5(4)可降阶的高阶方程

1.7 几种可降阶的高阶方程一般的 n 阶高阶方程 F ( x, y , y ¢,L , y ( n ) ) = 0 没有一般性的求解方法，但我们如果能把它的阶数降下来， 就增加了求解的可能性. 下面我们介绍三种可降阶的情形：1 方程不显含未知函数 y, 或更一般地不显含 y, y¢,L,y ( k -1) , 即方程呈形状 （k） ( k +1) F ( x, y ,y ,L, y ( n ) ) = 0(1 £ k £ n).2 方程不显含自变量 x，呈形状F ( y, y¢, L, y ( n ) ) = 0 .3 恰当导数方程本节要介绍三种高阶方程的解法，这些解法的基本思想就是把高阶方 程通过某些变换降为较低阶方程加以求解，所以称为“降阶法”.一。

第一种可降阶的高阶方程方程（1.78）这种方程的特点是方程中出现的最低阶的导数为 . 这时只要令 (1.78)中就化成 如果(1.79)能求出通解 则由对 积分 ，就可以求出 y来了.（1.79）例1.解d 5x 1 d 4x 求方程 5 - × 4 = 0 的解. dt t dtd 4x 令 4 = y , 则方程化为一阶方程 dtdy 1 - y = 0, dt t积分得d 4x y = ct , 即 4 = ct , dt于是通解x = c1t + c2t + c3t + c4t + + c5 .5 3 2二.第二种可降阶的高阶方程 方程 这类方程的特点是不显含自变量 x，这时， 总可以利用代换 ，使方程降低一阶.以二阶 方程 为例.令 代入原方程，就有 ，于是有“这是一个关于未知函数 p ”的一阶方程.如 果由它可求 则有 这是一个关于y的变量可分离方程， 可求得通积分.例2. 求解方程xx ¢¢ + ( x ¢) = 0 .2解 令 x ¢ = y , 则 x ¢¢ = y dy , 方程化为dy xy + y 2 = 0 , dx或 积分后得 所以dxdy y = 0及 x + y = 0, dxc c y = 即 x¢ = , x xx = c1t + c22是原方程的通解 .三. 恰当导数方程假如方程 （1.80） 的左端恰为某一函数 即(1.80)可化为 对 x的导数，则(1.80)称为恰当导数方程. 这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一 阶，成为 之后再设法求解这个方程.2 ¢ ¢ ¢ 求方程 y y + y = 0 的通解 . 例3. 解 将方程写成故有d ( yy ¢ ) = 0 , dx y y ¢ = C 1 , 即 ydy = C1dx ,积分后得通解y 2 = C1 x + C 2 .注：这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.例4.求解方程 1 解 先将两端同乘不为0 的积分因子 2 ， y 2 则有 yy¢¢ - y¢ d y¢y2yy¢¢ - y¢ = 02=( )=0 dx y故y¢ = C1 y, 从而通解为y = C2 eC1 xP49 1,3,4,5,7,9,11.。

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ；(2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xyy +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。

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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。

可降阶的高阶方程
求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。

下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。

1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
，
再次积分，即可求出方程得通解。

例题：求方程y"=cosx的通解。

解答：一次积分得：
二次积分即得到方程得通解：
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。

例题：求方程的通解。

解答：令y'=p.，代入方程，得
分离变量后，得
积分，得
.即
再积分，即得原方程的通解：
.
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
代入原方程，得
这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。

例题：求方程的通解
解答：令代入原方程得：
它相当于两个方程：
由第一个方程解得：y=C;
第二个方程可用分离变量法解得
p=C
y
1
从而
由此再分离变量，解得：
这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）。

可降阶的高阶微分方程引言高阶微分方程是微积分中的一个重要概念，通常包含二阶及以上的导数。

然而，在某些情况下，我们可能希望将高阶微分方程降阶为一阶微分方程，这样可以更方便地求解和分析。

本文将讨论可降阶的高阶微分方程及其相关概念。

一阶可降阶微分方程一阶可降阶微分方程是指可以通过某种变换将其降为一阶微分方程的高阶微分方程。

例如，考虑一个二阶微分方程：d2y dx2+a(x)dydx+b(x)y=f(x)通过引入新的变量P(x)=dydx，我们可以将上述二阶微分方程转化为一个一阶可降阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)y=f(x)这样，我们就成功地将高阶微分方程降为了一阶微分方程。

降阶方法降阶高阶微分方程的一般方法是引入新的变量，并通过适当选择这些变量的方式将其转化为一阶微分方程。

下面介绍几种常用的降阶方法。

1. 变量代换法变量代换法是一种常见的降阶方法，通过引入新的变量将高阶微分方程转化为一阶微分方程。

例如，对于一个三阶微分方程：d3y dx3+a(x)d2ydx2+b(x)dydx+c(x)y=f(x)我们可以引入新的变量P(x)=d 2ydx2和Q(x)=dydx，从而将该三阶微分方程转化为一个一阶微分方程：dPdx+a(x)P+b(x)Q+c(x)y=f(x)dQdx+b(x)P+c(x)Q=02. 微分幺正变换法微分幺正变换法是一种通过选择适当的变换矩阵将高阶微分方程转化为一阶微分方程的方法。

具体而言，通过选择一个幺正变换矩阵U(x)，我们可以将一个n阶微分方程转化为一个一阶微分方程：d dx [y1y2⋮y n]=U(x)[f1f2⋮f n]其中y i表示原始高阶微分方程的解，f i表示相应的一阶微分方程的解。

3. 特解代换法特解代换法是一种通过引入特解来降低高阶微分方程的阶数的方法。

具体而言，我们假设高阶微分方程的一个特解形式，并代入原方程求解。

将得到的特解代入原方程，我们可以得到一个低阶微分方程。

可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程可降阶的高阶微分方程和二阶常系数微分方程一、可降阶的高阶微分方程在数学中，可降阶的高阶微分方程指的是一个高阶微分方程可以通过一系列变量代换和降阶操作化简为低阶的微分方程。

这种化简的方法在求解高阶微分方程时非常有用，可以简化计算过程并得到解析解。

具体而言，可降阶的高阶微分方程通常可以通过一系列变量代换将高阶导数转化为低阶导数，从而降低微分方程的阶数。

常见的变量代换包括令新变量等于原函数的高阶导数，或者令新变量等于原函数与其高阶导数之间的某种组合。

通过这些变量代换，高阶微分方程可以转化为一系列关于新变量的低阶微分方程。

例如，考虑一个三阶微分方程：\[y'''(x) + p(x)y''(x) + q(x)y'(x) + r(x)y(x) = 0\]可以通过令新变量\(v = y'(x)\)和\(u = v'\)来进行变量代换。

通过求导可以得到：\[v' = u\]将上述代换带入原方程，可以得到一个关于\(u\)和\(v\)的二阶微分方程：\[u' + p(x)u + q(x)v + r(x)y = 0\]通过继续进行变量代换，可以将该二阶微分方程进一步降阶为一阶微分方程。

这种可降阶的方法可以在高阶微分方程的求解中起到重要的作用。

二、二阶常系数微分方程二阶常系数微分方程是一种形式为\(ay''(x) + by'(x) + cy(x) = 0\)的微分方程，其中\(a\)、\(b\)和\(c\)是常数。

这类微分方程在物理、工程和数学等领域中广泛应用，可以描述许多自然现象和物理过程。

对于二阶常系数微分方程，其特征方程为\(ar^2 + br + c = 0\)，其中\(r\)为待定的解。

通过解特征方程可以得到该微分方程的通解。

特别地，当特征方程有两个不相等的实根时，通解可以表示为：\[y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]其中\(C_1\)和\(C_2\)为任意常数，\(r_1\)和\(r_2\)为特征方程的两个实根。