分别过点C 、点A 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、点E ．（1）若45ABC ∠=︒，CD =1（如图），则AE 的长为 ；（2）写出线段AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明； （3）若直线CE 、AB 交于点F ， 56CF EF =，CD =4，求BD 的长．25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-++的顶点为C . (1) 求点C 的坐标（用含m 的代数式表示）；(2) 直线2y x =+与抛物线交于A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.①若P 为直线OC 上一动点，求△APB 的面积；②抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点'B . 以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得'QB 的值最小，则这个最小值为 .BC平谷区2012～2013学年度第二学期初三统一练习 数 学 试 卷 2013．4一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13 D ．13- 2．最新统计，中国注册志愿者总数已超30 000 000人，30 000 000用科学记数法表示为 A ．7310⨯ B ．6310⨯ C ．63010⨯ D ．5310⨯ 3．如图，在□ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =∠，则BCE =∠ A ．25B ．30C ．35D ．554．某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号，7号题，第3位选手抽中8号题的概率是 A ．17B ．18C ．19D ．1105．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边的中点，若ABC △的 周长为20cm ，则DEF △ 的周长为 A ．15cmB ．20cm 3C ．5cmD ．10cm6．北京市2013年4月份某一周天气预报的日最高气温（单位：℃） 分别为13，14，17，22，22，15，15，这组数据的众数是 A ．22℃ B ．15℃C ．C ︒22℃和15D ．18.5℃7．将函数267y x x =++进行配方，正确的结果应为 A ．2(3)2y x =+-B ．2(3)2y x =++C ．2(3)2y x =-+D ．2(3)2y x =--AEBCD8．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y =x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB 、AC 分别平行于x 轴、y 轴，若双曲线ky x=(k ≠0) 与ABC ∆有交点，则k 的取值范围是 A ．12k << B ．13k ≤≤ C ．14k ≤≤ D ．14k <≤ 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．如果分式31x -的值为正数，那么x 的取值范围是_____________． 10．分解因式：324a ab -=__________ ．11．如图，⊙O 的半径OA =6，弦AB =8，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 ．12．如图1、图2、图3，在ABC △中，分别以AB AC 、为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD 、相交于点O ．如图4，AB AD 、是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE 、是以AC 为边向ABC △外所作正n (n 为正整数)边形的一组邻边．BE CD 、的延长相交于点O ．图1中BOC ∠= ； 图4中BOC ∠= （用含n 的式子表示）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： 011()20132s i n 122--+︒-． 14．已知2250x x --=，求21(21)(2)(2)4()2x x x x x -++---的值．15．已知：如图，AB ∥CD ，AB =EC ，BC =CD . 求证：AC =ED .16．如果2-是一元二次方程280x mx +-=的一个根，求它的另一根． 17．如图，一次函数4+=mx y 的图象与x 轴相交于点A ， 与反比例函数)0(>=x xky 的图象相交于点(16)B ，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）设点P 是x 轴上一点，若18=∆APB S ,直接写出点P 的坐标．OP BAA18．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润． 四、解答题（本题共20分，第小题5分） 19．已知：如图，四边形ABCD 中，90A ∠=︒，120D ∠=︒，E 是AD 上一点，∠BED=135°，BE =DC =2DE =求(1)点C 到直线AD 的距离； （2）线段BC 的长．20. 如图，AB 是O ⊙的直径，点C 在O ⊙上，CAB ∠的平分线交O ⊙于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，连接BC 交AD 于点F .（1）求证：ED 是O ⊙的切线；（2）若108AB AD ==，，求CF 的长.21．2010年4月，国务院出台“房贷新政”，确定实行更为严格的差别化住房信贷政策，对楼市产生了较大的影响．下面是某市今年2月~5月商品住宅的月成交量统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）该市今年2月~5月共成交商品住宅 套； (2）请你补全条形统计图；（3）该市这4个月商品住宅的月成交量的极差是 套，中位数是 套．22. 对于平面直角坐标系中的任意两点11122(,)()P x y P x y 2、，，我们把1122x x y y -+-叫做12P P 、两点间的直角距离，记作12()d P P ，． （1）已知点12(3,4)(1)P P -、，1，那么12P P 、两点间的直角距离12()d P P ，=_____________；（2）已知O 为坐标原点，动点()P x y ，满足()1d O P =，，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有满足条件的图形；（3）设0()P x y ，是一定点，()Q x y ，是直线y ax b =+上的动点，我们把0()d P Q ，的最小值叫做点0P 到直线y ax b =+的直角距离.试求点(21)M ，到直线2y x =+的直角距离.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题23. 已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．24．（1）如图(1)，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别是 AB 、BC 上的点，且BD CE =，连接AE 、CD 相交于点P . 请你补全图形，并直接写出∠APD 的度数；= （2）如图（2）,Rt △ABC 中，∠B =90°，M 、N 分别是 AB 、BC 上的点，且,AM BC =BM CN =，连接AN 、CM 相交于点P . 请你猜想∠APM =°，并写出你的推理过程25．如图1，在直角坐标系中，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ， 与x 轴交于点B ，以线段BC 为边向上作正方形ABCD . （1）点C 的坐标为（ ），点D 的坐标为（ ）； （2）若抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过C 、D 两点， 求该抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线 BA 向上平移，直至正方形的顶点C 落在y 轴上时， 正方形停止运动. 在运动过程中，设正方形落在y 轴右侧部分的面积为s ，求s 关于平移时间t （秒）的函数关系式， 并写出相应自变量t 的取值范围.通州区初三年级模拟考试数学试卷2013年5月一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1．3-的倒数是A ．3B ．3-C ．13-D ．132．在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是A B C D3．2012年，北京实现地区生产总值约17800亿元，比2011年增长百分之七点多.将17800用科学记数法表示应为 A ．17.8×103B ．1.78×105C ．0.178×105D ．1.78×44．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，∠ABC =32°， 则∠AOC 的度数是 A ．32°B ．64°C ．16°D ．58°5．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.妈妈买了2只红豆粽和3只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是 A ．25 B ．12C ．15D ．236. 一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的面积是 A ．6πB ．4πC ．2πD ．π7．某班开展以“提倡勤俭节约，反对铺张浪费”为主题教育活动. 为了解学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了10名同学，结果如下表：关于这10名同学每天使用的零花钱，下列说法正确的是 A ．平均数是2.5 B ．中位数是3C ．众数是2D ．方差是48． 如图，在直角坐标系xoy 中，已知()01A ，，)B，以线段AB 为边向上作菱形ABCD ，且点D 在y 轴上.若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行，直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ，则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为第8题图（1） 第8题图（2）二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若分式2x x-的值为零，则x = ． 10．分解因式：322x x x -+= ．11．如图，AB ∥CD ，点E 在AB 上，且DC DE =，70AEC ∠=︒，则D ∠的度数是______.12．定义一种对正整数n 的“F 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为kn 2（其中k 是使得kn 2为奇数的正整数），并且运算重复进行.例如，取6n =，则：12363105F F F −−−→−−−→−−−→① ②②第次第次第次……，若1n =，则第2次“F 运算”的结第11题图CDA E B果是 ；若13n =，则第2013次“F 运算”的结果是 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：(123tan302--+o14．解不等式组20512(1)x x x -<⎧⎨+>-⎩，．15. 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .16．化简求值：2221y x yx y x⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭g ，其中30x y -=，且0y ≠.17．已知(42)A -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）将一次函数y kx b =+的图象沿y 轴向上平移n 个单位长度，交y 轴于点C ，若12ABC S =V ，求n 的值.18. 列方程或列方程组解应用题：ECA D B根据城市发展规划设计，某市工程队为该城市修建一条长4800米的公路.铺设600米后，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际每天修建公路的长度是原计划的2倍，结果共用9天完成任务.问原计划每天修建公路多少米? 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．某中学组织全校1000名学生参加了有关“低碳环保”知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分），并绘制了如图的频数分布表和频数分布直方图（不完整）．请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出频数分布表中a ，b 的值，补全频数分布直方图；（2）学校将对成绩在90分以上（不含90分）的学生进行奖励，请估计全校1000名学生中约有多少名获奖？20．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF 的周长．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦．过点A 作∠BAC 的角平分线，交⊙O 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ．/分A DFEB C（1）求证：直线ED 是⊙O 的切线；（2）连接EO ，交AD 于点F ，若5AC =3AB ，求EOFO的值．22. 如图所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点，沿CE 将菱形ABCD 剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上． （1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；（2）若所拼成的直角三角形、等腰梯形、矩形的面积分别记为S 1、S 2、S 3，周长分别记为l 1、l 2、3l ，判断所拼成的三种图形的面积、周长的大小关系（用“=”、“＞”、“＜”、“≤”或“≥”连接）：面积关系是 ； 周长关系是 ．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）第22题图（矩形）（等腰梯形）（直角三角形）第22题图23. 已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-． （1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的面积.24．已知：2AD =，4BD =，以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当∠ADB=60°时，求AB 及CD 的长；（2）当∠ADB 变化，且其它条件不变时，求CD 的 最大值，及相应∠ADB 的大小.25．我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点D ，AB 为半圆直径，半圆圆心为点M ,半圆与y 轴的正半轴交于点C . （1）求经过点C 的“蛋圆”的切线的表达式；A DBC（2）求经过点D 的“蛋圆”的切线的表达式；（3）已知点E 是“蛋圆”上一点（不与点A 、点B 重合），点E 关于x 轴的对称点是F ，若点F 也在“蛋圆”上，求点E 的坐标.通州区初三数学模拟考试参考答案及评分标准2013．5 一、选择题：1．C 2．C 3．D 4．B 5．A 6．D 7．B 8．A 二、填空题：9. 2x =； 10. ()21x x -； 11. 40 ； 12. 1，4；三、解答题： 13. 解：原式=1312-+， ……………… 4分；=112+，=32+……………… 5分. 14. ()205121x x x -<⎧⎨+>-⎩， ．①②解：解不等式①，得 2x <， (1)分；解不等式②，5122x x +>-， ……………… 2分； 5221x x ->--， ……………… 3分； 33x >-，1x >-， ……………… 4分；第25题图∴这个不等式组的解集是12x -<< . (5)分.15. 证明：在△ABE 和△AC D 中∵ .AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，， ……………… 3分；∴△ABE ≌△ACD （SAS ）. ……………… 4分；∴B C ∠=∠. ……………… 5分.16． 解：原式=x yx y x y y x y x -∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2222222，x yx y x x -∙-=222， ……………… 1分； xyx y x y x x -∙-+=))((2， ……………… 2分； =xx y+. ……………… 3分； 由30x y -=，得3x y =， ……………… 4分； ∴原式=33y y y +=34y y =34. ……………… 5分.17. 解：(1) 把(42)A -，，(24)B -，分别代入y kx b =+和my x=中， ∴42244.2-=k b k b m ⎧⎪-+=⎪+=-⎨⎪⎪⎩，， ……………… 1分；解得：128.k b m =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，， ……………… 2分；∴反比例函数的表达式为8y x=-，一次函数的表达式为2y x =-- ； （2）设一次函数2y x =--的图象与y 轴的交点为D ,则()0D ，-2，第15题图EDC (3)分；∵12=∆ABC S ， ∴12221421=∙∙+-∙∙CD CD ， ……………… 4分；∴4CD =，∴4n =. (5)分.18. 解法一:解：设原计划每天修建公路x 米, 则实际每天修建公路2x 米， …… 1分；根据题意得：600480060092x x-+=， ……………… 3分； ∴27009x=， ∴300x =.经检验：x =300是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； 答： 原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 解法二：解：设铺设600米用x 天, 则增加人力和设备后，用()9x -天完成任务.……………… 1分； 根据题意得：600480060029x x-⨯=-， ……………… 3分； 解得：2x =.经检验：2x =是原方程的解，且符合实际问题的意义. ……………… 4分； ∴6003002=， 答：原计划每天修建公路300米. ……………… 5分. 四、解答题19. （1）0.05a =，24b =. ……………… 2分； 补全频数分布直方图正确； ……………… 4分； （2）0.371000370⨯=. ……………… 5分. 估计全校1000名学生中约有370名获奖.20．解法一：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o ∴1AF =， ∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G . ……………… 3分；在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o，∴1322EG EC ==，cos GC ECG EC∠=，cos 303GC ==o∴GC =∴GB GC BC =-=由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法二：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴60EDC ECD ∠=∠=o，3ED EC ==，过点E 作EH CD ⊥交CD 于点H ，交AB 于点G . ……………… 1分； ∴点H 是DC 的中点，点G 是AB 的中点，30FEG ∠=o，GH AD ==G 第20题图A BDEF在Rt △EHD 中，90EHD ∠=o ，3ED =， ∴sin EHEDH ED∠=，sin 603EH ==o∴EH =∴EG EH GH =-==. 在Rt △EGF 中，90EGF ∠=o ，60EFG ∠=o ， ∴sin EG EFG EF∠=，sin 260EF ==o ∴1EF =， ……………… 2分； ∴1122FG EF ==， ∵点G 是AB 的中点，3AB =，∴1322GB AB ==， ∴13222FB FG GB =+=+=， ……………… 3分；由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB = ……………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分. 解法三：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o，3ED EC ==，在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD = ∴tan AFADF AD∠=，tan 30==o ∴1AF =，H F E D CBA 第20题图G∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ……………… 1分； ∴321EF ED DF =-=-=， ……………… 2分； 过点B 作BG CE ⊥，交CE 于点G . ……………… 3分； 在Rt △BCG 中，90BGC ∠=o，BC =，30ECB ∠=o ，∴122BG BC ==，cos GC BCG BC ∠=，cos 302==o ， ∴32GC =， ∴33322GE EC GC =-=-=，由勾股定理得，222EB EG GB =+，或BG 是线段EC 的垂直平分线，∴EB =BE =BC ， ………… 4分； ∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++=……………… 5分.21． (1)证明：连接OD.∵OD OA =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠，∴ODA CAD ∠=∠， ……………… 1分； ∴AE ∥OD ， ∵DE AE ⊥， ∴ED DO ⊥，∵点D 在⊙O 上，∴ED 是⊙O 的切线； ……………… 2分；（2）解法一：连接CB ,过点O 作OG AC ⊥于点G .…………… 3分； ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o， ∵OG AC ⊥，第21题图G 第20题图ABCDEF∴OG ∥CB ， ∴AG ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35AG AO =， ……………… 4分； 设35AG x AO x ==，， ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形EGOD 是矩形， ∴EG OD =，AE ∥OD ，∴5DO x =，5GE x =，8AE x =, ∴△AEF ∽△DFO ，∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分．解法二：连接CB ,过点A 作AH DO ⊥交DO 的延长线于点H . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴四边形AHDE 是矩形， ∴EA DH =，AE ∥HD ，AH ∥ED ，∴CAB AOH ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o， ∴ACB AHO ∠=∠， ∴△AHO ∽△BCA ， ∴OH ACAO AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OH AO =， ……………… 4分； 设35OH x AO x ==，，第21题图∴5DO x =，8AE DH x ==, ∵AE ∥HD ，∴△AEF ∽△DFO ，∴EF AEFO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分． 解法三：连接CB ,分别延长AB 、ED 交于点G . ………… 3分； ∵DE AE ⊥，ED DO ⊥， ∴AE ∥OD ，90ODG ∠=o ，∴CAB DOG ∠=∠， ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=o ， ∴ACB ODG ∠=∠， ∴△GDO ∽△BCA ， ∴OD ACOG AB=， ∵5AC =3AB ，∴35OD OG =， ……………… 4分； 设35OD x OG x ==，，∴5AO x =，8AG AO OG x =+=, ∵AE ∥OD ，∴△AEG ∽△ODG ，△AEF ∽△DFO ，∴ AG AEOG OD= ， EF AE FO OD =， ∴85EF FO = ， ∴135EO FO =. ……………… 5分. 22.(1)第21题图画图正确； 每图各1分，共3分；(2)面积关系是 S 1=S 2=S 3 ； ……………… 4分； 周长关系是 l 1>l 2>3l ． ……………… 5分. 五、解答题： 23.解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，， ∴ 31222-k <<-， ∴3144k -<<-. ……………… 2分；(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 12k =-， ∴22y x x =--. (4)分；或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，把点M 的坐标分别代入()2214y x k x k =-++中，∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 12k =-，∴22y x x =--. (4)分；(3)2，5，5. （每个答案各1分） ……………… 7分． 24． 解：（1）过点A 作AG BC ⊥于点G . ∵∠ADB=60°，2AD =， ∴1DG =，AG ∴ 3GB =，∴tan 3AG ABG BG ∠==， ∴30ABG ∠=o，AB = ……………… 1分； ∵ △ABC 是等边三角形，∴ 90DBC ∠=o，BC = ……………… 2分；由勾股定理得：CD ===…… 3分；（2）作60EAD ∠=o，且使AE AD =，连接ED 、EB . ………… 4分；∴△AED 是等边三角形，∴AE AD =，60EAD ∠=o，∵ △ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60BAC ∠=o，∴EAD DAB BAC DAB ∠+∠=∠+∠， 即EAB DAC ∠=∠，∴△EAB ≌△DAC . ……………… 5分； ∴EB =DC .当点E 、D 、B 在同一直线上时，EB 最大，∴246EB =+=， ……………… 6分； ∴ CD 的最大值为6，此时120ADB ∠=o. (7)分.另解：作60DBF ∠=o，且使BF BD =，连接DF 、AF .参照上面解法给分. 25．G第24题图D CBA 第24题图ECBA FABCD第24题图解：（1）由题意得：()10A -，，()30B ，，()03-D ，，()10M ，. ∴2AM BM CM ===，∴OC =∴(0C∵GC 是⊙M 的切线， ∴90GCM ∠=o∴cos OM MCOMC MC MG∠==， ……………… 1分； ∴122MG=， ∴4MG =，∴()30G -，，∴直线GC的表达式为y x =……………… 2分； （2）设过点D 的直线表达式为3y kx =-，∴2323,y kx y x x =-⎧⎨=--⎩，∴()220x k x -+=，或1202x x k ==+，0)]2([2=+-=∆k ，或12x x =， (3)分；∴2k =-，∴ 过点D 的“蛋圆”的切线的表达式为23y x =--. (4)分；（3）假设点E 在x 轴上方的“蛋圆”上，设()E m n ，，则点F 的坐标为()m n -，. EF 与x 轴交于点H ，连接EM . ∴222HM EH EM +=，∴()2214m n -+=，……① ………… 5分；∵点F 在二次函数223y x x =--的图象上，∴223m m n --=-，……②解由①②组成的方程组得：11m n ⎧=+⎪⎨=⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩0n =舍去)……………… 6分；由对称性可得：11m n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩11m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩……………… 7分；∴()11E +，()21E ，()311E -，()411E -. (8)分.。

2013北京海淀区高三一模数 学 （理科）2013.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B = A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{|36}x x <≤ D.{|36}x x ≤<2.在极坐标系中, 曲线4cos ρθ=围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.163.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x 值为5，则输出的y 值为 Ａ.2- B. 1- C.12D.2 4.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2- B. 1- C. 0 D.1 5. 若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为 A.12-B.12C.1-D. 1 6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种7. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是 A.128. 设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论： ①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是A. ①B.①②C. ①③D. ②③二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在复平面上，若复数+ i a b （,a b ∈R ）对应的点恰好在实轴上，则b =_______. 10.等差数列{}n a 中,34259,18a a a a +==, 则16_____.a a = 11.如图，AP 与O 切于点A ，交弦DB 的延长线于点P ，过点B 作圆O 的切线交AP 于点C . 若90ACB ∠=︒，3,4BC CP ==， 则弦DB 的长为_______.12.在ABC ∆中，若4,2,a b ==1cos 4A =-，则_____,sin ____.c C ==13.已知函数22, 0,()3, 0xa x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_____.14.已知函数π()sin2f x x =，任取t ∈R ，定义集合： {|t A y =()y f x =，点(,())P t f t ，(,())Q x f x满足||PQ ≤.设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则 （1）函数()h t 的最大值是_____；（2）函数()h t 的单调递增区间为________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()2cos )f x x x =--. （Ⅰ）求π()4f 的值和()f x 的最小正周期；D CBPA O（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）在某大学自主招生考试中，所有选报II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B 的考生有10人. （I ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A 的人数；（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i ）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥； （Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数2()ln f x x ax bx =++(其中,a b 为常数且0a ≠)在1x =处取得极值. (I) 当1a =时，求()f x 的单调区间；(II) 若()f x 在(]0,e 上的最大值为1，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知圆M ：222(x y r +=（0r >）.若椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右顶点为圆M （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若存在直线l ：y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且AG BH =，求圆M 半径r 的取值范围.20.（本小题满分13分）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .令B A x x x ∆=-，B A y y y ∆=-，若x ∆+=3y ∆,且||||0x y ∆⋅∆≠，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：()B A τ=. 已知0P 0000(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由； （Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0ni i T x ==∑，求T 的最大值.2013北京海淀区高三一模数 学 （理） 参考答案及评分标准2013．4说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为2()2cos )f x x x =--22= 2(3sin cos cos )x x x x -+-22(12sin )x x =-+………………2分 2= 12sin x x -9．0 10．14 11.24512．3, 13．491a <≤ 14．2,(21,2), Z k k k -∈cos2x x =………………4分 π= 2sin(2)6x + (6)分所以πππ2π()2sin(2)2sin 4463f =⋅+==分 所以 ()f x 的周期为2π2π= π||2T ω==………………9分 （II ）当ππ[,]63x ∈-时，π2π2[,]33x ∈-，ππ5π(2)[,]666x +∈- 所以当π6x =-时，函数取得最小值π()16f -=-………………11分 当π6x =时，函数取得最大值π()26f =………………13分 16.解：（Ｉ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生有10人， 所以该考场有100.2540÷=人………………1分所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为40(10.3750.3750.150.025)400.0753⨯----=⨯=………………3分(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.940⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=………………7分（Ⅲ）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20………………8分2621015(16)45C P C ξ===， 116221012(17)45C C P C ξ===11262222101013(18)45C C C P C C ξ==+=， 11222104(19)45C C P C ξ=== 222101(20)45C P C ξ===所以ξ的分布列为………………11分 所以1512134186161718192045454545455E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以ξ的数学期望为865………………13分 17.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥………………1分又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥………………2分 又PA AC A = ，所以BD⊥平面PAC ………………3分又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥………………4分（Ⅱ）在正三角形ABC 中，BM =分在ACD ∆中，因为M 为AC 中点，DM AC ⊥，所以AD CD =120CDA ∠= ，所以DM =:3:1BM MD =………………6分 在等腰直角三角形PAB 中，4PA AB ==，PB =所以:3:1BN NP =，::BN NP BM MD =，所以//MN PD ………………8分 又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以//MN 平面PDC ………………9分 （Ⅲ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠= ，所以AB AD⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P由（Ⅱ）可知，yx(4,3DB =- 为平面PAC 的法向量………………10分4)PC =- ，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则00n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩， 令3,z =则平面PBC的一个法向量为n =………………12分设二面角A PC B --的大小为θ，则cos n DB n DBθ⋅==⋅所以二面角A PC B --余弦值为7………………14分18. 解：（I ）因为2()ln ,f x x ax bx =++所以1()2f x ax b x'=++………………2分 因为函数2()ln f x x ax bx =++在1x =处取得极值(1)120f a b '=++=………………3分 当1a =时，3b =-，2231()x x f x x-+'=，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：………………5分所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2,1+∞（，） 单调递减区间为1(,1)2………………6分(II)因为222(1)1(21)(1)()ax a x ax x f x x x-++--'==令()0f x '=,1211,2x x a==………………7分 因为()f x 在 1x =处取得极值，所以21112x x a=≠= 当102a<时，()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 所以()f x 在区间(]0,e 上的最大值为(1)f ，令(1)1f =，解得2a =-………………9分 当0a >，2102x a=> 当112a <时，()f x 在1(0,)2a 上单调递增，1(,1)2a上单调递减，(1,e)上单调递增 所以最大值1可能在12x a=或e x =处取得 而2111111()ln ()(21)ln 10222224f a a a a a a a a=+-+=--< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=，解得1e 2a =-………………11分 当11e 2a ≤<时,()f x 在区间(0,1)上单调递增，1(1,)2a 上单调递减，1(,e)2a上单调递增 所以最大值1可能在1x =或e x =处取得 而(1)ln1(21)0f a a =+-+< 所以2(e)lne+e (21)e 1f a a =-+=， 解得1e 2a =-，与211e 2x a<=<矛盾………………12分 当21e 2x a=≥时，()f x 在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 所以最大值1可能在1x =处取得，而(1)ln1(21)0f a a =+-+<，矛盾ABG H 综上所述，12a e =-或2a =-. ………………13分 1９.（本小题满分14分） 解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，因为a =，c a =1c =，所以1b =. 所以椭圆C ：2212x y +=………………4分（II ）设A （1x ，1y ），B (2x ，2y )由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则22220y kxx y =⎧⎨+-=⎩ 所以22(12)20k x +-= ，则120x x +=，122212x x k =-+………………6分所以AB ==分点M0）到直线l的距离d =则GH =分显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y kx =就是y 轴，矛盾，所以要使AG BH =，只要AB GH =所以222228(1)24()121k k r k k +=-++22424222424222(1)2(331)2(1)112231231k k k k k r k k k k k k +++=+==+++++++………………11分 当0k =时，r =分当0k ≠时，2112(1)2(1)31322r k k =+<+=++又显然24212(1)2132r k k =+>++,<r ≤<分 20.解：（Ⅰ）因为x ∆+=3(,y x y ∆∆∆为非零整数） 故1,2x y ∆=∆=或2,1x x ∆=∆=，所以点0P 的相关点有8个………………2分 又因为22()()5x y ∆+∆=，即221010()()5x x y y -+-=所以这些可能值对应的点在以0P………………4分 （Ⅱ）依题意(,)n n n P x y 与000(,)P x y 重合则1-12211000()()...()()n n n n n x x x x x x x x x x x --=-+-++-+-+=， 1-12211000()()...()()n n n n n y y y y y y y y y y y --=-+-++-+-+= 即1-122110()+()+...+()+()=0n n n n x x x x x x x x ------，1-122110()+()+...+()+()=0n n n n y y y y y y y y ------两式相加得1112-121010[()+()]+[()+()]+...+[()+()]=0n n n n n n n n x x y y x x y y x x y y -----------（*） 因为11,3(1,2,3,...,)Z i i i i i i x y x x y y i n --∈-+-==，故11()+()(=1,2,3,...,)i i i i x x y y i n ----为奇数，于是（*）的左边就是n 个奇数的和，因为奇数个奇数的和还是奇数， 所以n 一定为偶数………………8分（Ⅲ）令11,,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-(1,2,3,...,)i n =，依题意11210()()...()100n n n n y y y y y y ----+-++-=，因为0n i i T x===∑012n x x x x ++++112121(1)(1)(1)n x x x x x x =++∆++∆+∆+++∆+∆++∆ 121(1)n n n x n x x =++∆+-∆++∆ ………………10分因为有3i i x y ∆∆=+，且i i x y ∆∆，为非零整数，所以当2i x ∆=的个数越多，则T 的值越大，而且在123,,,..,n x x x x ∆∆∆∆这个序列中，数字2的位置越靠前，则相应的T 的值越大 而当i y ∆取值为1或1-的次数最多时，i x ∆取2的次数才能最多，T 的值才能最大. 当100n =时，令所有的i y ∆都为1，i x ∆都取2，则1012(12100)10201T =++++= .当100n >时，若*2(50,)n k k k =>∈N ，此时，i y ∆可取50k +个1，50k -个1-，此时i x ∆可都取2，()S n 达到最大 此时T =212((1)1)21n n n n n +++-++=++ .若*21(50,)n k k k =+≥∈N ,令2n y ∆=,其余的i y ∆中有49k -个1-，49k +个1. 相应的，对于i x ∆，有1n x ∆=,其余的都为2，则212((1)1)12T n n n n n =+++-++-=+当50100n ≤<时，令1,2100,2,2100,i i y i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤ 则相应的取2,2100,1,2100,i i x i n y n i n ∆=≤-∆=-<≤则T =1n ++2((1)(101))n n n +-+- ((100)(99)1)n n +-+-+ 2205100982n n +-= 综上，22220510098, 50100,2(1), 100+2, 100n n n T n n n n n ⎧+-≤<⎪⎪⎪=+≥⎨⎪≥⎪⎪⎩且为偶数，且为奇数.………………13分。

5. 小林在元宵节煮了 20个元宵，其中10个黑芝麻馅，6个山楂馅, 4个红豆馅（除馅料不海淀区九年级第二学期期中练习数 学2013.5考生 须 知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分.考试时间120分钟. 2 .在答题卡上准确填写学校名称、班级名称、姓名 3 .试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效 4 .考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回F 面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. 2的相反数是A. 5.5 108B. 55 108C. 550 107D.0.55 10103. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是A.圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥4. 一个多边形的外角和是内角和的一半，则这个多边形的边数为A. 5B.6C. 7D. 8A. 2B. -2C.D.2 •十八大开幕当天，网站关于此信息的总浏览量达5.5亿次•将5.5亿用科学记数法表示为同外，其它都相同）.煮好后小明随意吃一个，吃到红豆馅元宵的概率是则这10场比赛中他得分的中位数和众数分别是8.如图，△ ABC是等边三角形，AB =6厘米，点P从点B出发,沿BC以每秒1厘米的速度运动到点C停止；同时点M从点B出发,沿折线BA- AC以每秒3厘米的速度运动到点C停止•如果其中一个点停止运动，则另一个点也停止运动.设点P的运动时间为t秒，P、M两点之间的距离为y厘米，则表示y与t的函数关系的图象大致二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 分解因式：a2b-6ab2 9b3 = ______________________ 10.若关于x的一元二次方程x2 -3x • m = 0有实数根，则m的取值范围是____________ .11 •如图，将正方形纸片对折，折痕为EF .展开后继续折叠，使点A落在EF上，折痕为GB，则•乙ABG的正切值是12.如图1所示，圆上均匀分布着11个点A,A2, AJI], A,—从A1起每隔k个点顺次连接，当再次与点宀连接时，我们把所形成的图形称为“ k + 1阶正十一角星”其中1乞k乞8（ k为正整数）.例如，图2是“2阶正十一角星”，那么.人• . A2 7（• • A J =_________ °;当N A +N A2 +川+^A ii =900° 时，k= .A.10, 4B.10 ,7C.7 , 13D. 13 , 4*图1图2三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13. 计算：•. 12-2cos308x 2 ■ 0,14.解不等式组： x"1 _X..215.先化简，再求值： ―—1 亡二1，其中x =3 . J x —2 丿 2x —416.已知：如图，点 A , D , C 在同一直线上， AB // EC ,AC 二CE , B "EDC.求证：BC =DE.2 17.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 y 的图X象与一次函数 y=kx-k 的图象的一个交点为 A(-1, n). (1) 求这个一次函数的解析式；(2) 若P 是x 轴上一点，且满足• APO =45 ,直接写出点P 的 坐标.18. 列方程(组)解应用题:雅安地震灾情牵动全国人民的心.某厂计划加工 帐篷后，由于救灾需要， 将工作效率提高到原计划的 计划每天加工多少顶帐篷.四、解答题(本题共20分，每小题5 分)E , DAB 二 CDB = 90 , ABD =45 , / DCA =30 , AB =、6 .求 AE 的长和△ ADE的面积.1500顶帐篷支援灾区，加工了 300顶 2倍，结果提前4天完成了任务.求原19. 女口图，在四边形ABCD 中对角线 AC , BD 相交于点EB20.已知：如图，在△ ABC中，AB二AC •以AB为直径的O O交BC于点D，过点D作DE丄AC于点E .(1)求证：DE与O O相切；⑵延长DE交BA的延长线于点F •若AB = 6,sin B=二5,求线段AF的长•521.下图为北京某天空气质量指数实时查询的一个结果北京空气质 谕R{AQ （俟时査询172中度钙染100 150 200 300 500R 轻璐污锻申虞污粢軽廈污粢尸夏坊亲为了解今年北京市春节假期空气质量情况， 小静查到下表所示的某天 15个监测子站的空气质量指数；小博从环境监测网随机抽取了某天部分监测点的空气质量情况，并绘制了 以下两个统计图•解答下列问题:（i ）小静查到的统计表中重度污染出现的频率为 ___________ ； （2 ）计算小博抽取的监测点的个数，并补全条形统计图；（3 ）据统计数据显示，春节期间燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因 •市民在今年春节期间自觉减少了购买和燃放烟花爆竹的数量，全市销售烟花爆竹 37万余箱，比去年减少35%.求今年比去年同期少销售多少万箱烟花爆竹 •（结果保留整数）22•问题：如图1，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为逅个监测子站空气鍾指m 计表空气质量情况统计團＜—）空量播裁东廉东四 ^27 东（ft 天坛319311331朝阳翼休中］ 313朝阳农虧tt 325 海淀北京福物园275 海淀北蹄区*267 対淀万權 317 丰台云向 型 丰台花园 333 石皐山古握 鏑5 亦庄开炭区! 330 门吴沟花Jftii2S5 宵山喪參347A 吨宴冷員 3*1 1ftc~畫夏帶a1）.画出一个正方形 ABCD ，使它的顶点 A 、B 、C 、D 分别在直线a 、b 、d 、c 上, 并计算它的边长•小明的思考过程：他利用图1中的等距平行线构造了 3 3的正方形网格，得到了辅助正方形 EFGH ，如 图2所示,再分别找到它的四条边的三等分点 A 、B 、C 、D ，就可以画出一个满足题目要求的正方形.请回答：图2中正方形ABCD 的边长为 .请参考小明的方法，解决下列问题：ww w.（1）请在图3的菱形网格（最小的菱形有一个内角为60，边长为1）中，画出一个等边△ ABC ，使它的顶点 A 、B 、C 落在格点上，且分别在直线 a 、b 、c 上；（3）如图 4, h 、l 2、 21怯疋冋干面内的三条干仃线，h 、I2之间的距离疋，I2、b521之间的距离是21，等边△10ABC 的三个顶点分别在l 1、I 2、I 3 上,直接写出厶ABC 的边长.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）223•在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = mx -2mx n 与x 轴交于A 、B 两点，点A 的图2图3坐标为(一2,0). (1 )求B 点坐标;1(2)直线y = — x + 4m+ n 经过点B .2① 求直线和抛物线的解析式；② 点P 在抛物线上，过点 P 作y 轴的垂线I ，垂足为D(0,d) •将抛物线在直线I 上方 的部分沿直线I 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象 G •请结合图象回答：当24.在厶ABC 中，/ ACB = 90 .经过点B 的直线I (I 不 与直线AB 重合)与直线 BC 的夹角等于/ABC ，分别过点C 、点A 作直线I 的垂线，垂足分别为点D 、点E .(1 )若.ABC =45 , CD = 1 (如图)，则 AE 的长 为 ； (2) 写出线段 AE 、CD 之间的数量关系，并加以证明；CF 5(3) 若直线CE 、AB 交于点F ,, CD =4，求BDEF 6的长.25.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y =x 2 -2mx • m 2 • m 的顶点为C . (1) 求点C 的坐标(用含 m 的代数式表示)；(2) 直线y 二x 2与抛物线交于 A 、B 两点，点A 在抛物线的对称轴左侧.① 若P 为直线OC 上一动点，求△ APB 的面积；② 抛物线的对称轴与直线 AB 交于点M ，作点B 关于直线MC 的对称点B'.以M 为圆心，MC 为半径的圆上存在一点Q ，使得QB' QB 的值最小，则这个最小值2为 ________________.图象G 与直线12X + 4m+n 只有两个公共点时，d 的取值范围是2013海淀中考一模数学参考答案数学试卷答案及评分参考题号12345678答案B A D B C C A D题号9101112答案b(a-3b)29 m < —2-431260°; 2 或7413•计算:V2 - 2COS30 （、3 -1）° -（丄）°8解：原式=2七_2 y8 ............................ 4分=、3-7 . ................................... 5 分x + 2>0解不等式G-i解：由①得x -2 . ........................................... 2分由②得X叨. .................... 4分则不等式组的解集为~'2 ：：：X 一1. ......................... 5分15•先化简，再求值：1—1，其中x = 3 .V x -2）2x-4x —2 ■ 1 2x ~"4解：原式2 .............................. 2分x-2 x-1=□2（「2）................. 3 分x -2 （x -1）（x 1）22 1当x =3时，原式=——- ... ........................... 5分x +1 216. 证明：丫AB // EC ,••• . A DCE. ................................... 1 分在厶ABC和厶CDE中，B =/EDC,*NA=NDCE,i AC=CE,• △ ABC◎△ CDE. .............................. 4 分•- BC = DE. ................................. 5分217. 解：（1）v点A（-1,n）在反比例函数y 的图象上,xn = 2. .............................. 1 分•••点A的坐标为（一12 .•••点A在一次函数y =kx -k的图象上，（2）点P的坐标为（-3,0 ）或（1,0）. （写对一个给1分）18. 解：设原计划每天加工x顶帐篷. ................................... 1分1500 -300 1500 -300 , 八x 2x解得x =150. ............................. 4分经检验，x =150是原方程的解，且符合题意.答：原计划每天加工150顶帐篷. ................... 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：过点A作AF丄BD于F .•••/ CDB =90 ° ,/ 仁30° ,•••/ 2= / 3= 60° . .................. 1 分在厶AFB 中，/ AFB =90° .4=45 ° , AB -、6 ,一次函数的解析式为y - -x 1 .E•AF = BF = ,3. ...................................... 2 分在厶AFE 中，/ AFE=90° .•EF=1,AE=2. ...................................... 3 分在厶ABD 中，/ DAB =90• AE 又••• OD // AE ,• △ FAE FOD .• FA _ AEFO OD .•/ AB =6,• OD =AO =3.••• DB =2 .3••• DE 二 DB _BF _EF »；3 _1.= -DE 2AF =-( ,3-1) = 3 3 ................................ 2 220.(1)证明：连接OD . ............................... 1分•/ AB = AC ,• B = . C .又••• OB=OD ,OD // AC .DE 丄AC 于E ,DE 丄 OD .点D 在O O 上，DE 与O O 相切. ................. 2分⑵解：连接AD .•/ AB 为O O 的直径,ADB =90°.••• AB =6, sin B=• AD 二 AB sinB =^. ................................ 3 分5••• 1 2 =/3 2 =90 ,• 1-^3.• B ".在厶 AED 中，/ AED =90°.sin 3 二 AEADADFA 2FA 3 一5 •• AF =2. ............................. 5 分1 八21. (1) 一. ................... 1 分3(2 )••• (3 3 18)^80% =30,(1 -35%)x =37.12解得x = 56 —... .........................1312 12…56 37 = 19 20 .ww w.13 13答：今年比去年同期少销售约20万箱烟花爆竹.•••抛物线与X轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2,0）,•••点B的坐标为（4,0）.1⑵'点B在直线y=2X+4m+n上，•- 0=2 4m n ①.22. (1) ,5（答案不唯一）五、②521解答题（本题共22分，第23题7分，第23.解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为24题7分，第25题8分)-2 m ,x 1 .................2m（3）设去年同期销售x万箱烟花爆竹.•被小博同学抽取的监测点个数为30个. ................ 2分（2 ［①如图:•••点A 在二次函数y=mx 2-2mx ・n 的图象上,24. (1) AE =2.(2)线段AE 、CD 之间的数量关系为 AE=2CD . ............................................ 2分证明：如图1,延长AC 与直线I 交于点G . 依题意，可得/ 1 = / 2. •••/ ACB = 90 ,•••/ 3=/ 4.••• BA 二 BG .•- CA = CG . ................. 3 分•/ AE 丄 I , CD 丄 I ,• CD // AE .GCD GAE .• CD = GC _ 1AE GA 2 .• AE =2CD . ...................................... 4 分(3) 解：当点F 在线段AB 上时，如图2,过点C 作CG // I 交AB 于点H ，交AE 于点G .• / 2=/ HCB .•••/ 1 = / 2,••/ 1 =/ HCB .• CH =BH .•••/ ACB = 90 ,• / 3+/ 1 = / HCB+ / 4 =90 .• •/ 3=/ 4.• CH =AH -BH .•/ CG // l ,• △ FCH FEB .1 由①、②可得m — n — —4.4分 2，--抛物线的解析式为 y = -x 2 - x -4 ,2 直线的解析式为1 y= — x _2 .…… 2 .......... 5分 (3) — :: d :: 0 ...... ................................ ••…7分二 0 =4m 4m n ②. 3分2.CF CH 5■ ■ __ ■ ■E F IB " 6 '设CH =5x,BE =6x，贝y AB =10x .•••在厶AEB 中，/ AEB = 90 , AE =8x. 由(2)得，AE=2CD .•/ CD =4,•AE =8.•x = 1.••• AB =10, BE =6,CH =5 .•/ CG //I ,•△ AGH s\ AEB .• HG _ AH 1BE 一AB _2 .•HG =3 . ................ 5 分•CG =CH HG =8.•/ CG // l , CD // AE ,•四边形CDEG为平行四边形.•DE =CG = 8.•BD =DE - BE =2 . ................................... 6 分当点F在线段BA的延长线上时，如图3,同理可得CH =5,GH =3,BE =6.•DE=CG =CH - HG =2.•BD =DE BE =8.•BD = 2 或& ............................. 7 分•顶点坐标为C(m,m). ............................... 2分(2［①y = x ■ 2与抛物线y = x2 -2mx • m2• m交于A、B两点,• x 2 = x2 -2mx m2 m .解方程，得捲=m -1,x2二m • 2 .'/点A在点B的左侧，图325.解：(1) y = x2 _2mx m2• A(m-1,m 1), B(m 2,m 4).••• AB =3、2. 5分v直线OC的解析式为y = x，直线AB的解析式为y二x 2 ,• AB // OC，两直线AB、OC之间距离h二2.--S APBAB h 3-- 2 ■:・：；2 = 3 . 2 2②最小值为\：'10. ............................ 8分（注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）。

2 =
. ………………………4 分
x+1
当 x = 3 时，原式= 2 = 1 .………………………5 分 x+1 2
16.证明：∵ AB ∥ EC ，
∴ ∠A = ∠DCE. ………………………1 分
E
在△ ABC 和△ CDE 中，
⎧∠B = ∠EDC, ⎪⎨∠A = ∠DCE, ⎪⎩ AC = CE,
∵∠ ACB ＝ 90° ，
∴∠3=∠4.
∴ BA = BG . ∴ CA ＝ CG ．………………………3 分 ∵ AE ⊥ l ， CD ⊥ l ， ∴ CD ∥ AE ． ∴△ GCD ∽△ GAE ．
∴ CD ＝ GC = 1 ． AE GA 2
∴ AE = 2CD ．………………………4 分 （3）解：当点 F 在线段 AB 上时，如图 2， 过点 C 作 CG ∥ l 交 AB 于点 H ，交 AE 于点 G ． ∴∠2＝∠ HCB ．
25.解：（1）∵ y = x2 − 2mx + m2 + m = ( x − m)2 + m ，……………………1 分
∴顶点坐标为 C ( m, m) .……………………2 分
（2）①∵ y = x + 2 与抛物线 y = x2 − 2mx + m2 + m 交于 A 、 B 两点，
∴ x + 2 = x2 − 2mx + m2 + m .
∴在△ AEB 中，∠ AEB ＝ 90° ， AE = 8x ． 由（2）得， AE = 2CD ． ∵ CD = 4 , ∴ AE = 8 . ∴x =1.
∴ AB = 10, BE = 6,CH = 5 ．