下载文档原格式
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
![[精]高三第一轮复习全套课件2函数第2课时 函数的解析式](https://uimg.taocdn.com/9bec46ed81c758f5f61f6745.webp)
高考数学一轮复习课件：函数的定义域和值域ppt
第二节函数的定义域和值域
2.偶次根式函数被开方式.
3.一次函数、二次函数的定义域均为.
一、常见基本初等函数的定义域.
1.分式函数中分母.
不等于零
大于或等于0R4.y＝ax，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.
5.y＝tanx 的定义域
为.
6.函数f(x)＝x0 的定义域为.
7.实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约.R{x|x≠kπ＋，k∈Z}{x|x≠0}二、基本初等函数的值域
1.y＝kx＋b(k≠0)的值域是.
2.y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0 时，值域为
；当a0 且a≠1)的值域是.
5.y＝logax(a>0 且a≠1)的值域是.
6.y＝sinx，y＝cosx 的值域是.
7.y＝tanx 的值域是.{y|y>0}RR[－1,1] 函数的最值与值域有何联系？
提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.。
第2讲函数的定义域和值域教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源矩谋梳理,1.常见函数定义域的求法(1) ___________________________ 分式函数中分母.⑵偶次根式函数被开方式大于或等于°.(3)—次函数、二次函数的定义域为_________ .(4)j=«x(a>0 且“Hl), j = sin x, j = cos x,定义域均为十、丄砧宀兀兀Hi+=，kWTL、(5)j=tanx的定义域为 ___________ 2______ J2・基本初等函数的值域(l)y=也+方仇H0)的值域是只(2)j=«x2+Z>x+c(a#:0)的值域是:当。
＞0时，值域为^4ac—b2\当a VO时，值域为(3)y=£伉HO)的值域是W".(4)j=«x(«>0 且a^l)的值域是W". (5妙=10耐@>0且a^l)的值域是R(6)j=sin x, y=cosx的值域是[_1, 1].(7)j=tanx的值域是R ・1.求函数定义域应注意的四点(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数兀的集合.(2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化.(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U”连接.2.求函数值域的六种基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域.(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域.⑶换元法：形如y=ax-\-b±\^cx-\-d(a, b, c f〃均为常数，且aHO)的函数常用换元法求值域，形如y= ax-}-yJa—bx2的函数用三角函数代换求值域.(4)分离常数法：形如的函数可用此法求值域.(5)单调性法：函数单调性的变化是求值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求值域.(6)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图象的直观性来求函数的值域.1. （2016•杭州模拟）函数y=y]16-4x的值域是（C ） A. [0, +8)D ・(0, 4) 解析：因为4x >0,所以0W16—4”V16, 所以0WyV4.双基自测B. [0, 4] C ・[0, 4)的定义域是(cA.(一8, -l)u(-l, 0)B.(一8, 0)U (0, +8)C.(0, 1)U(1, 4-oo)D.(—8, 0)解析：要使函数有意义，需要解得x>0且兀工1, 所以函数的定义域为(0, 1)U(1, +8).3.(必修1 P17例1(1)改编)函数j=^+l+-i-的定义域2—x [-L 2)U(2, +8)4.若4有意义，则函数y = x2— 6x+7的值域是[―1, +°°) _________________ •解析：因为*—4^意义,所以X—4^0,即x^4.又因为y=x2—6x+ 7= (x—3)2—2,所以Jmin— (4 — 3)2 — 2= 1 —2=— 1.所以其值域为[一1, +°°).考点一求函数的定义域(高频考点)典例剖析号考点突破d 名师导悟以例说法函数的定义域是高考的重点内容，考查时多以选择题和填空题形式出现，一般难度较小，高考对定义域的考查主要有以下四个命题角度:(1)求分式型函数的定义域;(2)求无理型函数的定义域;(3)求对数型函数的定义域;(4)求抽象函数的定义域•典洌IS(1)(2015-高考湖北卷)函数f(x) = ^4-lxl +x 2— 5兀+6“ 亠 “ ,q 、rlg -------- 的定义域为(C ) A. (2, 3)(2)函数心)=0_T 的定义域为"2(1，2]X —1B. (2, 4]C. (2, 3)U (3, 4]D. (-1, 3)U (3, 6]（3）（2016-莱芜模拟）已知函数/（力的定义域为［3,切，贝!|函数尸心）（2-x）的定义域为（3B.[解析]⑴要使函数/(x)=^4-lxl+lg^_3有意义，只需即函数/(兀)的定义域为(2, 3)U(3, 4].故选C ・(2)由 亠今 亠 今OWx 1或1 <xW2.所以/(兀) kHl [x^l的定义域为[0, 1)U(1, 2].x 2—5x+6 x —3>0,所以—4WxW4,X>2 日& 3 解得 2<r<3 或 3<rW4,356I* 3logj (2-x) >^y今3WXV2.故选 R2lo<2—x<l(3)要使函数y =f (2x)有意义，需满足Q互动探究本例⑵变为函数/(©=x_1c<* 且G HI),结果如何?工°今0<rW2,故所求函数的定义域为(°, 2]%>o 且1 — lx—11^0 10 WxW 2a — 1^ 0 今解：由函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.⑶已知/(兀)的定义域是[a, b]f求/(g(x))的定义域，是指满足aWggWb的x的取值集合,而已知f(g(x))的定义域是[偽耐,指的是xG[a, b].通关练习 1.(1)(2016-中山一模)函数 f(x)=\llg (l-2x) 的定义域为(A )(2)函数尸學(2二+(x -1)°的定义域为\12+x-x 2 {x\—3<x v2 且兀 Hl} B. （一8, 0）解析：(1)要使函数有意义，应满足 1一加>°' 解得炖，故选A.lg (1—2x) MO, x<2,得* ~3<X <4,所以一3<xv2 且 xHl,故所求函数的定义域为{xl —3<r<2且兀工1}2-x>0,(2)由* 12+x —x 2>0,1H0考点二求函数的值域(l)j=x 2 +2x(x^ [0, 3])；(3) j =x+~(x<0).求下列函数的值域.(2)J = l+x 2；[解]⑴(配方法) y=x2+2x=(x+l)2—1,因为J = (x+1)2-1在[0, 3]上为增函数,所以0WyW15,即函数J=X2+2X(X€[0, 3])的值域为[0, 15].1—x22(20=匸壬=頁7—1，因为1+戏$1,2所以0V匸寸W2・2所以一iv iwi•即1, 1].所以函数的值域为(一1，1].(3)因为兀VO,所以x+-=—(-X v 一2时等号成立，所以丁丘(一8, —4].所以函数的值域为(一8, —4]-x—4,当且仅当x=求值域的常用方法⑴观察法；⑵配方法；（3）换元法；（4）分离常数法；⑸单调性法；（6）数形结合法.［注意］求函数值域的关键是重视对应关系的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.2•求下列函数的值域.(1)J = 兀+1’x2—x(2》=x+1 x+1 因为±工0,所以1一一 工1,x+1 x+1即函数的值域是｛y\y G R,尸钉｝.x ~" 3二pp 得w+尸工一3.解得兀=罟7,所以丿工1,解：⑴法一：尸兀一3 x+1-4法二由y= 4 x+f1-J即函数的值域是｛y\y e R,咛1｝._x2—x+1—1_ 1"2" x2—x+1 1 x2—x+1* 因为x2—x+l=(x—+ 詩扌’所以ov?三1所以一§WyVl,即函数的值域为［一? J考点三与函数定义域、值域有关的参数问题tv* 1已知函数尸再二：丄帘的定义域为R，求实数k兀十十1实数兀的集合.tv*—I—［［解］函数尸叨E的定义域即使氐空+3也+1工0的k的值.由函数的定义域为R，得方程疋＜+3也+1= 0无解•Ir^r—I—[当E=0时，函数尸氐2J+3滋石=1，函数的定义域为R，因此k=0符合题意;当佥工0时，k2x2+3kx-bl= 0无解，即/=9疋一4疋=5疋＜0,不等式不成立• 所以实数无的值为0.已知函数的定义域或值域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法.转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解.如本题中将求参问题转化为方程无解的问题.跟踪训练3•已知函数于（兀）=厂吕二一1的定义域是⑷b］（a,1x1 十2bEQ,值域是［0, 1］,则满足条件的整数数对0, “）共有5 个.解析：由0W希—1W1，即1W話尹，得0W* 2,满足条件的整数数对有(一2, 0), (-2, 1), (-2, 2), (0,2), (-1, 2),共5 个.拓展升华触类旁通考题溯源——求函数的定义域(2015•高考重庆卷)函数/(x)=log2(x2 + 2x- 3)的定义域是(° )A. [-3, 1]B.(—3, 1)C.(一8, -3]U[1, +8)D.(一8, — 3)U(1, +8)[解析]要使函数有意义，只需x2+2x—3>0即(x+3)-(x—1)>0, 解得X—3或兀＞1•故函数的定义域为(一8, —3)U(1, +8)."求下列函数的定义域：(l)j=log 5(l —x)； (2)j=1题变更1 .函数尸叫U + 1的定义域是（D ） *+1 x A. [7 0)U(0, 1) 本题源于教材人教A 必修1 P73练习T2,1 10g2XnB.[T，0) U (0,1]C.(T，0) U (0,1]D.(-L0)U(0,1)1—x>0,解析：由题意得< 兀+1>0，解得一1<X<O或0<rvl.2.若函数/*&）=勺2以+加i —1的定义域为R,则“的取值解析：函数加：）的定义域为R,所以2以+加一一&0对用R 恒成立，即2门+加—"$1, x 2+2ax —a^0恒成立， 因此有/ =（加r+4«W0,解得一lWaWO.范围为 [―I ，0]闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能点击链接本部分内容讲解结束闌1能训练▼轻松闯关* ［学生用书单独成册］以练促学强技提能。
第二讲 函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一 函数的定义域 函数y ＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)． 知识点二 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．2．y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a<0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}．4．y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 3．函数f(x)与f(x ＋a)(a 为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x>1.( × ) (3)函数y ＝f(x)定义域为[－1，2]，则y ＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a)的值域为R ，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × ) [解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y≥2或y ≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a)值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤14.题组二 走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f(x)＝2x－1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0x －2≠0，解得x≥0且x≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f(0) D ．f(0)，f(3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)＝x ＋9x ，x∈[2，4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132.题组三 走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f(x)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x>0，故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝xx －1(x≥2)的最大值为2．[解析] 解法一：(分离常数法)f(x)＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x≥2，∴x－1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy－y ＝x ，∴x＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－yy －1≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.解法三：(导数法)∵f(x)＝x x －1，∴f′(x)＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一 求函数的定义域——多维探究 角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，x ＋1>0，x≠0，解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]． 角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[解析] 由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f(2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y＝f(2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y ＝f(2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x≤0， 因此y ＝f(2x ＋1)定义域为[－1，0]． 名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域． 〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x ＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x≤2，且x≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a>0，所以x<a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x|1＋|x|；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；(6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x|1＋|x|＝－1＋21＋|x|， ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<2|x|＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x|≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x|1＋|x|，得|x|＝1－y 1＋y.∵|x|≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1，1]．(2)解法一：配方法：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3， 由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t≤258，又∵y＝t 有意义，∴0≤t≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y)x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y －1)2≥4，∴y－1≤－2或y －1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 解法三：导数法(单调性法)令y′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0， 得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3； 函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1. ∴y ≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t(t≥0)，得x ＝1－t22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：单调性法∵1－2x≥0，∴x≤12，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上均单调递增，∴y≤12－1－2×12＝12，∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴y∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x<－1），3（－1≤x≤2），2x －1（x>2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)． 名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b±cx ＋d (c≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b±c 2－x 2(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法． 〔变式训练2〕 求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t≥0)， 所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12， 因为x>12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2， 当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋12，＋∞. 导数法：y′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立；(2)由f(x)的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a>53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R. ②当m≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0， 解得0<m≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，∴32≤m≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。
