数图复习总结

图论期末总结一、引言图论是一门研究图和网络结构的数学学科。

图论不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在计算机科学、物理学、化学、生物学等交叉学科中也扮演着重要的角色。

在本学期的图论课程中，我系统地学习了图论的基本概念、算法和应用，对图论的知识有了更深入的理解和认识。

在本文中，我将对本学期学习的图论知识进行总结和归纳。

二、基本概念1. 图的定义与表示：图是由一组顶点和一组边组成的数学模型。

在图中，顶点表示图中的实体，边表示顶点之间的关系。

图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。

2. 图的类型：图可以分为有向图和无向图、加权图和非加权图、简单图和多重图等。

有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。

加权图的边带有权重，非加权图的边没有权重。

简单图没有自环和平行边，多重图可以有自环和平行边。

3. 图的基本术语：顶点的度数是指与该顶点相关联的边的数量。

入度是有向图中指向该顶点的边的数量，出度是有向图中从该顶点发出的边的数量。

路径是由边连接的一系列顶点，路径的长度是指路径上边的数量。

连通图是指从一个顶点到任意其他顶点都存在路径。

三、图的算法1. 图的遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是两种常用的图遍历算法。

DFS从一个顶点出发，探索所有可能的路径，直到无法继续深入为止。

BFS从一个顶点开始，逐层探索图中的其他顶点，直到所有顶点都被访问过为止。

2. 最短路径算法：最短路径算法用来计算图中两个顶点之间的最短路径。

迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法是两种常用的最短路径算法。

迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过每次选择到某个顶点的最短路径来逐步扩展最短路径树。

弗洛伊德算法适用于有负权边的图，通过每次更新两个顶点之间的最短路径来逐步求解最短路径。

3. 最小生成树算法：最小生成树算法用于找到连接图中所有顶点的最小代价树。

克鲁斯卡尔算法和普林姆算法是两种常用的最小生成树算法。

克鲁斯卡尔算法通过每次选择代价最小的边来逐步扩展最小生成树。

数图形的方法数图形是数学中的一个重要内容，它不仅能够帮助我们理解和描述各种形状，还能够帮助我们解决实际生活中的问题。

在数图形的学习过程中，我们需要掌握一些方法和技巧，下面我将为大家介绍数图形的一些常用方法。

首先，我们来说说数图形的基本概念。

图形是由点和线构成的，而数图形就是利用数学方法对图形进行描述和分析。

在数图形的学习中，我们经常会遇到计算图形的周长、面积、体积等问题。

因此，掌握好数图形的方法对我们解决这些问题至关重要。

其次，我们要了解数图形的分类。

常见的图形包括线段、直线、射线、角、多边形等。

针对不同的图形，我们需要采用不同的方法进行计算和分析。

比如，对于多边形，我们可以利用边长和高度来计算它的面积；对于圆形，我们需要掌握计算圆的周长和面积的方法。

另外，我们需要掌握一些常用的计算方法。

比如，计算多边形的面积时，我们可以利用分割成简单图形来计算；计算圆的面积时，我们可以利用πr²的公式来计算。

此外，我们还可以利用相似图形的性质来简化计算，这些方法都能够帮助我们更快更准确地解决数图形的问题。

除了基本的计算方法，我们还需要了解一些常见图形的特性和性质。

比如，正方形的对角线相等且垂直平分；等边三角形的三条边相等；圆的直径是圆周长的两倍等等。

掌握这些性质可以帮助我们更好地理解图形，从而更好地进行计算和分析。

最后，我们需要不断练习和巩固所学的知识。

数图形是一个需要不断实践和总结的过程，只有通过大量的练习和实际应用，我们才能真正掌握好数图形的方法。

因此，我们要多做一些相关的练习题，多思考一些实际问题，不断提高自己的数图形能力。

总之，数图形是数学中的一个重要内容，它不仅能够帮助我们理解和描述各种形状，还能够帮助我们解决实际生活中的问题。

通过掌握好数图形的方法，我们可以更好地进行计算和分析，从而更好地应用数学知识解决实际问题。

希望大家能够通过不懈的努力，掌握好数图形的方法，提高自己的数学能力。

数字测图原理与方法一、名词解释1、大地水准面：把一个假象的、与静止的平均海水面重合并向陆地延伸且包围整个地球的特定重力等位面称为大地水准面。

2、视准轴：物镜光心与十字丝交点的连线称为视准轴。

3、系统误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值大小都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。

4、偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。

5、方位角：由直线一端的基本方向起，顺时针方向至该直线的水平角度称为该直线的方位角。

方位角的取值范围是0°~360°。

6、危险圆：待定点P 不能位于由已知点A 、B 、C 所决定的外接圆的圆周上，否则P 点将不能唯一确定，故称此外接圆为后方交会的危险圆。

7、全站仪：全站仪是全站型电子速测仪的简称，它集电子经纬仪、光电测距仪和微处理器于一体。

8、等高距：地形图上相邻两高程不同的等高线之间的高差，称为等高距。

9、数字测图系统：是以计算机为核心，在硬件和软件的支持下，对地形空间数据进行数据采集、输入、处理、输出及管理的测绘系统，它包括硬件和软件两个部分。

10、数字地面模型（DTM ）：是表示地面起伏形态和地表景观的一系列离散点或规则点的坐标数值集合的总称。

11、数字高程模型（DEM ）：数字高程模型DEM ，是以数字的形式按一定结构组织在一起，表示实际地形特征空间分布的模型，是定义在x 、y 域离散点（规则或不规则）上以高程表达地面起伏形态的数字集合。

二、简答题1、实际测绘工作中，一般采用的基准面和基准线各是什么？大地水准面和铅垂线是测量外业所依据的基准面和基准线；参考椭球面和法线是测量内业计算的基准面和基准线。

2、角度观测的主要误差来源（种类）有哪些？1）仪器误差：（1）水平度盘偏心差（2）视准轴误差（3）横轴倾斜误差（4）竖轴倾斜误差；2）仪器对中误差；3）目标偏心误差；4）照准误差与读数误差；5）外界条件的影响。

苏教版小学数学“图形与几何”知识总结一、平面图形（一）线的认识线之间的位置关系1、平行：线与线之间没有交点2、相交：线与线之间有交点结论：两点之间线段最短（一）角的认识1、锐角：小于90°的角2、直角：等于90°的角3、钝角：大于90°的角4、平角：等于180°的角5、周角：等于360°的角数角个数的基本方法：总数=1+2+3+...+（射线数-1）（二）平面图形1、正方形：四个角都是直角且每条边长度相等的四边形2、长方形：四个角都是直角的四边形3、三角形（1）定义：三条线段首尾相接围成的图形（2）三边关系：三角形任意两条边长度之和大于第三边长度；任意两条边长度只差小于第三边长度（3）内角和：三角形内角和为180°（4）特征：三角形具有稳定性（5）等腰三角形：有两条边相等的三角形（两个底角相等）（6）等边三角形：三条边都相等的三角形（每个内角为60°）（1）锐角三角形：三个角都是锐角的三角形直角三角形：有一个角是直角的三角形钝角三角形：有一个角是钝角的三角形1、平行四边形（1）定义：两组对边分别平行的四边形（2）特征：两组对边平行且相等（3）正方形和长方形是特殊的平行四边形（4）特征：不稳定性，易变形（5）长方形框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小．2、梯形：有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形等腰梯形：两条腰相等的梯形（底角相等）3、圆圆、圆环、扇形二、平面图形的周长与面积周长：封闭图形一周的长度面积：物体表面或围成平面的大小三、立体图形四、图形的位置与变换（一）图形的位置1、找准参照点，用上、下、前、后、左、右描述物体的位置；2、找准参照点，用东、南、西、北描述物体的方向；3、用数对表示物体的具体位置，要注意分清这两个数分别表示的意义。

（列，行或长，宽表示二维空间）4、比例尺的知识（二）图形的变换1、轴对称图形（1）特征如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。

数学图形知识点总结在数学中，图形是一种基本的概念，它们可以在各种不同的数学问题中起到非常重要的作用。

图形可以帮助我们理解空间中的关系，解决实际生活和工程问题，以及辅助我们进行逻辑推理和证明。

在本文中，我们将对数学图形的一些重要知识点进行总结。

1. 点、线、面在数学中，最基本的图形包括点、线、面。

点是一个没有大小和形状的对象，它只有位置。

线是由一组点组成的集合，它们之间有方向关系，并且不断延伸。

面是由一条或多条线围成的区域，它具有大小和形状。

点、线、面这三种基本图形构成了整个几何学的基础。

2. 直线和射线直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点，并且延伸至无穷远。

直线上的任意两点可以确定一条直线。

射线是由一个起点和在这个起点不断延伸的线段组成。

射线有一个起点和一个方向，同一条射线延伸的方向可以是任意的。

3. 角角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。

这个共享的端点叫做角的顶点。

角可以根据角度的大小分为锐角、钝角、直角和平角。

锐角是小于90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，直角是恰好等于90度的角，平角是恰好等于180度的角。

角的大小可以用角度来表示，也可以用弧度来表示。

4. 多边形多边形是由若干条线段组成的图形，其中相邻的线段之间没有交叉。

多边形有三条或三条以上的边和顶点，这些边的长度和角的数目可以各不相等。

多边形的种类有很多，常见的有三角形、四边形、五边形、六边形等。

5. 三角形三角形是最简单的多边形，它由三条线段组成。

三角形的三条边和三个角都有各自的名称，如边a、b、c和角A、B、C。

三角形可以根据边的长度和角的大小来分类，有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

6. 四边形四边形是由四条线段组成的图形，它包括了各种各样的图形，如平行四边形、菱形、长方形、正方形等。

四边形的性质和分类非常丰富，它们可以根据对角线、边的长短、对角线是否相等等来分类。

7. 圆圆是一个由一个固定点到空间上所有离这个点一定距离的点的集合。

图形中的排列规律重难点题型汇编【举一反三】【考点1 图形中的周期规律】【方法点拨】观察题目中图形的变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想进行求解.【例1】（2019秋•义乌市校级月考）依次观察如图三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2019秋•莒县期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的右下角D．第505个正方形的左上角【变式1-2】（2019春•海安市校级月考）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2018cm时停下，则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C【变式1-3】（2019秋•工业园区期末）如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D →A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第2018步到达（）A．A点B．C点C．E点D．F点【考点2 图形中的等差规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，会发现后一项与前一项的差均相等，即为等差规律，应用公式：第n个图形的个数=第一个图形的个数+差数×（n-1）. 【例2】（2019春•南岸区校级期中）用黑白两种颜色的正方形纸片，按白色纸片数逐渐加1并按下图的规律拼成一列图案，则第100个图案中黑色正方形纸片的张数是（）A．300B．301C．302D．303【变式2-1】（2018秋•南山区校级期中）用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（）枚．A．6053B．6054C．6056D．6060【变式2-2】（2018秋•宁都县期中）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．15B．17C．21D．27【变式2-3】（2018秋•万州区期中）如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照此规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（）A．36B．38C．42D．50【考点3 图形中的乘方规律】【方法点拨】观察题目中图形的特点，出现1,4,9,16,25.....正方形的图阵，即可联想到利用乘方来表示.【例3】（2019春•江岸区校级期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42B．43C．56D．57【变式3-1】（2019春•南岸区校级期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要（）个基本图形．A．402B．404C．406D．408【变式3-2】（2018秋•亭湖区校级期中）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（）A．119B．121C．140D．142【变式3-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，们一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中共有6个小黑点，第②个图形中有10个黑点，第③个图形中一共有16个小黑点，…，按此规律，则第⑩个图形中小黑点的个数是（）A．112B．114C．116D．118【考点4 图形中的自然数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例4】（2019秋•青山区校级月考）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式4-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14B．20C．24D．27【变式4-2】（2019春•北碚区校级期中）如图图形是用同样大小的铜币摆放的四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（）A．29B．36C．37D．46【变式4-3】（2018秋•市南区校级期中）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第③个图形中有18根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（）A．63B．60C．56D．45【考点5 图形中的奇数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例5】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，将等边三角形按一定规律排列，第①个图形中有1个小等边三角形，第②个图形中有4个小等边三角形，按此规律，则第⑥个图形中有（）个小等边三角形．A．36个B．49个C．35个D．48个【变式5-1】（2018秋•三台县期中）如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，黑点的个数有（）A．4n﹣1B．n2﹣1C．n2+2D．2n+1【变式5-2】（2019•云南模拟）如图用棋子摆成三角形的图案，第（1）个三角形中有4枚棋子，第（2）个三角形中有9枚棋子，第（3）个三形中有16枚棋了，…，按照这样的规律摆下去第（）个三角形中有2025枚棋子．A．42B．43C．44D．45【变式5-3】（2019•沙坪坝区校级一模）观察下列图形，①中有1个圆，②中有5个圆，③中有13个圆……，若依此规律，则第⑥个图形中圆的个数为（）A．25B．61C．41D．65【考点6 图形中的组合规律】【方法点拨】此类问题是将上述两种规律结合在一起，需将图形进行拆分，找出各个部分的规律进行组合即可.【例6】（2019•长寿区模拟）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10 个图形中●的个数为（）A．50B．53C．64D．76【变式6-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑧个图形中黑点的个数是（）A．29B．38C．48D．59【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期中）下列图形都是由同样大小的●和〇按照一定规律组成的，其中第①个图中共有6个●，第②个图中共有13个●，第③个图中共有25个●，第④个图中共有42个●，…，照此规律排列下去，则第⑦个图中●的个数为（）A．91B．112C．123D．160【变式6-3】（2019春•北碚区校级月考）下列图形都是由同样大小的黑色圆点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有6个黑色圆点第②个图形中一共有15个黑色圆点，第③个图形中一共有28个黑色圆点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中黑色圆点的个数为（）A．66B．91C．120D．135图形中的排列规律重难点题型汇编【举一反三】【考点1 图形中的周期规律】【方法点拨】观察题目中图形的变化特点，找到重合点即为一个周期，利用数形结合思想进行求解.【例1】（2019秋•义乌市校级月考）依次观察如图三个图形，并判断照此规律从左到右第2019个图形是（）A．B．C．D．【分析】根据题目中给出的图形，可知每五个一个循环，空白的大三角形按照顺时针旋转，从而可以得到从左到右第2019个图形是选项中的哪个图形，本题得以解决．【答案】解：由图可知，每连续的五个为一组，也就是五个一循环，2019÷5＝403…4，故选：A．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．【变式1-1】（2019秋•莒县期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，推测数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的右下角D．第505个正方形的左上角【分析】设第n个正方形中标记的最大的数为a n，观察给定图形，可找出规律“a n＝4n”，依此规律即可得出结论．【答案】解：设第n个正方形中标记的最大的数为a n．观察给定正方形，可得出：每个正方形有4个数，即a n＝4n．∵2019＝504×4+3，∴数2019应标在第505个正方形左上角．故选：D．【点睛】本题考查了规律型中的图形的变化类，解题的关键是找出变换规律a n＝4n．本题属于基础题，难度不大，需找出2019在第几个正方形上．【变式1-2】（2019春•海安市校级月考）如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2018cm时停下，则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C【分析】观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2018除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．【答案】解：∵两个菱形的边长都为1cm，∴从A开始移动8cm后回到点A，∵2018÷8＝252余2，∴移动2018cm为第253个循环组的第2cm，在点C处．故选：D．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．【变式1-3】（2019秋•工业园区期末）如图，物体从A点出发，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D →A→E→F→G→A→B……的顺序循环运动，则第2018步到达（）A．A点B．C点C．E点D．F点【分析】先求出由A点开始按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的顺序循环运动走一圈所走的步数，在用2018除以此步数即可．【答案】解：∵如图物体从点A出发，按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B →…的顺序循环运动，此时一个循环为8步，∴2018÷8＝252…2．∴当物体走到第252圈后再走2步正好到达C点．故选：B．【点睛】本题考查的是图形的变化类这一知识点，解答此题的关键是根据题意得出物体走一个循环的步数，找出规律即可轻松作答．【考点2 图形中的等差规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，会发现后一项与前一项的差均相等，即为等差规律，应用公式：第n个图形的个数=第一个图形的个数+差数×（n-1）. 【例2】（2019春•南岸区校级期中）用黑白两种颜色的正方形纸片，按白色纸片数逐渐加1并按下图的规律拼成一列图案，则第100个图案中黑色正方形纸片的张数是（）A．300B．301C．302D．303【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个，根据其中的规律，计算出第100个图案的黑纸片个数即可．【答案】解：第1个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张，第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，…第n个图案中有黑色纸片：（3n+1）张，∴第100个图案中有黑纸片301张．故选：B．【点睛】本题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系，难度适中．【变式2-1】（2018秋•南山区校级期中）用棋子按下面的规律摆图形，则摆第2018个图形需要围棋子（）枚．A．6053B．6054C．6056D．6060【分析】观察图形可知：第1个图形需要围棋子的枚数＝5；第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3；第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2；第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，…，则第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1），然后把n＝2018代入计算即可．【答案】解：∵第1个图形需要围棋子的枚数＝5，第2个图形需要围棋子的枚数＝5+3，第3个图形需要围棋子的枚数＝5+3×2，第4个图形需要围棋子的枚数＝5+3×3，…，∴第n个图形需要围棋子的枚数＝5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第2018个图形需要围棋子的枚数＝3×2018+2＝6056，故选：C．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出一般的运算规律解决问题．【变式2-2】（2018秋•宁都县期中）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑩个图中黑色正方形纸片的张数为（）A．15B．17C．21D．27【分析】仔细观察图形知道第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，由此得到规律求得第⑩个图形中正方形的个数即可．【答案】解：观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5＝3+2×1个，第三个图形有7＝3+2×2个，…故第⑩个图形有3+2×9＝21（个），故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．【变式2-3】（2018秋•万州区期中）如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照此规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第10个“上”字需用多少枚棋子（）A．36B．38C．42D．50【分析】由图可得，第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；…进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；由此求得问题答案．【答案】解：第1个“上”字中的棋子个数是6＝4+2；第2个“上”字中的棋子个数是10＝4×2+2；第3个“上”字中的棋子个数是14＝4×3+2；…第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）；所以第10个“上”字需用棋子的数量是4×10+2＝42个．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．【考点3 图形中的乘方规律】【方法点拨】观察题目中图形的特点，出现1,4,9,16,25.....正方形的图阵，即可联想到利用乘方来表示.【例3】（2019春•江岸区校级期中）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中菱形的个数为（）A．42B．43C．56D．57【分析】设第n个图形中一共有a n个菱形（n为正整数），根据各图形中菱形个数的变化可得出变化规律“a n＝n2+n+1（n为正整数）”，再代入n＝6即可求出结论．【答案】解：设第n个图形中一共有a n个菱形（n为正整数），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴a n＝n2+n+1（n为正整数），∴a6＝62+7＝43．故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中菱形个数的变化，找出变化规律“a n＝n2+n+1（n为正整数）”是解题的关键．【变式3-1】（2019春•南岸区校级期中）如图是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要（）个基本图形．A．402B．404C．406D．408【分析】仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．【答案】解：第1个图案由12+4＝5个基础图形组成，第2个图案由22+4＝8个基础图形组成，……，如果按照以下规律继续下去，可以发现：第20个图案需要202+4＝404个基本图形．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，难度不大．【变式3-2】（2018秋•亭湖区校级期中）下面是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，则第10个小房子用了____颗石子．（）A．119B．121C．140D．142【分析】根据图示，可得：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，据此求出第10个小房子用了多少颗石子即可．【答案】解：第1个小房子用的石子的数量是：1+22，第2个小房子用的石子的数量是：3+32，第3个小房子用的石子的数量是：5+42，…，∴第n个小房子用的石子的数量是：2n﹣1+（n+1）2，∴第10个小房子用的石子的数量是：19+112＝19+121＝140．故选：C．【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．【变式3-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，们一个图形都是由一些黑点按一定的规律排列组成的，其中第①个图形中共有6个小黑点，第②个图形中有10个黑点，第③个图形中一共有16个小黑点，…，按此规律，则第⑩个图形中小黑点的个数是（）A．112B．114C．116D．118【分析】第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，那么可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．【答案】解：第①个图形中有1×1+1+4＝6个黑点；第②个图形中有2×2+2+4＝10个黑点；第③个图形中有3×3+3+4＝16个黑点，第④个图形中有4×4+4+4＝24个黑点，可得第n个图形中有n•n+n+4个黑点．把n＝10代入可得：10×10+10+4＝114，故选：B．【点睛】本题考查规律型：图形的变化类；根据图形的排列规律正确列式是解决本题的关键．【考点4 图形中的自然数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例4】（2019秋•青山区校级月考）如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……则下列说法：①10是三角点阵中前4行的点数和；②300是三角点阵中前24行的点数和；③前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据题意和题目中点的个数的变化，可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．【答案】解：当n＝4时，三角点阵中的点数之和是：1+2+3+4＝10，故①正确，当1+2+…+n＝300时，即，得n＝24，故②正确，当n＝19时，三角点阵中的点数之和为＝190，∵190+10＝200，∴前n个点数和为200的点，在这个三角点阵中位于第20行第10个点，故③正确；故选：D．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中点的个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式4-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14B．20C．24D．27【分析】根据已知图形得出第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，据此求解可得．【答案】解：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3＝5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4＝9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝个，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为2+3+4+5+6+7＝27个．故选：D．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．【变式4-2】（2019春•北碚区校级期中）如图图形是用同样大小的铜币摆放的四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（）A．29B．36C．37D．46【分析】找出相邻两个图形铜币的数目的差，从而可发现其中的规律，于是可求得问题的答案．【答案】解：n＝1时，铜币个数＝1+1＝2；当n＝2时，铜币个数＝1+1+2＝4；当n＝3时，铜币个数＝1+1+2+3＝7；当n＝4时，铜币个数＝1+1+2+3+4＝11；…第n个图案，铜币个数＝1+1+2+3+4+…+n＝n（n+1）+1，当n＝8时，×8×9+1＝37，故选：C．【点睛】本题主要考查的是图形的变化规律，找出其中的规律是解题的关键．【变式4-3】（2018秋•市南区校级期中）下列是用火柴棒拼成的一组图形，第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第③个图形中有18根火柴棒，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中火柴棒的根数是（）A．63B．60C．56D．45【分析】由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【答案】解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；∴第⑥个图形中火柴棒根数是3×（1+2+3+4+5+6）＝63，故选：A．【点睛】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数．【考点5 图形中的奇数求和规律】【方法点拨】解此类问题的关键在于将图形的规律转化为数字规律，即将图形的个数转化为数字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首项不为1，需将公式进行适当变形.【例5】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，将等边三角形按一定规律排列，第①个图形中有1个小等边三角形，第②个图形中有4个小等边三角形，按此规律，则第⑥个图形中有（）个小等边三角形．A．36个B．49个C．35个D．48个【分析】根据已知得出第n个图形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2个三角形，据此代入计算可得．【答案】解：第①个图有1＝12个三角形，第②个图形有1+3＝4＝22个三角形，第③个图形有1+3+5＝9＝32个三角形，…第⑥个图形有62＝36个三角形，故选：A．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【变式5-1】（2018秋•三台县期中）如图是由一些黑点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，黑点的个数有（）A．4n﹣1B．n2﹣1C．n2+2D．2n+1【分析】分析数据可得：第①个图形中点的个数为3；第②个图形中点的个数为3+3；第③个图形中点的个数为3+3+5；第④个图形中点的个数为3+3+5+7；…则知第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）．据此可以求得答案．【答案】解：第①个图形中点的个数为3；第②个图形中点的个数为3+3；第③个图形中点的个数为3+3+5；第④个图形中点的个数为3+3+5+7；…第n个图形中小圆的个数为3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．故选：C．【点睛】此题属于图形与数字结合规律的题目．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【变式5-2】（2019•云南模拟）如图用棋子摆成三角形的图案，第（1）个三角形中有4枚棋子，第（2）个三角形中有9枚棋子，第（3）个三形中有16枚棋了，…，按照这样的规律摆下去第（）个三角形中有2025枚棋子．A．42B．43C．44D．45【分析】首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．【答案】解：第1个三角形图案：1+3＝4＝22，第2个三角形图案：1+3+5＝9＝32，第3个三角形图案：1+3+5+7＝16＝42，第4个三角形图案：1+3+5+7+9＝16+9＝25＝52，第5个三角形图案：1+3+5+7+9+11＝25+11＝36，则第n个三角形图案：1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2，令（n+1）2＝2025，解得：n＝44或n＝﹣46（舍去）故选：C．【点睛】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论．【变式5-3】（2019•沙坪坝区校级一模）观察下列图形，①中有1个圆，②中有5个圆，③中有13个圆……，若依此规律，则第⑥个图形中圆的个数为（）A．25B．61C．41D．65【分析】仔细观察图形，找到图形的变化规律，利用规律解得即可．【答案】解：第一个图形有1个圆，第二个图形有1+3+1＝5个圆，第三个图形有1+3+5+3+1＝13个圆，第四个图形有1+3+5+7+5+3+1＝25个圆，…第六个图形有1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1＝61个圆，故选：B．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．【考点6 图形中的组合规律】【方法点拨】此类问题是将上述两种规律结合在一起，需将图形进行拆分，找出各个部分的规律进行组合即可.【例6】（2019•长寿区模拟）下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10 个图形中●的个数为（）A．50B．53C．64D．76【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），据此可得．【答案】解：因为图①中点的个数为4＝22﹣0，图②中点的个数为8＝32﹣1，图③中点的个数为13＝42﹣（1+2），图④中点的个数为19＝52﹣（1+2+3），……所以图⑨中点的个数为102﹣（1+2+3+…+8）＝100﹣36＝64，故选：C．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1）．【变式6-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）下列图形都是由同样大小的黑点按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有3个黑点，第②个图形中一共有8个黑点，第③个图形中一共有14个黑点，……，则第⑧个图形中黑点的个数是（）。

图论部分第七章、图的基本概念7. 1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积：{(x, y) |定义无向图Q<K£>,其中(1) 顶点集$0,元素称为顶点(2) 边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{(旳，匕)，(匕，匕),(迫，方)，(乃，方)，(迫，％), (s, %),(必，％)} 定艾有向图E>,其中(1) $同无向图的顶点集，元素也称为顶点(2) 边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图, 试写出它的！/和F注意：图的数学定艾与图形表示，在同构(待叙)的意狡下是一一对应的通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集.77阶图：”个顶点的图有限图：K F都是有穷集合的图零图：吕0平凡图：1阶零图空图：^=0顶点和边的关联与相邻：定狡设e*,v)是无向图G^<V f E>的一条边，称v…匕为e*的端点，©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图=<V, E>, v if K e“e《E,若©，匕)e£；则称乙匕相邻；若％ &至少有一个公共端点，则称6, 8/相邻.对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.邻域和关联集邻域和关联集设无向图^veV(G)”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦}1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V)丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}设有向图空厲蚀)1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T1的邻域E(v)=“e)u巧(巧'的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v}顶点的度数设G=<V,E>为无向图，keKy的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e HG的最小度&Q=min{d(访| keH例如〃(％)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点，g是悬挂边,设^=<K £>为有向图，reKi/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力3) ：#作为边的终点次数之和1/的度数(度)〃3)：#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v)。

图形的计数知识点总结图形的计数是数学中的一个重要内容，它涉及到几何形状的种类、性质以及应用，是数学学习的一个基础知识点。

在初中阶段，学生开始系统学习图形的知识，包括基本图形的性质、图形的分类、图形的计数等内容。

本文将对图形的计数知识点进行总结，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。

1. 基本图形的性质在图形的计数中，首先要了解基本图形的性质。

基本图形包括点、线、线段、射线、角、三角形、四边形、多边形等。

这些图形有各自的定义、性质及特点，对于学生来说，需要对这些基本图形有一个清晰、完整的理解。

（1）点：点是几何中最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置。

点在几何图形中起到连接线段、构建图形等作用。

（2）线：线是由一组点按照一定规律排列而成，没有宽度和厚度。

线在几何图形中起到连接点、构成图形等作用。

（3）线段：线段是由两个端点和这两个端点之间的所有点组成的，有一定的长度，但没有宽度和厚度。

（4）射线：射线是由一个端点和这个端点上的一条直线上的所有点组成的，有一定的长度，但在一个方向上是无限长的。

（5）角：角是由两条射线的公共端点所确定的，角的度量单位通常是度。

角分为锐角、直角、钝角等。

（6）三角形：三角形是一个有三个顶点和三条边的几何图形，根据边长和角度的不同，可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等。

（7）四边形：四边形是一个有四个顶点和四条边的几何图形，根据边长和角度的不同，可分为矩形、正方形、平行四边形、菱形、梯形等。

（8）多边形：多边形是一个有多个顶点和边的几何图形，根据边的个数和边长的不同，可分为五边形、六边形、七边形等。

以上是基本图形的性质和特点，这些知识是图形计数的基础，学生需要通过实际操作和练习，充分理解和掌握这些内容。

2. 图形的分类图形的分类是图形计数中的重要内容之一，它涉及到几何图形的形状、性质和特点，对于学生来说，需要对各种分类有一个清晰、准确的认识。

（1）按形状分类：常见的图形按照形状可以分为圆形、三角形、四边形、多边形等。

《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形个数的问题。

比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、长方形或者圆形等等。

这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。

一、数图形的基本方法1、分类计数法当面对复杂的图形组合时，我们可以先将图形按照一定的标准进行分类。

比如，对于三角形，可以按照大小、形状或者位置等进行分类，然后分别计数，最后将各类的数量相加。

2、顺序计数法按照一定的顺序来数图形，这样可以避免重复或者遗漏。

例如，从上到下、从左到右，或者从大到小等顺序。

3、标记计数法在数图形的过程中，可以对已经数过的图形做一个小标记，这样能够清楚地知道哪些图形已经被数过，防止重复计数。

二、简单图形的计数1、线段的计数假设有 n 个点在同一条直线上，那么线段的总数为 n×（n 1)÷2 。

例如，有 5 个点，线段的数量就是 5×（5 1)÷2 ＝ 10 条。

2、角的计数同样，如果在一个顶点引出 n 条射线，那么角的总数也是 n×（n 1)÷2 。

3、三角形的计数在一个大三角形中，若内部有 n 个点，与三角形的三个顶点相连，那么三角形的总数为 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。

三、组合图形的计数1、多层图形比如一个由多个长方形组成的大图形，我们可以先数出一层有多少个长方形，然后再看有多少层，最后相乘得到总数。

2、包含嵌套图形对于包含嵌套的图形，先从最外层开始数，逐步向内部推进，注意不要遗漏被嵌套在内部的小图形。

四、实际应用中的数图形1、建筑设计在建筑设计图纸中，需要准确数出各种形状的构件数量，以确保材料的准备和施工的顺利进行。

2、拼图游戏玩拼图时，通过数图形可以帮助我们更好地了解拼图的组成和结构，从而更快地完成拼图。

3、数学考试在数学考试中，经常会有关于数图形个数的题目，这要求我们熟练掌握数图形的方法，快速准确地得出答案。

五、数图形的易错点1、重复计数由于没有按照一定的顺序或者方法，导致同一个图形被多次计数。

二年级秋季复习大纲第一讲：平面图形计数进阶一、单层规则图形1、特点：基本图形手拉手、肩并肩站成一排2、方法：开火车基本图形个数倒数依次加到1二、多层规则图形1、数长方形（1）普通：长边线段总数×宽边线段总数（2）变形：先去掉，再添回来，后算增加的2、数三角形（1）普通：每层个数×层数（2）变形：先分层，后补漏三、不规则图形分类法：按大小、方向数数数下图图形个数三角形（）个长方形（）个第二讲：一笔画游戏一、一笔画1、笔不离纸2、不走回头路3、必须是连通图4、看奇点{0个：同进同出2个：一进一出二、多笔画1、变多笔画为一笔画目的：破坏奇点，减少个数方法：在奇点之间添/去线2、最少笔画奇点个数÷2三、点线图1、区域成点2、通道成线两图各有几个奇点？请标示出奇点位置，能否一笔画？如果不能至少填几天线段可以一笔画？第三讲：巧算加减法进阶一、核心：凑整法（看个位）1、加法凑整：个位相加为02、减法凑整：个位相同3、带着前面的符号搬家4、化加为乘5、加减抵消二、添、去括号（改变计算顺序）1、“-”后：括号里+、-变号2、“+”后：括号里+、-不变三、基准数法1、找都接近的2、找各自接近的巧算下题（1）4016-358-1016-642 （2）69+73+71+75+68+74第四讲：带余除法初步一、带余除法（余＜除数）1、被除数÷除数=商······余数2、商×除数+余数=除数3、（被除数-余数）÷商=除数4、余＜除数除数最小：余数+1余数最大：除数-1二、常见问题1、最多除数→固定要求2、分配工作一起分3、与和差倍综合三、除法竖式1、高位→低位2、商→乘→减→比→落计算（1）84÷3=（2）65÷4=第五讲：数列规律进阶一、数列按一定规律排成的一列数二、数列的分类1、等差数列：相邻两数之间同加/减同一个数2、规律差数列：相邻两数之间的差有规律3、跳跃数列：数忽大忽小（隔着看）4、等比数列：相邻两数之间同乘/除以同一个数5、兔子数列：从第三个数开始，后面每一个数都是前面两个数之和一般；乘法兔；个位兔；三脚兔6、平方数列：自己×自己三、数表图（位置）1、小凑大2、数列规律找出下列数列规律，并填写完整（1）6,10,14,18,22,26,30，（），38,42（2）4，21,43,70,102，（），181,228（3）1，5,25,125,625，（），15625（4）2,3，4,9，6,27，8,81，10,（），（）,729，14（5）4,7,11,18,29，（），76,123（6）361,324,289,256，（），196,169,144第六讲：找规律综合一、简单型1、与位置有关2、与数量有关3、与方向有关4、与颜色有关二、组合型左右、上下组合三、移动型有序移动四、旋转型1、方向：顺时针、逆时针2、旋转+自传3、补缺法五、数图综合1、与数列规律结合2、与周期问题综合下图是用棋子摆成的图形，按以下规律继续摆下去，第8幅图形需要（）枚棋子。

图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。

图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。

在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。

2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。

边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。

根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。

3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。

对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。

4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。

在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。

5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。

若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。

基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。

6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。

子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。

二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。

对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。

2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。

对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。

3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。

关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。

三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。

统计图知识点总结统计图是指利用图形表示统计数据的一种图形表达方式，是统计学中常用的一种数据展示方法。

统计图可以直观地展示出数据的分布规律和趋势变化，能够帮助人们更好地理解和分析数据。

在日常生活和工作中，统计图被广泛运用于各个领域，如教育、经济、医疗、环境保护等，以帮助人们更好地理解、分析和决策。

本文将从统计图的基本概念、常见类型和应用技巧等方面进行总结和介绍，以期帮助读者更好地掌握统计图知识。

一、统计图的基本概念1. 统计图的定义统计图是一种用图形来表示、说明和说明数字材料的图形，可直观地描述事物的数量关系、数量占比和变化趋势等现象。

统计图的主要功能是通过图形方式直观地展现数据的特点和规律。

2. 统计图的作用统计图能够帮助我们更好地理解和分析数据，通过直观的图形展示，可以更容易地观察数据的变化趋势和规律，帮助我们进行数据的比较和分析，以便更好地制定决策和规划。

3. 统计图的特点统计图一般具有直观、简洁、易于比较和分析等特点，能够使人们更直观地理解数据，便于做出决策和规划。

二、统计图的常见类型根据数据的类型和展示需求，统计图可分为多种类型，主要包括柱状图、折线图、饼图、散点图、雷达图等，每种类型都有其独特的优势和适用范围。

以下将对各种类型的统计图进行详细介绍。

1. 柱状图柱状图是以柱形的高度或长度来表示不同类别的数据，通过不同颜色或不同形状的柱形来区分不同类别的数据。

柱状图通常适用于展示不同类别的数据之间的比较情况，可以显示数据的大小和数量差异。

2. 折线图折线图是以折线的形式显示数据的变化情况，通过将数据点连成折线来描绘数据的变化趋势。

折线图适用于展示时间序列数据的变化情况，能够清晰地展现数据的趋势和变化规律。

3. 饼图饼图是以扇形的面积或角度来表示不同类别的数据，并通过不同颜色或标签来区分各个部分。

饼图通常适用于展示不同类别数据所占比例的情况，能够直观地呈现数据的比例和占比情况。

4. 散点图散点图是以点的形式展示两个变量之间的关系，通过将数据点在坐标平面上散布来显示变量之间的相关性。

小学数学《总复习+各年级思维导图》第一部分数与代数一、总体目标1.复习有关数的认识的知识，让学生经历回顾、整理和反思的学习过程，结合具体情境，进一步理解整数、小数、分数、百分数、负数的意义，掌握数的读写、大小比较、性质及改写的方法，体会各类数之间的联系与适用情况的区别，形成数的认识的知识结构，培养学生初步的归纳整理能力、抽象能力，感受数形结合、一一对应思想，发展学生的应用意识。

2.复习有关数的运算的知识，使学生进一步理解四则运算的意义及四则运算之间的关系，掌握运算的法则并能熟练地进行整数、小数和分数的四则运算及混合运算，提高学生的运算能力。

3.复习有关式与方程的知识，使学生熟练掌握用字母表示公式、计算法则和常见的数量关系，理解用字母表示数的优越性；理解并区别方程的意义、方程的解和解方程的概念，会解简单的方程，会用方程解决简单的实际问题；初步体会化归思想和数学建模，发展学生的抽象能力和代数思想。

4.复习比和比例的有关知识，使学生在自主梳理、比较辨析中进一步理解比和比例的相关意义，会判断两个相关联量之间的关系，会用比和比例的相关知识解决实际问题，并使学生掌握一些整理知识的方法，培养整理复习能力，使所学知识系统化、网络化，发展学生的推理能力和应用意识，进一步感受模型思想和函数思想。

5.经历问题解决的过程，理解常见的数量关系，会利用这些数量关系解决实际问题，积累解决问题的经验，获得一些解决问题的策略与方法，体会合情推理、统筹优化、一一对应、模型等数学思想，提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

二、知识结构（一）数的认识1.知识结构2.知识要点①整数【自然数】表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然数。

一个物体也没有，用0 表示，0 也是自然数。

【正数与负数】为了表示两种相反意义的量，如零上温度和零下温度、收入与支出等，需要用两种数。

一种是我们以前学过的数，如3、500、4.7、38，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上负号“-”的数，如-3、-500、-4.7、-38 等，这些数是负数。

看图列式知识点总结一、基本概念1.1 看图列式的含义看图列式是利用图形和表格来解决数学问题的一种方法。

通过观察图形和表格的规律，可以发现问题的解决方法，从而更加直观地理解和理解数学知识。

1.2 看图列式的特点看图列式是一种直观的解题方法，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

通过观察图形和表格，可以发现数学问题的规律和特点，从而更容易解决问题。

1.3 看图列式的应用范围看图列式可以应用于各种数学问题的解决，如代数、几何、概率等各个领域。

通过观察图形和表格的规律，可以更直观地解决各种数学问题。

二、应用技巧2.1 观察图形的特点在看图列式中，首先需要观察图形的特点，发现图形之间的规律和联系。

只有理解了图形的特点，才能更好地解决数学问题。

2.2 列举规律和特点在观察图形的基础上，需要列举出图形的规律和特点，找出问题的解决方法。

通过列举规律和特点，可以更清晰地理解和解决数学问题。

2.3 运用数学知识在观察图形和列举规律的基础上，需要灵活运用数学知识，找出问题的解决方法。

通过运用数学知识，可以更好地解决各种数学问题。

三、解题方法3.1 分析图形和表格在解题过程中，首先需要分析图形和表格，找出问题的规律和特点。

只有分析清楚了图形和表格，才能更好地解决问题。

3.2 寻找解题方法在分析图形和表格的基础上，需要寻找问题的解题方法，发现问题的规律和特点。

通过寻找解题方法，可以更快速地解决数学问题。

3.3 运用解题方法在寻找解题方法的基础上，需要运用解题方法，把问题的解决思路转化为具体的解题步骤。

只有运用了解题方法，才能最终解决数学问题。

综上所述，看图列式是一种直观的解题方法，通过观察图形和表格的规律，可以更好地理解和解决各种数学问题。

在应用看图列式时，需要首先观察图形的特点，列举规律和特点，运用数学知识来解决问题。

在解题方法上，需要分析图形和表格，寻找解题方法，运用解题方法来解决问题。

希望本文的介绍和总结能够帮助读者更好地理解和掌握看图列式的应用技巧，提高数学学习效果。

数学图形与几何复习资料数学是一门抽象而精确的学科，而几何则是数学中的一个重要分支。

在学习几何的过程中，我们需要掌握各种数学图形的性质和计算方法。

为了帮助大家复习几何知识，我整理了一些几何复习资料，希望对大家有所帮助。

一、基本概念几何学的基础是一些基本概念，如点、线、面等。

点是几何学中最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。

线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度。

面是由无数个线组成的，它有长度和宽度。

这些基本概念是我们理解几何学的基础，也是解决几何问题的前提。

二、平面几何平面几何是几何学的重要分支，它研究的是在平面上的图形和性质。

在平面几何中，我们需要掌握各种图形的定义和性质，如三角形、四边形、圆等。

三角形是平面几何中最基本的图形之一，它由三条线段组成。

我们需要了解三角形的各种分类和性质，如等腰三角形、直角三角形等。

四边形是由四条线段组成的图形，它有矩形、正方形、菱形等不同的分类。

圆是由一条曲线组成的图形，它的性质包括圆心、半径、直径等。

三、立体几何立体几何是几何学中另一个重要的分支，它研究的是在空间中的图形和性质。

在立体几何中，我们需要掌握各种立体图形的定义和性质，如球体、长方体、正方体等。

球体是由一条曲线旋转而成的图形，它有半径、直径等性质。

长方体是由六个矩形组成的图形，它有长、宽、高等性质。

正方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

我们需要了解这些立体图形的性质，以便在解决几何问题时能够灵活运用。

四、几何计算在解决几何问题时，我们经常需要进行一些计算。

几何计算包括计算图形的面积、周长、体积等。

计算图形的面积需要掌握各种图形的计算公式，如三角形的面积公式、矩形的面积公式等。

计算图形的周长需要了解各种图形的周长公式，如圆的周长公式、正方形的周长公式等。

计算图形的体积需要了解各种立体图形的体积公式，如长方体的体积公式、球体的体积公式等。

掌握这些计算方法可以帮助我们更好地解决几何问题。

五、几何证明几何证明是几何学中的重要内容，它要求我们用严密的推理和论证方法证明几何命题。

图形计数知识点总结一、排列和组合在图形计数中，排列和组合是最基本的计数方法。

排列是指一组元素按照一定顺序进行排列的方式，通常用P(n, r)表示，公式为P(n, r) = n! / (n - r)!。

组合是指从一组元素中挑选出一定数量的元素的方式，不考虑元素的顺序，通常用C(n, r)表示，公式为C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)。

图形计数中，排列和组合的应用非常广泛。

比如在计算一个多边形的对角线数量时，就可以用到排列和组合的知识。

一个n边形的对角线数量可以由公式Dn = n(n-3)/2计算得到，其中n表示多边形的边数。

这个公式的推导过程涉及到排列和组合的知识，对于学生来说可以通过这个例子更好地理解排列和组合的概念。

二、图形的对称性图形的对称性是图形计数中一个很重要的概念。

对称性可以分为轴对称和中心对称两种。

轴对称是指图形关于一个轴对称，即图形的一部分关于某条直线对称于另一部分。

而中心对称是指图形关于一个点对称，即图形的每一点关于这个点对称。

对称图形的计数问题常常涉及到排列和组合的知识。

比如求一个正方形的对角线数量，就可以通过利用正方形的对称性来简化问题，从而得到答案。

对称性还与图形的旋转、平移等操作有关，这些操作在图形计数中也是经常考虑的问题。

三、图形的面积和周长图形的面积和周长是图形计数中另一个重要的知识点。

对于各种几何图形，学生需要了解如何计算其面积和周长，并且知道它们的公式和计算方法。

比如正方形的面积和周长分别为A = a * a和C = 4 * a，其中a表示正方形的边长。

在图形计数中，面积和周长的计算是经常用到的，尤其是在计算图形的数量和排列时。

例如，求一条给定长的线段上平均分成几段，使得每段的长度都是整数，就需要用到对线段长度的因数分解，进而通过面积和周长的计算方法来解决问题。

总的来说，图形计数是一个涉及到很多基本数学知识的重要领域。

通过排列和组合、图形的对称性、图形的面积和周长等知识点的学习，学生可以更好地理解几何图形的性质和特点，从而为更复杂的图形计数问题打下坚实的基础。

四年级数学知识点归纳总结绘画数学作为一门重要的学科，对于孩子们的学习和发展起着至关重要的作用。

在四年级的数学学习中，孩子们将进一步巩固和扩展之前所学的基础知识，并开始接触一些新的概念和技能。

为了帮助孩子们更好地理解和记忆数学知识，我们可以通过绘画的方式来进行归纳总结。

下面是我为大家准备的四年级数学知识点归纳总结绘画。

一、整数整数是四年级数学学习的一个重要内容。

为了帮助孩子们理解整数的概念和运算规则，我们可以画出一个数轴，将正数和负数分别标在数轴上，用箭头表示移动方向。

通过这种方式，孩子们可以清晰地看到整数的正负关系以及加减法运算的规则。

二、加减法加减法是四年级数学学习的核心内容。

我们可以通过绘画来帮助孩子们理解和记忆运算的方法和技巧。

例如，对于较复杂的加减法问题，我们可以画出一个长方形，然后将长方形分成若干个小方格，每个小方格表示一个数字，通过对小方格的合并和划分，孩子们可以更加直观地理解加减法的运算过程。

三、乘法与除法乘法与除法是四年级数学学习的拓展内容。

为了帮助孩子们理解乘法与除法的概念和运算规则，我们可以通过绘画的方式来进行解释和演示。

例如，对于乘法，我们可以画出若干个相同的形状，然后用小方格填充每个形状，通过计数形状的个数和小方格的总数，孩子们可以理解乘法的含义。

对于除法，我们可以画出一个长方形，并用小方格填充，然后通过将小方格分成若干组，来演示除法的过程。

四、时钟与时间时钟与时间是四年级数学学习的一部分。

为了帮助孩子们理解时钟的读法和计算时间的方法，我们可以绘制一个时钟，并在时钟上标出刻度和时针、分针的位置。

通过这种方式，孩子们可以更加直观地理解时钟的刻度和时间的关系，同时也可以通过绘制时针和分针的移动轨迹，来计算时间的增减。

五、图形与几何图形与几何是四年级数学学习的重点内容。

为了帮助孩子们熟悉和认识各种图形的特征和性质，我们可以通过绘画的方式来进行归纳总结。

例如，对于平行四边形，我们可以画出几个不同形状和大小的平行四边形，并标出各边和各角的特征；对于三角形，我们可以画出几个不同形状和大小的三角形，并标出各边和各角的特征。