高考数学理《热点重点难点专题透析》共82页

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5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ，最小项的值为－ . 6 12
数列与函数、不等式的综合问题，多属于难 度较大的题目，处在试卷的压轴位置，以数列为背景的不等式 恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最 后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明．
2．(2013· 济南市高考模拟考试)数列{an}的前 n 项和为 Sn， a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足 b3＝3，b5＝9. (1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式； bn＋2 1 * (2)设 cn＝ (n∈N )，求证：cn＋1＜cn≤ . 3 an＋2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
中的前 n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时
注意要讨论代数式是否为零．
1．(2013· 江西卷)正项数列{an}满足：a2 n－(2n －1)an－2n＝ 0. (1)求数列{an}的通项公式 an； 1 (2)令 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n＋1an
解析：
第3课时 高考中的数列解答题
数列问题是每年高考的必考内容，涉及选择题、填空 题、解答题等多种题型，分值在17至20分之间．小题多是考 查等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及前n项和公 式等基础知识，大题多是考查数列的定义、数列的求和、数
列的通项、有关数列问题的证明以及数列与函数、不等式、
解析几何等知识的交汇问题． 解答数列问题时，既要熟记有关公式，能够运用基本方 法解决问题，又要善于运用数列的性质进行巧解．此外，还 要善于运用数列中蕴含的一些重要思想方法，例如：函数与
2n－1 1 3 5 所以 Tn＝ ＋ 2＋ 3＋…＋ n ， 2 2 2 2 2n－3 2n－1 1 1 3 T ＝ ＋ ＋…＋ n ＋ n＋1 . 2 n 22 2 3 2 2 两式相减，得 2 2n－1 1 1 2 2 ＋ ＋…＋ n－ n＋1 2 2 2Tn＝2＋22 23 2n－1 3 1 ＝2－ n－1－ n＋1 ， 2 2 2n＋3 所以 Tn＝3－ 2n .

1．“牢记”两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β. ②cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. tan α± tan β ③tan(α± β)＝ . 1∓tan αtan β
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 2tan α ③tan 2α＝ . 1－tan2α
2．“活用”两个定理 (1)正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
π 2cos2θ＋4＝
7 24 17 ＝cos 2θ－sin 2θ＝－25－－25＝25.
(1)三角函数恒等变换的通性通法：从函数 名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化
同角、异名化同名、高次化低次等．
(2)三角函数恒等变换的基本策略 ①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； ②项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α) α＋β α－β ＋cos α；α＝(α－β)＋β，β＝ 2 － 2 ；
(2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论：cos A＝ ，cos B＝ ， 2bc 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C.

主要题型剖析
回归课本与创 新设计
专题训练 试题备选
5.构造等差、等比数列求通项:
三、数列求和的常用方法
1.公式法:利用等差、等比数列的求和公式;
2.错位相减法: 数列 c n的 通项公式cn=an·bn,且 、a n 中 b一n 个是等
差数列,一个是等比数列;
重点知识回顾 3.分组求和法:数列 c n的 通项公式cn=an+bn;
高考命题趋势
主要题型剖析 =0,这与x<0时,f(x)>1矛盾)(舍去)或f(0)=1.
回归课本与创
新设计 专题训练
根据f(an+1)= f ( 得21f(aan )n+1)f(-2-an)=1=f(0),因此an+1-an-2=0.所以{an}为首项
试题备选 为1,公差为2的等差数列.因此a2012=1+2(2012-1)=4023.
高考命题趋势
主要题型剖析 4.裂项相消法:形如an=
回归课本与创
n ,ak1n=
(
n
是b等n 1b差n 1数 b列n )的数列.
新设计
专题训练
试题备选
从近几年新课标高考来看,数列作为高中数学传统内容,基本上是
考查一个小题一个大题,小题主要考查等差、等比数列的基本公
式、基本性质,属于中低档难度性的试题;大题大多考查数列与不
n(a1 an )
Sn= 2
n(n 1)
=na1+ d2
d
d
= 2 n2+(a1-2 )n
Snn=a1 (q 1)
a1(11qqn)
a1 anq 1q
(q
1)
在等差数列{an}中,Sn,S2n 在公比不为—1的等比 -Sn ,S3n-S2n,…成等差数列 数列{an}中,Sn,S2n-Sn ,S3n-

1．区分两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程： 实验、观察 → 概括、推广 — 猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程： 实验、观察 → 联想、类推 — 猜测新的结论
2．规范数学归纳法证明的步骤
(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时结论成立．
(2) 假设 n＝k(k∈N* ，且 k≥n0) 时结论成立，证明 n ＝k ＋ 1 时 结论也成立． 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1) → ＋V → ＋V → ＋V → ＝0 (2)VO－BCD· OA · OB · OC · OD O－ACD O－ABD O－ABC
直接证明与间接证明
x2 (2013· 北京卷)直线 y＝kx＋m(m≠0)与椭圆 W： 4＋ y2＝1 相交于 A，C 两点，O 是坐标原点． (1)当点 B 的坐标为(0,1)， 且四边形 OABC 为菱形时， 求 AC 的长； (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时， 证明： 四边形 OABC 不可能为菱形．
答案：
1nn＋1
(1)12 － 22 ＋ 32 － 42 ＋ … ＋ ( － 1)n ＋ 1n2 ＝ ( － 1)n ＋
2
(2)A
应用合情推理应注意的问题 (1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们 适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．
(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过
2n×1×3×…×(2n－1)．
(2)将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图 形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若 → ＋V → ＋V O 为四面体 ABCD 内一点，则有 VO－BCD· OA · OB O－ACD O－ → → · OC ＋ V · OD ＝0. － ABD O ABC

引言 主要题型剖析 解答题解题 方法训练
(1)问题具体化,即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关
系具体明确,有时可画表格或图形,以便于把一般原理、一般规
律应用到具体的解题过程中去;
(2)问题简单化,即把问题分解为与各相关知识相联系的简单
问题,把复杂的形式转化为简单的形式; (3)问题和谐化,即强调变换问题的条件或结论,使其表现形式 符合数或形内部固有的和谐统一的特点,或者突出所涉及的 各种数学对象之间的知识联系. 3.把握“三转”.
(2)由余弦定理,b =a +c -2accos B
2
2
2
=(a+c) -2ac-2accos B
引言 主要题型剖析 解答题解题 方法训练
2
=p b - - cos B,即p = 1cos B. b b +
2 2
2
2 21 2 1 2
2 3
2
2 1 ,即pb≥2× b,得 2
因为0<cosB<1,得p
6
p≥1,所以 <p< 2
3 ,2),由题设知a+c>2 ∈( ac 2 .2
对于解三角形的考查,在高考中一般需要结合正
弦定理、余弦定理和三角函数的图象及性质进行处理,其中含 参数问题还要涉及到用不等式性质或函数的性质进行求解;此 类问题求解时要注意正确地进行运算,熟练掌握好有关三角函
引言 主要题型剖析 解答题解题 方法训练
引言 主要题型剖析 解答题解题 方法训练
分别考查不同内容,入口宽,对不同层次的考生设置了关卡,多
层次、多角度地对考生的基础知识掌握程度和基本技能以及 知识迁移等能力进行考查,用以区分考生灵活运用知识和方

答案： (1)y＝4x－3 (2)C
利用导数研究函数的单调性
已知函数 f(x)＝(x＋a)2－7bln x＋1，其中 a，b 是 常数且 a≠0. 4 2 (1)当 b＝ a 时，讨论 f(x)的单调性； 7 (2)若 b＝1 时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求 a 的取 值范围．
4 2 解析： (1)∵b＝7a ，∴f(x)＝(x＋a)2－4a2ln x＋1，x∈(0， ＋∞)． 2x2＋2ax－4a2 2x－ax＋2a ∴f′(x)＝ ＝ . x x 当 a＞0 时，f′(x)＞0，得 x＞a 或 x＜－2a，故 f(x)的减区 间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)； 当 a＜0 时，f′(x)＞0，得 x＞－2a 或 x＜a，故 f(x)的减区 间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．
这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区
间内单调递减． (2) 设函数 f(x) 在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的点 x ，都有f(x)＜ f(x0) ，那么 f(x0) 是函数的一个极大值，记作 y 极大值 ＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有f(x)＞f(x0)，那么f(x0)是函
(2)∵b＝1，∴f(x)＝(x＋a)2－7ln x＋1， 7 ∴f′(x)＝2x＋2a－x . 7 ∵当 x＞1 时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x＋2a－ ≥0 在 x x ＞1 时恒成立． 7 即 a≥2x－x 在 x＞1 时恒成立． 7 ∵当 x＞1 时，y＝2x－x 是减函数， 7 5 5 ∴当 x＞1 时，y＝2x－x＜2，∴a≥2.
1．牢记＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a＞0)； 1 (4)(logax)′＝ (a＞0，且 a≠1)． xln a

应注意其自变量和函数值要互换。
【练 3】（全国理）函数 f x x 1 1 x 1 的反函数是（)
A、 y x2 2x 2 x 1 B、 y x2 2x 2 x 1
C、 y x2 2x x 1
D、 y x2 2x x 1
答案：B
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【易错点 4】求反函数与反函数值错位
x1 x2
x1 x2
性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两点 x1, f x1, x2, f x2 连线的斜
率都大于（小于）零。
（3) f x ax b a 0,b 0 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。
【易错点 7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立
定义域优先的原则。
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例 7、试判断函数 f x ax b a 0,b 0 的单调性并给出证明。
x 【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。
特别注意定义 x1 D, x2 D f x1 f x2 f x1 f x2 中的 x1, x2 的任意性。以
4 系而造成定义域范围的扩大。
解析:由于 x 22 y2 1得（x+2）2=1- y 2 ≤1,∴—3≤x≤—1 从而
4
4
x2+y2=-3x2-16x-12=
+ 28 因此当 x=—1 时 x2+y2 有最小值 1， 当 x=- 8 时,x2+y2 有最大值 28 。故 x2+y2
3
3
3
的取值范围是［1, 28 ] 3
的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。
【练 5】判断下列函数的奇偶性：
① f x 4 x2 x2 4 ② f x x 1 1 x ③ f x 1 sin x cos x