七年级数学下册第一章整式的乘除5平方差公式第1课时平方差公式课件新版北师大版

新知探究
典例精析
计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2) (-x+2y)(-x-2y).
解: (1) 原式=(3x)2－22 =9x2－4.
(2) 原式＝ (-x)2 - (2y)2
＝x2 - 4y2.
新知探究
方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互 为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
课堂小测
6. 利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)； 原式=(a)2－(3b)2
=a2－9b2 . （3）(－2x2－y)(－2x2+y).
（2）(3+2a)(－3+2a)；
原式=(2a+3)(2a-3) =(2a)2－32 =4a2－9.
原式=(-2x2 )2－y2
=4x4－y2.
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15
新课导入
平方差公式
探究发现 你发现了什么？ a
? a
5 (a-5)
=
(a＋5)(a－5) a2 － 52
5 (a-5)
新课导入
算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x ＋ 1)( x－1)； ②(m ＋ 2)( m－2)； ③(2m＋ 1)(2m－1)； ④(5y ＋ z)(5y－z).
七年级数学北师版·下册
第一章 整式的乘除
1.5.1 平方差公式的认识
教学目标
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点） 2.能应用平方差公式进行简单的计算.（难点）

解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1．
归纳总结
平方差公式推导: （1）代数推导： (a+b)(a－b)=a2－b2 （2）几何推导：
北师大版七年级下册第一章『整式的乘除』
1.5 平方差公式
第2课时
学习目标
1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法.
1.问：平方差公式是怎样的？
(a+b)(a−b)=a2−b2
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n).
(2) 118×122. 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4 =14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
例2 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改 变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李 大妈吃亏了．
能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；

探索推广题
如图的三角形可解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角
形称为“杨辉三角”.
其中(a＋b)0＝1， (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 根据“杨辉三角”计算(a＋b)4.
解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
ZYT
探究新知
问题1 (a-b)2=?你是怎么做的呢？
方法一：(a-b)2
方法二：(a-b)2
=(a-b)(a-b)
=[a+(-b)][a+(-b)]
=a2-2ab+b2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a-b)2= a2-2ab+b2 .
为另一组”.
ZYT
典例精析
例3 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
小结：本题要熟练掌握完 全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝(x+y)2－2xy, (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
ZYT
巩固练习
（1）已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=__5_2__

解：2a+b+3=2பைடு நூலகம்•2b•23=5×3×8=120． 【类比精练】 2.若xm=3，xn=5，则xm+n15 = 解：∵xm=3，xn=5， ∴xm+n=xm•xn=3×5=15． 故答案为：15
．
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课堂精讲
知识点3 同底数幂的乘法应用 【例3】一个长方形的长是4.2×104 cm，宽是 2×104 cm，求此长方形的面积及周长． 解：面积=长×宽 =4.2×104×2×104=8.4×108cm2． 周长=2（长+宽）=2（4.2×104+2×104） =1.24×105cm． 综上可得长方形的面积为8.4×108cm2． 周长为1.24×105cm．
知识小测 B ） 2．（2014•温州）计算：m6•m3的结果（ A．m18 B．m9 C．m3 D．m2 3．（2016•濉溪县二模）计算﹣a2•a3的结果是 B （ ） A．a5 B．﹣a5 C．﹣a6 D．a6
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课前小测
4．（2016•江岸区模拟）如果等式x3•xm=x6成立， 那么m=（ B） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2016春•沛县期末）若am=2，an=3，则 am+n的值为（ ） B A．5 B．6 C．8 D．9 5 3 2 x 6．（2016•南通）计算：x •x = ． a2 ． 7．（2015•柳州）计算：a×a= 8．（2016春•张家港市期末）已知：xa=4，xb=2， 则xa+b=8 ．
目录 contents
课堂精讲
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课堂精讲
知识点1 同底数幂的乘法 【例1】计算：﹣（﹣a）•（﹣a）2•（﹣a）． 解：原式=﹣a4．

解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
(2)992－1;
解：原式＝(99＋1)×(99－1)＝100×98＝4 000 000－1 ＝9 800．
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(3)1.03×0.97;
解：原式＝(1＋0.03)×(1－0.03)＝1－0.032＝1－0.000 9＝0.999 1．
7．小明利用如图所示的图形验证平方差公式，如图1，在边长为a的大正方形上剪去一个边长为b的小正方形，然后拼成如图2所示的梯形，请你帮助小明完成下列问题：
C．(－m－n)(m－n)
D．(m－n)(－m＋n)
C．(－m－n)(m－n) 知识点2 平方差公式的应用
A．4c2－1 B．1－4c2
D．(m－n)(－m＋n)
B．－a2－12b2
C．－a2－14b2
D．a2－14b2
3．计算：(a＋5b)(a－5b)＝__a_2_－__2_5_b_2___.
(D)
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【第二关】 4．(2020年遵义红花岗区期中)如图1，边长为m的正方形剪去边长 为n的正方形得到①②两部分，再把①②两部分拼接成图2所示的长方 形，根据阴影部分面积不变，
于还能继续计算的算式要继续计算)”．
解：原式＝(2 000－1)×(2 000＋1)＝2 0002－1 ＝3 999 999．
A．x3＋x3＝2x6
B．x3＋x3＝x3
方法点拨：当a或b表示一个数字与字母乘积的形式时，容易出现的错误是，只对字母平方而忘记对数字平方．
(4)136×138－1372．
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解：(1)原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2．

练习6 下列计算错误的是（ C ）
例7 使用乘法公式简便计算
思考：当两个数相差为偶数或偶数倍时， 是否可以利用平方差公式简便计
算？
例7 使用乘法公式简便计算
总结：两个数相差为偶数或偶数倍时， 可以利用平方差公式简便计算。
练习7 使用乘法公式简便计算
例8 先化简，再求值
练习8 先化简，再求值
相同 数为a
(a+b)(a-b) = (相同数)² - (相反数) a2-b2
相反数为b
注意：其中a、b既可以是单项式，也可以
是多项式．
例1 判断下列式子是否可用平方差公式
练习1 判断下列式子是否可用平方差公式
例2 填一 填
算式
(a+b)(ab) (x +1)(1x) (-3+a)(3-a)
(1+a)(1+a)
(4)代数式的化简求值；
随堂小 测
1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计 算的是（ ）
随堂小 测
2.下列计算正确的是 （）
随堂小 测
随堂小 测
1.C 2.B
平方差公式：
(a b)(a b) a 2 b 2
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
光读书不思考也许能使平庸之辈知识 丰富，但它决不能使他们头脑清醒。—— 约·诺里斯来自(4)代数式的化简求值；
总结复 习
1.如何推导出平方差公式？ 根据多项式乘法推导出；
2.公式的特征：一同一反 (相同数)² - (相反 数)² 3.公式的变形：通过六变即位置、符号、指数、增 项、增因式、逆用 4.题型：(1)变形等运变用形；方(2式)简找便出计相算同；数(和3)相相反差数为； 偶数的两数相乘；

6．(4 分)计算(3a－12 )(9a2＋14 )(3a＋12 )的结果是( B )
A．81a4＋116
B．81a4－116
C．81a4－92 a2＋116
D．81分)运用平方差公式计算： (1)(14 a－1)(14 a＋1)； 解：原式＝116 a2－1 (2)(－3a－12 b)(3a－12 b)； 解：原式＝14 b2－9a2 (3)(－3x2＋y2)(y2＋3x2)；
【素养提升】 15．(13分)(内江中考)(1)填空： (a－b)(a＋b)＝_a_2－__b_2_； (a－b)(a2＋ab＋b2)＝_a_3_－__b_3； (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝_a_4－__b__4 ； (2)猜想： (a－b)(an－1＋an－2b＋…＋abn－2＋bn－1)＝_a_n－___b_n ；(其中n为正整数，且n≥2) (3)利用(2)猜想的结论计算： 29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1. 解：(3)原式＝(2－1)(29＋28＋27＋26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)＝210－110＝1 023
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．(1)(m＋n)(_－__m__＋__n)＝n2－m2； (2)(－xy－1)(_－__x_y_＋__1_)＝x2y2－1.
11．已知2x＋y＝3，2x－y＝－4，则4x2－y2＝_－__1_2_． 12．补全运算式子： (1)(m2 _－__n2__)(__m_2__＋n2 )＝m42 －n42 ； (2)(5a_＋__3_b_)(__5_a_－3b)＝25a2－9b2.
3．(4分)(宜阳期末)计算(x＋2y)(x－2y)的结果是( D ) A．x2－2y2 B．x2＋2y2 C．x2＋4y2 D．x2－4y2 4．(4分)与3x－y2相乘的积等于y4－9x2的多项式为(C ) A．3x－y2 B．3x＋y2 C．－3x－y2 D．y2－3x

平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
例2：利用平方差公式计算下列各题。
1.
(
1 4
x
y)(
1 4
x
y)
(
1 4
x)2
y
2
1 x2 y2 16
2.(ab 8)(ab 8) (ab)2 64 a2b2 64
3.(m n)(m n) 3n2 m2 n2 3n2 m2 2n2
1.5.1 平方差公式
一.自学指导（一）
1.自学内容：P20：引例 (1)(x+2)(x-2) ; (2)(1+3a)(1-3a) ; (3)(x+5y)(x-5y) ; (4)(2y+z)(2y-z). 2.自学时间：4分钟
3.自学任务： 完成计算，并观察以上算式及其 运算结果,你发现什么规律?
第一数a
平方
母的乘积时,
解: (1) (5+6x)(5−6x)= 52 − (6x)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
要用括号把这个
第二数b
平方 数整个括起来，再平方;
= 25 −36x2 ;
最后的结果又要
去掉括号。
平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
例1：利用平方差公式计算下列各题。
1. (5+6x)(5-6x)=52-(6x)2 =25-36x2 2. (x-2y)(x+2y)=x2-(2y)2 =x2-4y2 3. (-m+n)(-m-n) =(-m)2-n2 =m2-n2
（6）(4a1)(4a1) =1−16a2
拓展练习
2、填空：
①(y-1)(y+1_)=y2-1 ②(_2_a_-3)(2a+3)=4a2-9 ③(0.2x-_0_._5_)(0.2x+0.5)=0.04x2-0.25 ④(-2m+3)(3+2m)=__9_-_4_m__2_

3.推广:①公式中a与b可以是具体数,也可以是单项式 或多项式;②平方差公式可以连续使用,只要符合公式 的特点即可; ③平方差公式可以逆用,即a2-b2=(a+b)(a-b).
【自我诊断】 1.判断正误. (1)(-a-b)(a-b)=-a2+b2. (2)(-a+b)(-a-b)=-a2-b2. (3)(2x+3)(2x-3)=2x2-9. (4)(3x-1)(-3x-1)=9x2-1.
【自主解答】 (1)(-4a-1)(4a-1) =(-1+4a)(-1-4a) =(-1)2-(4a)2 =1-16a2.
(2)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) =(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1.
【备选例题】计算:(1)(-x+2y)(-x-2y).
5 平方差公式 第1课时
【基础梳理】 1.平方差公式 语言描述:两数和与这两数差的积,等于它们的_平__方__差__. 公式表达:(a+b)(a-b)=_a_2_-_b_2 . 平方差公式推导:(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

2.平方差公式的特点 (1)等号的左边是两个二项式的积,在这两个二项式中 有一项(a)完全相同,另一项(b和-b)互为相反数. (2)等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方 减去相反项的平方).
(2)(b+2a)(2a-b).
(3) ( 1 a b)(1 a b).
2
2
【解析】(1)(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. (2)(b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2

（ ab）33 （．（ab）1＝）_a2_b_2 ___．
（（25a）2m3若bn4），（3则amm2b5）÷＝n 53＝a4b_2 _____． 3
（3）若n为正整数，且a2n＝3，则（3a3n）
1
2÷（27a4n）的值
为______．
随堂练习
4.计算： (1)－x5y13÷(－xy8)；
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－5a5b2)． 6
(3) 10ab3 (5ab)
分析：
((14))可直21接x2运y4用单(3项x式2 y除3 ) 以单项式的运算法则进行计算；
(2)运算顺序与有理数的运算顺序相同．
随堂练习
4.解：
(1)－x5y13÷(－xy8) ＝x5－1·y13－8 ＝x4y5
(2)－48a6b5c÷(24ab4)·(－5a5b2) ＝[(－48)÷24×(－)5]a6－16＋5·b5－4＋2·c
第一章整式的乘除 整式的除法 第1课时
学习目标
1.会进行简单的单项式除以单项式的运算（结果是整式）； 2.经历探索单项式除以单项式法则的过程，理解单项式除
以单项式的算理； 3.在探索中体会类比方法的作用，发展有条理的思考与表
达能力和运算能力．
复习回顾
1．单项式与单项式相乘法则： 一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘， 对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因 式． 2．同底数幂的除法法则： 同底数幂相除，底数不变，指数相减． 即：（a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n）． 那么单项式与单项式如果相除呢？
典型例题
(1) 3 x2 y3 3x2 y 5
3 5
3
xห้องสมุดไป่ตู้