1-2 线性方程组求解

高等代数方法总结一、前言高等代数是数学中的重要分支，它涉及到很多重要的概念和理论。

在学习高等代数时，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，以便更好地理解和应用这些概念和理论。

本文将总结一些常见的高等代数方法，帮助读者更好地学习和应用高等代数知识。

二、线性方程组的求解线性方程组是高等代数中最基础的问题之一。

在实际应用中，线性方程组经常出现，并且求解线性方程组是很多问题的关键步骤。

下面介绍几种常见的线性方程组求解方法。

1. 高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。

它通过矩阵变换将原始矩阵转化为一个上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵，从而得到线性方程组的解。

具体步骤如下：（1）将系数矩阵增广为一个增广矩阵；（2）从第一行开始，找到第一个非零元素所在列，并将该列所有元素除以该元素；（3）将第一行乘以一个系数，使得该行第一个非零元素下面的元素都为零；（4）重复步骤（2）和（3），直到将矩阵转化为上三角矩阵或者行简化阶梯形矩阵；（5）从最后一行开始，依次求解每个未知量。

2. 矩阵求逆法如果一个方阵的行列式不等于零，则该方阵可以求逆。

对于一个n×n 的方阵A，如果它的行列式不等于零，则存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I。

具体步骤如下：（1）构造增广矩阵[A|I]；（2）通过初等变换将[A|I]变成[I|B]，其中B即为A的逆矩阵。

3. 克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组求解方法。

对于一个n元线性方程组，如果它的系数矩阵A可逆，则其唯一解可以表示为：xi=det(Ai)/det(A)，i=1,2,...,n，其中Ai是将系数矩阵A中第i列替换为常数向量b后得到的新矩阵。

三、特征值和特征向量特征值和特征向量是高等代数中的重要概念，它们在很多领域中都有广泛的应用。

下面介绍几种常见的特征值和特征向量求解方法。

1. 特征方程法对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=kx，其中k为一个常数，则称k为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值k 的特征向量。

3.1 线性方程组的解线性方程组的解。

线性方程组是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

在代数学中，线性方程组是一组由一元或多元的线性方程组成的方程组，它们之间的关系是线性的。

线性方程组的解是指能够满足所有方程的变量的取值，使得方程组成立。

在这篇文章中，我们将讨论线性方程组的解的性质和求解方法。

首先，我们来看一下线性方程组的一般形式。

一个包含n个未知数的线性方程组可以写成如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1。

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2。

...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm。

其中，aij和bi分别是常数，x1到xn是未知数。

这个方程组可以用矩阵表示为Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b分别是n×1和m×1的向量。

线性方程组的解可以分为唯一解、无穷解和无解三种情况。

首先，如果线性方程组有且仅有一个解，我们称这个解为唯一解。

这意味着方程组中的每个方程都是相互独立的，且能够通过消元法得到唯一的解。

其次，如果线性方程组有无穷多个解，我们称这个解为无穷解。

这意味着方程组中的某些方程是相互依赖的，导致方程组有无穷多个解。

最后，如果线性方程组没有解，我们称这个解为无解。

这意味着方程组中的某些方程是矛盾的，导致方程组无法满足。

现在，我们来讨论线性方程组的求解方法。

对于一个包含n个未知数的线性方程组，我们可以使用消元法、矩阵法和克拉默法则等方法来求解。

消元法是一种基本的求解方法，它通过逐步消去未知数的系数，将方程组化简为最简形式，从而求得解。

矩阵法是一种更加高效的求解方法，它利用矩阵的性质和运算规则，将方程组表示为矩阵形式，并通过矩阵运算求得解。

克拉默法则是一种利用行列式的性质来求解线性方程组的方法，它通过计算方程组的系数矩阵的行列式和各个未知数的系数矩阵的行列式来求得解。

关于线性方程组的解的几个结论
1、关于线性方程组的解：
(1)线性方程组有唯一解：当且仅当它的系数矩阵是可逆的时候，线性
方程组有唯一的解。

(2)线性方程组的解的形式：线性方程组的解可以用矩阵的乘法表示出来，也可以用分解的方式表示出来。

(3)线性方程组有无穷多个解：如果系数矩阵是奇异的，则线性方程组
有无穷多个解；如果系数矩阵是正确的，则线性方程组有唯一解。

(4)线性方程组无解：如果系数矩阵不正确，则线性方程组不存在解。

(5)特征根与解：如果系数矩阵有特征根，则线性方程组有无限多个解。

(6)特殊解：如果系数矩阵有非常规解，则线性方程组也有可能存在非
常规解。

2、线性方程组求解的方法：
(1)列主元高斯消元法：由行级元列优先求解的算法，是一种有效的数
值方法；
(2)分解方法：分解后可得出系数矩阵，提取出其中的特征值，进而得
出解；
(3)矩阵乘法：矩阵乘法可将线性方程组化为矩阵形式，可求出解；
(4)块分解法：使用这种法可以利用稀疏性，把矩阵分解成小的子矩阵，进行求解。

3、线性方程组的应用：
(1)统计学中的概率分布：利用多元正态分布可使用线性方程组来求解
均值和方差；
(2)复数可能性：利用复数线性方程组可以用来解决涉及多个平行、垂
直可能性组合的复数学问题；
(3)数据分析：线性方程组可以用来分析因变量与自变量之间的关系；
(4)线性规划：线性方程组可以用来解决线性规划问题，求出一组最优解。

线性方程组的解法例题线性方程组的解法第二章线性方程组的解法n阶线性方程组的一般形式为:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1 ax,ax, ,ax b 2112222nn2(2.0.1)an1x1,an2x2, ,annxn bnAx b用矩阵表示为: 其中A称为系数矩阵，x称为解向量，b称为常数向量(简称方程组自由项)，它们分别为:x1 b1 a11a12a1nx b aa2122a2n x 2 b 21，， Axn bn an1an2ann如果矩阵A非奇异，即A的行列式值det(A) 0，则根据克莱姆(Cramer)规则，方程组有唯一解:Di,i 1,2, ,n xi D其中D det(A)，Di表示D中等i列换b后所得的行列式值。

但克莱姆规则不适用于求解线性代数方程组，因为计算工作量大得难以容忍。

实际用于求解线性代数方程组的计算方法主要有两种:一是消去法，它属于直接解法;二是迭代解法。

消去法的优点是可以预先估计计算工作量，并且根据消去法的基本原理，可以得到矩阵运算(如矩阵求逆等)的求解方法。

但是，由于实际计算过程总存在有误差，由消去法得到的结果并不是绝对精确的，存在数值计算的稳定性问题。

迭代解法的优点是简单，便于编制计算机程序。

在迭代解法中，必须考虑迭收敛速度快慢的问题。

?2.1 线性方程组的直接计算求解线性代数方程组的直接解法主要是消去法(或称消元2法)。

消去法的基本思想是通过初等行变换:将一个方程乘以某个常数，以及将两个方程相加或相减，减少方程中的未知数数目，最终使每个方程中含一个未知数，从而得到所需要的解。

2.1.1 三角形方程组的计算对下三角形方程组:a11x1 b1ax,ax b 2112222(2.1.1)an1x1,an2x2, ,annxn bn可以通过前代的方法求解:先从第1个方程求出x1，代入第2个方程求出x2，依次类推，可以逐次前代求出所有xi(i 1,2, ,n)，计算公式如下:b1x1 a11i～1bi～ aij xj(2.1.2)j 13xi , i 2, 3, , n aii对上三角形方程组:a11x1,a12x2, ,a1nxn b1ax, ,ax b 2222nn2annxn bn(2.1.3)可以通过回代的方法求解:先从第n个方程求出xn，代入第n～1个方程求出xn～1，依次类推，可以逐次回代求出所有xi(i n,n～1, ,1)，计算公式如下:bnxn annnbi～ aij xj(2.1.4)j i,1xi , i n～1, n～2, , 1 aii2n 前代法和回代法的计算量都是次四则运算。

第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。

线性方程组的数值解法及其应用一、问题描述现实中的问题大多数是连续的，例如工程中求解结构受力后的变形，空气动力学中计算机翼周围的流场，气象预报中计算大气的流动。

这些现象大多是用若干个微分方程描述。

用数值方法求解微分方程（组），不论是差分方法还是有限元方法，通常都是通过对微分方程（连续的问题，未知数的维数是无限的）进行离散，得到线性方程组（离散问题，因为未知数的维数是有限的）。

因此线性方程组的求解在科学与工程中的应用非常广泛。

经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。

二、基本要求1）掌握用MATLAB软件求线性方程初值问题数值解的方法；2）通过实例学习用线性方程组模型解决简化的实际问题；3）了解用高斯赛德尔列主元消去法和雅可比迭代法解线性方程组。

三、测试数据1） 直接法：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];b=[52.90;38.44];2） 迭代法：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];b=[7.2;8.3;4.2];四、算法程序及结果1）function[RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp('因为RA~=RB,所以此方程组无解.')returnif RA==RBif RA==ndisp('因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.')x=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);B(p,:)=B(j+p-1,:);B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);x(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1x(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*x(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('因为RA=RB<n,所以此方程组有无穷多解.')endend测试：A=[0.002 52.88;4.573 -7.290];>> b=[52.90;38.44];>> [RA,RB,n,x]=liezy1(A,b)因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解.RA =2RB =2n =2x =10.00001.00002）function Jacobi(A,b,x0,P,error,max1)[n n]=size(A);x=zeros(n,1);for k=1:max1for j=1;nx(j)=(b(j)-A(j,[1:j-1,j+1:n])*x0([1:j-1,j+1:n]))/A(j,j);endxerrx=norm(x-x0,P);x0=x;x1=A\b;if(errx<error)disp('迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：')kx1xreturnendendif(errx>=error)disp('请注意：Jacobi迭代次数已经超过最大迭代次数max1.') end测试：A=[10 -1 -2;-1 10 -2;-1 -1 5];>>b=[7.2;8.3;4.2];>>x0=[0;0;0];>>Jacobi(A,b,x0,inf,0.001,100)n =3x =0.7200迭代次数k,精确解x1和近似解x分别是：k =2x1 =1.10001.20001.3000x =0.7200五、应用举例1）营养学家配制一种具有1200卡，30g蛋白质及300mg维生素C的配餐。

第二章 解线性方程组的直接法本章研究的对象是n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .........22112222212111212111 （2.1）其矩阵形式为b AX = （2.1）′其中，)(ij a A =是方程组的系数矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ...21,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b b ...21分别为方程组的未知向量和常数向量。

所谓直接法，就是在不计舍入误差时，经过有限步运算能求得方程组精确解的方法。

下面介绍几种较实用的直接法。

2.1 Gauss 消去法 2.1.1 Gauss 顺序消去法高斯（Gauss ）消去法实质是消元法,只是步骤规范,便于编程。

它的基本做法是把方程组(2.1)转化成一个等价的三角方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n g x b g x b x b g x b x b x b 2222211212111 (2.2) 这个过程称为消元。

然后,逐个求出11,,,x x x n n -,这个过程称为回代。

(一) 高斯消去法的计算过程为了符号统一,把方程组(2.1)改写成下面形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1( (212)22221111211n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n(2.3)用矩阵表示为)1()1(b X A = (2.3)′其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(11)1(nn n n nn a a a a aa a aa A, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1()1()1(...21n b b b b 若0)1(11≠a ,用第二个方程减去第一个方程的)1(11)1(21/a a 倍,第三个方程减去第一个方程的)1(11)1(31/a a 倍,等等。