2017—2018年高等数学II(理工类)A卷答案

弘德中学高三数学期末备考（五）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1. （5分）（2017?新课标H）幺宦=（）1+1A . 1+2i B. 1 - 2i C. 2+i D. 2 - i2 . （5 分）（2017?新课标H）设集合A={1 , 2, 4} , B={x|x 2- 4x+m=0} •若A A B={1},贝V B= （）A. {1 , - 3} B . {1 , 0} C. {1 , 3} D . {1 , 5}3. （5分）（2017?新课标H）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4. （5分）（2017?新课标H）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）5.（5 分）（2017?新课标H）2x+3y-3<0设x, y满足约束条件-2x_3y+3^ 0 ,则z=2x+y的最小值是（A . - 15 B. - 9 C . 1A . 90 n B. 63 n C. 42 n D .6. （ 5分）（2017?新课标H ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A . 12 种B . 18 种C . 24 种D . 36 种7. （5分）（2017?新课标H ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩•老师 说：你们四人中有 2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲 的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A •乙可以知道四人的成绩B •丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩（5分）（2017?新课标H ）执行如图的程序框图，如果输入的 a=- 1，则输出的S=（）11 . （5 分）（2017?新课标 H ）若 x= - 2 是函数 f （x ） = （x2+ax - 1） ex - 1 的极值点，贝U f （x ） 的极小值为（ ）A . - 1B . - 2e - 3C . 5e - 3D . 112 . （5分）（2017?新课标H ）已知 △ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 飞（丨：・+"）的最小值是（）A . - 2B . -C . -D . - 1三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分.13 . （ 5分）（2017?新课标H ） —批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有C .乙、丁可以知道对方的成绩 8.2 B .3 C .4（5 分）（2017?新课标 H ）2+y2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（573A . 2B .C .「D .10.（ 5分）（2017?新课标H ）已知直三棱柱则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（Vlo V3_D .3=1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线被圆 (x - 2))ABC - A1B1C1 中，/ ABC=120°, AB=2 , BC=CC1=1 , )V32放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX= .n1『 ---15. （5分）（2017?新课标n ）等差数列｛an ｝的前n 项和为Sn , a3=3, S4=10,则 吐2k =16. （5分）（2017?新课标n ）已知 F 是抛物线C : y2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，贝U |FN|=.三、解答题：共70分.17. (12分)(2017?新课标n) A ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知sin (A+C )B_=8sin2 龙.(1 )求 cosB ;(2)若 a+c=6, A ABC 面积为 2,求 b .18. （12分）（2017?新课标n ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收 获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）,其频率分布直方图如图:t 频率/组距旧养殖法新养殖法（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于 50kg ”估计A 的概率；（2 ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量v 50kg箱产量＞ 50kg旧养殖法新养殖法）.附：P (K2>k0.050 0.0100.001 K3 >.841 6.635 10.828K 2= _____ n (ad-bc ) 2ta-Fb) Ccfdj (a+cD (b+d)19. （12分）（2017?新课标n ）如图，四棱锥 P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于111底面 ABCD , AB=BC= 2 AD ，/ BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.（1） 证明：直线 CE //平面PAB ;（2） 点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°求二面角 M - AB - D 的余弦 值.o ”窗亦氏产细14. (5 分)(2017?新 课标n)函数 f (x ) =sin 2x+ • ；cosx -」(x € [0，:])的最大值是20. (12分)(2017?新课标H)设0为坐标原点，动点M在椭圆C: " +y2=1上，过M做x 轴的垂线，垂足为N，点P满足【「=讣川.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x= - 3上，且「？〔」=1 •证明：过点P且垂直于0Q的直线I过C的左焦点F.21. (12 分)(2017?新课标H)已知函数f (x) =ax2 - ax- xlnx，且f ( x) >0.(1 )求a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0，且e- 2v f (x0)v 2 - 2.(二)选考题：共10分.22. (10分)(2017?新课标H)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为p cos 0 =4(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程；兀(2)设点A的极坐标为(2, 5 ),点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值..=6,、选择题 2. 【解答】解：集合 A={1 , 2, 4} , B={x|x 2 - 4x+m=0}. 若 An B={1}，贝y 1€ A 且 1 € B ,可得1 - 4+m=0，解得 m=3 , 即有 B={x|x 2 - 4x+3=0}={1 , 3}. 故选：C .3. ［解答】解：设这个塔顶层有 a 盏灯，•••宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的 2倍，•••从塔顶层依次向下每层灯数是以 2为公比、a 为首项的等比数列, 又总共有灯381盏, r2x42y-3<0y 满足约束条件 2x-3rH3> 0的可行域如图:z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成 1项，每项工作由1人完成, 可得：6". ：=36种.参考答案y=-3则z=2x+y 的最小值是：-15.解得 A (- 6,- 3),1.【解答】解: 故选D .3+L .一一;■一1.1+i.2• 381 =1'2则这个塔顶层有 故选B .4.［解答】解: 一半， =127a ,解得 a=3,3盏灯, 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为 股?冰6=63,故选：B .V=n ?3X10 - 7tX 、 5.【解答】解: =2 - i ,6的圆柱的故选：D .7.【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 甲不知自己的成绩T 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩） T 乙看到了丙的成绩，知自己的成绩T 丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选：D .&【解答】解：执行程序框图，有 S=0, k=1 , a= - 1,代入循环, 第一次满足循环，S=- 1, 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，: 满足条件，:7 W6不成立 故选：B .C c 2 -4 a 2- ；，可得 e 2=4，即 e=2.c故选：A .10. 【解答】 解：如图所示，设 M 、N 、P 分别为AB , BB 1和B 1C 1的中点, 则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角I TT（因异面直线所成角为（0, --------- ］）, 可知2 2 ,NP==BC 1=¥ ；作BC 中点Q ,则APQM 为直角三角形； •/ PQ=1 , MQ 」AC ,2△ABC 中，由余弦定理得第二次满足循环， S=1, a = -1, k=3;第三次满足循环， S=- 2, a=1, k=4; 第四次满足循环， S=2, a= -1, k=5;第五次满足循环， S=- 3, a=1, k=6; 第六次满足循环， S=3, a = -1, k=7;.，退出循环输出，S=3;9.【解答】 解：双曲线C=1 （ a > 0, b > 0）的一条渐近线不妨为： bx+ay=0 ,圆（x - 2） 双曲线C : b 22+y 2=4的圆心（2, 0）,半径为：2,2 2务-工7=1 （ a >0, b > 0）的一条渐近线被圆（x - 2） 2+y 2=4所截得的弦长为 2, a 2 k.可得圆心到直线的距离为: 1处丨解得:a=1, k=2 ;2AC2=AB 2+BC 2- 2AB?BC?cos/ ABC=7,••• AC=-,••• MQ= =2在3QP中，MP=丽P(庐厚；在NMN中，由余弦定理得11. 【解答】解：函数f (x) = (x2+ax- 1) e x r,可得f'(x) = (2x+a) e x_ 1+ (x2+ax- 1) e x_ 1, x= - 2 是函数 f (x) = (x2+ax - 1) e x 1的极值点，可得：-4+a+ (3- 2a) =0.解得a= - 1.可得f'( x) = (2x- 1) e x-1+ (x2- x - 1) e x -1,=(x2+x - 2) e x-1,函数的极值点为：x= - 2, x=1 ,当x v - 2或x > 1时，f'( x) > 0函数是增函数，x € (- 2, 1)时，函数是减函数, x=1 时，函数取得极小值：f (1) = (12- 1 - 1) e1 1= - 1.故选：A .12. 【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则 A (0, . ■：), B (- 1 , 0), C (1 , 0),设P (x, y),则口卜(-x，品-y), ■= (- 1 - x,- y), '「= (1 - x,- y), 则页?(莎更=2x2- 2嫡+2y2=2[x2+ (y-字)]cos/ MNP=7〔0 •又异面直线所成角的范围是（0,二AB i与BC 1所成角的余弦值为1vTo•••当x=0, y=、？时，取得最小值 2X(-3 )=-1,242故选：B是一个二项分布模型， 其中，p=0.02 ,n=100 ,16.【解答】解：抛物线C : y 2=8x 的焦点F (2,0) , M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1,贝U M 的纵坐标为： |FN|=2|FM|=2 .〔1 | -」=6.故答案为：6. 三、解答题17.【解答】 解：(1) sin (A+C ) =8sin 2=, /• sinB=4 (1 - cosB ), ••• sin 2B+cos 2B=1 ,14.【解答】 解：f (x ) =sin 2x+ .「； C OSX —亠=1 - cos x4 :2::+ 「；cosx — 令 cosx=t 且 t € [0 , 1], 则 f (t ) = - t 2 + :甘丄=—4(t —)2+1 ,当 t=L 时，f (t )2即f (x )的最大值为1, 故答案为：1max =1 ,15.【解答】 解：等差数列 可得a 2=2，数列的首项为1 S =ntn+l)S n ={a n }的前 n 项和为 S n , a 3=3, S 4=10, 1，公差为1,,=—2(丄亠， 畀 ntn+l) ‘口 n+1S 4=2 (a 2+a 3) =10,I'L则£k=l=2[1 -与亠丄…+ ]=2 (1 -n+12nn+1故答案为: Ml13.【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验,则 DX=npq=np (1 - p ) =100X0.02 >0.98=1.96 . 故答案为：1.96.16 (1 — cosB ) 2+COS 2B=1 ,•••( 17cosB - 15) ( cosB - 1) =0, (2)由(1)可知 sinB=£_,17S ZABC =』ac?sinB=2, 217 2…ac=IT=a 2+c 2 - 15= (a+c ) 2 -2ac - 15=36 - 17 - 15=4, • b=2.18.【解答】解：(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由 P (A ) =P ( BC ) =P ( B ) P ( C ),则旧养殖法的箱产量低于 50kg : (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040 ) X5=0.62, 故P (B )的估计值0.62,新养殖法的箱产量不低于 50kg : (0.068+0.046+0.010+0.008 ) X5=0.66, 故P (C )的估计值为，则事件 A 的概率估计值为 P (A ) =P ( B ) P ( C ) =0.62 >0.66=0.4092 ;箱产量v 50kg箱产量> 50kg总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法34 66 100 总计96104200=5>(37.5 >0.004+42.5 >.020+47.5 >.044+52.5 >.068+57.5 >.046+62.5 >.010+67.5 >.008), =5 X10.47, =52.35 (kg ).新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35 ( kg )方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图的面积:(0.004+0.020+0.044 ) X5=0.034 , 箱产量低于55kg 的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068 ) >5=0.68 > 0.5,…cos• b 2=a 2+c 2- 2accosB=a 2+c 2- 2则K 2=• A 发生的概率为0.4092; (2) 2>列联表：〜15.705100X100X96X104由 15.705 > 6.635,•••有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； (3) 由 题 意 可 知新养殖法箱产量的中位数的估计值 52.35 ( kg ).19.【解答】(1)证明：取PA 的中点F ,连接EF , BF ，因为E 是PD 的中点, 二 AD ,2••• BCEF 是平行四边形，可得 CE // BF , BF?平面PAB , CF?平面PAB , •••直线CE //平面PAB ; (2)解：四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD , AB=BC= ±AD , / BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中点.取AD 的中点O , M 在底面 ABCD 上的射影 N 在0C 上，设AD=2，贝U AB=BC=1 , 0P=., •••/ PCO=60，直线BM 与底面ABCD 所成角为45° 作NQ 丄AB 于Q ,连接MQ ,20.【解答】 解：(1 )设M (X 0, y 0),由题意可得 N (X 0, 0), 设P (x , y ),由点P 满足J '= m故新养殖法产量的中位数的估计值为50+十〜52.35( kg ),所以EF |二AD,AB=BC= =AD ，/ BAD= / ABC=90 , • BC // 2 可得: 可得: BN=MN , CN= 2_1MNBC=1 , 1+_BN 2=BN 2,3BN=—2MN=Vs2所以/ MQN 就是二面角 M - AB - D 的平面角,可得(X - X 0, y )=护(0, y o ), 可得 x - x o =o , 沪.■:yo ,0v X V 丄时 h ' (x )v 0、当 x >丄时 h ' (x )> 0,a a又因为 h (1) =a - a - In 仁0 , 所以一=1，解得a=1;a(2)证明：由(1)可知 f (x ) =x 2 - x - xlnx , f'( x ) =2x - 2 Tnx ,令 f ' (x ) =0,可得 2x - 2- lnx=0，记 t (x ) =2x - 2 -lnx ，贝U t '(x ) =2 -丄,且不妨设f '(X )在(0, X 0)上为正、在(X 0, X 2)上为负、在(X 2, +8)上为正, 所以f (x )必存在唯一极大值点X 0,且2x 0- 2 - lnX 0=0,即有X o =x ,代入椭圆方程 2=1 , 可得厶+ 2X 2+y 2=2； m ), P (/J cos a逅sin a ?(- ：cos a- 2cos 2 a+ :■:ms in —2sin 2 a =1, 即有点P 的轨迹方程为圆 (2)证明：设Q (- 3, V ? 1.1=1，可得(-../■J cos a 即为-3门 3(1+*® 口旳) V2sin^ 解得m= 即有Q (- 3, V2sin^ ), 2椭圆；+y 2=1 的左焦点F (- 1, 0), 由 k oQ =—k PF = V2sinCX 血白inQ ⑴匸“Q +1 由 k oQ ?k PF = - 1, 可得过点P 且垂直于OQ 的直线 21.【解答】(1)解：因为则f (x )等价于h (x ) 典sin a , ( 0W 幺 2 n), 3-V^cos a m -^2.sin ) =1, =1 (x ) =ax 2- ax - xlnx=x (ax - a - lnx ) (x > 0), =ax - a - lnx >p令 t (x ) =0,解得：x=-所以t (x )在区间(0,i )上单调递减，在(—2 2,+s)上单调递增,因为h' (x ) =a -丄，且当x所以 h (x ) min = h ^~),X 0, X 2,—x o — x o l nx o = - — x o +2x o — 2由 f ' ( —) V 0 可知 X 0V —丄e综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点 x o ,且e 2V f （x o ）v 2 2. （二）选考题22.【解答】 解：（1）曲线C i 的直角坐标方程为：x=4 , ，…y o =[选修4-5:不等式选讲] 23.【解答】 证明：(1)由柯西不等式得：(a+b ) (a 5+b 5) 当且仅当即a=b=1时取等号，(2)v a 3+b 3=2,••( a+b ) (a 2 — ab+b 2) =2, •••( a+b ) [ (a+b ) 2— 3ab]=2 , ••( a+b ) 3— 3ab (a+b ) =2,=ab ,由X o V 丄可知f （ X 0）V（2 X 0 —1 11护7max =由均值不等式可得: 仏)3-23(a+b)=ab <(~2)2,••( a+b ) 3 —所以f （X 0）=所以f （X ）在（0, X 0）上单调递增，在（X 0, 一）上单调递减,e设P （X, y ），M （4，y0），则专•/ |OM||OP|=16,=16，2 即(x 2+y 2 ) ( 1+匚)=16,' 2I• x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2,即（x 2+y 2） 两边开方得：X 2+y 2=4x , 整理得：（X — 2） 2+y 2=4 （X 工0, •••点P 的轨迹C 2的直角坐标方程：（2）点A 的直角坐标为A （1 ,•曲线C 2的圆心（2 , 0）到弦OA 的距离d=：」厂刁=：-；, |OA|? （2+ . ；） =2+ -；. 2=16X 2,(X — 2) 2+y 2=4 (X M0 .V3),显然点A 在曲线C 2上, |OA|=2 ,所以 f (x o )> f (丄)= )2= (a 3+b 3)2>4•••△ AOB 的最大面积(a+b) 3W2,••• a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共5页。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A. B. C. D.2.已知集合A=｛（x，y）｜x ²+y ²≤3，x∈Z，y∈Z｝，则A中元素的个数为A.9B.8C.5D.43.函数f（x）=e ²-e-x/x ²的图像大致为A.B.C.D.4.已知向量a，b满足∣a∣=1，a·b=-1,则a·（2a-b）=A.4B.3C.2D.05.双曲线x ²/a ²-y ²/b ²=1（a﹥0，b﹥0）的离心率为，则其渐进线方程为A.y=±xB.y=±xC.y=±D.y=±6.在中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=A.4B.C.D.27.为计算s=1-+-+…+-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。

哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A. B. C. D.9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A. B.10.若f（x）=cosx-sinx在［-a，a］是减函数，则a的最大值是A. B. C. D. π11.已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x）。

若f（1）=2，则f（1）+ f（2）+ f（3）+…+f（50）=A.-50B.0C.2D.5012.已知F1，F2是椭圆C: =1（a>b>0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A..B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2017年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版)2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年全国Ⅱ，理1，5分】31ii +=+（ ） （A ）12i + （B ）12i - （C ）2i + （D ）2i - 【答案】D【解析】()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2+-+-===-++-，故选D ． （2）【2017年全国Ⅱ，理2，5分】设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{1}A B =I ，则B =（ ）（A ）{}1,3- （B ）{}1,0 （C ）{}1,3 （D ）{}1,5 【答案】C【解析】集合{}1,2,4A =，24{|}0B x x x m -=+=．若{}1A B =I ，则1A ∈且1B ∈，可得140m -+=-，解得3m =，即有243013{|}{,}B x x x =+==-，故选C ．（3）【2017年全国Ⅱ，理3，5分】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）（A ）1盏 （B ）3盏 （C ）5盏 （D ）9盏 【答案】B【解析】设这个塔顶层有a 盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a 为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴()71238112712a a -==-，解得3a =，则这个塔顶层有3盏灯，故选B ．（4）【2017年全国Ⅱ，理4，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）（A ）90π （B ）63π （C ）42π （D ）36π 【答案】B【解析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，22131036632V πππ=⋅⨯-⋅⋅⨯=，故选B ． （5）【2017年全国Ⅱ，理5，5分】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）（A ）15- （B ）9- （C ）1 （D ）9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩的可行域如图：2z x y =+经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得()6,3A --，则2z x y =+的最小值是：15-，故选A ．（6）【2017年全国Ⅱ，理6，5分】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 【答案】D【解析】4项工作分成3组，可得：24C 6=，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：336A 36⨯=种，故选D ．（7）【2017年全国Ⅱ，理7，5分】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ） （A ）乙可以知道四人的成绩 （B ）丁可以知道四人的成绩（C ）乙、丁可以知道对方的成绩 （D ）乙、丁可以知道自己的成绩 【答案】D【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，故选D ．（8）【2017年全国Ⅱ，理8，5分】执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S = ( )（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】执行程序框图，有0S =，1k =，1a =-，代入循环，第一次满足循环，1S =-，1a =，2k =；满足条件，第二次满足循环，1S =，1a =-，3k =；满足条件，第三次满足循环，2S =-，1a =，4k =；满足条件，第四次满足循环，2S =，1a =-，5k =；满足条件，第五次满足循环，3S =-，1a =，6k =；满足条件，第六次满足循环，3S =，1a =-，7k =；76≤不成立，退出循环输出，3S =，故选B ．（9）【2017年全国Ⅱ，理9，5分】若双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）（A ）2 （B 3 （C 2 （D 23【答案】A【解析】双曲线()2222:10,0xy C a b a b-=>>的一条渐近线不妨为：0bx ay +=，圆()2242x y +=-的圆心()2,0，半径为：2，双曲线()2222:10,0xy C a b ab-=>>的一条渐近线被圆()2242x y +=-所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：22222213b a b-==+，得：222443c a c -=，可得2e4=，即e 2=，故选A ．（10）【2017年全国Ⅱ，理10，5分】已知直三棱柱111ABC A B C-中，120ABC ∠=o，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）（A ）3 （B ） 15（C ）10（D ）3【答案】C【解析】如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，1BB 和11B C 的中点，则1AB 、1BC 夹角为MN和NP 夹角或其补角（因异面直线所成角为0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，可知1152MN AB ==， 11222NP BC ==；作BC 中点Q ，则PQM ∆为直角三角形；∵1PQ =，12MQ AC =， ABC∆中，由余弦定理得2222AC AB BC AB BC cos ABC =+-⋅⋅∠141221172⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴7AC =，∴7MQ =；在MQP ∆中，2211MP MQ PQ =+=；在 PMN∆中，由余弦定理得222222521110cos 2522MN NP PM MNP MH NP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⋅⨯⨯；又异面直线所成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，∴1AB 与1BC 所成角的余弦值为10，故选C ．（11）【2017年全国Ⅱ，理11，5分】若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）（A ）1- （B ）32e -- （C ）35e - （D ）1 【答案】A【解析】函数()()121x f x x ax e -=+-，得()()()11221x x e f x x a x ax e --'=+++-，2x =-是21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，得：()4320a a -++-=．得1a =-．可得()()()()211212211x x x e e x x e f x x x x ---'=-+--=+-，函数的极值点为：2x =-，1x =，当2x <-或1x >时，()0f x '>函数是增函数，()2,1x ∈-时，函数是减函数，1x =时，函数取得极小值：()()21111111f e -=--=-，故选A ．（12）【2017年全国Ⅱ，理12，5分】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ） （A ）2- （B ）32- （C ）43- （D ）1- 【答案】B【解析】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则()0,3A ，()1,0B -，()1,0C ，设(),P x y ，则(),3PA x y =--u u u r，()1,PB x y =---u u u r ，()1,PC x y =--u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r222233223224x y y x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴当0x =，3y =时，取得最小值33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，故选B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． （13）【2017年全国Ⅱ，理13，5分】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______．【答案】1.96【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，0.02p =，100n =，则()11000.020.98 1.96DX npq np p ==-=⨯⨯=．（14）【2017年全国Ⅱ，理14，5分】函数()23sin 30,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是______．【答案】1【解析】()2233sin 3cos 1cos3cos 44f x x x x x =-=--，令cos x t =且[]0,1t ∈，则()2213314f t t t t ⎛=-+=-+ ⎝⎭，当3t =时，()max1f t =，即()f x 的最大值为1．（15）【2017年全国Ⅱ，理15，5分】等差数列{}na 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑______．【答案】21n n +【解析】等差数列{}na 的前n 项和为nS ，33a =，410S =，()423210S a a =+=，可得22a =，数列的首项为1，公差为1，()12nn n S -=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则11111111121223341nk k Sn n =⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥+⎣⎦∑L122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭．（16）【2017年全国Ⅱ，理16，5分】已知F 是抛物线C ：28y x=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______．【答案】6【解析】抛物线C ：28y x =的焦点()2,0F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：22±，()()2222122206FN FM ==-+±-=．三、解答题：共70分。

3 2⎪⎩2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国 2 卷)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

3 + i 1. 1+ i = （） A. 1+ 2iB. 1- 2iC.2 +iD.2 -i2.设集合 A = {1, 2, 4}， B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1}，则B = （） A ．{1,-3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1, 5}3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1 盏 B ．3 盏 C ．5 盏 D ．9 盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ． 90B ． 63C ． 42D ． 36⎧2x + 3y - 3 ≤ 05. 设 x ， y 满足约束条件⎨2x - 3y + 3 ≥ 0 ，则 z = 2x + y 的最小值是（）⎪ y + 3 ≥ 0 A ． -15 B ． -9 C ．1 D ． 96. 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 则不同的安排方式共有（）A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的 a = -1 ，则输出的 S = （）A ．2B ．3C ．4D ．5x 2 y 2 2 产产产产 a 9. 若双曲线C : a 2 - = 1（ a > 0 ， b > 0 ）的一条渐近线被圆(x - 2) + y 2 = 4 所 b截得的弦长为 2，则C 的离心率为（） 2 3 A ．2B ．C ．D ． 310.已知直三棱柱 AB C - A 1B 1C 1 中， ∠AB C = 120 ， AB = 2 ， B C = CC 1 = 1，则异面直线AB 1 与B C 1 所成角的余弦值为（）K ≤6 产 产S =S +a∙K a = a K=K+1产 产 S产 产S =0,K =1 2产 产 产 产25 30 35 40 45 50 55 60 65 70A.3 B.15 C.10 D.3 255311. 若 x = -2 是函数 f (x ) = (x 2 + ax -1)e x -1`的极值点，则 f (x ) 的极小值为（）A. -1B. -2e -3C. 5e -3D.112. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是（）A. -2B. - 2C. - 4 3D. -1二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

2017年普通高等学校招生全国统一考试（Ⅱ卷)逐题解析理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

【题目1】（2017·新课标全国Ⅱ卷理1）1。

31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念,意在考查学生的运算能力。

【解析】解法一：常规解法()()()()3134221112i i i ii i i i +-+-===-++- 解法二：对十法31i i ++可以拆成两组分式数3111，运算的结果应为a bi +形式，223111211a ⨯+⨯==+（分子十字相乘，分母为底层数字平方和），221131111b ⨯-⨯==-+(分子对位之积差，分母为底层数字平方和）.解法三：分离常数法()()1132121121111i i i i i i i i i+-+++==+=+=-++++ 解法四：参数法()()()()3331311a b ia bi i a bi i i ab a b i a b i -=⎧+=+⇒+=++⇒+=-++⇒⎨+=+⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩故321ii i+=-+ 【知识拓展】复数属于新课标必考点,考复数的四则运算的年份较多，复数考点有五：1。

复数的 几何意义（2016年)；2.复数的四则运算;3。

复数的相等的充要条件；4.复数的分类及共轭复数; 5。

复数的模【题目2】(2017·新课标全国Ⅱ卷理2)2.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =,则B =（ )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【命题意图】本题主要考查一元二次方程的解法及集合的基本运算，以考查考生的运算能力为目 的。

【解析】解法一：常规解法∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，即3m =,∴ {}2430B x x x =-+=故 {}1,3B = 解法二：韦达定理法 ∵ {}1AB = ∴ 1是方程240x x m -+=的一个根，∴ 利用伟大定理可知：114x +=，解得：13x =，故 {}1,3B =解法三：排除法∵集合B 中的元素必是方程方程240x x m -+=的根，∴ 124x x +=，从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意.【知识拓展】集合属于新课标必考点，属于函数范畴，常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义 相结合，集合考点有二:1。

弘德中学高三数学期末备考(五）理科数学一、选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分．１.(5分）（201７•新课标Ⅱ）=（)A.１＋２iﻩＢ．1﹣2i Ｃ.2+i D.2﹣ｉ2.（5分）(２017•新课标Ⅱ）设集合A={１,2，４}，B={ｘ|ｘ2﹣4x＋m=0｝．若A∩Ｂ＝{1｝,则B＝()A．{1,﹣3} B．｛1,0｝ C.{1，3} D.{1,5｝3.(5分）(2０1７•新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座７层塔共挂了38１盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏ﻩＣ.5盏ﻩD．9盏4.(5分)(2017•新课标Ⅱ）如图,网格纸上小正方形的边长为１,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为（)A.９0πＢ.63πC．４2πﻩD.36π5.(5分)（20１7•新课标Ⅱ）设ｘ,y满足约束条件,则z＝2x+y的最小值是（）Ａ.﹣15 Ｂ．﹣９ﻩC.1ﻩD.96．(５分）(20１7•新课标Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成１项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.12种B．１8种ﻩC.2４种Ｄ．36种７．（5分）(２０17•新课标Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（)A.乙可以知道四人的成绩ﻩB．丁可以知道四人的成绩Ｃ．乙、丁可以知道对方的成绩Ｄ.乙、丁可以知道自己的成绩8．（５分)（2０17•新课标Ⅱ）执行如图的程序框图，如果输入的a＝﹣1,则输出的S=（)Ａ.２B．3ﻩC.4ﻩD.5９．（5分)(2017•新课标Ⅱ）若双曲线C:﹣＝1(a>0，ｂ＞0）的一条渐近线被圆(ｘ﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）A．２ﻩB．ﻩC． D.１0.(５分)（20１7•新课标Ⅱ)已知直三棱柱AＢC﹣A1B1C1中，∠ABC=1２0°,AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AＢ1与ＢC1所成角的余弦值为( ）A．ﻩB．ﻩC.ﻩD．11.（5分）（2017•新课标Ⅱ）若ｘ=﹣２是函数ｆ（x）=(x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点,则ｆ(x)的极小值为（）A.﹣1ﻩB．﹣２e﹣3ﻩC.5e﹣３ﻩＤ．１12.(5分）(2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为２的等边三角形，Ｐ为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是（）A．﹣2 B．﹣C．﹣D．﹣1三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共２0分.１3.(5分）（2017•新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取１00次，X表示抽到的二等品件数，则ＤX= ．１４．(5分）(２017•新课标Ⅱ）函数f（x）＝ｓin2x＋cosx﹣(ｘ∈[０，]）的最大值是.。

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国2卷)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 8.执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．59.若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．23310.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）输出S K=K+1a =a S =S +a ∙K 是否输入a S =0,K =1结束K ≤6开始ABCD11.若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.1 12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（） A.2- B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。