上海市中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量

2021年上海市中考数学试卷分析-免费2021年上海市中考数学试卷分析一、试卷基本结构：2021年上海市中考数学试卷分值分布：科目题号题量总分数学一、选择题：1-6（共24分）；二、填空题：7-18（共48分）；三、解答题：19-25（共78分） 25题 150分试卷结构从08年之后都没有变化，1-6题为选择题，占24分（每题4分）；7-18题为填空题，占48分（每题4分）；19-25题为解答题，占78分（其中，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分）。

二、模块分析: 模块代数与方程图形与几何题号 1 2 7 8 9 19 20 5 6 10 14 15 17 18 22 23 函数与分析 3 11 16 分值 4 4 4 4 4 10 10 4 4 4 4 4 4 4 10 12 4 4 4 50 总分命题特点 40 该模块共占40分，对比去年48分略有减少，其中代数部分3题12分，方程部分4题28分。

该模块中几个常考考点：分式的乘除法、二次根式的定义及其计算、二元一次方程根的判别及其解法。

不等式组和方程组的解法等在今年的中考卷中都有出现。

本模块所占分值高，难度简单。

该模块共占50分，对比去年46分有所提高。

图形的对称及翻折问题、相似的判定和性质、向量、圆等考点为中考中填空选择的常考题型。

从2021年以来，17题改为考“信息”类题型，今年继续沿用，主要考察学生对于新知识，题干条件的捕捉能力，难度简单。

18题从09年以来一直考查翻折旋转等问题，综合度较高，属于难题。

解直角三角形、四边形相关的证明题、相似相关考点为近几年必考题型。

在近6年的中考中，10年仅考查2题共8分外， 12年考查3题18分，其余3年均考查4题1622 分，而今年考查高达4题22分，比去年还有所上升。

121 数据整理与概率统计综合 4 12 14 24 25 10 4 4 4 12 14 由此可见这一模块的考查力度会继续加强，需要引起重视。

第7讲平面向量的线性运算知识一、实数与向量相乘1.平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．2.平面向量的加减法则（1）几个向量相加的多边形法则；（2）向量减法的三角形法则；（3）向量加法的平行四边形法则．3.实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ．（1）如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =； ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2）如果k = 0或0a =，那么0ka =．4.实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则（1）()()m na mn a =； （2）()m n a ma na +=+；（3）()m a b ma mb +=+． 5.平行向量定理 如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =．6.单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =．单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同．对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．题型一、向量的相关概念与平面向量定理【例1】（1）（2020年上海中考课时练习）已知非零向量a ，b ，c ，下列条件中，不能．．判定a //b 的是（ ）A ．a b =；B ．a b =-；C ．a //c ，b //c ；D ．2a c =，4a c =．【答案】A【解析】A. ∵a b =，不能判断a //b ，故本选项，符合题意B. ∵a b =-，∵a //b ，故本选项，不符合题意；C.∵a //c ，b //c ，∵a //b ，故本选项，不符合题意；D.∵2a c =，4a c =，∵a //b ，故本选项，不符合题意；故选：A ．（2）（2021·上海九年级一模）已知向量a 与非零向量e 方向相同，且其模为e 的2倍：向量b 与e 方向相反，且其模为e 的3倍．则下列等式中成立的是（ ） A ．23a b = B ．23a b =- C ．32a b = D ．32a b =- 题型探究【答案】B【解析】解：由题意可知：a =2e ，b =-3e∵e =13b - ∵a =2e =23b - 故选：B ．（3）（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）对于非零向量a 与b ，下列命题是假命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．若a b =，则a b =C ．若a b =-，则a b =-D ．若a b =，则a b =-【答案】B【解析】解：根据向量的概念，知：A 、C 、D 正确；B 、两个向量的长度相等，但两个向量不一定方向相等，故错误．故选：B ．（4）（2019·上海）下列说法中，正确的是（ ）A ．如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0B ．如果e 是单位向量，那么e ＝1C ．如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣aD ．已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b【答案】D【解析】解：A 、如果k ＝0，a 是非零向量，那么k a ＝0，错误，应该是k a ＝0．B 、如果e 是单位向量，那么e ＝1，错误．应该是e ＝1．C 、如果|b |＝|a |，那么b ＝a 或b ＝﹣a ，错误．模相等的向量，不一定平行．D 、已知非零向量a ，如果向量b ＝﹣5a ，那么a ∵b ，正确．故选：D ． 题型二、作图题【例2】已知非零向量a，求作75a ，3a -．【答案】图见解析. 【解析】在平面内任取一点A ,做=AB a ,在射线AB 上，取75AC AB =,则75AC a =； 在射线AB 的反向延长线上，取3BD AB =,则3.BD a =-；题型三、向量的表示与相等向量【例3】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量．AB C DE FG H O【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；． 【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个． 题型四、向量的运算【例4】填空：AB BC += ； AB BC CA ++= ；AB BC BA ++= ； AE FC EF ++= ；AB AC BC -+= ； OA BC OC +-= ．【答案】AC ；0；BC ；AC ；0；BA ．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB -=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【例5】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （2）()()32523a b a b +--；（3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭； （2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭． 【例6】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=． 【答案】2372c b a =-． 【解析】解：∵42307c a b +-=，∵4237c b a =-，∵2372c b a =-． 【例7】用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9；（2）b 与e 方向相反，且长度为5；（3）c 与e 方向相反，且长度为35． 【答案】3955a eb ec e ==-=-；；． 【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；． 题型五、向量的证明【例8】已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行． 【答案】证明见解析【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+去括号：265564a b a b a b +-+=+移项合并得：79b a =系数化1：97b a = 所以，向量a 和b 平行．【例9】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a c b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，根据实数与向量相乘的意义，可知,,a c b c 所以，向量a 与b 平行． 举一反三1.下列说法中，正确的是（ ） A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘 C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短 D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定．2．（2021·上海九年级专题练习）已知,a b →→和c →都是非零向量，在下列选项中，不能判定/b /a →→的是（ ）A ．//,//a c b c →→→→B ．|a |||b →→=C ．3a b →→=-D ．1,22a c b c →→→→==【答案】B【解析】解：A 、∵//,//a c b c →→→→，∵/b /a →→，故本选项不合题意；B 、∵|a |||b →→=的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；C 、∵3a b →→=-，∵/b /a →→，故本选项不合题意；D 、∵1,22a c b c →→→→==，∵/b /a →→，故本选项不合题意．故选：B ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知4a b a +=，那么b →的值为（ ） A ．a → B ．2a → C ．3a D ．4a【答案】C【解析】解：∵4a b a +=，∵43b a a a →→→→=-=；故选：C ．4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）3a 与2a a +的长度与方向的关系是（ ）A ．长度相等，方向相同B ．长度相等，方向相反C ．长度不等，方向相同D ．长度不等，方向相反【答案】A【解析】23a a a +=∴3a 与2a a +相等向量长度相等，方向相同故选：A5.（2020·上海九年级专题练习）如果向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为3，那么用向量e 表示向量a 为（ ）A ．3a e =B ．3a e =-C ．3e a =D ．3e a =-【答案】B【解析】解：∵向量e 为单位向量，向量a 与向量e 方向相反， ∵3a e =-．故选：B ．6.（2021·上海九年级一模）已知1e 、2e 是两个单位向量，向量13a e =，23b e =-，那么下列结论正确的是（ ） A ．12e e = B ．a b =- C ．a b = D ．a b =-【答案】C【解析】解：∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵1e 与2e 不一定相等，选项A 错误； ∵1e 、2e 是两个单位向量，方向不一定相同，∵a 与b -不一定相等，选项B 错误； ∵133a e ==，233b e =-=，∵a b =，选项C 正确，选项D 错误； 故选：C7.如图，已知a ，求作13a -（提示：利用三角形的重心）．【答案】图见解析.【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结AB 、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 的中线，根据三角形重心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.8.如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ．【答案】411DE BC =． 【解析】∵47AD BD ==，，∵411AD AB =， 又∵//DE BC ， ∵DE AD BC AB =． ∵411DE BC =． 9.计算：()35a -⨯=； ()()743a b a b a +--+=； ()()1123a b a b +--= ．【答案】151561166a ab a b -++；；． 【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+； （3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 10.在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--．求证：四边形ABCD 为梯形．【答案】证明过程见解析.【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∵2(4)2AD a b BC =--=，∵//AD BC ．∵四边形ABCD 是梯形．1.向量的线性运算 如果a 、b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做a 、b 的线性组合.向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算． 2.向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．知识二、向量的线性运算平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．题型一、作图题 【例10】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶3+2,a b 2a b -.【答案】图像见解析.【解析】如图,在平面内任取一点O ，作OA a =，=OB b ;再3OC a =，=2OD b .以 OC 、OD 为邻边，作平行四边形 OCED ，则32OE a b =+.作向量DA ，则 2DA a b =-.【例11】已知两个不平行的向量a 、b .求作∶()72.2a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【答案】图像见解析.【解析】()7752=23.222a b a b a b a b b a ⎛⎫+--+-+=- ⎪⎝⎭ 如图，在平面内取一点O ,作5,3;2OA a OB b ==再作AB ,则 5=32AB OB OA b a -=-. 题型探究题型二、向量的线性组合【例12】(1)（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，O 为∵ABC 内一点，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且11,43AD AE AB EC ==；若OB a =，OC b =，求：用向量a ，b 表示DE →．【答案】DE →1144b a →→=- 【解析】解：∵11,43AD AE AB EC == ∵14ADAE AB AC ∵DE∵BC∵14DEAD BCAB ∵BC b a →→→=-∵DE 1144b a →→=-； (2) （2020·上海九年级一模）如图，在梯形ABCD 中， //AD BC ， 2BC AD =，对角线AC 、BD 相交于点 O ，设AD a =， AB b =.试用a 、b 的式子表示向量 AO .【答案】1233AO b a =+ 【解析】//,2AD BC BC AD =12AO AD OC BC ∴== 13AO AC ∴=即13AO AC = AD a =， BC 与AD 同向，2BC a ∴=2AC AB BC b a =+=+1233AO b a ∴=+ 题型三、向量的分解【例13】如图，已知向量OA 、OB 和p 、q ，求作：（1）向量p 分别在OA 、OB 方向上的分向量；（2）向量q 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【答案】（1）OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.【解析】（1）作向量OP p=;再过点P分别作PE//OA，PD//OB，E为直线PE与直线OB的交点，D为直线PD与直线OA的交点.作向量OD OE、.则OD OE、是向量p分别在OA、OB方向上的分向量.（2）作OQ q=;再过点Q分别作QF//OA，QG//OB，F为直线QF与直线OB 的交点，G为直线QG 与直线OA的交点.作向量OG OF、.则OG OF、是向量q分别在OA、OB方向上的分向量.举一反三1．（2020上海九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，CE与BD相交于点O，CE与BA的延长线相交于点G，已知DE＝2AE，CE＝8．（1）求GE的长；（2）若AB＝a，AD＝b，用a、b表示OB；（3）在图中画出12a b+．（不需要写画法，但需要结论）【答案】（1）GE ＝4；（2）3355OB a b =-；（3）AH 即为所求，作图见解析 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AD ＝BC ，AD ∵BC ，,GAE GBC ∴∽∵DE ＝2AE ，∵13GEAEGC BC ==∵CE ＝8，∵183GEGE =+∵GE ＝4．经检验：4GE =符合题意．（2）∵BD BA AD b a =+=- ，DE ∵BC ，DE ＝2AE ，,DOE BOC ∴∽∵23DEOD BC OB ==∵35OBOBBD OD OB ==+∵()333555OB b a a b =--=-；（3）如图，延长CD 到H ，使得DH ＝AG ，连接AH ．∵AE∵BC，, AGE BGC ∴∽∵13 GA AE GB BC==∵12 GA GAAB GB GA==-∵1122 DH AG BA a ===∵12a b AD DH AH+=+=∵AH即为所求．2．（2021·上海九年级一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边AD的中点AC、BE相交于点O．设BA a=，CB b=．（1）试用a、b表示BO；（2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）【答案】（1）2133BO a b=-；（2）见解析，2233CO b a=+【解析】解（1）∵//AD BC∵12OE AE BO BC == ∵23BO BE = ∵()222121333233BO BE BA AE a b a b ⎛⎫==+=-=- ⎪⎝⎭；（2）∵AE∵BC ，∵1=2AOAECO CB =，∵23CO CA =，∵()()2222233333CO CA CB BA b a b a ==+=+=+如图所示，CO 在CB 、CD 上的分向量分别为CN 和CM ．课后作业1.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列各式与3a 是相等向量的是（）A ．42a a +B ．62a a -C ．2b b +D ．1(5)2a a +【答案】D【解析】解：A 选项42a a +=6a ，不符合题意；B 选项62a a -=4a ，不符合题意；C 选项2b b +=3b ；不符合题意；D 选项11(5)6322a a a a →→→→+=⋅=，符合题意．故选：D ．2．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）下列说法错误的是（ ）A ．如果OA OB =，那么A 与B 重合 B ．若2OA OB =，则B 是OA 的中点C ．若2OA OB =，则 若2OA OB =D ．B 是OA 的中点则 2OA OB =【答案】C【解析】因为OA =OB 且方向相同，所以A 与B 重合，此选项正确；B 、因为2OA OB =且方向相同，所以B 是OA 的中点，此选项正确，C 、因为2OA OB =，但方向不明确，所以2OA OB =或2OA OB =-，此选项错误；D 、因为B 是OA 的中点，所以2OA OB =，此选项正确，符合题意的选项是C ，故选：C ．3.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如果点C 是线段AB 的中点，那么下列结论正确的是（ ）A ．0AC BC +=B ．0AC BC -=C ．0AC BC +=D ．0AC BC -=【答案】C【解析】解：由题意，∵点C 是线段AB 的中点，∵AC BC =∵AC 与BC 为相反向量，∵0AC BC +=；故选：C ．4.（2021·上海九年级专题练习）已知非零向量a 、b ，且有2a b =-，下列说法中，不正确的是（ ） A ．||2||a b =；B ．a ∵b ；C ．a 与b 方向相反；D ．20a b +=．【答案】D 【解析】 A.∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，自然模也相等，∵||2||a b =，该选项不符合题意错误；B. ∵2a b =-，表明向量a 与2b -是同一方向上相同的向量，那么它们是相互平行的，虽然2b -与b 方向相反，但还是相互平行，∵a ∵b ，该选项不符合题意错误；C. ∵2a b =-，而2b -与b 方向相反，∵a 与b 的方向相反，该选项不符合题意错误；D. ∵0只表示数量，不表示方向，而2a b +是两个矢量相加是带方向的，应该是02b a →→→+=，该选项符合题意正确；故选：D5.（2020·上海九年级一模）已知a ，b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定a ∵b 的是（ ） A ．a //c ，b //cB ．1,22a c b c ==C ．2a b =D ．a b =【答案】D【解析】解：A.∵a //c ，b //c ，∵a ∵b ，故本选项错误； B.∵1,22a cbc ==∵a ∵b ，故本选项错误.C.∵2a b=，∵a∵b，故本选项错误；D.∵a b=，∵a与b的模相等，但不一定平行，故本选项正确；故选：D．6．（2020·上海九年级专题练习）若a＝2e，向量b和向量a方向相反，且|b|＝2|a|，则下列结论中不正确的是（）A．|a|＝2B．|b|＝4C．b＝4e D．a＝1 2b -【答案】C【解析】A、由a＝2e推知|a|＝2，故本选项不符合题意．B、由b＝-4e推知|b|＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：b＝﹣4e，故本选项符合题意．D、依题意得：a＝-12b，故本选项不符合题意．故选C．||||CA BD∴=．CA BD∴=．∴平行四边形ABCD是矩形．故选：A．7．（2021·上海中考真题）如图，已知平行四边形ABCD中，,AB a AD b==，E为AB中点，求12a b+=（）A．EC B．CE C．ED D．DE 【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∵1122a b AB BC EB BC EC+=+=+=故选A．8．（2021·上海九年级二模）如图，在∵ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设AB a=，AE b=，那么向量BG用向量a、b表示为（）A．2233-+a b B．2233a b+C．1122a b-+D．1122a b+【答案】A【解析】解：∵AB a=，AE b=，∵BE BA AE a b=+=-+，∵AD，BE是∵ABC的中线，∵G是∵ABC的重心，∵BG＝23 BE，∵BE ＝2233a b -+， 故选A ．9．（2021·上海九年级一模）已知点M 是线段AB 的中点，那么下列结论中，正确的是（ ）． A ．AM BM =B ．12AM AB =C ．12BM AB =D ．0AM BM +=【答案】B【解析】解：A 、AM MB =，故本选项错误；B 、12AM AB =，故本选项正确； C 、12BM BA =，故本选项错误； D 、0AM BM +=，，故本选项错误．10．（2021·上海）以下说法错误的是（ ）A ．如果0ka =，那么0a =；B ．如果2a b =-，那么||2||a b =；C ．如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ； D ．如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =．【答案】A【解析】A 、如果0ka =，那么0a ≠，故该项错误，B 、如果2a b =-，那么||2||a b =，故该项正确；C 、如果23a b =（b 为非零向量），那么//a b ，故该项正确；D 、如果0a 不是与非零向量a 同方向的单位向量，那么0||a a a =，故该项正确；故选：A ．11．（2021·上海九年级一模）已知a 是非零向量，2b a =-，下列说法中错误的是（） A ．b 与a 平行 B ．b 与a 互为相反向量C ．||2||b a =D ．12a b =-【答案】B【解析】解：A.因为2b a =-（a ≠0），则b 与a 平行，故此结论正确；B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；C. 因为2b a =-，则||2||b a =结论正确；D. 2b a =-两边同除以-2，则12a b =-，故此结论正确．故答案为：B ．12．（2020·上海交大附中九年级期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（）∵()()3330a b a b ---=；∵若3a b =，则3a b =-；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =；∵如果非零向量a mb =，则a 与b 所在的直线平行；∵如果0a →与0b →分别是a 与b 的单位向量，则00//a b →→A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】∵()()()()333330a b a b a b a b ---=---=，该选项正确； ∵若3a b =，向量既有大小，也有方向，故不确定，该选项错误；∵若m 、n 是实数，则()()m na mn a =，该选项正确；∵如果非零向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使得b ma =，该选项正确； ∵如果非零向量a mb =，可得a 、b 方向相同，则a 与b 所在的直线平行，该选项正确；∵如果a 与b 不平行，则0a →与0b →也不平行，该选项错误．综上，∵∵∵∵正确，共4个．故选：C ．13．（2021·上海九年级一模）计算：()432a a b --=_________________．【答案】6a b +【解析】解：()432a a b -- 4366a a ba b =-+=+故答案为：6a b +．14．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）化简：31()2()2a b a b +--＝_____． 【答案】72a b +【解析】解：31()2()2a b a b+--＝3a+32b﹣2a+2b＝（3﹣2）a+（32++2）b＝72a b+故答案是：72a b +．15．（2021·上海九年级专题练习）已知向量a与e方向相反，长度为6，则a=_______e【答案】－6【解析】∵向量a与e方向相反，长度为6，∵6a e=-，故填：6．16．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）化简：（1）AB BC CD++=________．（2）AB AD DC--=_________．（3）()()AB CD AC BD---=________．【答案】AD CB0【解析】解：（1）AB BC CD AC CD AD++=+=；（2）AB AD DC DB DC CB--=-=；（3）()()AB CD AC BD---AB BD CD AC=+--CAAD DC=++=；故答案为：AD；CB；0．17．（2021·上海九年级专题练习）已知向量,,a b x满足关系式34()0a b x+-=，那么可用向量,a b表示向量x＝_____．【答案】34ab+【解析】解：34()0a b x+-=，3a+4b＝4xx＝34ab+．故答案是：34ab+．18．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知∵ABCD，E是边CD的中点，联结AE并延长，与BC的延长线交于点F．设,AB a AD b==，用,a b表示AF为__________________．【答案】2a b+【解析】解：在∵ABCD中，CD∵AC．∵E是边CD的中点，∵CE是∵ABF的中位线，∵BC＝CF．在四边形ABCD中，AD＝BC，AD＝b，则=2BF BC＝2AD=2b．∵AB＝a，∵AF＝AB BF+＝a+2b．故答案是：a+2b．19．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，已知DE∵AC，DF∵AB，BD：DC=2：5，设AB,a BD b==．,a b表示：,,,CD DF AC DE．【答案】52CD b=-；57DF a=-；72AC b=；27DE a b=--【解析】∵BD：DC=2：5，∵5522CD BD b=-=-，BD：BC=2：7，CD：BC=5：7，∵DF∵AB，∵57 DF CDAB BC==，∵55AB77DF a=-=-，∵BD：BC=2：7，∵72BC b=，∵72AC AB BC a b=+=+，∵DE//AC，∵DE BDAC BC==27，∵2272()7727DE AC a b a b =-=-+=--．20．（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知a、b都是已知向量，x、y都是未知向量，且x+20a =，420x y a b -++=，求x 、y ．【答案】x =2a -；72y a b =-+【解析】解：∵x +20a =，∵x =2a -；∵420x y a b -++=，∵820a y a b --++=，∵72y a b =-+；21．（2021·上海九年级一模）如图，在ABCD 中，AE 平分BAD ∠，AE 与BD 交于点F ， 1.2AB =， 1.8BC =． （1）求:BF DF 的值；（2）设AB a =，BC =b ，求向量DF （用向量a 、b 表示）．【答案】（1）BF :DF =2：3，（2）3355DF a b =-． 【解析】（1）在ABCD 中，∵BC ∵AD∵∵BEA =∵DAE ，又∵∵BFE =∵DF A ，∵∆BFE ∵∆DF A ，∵BE BF AD DF = ，又∵AE 平分BAD ∠，∵∵BAE =∵DAE ，∵∵BAE =∵BEA ，∵AB =BE ， ∵BE AB AD AD = 又∵ 1.2AB =， 1.8AD BC ==．∵1.221.83BF AB DF AD === ∵BF :DF =2：3（2）∵BF :DF =2：3∵DF =35DB ∵35DF DB ==3()5AB AD - ∵BC ∵ AD ， BC =AD ，AB a =，BC =b ，∵AD BC b ==∵333()555DF a b a b =-=-． 22．（2021·上海九年级一模）如图，一个33⨯的网格．其中点A 、B 、C 、D 、M 、N 、P 、Q 均为网格点．（1）在点M 、N 、P 、Q 中，哪个点和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似？请说明理由； （2）设AB a =，BC b =，写出向量AD 关于,a b 的分解式．【答案】（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由见解析；（2）2a 3b -【解析】解：（1）点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似，理由如下：设网格中小正方形的边长为a ，则BC=a ，AB=22a a 2a +=， AC=()2225a a a +=，其中BC ＜AB ＜AC如下图所示，连接BM 、AM则BM=()2225a a a +=，AM=()()223213a a a +=，其中AB ＜BM ＜AM ∵22AB a BC a==，51022BM a AB a == ∵AB BC ≠BM AB∵ABM 和ABC 不相似；如下图所示，连接AN则BN=2a ，AN=()22310a a a +=，其中AB ＜BN ＜AN∵22AB a BC a ==，222BN a AB a ==，1025AN a AC a==， ∵AB BC ＝BN AB =AN AC ∵NBA △∵ABC ；如下图所示，连接BP则BP=()2225a a a +=，AP=3，其中AB ＜BP ＜AP∵22AB a BC a ==，51022BP a AB a == ∵AB BC ≠BP AB∵ABP △和ABC 不相似；如下图所示，连接BQ 、AQ则BQ=()()222222a a a +=，AQ=()22310a a a +=，其中AB ＜BQ ＜AQ∵22AB a BC a==，2222BQ a AB a == ∵AB BC ≠BQ AB∵ABQ △和ABC 不相似；综上：点N 和点A 、B 所构成的三角形与ABC 相似；（2）延长AB 至E ，使BE=AB ，根据正方形的性质可知，点E 正好落在格点上，如下图所示∵22AE AB a ==，33ED BC b =-=-∵AD =AE ＋ED=2a 3b -．23．（2021·上海九年级一模）如图，已知ABC 中，//DE BC ，且DE 经过ABC 的重心点G ，BD a =，BC b =．（1）试用向量a 、b 表示向量BE ；（2）求作向量()233a b -（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）． 【答案】（1）23BE a b =+；（2）见解析 【解析】解：（1）如图，连接AG 并延长交BC 于点F ，则GF=12AG ， AG 2=AF 3∴， DE//BC ，BC b =ADE ABC ∴△△∽， DE AG 2==BC AF 3∴ ， 23b DE BC =＝，2a 3BE BD DEb ∴=+=+（2）BD a =，3BA a ∴=，作AD 的中点J ，2J=3a 23B a ∴⨯=，延长CB 到I ，使得BI=DE ，23BI b ∴=-，以BJ 、BI 为邻边作平行四边形BJKI ，则()2223a 33BK BJ BI a b b =+=-=-，∵BK 即是所求的求作的向量24．（2021·上海）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 为OC 的中点，连接BE 并延长，交边CD 于点F ，设BA a =，BC b =．（1）填空：向量AE =__________；（2）填空：向量BF =__________，并在图中画出向量BF 在向量BA 和BC 方向上的分向量． （注：本题结果用含向量a 、b 的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】（1）3344b a -；（2）13a b +；作图见解析 【解析】解：（1）∵平行四边形ABCD 中∵AO=OC=12AC∵OE=EC=12OC=14AC ∵AE=AO+OC=12AC+14AC=34AC ∵AC BC BA b a =-=-∵()33334444AE AC b a b a ==-=-； 故答案为3344b a -； （2）∵EC=14AC,AE=34AC ∵13EC AE = ∵平行四边形ABCD∵AB//CD∵∵FCE∵∵BAE ∵13FC EC AB AE ==,即FC=13AB ∵AB//FC ∵13CF BA =,即13CF a = ∵13BF CF BC a b =++=+ 故答案为：13a b +．25．（2020·上海交大附中九年级期中）如图，点D 、E 分别在ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且//DE BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点．（1）设BF a →→=，→→=AC b ，试用x a y b →→+的形式表示,AB ED →→；（x 、y 为实数） （2）作出BF →在BA →、BC →上的分向量．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 【答案】（1）1AB=2a b -+，11ED=24a b +；（2）作图见解析 ．【解析】（1）∵F 为AC 的中点，AC=b ，∵1AF=FC=2b ， ∵11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 11AB=AF+FB=22b a a b -=-+ 1BC=BF+FC=2a b + ∵DE∵BC∵∵EDA∵∵CBA∵AE=12AC ，ED=12BC 11111ED=BC=22224a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ （2）作图如下：作GF∵AB 交BC 于G ， ∵F 为AC 中点，∵ G 为BC 中点，FG=12AB ， ∵BF 在BA 上的分向量1GF=BA 2， BF 在BC 上的分向量1BG=BC 2。

2002年-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础和向量一、选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n ，不符合正比例的关系式，故错误；C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360n，随着n 的增大，度数将变小，故正确；D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。

故选A ，C 。

2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】 A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。

【考点】向量的计算。

【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。

故选B 。

3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于【 】A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。

【考点】向量的几何意义。

【分析】根据向量的意义，=a b AC +。

故选B 。

4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。

【考点】多边形内角与外角。

【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于02180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。

【2013版中考12年】上海市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题8 平面几何基础和向量选择题1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】 （A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等． 【答案】A ，C 。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

故选A ，C 。

2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a -的结果是【 】 A ．aB ．aC ．a -D ．a -【答案】B 。

【考点】向量的计算。

【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a -。

故选B 。

3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于【 】A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA【答案】B 。

【考点】向量的几何意义。

【分析】根据向量的意义，=a b AC +。

故选B 。

4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】 A ．正六边形 B ．正五边形C ．正四边形C ．正三边形【答案】C 。

【考点】多边形内角与外角。

【分析】正n 边形的内角和可以表示成02180n -⋅（），则它的内角是等于02180n n-⋅（），n 边形的中心角等于0360n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于n 的方程：002180360n n n-⋅=（），解这个方程得n =4，即这个多边形是正四边形。

故选C 。

5.（上海市2009年4分）如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是【 】A ．AD BC DF CE =B ．BC DFCE AD =C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=【答案】A 。

【考点】平行线分线段成比例。

【分析】已知AB CD EF ∥∥，根据平行线分线段成比例定理，得AD BCDF CE=。

中考数学模拟试题向量的概念与计算向量的概念与计算中考数学模拟试题一、引言在数学中，向量是一个非常重要且基础的概念。

了解向量的概念以及掌握向量的计算方法，对于解决许多数学问题都具有重要的作用。

本文将介绍向量的概念、向量的表示方法以及常用的向量计算方法。

二、向量的概念向量是指具有大小和方向的量，常用箭头表示。

向量可以包含坐标和方向信息。

在平面几何中，向量通常用有序实数对(a, b)表示，其中a 表示横坐标，b表示纵坐标。

在空间几何中，向量通常用有序实数组(x, y, z)表示，其中x、y、z分别表示在x轴、y轴和z轴上的坐标。

三、向量的表示方法1. 向量的符号表示通常使用小写字母加上一个箭头来表示向量，例如，用小写字母a 表示向量a。

2. 向量的坐标表示如前所述，向量可以通过有序数对或数组来表示。

在平面几何中，向量a = (a1, a2)；在空间几何中，向量a = (a1, a2, a3)。

这种表示方法常用于直接计算向量的各种运算。

四、向量的计算方法1. 向量的加法向量的加法操作是指将两个向量的对应分量相加。

例如，向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，则它们的和为向量c = (a1 + b1, a2 + b2)。

同样地，在空间几何中，向量的加法操作也是对应分量相加的。

2. 向量的减法向量的减法操作是指将两个向量的对应分量相减。

例如，向量a = (a1, a2)和向量b = (b1, b2)，则它们的差为向量c = (a1 - b1, a2 - b2)。

在空间几何中，向量的减法操作也是对应分量相减的。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法操作是指将向量的每个分量与一个常数相乘。

例如，向量a = (a1, a2)与常数k相乘，结果为向量b = (ka1, ka2)。

同样地，在空间几何中，向量的数量乘法操作也是将向量的每个分量与常数相乘。

4. 向量的数量除法向量的数量除法操作是指将向量的每个分量除以一个常数。

考点05 平面向量向量知识与观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，融数形一体，能与中学数学的许多主干知识形成知识交汇点。

平面向量的数量积、模、夹角是历来高考考查的重点、热点，以选择题或填空题的形式呈现.常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直（平行）的条件等问题.近几年浙江卷主要考查平面向量的坐标运算、模的最值等问题，难度为中等或中等偏上.但在三角函数、解析几何、数列知识交汇点命题值得关注一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，AB→零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0＝a|a|共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如AB→＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、向量的分解与向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.三、平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 和向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(2)范围：向量夹角〈a ，b 〉的范围是[0，π]，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉. (3)向量垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2.向量在轴上的正射影已知向量a 和轴l (如图)，作OA →＝a ，过点O ，A 分别作轴l 的垂线，垂足分别为O 1，A 1，则向量O 1A 1→叫做向量a 在轴l 上的正射影(简称射影)，该射影在轴l 上的坐标，称作a 在轴l 上的数量或在轴l 的方向上的数量.OA →＝a 在轴l 上正射影的坐标记作a l ，向量a 的方向与轴l 的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有a l ＝|a |cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. ①数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.②模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.③夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.④两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. ⑤|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22.4.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).平面向量的概念及线性运算一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则a b c ++=（ ）. A ．0B ．3C 2D ．222．（2020·上海市行知中学高三开学考试）已知平面上点O 与线段AB ，若线段AB 上有(1)n n >个异于端点A 、B 的互异动点1P 、2P 、⋅⋅⋅、n P ，且满足k k k OP OA OB λμ=+，k λ、k R μ∈，1k n ≤≤，k Z ∈，则()()1212n n λλλμμμ的取值范围是（ ）A ．10,2n ⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,4n ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4n ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4n ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．（2019·上海市青浦高级中学高三月考）已知ABC ∆中，()0BC AB BC ⋅+=，则ABC ∆的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4．（2020·上海高三专题练习）设a ，b ，c 是三个非零向量，且a 与b 不共线，若关于x 的方程20ax bx c ++=有两个实根1x ，2x ，则( )A ．12x x >B ．12x x =C ．12x x <D ．1x ，2x 大小不确定5．（2020·上海杨浦区·复旦附中高三期末）已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且126...0a a a +++=，则()()1256a a a a +⋅+的最大值是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．14二、填空题6．（2020·上海青浦区·高三二模）已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.7．（2020·上海高三专题练习）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）在ABC 中，1AB =，2AC =，1263CE CB CA =+，则AE BC ⋅=___________.9．（2020·上海长宁区·高三一模）在ABC 中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上.若1AB AD ⋅=，53AD AC ⋅=，则AB AC ⋅的值为___________.10．（2020·上海闵行区·高三一模）已知平面向量,,a b c ，对任意实数t ，都有b ta b a -≥-，b tc b c -≥-成立.若3a =，2c =，7a c -=，则b =___________.11．（2020·上海市进才中学高三月考）已知实数λ同时满足：（1）(1)AD AB AC λλ→→→=+-，其中D 是ABC 边BC 延长线上一点：（2）关于x 的方程22sin (1)sin 10x x λ-++=在[0,2)π上恰有两解，则实数λ的取值范围是___________12．（2020·上海市建平中学高三月考）已知ABC 的面积为3，P ，Q 为ABC 所在平面内异于点A 的两个不同的点，若()120PA PC λ-+=且QA QB QC BC λλλ++=，其中0λ>，则APQ 的面积为______.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知平面向量PA 、PB 满足22||4PA PB +=，2||2AB =，设2PC PA PB =+，则PC ∈________.三、解答题14．（2020·上海高三专题练习） 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标；(2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 的轨迹．15．（2020·上海高三专题练习）如图，在ABC 中，E ，F 分别在AB ，AC 上，||1||2BE EA =，||1||CF FA =，CE 与BF 交于点G ，CG CE λ=，BG BF μ=，求λ和μ的值．16．（2019·上海杨浦区·复旦附中高三开学考试）点P 为ABC ∆平面上一点，有如下三个结论： ①若0++=PA PB PC ，则点P 为ABC ∆的______；②若sin sin sin 0A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则点P 为ABC ∆的______； ③若sin 2sin 2sin 20A PA B PB C PC ⋅+⋅+⋅=，则点P 为ABC ∆的______. 回答以下两个小问：（1）请你从以下四个选项中分别选出一项，填在相应的横线上. A ．重心 B ．外心 C ．内心 D ．垂心 （2）请你证明结论②.1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”. 2.三个常用结论(1)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB→＋DC →＝2EF →；(3)对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.注意向量共线与三点共线的区别.向量的分解与向量的坐标运算一、单选题1．（2020·上海高三专题练习）在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是（ ） A ．()10,0e =，()21,2e = B ．()11,2e =-，()25,2e =- C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，()22,3e =-2．（2020·上海高三专题练习）已知函数21xy x-=+，按向量a 平移此函数图象，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a 为( ) A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．(1,1)3．（2020·上海高三专题练习）已知()11,AB x y =，()22,AC x y =，则三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件4．（2021·上海高三专题练习）在平面上，1212,1AB AB OB OB ⊥==，12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是（ ）A ．50,2⎛ ⎝⎦B ．5722⎛ ⎝⎦C ．5,22⎛⎤⎥⎝ D ．7,22⎛⎤⎥⎝ 5．（2020·上海高三其他模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆上及内部的动点，设向量(),AP mAB nAD m n R =+∈，则m n +的取值范围是（ ）A ．221244⎡-+⎢⎣⎦B ．32,244⎡+⎢⎣⎦C ．39,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．29144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．（2019·上海杨浦区·高三二模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且7cos 8A =.M 为ABC 内部的一点，且0aMA bMB cMC ++=，若AM x AB y AC =+，则x y +的最大值为（ ）A ．45B ．54C ．56D ．127．（2020·上海市进才中学高三月考）已知单位向量,a b ，且0a b ⋅=，若[0,1]t ∈，则5|()|(1)()12t b a a b t a b -+++--的最小值为（ ） A ．19312B ．1312C 2D ．18．（2019·上海市育才中学高三三模）如图所示，向量BC 的模是向量AB 的模的t 倍，AB 与BC 的夹角为θ，那么我们称向量AB 经过一次(,)t θ变换得到向量BC . 在直角坐标平面内，设起始向量1(4,0)OA =，向量1OA 经过1n -次12(,)23π变换得到的向量为1n n A A -(,1)n n ∈>*N ，其中i A 、1i A +、2i A +()i ∈*N 为逆时针排列，记i A 坐标为(,)i i a b ()i ∈*N ，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A ．23b =B ．3130k k b b +-=()k ∈*NC ．31310k k a a +--=()k ∈*ND ．4318()()0k k k k a a a a +++-+-=()k ∈*N9．（2019·上海市建平中学高三月考）已知向量,OA AB ，O 是坐标原点，若AB k OA =，且AB 方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA 经过一次(,)k θ变换得到AB ，现有向量(1,1)OA =经过一次()11,k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次()22,k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A --经过一次(),n n k θ变换后得到1n n A A -，设1(,)n n A A x y -=，112n n θ-=，1cos nnk θ=，则y x -等于（ ）A ．12112sin 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．12112sin 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ C ．12112cos 22111sin1sin sin sin 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D ．12112cos 22111cos1cos cos cos 222n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、填空题10．（2020·上海市洋泾中学高三期中）已知向量()()22,1,,2m x n x ==满足m n m n ⋅=⋅，则实数x =__________.11．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知()2,3a m =--，()1,b m =-，若a ∥b ，则m ＝_________________． 12．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知向量(2,1)a =，(,3)b m =，若向量(2)a b -∥b ，则实数m =________13．（2019·浦东新区·上海市浦东复旦附中分校高三二模）在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC==，则2BM 的最大值为________. 14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）在△ABC 中，12BD DC =，AE EB =，点F 为△ADC 内（包括边界）任意一点，若EF EB ED λμ=+，则2λμ-的取值范围为________ 15．（2020·上海高三其他模拟）已知()1212*,,,,,k a a b b k N b ∈是平面内两两不同的向量，满足12||1a a -=，且||{1,2}i j a b -∈ (其中1,2,1,2,,i j k ==)，则k 的最大值为______16．（2020·上海高三一模）如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知//AD BC ，2ABC π∠=，1AB AD ==，2BC =，M 为BD 的中点．设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ⋅的最大值为_________．三、解答题17．（2019·上海高三其他模拟）已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值； （2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值.18．（2020·上海市控江中学高三月考）已知直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D 、E 两点，且满足1EA AD λ=、2EB BD λ=．(1)已知直线l 的方程为24y x =-，抛物线C 的方程为24y x =，求12λλ+的值； (2)已知直线:1(1)l x my m =+>，椭圆22:12x C y +=，求1211λλ+的取值范围；(3)已知双曲线22:13x C y -=，126λλ+=，求点D 的坐标．19．（2021·上海高三专题练习）如图，已知圆2221:(0)2r x y r r ⎛⎫Γ+-=> ⎪⎝⎭和双曲线2222:1(0)y x b bΓ-=>，记1Γ与y 轴正半轴、x 轴负半轴的公共点分别为A 、B ，又记1Γ与2Γ在第一、第四象限的公共点分别为C 、D .（1）若2r ，且B 恰为2Γ的左焦点，求2Γ的两条渐近线的方程；（2）若2r，且(,5)AC AD m +=-，求实数m 的值；（3）若B 恰为2Γ的左焦点，求证：在x 轴上不存在这样的点P ，使得 2.019PA PC -=.20．（2020·上海高三专题练习）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2的形式.平面向量的数量积及其应用一、单选题1．（2020·上海奉贤区·高三一模）设d 是直线1111:0l a x b y c ++=的一个方向向量，n 是直线2222:0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量d 与向量n 的夹角为θ，则|cos |θ为（ ）ABCD2．（2020·上海虹口区·高三一模）在ABC 中，若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．（2020·上海长宁区·高三一模）对任意向量a ､b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．()22a ba b +=+B ．()()22a b a b a b ⋅=+-- C ．a b a b ⋅≤⋅D ．a b a b -≤-4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知非零平面向量a 、b 、c ，设b 与c 、c 与a 、a 与b 的夹角依次为α、β、γ，关于论断P ：“a 、b 、c 经平移之后能构成三角形”有两个命题：①P 等价于sin sin sin a b c αβγ==；②P 等价于2222cos c a b a b γ=+-⋅⋅，则（ ）A ．①②都是真命题B ．①②都是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①是真命题，②是假命题5．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-6．（2020·上海高三其他模拟）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA PC PB PD ⋅+⋅是定值；B ．PA PB PB PC PC PD PD PA ⋅+⋅+⋅+⋅是定值； C ．PA PB PC PD +++是定值； D ．2222PA PB PC PD +++是定值．7．（2019·宝山区·上海交大附中）若2a b c ===，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的取值范围是( ) A ．[0,22] B ．[0,2] C ．[222,222] D ．[222,2]二、填空题8．（2020·上海松江区·高三一模）已知向量||||||1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为____.9．（2020·上海青浦区·高三一模）已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________.10．（2020·上海杨浦区·高三一模）如图所示矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作1E 、2E 、、7E ，自左到右依次记作1F 、2F 、、7F ，满足2i j AE AF ⋅≤（其中i 、j N *∈，1,7i j ≤≤）的有序数对(),i j 共有_______对.11．（2020·上海浦东新区·高三一模）正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为________．12．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）如图，已知4AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ､AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ､N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ､B ､C )，且0BM BN ⋅=，则AM CN ⋅的最大值为___________.13．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）已知1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=（1,2,3n =），112||||21n n n n A A A A n +++⋅=+（1,2,3n =），则15||A A 的最小值为________14．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，M 是线段DC 上一点，且满足14DM DC =，若N 为平行四边形ABCD 内任意一点(含边界)，则AM AN ⋅的最大值为_________.15．（2019·上海市建平中学高三月考）设A ､B 分别是抛物线24y x =和圆()22:41C x y -+=上的点.若存在实数λ使得AB BC λ→→=，则λ的最小值为________.16．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .17．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）已知a ，b ，c 是非零向量，23a b -=，()()2c a c b -⋅-=-，λ为任意实数，当a b -与a 的夹角为3π时，c a λ-的最小值是___________.三、解答题18．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5sin 13B =，且12BA BC ⋅=. （1）求ABC 的面积；（2）若a 、b 、c 成等差数列，求b 的值；19．（2020·上海奉贤区·高三一模）如图，曲线τ的方程是2||1x y y -=，其中A 、B 为曲线τ与x 轴的交点，A 点在B 点的左边，曲线τ与y 轴的交点为D .已知1F ()0c -，，2F ()0c ，，0c >，1DBF △的面积为122.（1）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，设点P 的横坐标为P x 、Q 的横坐标为Q x ，求证：P Q x x ⋅是定值；（2）过点2F 的直线n 与曲线τ有且仅有一个公共点，求直线n 的倾斜角范围；（3）过点B 作斜率为k 的直线l 交曲线τ于P 、Q 两点（异于B 点），点P 在第一象限，当11322F P FQ ⋅=+时，求AP AQ λ=成立时λ的值.20．（2021·上海高三专题练习）已知向量()21,a x x =+-，(21,21b n =+（n 为正整数），函数()f x a b =⋅，设()f x 在()0,∞+上取最小值时的自变量x 取值为n a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意正整数n ，都有()2451n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞； （3）在点列()111,A a ，()222,A a ，()333,A a ，⋅⋅⋅()1,nnA a ⋅⋅⋅一中是否存在两点iA ，jA （i ，j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对(),i j ；若不存在，请你写出理由.21．（2021·上海高三专题练习）双曲线2212:14x yC b-=，圆2222:4(0)C x y b b +=+>在第一象限交点为(,)A A A x y ，曲线2222221,44,A A x y x x b x y b x x ⎧-=>⎪Γ⎨⎪+=+>⎩.（1）若6A x =b ； （2）若5b =2C 与x 轴交点记为12,F F ，P 是曲线Γ上一点且在第一象限，并满足18PF =，求∠12F PF ； （3）过点20,22b S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭且斜率为2b-的直线l 交曲线Γ于M 、N 两点，用b 的代数式表示OM ON ⋅，并求出OM ON ⋅的取值范围.22．（2020·上海高三专题练习）已知OAB ，OA a =，OB b =，2a ||=，||3b =，1a b ⋅=，边AB 上一点1P ，这里1P 异于,A B ．由1P 引边OB 的垂线111,PQ Q 是垂足，再由1Q 引边OA 的垂线111,Q R R 是垂足，又由1R 引边AB 的垂线122,R P P 是垂足．同样的操作连续进行，得到点n P ，n Q ，()*n R n N∈．设()()01n n n AP t b a t =-<<，如图所示.（1）求||AB 的值；（2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：()11213BQ t b =--⋅，问该同学这个结论是否正确并说明理由；（3）用1t 和n 表示n t ．1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.。

平面几何基础和向量上海中考题及答案（2001-2012年）2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题8：平面几何基础和向量一、选择题2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算的结果是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】向量的计算。

【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：。

故选B。

3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形中，如果，，那么等于【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】向量的几何意义。

【分析】根据向量的意义，。

故选B。

4.（上海市2009年4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【】A．正六边形B．正五边形C．正四边形C．正三边形【答案】C。

【考点】多边形内角与外角。

【分析】正边形的内角和可以表示成，则它的内角是等于，边形的中心角等于，根据中心角等于内角就可以得到一个关于的方程：，解这个方程得=4，即这个多边形是正四边形。

故选C。

5.（上海市2009年4分）如图，已知，那么下列结论正确的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】平行线分线段成比例。

【分析】已知，根据平行线分线段成比例定理，得。

故选A。

6.（2012上海市4分）在下列图形中，为中心对称图形的是【】A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形【答案】B。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合。

因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形．故选B。

二、填空题1. （上海市2002年2分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝▲．【答案】12。

【考点】平行线分线段成比例。

【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求得AE的长：∵DE∥BC，∴。

∵AD=8，DB=6，CE=9，∴。

2.（上海市2004年2分）正六边形是轴对称图形，它有▲条对称轴。

20XX年-20XX年上海市中考数学试题分类解析汇编专题7：平面几何基础和向量一、选择题1.（上海市20XX年3分）下列命题中，正确的是【】（A）正多边形都是轴对称图形；（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．【答案】A，C。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：A、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B、正多边形一个内角的大小=(n－2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误；3600C、正多边形的外角和为360°，每个外角=，随着n的增大，度数将变小，n故正确；D、正五边形的对角线就不相等，故错误。

故选A，C。

2.（上海市20XX年Ⅱ组4分）计算3a-2a的结果是【】A．a B．a C．-a D．-a【答案】B。

【考点】向量的计算。

【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：3a-2a=a。

故选B。

3.（上海市20XX年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD中，如果AB=a，AD=b，那么a+b等于【】A．BDB．AC C．DB D．CA【答案】B。

0 ，则它的内角是等于（n - 2）⋅180，⋅ ⋅ 后【考点】向量的几何意义。

【分析】根据向量的意义， a + b = AC 。

故选 B 。

4.（上海市 20XX 年 4 分）下列正多边形中，中心角等于内角的是【 】A ．正六边形B ．正五边形C ．正四边形 C ．正三边形【答案】C 。

【考点】多边形内角与外角。

【分析】正 n 边形的内角和可以表示成（n - 2）180nn 边形的中心角等于3600 n，根据中心角等于内角就可以得到一个关于 n 的方程：（n - 2）1800 3600=n n，解这个方程得 n =4，即这个多边形是正四边形。

故选 C 。

5.（上海市 20XX 年 4 分）如图 1，已知 AB ∥ C D ∥ EF ，那么下列结论正确的是【】A ．C ． AD BC= DF CE CD BC =EF BEB ．D ． BC DF = CE AD CD AD =EF AF【答案】A 。

中考数学平面几何基础历年真题解析平面几何作为中考数学的重要部分，每年都会出现在考试中。

为了帮助同学们更好地备考平面几何，本文将围绕历年真题进行解析，深入讲解平面几何的基础知识和解题技巧，希望能对同学们的学习有所帮助。

一、直线与角直线和角是平面几何的基本概念，也是解题的基础。

我们先来看几道历年真题。

题目1：如图，AB是一条直线，P是线段AB上一点，且P在点B 的左边。

若∠APB=120°，则∠BPC的度数是多少？解析：根据题意，∠APB = 120°，因为∠APB + ∠BPC = 180°，所以∠BPC = 180° - 120° = 60°。

解题技巧：这道题考察了直线上角的性质，利用角的和为180°的特点进行解答。

同学们在解答这类题目时，要注意找准角的关系，并灵活运用角的性质。

二、平行与相似平行和相似是平面几何中常见的题型，也是中考中常考的内容。

我们来看一个例题。

题目2：如图，ABCD是一个平行四边形，E是BC的中点，连接AE交BD于F，求证：AF=FD。

解析：连接AC，根据平行四边形的性质可知，AE与DC平行，所以∠DAE = ∠EAF。

又因为∠DAE = ∠EAF，所以三角形DAF与三角形AEF相似。

而AE是BC的中点，所以AE与EF之间的比例为1:2，即AF = 2EF。

又因为EF = FD，所以AF = FD。

解题技巧：这道题考察了平行四边形和相似三角形的性质。

同学们在解答这类题目时，要善于找出已知信息与所证明结论之间的联系，灵活运用平行和相似的性质。

三、三角形与全等三角形是平面几何中重要的研究对象，全等三角形是其中的一个重要概念。

我们来看一个例题。

题目3：如图，∠ATB = 90°，ED ⊥ BT，AC ⊥ BT，证明：AED 与ABC全等。

解析：根据题意，∠ATB = 90°，所以三角形ATB是直角三角形。

沪教版数学中考考点解析古时，数学内的主要原理是为了测量土地，以及为了猜测天文事件而形成的。

这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

今天作者在这给大家整理了一些沪教版数学中考考点解析，我们一起来看看吧! 沪教版数学中考考点解析(一)平行四边形的定义、性质及判定.1.两组对边平行的四边形是平行四边形.2.性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线相互平分.3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形.4·对称性：平行四边形是中心对称图形.(二)矩形的定义、性质及判定.1-定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2·性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等3.判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形：(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形.4·对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形.(三)菱形的定义、性质及判定.1·定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(1)菱形的四条边都相等;。

(2)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角(3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形.(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半：2.s菱=争6(n、6分别为对角线长).3.判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形.4.对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形.数学中考考点解析锐角三角函数的定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。

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2002年-2011年上海市中考数学试题分类解析汇编
专题7：平面几何基础和向量
一、选择题
1.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【 】
（A ）正多边形都是轴对称图形；
（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；
（C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；
（D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等．
【答案】A ，C 。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：
A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；
B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n ，不符合正比例的关系式，故错误；
C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360
n ，随着n 的增大，度数将变小，故正确；
D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。

故选A ，C 。

2.（上海市2008年Ⅱ组4分）计算32a a - 的结果是【 】
A ．a
B ．a
C ．a -
D ．a -
【答案】B 。

【考点】向量的计算。

【分析】根据向量计算的法则直接计算即可：32=a a a - 。

故选B 。

3.（上海市2008年Ⅱ组4分）如图，在平行四边形ABCD 中，如果
AB a = ，AD b = ，那么a b + 等于【 】。

上海市中考数学考到的有关向量的题目及答案从2008年开始，上海市中考的数学试卷中新增加了有关向量的题目，这也是为学生以后上高中学习打下相关的基础，因为在高中教材中，向量知识是一个比较重要的知识点。

2008年中考4．计算32a a -r r的结果是（ ）A ．aB ．a rC ．a -D ．a -r6．如图2，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =uu u r r ，AD b =u u u r r， 那么a b +r r等于（ ）A ．BD uu u rB ．AC uu u rC ．DB uu u rD ．CA uu r2009年中考15．如图2，在ABC △中，AD 是边BC 上的中线，设向量 ， 如果用向量a r ，b r 表示向量AD uuu r ，那么AD uuu r=____________．2010年中考15.如图1，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，设向量 =a r ， =b r，则向量AO uuu r = .（结果用a r ，b r表示）DCBA图2BC b=uu u r r AB a=uu u r r图2ACD BAB AD ODABC图12011年中考15．如图1，AM 是△ABC 的中线，设向量AB a =uu u r r ，BC b =uu u r r ，那么向量AM =uuu r____________（结果用a r ，b r表示）．2012年中考15、如图，已知梯形ABCD ，AD //BC ，2BC AD =，若AD a u u u r r=，AB b uu u r r =，那么AC u u u r = （用a r ，b r表示）.答案2008年中考答案4、B 6、B 2009年中考答案 15、a r +(b r/2)． 2010年中考答案15、1()2AO a b =+uuu r r r 2011年中考答案15、a r +(b r/2)．2012年中考答案15、2a r +b rDCBA。

2017年中考数学试题分项版解析汇编（第04期）专题08 平面几何基础（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学试题分项版解析汇编（第04期）专题08 平面几何基础（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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专题08 平面几何基础一、选择题1。

(2017贵州遵义第6题）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置,如果∠1=30°,则∠2的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°【答案】D。

考点：平行线的性质．2. （2017湖南株洲第3题）如图示直线l1,l2△ABC被直线l3所截,且l1∥l2，则α=()A．41°B．49°C．51°D．59°【答案】B。

【解析】试题分析：因为l1∥l2，∴α=49°，故选B．考点：平行线的性质．3. （2017内蒙古通辽第2题）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（）A．B．C．D．【答案】B考点：简单组合体的三视图4. （2017内蒙古通辽第9题)下列命题中,假命题有( ）①两点之间线段最短；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行;⑤若⊙O的弦CDAB,交于点P，则PD⋅.=PBPCPA⋅A．4个 B．3个 C。

2个 D．1个【答案】C【解析】试题分析:①根据线段的性质公理，两点之间线段最短，说法正确，不是假命题；②根据角平分线的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，说法正确，不是假命题；③根据垂线的性质、平行公理的推论，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,原来的说法错误,是假命题；④在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原来的说法错误，是假命题;⑤如图，连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出PA PCPD PB，即PA•PB=PC•PD，故若⊙O的弦AB,CD交于点P，则PA•PB=PC•PD的说法正确，不是假命题．故选：C．考点:命题与定理5。

九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编平面向量专题20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2． （1）求AC ：CE 的值；（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b 表示）．20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，在∆ABC 中，点D 在边AB 上，DE //BC ，DF //AC ，DE 、DF 分别交边AC 、BC于点E 、F ，且23=EC AE ． （1）求BCBF的值；（2）联结EF ，设a BC =，b AC =，用含a 、b 的式子表示EF ． 20．（本题满分10分，每小题各5分） 如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ，已知5AD =，4BD =． （1）求BC 的长度；（2）如果AD a =，AE b =，那么请用a 、b 表示向量CB ．第20题图BAD E ADE20.（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，点E是边BC的中点，AE、BD想交于点F，过点F作FG∥BC，交边DC于点G.（1）求FG的长；（2）设AD aa b的线性组合表示AF.=，DC b=，用、第20题图如图，在△ABC中，点E在边AB上，点G是△ABC的重心，联结AG并延长交BC于点D．（1）若AB aa b表示向量AG；=，AC b=，用向量、（2）若∠B=∠ACE，AB=6，26AC=，BC=9，求EG的长．如图，已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，设=AD b，AB a，=求向量MN关于a、b的分解式．20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE 经过△ABC 的重心，设BC a =． （1）=DE ▲ （用向量a 表示）； （2）设AB b =，在图中求作12b a +．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）22．（本题满分10分）下面是一位同学做的一道作图题：已知线段a 、b 、(如图),求作线段x ,使::a b c x =.他的作法如下：1.以点O 为端点画射线OM ，ON .2.在OM 上依次截取OA a =，AB b =.3.在ON 上截取OC c =.4.联结AC ，过点B 作BD ∥AC ，交ON 于点D .所以：线段____________就是所求的线段x .（1）试将结论补完整：线段 ▲ 就是所求的线段x . （2）这位同学作图的依据是 ▲ ；（3）如果4OA =，5AB =，AC m =，试用向量m 表示向量DB ．20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF //AB ，2CF ADFA DB==. （1）设AB a =，AC b =.试用a 、b 表示AE （2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积.b a cMO ABCDab cN(第20题图)CE F BAD19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5． （1）求AC 的长（2）若设,CA a CB b ==，试用a 、b 的线性组合表示向量CD .20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =，CD b =，试用a 、b 表示AC .参考答案20．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵23=EC AE ∴52=AC EC （1分） ∵DE //BC ∴52==AC EC AB BD （2分） D（第20题图）又∵DF //AC ∴52==AB BD BC BF （2分） （2）∵52=BC BF ∴53=BC FC ∵a BC =，CF 与BC 方向相反 ∴a CF 53-= （2分）同理：b EC 52= （2分）又∵→+=CF EC EF ∴→-=a b EF 5352 （1分）20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE AD BC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED 与CB 同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a =，AE b = ∴ED a b =- ……………………………1分 ∴9955CB a b =- …………………………………………………………2分20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a 、b 和p ，求作：（1）向量132a b -+．（2）向量p 分别在a 、b 方向上的分向量．20．解：（1）作图．…………………………………………………………………………（3分）结论． …………………………………………………………………………（1分） （2）作图．…………………………………………………………………………（4分）结论． …………………………………………………………………………（2分）ap（第20题图） b20．解：（1）=DE 23a ．……………………………（5分） （2）图正确得4分，结论：AF 就是所要求作的向量． …（1分）．22．解：（1）CD ； ·························································································································· （2分） （2）平行线分线段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例）；或：三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）. ··············································································································································· （2分）（3）∵BD ∥AC ，∴AC OABD OB=． ················································································ （1分） ∵4OA =，5AB =，∴49AC BD =． ········································································· （2分） 得94BD AC =． ········································································································· （1分）∵94BD AC =，AC m =，DB 与AC 反向，∴94DB m =-． ·········································································································· （2分）20．解：（1）∵EF //AB∴CF CEFA EB = 又CF AD FA DB = ∴CE AD EB DB=…………………………………………（1分） ∴DE ∥AC ， ………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 是平行四边形………………………（1分）AE AF AD =+ ……………………………………（1分） ∵2CF ADFA DB==,AB a =，AC b = ∴13AF b =， 23AD a =2133AE a b =+………………………………………（1分）（2）∵EF //AB ，2CFFA=（第20题图）ABD E∴9:4:=∆∆ABC CEF S S ………………………………（1分） ∵△ABC 的面积是9，∴4=∆CEF S ……………………………………………（1分） 由（1）得DE ∥AC ， 且2ADDB= ∴9:1:=∆∆ABC BD E S S ………………………………（1分） ∴1=∆BDE S …………………………………………（1分） ∴四边形ADEF 的面积=9-4-1=4……………………（1分） 19．（1）在△ABC 中，∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴ ACD ABC ∆. ……………………………………………………（2分）∴AD ACAC AB=，即2AC AD AB = ∴249AC =⨯， 6.AC = ……………………………………………（2分）（2） 49CD CA AD a AB =+=+……………………………………………（2分） 4()9a AC CB =++4()9a a b =+-+ ………………………………（2分）5499a b =+ ………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分） ∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分） （2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分） ∵AB a =，CD b =，∴25AD a =. DC b =-.--------------------（2分） ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-.-----------------------------------（2分）。

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题08 平面向量的线性运算一．选择题（共12小题）1．（青浦区）如果（、均为非零向量），那么下列结论错误的是（）A．B．∥C．D．与方向相同【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，∴||＝2||；；＝；与的方向相反，故A，B，C正确，D错误，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．2．（金山区）点G是△ABC的重心，设＝，＝，那么关于和的分解式是（）A．+B．﹣C．+D．﹣【分析】根据向量加法的平行四边形法则得出＝（+），再根据重心的性质得出＝，即可求解．【解答】解：∵＝，＝，∴＝（+）＝（+），∵点G是△ABC的重心，∴＝＝×（+）＝（+）．故选：C．【点评】本题考查三角形的重心，平面向量，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（崇明区）如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．【解答】解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，∴3＝﹣，∴．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．4．（徐汇区）已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（）A．＝B．+＝0C．＝D．||＝||【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵点C是线段AB的中点，∴；；；||＝||，∴A，B，C错误，D正确，故选：D．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．5．（黄浦区）已知，，是非零问量，下列条件中不能判定∥的是（）A．∥，∥B．＝3C．||＝||D．＝，＝﹣2【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A能；∵，∴，故B能；∵||＝||，不能判断与方向是否相同，故C不能；∵，，∴＝﹣，∴，故D能，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．6．（嘉定区）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据单位向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵是单位向量，∴||＝1，∴||＝，∴A正确；∵||与的大小相同，但方向不一定相同，∴B错误；∵与大小相同，但方向不一定相同，∴C错误；∵与方向不一定相同，∴不一定等于，∴D错误，故选：A．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量的性质是解题的关键．7．（宝山区）已知为非零向量，＝2，＝﹣3，那么下列结论中，不正确的是（）A．||＝||B．C．D．∥【分析】根据平面向量的定义与性质逐一判断即可．【解答】解：∵＝2，＝﹣3，∴||＝||，＝﹣，故A正确，B错误；∵＝2，＝﹣3，∴3＝6﹣6＝，故C正确；∵＝2，＝﹣3，∴＝﹣，∴，故D正确，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的定义与性质，熟练掌握平面向量的定义与性质是解题的关键．8．（杨浦区）已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．＝B．﹣＝C．||+||＝2D．+＝2【分析】根据单位向量的定义逐一判断即可．【解答】解：根据单位向量的定义可知：和都是单位向量，但是这两个向量并没有明确方向，∴A，B，D错误，C正确，故选：C．【点评】本题考查了平面向量中的单位向量知识，熟练掌握单位向量的定义是解题的关键．9．（虹口区）已知＝7，下列说法中不正确的是（）A．﹣7＝0B．与方向相同C．∥D．||＝7||【分析】根据平面向量的定理逐一判断即可．【解答】解：∵＝7，∴＝；与方向相同；；||＝7||，故A不正确；B、C、D正确，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的定理，熟练掌握平面向量的基本定理是解题的关键．10．（浦东新区）已知||＝3，||＝2，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）A．3＝2B．2＝3C．3＝﹣2D．2＝﹣3【分析】根据平行向量的性质即可解决问题．【解答】解：∵||＝3，||＝2，且和的方向相反，∴＝﹣，∴2＝﹣3，故选：D．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．（普陀区）已知与是非零向量，且||＝|3|，那么下列说法中正确的是（）A．B．C．D．||＝3【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案【解答】解：A、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相同，不一定成立，故不符合题意；B、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，方向不一定相反，即不一定成立，故不符合题意；C、由与是非零向量，且||＝|3|知，与3只是模相等，不一定共线，故不符合题意；D、由与是非零向量，且||＝|3|知，||＝3，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．12．（松江区）已知＝2，那么下列判断错误的是（）A．﹣2＝0B．C．||＝2||D．∥【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案．【解答】解：A、由＝2知，﹣2＝，符合题意；B、由＝2知，，不符合题意；C、由＝2知，||＝2||，不符合题意；D、由＝2知，∥，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．二．填空题（共14小题）13．（崇明区）计算：2（3+2）﹣5＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：原式＝6＝，故答案为：，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．14．（杨浦区）已知的长度为2，的长度为4，且和方向相反，用向量表示向量＝﹣2．【分析】根据与的长度与方向即可得出结果．【解答】解：∵的长度为2，的长度为4，且和方向相反，∴，故答案为：﹣2【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的定义和性质是解题的关键．15．（虹口区）如果向量、、满足（+）＝﹣，那么＝（用向量、表示）．【分析】根据平面向量的加减运算法则计算即可．【解答】解：∵（+）＝﹣，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．16．（浦东新区）计算：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝2+3．【分析】根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：3（2﹣）﹣2（2﹣3）＝6﹣3﹣4+6＝2+3，故答案为：2+3．【点评】本题考查了平面向量的基本知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．17．（浦东新区）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O．设＝，＝，那么向量关于向量、的分解式是﹣+．【分析】根据向量的加减计算法则即可得出结果．【解答】解：∵＝，＝，∴＝＝﹣+，故答案为：﹣+．【点评】本题考查了向量的加减计算法则，熟练掌握向量的加减计算法则是解题的关键．18．（普陀区）已知是单位向量，与方向相反，且长度为6，那么＝﹣6.（用向量表示）【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵是单位向量，与方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（徐汇区）计算：2﹣（﹣4）＝+2．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：2＝2﹣+2＝+2，故答案为：+2，【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．20．（徐汇区）如图，已知点G是△ABC的重心，记向量＝，＝，则向量＝+．．（用向量x+y的形式表示，其中x，y为实数）【分析】如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．求出，证明AG＝AH即可解决问题．【解答】解：如图，延长AE到H，使得EH＝AE，连接BH，CH．∵AE＝EH，BE＝EC，∴四边形ABHC是平行四边形，∴AC＝BH，AC∥BH，∵＝+＝+，∵G是重心，∴AG＝AE，∵AE＝EH，∴AG＝AH，∴＝（+）＝+．故答案为：+．【点评】本题考查三角形的重心，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（嘉定区）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么＝．【分析】根据平面向量的加减运算法则求解即可．【解答】解：∵，∴2﹣2＝3﹣3，∴＝3﹣2，故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．22．（静安区）如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，如果＝，＝，那么＝+．（用含向量、的式子表示）【分析】由重心的性质可得，，利用三角形法则，即可求得的长，又由中线的性质，即可求得答案．【解答】解：在△ABC中，中线AD、BE相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴＝＝，＝＝，∴＝+＝+，∴＝2＝+．故答案为：+．【点评】此题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．23．（崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点M是边CD中点，点N是边BC的中点，设＝，＝，那么可用、表示为．【分析】先根据中位线定理求出，再根据平面向量的加减运算法则求出即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵点M是边CD中点，点N是边BC的中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN∥BD，且MN＝，∴，∵＝，＝，∴，∴，∴，故答案为：【点评】本题考查了平面向量的加减运算法则，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．24．（奉贤区）计算：2（﹣2）+3（+）＝5﹣．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3＝5﹣，故答案为5﹣．【点评】本题考查平面向量，平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．（金山区）计算：（﹣2）+2＝+．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：（﹣2）+2＝﹣+2＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．26．（青浦区）计算：3﹣2（﹣2）＝．【分析】根据平面向量的加法法则计算即可．【解答】解：3﹣2（﹣2）＝3﹣2+4＝+4，故答案为：+4．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是掌握平面向量的加法法则，属于中考常考题型．三．解答题（共9小题）27．（浦东新区）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，求向量（用向量、表示）．【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度；（2）利用平面向量的三角形法则解答．【解答】解：（1）如图，∵DE∥BC，且DE＝BC，∴＝＝．又AC＝6，∴AE＝4．（2）∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．又DE∥BC，DE＝BC，∴＝＝（﹣）．【点评】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义．28．（杨浦区）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE＝BC．（1）如果AC＝6，求AE的长；（2）设＝，＝，试用、的线性组合表示向量．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出等式求解即可；（2）根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵DE＝，∴AE＝4；（2）由（1）知，，∴DE＝，∵，∴＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的性质等知识，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．29．（宝山区）如图，已知在四边形ABCD中，F是边AD上一点，AF＝2DF，BF交AC于点E，又＝．（1）设＝，＝，用向量、表示向量＝，＝．（2）如果∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，求BE的长．【分析】（1）根据平面向量的加减运算法则即可求解；（2）先证明△ABF∽△BCA，得∠ABF＝∠BCA，从而得出△ABF∽△ECB，再根据相似三角形对应边成比例得出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵AF＝2DF，∴AF＝，∵，∴，∴＝，∵＝，∴，∴＝，故答案为：，；（2）∵＝，∴AF∥BC，AF＝，∴∠BAF＝∠ABC＝90°，∠AFB＝∠CBE，∵AD＝3，AF＝2DF，∴AF＝2，∴BC＝8，在Rt△ABF中，BF＝＝2，又∵，∴△ABF∽△BCA，∴∠ABF＝∠BCA，∴△ABF∽△ECB，∴，∴，∴BE＝．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，证明△ABF∽△ECB是解第（2）问的关键．30．（虹口区）如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使CE＝BC，联结AE交DC于点F，设＝，＝．（1）用向量、表示；（2）求作：向量分别在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）【分析】（1）利用三角形法则解决问题即可；（2）利用平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD时平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∴＝＝，＝＝，∵CE＝BC，∴＝，∴＝+＝+；（2）如图，过点F作FM∥AD交AB于点M，，即为向量分别在、方向上的分向量．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．31．（奉贤区）如图，在△ABC中，AC＝5，cot A＝2，cot B＝3，D是AB边上的一点，∠BDC＝45°．（1）求线段BD的长；（2）如果设＝，＝，那么＝，＝，＝（含、的式子表示）．【分析】（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解方程即可解决问题；（2）先求出AD的长，再求出AD与AB的数量关系，根据平面向量的加减运算法则即可求解．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE＝x，∵cot A＝，∴AE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+（2x）2＝52，解得x＝±，∵x＞0，∴x＝，∴CE＝，∵∠CDE＝45°，∴CE＝DE＝，∵cot B＝3，∴BE＝3CE＝3，∴BD＝BE+DE＝3+＝4；（2）∵DE＝，AE＝2，∴AD＝，∵BD＝4，∴，即AD＝，∵＝，＝，∴＝，∴，∴＝＝，故答案为：；；．【点评】本题考查了平面向量，三角函数的定义勾股定理等知识，熟练掌握三角函数的定义，平面向量的加减运算法则是解题的关键．32．（长宁区）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．33．（金山区）如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，＝＝2，设＝，＝．求向量关于、的分解式．【分析】连接BD，先由得到MN∥BD、MN：BD＝2：3，然后得到3＝2，再结合平面向量的减法运算得到与和的关系，最后即可用含有和的式子表示．【解答】解：连接BD，∵，∴MN∥BD，，∴，∵，，∴，∴．【点评】本题考查了平行线的判定、平面向量的减法运算，熟练应用三角形法则是解题的关键．34．（普陀区）如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，AB：CD ＝1：3．（1）求的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝+（用向量，表示）【分析】（1）根据平行线的性质和相似三角形的判定证明△ABE∽△DCE和△BEF∽△BCD 即可得出结论；（2）根据（1）中结论和平面向量的加、减运算即可得出结论．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴CE＝3BE，∵EF∥CD，∴∠BEF＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BCD，∴＝，∵BC＝BE+CE＝BE+3BE＝4BE，∴＝；（2）由（1）知：EF＝CD，∴＝＝，∵+＝，∴＝﹣，∵＝，∴，∵AB：CD＝1：3，∴AB＝CD，∴＝，＝+﹣＝．故答案为：，．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及平面向量，熟练掌握平行线的性质和平面向量的加、减运算是解题的关键．35．（青浦区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF＝3DF．（1）求AE：ED的值；（2）如果，，试用、表示向量．【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，从而△BCF∽△DEF，利用相似三角形的性质得比例式，从而解得AE：ED的值；（2）先求出．再利用向量的加法可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△BCF∽△DEF，∴，∵BF＝3DF，∴．∴，∴．∴AE：ED＝2；（2）∵AE：ED＝2：1，∴．∵，∴，∵，∴，∵AD∥BC，∴，∵BF＝3DF，∴．∴．∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平面向量，解决本题的关键是理解平面向量．。

平面向量（一）知识点一、向量的有关概念 1. 向量的概念既有______又有______的量叫做向量，常把向量用________，即指定了方向的线段表示出来，有向线段的起点称为向量的起点，有向线段的终点称为向量的终点. 2. 向量的表示方法 （1）几何表示：_________.（2）符号表示：______表示向量a ；________表示向量AB ，A 为起点，B 为终点. 3. 单位向量向量a 的______叫做a 的模，记作_____.模为_____的向量叫做单位向量. 与非零向量a 同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ，则0a =___________. 4. 零向量模为_____的向量为零向量，记作0.零向量的方向都是______的，它平行于任意向量且零向量都是_______的. 5. 平行向量如果两个非零向量所在的直线______或者______，那么称这两个向量平行（或共线），记作a b .两个非零向量平行的充要条件是两个向量的方向_____或_______.6. 相等向量如果两个向量a 和b ______且具有______的模，那么两个向量是相等的向量，记作a b =.（规定：零向量都是_______的） 7. 负向量向量a 和b 具有_______的模但_______相反，那么称他们互为负向量，或者称b 是a 的负向量，记作b a =− 知识点二、向量的加减 1. 向量的加法运算法则分为平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相连），图示如下：知识梳理2. 加法运算律交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++.3. 向量的减法：通过()c a c a −=+−可以将向量减法转化为向量加法 知识点三、向量的数乘 1. 数乘的定义实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作a λ，它的模a λ=______；当0λ>时，a λ的方向与a _______，当0λ<时，a λ的方向与a _____，特别地，当0a =时或0λ=时，0a λ=. 2. 向量平行的充要条件向量b 与非零向量a 平行的充要条件是：存在实数λ，使得________.注：（1）通过向量平行的充要条件可以证明两条向量平行，也即两向量所在的直线平行或重合. （2）利用向量平行判定三点共线：将平面几何中的三点共线转化为向量的平行来解决. 3. 数乘运算律()a λμ+=_________；()a λμ=________；()a b λ+=_________.向量的加减及数乘运算统称为向量的线性运算，从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合.知识点四、向量线性运算的坐标表示1. 设()11,x y ，()22,x y 与(),x y 均是坐标表示的向量，λ是一个实数，则()()1122,,x y x y ±=________________；(),x y λ=________________ .2. 向量模的表示：设(),a x y =，则(),a x y ==___________ .3. 平面上任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，则PQ = _________________ .题型一 向量的概念【例1】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） （1）如果||||AB CD >，那么AB CD >；（ ） （2）若a ，b 都是单位向量，则＝b ；（ ）（3）若＝b ，且与b 的起点相同，则终点也相同；（ ） （4）零向量的大小为0，没有方向；（ ）【例2】下列判断正确的是（ ）A ．长度为0的向量都是零向量B ．零向量是最小的向量C ．单位向量都相等D ．单位向量都是同方向向量【例3】下列说法正确的是（ ） A ．若||＞|b |，则＞b B ．若||＝|b |，则＝b C ．若＝b ，则∥b D ．≠b ，则，b 不是共线向量【例4】下列命题中正确的有（ ）A ．温度含零上和零下温度，所以温度是向量B ．向量的模是一个正实数C ．向量与b 不共线，则与b 都是非零向量D ．若||>|b |，则>b【例5】若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移的大小是________ km ，方向是________.【例6】若是任一非零向量，b 是单位向量，则下列各式中正确的是 ①||＞|b | ；②∥b ；③||＞0 ；④|b |＝±1；【例7】给出下列命题：①若∥b ，则与b 的方向相同或相反； ②若∥b ，b ∥c ，则∥c ；a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 例题分析ABCD E F G③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； ④若＝b ，b ＝c ，则＝c ， 其中正确的是________.(填序号)【例8】如图，已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，试以a 、b 表示DE 、BF 、CG ．题型二 向量的加减法【例9】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） ①任意两个向量的和或差仍然是一个向量；（ ） ②AB →＋BC →＝AC →；（ ）③任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线；（ ） ④|AB →|＋|BC →|＝|AC →|；（ ）⑤向量a 和向量b 的差和向量b 和向量的差互为相反向量；（ ）【例10】已知平面四边形ABCD ，则AB →＋BC →＋CD →＝（ ） A ．AD →B ．BD →C ．AC →D ．0【例11】如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A ．OH →B ．OG →C ．FO →D ．EO →a a a【例12】在平行四边形ABCD 中，若|AB → ＋AD → |＝|AB －AD →|，则必有( ) A ．AD → ＝0 B ．AB → ＝0或AD →＝0 C ．四边形ABCD 为矩形 D ．四边形ABCD 为正方形【例13】已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________【例14】化简：(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________【例15】如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.（1）OA →＋OC →＝________；（2）BC →＋FE →＝________；（3）OA →＋FE →＝________.题型三 实数与向量的乘法【例16】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示） ①若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使=λb a ；（ ） ②若，则与共线（其中λ为实数） ；（ ） ③若λ=a 0，则=a 0；（ ） ④||||λ=λa a ；（ ）⑤若m m =a b （其中m R ∈），则=a b ；【例17】下列运算正确的个数是( )①(－3)·2＝－6；②2(＋b )－(2b －)＝3；③(＋2b )－(2b ＋)＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【例18】在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A ．13AC →＋23AB → B ．53AB →－23AC → C ．23AC →－13AB →D ．23AC →＋13AB →=λb a a b a a a a a a a【例19】如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【例20】若3()2(2)4()++−−−+=x a x a x a b 0，则x ＝ .【例21】已知向量，b 满足||＝3，|b |＝5，且＝λb ，则实数λ的值是________.【例22】如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝，AD →＝b ，试用，b 表示BC →和MN →；题型四 向量的坐标表示【例23】判断下列命题的真假（真命题用：√表示；假命题用：×表示）①在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 1－x 2，y 1－y 2)；（ ） ②向量(－1，3)与向量(－2，6)共线；（ ） ③向量(2，3)与向量(－4，－6)同向；（ ）④如果x 1y 2－x 2y 1＝0，那么向量a ＝(x 1，y 1)与向量b ＝(x 2，y 2)共线；（ ） ⑤已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1；（ ）【例24】已知两点A (4，1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是（ ） A ．⎝⎛⎭⎫35，－45 B ．⎝⎛⎭⎫－35，45 C ．⎝⎛⎭⎫－45，35 D ．⎝⎛⎭⎫45，－35a a a aa【例25】已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，则12a －32b 等于（ ）A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(－1，－2)D ．(1，2)【例26】设向量a 、b 的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，则a b +＝ .【例27】已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →，则点C 的坐标为 .【例28】已知向量(1,1)a =，(2,)b x ，若a b +与b a −平行，则实数x 的值为_________．【巩固1】下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC BC DA ==．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【巩固2】下列说法正确的是（ ） A ．向量AB 与向量BA 是相等向量B ．与实数类似，对于两个向量,a b 有a b =，a b >，a b <三种关系C ．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D ．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合师生总结巩固练习【巩固3】AB CD DA BC +++=（ ）A ．BDB ．ACC ．0D ．AB【巩固4】下列各式中，不能化简为PQ 的是（ ） A ．PA AB BQ +− B ．()()AB PC BA QC ++− C ．QC QP CQ −+ D ．()AB PA BQ ++【巩固5】在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB（ ）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144AB AC D ．1344AB AC【巩固6】平行四边形ABCD 中，BC BA CD +−等于（ ） A ．CB B ．BCC ．D ．AC【巩固7】AB CD DA BC +++=（ ）A ．BDB ．AC C ．0D ．AB【巩固8】若a⃗=(2,1)，()3,4b =−，则a b +=__________，a b −=__________，34a b +=__________，a b ⋅=__________.【巩固9】 在△ABC 中，()24AB =，，()13AC =，，则CB =（ ） A ．()3,7 B ．()3,5 C ．()1,1 D ．()1,1−ABCDEFGH O【巩固10】设(3,4)AB =，点A 的坐标为(1,0)−，则点B 的坐标为________.【巩固11】已知点()3,2M ，()5,1N −−，则13MP MN =，则点P 的坐标为______．【巩固12】已知向量()1,2a =，()6,b k =−，若//a b ，则k =（ ） A ．-12 B ．12C ．3D ．-3【巩固13】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量．。