朱老师0基础预科(打印版)

§13．2.1 画轴对称图形主备人：朱新慧教学目标知识与技能1．通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换．2．如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．过程与方法经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用．情感、态度与价值观1．鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣．2．初步认识数学和人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识．3．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．教学重点1．轴对称变换的定义．2．能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形．教学难点1．作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．2．利用轴对称进行一些图案设计．教学方法探究法教具准备三角板教学课时 1课时课型新授课教案检查签名：教学活动：学生活动及设计意图请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？′=OA，点A′就是点的对称点B′，C′；教案检查签名：教学活动：学生活动及设计意图§13．2．2 用坐标表示轴对称教学目标知识与技能1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y•轴对称的图形．过程与方法1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，•发展学生数形结合的思维意识．2．在同一坐标系中，•感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．情感、态度与价值观在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．教学重点1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．教学难点用坐标表示轴对称．教学方法：探索发现法．教具准备：坐标纸．教学课时 1课时课型新授课教案检查签名：教学活动：学生活动及设计意图探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于x 轴教师：观察下图中关于x 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变轴对称的每对对称点的坐标有怎样的轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．页练习1、2、3教案检查签名：§13.3 等腰三角形教学目标知识与技能1、说出等腰三角形，总结出等腰三角形性质并会进行有关的计算；2、探索等腰三角形的判定定理，并会进行有关的计算，过程与方法：1、经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性；2、探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．情感态度与价值观通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用教学难点：1、等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．2、能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教学方法探究归纳法．教具准备三角板教学课时 2课时课型新授课教案检查签名：教学活动：§13.3 等腰三角形（第一课时）学生活动及设计意图教师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，个等腰三角形有什么特征吗？教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，教案检查签名： 教学活动：学生活动及设计意图设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，教案检查签名：教学活动：学生活动及设计意图教案检查签名：教学活动：§13.3 等腰三角形（第二课时）学生活动及设计意图教案检查签名：教学活动：学生活动及设计意图 相交于点D ； 就是所求作的等腰三角形.问题：类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C . 求证：AB =AC ．教师：你还有其他证明方法吗？ 能作底边BC 上的中线吗？归纳等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵ 在△ABC 中，∠B =∠C ，∴ AB =AC ．§13.3 等边三角形教学目标知识与技能1、经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．2、探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质 过程与方法1、通过用等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：2、经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理，培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． 情感、态度与价值观1、积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2、在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心． 教学重点1、等边三角形判定定理的发现与证明。

有理数第一章具有相反意义的量1.1学习目标：用正数和负数表示生活中一对具有相反意义量； 1. 从具体情境中，体会引入正数、负数的必要性和合理性； 2..理解有理数的意义，会对有理数进行分类 3.学习重点：.用正数和负数表示一对具有相反意义量学习难点：.负数概念的建立用正数、负数表示具有相反意义的量一：、10.5、125、为了便于区分相反意义的量，我们把其中一种量用表示，例如：我们小学学过的32”-的自然数和分数（或小数）就是正数，而另一种量就用表示，它是在正数前面加上“等大于0 32.、-等就是负数、.例如：3-1、-0.618（读做负）号3 .既不是，也不是（1）0 .）正数和零统称为，负数和零统称为（2（3）通常把水结冰时的温度规定为0℃，那么比水结冰时的温度低5℃应该记作（4）如果在东西向的马路上把出发点记为0，把向东走的路程记做正数，那么走-50m表示点拨：（1）在具有相反意义的一对量中，谁用正数表示，谁用负数表示是人为地规定的.如：向东走100米记为+100米，则向西走80米记作-80米，也可以向东走100米记为-100米，则向西走80米记作+80米.（2）有的时候在正数前面加上“+”（读作正），以强调它是正数.例如正数5写作+5，但通常把“+”号省略不写.（3）判断一个数是正数还是负数，不能简单地认为带有正号的数就是正数，带有负号的数就是负数.（4）0既不是正数，也不是负数，正数都大于0，负数都小于0.典例分析例1、在一次体育课上，体育老师让同学们练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为-1、0、3、4、-2、0、1、2. （1）这8名同学的实际成绩分别是多少？（2）这8名同学中有几个人达标（即踢7个或7个以上）解：（1）这8名同学的实际成绩分别是6个、7个、10个、11个、5个、7个、8个、9个.(2)这8名同学中有6人达标.二：有理数的分类有理数的分类(1)．正整数非负数有理数正分数有理数负整数非正数有理数负分数3-0.37、9、-5.14、-1、78(2)有下列数：3.6、-，其中、0、5整数：分数：(3)下列有理数中，哪些是非负数，哪些是负数？11、2010、0、-、2.7、、-10.3、 2 -0.414、-734点拨）对有理数进行分类时，分类标准不同，分类结果也不同，其中整数与分数相应，正数与负数对应，（1.要特别注意0既不是正数，也不是负数，零是整数，也是有理数 .（即自然数））正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和0统称为非负整数（2 、把下列各数填入相应的大括号内例2131、-、0、-5.32.8 -24、、49、、-（-1）、-5.4 242（1）正整数集合：｛｝（2）负整数集合：｛｝（3）正分数集合：｛｝（4）负分数集合：｛｝（5）非负数集合：｛｝达标检测.吨吨面粉记作50吨，那么运出+200吨面粉记做200、面粉厂运进12、若买进20件衣服记为+20件，那么-30件表示 .3、一艘潜艇在水面下-50米执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则鲨鱼所处高度为米.?0.02kg，若某箱苹果重14.95kg ,则这箱苹果、一种红富士苹果箱上标明苹果质量为15kg 标准.4（填“符合”或“不符合”）5、下列关于0的说法中正确的有（）①0是整数，0是有理数②0既不是正数，也不是负数③0不是整数，是有理数④0是整数，不是自然数A、4个B、3个C、2个D、1个6、某班数学平均成绩为87分，若90分记为+3分，则85分记为（）?）℃，请你写出适合药品保存的温度2、某种药品的说明书上标明保存温度是（720 . 1234、、-、……那么第8、有一列数：-7个数是 .5210179、有一列数：1、2、-3、-4、5、6、--7、-8……，则这列数的第100个和第2005个数分别是相反数与绝对值数轴1.2数轴1.2.1学习目标：能在数轴上标出表示已知有.2. 1. 理解数轴的概念，掌握数轴的三个要素，能正确地画数轴通过理解数轴上的点与有理数之间的关系，渗透数.3.理数的点，能写出数轴上的某些点所表示的有理数.形结合的数学思想学习重点：. 正确画数轴；在数轴上标出表示已知有理数的点；写出数轴上的某些点所表示的有理数学习难点：.数轴上的点与有理数之间的关系一、概念点拨）数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线。

|初一预科班·第6讲·教师版| 1易错点1——二元一次方程定义二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程．判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①含有两个未知数——“二元”；②含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． ③方程两边的代数式都是整式——整式方程； （注意：未知数的系数不能为0.）二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=（0a ≠，0b ≠）二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．任何一个二元一次方程都有无数个解．易错点2——二元一次方程组二元一次方程组：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组．二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程），方程可以超过两个． 如2631x x y =⎧⎨−=⎩也是二元一次方程组．二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．易错点1——解一元一次方程的一般步骤：Ⅰ：代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法． 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y ax b =+的形式；②y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代求解：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解．⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．（建议：此部分知识通过例题讲解，尽量避开字母表示，学生更容易理解）知识点睛第六讲 二元一次方程（组）|初一预科班·第6讲·教师版| 2Ⅱ：加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法． 用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式．加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元； ③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．【例1】 ⑴②，③是二元一次方程；①不是，因为只有一个未知数；④不是，因为未知项最高次数是2；⑤不是，因为有三个未知数；⑥不是，因为未知项的最高次数是2． ⑵由定义知：321m −=，11n −=，所以1m =，2n =．【例2】 ⑴A ；⑵依次将上述解代入方程，使得左右两边等式成立的值即为此方程的解．① 是；② 不是；③ 不是；④ 是，从中可以看到，一个二元一次方程的解不是惟一的，而是有许多组，但每个解都包括两个数值，它们是成对出现的．【例3】 C ⑴； C ⑵； ⑶由题意得1a =，2b =，∴1a b −=． ⑷由题意得 1a =，2b =−， ∴6()1a b +=； 【例4】352x y −=，523yx +=．对一个二元一次方程进行用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的变形，是解二元一次方程组的基础，也可从中探索两个未知数之间的数量的关系． 【例5】 ⑴33814x y x y −=⎧⎨−=⎩"""①② 由①得3x y =+ ③； 把③代入②得3(3)814y y +−= 39814y y +−= 55y −= 1y =−把1y =−代入③得， 2x =所以方程组的解为21x y =⎧⎨=−⎩例题答案|初一预科班·第6讲·教师版| 3⑵21x y =⎧⎨=−⎩ ⑶18565m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩【例6】 B ⑴；⑵ D ；⑶ B ．【例7】⑴ 21x y =⎧⎨=−⎩ ⑵ 11x y =⎧⎨=−⎩ ⑶ 12x y =⎧⎨=⎩【例8】首先要确定消去哪个未知数，根据每个方程中未知数的系数特点，先消去y 较简单，y 系数的绝对值4、6的最小公倍数是12，对两个方程进行适当变形． ①3×，得91248x y +=③；②2×，得101266x y −=④③+④，得19114x =，6x =；把6x =代入①，得36416y ×+=，12y =−故原方程组的解为：612x y =⎧⎪⎨=−⎪⎩用加减法解二元一次方程组时，为使方程组的两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相等， 一般要将方程两边都乘以一个适当的数．观察系数特点，正确选择“适当的数”是解题的关键．（建议教师让学生分别用代入消元法和加减消元法求解）【例9】B【例10】根据题意，分别把32x y =⎧⎨=−⎩和22x y =−⎧⎨=⎩代入方程78cx y −=，得2c =−和11c =−．亮亮把c 看成了11−，而正确的c 是2−．45a b ==，【例11】由二元一次方程的概念可列2413411m n m n −−=⎧⎨+−=⎩，解得21m n =⎧⎨=−⎩，22()()339m n m mn n −++=×=．【例12】D【例13】解法一：设轨道交通日均客运量为x 万人次，则地面公交日均客运量为(469)x −万人次．依题意，得(469)1696x x +−=． 解得 353x =．4694353691343x −=×−=．答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次． 解法二：设轨道交通日均客运量为x 万人次，地面公交日均客运量为y 万人次．依题意，得1696,469.x y y x +=⎧⎨=−⎩解得353,1343.x y =⎧⎨=⎩答：轨道交通日均客运量为353万人次，地面公交日均客运量为1343万人次． （建议教师讲解两种方法）|初一预科班·第6讲·教师版| 4演练1 ⑴根据题意可得：11n −=，11m −=，所以2n =，0m =或2．⑵根据题意可得：20a −≠，50b +≠，11a −=，41b −=，所以2a =−，5b =．演练2 将12x y =−⎧⎨=⎩代入12x ay bx y +=−⎧⎨−=⎩可得0a =，4b =−，那么0(4)4a b +=+−=−．演练3 12x y =⎧⎨=⎩是方程x y n +=的解可得3n =，则原方程为3x y +=，3x y m =⎧⎨=⎩是方程3x y +=的解可得33m +=，0m =．演练4 x ，y 互为相反数，当1x =，则1y =−，代入方程组可得2a =，4b =−．演练5 一般地，未知数的个数多于方程个数时，我们称为不定方程．一般情况下，不定方程的解有无数组，当确定了方程中的某一个未知数的值后，就能从方程中求出另一未知数的值．也可以解释为有无数组相反数．选择C ．演练6 用含x 的代数式表示y ，263y x =−；用含y 的代数式表示x ，392x y =−，当6x =，9，10时，y 分别为2，0，23−．演练7 C ⑴； ⑵34x y =⎧⎨=⎩ 演练8 ⑴21x y =⎧⎨=−⎩ ⑵75x y =⎧⎨=⎩ ⑶612m n =⎧⎨=⎩ ⑷1214x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⑸23x y =⎧⎨=⎩ 演练9 D演练10 将22x y =⎧⎨=−⎩与18x y =−⎧⎨=−⎩代入6ax by +=可得22686a b a b −=⎧⎨−−=⎩，解得21a b =⎧⎨=−⎩．演练11 将32x y =⎧⎨=−⎩，22x y =−⎧⎨=⎩代入2ax by +=可得222322a b a b −+=⎧⎨−=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩ 32x y =⎧⎨=−⎩代入78mx y −=可得2m =−，45(2)40a b m ⋅⋅=××−=−．挑战1 B挑战2 由题意可知21341m n n m ⎧−=⎪⎨−=⎪⎩，且2303(2)0n m −≠⎧⎨−≠⎩（）解方程组（1）得23m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，且23m n ≠⎧⎨≠⎩，综上可知2m =−，3n =−，所以5m n +=−．大比拼答案演练答案|初一预科班·第6讲·教师版| 5教师备选1 已知方程组2564x y ax by +=−⎧⎨−=−⎩和方程组35168x y bx ay −=⎧⎨+=−⎩的解相同，求3(2)a b +的值．【解析】 将256x y +=−和3516x y −=联立，得2563516x y x y +=−⎧⎨−=⎩①②，解得22x y =⎧⎨=−⎩．将22x y =⎧⎨=−⎩代入方程4ax by −=−和8bx ay +=−，得224228a b b a +=−⎧⎨−=−⎩，即24a b a b +=−⎧⎨−=⎩，得13a b =⎧⎨=−⎩． 当1a =，3b =−时，333(2)(23)(1)1a b +=−=−=−解决此题的关键是深刻理解二元一次方程组的解的概念，二元一次方程组的解就是方程组中两个二元一次方程的公共解．（此类型题以后会重点练习）教师备选2 若773x y m n +与2424y x m n −−是同类项，则x 、y 的值分别是（ ） A ．32x y =−⎧⎨=⎩ B ．23x y =⎧⎨=−⎩ C ．23x y =−⎧⎨=⎩ D ．32x y =⎧⎨=−⎩【解析】 B教师备选3 （2008一零一中学）解方程组3()4()4126x y x y x y x y+−−=⎧⎪+−⎨+=⎪⎩ 【解析】 17151115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩教师备选4 解方程组：35724310()4(1)3x y y x x y x y −+⎧+=−⎪⎪⎨−−−⎪=⎪⎩【解析】 44x y =⎧⎨=⎩教师备选5 212225x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩【解析】 310x y z =⎧⎪=−⎨⎪=⎩。

复习部分一元一次方程的应用思维训练学习目标：1、巩固一元一次方程的解法2、通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维能力学习重点：通过列方程解数字问题，调配问题培养学生的思维学习难点：寻找题中的数量关系学习过程：导入新课：前面我们已经体会到方程是刻画现实数量关系的重要工具，通过列方程可以帮我们解决许多的现实问题，今天我们进一步来学习一元一次方程的应用，感受方程的作用，数学的价值。

例题讲解：例1：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新数就比原数大63，求原来的两位数。

例2：三个连续奇数的和为39，求这三个奇数。

思路点拨：例1：要弄清楚数的表示方法：一个三位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这个三位数为100c+10b+a。

设原来的两位数个位上的数为x，则十位上的数为（11-x）,则原来的两位数表示为10（11-x）+X,那么新两位数表示为(10x+11-x)所以10x+11-x-63=10(11-x)+X，解方程得x=9,则原来的两位数为29.例2：两个连续奇数，较大的比较小的大2，偶数是2n表示，奇数用2n+1或2n-1表示。

三个连续奇数设中间的奇数为（2n+1）,则另外两个为(2n+3),(2n-1),所以（2n+1）+（2n+3）+（2n-！）=39解这个方程的n= 6，那么这三个连续奇数为11，13,15.2、展示例3、例4例3：某车间有26个工人，每人平均每天可加工螺栓120个或螺母180个，要使每天加工的螺栓与螺母配套（一个螺栓配两个螺母），应如何分配加工螺栓和螺母的工人？例4：学校组织植树的活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树的人数的2倍，应调往甲、乙处各多少人？思路点拨：例3：注意配套的比例关系，一个螺栓配两个螺母，说明为使每天加工的螺栓和螺母配套，生产的螺母的数量要是螺栓的数量的2倍。

高一数学预科第 1 讲：会合及其运算一、会合的含义与表示：1.会合的表示方法：①②③2．对于会合的元素的特色：（1）确立性：设 A 是一个给定的会合， x 是某一个详细对象，则或许是 A 的元素，或许不是 A 的元素，两种状况必有一种且只有一种建立。

（2）互异性：一个给定会合中的元素，指属于这个会合的互不相同的个体（对象），所以，同一会合中不该重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的次序，但在表示数列之类的特别会合时，往常依据习惯的由小到大的数轴次序书写。

3．会合元素与会合的关系用“属于”和“不属于”表示；（ 1）假如a是会合A的元素，就说 a 属于A，记作a ∈A（ 2）假如a不是会合 A 的元素，就说 a 不属于A，记作 a A （“∈”的张口方向，不可以把a∈ A 颠倒过来写）4．常用数集的记法：（ 1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作 N，N0,1,2,（ 2）正整数集：非负整数集内清除0的集记作 N*或N+N*1,2,3,（ 3）整数集：全体整数的会合记作Z ,Z0， 1， 2，（ 4）有理数集：全体有理数的会合记作Q ,Q整数与分数（5）实数集：全体实数的会合记作 RR数轴上全部点所对应的数5．两个会合相等：假如两个会合所含的元素完好相同，则称这两个会合相等。

6.有限会合、无穷会合、空集的定义例题 1.以下各组对象不可以构成会合的是() A.大于 6 的全部整数 B.高中数学的全部难题C.被 3 除余 2 的全部整数 D.函数 y=1图象上x全部的点练习：以下条件能形成会合的是()A.充足小的负数全体B.喜好足球的人 C.中国的富豪 D. 某企业的全体员工例题 2、用符号或填空：（1）-3N；（ 2）3.14 Q；（3）1Q ；3（4）0Φ?；（5）31R；（ 7）1N +；Q；（ 6）2（ 8）R。

练习：以下结论中，不正确的选项是()A.若 a∈ N ，则 -a NB.若 a∈ Z ，则 a2∈ZC.若 a∈ Q，则｜ a｜∈ QD.若 a∈ R，则3a R 例题 3：用列举法表示以下会合：① { x | x 是15的正约数}②{( x, y) | x{1,2}, y{1,2}}③{( x, y) | x y 2, x2 y4}④ { x | x ( 1)n , n N }⑤{( x, y) | 3x 2 y 16, x N , y N }例题 4：用描绘法表示以下会合：① {1,4,7,10,13} ；②{ 2, 4, 6, 8, 10}③ 1, 1,1, 1讲堂练习：1.以下说法正确的选项是()A.1,2,2,1是 两 个 集 合B. (0,2) 中有两个元素C.x Q | 6N是 有 限 集xD. x Q |且 x 2 x 2 0 是空集2. 将会合x | 3 x 3且x N用列举法表示正确的是()A.3, 2, 1,0,1,2,3B.2, 1,0,1,2 C.0,1,2,3D. 1,2,33. 给出以下 4 个关系式：3 R,0.3 Q,0 N ,00 此中正确的个数是 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4. 以下元素与会合的关系中正确的选项是 ( )A.1NB.2 { x R| x ≥ 3 }C.|-3|N*2Q5. 给出以下四个命题：(1) 很小的实数能够构成会合；(2) 会合{y|y=x 2-1} 与会合 {(x,y)|y=x2-1} 是同一个集合；(3)1,3 ,6,1,0.5这些数字构成的会合2 42有 5 个元素；(4) 会合 {( x , y )| xy ≤ 0, x , y R} 是指第二象限或第四象限内的点的会合 .以上命题中 , 正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.36. 以下会合中表示同一会合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={(2,3)}C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}D.M={1,2},N={2,1}7. 已知 x N, 则方程 x 2 x 2 0 的解集为()A.{x|x=-2}B. {x|x=1 或 x=-2}C. {x|x=1}D.8. 已知会合 M={ m N|8- m N} , 则会合 M 中元素个数是 ( )A.6B.7C.8D.9x y 29. 方程组y的解集用列举法表示为＿＿＿x 5＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .10. 已知会合Ａ＝0,1,x 2 x 则 x 在实数范围内不能取哪些值＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 用符号“ ”或“ ”填空：0_______N ,5 ______N ,4.含有 n 个元素的会合 A 的子集个数为2n ，真子集的个数为nn16 ______N .2122，非空真子集的个数为12. 用列举法表示A={y|y=x 2+1, -2≤ x ≤ 2, x Z} 为讲堂练习：1.用适合的符号填空：_______________ .（ 1）a{a,b,c} (2)0 {x|x 2=0}(3)13. 用描绘法表示会合“方程 2-2x+3=0 的解集”为{x ∈ R|x 2+1=0} (4){0,1}Nx{x|x 2=x}_____________ .(5) {0}(6) {2,1}{x|x 2 -3x+2=0}14. 会合 {x|x>3}与会合 {t|t>3} 能否表示同一集2.写出会合 A={1,2,3,4} 的全部子集3.判断以下两个会合的关系合？ ________（ 1） A={1,2,4}B={x|x 是 8 的约数 } （ 2）A={x|x=3k,k ∈ N} ， B={x|x=6z,z ∈ N}15. 已知会合 P={x|2<x<a , x N} , 已知会合 P 中恰有 3（ 3）A={x|x 是 4 和 10 的公倍数， x ∈ N +} ，B={x|x=20m,m ∈ N +}个元素 , 则整数 a=_________ .4. 已知会合 A= ｛ 2， 8， a ｝ , B= ｛ 2， a 2-3a+4｝ ,又二、会合间的基本关系A B ，求出 a 之值1：察看下边几个例子，你能发现两个会合间有5. 已知会合 A=｛ x|-3 ≤ x ≤ 4｝B=｛ x|2m-1 ≤ x ≤ m+1｝, 什么关系吗？当 B A 时，求出 m 之取值范围（1） A {1,2,3}, B {1,2,3,4,5} ；三、会合的基本运算（ 2）设 A 为某中学高一 (3) 班男生的全体组 1 并集：成的会合， B 为这个班学生的全体构成的会合；已知会合 A={1,2,3} ， B={2,4,6} ， C={1,2,3,4,5,6}（3）设一般地，由全部属于会合A 或属于会合 A 的元素 C { x | x 是两条边相等的三角形 }, 构成的会合， 称为会合 A 与B 的并集， 记作 A ∪ B D { x | x 是等腰三角形 };并 B ），即 A ∪ B={x|x ∈ A ，或 x ∈ B}（读作： A （ 4） E {2,4,6}, F {6,4,2} .一般地，对于两个会合 A ， B ，假如会合 A 中随意一个元素都是会合 B 中的元素，我们就说这两个会合有包括关系， 称会合 A 为 B 的子集 . 记作：AB (或B A) 读作：A 包括于 B(或 B 包括A). 假如两个会合所含的元素完好相同，那么我们称这两个会合相等 .2.真子集：假如会合A B ，但存在元素x ∈ B ，且x?A ，我们称会合 A 是会合 B 的真子集，记作 A B（或BA ）3. 空集：我们把不含任何元素的会合叫做空集，记为 ，并规定空集是任何会合的子集用 Venn 图表示：说明：定义中要注意“全部”和“或”这两个条件。

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教学进度安排如下：￥七年级上册共有四章，分13次上完，第12次综合复习，第13次考试，第14次试卷简评和50分钟新课。

（每次内容都有120分钟的题量）第一次正数和负数、有理数、数轴、相反数、绝对值第二次有理数的加减法、有理数的乘法、除法及乘方运算第三次科学记数法、近似数、有效数字及有理数的章节复习第四次整式第五次整式的加减第六次一元一次方程和等式的性质第七次一元一次方程解法)第八次希望杯全国联赛试题选讲第九次列方程解应用题第十次一元一次方程的章节复习第十一次图形的认识初步，角的度量与比较第十二次余角和补角第十三次复习四章知识（40分钟），期末考试（40分钟）第十四次列方程解应用题（40分钟新课）试卷讲评（35分钟）附录：2011年第二十二届希望杯数学竞赛第一试试题|说明：1. 老师在教学的过程中，根据学生的具体情况和教学进度灵活的处理资料，要求讲清讲透，不能盲目内容，绝大部分资料按120分钟／次编排，老师可以根据学生实际从中选取80分钟内容讲授，余下的部分作为同学们自由练习用。

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第一讲 正数和负数、有理数、数轴、相反数、绝对值一、课标要求 $通过本节课的学习，你将对有理数有进一步的认识，更好地理解正数、负数、有理数的分类、数轴、相反数、倒数、绝对值的概念，并能运用相关的知识解决一些实际问题二、知识疏理 1、温故知新（1） 有理数的分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零自然数负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 （2） 什么叫做数轴数轴的三要素是 、 、（3） 什么叫做相反数相反数具有什么性质相反数等于它本身的数是： . （4） 什么叫做倒数倒数具有什么性质零 （添有或没有）倒数，倒数等于它本身的数是 . （5） ！ （6） 什么叫做绝对值绝对值具有什么性质如何去绝对值的符号绝对值等于它本身的数是： . 几何意义表述：一个数的绝对值就是表示这个数的对应点离开原点的距离.（7） 有理数大小的比较 ①、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上表示的两个数，右边的点所表示的 数总是比左边的点所表示的数大． ②、正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小2、教材解读 1、 521,76,106,14.3,732.1,34,5.2,0,1----+-中，正数有 ，负数有 。

高等数学少数民族预科教材pdf 在现代社会中，数学已经成为了一门不可或缺的学科。

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考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集 合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点． 若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥． 但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”． 实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子： 例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子： 例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ； 我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =． 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或 或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】 求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 （以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】 下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线． 不加限制时，定义域为R ，值域为R ． 若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入． 若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线． 进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <． 若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限： 如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，； 【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 优点 简单、直观 严谨 直观 缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则 函数的表示方法 列表法解析法图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数不直观 不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】 求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为 ．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（ ）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】 已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】 函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-， 当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠， 当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增． 【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单 调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是 ．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数 增函数 减函数 减函数 ()u g x = 增函数 减函数 增函数 减函数 [()]y f g x = 增函数 减函数 减函数 增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】 判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（ ）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） 实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______． 考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。