复变函数期末复习测验题6.docx

浙江海洋学院2012-2013学年第2学期《复变函数》课程期末考试卷（A ）（适用班级： B11数学 考试时间：120分钟1. 设1cos +isin33z ππ=+，则arg z =（ B ）A. 3π-B.6πC. 3π D. 23π2. 设C 为正向圆周1z =，sin 2nC zdz i z π=⎰，则整数n 为（ D ） A. 1- B. 0 C. 1D. 23. 设2()32f z z iz =+-, 则)(z f 的零点个数为（ C ）A. 0B. 1C. 2D. 3 4. 2sin i =（ C ）A. 1()e e i --B. 1()e e i -+C. 1()e e i --D. 1e e -+5. z =∞是函数1()1zze f z e-=+的（ D ） A. 可去奇点 B. 一阶极点 C. 本质奇点 D. 非孤立奇点二． 判断题（4×2分=8分）(1)如果(,), (,)u x y v x y 在区域D 内都可导, 则函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内可导.(2)因为1()f z z =在圆域112z -<内解析, 所以)(z f 是该圆域内的整函数.(3)设12(), ()f z f z 在区域D 内解析, {}n z D ⊂,且12()(), (1,2,)n n f z f z n == ,则1()f z 与2()f z 在区域D 内恒等.(4)方程52590z z ++=在单位圆1z <内无根.三．填空题（4⨯4分=16分）1.复数z =的三角表示式为 c o s s i n 33i ππ+ .2. 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是解析函数，若(,)u x y y =，则()f z '= i - .3. 若在幂级数n n n c z ∞=∑中，1lim34n n nc i c +→∞=+，则该幂级数的收敛半径为__15__________.4. 2401Re zz e s z=-=____43-___________. 四． 如果函数()i f z u v =+在区域D 内解析，证明()i f z 在区域D 内也解析. （7分）证明：因为函数()i f z u v =+在区域D 内解析, 所以, ,u v 在D 内具有连续的偏导数, 且, x y y x u v u v ==-. 而()i f z v iu =-,所以, ,v u -在D 内具有连续的偏导数, 且(), ()x y y x v u v u =-=--. 满足C-R 方程. 即()i f z 在区域D 内也解析.五. 计算积分（5分⨯4=20分）1.22sin4d 1z zz z π=-⎰解:22221111sinsinsinsinsin44444d 2(Re Re )2()11122z z z z z z z z zzz i s s i z z z zzπππππππ===-==-=+=+---⎰i =2.1522433d (1)(2)z z z z z =++⎰解：1515224322433d 2Re (1)(2)(1)(2)z z z z z i s z z z z π==∞=-++++⎰152224300224311()12Re 2Re (1)(21)(()1)(()2)t t t t i s i s t t t t tππ==⋅===++++2i π 3. 设C 为正向圆周2z =, sin3()Cf z d zπζζζ=-⎰, 求(1)f '解：sin3()2sin , (<2)3Cf z d i z z z πζπζπζ==-⎰所以()2cos, (<2)33f z i z z πππ'=⋅即2(1)3f i π'=4. 求积分e d zz z Γ⎰ 的值, 其中Γ为正向单位圆周: 1z =.从而证明cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.解：0e d 22z zz z i e i zππ=Γ=⋅=⎰ .1z =的参数方程为, -<i z e θπθπ=<,cos sin cos e e d e (cos(sin )sin(sin ))z i i i z ie d i i d z e θθππθθθππθθθθ+Γ--==+⎰⎰⎰c o s c o se (c o s (s i n )e s i n (si n ))i d d ππθθππθθθθ--=-⎰⎰所以cos e (cos(sin )2d πθπθθπ-=⎰从而cos 0e cos(sin )d πθθθπ=⎰.六．将函数21()1()(2)2f z z z z =--在圆环102z <<内展为洛朗级数. （8分）22212101121112111()()(2)11323212()(2)122221 (2)32 n n n n f z z z z z z z z z z z∞+-+===⋅-=⋅-⋅+------=-∑ 七．（15分） （1）求i 22e ()(1)(4)zf z z z =++在上半z 平面的所有孤立奇点；并说明它们的类型；（2）求()f z 在上半平面内各个孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分22cos d (1)(4)xI x x x +∞=++⎰解: (1), 2z i z i ==各为一阶极点(2) 12Re ()()(4)6iz z i z i e e s f z z i z i -====++, 2222Re ()(2)(1)12iz z i z i e e s f z z i z i -====++- (3)222d 2(Re ()Re ())(1)(4)ixz i z i e x i s f z s f z x x π+∞-∞===+++⎰12122()(2)6126e e i e e i i ππ----=+=--. 所以 22cos d (1)(4)x I x x x +∞=++⎰12(2)12e e π--=-. 八．（6分）设函数()f z 在z R <内解析，令()max () (0<r<R)z rM r f z ==. 试证：()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数，且若存在1r 及212 (0,)r r r R ≤<，使得12()()M r M r =，则()f z ≡常数.证明: 由最大模原理, 显然()M r 在区间[]0,R 上是一个上升函数. 若存在12r r <，使得12()()M r M r =，即在2z r <内存在点1z ，使得12()()f z M r =，即在内点取得最大模，由最大模原理，()f z ≡常数.。

一、填空题1、设12z =，则||z = 1 ，Argz =2,0,1,3k k ππ-+=± . 2、曲线422=+y x 在映射z1=ω下的象为2214u v +=.（写出象曲线的方程） 3、设(1)(1,2,)4n n ni n n α-+==+ 则lim n n α→∞=i . 4、=Z k k i k ∈+),32sin()32cos(ππ.5、函数()f z 在z 点可导是()f z 在z 点解析的 必要不充分 条件.(填充分必要性）6、若幂级数0n nn c z ∞=∑在12z i =+处收敛，则该级数在2z =处的敛散性为绝对收敛 .7、|2|12zz e dz z -==-⎰22ie π. 8、0=z 是函数5sin )(z z z z f -=的 2 阶极点。

9、若1()sin f z z =，则0Res ()z f z == 1 。

二、计算题1、设C 为连接0到2a π的摆线，(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-，求积分2(281)C z z dz ++⎰.解：由于函数2281z z ++在整个z 平面上解析，故 2220(281)(281)a C z z dz z z dz π++=++⎰⎰3223320216(4)|16233a a z z z a a a ππππ=++=++2、判别级数∑∞=1n nn i 是否绝对收敛，是否收敛.解：因为：∑∑∞=∞==111||n n n n n i 发散，故级数 ∑∞=1n n n i 不绝对收敛.由于∑∑∑∞=∞=∞=+==11212sin 2cos )(n n n in n n n i n n e n i πππ ∑∑∞=∞=+=112s i n 2c o s n n n n i n n ππ 而∑∞=12cos n n n π，∑∞=12sin n n n π都为收敛级数，所以原级数收敛， 故原级数条件收敛。

---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

复变函数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \) 为实数），则\( \bar{z} \) 表示（）A. \( a - bi \)B. \( -a + bi \)C. \( -a - bi \)D. \( a + bi \)答案：A2. 对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，以下说法正确的是（）A. \( u \) 和 \( v \) 都是调和函数B. \( u \) 和 \( v \) 都是解析函数C. \( u \) 和 \( v \) 都是连续函数D. \( u \) 和 \( v \) 都是可微函数答案：A3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可导，则下列说法中正确的是（）A. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析B. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处连续C. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处可微D. \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数为0答案：C4. 已知 \( f(z) \) 是解析函数，且 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处有孤立奇点，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的留数是（）A. 0B. \( \infty \)C. 1D. \( -1 \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若 \( z = x + yi \)，且 \( |z| = 2 \)，则 \( x^2 + y^2 = \_\_\_\_\_ \)。

答案：42. 设 \( f(z) = z^2 \)，则 \( f(2 + 3i) = \_\_\_\_\_ \)。

答案：-5 + 12i3. 若 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处解析，则 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 处的导数 \( f'(z_0) \) 等于 \_\_\_\_\_。

《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若收敛，则与都收敛. ( )4.若f(z)在区域D内解析，且，则（常数）. ( )5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z0是的m阶零点，则z0是1/的m阶极点. ( )7.若存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则. ( )9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C. ( )10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、__________.（为自然数）2._________.3.函数的周期为___________.4.设，则的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若，则______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________ .10.若是的极点，则.三.计算题（40分）：1. 设，求在内的罗朗展式.2.3. 设，其中，试求4. 求复数的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.( )2. cos z与sin z在复平面内有界. ( )3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则一定不存在. ( )6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C.( )8. 若数列收敛，则与都收敛. ( )9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使且. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则2.设，则________.3._________.（为自然数）4. 幂级数的收敛半径为__________ .5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程在单位圆内的零点个数为________.8. 设，则的孤立奇点有_________.9. 函数的不解析点之集为________.10..三. 计算题. (40分)1. 求函数的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3. 计算积分：，积分路径为（1）单位圆（）的右半圆.4. 求.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z与sin z的周期均为. ( )2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( )3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( )4. 若数列收敛，则与都收敛. ( )5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数.( )6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f(z)在上解析,且,则. （）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若z0是的m阶零点, 则z0是1/的m阶极点. ( )10. 若是的可去奇点，则. ( )二. 填空题. (20分)1. 设，则f(z)的定义域为___________.2. 函数ez的周期为_________.3. 若，则__________.4.___________.5._________.（为自然数）6. 幂级数的收敛半径为__________.7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设，则.9. 若是的极点，则.10..三. 计算题. (40分)1. 将函数在圆环域内展为Laurent级数.2. 试求幂级数的收敛半径.3. 算下列积分：，其中是.4. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分)1. 函数在区域内解析. 证明：如果在内为常数，那么它在内为常数.2. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。

复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。

a - b1- abn (z -1) n (z -1) XXXX 学院 2016—2017 学年度第一学期期末考试复变函数 试卷7.幂级数∑(-1)n n =0z n2nn !的和函数是()学号和姓名务必正确清 A. e -zz B. e2- zC. e2dzD. sin z楚填写。

因填写错误或不清 8. 设C 是正向圆周 z = 2 ，则⎰C z2=()楚造成不良后果的，均由本 A. 0 B. - 2i C. iD. 2i人负责；如故意涂改、乱写 的，考试成绩 答一、单项选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 9. 设函数 f (z ) 在0 < z - z 0 < R (0 < R ≤ +∞) 内解析，那么 z 0 是 f (z ) 的极点的充要条件是()A. lim f (z ) = a （ a 为复常数）B. lim f (z ) = ∞视为无效。

题分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，z → z 0z → z 0请勿1.Re(i z ) =并将其前面的字母填在题中括号内。

）()10. 10. C. lim f (z ) 不存在D.以上都对z → z 0ln z 在 z = 1处的泰勒级数展开式为 ()超 A. - Re(i z )B. Im(i z )∞(z -1)n +1∞ (z -1)n A. ∑(-1)n, z -1 < 1B. ∑(-1)n, z -1 < 1过C. - Im z此 D. Im zn =1∞n +1n +1n =1 n∞n2. 函数 f (z ) =z 2在复平面上()C. ∑(-1) , z -1 < 1D. ∑(-1) , z -1 < 1密 封 A.处处不连续B.处处连续，处处不可导线 C.处处连续，仅在点 z = 0 处可导D.处处连续，仅在点 z = 0 处解析，3. 设复数 a 与b 有且仅有一个模为 1，则的值()n =0n +1 n =0n 否 则 A.大于 1 B.等于 1 C.小于 1D.无穷大视 4. 设 z = x + i y ，f (z ) = - y + i x ，则 f '(z ) = ()二、填空题(本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分)为A.1+ i无B. isin zC. -1D. 011. z = 1+ 2i 的5. 设C 是正向圆周 z = 1 ， ⎰C dz = 2i ，则整数n 等于 ()zn A. -1B. 0e z -1C.1D. 26. z = 0 是 f (z ) =的()z2A.1阶极点B. 2 阶极点C.可去奇点D.本性奇点∞系别专业姓名班级学号（最后两位）总分 题号 一 二 三四统分人 题分 30203030复查人得分得分评卷人复查人得分评卷人复查人⎰18.求在映射 w = z 2 下， z _ _ _ _ 平面上的直线 __ _z = (2 + i)t 被映射成 w 平面上的曲线的方程.12.设 z = (2 - 3i)(-2 + i) ，则arg z =.13.在复平面上，函数 f (z ) = x 2 - y 2 - x + i(2xy - y 2 ) 在直线上可导.cos 5z.19.求e z 在 z = 0 处的泰勒展开式.14. 设C 是正向圆周 z = 1 ，则 ⎰Cdz = .z∞ ∞∞15. 若级数∑ zn 收敛，而级数∑ zn 发散，则称复级数∑ zn 为.n =1n =1n =1三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)16. 利用柯西-黎曼条件讨论函数 f (z ) = z 的解析性.20.计算积分1+iz 2dz .2017 + n i 17.判断数列 z n = n +1的收敛性. 若收敛，求出其极限.三、证明题(本大题共1 小题，每小题15 分，共15 分)nn !⎩ 21.试证明柯西不等式定理:设函数 f (z ) 在圆C : z - z 0 = R 所围的区域内解析，且在C因此在任何点(x , y ) 处， ∂u ≠∂v，所以 f (z ) 在复平面内处处不解析。

复变函数期末考试试题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(z)在z=a处解析，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a的邻域内解析B. f(z)在z=a的任何邻域内解析C. f(z)在z=a处可导D. f(z)在z=a处连续2. 以下哪个函数是解析的？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)3. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则以下哪个条件是f(z)解析的必要条件？A. u_x=v_yB. u_y=-v_xC. u_x=v_y且u_y=-v_xD. u_x=v_y或u_y=-v_x4. 以下哪个函数是整函数？A. e^zB. sin(z)C. z/(z-1)D. 1/z5. 若f(z)和g(z)都是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)+g(z)B. f(z)-g(z)C. f(z)g(z)D. f(z)/g(z)（g(z)≠0）6. 以下哪个函数是调和函数？A. e^zB. z^2C. Re(z)D. Im(z)7. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数也是解析的？A. f(z)的实部B. f(z)的虚部C. f(z)的共轭复数D. f(z)的逆函数8. 若f(z)在z=a处有极点，则以下哪个选项是正确的？A. f(z)在z=a处解析B. f(z)在z=a处有界C. f(z)在z=a处无界D. f(z)在z=a处有界且解析9. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的导数？A. u_x+iv_xB. u_x-iv_xC. u_y+iv_yD. u_y-iv_y10. 若f(z)是解析函数，则以下哪个函数是f(z)的积分？A. ∫(u_x+iv_x)dxdyB. ∫(u_x-iv_x)dxdyC. ∫(u_y+iv_y)dxdyD. ∫(u_y-iv_y)dxdy二、填空题（每题4分，共20分）1. 若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则f(z)的柯西-黎曼方程为________。

《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。